9.1.1不等式及其解集
教学目标
1. 知识与技能：了解不等式概念，理解不等式的解集，能正确的用数轴表示不等式的解集；
2. 过程与方法：经历由具体实例建立不等式模型的过程，进一步发展学生的符号感与数学化能力，培养学生的数感，通过用数轴鄙视不等式的解集渗透数形结合的思想；
3. 情感、态度与价值观：进一步培养学生的数学思维和参与数学活动的自信心、合作交流意识，
教学重难点
重点：不等式的解集的表示。
难点：不等式的求解及解集的表示。
教学过程
一、课题引入
1．看一看，比一比（展示图片）
①赛跑时候的快慢
②球赛时得分的高低
③拔河时力气的大小
2．一辆匀速行驶的汽车在11：20距离A 地50千米，车速应满足什么条件,使得： 问题一：汽车能在12：00准时到达A 地
问题二：汽车能在12：00之前到达A 地 从上面的图片中以及对问题2的探究中，让学生感受到生活中的问题：如速度、分数、时间、路程等需要将对象具体数量化，才能进行交流和判断,不但要学习研究等量关系，还需学习和研究不等关系．
设计意图：从生活中抽出实例让学生体验到数学是源于生活的。
二、讲授新课
1.什么是不等式
观察下面两组式子，他们之间有何区别
503
23250==x x 或3
2
50?x 5032?x
“ ＜ ” 读作小于、“＞”读作大于、
“≠”读作不等于、
“≤”读作小于或等于、“≥”读作大于或等于，都是不等号。
设计意图：通过与等式的比较，加深对不等式的理解。
练习：
1、下列式子哪些是不等式？
① －1﹤3 ② －x+2=4
③ 3x ≠ 4y ④ 6 ﹥ 2
⑤ 2x －3 ⑥ 2m ﹤ n
不等式可含有未知数，也可以无未知数
2、用不等式表示：
(1)a 是正数 (2)a 与b 的和小于5
(3)x 与2的差大于或等于－1 (4)x 的4倍大于7
(5)y 的一半不小于3 (6)m 与1的差是非负数
(7)x 不大于2
用等号连接 用不等号号连接 像这样用等号连接表示相等关系的式子叫等式。 像这样用不等号连接表示不等关系的式子，叫做不等式（inequality ）。
503
23250==x x 或3250?x 503
2?x
2.什么是一元一次不等式
观察下列两组式子，它们未知数的个数与次数有何特点？
第一组：（1）x -2=-1 （2）4x =7（3）3y=5
第二组：（1）3x -2≥-1 （2）x >7（3）3-y<5
只含有一个未知数，未知数的次数是一次
像这样，含有一个未知数，未知数的次数是一次的方 程，叫做一元一次方程 类似地，含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式 设计意图：利用一元一次方程进行对比，理解一元一次不等式。
练习：3下列式子中，有哪些是一元一次不等式
（1）-3＞-5 （2）x ＞1
（3）2x+y ＜6 （4）2-x ＜3x+5
（5）3x+1=0 （6）
三、课堂练习与检测
【基础练习】
一、耐心填一填
1.用不等式表示下列各式:
① a 是非负数_____.
② x 的6倍与3的差不小于x 的一半__ __.
二、精心选一选
2.给出下列四个式子;①4＜7;②a<3; ③a ≠0;
④a ≤b ;⑤1≥1.其中是不等式的选项为( )
A.②③
B.①②③⑤
C.②③④
D.①②③④⑤
3.如图，天平右盘中每个砝码的重量都是1g ，则
图中显示出的药品A 重量的范围是( )
A.大于2g
B.大于2g 且小于3g
C.小于3g
D.大于2g 或小于3g
3
2
50
x
4. P是数轴上的点，它到原点的距离大于3，
则它所表示的数m的取值范围是( )
A . m>3
B . m>-3
C . m>3或 m>-3
D . m>3或 m<-3
5 .从0、2、4、6、8中任取两个数组成一组，
其中两数之和不小于10的有( )
A . 3组
B . 4组
C . 5组
D . 6组
【拓展练习】.某人10点20分离家赶11点整的火车，已知他家离车站10公里，他离家后先以3公里/小时的速度走了25分钟，然后乘公共汽车去车站，问公共汽车每小时至少行多少公里才能不误当次火车？ (只列不等式)
四、课堂小结
1.这节课你学到了什么？
2.你有什么收获？
3.你还有什么问题？
4.你还想知道什么？
五、课后作业
1.必做题: 作业本9.1.1不等式及其解集
2.选做题: 能否寻求求一元一次不等式的解集。
第九章不等式与不等式组 9.1 不等式 9.1.1 不等式及其解集 要点感知1 用__________表示大小关系的式子,叫做不等式,用__________表示不等关系的式子也是不等式. 预习练习1-1 下列式子中是不等式的有__________. ①3<4；②2x2-3>0；③5y2-8；④2x+3=7；⑤3x+1<7. 1-2 “b的1 2 与c的和是负数”用不等式表示为__________. 要点感知2使不等式__________的未知数的__________叫做不等式的解. 预习练习2-1以下所给的数值中，是不等式-2x+3＜0的解的是( ) A.-2 B.-1 C.3 2 D.2 2-2 不等式3x<9的解的个数有( ) A.1个 B.3个 C.5个 D.无数多个 要点感知3一个含有未知数的不等式的__________,组成这个不等式的解集.求不等式的解集的过程叫做__________. 预习练习3-1(20**·宿迁)如图，数轴所表示的不等式的解集是__________. 知识点1 不等式 1.数学表达式：①-5<7；②3y-6>0；③a=6；④x-2x；⑤a≠2；⑥7y-6>5y+2中，是不等式的有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2.“数x不小于2”是指( ) A.x≤2 B.x≥2 C.x＜2 D.x＞2 3.用不等式表示： (1)x的2倍与5的差不大于1； (2)x的1 3 与x的 1 2 的和是非负数； (3)a与3的和不小于5； (4)a的20%与a的和大于a的3倍. 知识点2 不等式的解集 4.下列说法中，错误的是( )
A.x=1是不等式x＜2的解 B.-2是不等式2x-1＜0的一个解 C.不等式-3x＞9的解集是x=-3 D.不等式x＜10的整数解有无数个 5.用不等式表示如图所示的解集，其中正确的是( ) A.x>-2 B.x<-2 C.x≥-2 D.x ≤-2 6.如图所示，将一刻度尺放在数轴上(数轴的单位长度是1 cm)，刻度尺上的“0 cm”和“15 cm”分别对应数轴上的-3.6和x，则( ) A.9＜x＜10 B.10＜x＜11 C.11＜x＜12 D.12＜x＜13 7.在下列各数：-2，-2.5，0，1，6中，不等式2 3 x>1的解有__________；不等式- 2 3 x>1的 解有__________. 8.由于小于6的每一个数都是不等式1 2 x-1<6的解,所以这个不等式的解集是x＜6.这种说法 对不对？ 9.x与3的和的一半是负数，用不等式表示为( ) A.1 2 x+3>0 B. 1 2 x+3<0 C. 1 2 (x+3)<0 D.1 2 (x+3)>0 10.下面给出5个式子：①3x＞5；②x+1；③1-2y≤0；④x-2≠0；⑤3x-2＝0.其中是不等式的个数有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 11.下列说法正确的是( ) A.2是不等式x-3<5的解集 B.x>1是不等式x+1>0的解集 C.x>3是不等式x+3≥6的解集 D.x<5是不等式2x<10的解集 12.下列不等式中，4,5,6都是它的解的不等式是( ) A.2x+1>10 B.2x+1≥9 C.x+5≤10 D.3-x>-2 13.(20**·长春改编)不等式x＜-2的解集在数轴上表示为( )
(基本不等式)公开课 教案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
基本不等式: 2 a b +≤ 授课人:祁玉瑞 授课类型：新授课 一、知识与技能： 使学生了解基本不等式的代数、几何背景，学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；学会应用基本不等式解决简单的数学问题。 过程与方法： 通过探索基本不等式的过程，让学生体会研究数学问题的基本思想方法，学会学习，学会探究。 情感态度与价值观： 在探索过程中，鼓励学生大胆尝试，大胆猜想，并能对猜想进行证明，增强学生的信心，获得探索问题的成功情感体验。逐步养成学生严谨的科学态度及良好的思维习惯。同时通过本节内容的学习，让学生体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣。 二、重点及难点 重点：2 a b +≤的证明过程。 难点：2 a b +≤ 等号成立条件。 三、教学过程 1.课题导入 2a b +≤ 的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民
热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？ 教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。 2.讲授新课 1．探究图形中的不等关系 将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。 设直角三角形的两条直角边长为a,b 那么正方形的边长为22 a b +。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22 a b +。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：22 2a b ab +≥。 当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时 有22 2a b ab +=。 2．得到结论：一般的，如果 ) ""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 3．思考证明：你能给出它的证明吗？ 证明：因为 222)(2b a ab b a -=-+ 当 22 ,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时 所以，0)(2≥-b a ，即 .2)(2 2ab b a ≥+ 4．12a b ab +≤ 特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ，可得2a b ab +≥， (a>0,b>0)2a b ab +≤ 22a b ab +≤ 用分析法证明： 32a b ab +≤ 的几何意义
第九章不等式与不等式组 9.1不等式 9.1.1不等式及其解集 【知识与技能】 1.掌握不等式的概念； 2.理解不等式的解、解集；会在数轴上表示不等式的解集； 3.掌握一元一次不等式的概念； 4.会列出简单实际问题中的不等式. 【过程与方法】 从实例出发，引出不等式的概念，类比于方程的解理解不等式的解.进而理解不等式的解集，并学会在数轴上表示不等式的解集，类比于一元一次方程的概念理解一元一次不等式的概念. 【情感态度】 不等式是现实世界中普遍存在的关系，体验数学来源于实际生活又反过来服务于实际生活，提高同学们学习兴趣. 【教学重点】 不等式的概念，不等式的解、解集的概念，在数轴上表示不等式的解集. 【教学难点】 理解不等式的解集及在数轴上表示不等式的解集. 一、情境导入，初步认识 问题1 一辆匀速行驶的汽车在11:20距离A地50km，要在12:00之前驶过A地，车速满足什么条件？ 解：设车速是x千米/时，本题可从两个方面来表示这个关系： （1）汽车行驶50千米的时间＜_______. （2）汽车2/3小时（即40分钟）走过的路程______50.从而得到两个表示大小关系的式子： ①_______________，②_______________. 不等式的定义是：___________________. 问题2 在2 50 3 x＞中，当x＝76，x=75，x＝72，x＝70时，不等式是否成 立？76，75，72，70哪些是不等式的解，哪些不是?不等式2 50 3 x＞的解有多少？ 它的所有解组成解的集合，怎样表示它的解集？ 【教学说明】 同学们可以分组讨论，然后交流成果.最后解决问题，形成新知.对问题2教师要时时点拨，要参与学生之间去讨论，在用数轴表示x＞75时，要使用空心圆圈，务必要强调这一点. 二、思考探究，获取新知 思考1 什么叫不等式？什么叫不等式的解、解集？什么叫解不等式？什么叫一元一次不等式？ 思考2 怎样在数轴上表示不等式的解集？
《9.1.1不等式及其解集》教学设计 课程名称《 9.1.1不等式及其解集》 授课人教学对象七年级科目数学课时安排1课时 一、教材分析 1教材的地位和作用 本章是新人教版七年级下册第九章的教学内容，此部分内容是在学生继一元一次方程和二元一次方程组的学习之后，又一次数学建模思想的教学，是进一步探究现实生活中的数量关系、培养学生分析问题和解决问题能力的重要内容，也是今后学习一元二次方程、函数、以及进一步学习不等式知识的基础。通过实际问题中一元一次不等式的应用，进一步增强学生学数学、用数学的意识，体会学数学的价值和意义；相等与不等是研究数量关系的两个重要方面，用不等式表示不等的关系，是代数基础知识的一个重要组成部份，它在解决各类实际问题中有着广泛的应用 1.2本节课的教材内容 本节课的内容主要介绍不等式及不等式的解的概念及解集的表示方法，是研究不等式的导入课，通过实例引入，使学生充分认识到学习不等式的重要性和必然性，激发他们的求知欲望；经历、感受概念形成的过程，使学生正确抓住不等式的本质特征，为进一步学习不等式的性质、解法及简单应用起到铺垫作用. 1.3 学情分析 (1) 学生对实际生活中的不等量关系、数量大小的比较等知识，在小学阶段已有所了解。 (2) 学生已初步具备了“从实际问题中抽象出数学模型，并回到实际问题解释和检验”的数学建模能。 (3) 学生已初步具备探究和比较的能力 二、教学目标及难重点（知识与技能，方法和过程，情感态度与价值观） 教学目标： 2.1知识与技能：了解不等式概念，并理解不等式的解、解集，能够正确表示不等式的解集；经历把实际问题抽象为不等式的过程，能够列出不等关系式。使学生进一步理解归纳和类比的数学方法，以及从具体到抽象获取知识的思维方式；初步体会不等式是刻画现实世界中不等关系的一种有效数学模型。 2.2数学思考：感受生活中的数学问题，发展学生的观察、归纳、猜测、验证能力，领悟数学与现实世界的必然联系。 2.3解决问题：通过经历不等式的得出过程，积累数学活动经验。通过分组活动探索不等式的解与解集，体会在解决问题过程中与他人合作的重要性。 2.4情感态度与价值观：认识通过观察、实验、类比可以获得数学结论,体验数学活动充满着探索性和创造性。在独立思考的基础上,积极参与对数学问题的讨论,敢于发表自己的观点，学会分享别人的想法和结果,并重新审视自己的想法,能从交流中获益。 教学重点：不等式相关概念的理解和不等式的解集的表示。 教学难点：正确理解不等式解集的意义。 三．教学策略选择与设计 教法：根据本节课教学内容和七年级学生的年龄、心理特点及目标教学的要求，本节课采用引导探究法；让学生以观察实例为基础，用归纳的方法形成概念，把教学过程转化为学生观察、发现、探究的过程，再现知识的“发生”和“发现”及“形成”的过程，揭示事物发展从“特殊”到“一般”再到“特殊”的辩证规律；既提高了学生的学习兴趣，增强了信心，
9.1.1 不等式及其解集教案1 【教学目标】： 1、了解不等式概念；理解不等式的解集。 2、能用数轴表示不等式的解集。 【教学重点】： 正确理解不等式及不等式解与解集的意义，把不等式的解集正确地表示到数轴上。 【教学难点】： 正确理解不等式解集的意义. 【教学过程】： 一、情境导入，初步认识 问题1 一辆匀速行驶的汽车在11:20距离A地50km，要在12:00之前驶过A地，车速满足什么条件？ 解：设车速是x千米/时，本题可从两个方面来表示这个关系： （1）汽车行驶50千米的时间＜_______. （2）汽车2/3小时（即40分钟）走过的路程______50.从而得到两个表示大小关系的式子： ①_______________，②_______________. 不等式的定义是：___________________. 问题2 在2 50 3 x＞中，当x＝76，x=75，x＝72，x＝70时，不等式是否成立？76，75，72，70哪些是 不等式的解，哪些不是?不等式2 50 3 x＞的解有多少？它的所有解组成解的集合，怎样表示它的解集？ 【教学说明】 同学们可以分组讨论，然后交流成果.最后解决问题，形成新知.对问题2教师要时时点拨，要参与学生之间去讨论，在用数轴表示x＞75时，要使用空心圆圈，务必要强调这一点. 二、思考探究，获取新知 思考1 什么叫不等式？什么叫不等式的解、解集？什么叫解不等式？什么叫一元一次不等式？ 思考2 怎样在数轴上表示不等式的解集？ 【归纳结论】 1.定义：用“＜”或“＞”或“≠”表示大小关系的式子，叫做不等式. 不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集. 解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式. 一元一次不等式：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式.
基本不等式 2a b +≤ 授课人:祁玉瑞 授课类型：新授课 一、知识与技能： 使学生了解基本不等式的代数、几何背景，学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；学会应用基本不等式解决简单的数学问题。 过程与方法： 通过探索基本不等式的过程，让学生体会研究数学问题的基本思想方法，学会学习，学会探究。 情感态度与价值观： 在探索过程中，鼓励学生大胆尝试，大胆猜想，并能对猜想进行证明，增强学生的信心，获得探索问题的成功情感体验。逐步养成学生严谨的科学态度及良好的思维习惯。同时通过本节内容的学习，让学生体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣。 二、重点及难点 重点：应用数形结合的思想理解不等式，2 a b +≤的证明过程。 难点：2a b +≤等号成立条件。 三、教学过程 1.课题导入 2a b +≤的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？ 教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。 2.讲授新课 1．探究图形中的不等关系
将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。 设直角三角形的两条直角边长为a,b 那么正方形的边长为22a b +。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22a b +。由于4个直角三角形的 面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥。 当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时 有222a b ab +=。 2．得到结论：一般的，如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 3．思考证明：你能给出它的证明吗？ 证明：因为 222)(2b a ab b a -=-+ 当 22,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时 所以，0)(2≥-b a ，即 .2)(22ab b a ≥+ 4．1）从几何图形的面积关系认识基本不等式2a b ab +≤ 特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ，可得2a b ab +≥， 通常我们把上式写作：(a>0,b>0)2a b ab +≤ 22a b ab +≤ 用分析法证明： 32a b ab +≤的几何意义 探究：课本第98页的“探究” 在右图中，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC=a,BC=b 。过 点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD 。你能利用这个图形得出基本 2a b ab +≤的几何解释吗？
2.2基本不等式 教材分析： “基本不等式”是必修1的重点内容，它是在系统学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上对不等式的进一步研究，同时也是为了以后学习选修教材中关于不等式及其证明方法等内容作铺垫，起着承上启下的作用.利用基本不等式求最值在实际问题中应用广泛.同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质. 教学目标 【知识与技能】 1.学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 2.掌握基本不等式；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题 【过程与方法】 通过实例探究抽象基本不等式； 【情感、态度与价值观】 通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣. 教学重难点 【教学重点】 应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程；【教学难点】 1.基本不等式等号成立条件； 2.利用基本不等式求最大值、最小值. 教学过程 1.课题导入 前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式： 一般地，，有 a2+b2≥2ab， 当且仅当a=b时，等号成立 特别地，如果a>0，b>0，我们用,分别代替上式中的a，b，可得
① 当且仅当a=b时，等号成立. 通常称不等式（1）为基本不等式（basic inequality）.其中，叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数. 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 思考:上面通过考察a2+b2=2ab的特殊情形获得了基本不等式，能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢？下面我们来分析一下. 2.讲授新课 1）类比弦图几何图形的面积关系认识基本不等式 特别的，如果a＞0,b＞0,我们用分别代替a、b，可得， 通常我们把上式写作： 2）从不等式的性质推导基本不等式 用分析法证明： 要 证 （1） 只要证a+b ≥（2） 要证（2），只要证a+b- ≥0 （3） 要证（3），只要证（- ）2≥0 （4） 显然，（4）是成立的.当且仅当a=b时，（4）中的等号成立.
《基本不等式》教学设计 一、教学内容解析： 1、本节内容选自《普通高中课程标准实验教科书》（人教A版教材）高中数学必修5第三章第4节基本不等式，是在学习了不等式的性质、一元二次不等式的解法、线性规划的基础上对不等式的进一步的研究，本节是教学的重点，学生学习的难点，内容具有条件约束性、变通灵活性、应用广泛性等的特点； 2、本节主要学习基本不等式的代数、几何背景及基本不等式的证明和应用，为选修4-5进一步学习基本不等式和证明不等式的基本方法打下基础，也是体会数形结合、分类讨论等数学思想，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养的良好素材； 3、在学习了导数之后，可用导数解决函数的最值问题，但是，借助基本不等式解决某些特殊类型的最值问题简明易懂，仍有其独到之处； 4、在高中数学中，不等式的地位不仅特殊，而且重要，它与高中数学很多章节都有联系，尤其与函数、方程联系紧密，因此，不等式才自然而然地成为高考中经久不衰的热点、重点，有时也是难点． 二、学情分析： 1、学生已经掌握的不等式的性质和作差比较法证明不等式对本节课的学习有很大帮助； 2、学生逻辑推理能力有待提高，没有系统学习过证明不等式的基本方法，尤其对于分析法证明不等式的思路以前接触较少； 3、对于最值问题，学生习惯转化为一元函数，根据函数的图像和性质求解，对于根据已知不等式求最值接触较少，尤其会忽略取等号的条件。 三、教学目标： 1、知识与技能：会从不同角度探索基本不等式，会用基本不等式解决简单的最值问题； 2、过程与方法：经历基本不等式的推导过程，体会数形结合、分类讨论等数学思想，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养； 3、情感态度价值观：培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，并在探究的过
《不等式及其解集》教学设计 授课教师：广州市晓园中学数学科胡海宁 一、教学目标 1.知识与技能： 了解不等式及一元一次不等式概念。理解不等式的解、解集,能正确表示不等式的解集。 2.过程与方法： （1）通过类比等式的对应知识,探索不等式的概念和解,体会不等式与等式的异同,初步掌握类比的思想方法。 （2）经历把实际问题抽象为不等式的过程,能够列出不等关系式。初步体会不等式(组)是刻画现实世界中不等关系的一种有效数学模型,培养学生的建模意识。 3.情感态度与价值观： 通过对不等式概念及其解集等有关概念的探索,培养学生的知识迁移能力和建模意识,加强同学之间的使用与交流。 二、教学重点、难点 1.重点：不等式、不等式的解、解集的概念、不等式解集的表示。 2.难点：不等式解集的理解与表示。 三、教学过程 教学环节教师活动学生活动设计意 图 导思:问题导入引导探究 引言：自然界和社会存在中，两量之间, 存在着等量关系，但更多的是——不等量关系。 举例：请同学们说出下列两量之间的关系： 1、a表示正数，b表示负数 2、汽车的速度m（千米/时），低于80（千米/ 时） 3、李明的体重48（千克）不等于王平的体重 51（千克） 4、a2是一个非负数. 5、m+1不大于0. 6、高速路上汽车速度x（千米/时），不得超过120 （千米/时） 【小组讨论】 回答：1.a>b 2.m<80 3.48≠51 4. a2≥0 5. m+1≤0 6.x≤12 通过实例 创设情 境，培养 学生的观 察能力， 激发他们 的学习兴 趣。
导学1分析归纳探究新知 （一）不等式的概念 通过上面的实际例子师生共同归纳得出不等式 的完整概念。 用不等号“>”,“<”，“≥”,“≤”,“≠”表示大小 关系的式子，我们把它们叫做不等式. 运用新知： 思考：下列式子中哪些是不等式？ ①－1﹤3 ②－x+2=4 ③3x ≠4y ④ 6 ﹥2 ⑤2x －3 ⑥2m ﹤n 例：【讲解】用不等式表示:（导P85 3） （1）a比6小; （2）x与1的和大于2 ； （3）a的2倍小于b ; （4）x的2倍与y的差不小于0; （5）a是正数; 巩固练习：用不等式表示: （导P85 8） 1. x的4倍与7的差大于3; 2. a、b两数的平方和大于4; 3. x与y差不等于0; 4.a、b两数的和不小于6; 5.y的倒数与1的和大于x的一半. 小结：常用不等关系 不等于：大于：不大于: 小于：不小于: 超过：不超过：至少：至多：正数： 负数: 非正数: 非负数: 学生仔细观察并归 纳出不等式的概 念。 【学生讲解】 讲解为什么②⑤不 是不等式。 【回答】 （1）a＜6； （2）x+1＞2； （3）2a＜b； （4）2x-y≥0； （5）a＞0 【小组轮流回答】 1. 4x-7＞3； 2.a2+b2＞4,； 3.x-y≠0 4. a+b≥6； 5. 【小组讨论得到常 用的不等关系】 引导学 生仔细观 察并归纳 出不等式 的意义。 在甄别 不等式的 过程中， 加深对不 等式意义 的理解。 运用新 知，通过 列不等 式，进一 步加深对 不等式的 理解。 学生 小结常用 的不等关 系，巩固 常用不等 关系 导学2类比探究不等式的解、不等式的解集 我们曾经学过“使方程两边相等的未知数的值就 是方程的解”，同样,能使不等式成立的未知数的 值叫做不等式的解. 判断下列数中哪些是不等式2x+1>6的解: -4 , -1 , 0 , 2.5, 2.6, 10 ,100 （导P85 4） 思考：①你还能找出这个不等式的其他解 吗?请举出例子。 ②这个不等式有多少个解呢? 含有未知数的不等式的所有解组成这个不 等式的解集。 学生回顾方程的解 同学积极思考，回 答老师提出的问题 预设回答： ①有其他的解，例 如：3、4、5…… ②有无数个解。 注意：不等式的解 让学 生通过计 算、动手 验证、动 脑思考， 初步体会 不等式解 的意义以 及不等式 解与方程 解的不同 之处。 x y2 1 1 1 > +
乌拉特前旗第三中学初一年级数学科讲学案
⑤、a与2的差大于-1；。⑥、a的一半小于3；。 2、下列式子中哪些是不等式？ （1）a＋b=b+a （）（2）－3＞－5 ( ) （3）x≠l ( ) （4）x十3>6 ( ) （5） 2m< n ( )（6）2x-3 ( ) ⑺ 4x-2y≤0 （）⑻ 7n-5≥2 （）⑼ 3x2+2＞0（） 3、下列各式中，哪些是一元一次不等式？ （1）-3＞-5 （2）x＞1 （3）2x+y≥6 （4）2-x＜3x+5 （5）3x+1=0 (6) (7) 2x2+5﹥7 (8) 2a-7≤15 (9) 三、合作探究(10分钟) 使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。 1、判断下列数中哪些是不等式x+3﹥6的解？ -4， -2.5, 0, 1, 2.5, 3, 3.2, 4.8, 8, 12 2、你还能找出x+3﹥6的其他的解吗？ 3、你认为x+3﹥6 有多少个解？。当x符合什么条件时x+3﹥6总成立？ 4、所以不等式x+3﹥6的解集是。 5、直接想出下列不等式的解集① x+3〈 6 ② 2x〈 8 ③ x-2 〉0 ④ y-1〉5 6、在数轴上表示不等式的解集（学着画一画） X 〉3 X〈-2 X ≤4 X≥-4 总结 7、练习：写出下列数轴所表示的不等式的解集（简易数轴） （1）、（2）、（3）、 (4)、 50 2 X 3 ＜x 4 ≥1 ①一元 ②一次 ③整式 ⑴、大于向画，小于向画 ⑵、无等号画，有等号画 ○ -3 ○ -32 ● 02 ●
6、a 、b 两数在数轴上的位置如图所示，下列结论中，正确的是（ ） A ．a<0，b>0 B ．a>0，b<0 C ．ab>0 D ．│a │>│b │ 二、填空题 7、有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示，用不等式表示： ①a+b_____0 ②│a│____│b│ ③ab_____0 ④a-b____0. 8、用不等式表示如图所示的解集 9、组成三角形的三根木棒中有两根木棒长为3cm 和10cm ，?则第三根棒长的取值范围是_______，若第三根木棒长为奇数，则第三根棒长是_______． 10、在下列各数-2，-2.5，0，1，6中是不等式23x>1的解有______；?是-2 3 x>1?的解有 ________． 11、用不等式表示: ⑴ a 是非负数 ; ⑵ b 是非正数 ; ⑶ x 与5和不大于7 ; ⑷ m 与2的差不小于－1; 三、应用 12、从小明家到学校的路程是2400米，如果小明早上7点离家，要在7点40分之前到达学校，你认为小明的速度应该满足什么条件 ？你能求出它的解集吗？如果能并用数轴表示出来。 教后记（教学反思）: 课题研究材料（过程性资料积累） ⑸ a 与1的和是正数; ⑹ y 的2倍与1的和小于3; ⑺ x 的13与x 的1 2 的和是非负数； ⑻ x 乘以3的积加上2最多为5;
《§3.4.1基本不等式》的教学设计 教材：人教版高中数学必修5第三章 一、教学内容解析 本节选自人教版必修五的第三章第四节的第一课时，它是在学生学习完“不等式的性质”、“一元二次不等式及其解法”及“二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题”的基础上对不等式的进一步研究。在探究基本不等式内涵和证明的过程中，能够培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；培养学生形成数形结合的思想意识；在应用的过程中，通过对条件的转换和变式，有助于培养学生形成类比归纳的思想和习惯，进而形成严谨的思维方式。 二、教学目标设置 1．通过探究“数学家大会的会标”及感受会标的变形，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；培养学生形成数形结合的思想意识； 2．进一步让学生探究不等式的代数证明，加深对基本不等式的理解和认识，提高学生逻辑推理的能力和严谨的思维方式。 3．通过例题让学生学会用基本不等式求最大值和最小值。 三、学生学情分析 对于高一的学生，不等式并不陌生，前面学习了不等式及不等式的性质，能够进行简单的数与式的比较，本节所学内容就用到了不等式的性质，所以学生可以在巩固不等式性质的前提下学习基本不等式，接受上是容易的，争取让学生真正意义上理解基本不等式。 四、教学策略分析 在教学过程中学生往往会直接应用不等式而忽略成立的条件，因此本节课的重点内容是对基本不等式的理解和运用。在运用过程中生成的规律，在学生做题时能灵活运用是难点，因此理解基本不等式和灵活应用基本不等式十本节课难点 五、教学过程： （一）情景引入 下图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会议现场。
9.1.1不等式及其解集 授课老师：ZXN 一、教学目标 1、知识与技能 了解不等式的概念；理解不等式的解集；能正确表示不等式的解集。 2、过程与方法 经历由具体实例建立不等模型的过程；经历探究不等式解与解集的不同意义的过程，渗透数形结合思想。 3、情感态度与价值观 进一步培养学生的数学思维和参与数学活动的自信心、合作交流的意识。 二、教学重难点 教学重点：正确理解不等式、不等式的解与解集的意义，把不等式的解集正确的表示到数轴上。 教学难点：正确理解不等式解集的意义。 三、教学方法和课型 教学方法：启发诱导法、实例探究法、讲练结合法 课型：新授课 四、教具准备 彩色粉笔、小黑板 五、教学过程 （一）、创设情境，导入新课 设计说明：通过实例创设情境，从“等”过渡到“不等”，培养学生的观察能力，激发他们的学习兴趣。 问题1：两个体重相同的孩子正在跷跷板上做游戏。现在换了一个小胖子上去，跷跷板发生了倾斜，游戏无法继续进行下去了。这是什么原因呢？
讨论结果：两边的重量不同，跷跷板就会发生倾斜。 教师说明：原来的平衡状态被破坏了，产生了一种不等关系。 问题2：一辆匀速行驶的汽车在11：20距离A 地50千米，要在12：00以前驶过A 地，车速应该满足什么条件？若设车速为每小时x 千米，能用一个式子表示吗？ 分析：从问题中有关信息可知，汽车行驶50千米（驶过A 地）所用时间，必须在11：20~12:00这40分钟之内，即所用时间要小于 32小时。换言之，3 2小时要行驶超过50千米的路程。我们知道相等关系可以用等式来表示，那么，不等关系又怎样表示呢？ 讨论结果：设车速是x 千米／时。 从时间上看，汽车要在12:00之前驶过A 地，则以这个速度行驶50千米所 用时间不到32小时，即x 50 ＜ 32 ① 从路程上看，汽车要在12:00之前驶过A 地，则以这个速度行驶3 2 小时的路 程要超过50千米，即x 3 2 > 50 ② 像①、②这样的式子，叫做不等式。这节课我们来研究不等式的相关知识，由此导入新课。 （二）、师生互动，探索新知 1、不等式的定义 问题1：请同学们举出一些不等式的例子，试着给出不等式的定义。 讨论结果：如：5＞3，﹣1﹤0, a ＋2≠a －2(若学生没提出像“a ＋2≠a －2”的不等式，老师加以补充)等都是不等式。 用“＜”或“＞”表示大小关系的式子叫做不等式；用“≠”表示不等关系的式子也是不等式。 问题2：下列式子中哪些是不等式？ （1）a ＋b=b+a （2）－3＞－5 （3）x ≠l （4）x 十3>6 （5） 2m< n （6）2x-3 讨论结果：⑵、⑶、⑷、⑸是不等式。
精品基础教育教学资料，请参考使用，祝你取得好成绩！ 9．1不等式 9．1.1不等式及其解集 1．了解不等式的概念； 2．会用不等式表示简单问题的数量关系；(重点) 3．理解不等式的解、解集及解不等式．(难点) 一、情境导入 有一群猴子，一天结伴去摘桃子．分桃子时，如果每只猴子分3个，那么还剩下59个；如果每只猴子分5个，那么最后一只猴子分得的桃子不够5个．你知道有几只猴子，几个桃子吗？ 二、合作探究 探究点一：不等式的概念 下列各式中：①－3＜0；②4x＋3y＞0；③x＝3；④x2＋xy＋y2；⑤x≠5；⑥x＋2＞y＋3.不等式的个数有() A．5个B．4个C．3个D．1个 解析：③是等式，④是代数式，没有不等关系，所以不是不等式．不等式有①②⑤⑥，共4个．故选B. 方法总结：本题考查不等式的判定，一般用不等号表示不相等关系的式子是不等式．解答此类题的关键是要识别常见不等号：＞，＜，≤，≥，≠.如果式子中没有这些不等号，就不是不等式． 探究点二：列简单不等式 根据下列数量关系，列出不等式： (1)x与2的和是负数； (2)m与1的相反数的和是非负数； (3)a与－2的差不大于它的3倍； (4)a，b两数的平方和不小于它们的积的两倍． 解析：(1)负数即小于0；(2)非负数即大于或等于0；(3)不大于就是小于或等于；(4)不小于就是大于或等于．
解：(1)x ＋2<0； (2)m －1≥0； (3)a ＋2≤3a ； (4)a 2＋b 2≥2ab . 探究点三：不等式的解与解集 【类型一】 对不等式解的理解 下列不是不等式5x －3<6的一个解的是( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．－2 解析：分别把四个选项中的值代入不等式，能使不等式成立的数分别为5×1－3＝2<6，5×(－1)－3＝－8<6，5×(－2)－3＝－13<6，而5×2－3＝7>6不能使不等式成立，故选B. 方法总结：判断某个数值是否为不等式的解的方法：可直接将数值代入不等式的左右两边看不等式是否成立．如果成立，则是不等式的解；反之，则不是． 【类型二】 对不等式解集的理解 下列说法中，正确的是( ) A ．x ＝2是不等式x ＋3<4的解 B ．x ＝3是不等式3x <7的解 C ．不等式3x <7的解集是x ＝2 D ．x ＝3是不等式3x >8的解 解析：A 不正确，因为当x ＝2时，x ＋3<4不成立；B 不正确，因为不等式3x <7的解集是x <73 ，当x ＝3时，不等式3x <7不成立；C 不正确，因为不等式3x <7有无数多个解，而x ＝2只是其中一个解，因此只能说x ＝2是3x <7的解，而不能说不等式3x <7的解集是x ＝2；D 正确，因为当x ＝3时，不等式3x >8成立．故选D. 方法总结：不等式的解可以有无数个，一般是某个范围内的所有数．未知数取解集中任何一个值时，不等式都成立；未知数取解集外任何一个值时，不等式都不成立． 三、板书设计 1．不等式的概念 2．用不等式表示数量关系 3．不等式的解、解集 本节课通过实际问题引入不等式，并用不等式表示数量关系．要注意常用的关键词的含义：负数、非负数、正数、大于、不大于、小于、不小于、不足、不超过等，这些关键词中如果含有“不”“非”等文字，一般应包括“＝”，这也是学生容易出错的地方
不等式及其解集练习题 一、填空题： 1．用“＜”或“＞”填空： ⑴4_____－6； (2)－3_____0；(3)－5_____－1；(4)6＋2______5＋2；(5)6＋(－2)_____5＋(－2)；(6)6×(－2)______5×(－2)． 2．用不等式表示： (1)m －3是正数______； (2)y ＋5是负数______； (3)x 不大于2______； (4)a 是非负数______； (5)a 的2倍比10大______； (6)y 的一半与6的和是负数______； (7)x 的3倍与5的和大于x 的3 1 ______； (8)m 的相反数是非正数______． 3．直接想出不等式的解集： （1） x ＋3＞6的解集 ; （2）2x ＜12的解集 ; （3）x －5＞0的解集 ; （4）0.5x ＞5的解集 ； 4.当X_______时,代数式2X-5的值为0, 当X_______时,代数式2X-5的值不大于0. 5．不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式可能是_____________. 6．当x_______时,代数式2x －5的值为0, 当x_______时,代数式2x －5的值不大于0. 7．不等式－5x ≥－13的解集中，最大的整数解是__ . 8．不等式x+3≤6的正整数解为_______________. 9．不等式－2x ＜8的负整数解的和是______. 10．一个不等式的解集如图所示，则这个不等式的正整数解是_______________. 4 3210-1 二、选择题： 1.下列不等式的解集,不包括-4的是( ) A.X ≤-4 B.X ≥-4 C.X ＜-6 D.X ＞-6 2.不等式x －3＞1的解集是( ) A.x ＞2 B. x ＞4 C.x ＞－2 D. x ＞－4 3.不等式2X ＜6的非负整数解为( ) A.0,1,2 B.1,2 C.0,-1,-2 D.无数个 4.用不等式表示图中的解集,其中正确的是( ) A. X ≥3 B. X ＞3 C. X ＜3 D. X ≤3 5.下列说法中,错误的是( ) A.不等式x ＜5的整数解有无数多个 B.不等式x ＞－5的负整数解有有限个 C.不等式－2x ＜8的解集是x ＜－4 D.－40是不等式2x ＜－8的一个解 6．下列说法正确的是( ) A.x ＝1是不等式－2x ＜1的解集 B.x ＝3是不等式－x ＜1的解集 C.x ＞－2是不等式－2x ＜1的解集 D.不等式－x ＜1的解集是x ＞－1 7．下列不等式中，正确的是( )． A.4385-<- B.5 1 72< C.(－6.4)2＜(－6.4)3 D.-｜－27｜＜－（－3)3 8．“a 的2倍减去b 的差不大于－3”用不等式可表示为( )． (A)2a －b ＜－3 (B)2(a －b )＜－3 (C)2a －b ≤－3 (D)2(a －b )≤－3 9．如果a 、b 表示两个负数，且a ＜b ，则( )． A. 1>b a B.1不等式及其解集教学设计
《§9.1.1不等式及其解集》教案 一、教学内容 《义务教育课程标准实验教科书·数学》(人教版)七年级下册9.1.1不等式及其解集第121-123页本课为一课时 二、教学目标 【知识与技能】 1.能够从现实问题中抽象出不等式，理解不等式的意义，会根据给定条件列不等式. 2.正确理解“非负数”、“不小于”、“不大于”等数学术语. 3.理解不等式的解、解集和一元一次不等式的意义，能举出一个不等式的几个解并且会 检验一个数是否是某个不等式的解. 4.能用数轴表示不等式的解集. 【过程与方法】 经历由具体实例建立不等式模型的过程，进一步发展学生的符号感和数学化的能力，体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性. 【情感、态度与价值观】 使学生能独立克服困难,运用知识解决问题，树立学好数学的自信心；在独立思考的基础上，积极参与讨论，在合作交流中有一定收获. 三、教学重点 理解不等式、不等式的解和解集,一元一次不等式的意义,能正确列出不等式. 四、教学难点 准确应用不等号,理解不等式的解和解集的意义. 五、教学准备 圆规、三角尺。 六、教学方法 教法： 为了突出教学重点，突破教学难点，遵循新课标要求，在教学过程中，我选用了以下的教学方法： （1）、采用小组合作方式，让学生经历动手实验——观察——思考——归纳——发现的学习 过程，培养学生的合作意识。 （2）、为了提高本节课的教学效率和教学效果，我采用分层教学分类指导法，使学生能够在 课堂上有实实在在的收获，让每个学生都能在就近发展区得到最大收获。 学法： “教法为学法导航，学法是教法的缩影”在本节课的学习过程中，我主要指导学生掌握以下的学习方法：
9.1.1 不等式及其解集 ◆回顾归纳 1．用______号连接起来表示不等关系的式子叫______式． 2．要使不等式成立的未知数的值叫做______的解；?能使不等式成立的未知数的______，叫做不等式的解的_______，简称解集． 3．含有_____个未知数，未知数的次数是______的不等式叫做一元一次不等式． ◆课堂测控 知识点一用不等号表示不等关系或列不等式 1．用“>”、“<”号填空． （1）0_____3；（2）-15____6；（3）7+2____5+3；（4）│x│+1_____0． 2．把下列叙述用不等式表示： （1）x+3是负数：___________;（2）x-5大于7：____________; （3）a是正数：_____________;（4）a不等于b+5：__________. 3．下列不等关系中，正确的是（） A．a不是负数表示为a>0; B．x不大于5可表示为x>5 C．x与1的和是非负数可表示为x+1>0; D．m与4的差是负数可表示为m-4<0 4．（教材变式题）比较下列几个算式结果大小．（在横线上选填“>”、“<”或“=”）（1）42+32_____2×4×3 （2）（-2）2+12_____2×（-2）×1 （3）（3 4 ）2+（- 2 3 ）2_____2× 3 4 ×（- 2 3 ） （4）22+22______2×2×2 通过观察归纳，请写出反映这种现象的一般规律．
知识点二不等式及不等式的解集 5．-5，-3，-1，0，1 2 ，1，4中是不等式5x>0的解是______． 6．当x=-2时，下列不等式不成立的是（） A．x-5<-6 B．1 2 x+2>0 C．3+2x>6 D．2（x-2）<-7 7．在数学表达式①-3<0；②4x+3y>0；③x=3；④x2+xy+y2；⑤x≠5；⑥x+2>y+3中，?不等式有（） A．1个 B．3个 C．4个 D．5个 8．（阅读理解题）若（n-2）x23 n-+5>0是关于x的一元一次不等式，则n=_____．小亮的解答如下： ∵（n-2）x23 n-+5>0是关于x的一元一次不等式． ∴n2-3=1 ① ∴n2=4 ② ∴n=±2 ③ 上述过程中，有无错误，错在_____步，原因是_______，请写出正确的解答过程． ◆课后测控 1．用不等号填空： （1）-π_____-3；（2）a2_____0；（3）│x│+│y│_____│x+y│； （4）（-5）÷（-1）_____（-6）÷（-7）；（5）当a_____0时，│a│=-a． 2．满足不等式-3≤x<2的整数有______． 3．在△ABC中，a，b，c为三边长，则a+b，a，│a-b│的大小关系为_____． 4．下列不等式是一元一次不等式的是（）