2005年全国高中数学联合竞赛加试试卷及答案

二○○五年全国高中数学联合竞赛 加试试题参考答案及评分标准

说明：

1． 评阅试卷时，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分。

2． 如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准

适当划分档次评分，10分为一个档次，不要再增加其他中间档次。

一、（本题满分50分）

如图，在ABC ?中，设AB AC >，过A 作ABC ?的外接圆的切线l .又以A 为圆心,AC 为半径作圆分别交线段AB 于D;交直线l 于E 、F.

证明：直线DE 、DF 分别通过ABC ?的内心与一个旁心。（注：与三角形的一边及另两边的延长线均相切的圆称为三角形的旁切圆，旁心圆的圆心称为旁心）

证明：（１）先证DE 过ABC ?的内心. 如图，连DE 、DC ，作BAC ∠的平分线分别交DE 于I 、DC 于G ， 连IC ，则由AD AC =，得AG DC ⊥，ID IC =.10 分

又D 、C 、E 在A 上，1

2

IAC DAC IEC ∴∠=∠=∠，∴A 、I 、C 、E 四点共圆，CIE CAE ABC ∴∠=∠=∠，而2CIE ICD ∠=∠，

1

.20

2

ICA ABC ∴∠=∠ 分

11

90,.

22

30AIC IGC ICG ABC ACI ACB I ABC ∴∠=∠+∠=?+∠∴∠=∠∴? 为的内心。分

（2）再证DF 过ABC ?的一个旁心。

连FD 并延长交ABC ∠的外角平分线于１Ｉ，连B BI 11

II 、I、，由（1）知，I 为内心，1190,IBI EDI D ∴∠=?=∠∴、B 、1I 、I 四点共圆，

1111

90(),22BII BDI ADI BAC ADG ADI BAC IDG ∠=∠=?-∠=∠+∠-∠=∠+∠

A ∴、I 、1I 共线。150I ABC BC ∴? 是的边外的旁心，分

二、（本题满分50分）

设正数a 、b 、c 、x 、y 、z 满足;;.cy bz a az cx b bx ay c +=+=+=

求函数222

(,,

)

111x y z f x y z x y z

=++

+++的最小值。

解：由条件得，()()()0b az cx b c bx ay c a cy bz a +-++--+-=，即22220,bcx a b c +--=

2222b c a x bc +-∴=，同理，得222222

,.1022a c b a b c y z ac ab

+-+-=

= 分 a 、b 、c 、x 、y 、z 为正数，据以上三式知，222222222,,,b c a a c b a b c +>+>+>故以

a 、

b 、

c 为边长，可构成一个锐角三角形ABC ，cos ,cos ,cos x A y B z C ∴===，问题转化为：

在锐角ABC ?中，求函数222cos cos cos (cos ,cos ,cos )1cos 1cos 1cos A B C

f A B C A B C =+++++的最小值

.20 分

令cot ,cot ,cot ,u A v B w C ===则2,,,1,1()(),u v w R uv vw wu u u v u w +∈++=+=++且

21v +2()(),1()().30u v v

w w u w v w =+++=+

+ 分

222

322

cos 11cos 1u A u u u A

+∴==

=

=++

332

2

11(),2u u u u v u w =≥-+++同理，

2cos 1cos B B +3211(),2v v u v v w ≥-+++ 2cos 1cos C C

+32

11().402w w u w v w ≥-+++ 分

3333332

2

2

22222222211

()[()(2211

)()]().5022

u v v w u w f u v w u v w u uv v v vw

u v v w u w w u uw w uv vw uw +++∴≥++-++=++--++-+++++-+=++= 分

（取等号当且仅当,u v w ==此时，min 11

,),[(,,)].22

a b c x y z f x y z =====∴= 注：若考生直接令,x y z ==得答案min 1

(,,),2

f x y

z =则只给10分。 三、（本题满分50分）

对每个正整数n ,定义函数0()n f n n ??

=???

当为平方数，当不为平方数。（其中[x ]表示不超过x 的最大

整数，{}[]x x x =-）。试求：

240

1

()k f k =∑的值。

解：对任意a 、,k N +∈若22(1),

k a k <<+则212,a k k ≤-≤

,01,

k θθ=+

<<则

222

1

221k k k

a k a k a k

θθ

+=

=

==<+---，22[].k a k ∴=-让a 跑遍区间 2

2

(,(1))k k +中的所有整数，则{}

2221(1)12[][]k

i k a k k

a i =<<+=∑∑，

于是

2

(1)21

11

2()[

]n n k

a k i k

f a i

+====∑

∑∑ ① 20 分 下面计算

21

2[

]k

i k

i

=∑：画一张22k k ?的表，第i 行中，凡是i 的倍数处填写“*”号，则这行的“*”号共[2k i ]个，全表的“*”号共21

2[]k

i k i =∑个；另一方面，按列收集“*”号数：第j 列中，若j 有()

j T 个正因数，则该列便有()j T 个“*”号，故全表的“*”号个数共21()k j j =T ∑个，因此2211

2[]()k

k

i j k

j i ===T ∑∑。

示例如下：

则

2

(1)21

11

()()[(1)(2)](1)[(3)(4)][(21)(2)]n n

k

a k j f a j n n n n +====T =T +T +-T +T ++T -+T ∑

∑∑

②

由此，

2

1615

1

1

()(16)[(21)(2)]k k f k k k k ===-T -+T ∑∑ ③ 30 分

记(21)(2),1,2,15,k a k k k =T -+T = 易得k a 的取值情况如下：

因此，

256

15

1

1

()(16)783k

k k f k k a

===-=∑∑ ④40 分

据定义2(256)(16)0,f f ==又当{}241,

242,255k ∈ ，设215(1630)k r

r =+≤≤，

15153130r r ==<<，

30

31

12r r

≤<<

<，

则{}1,241,242,,255k

=∈ ⑤，从而240

1

()783k f k ==-∑256

1

()78315768.50

k f k ==-=∑ 分

各省高中数学竞赛预赛试题汇编

2012各省数学竞赛汇集

目录 1.2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷------第3页 2. 20XX年高中数学联赛湖北省预赛试卷（高一年级）---第7页 3. 20XX年高中数学联赛湖北省预赛试卷（高二年级）---第10页 4. 20XX年高中数学联赛陕西省预赛试卷------第16页 5. 20XX年高中数学联赛上海市预赛试卷------第21页 6. 20XX年高中数学联赛四川省预赛试卷------第28页 7. 20XX年高中数学联赛福建省预赛试卷（高一年级）---第35页 8. 20XX年高中数学联赛山东省预赛试卷---第45页 9. 20XX年高中数学联赛甘肃省预赛试卷---第50页 10. 20XX年高中数学联赛河北省预赛试卷---第55页 11. 20XX年高中数学联赛浙江省预赛试卷---第62页 12. 20XX年高中数学联赛辽宁省预赛试卷---第72页 13. 20XX年高中数学联赛新疆区预赛试卷（高二年级）---第77页 14. 20XX年高中数学联赛河南省预赛试卷（高二年级）---第81页 15. 20XX年高中数学联赛北京市预赛试卷（高一年级）---第83页

2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷 一、填空题（70分） 1、当[3,3]x ∈-时，函数3()|3|f x x x =-的最大值为__18___. 2、在ABC ?中，已知12,4,AC BC AC BA ?=?=-则AC =___4____. 3、从集合{}3,4,5,6,7,8中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为_____ 3 10 _______. 4、已知a 是实数，方程2(4)40x i x ai ++++=的一个实根是b （i 是虚部单位），则||a bi +的值 为_____5、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线:C 221124 x y -=的右焦点为F ，一条过原点O 且倾斜角 为锐角的直线l 与双曲线C 交于 ,A B 两点.若FAB ?的面积为，则直线的斜率为 ___ 1 2 ____. 6、已知a 是正实数，lg a k a =的取值范围是___[1,)+∞_____. 7、在四面体ABCD 中，5AB AC AD DB ====,3BC =,4CD =该四面体的体积为 _____8 、 已 知 等 差 数 列 {} n a 和等比数列 {} n b 满足：1123, 7,a b a b +=+=334415,35,a b a b +=+=则n n a b += ___ 132n n -+___. （* n N ∈） 9、将27,37,47,48,557175， ，这7个数排成一列，使任意连续4个数的和为3的倍数，则这样的排列有___144_____种. 10、三角形的周长为31，三边,,a b c 均为整数，且a b c ≤≤，则满足条件的三元数组(,,)a b c 的个数为__24___. 二、解答题（本题80分，每题20分） 11、在ABC ?中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，证明：

高中数学竞赛模拟试题一汇总

高中数学竞赛模拟试题一 一 试 （考试时间：80分钟 满分100分） 一、填空题（共8小题，5678=?分） 1、已知,点(,)x y 在直线23x y += 上移动,当24x y +取最小值时,点(,)x y 与原点的距离是 。 2、设()f n 为正整数n （十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如 ()22212312314 f =++=。记 1()() f n f n =， 1()(()) k k f n f f n +=， 1,2,3... k =，则 =)2010(2010f 。 3、如图，正方体1 111D C B A ABCD -中，二面角 1 1A BD A --的度数 是 。 4、在2010,,2,1 中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是 。 5、若正数c b a ,,满足 b a c c a b c b a +- +=+，则c a b +的最大值是 。 6、在平面直角坐标系xoy 中，给定两点(1,2)M -和(1,4)N ，点P 在X 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标是 。 7、已知数列...,,...,,,210n a a a a 满足关系式18)6)(3(1=+-+n n a a 且30=a ，则∑=n i i a 01 的值是 。 8、函数sin cos tan cot sin cos tan cot ()sin tan cos tan cos cot sin cot x x x x x x x x f x x x x x x x x x ++++=+++++++在(,)2 x o π∈时的最 小值为 。

二、解答题（共3题，分44151514=++） 9、设数列}{n a 满足条件：2,121==a a ，且 ,3,2,1(12=+=++n a a a n n n ) 求证：对于任何正整数n ，都有：n n n n a a 111+≥+ 10、已知曲线m y x M =-22:，0>x ，m 为正常数．直线l 与曲线M 的实轴不垂直，且依次交直线x y =、曲线M 、直线x y -=于A 、B 、C 、D 4个点，O 为坐标原点。 （1）若||||||CD BC AB ==，求证：AOD ?的面积为定值； （2）若BOC ?的面积等于AOD ?面积的3 1，求证：||||||CD BC AB == 11、已知α、β是方程24410()x tx t R --=∈的两个不等实根，函数=)(x f 1 22 +-x t x 的定义域为[,]αβ. （Ⅰ）求);(min )(max )(x f x f t g -= （Ⅱ）证明：对于) 2 ,0(π∈i u )3,2,1(=i ，若1sin sin sin 321=++u u u ，则 64 3 )(tan 1)(tan 1)(tan 1321<++u g u g u g . 二 试 （考试时间：150分钟 总分：200分） 一、（本题50分）如图， 1O 和2 O 与 ABC ?的三边所在的三条直线都相 切，,,,E F G H 为切点，并且EG 、FH 的 延长线交于P 点。 求证：直线PA 与BC 垂直。 二、（本题50分）正实数z y x ,,，满 足 1≥xyz 。证明： E F A B C G H P O 1。 。 O 2

高中数学竞赛试题

1．高中数学竞赛试题 ◇1986年上海高中数学竞赛试题 ◇1987年上海高中数学竞赛试题 ◇1987年上海市黄埔区高中数学选拔赛试题 ◇1988年上海市高一数学竞赛试题.doc ◇1988年上海高中数学竞赛试题 ◇1989年上海高中数学竞赛试题 ◇1990年上海高中数学竞赛试题 ◇1991年上海高中数学竞赛试题 ◇1992年上海高中数学竞赛试题 ◇1993年上海高中数学竞赛试题 ◇1994年上海高中数学竞赛试题 ◇1995年上海高中数学竞赛试题 ◇1996年上海高中数学竞赛试题 ◇1997年上海高中数学竞赛试题 ◇1998年上海高中数学竞赛试题 ◇1999年上海高中数学竞赛试题 ◇1999年上海市高中数学竞赛试题.doc ◇2000年上海高中数学竞赛试题 ◇2000年上海市高中数学竞赛试题.doc ◇2001年上海高中数学竞赛试题 ◇2002年上海市高中数学竞赛.doc ◇2003年上海高中数学竞赛试题 ◇杭州市第7届"求是杯"高二数学竞赛 ◇杭州市第8届"求是杯"高二数学竞赛 ◇北京市海淀区第9届高二数学竞赛团体赛 ◇北京市海淀区第10届高二数学竞赛团体赛 ◇北京市海淀区第11届高二数学竞赛团体赛 ◇1986年杭州市高中数学竞赛第二试试题 ◇1990年四川省高中数学竞赛一试试卷 ◇1991年四川省高中数学联合竞赛决赛试题 ◇1992年四川省高中数学联合竞赛决赛试题 ◇1996河北省高中数学联合竞赛 ◇1999年河北省高中数学竞赛试题 ◇2000年锦州市“语数外”三科联赛高一数学试题.doc ◇2000年创新杯数学竞赛高一初赛试卷.doc ◇2000年上海市中学生业余数学学校高一招生试题.doc ◇2000年河北省高中数学竞赛试卷.doc ◇2000年温州市高二数学竞赛 ◇2001年锦州市“语数外”三科联赛高二数学竞赛试题◇2001年温州市高一数学竞赛试卷.wps

高中数学知识应用竞赛试题

高中数学知识应用竞赛试题 1、（满分15分）《中华人民共和国个人所得税法》第十四条中有下表： 后的余额。例如某人月工资、薪金收入1220元，减除1000元，应纳税所得额就是220元，应缴纳个人所得税11元。 （1）请写出月工资、薪金的个人所得y关于收入额x（0

甲方案：从北京出发飞往美国纽约，再从纽约飞往圣地亚哥。 乙方案：从北京出发飞往澳大利亚的弗里曼特尔，再从弗里曼特尔飞往圣地亚哥。 为简单起见，我们把北京的地理位置粗略地认为是：东经120度，北纬40度；纽约的地理位置大致是：西经70度，北纬40度；澳大利亚的弗里曼特尔的地理位置大致位置是：东经120度，南纬30度：智利的圣地亚哥的地理位置大致是：西经70度，南纬30度。假设飞行航线走的都是球面距离，请你比较这两种方案哪一个飞行距离更短些？说明理由。 4、（满分15分）用车床加工某种圆柱形零件，是在圆柱形零件的轴旋转和车刀直线运动的过程中切削完成的。我们把零件放置一周车刀沿零件轴线所移动的距离称走刀量，把刀刃切削零件的深度称为吃刀深度。现在要把长800mm，直径为10mm的轴的一端加工成长为400mm，直径为8mm的轴，如图所示。 已知走刀量是0.1mm，吃刀深度是0.2mm，轴的转速是每分钟800转；工人从车床上卸下一根加工好的轴，再装上一根待加工的轴需要10秒钟；每位工人每天的有效工作时间是7.55小时。 某车间有12台车床，24名工人，现要在5天内完成加工1980个这种零件。如果加工零件过程中其余操作时间忽略不计，请你提供一个能够按时完成任务的生产方案，并说明理由。 5、（满分20分）某县地处水乡，县政府原计划从今年起填湖围造一部分生产用地。但根据前几年抗洪救灾的经验教训和环境保护、生态平衡的要求，准备重新研究修改计划。为了寻求合理的计划方案，需要研究以下问题：（1）若按原计划填湖造地，水面的减少必然导致蓄水能力的下降。为了保证防洪能力不会下降，除了填湖费用外，还需要增加排水设

2018年全国各省高中数学竞赛预赛试题汇编(含答案) 精品

2018各省数学竞赛汇集 2018高中数学联赛江苏赛区初赛试卷 一、填空题（70分） 1、当[3,3]x ∈-时，函数 3()|3|f x x x =-的最大值为__18___. 2、在ABC ?中，已知12,4,AC BC AC BA ?=?=-则AC =___4____. 3、从集合 {}3,4,5,6,7,8中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为 _____ 3 10 _______. 4、已知a 是实数，方程2 (4)40x i x ai ++++=的一个实根是b （i 是虚部单位） ，则 ||a bi +的值为_____5、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线:C 22 1124 x y -=的右焦点为F ，一条过原点O 且 倾斜角为锐角的直线l 与双曲线C 交于,A B 两点.若FAB ?的面积为，则直线的斜 率为___1 2 ____. 6、已知a 是正实数，lg a k a =的取值范围是___[1,)+∞_____. 7、在四面体ABCD 中，5AB AC AD DB ====,3BC =,4CD =该四面体的 体积为_____8 、 已 知 等 差 数 列 {} n a 和等比数列 {} n b 满足： 11223,7,a b a b +=+=334415,35,a b a b +=+=则n n a b +=___132n n -+___. （* n N ∈） 9、将27,37,47,48,557175， ，这7个数排成一列，使任意连续4个数的和为3的倍数，则这样的排列有___144_____种. 10、三角形的周长为31，三边,,a b c 均为整数，且a b c ≤≤，则满足条件的三元数组 (,,)a b c 的个数为__24___.

高中数学奥林匹克竞赛的解题技巧(上中下三篇)

奥林匹克数学的技巧（上篇） 有固定求解模式的问题不属于奥林匹克数学，通常的情况是，在一般思维规律的指导下，灵活运用数学基础知识去进行探索与尝试、选择与组合。这当中，经常使用一些方法和原理（如探索法，构造法，反证法，数学归纳法，以及抽屉原理，极端原理，容斥原理……），同时，也积累了一批生气勃勃、饶有趣味的奥林匹克技巧。在2-1曾经说过：“竞赛的技巧不是低层次的一招一式或妙手偶得的雕虫小技，它既是使用数学技巧的技巧，又是创造数学技巧的技巧，更确切点说，这是一种数学创造力，一种高思维层次，高智力水平的艺术，一种独立于史诗、音乐、绘画的数学美。” 奥林匹克技巧是竞赛数学中一个生动而又活跃的组成部分。 2-7-1 构造 它的基本形式是：以已知条件为原料、以所求结论为方向，构造出一种新的数学形式，使得问题在这种形式下简捷解决。常见的有构造图形，构造方程，构造恒等式，构造函数，构造反例，构造抽屉，构造算法等。 例2-127 一位棋手参加11周（77天）的集训，每天至少下一盘棋，每周至多下12盘棋，证明这棋手必在连续几天内恰好下了21盘棋。 证明：用n a 表示这位棋手在第1天至第n 天（包括第n 天在内）所下的总盘数（1,2,77n =…），依题意 127711211132a a a ≤<<≤?=… 考虑154个数： 12771277,,,21,21,21a a a a a a +++…,? 又由772113221153154a +≤+=<，即154个数中，每一个取值是从1到153的自然数，因而必有两个数取值相等，由于i j ≠时，i i a a ≠ 2121i j a a +≠+ 故只能是,21(771)i j a a i j +≥>≥满足 21i j a a =+ 这表明，从1i +天到j 天共下了21盘棋。 这个题目构造了一个抽屉原理的解题程序，并具体构造了154个“苹果”与153个“抽屉”，其困难、同时也是精妙之处就在于想到用抽屉原理。 例 2-128 已知,,x y z 为正数且()1xyz x y z ++=求表达式()()x y y z ++的最最小值。 解：构造一个△ABC ，其中三边长分别为a x y b y z c z x =+??=+??=+? ，则其面积为 1?== 另方面2()()2sin x y y z ab C ?++==≥ 故知，当且仅当∠C=90°时，取值得最小值2，亦即222()()()x y y z x z +++=+

二十一届北京高中数学知识应用竞赛获奖名单

第二十一届北京高中数学知识应用竞赛获奖名单 一等奖（100名） 姓名性别学校年级姓名性别学校年级尤纪帆女首师大附中高二邱亦文女北京二中高二刘宇轩女首师大附中高二周钰斌男北京十五中高二李怡婷女朝阳外国语学校高二包涛尼男民大附中高二王沐烑女北京二中高二王一丁男牛栏山一中高二孙亦非男北京五中高一尹子朔男陈经纶中学高二张雨桥男北京八中高二沈畅男北京铁二中高一邓瀚辰男汇文中学高二刘曦瑞男北京八中高二潘乐怡女北京八中高一王波添男清华附中高二曲天泽男北京二中高二柳一欣女北京二中高二陈思蕊女北京十二中高二梁一栋男北京五十七中高二李宁政男陈经纶中学高二蔡恒屹男潞河中学高二辛宇正男陈经纶中学高二谭励彦男十一学校高二王筱男北京四中高二孙文杰女北京四中高二李济泽男景山学校高二董思尧男北京五中高一王燕杰男北京四中高二刘韫滕男民大附中高二李江皓男民大附中高二陈辰男景山学校高一贺禹杰男北京四中高二程锐杰男北京八中高一姚智铭男北京八中高一席浩诚男北京八中高一沈靖开男民大附中高二罗睿韬男北京九中高二杨天昊男北京一七一中高二王若晨女北京四中高一周浩男北京二中高二赵博熙男北京四中高一王震男北京二中高二都欣然女朝阳外国语学校高二刘心怡女北师大附中高一熊开元女清华附中高二刘宇轩男民大附中高一朱函琪男首师大附中高二刘发源男民大附中高二唐子涵女北京一六一中高二许一先男北京八十中高一桂子轩男北京十九中高一马欣仪女北京二中高一李藩女北京一零一中高二陆子恒男汇文中学高二王思雨女北京一七一中高二周永斌男民大附中高二蒋涵锐男八一学校高一刘逸洋女牛栏山一中高二金志扬男北京八中高一钱成男清华附中高一刘宇时男北京二中高一董子奇女北京四中高二王晨奥女北京二中高二何凯男北京五中高二马成男北京一零一中高二王秭祺男北京五中高一任悦妍女北京一七一中高二罗瑞辰男北京一六一中高二李原草男民大附中高二马礼骞男陈经纶中学高二汪之钧男大兴一中高二涂腾男景山学校高二周思耘女首师大附中高二杜鹏程男中关村中学高一张艺涵女北京四中高一阳超然男北京八十中高二于知衡男北理工附中高一付思成男北京二中高一向柯帆男民大附中高二何宜珊女北京一零一中高一王观嵘男北京二中高一康博睿男民大附中高二孙琢璠女北京五中高二韩明夏男北京十五中高一杨晨鹭女北京一七一中高二安宇佳女昌平二中高二张怡淼女牛栏山一中高二

高中数学竞赛试题汇编八《圆锥曲线》

【2012四川】设M 是以F 为焦点的抛物线24y x =上的动点，则MO MF 的最大值是 (A) 3 (B) 3 (C) 43 (D) 答案：B 【2013黑龙江】设12,F F 分别是双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点，若双曲线右 支上存在一点P ，使() 220OP OF F P +?=u u u r u u u u r u u u u r ，O 为原点，且12PF =u u u r u u u r ，则该双曲线的离心率是 (A) (B) 1 (C) (D) 答案：B 【2012江西】椭圆22 22153 x y +=的内接正方形面积是 答案 45017 . 【2011江西】以抛物线2y x =上的一点M （1,1）为直角顶点，作抛物线的两个内接直角三角形△MAB 和△MCD ，则线段AB 与CD 的交点E 坐标是 答案(1,2)-. 【2013全国】点A ，B 在抛物线2 4y x =上满足4OA OB ?=-u u u r u u u r ， O 为坐标原点，F 为焦点，则OFA OFB S S ???= 答案2.

【2013辽宁】椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，斜率为1且过点M （b ，0）的直线与椭圆交于A ，B 两点，设O 为坐标原点，若125 OA OB ?=-u u u r u u u r ，则该椭圆的方程是 答案22 1164 x y +=. 【2013吉林】椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的四个顶点A,B,C,D 若菱形ABCD 的内切圆半 径等于椭圆焦距的6 ，则椭圆的离心率是 答案 2 【2011新疆】已知O,F 分别为抛物线的顶点和焦点，PQ 为过焦点F 的弦， |OF|=a,|PQ|=b ， 求△OPQ 的面积. 答案略 【2013山东】椭圆22 143 x y +=的内接平行四边形的一组对边分别过椭圆的焦点12,F F ，求该平行四边形面积的最大值. 答案略 【2012辽宁】设不过原点O 的直线l 与椭圆2 214 x y +=交于,P Q 两点，且直线OP 、PQ 、OQ 的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围. 答案略

2018全国高中数学联赛试题

2018年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷） 一、填空题：本大题共 8小题，每小题 8分，共64分． 1.设集合{1,2,3,,99}A = ，{2}B x x A =∈，{2}B x x A =∈，则B C 的元素个数 . 解析：因为{1,2,3,,99}A = ，所以{2,4,6,,198}B = ,{1,2,3,,49}C = ,于是 {2,4,6,,48}B C = ，共24个元素. 2.设点P 到平面α Q 在平面α上，使得直线PQ 与α所成角不小于30 且不大于60 ，则这样的点Q 所构成的区域的面积为 . 解析：过点P 作平面α的垂线，这垂足为O ，则点Q 的轨迹是以O 为圆心，分别以1ON =和3OM =为半径的扇环,于是点Q 所构成的区域的面积为21S S S =-= 9 8πππ-=. 3. 将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为,,,,,a b c d e f ，则abc def +是偶数的概率为 . 解析：（直接法）将1,2,3,4,5,6随机排成一行，共有6 6720A =种不同的排法，要使 abc def +为偶数，abc 为与def 同为偶数或abc 与且def 同为奇数. （1）若,,a b c 中一个偶数两个奇数且,,d e f 中一个奇数两个偶数. 共324种情形； （2）若,,a b c 中一个奇数两个偶数且,,d e f 中一个偶数两个奇数. 共324种情形； 共有648种情形.综上所述，abc def +是偶数的概率为 6489 72010 =. （间接法）“abc def +是偶数”的对立事件为“abc def +是偶数”， abc def +是偶数分成两种情况：“abc 是偶数且def 是奇数”或“abc 是奇数且def 是偶数”，每 P O M N α

2017高一数学竞赛试题

2017高一数学竞赛试题 导读：我根据大家的需要整理了一份关于《2017高一数学竞赛试题》的内容，具体内容：在我们的学习生活中，考试试卷的练习是我们的重要学习方式，我们应该认真地对待每一份试卷!下面是有我为你整理的2017高一数学竞赛试题，希望能够帮助到你!一、选择题：(本大... 在我们的学习生活中，考试试卷的练习是我们的重要学习方式，我们应该认真地对待每一份试卷!下面是有我为你整理的2017高一数学竞赛试题，希望能够帮助到你! 一、选择题：(本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的) 1.已知 , 为集合I的非空真子集，且 , 不相等，若，则 ( ) A. B. C. D. 2.与直线的斜率相等，且过点(-4,3)的直线方程为 () A. = 32 B. =32 C. =32 D. =-32 3. 已知过点和的直线的斜率为1，则实数的值为 ( ) A.1 B.2 C.1或4 D.1或2 4. 已知圆锥的表面积为6 ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为 ( ) A. B.2 C. D.

5. 在空间中，给出下面四个命题，则其中正确命题的个数为 () ①过平面外的两点，有且只有一个平面与平面垂直; ②若平面内有不共线三点到平面的距离都相等，则∥; ③若直线l与平面内的无数条直线垂直，则l; ④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两平行线; A.3 B.2 C.1 D.0 6. 已知函数定义域是，则函数的定义域是 ( ) A. B. C. D. 7. 直线在同一坐标系中的图形大致是图中的 ( ) 8. 设甲，乙两个圆柱的底面面积分别为，体积为，若它们的侧面积相等且，则的值是 ( ) A. B. C. D. 9.设函数，如果，则的取值范围是 ( ) A. 或 B. C. D. 或 10.已知函数没有零点，则实数的取值范围是 () A. B. C. D. 11.定义在R上的偶函数满足：对任意的，有 .则 ( ) A. B. C. D. 12. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各个面中，直角三角形的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.

【高中教育】最新高中数学奥林匹克竞赛训练题(206)

——教学资料参考参考范本——【高中教育】最新高中数学奥林匹克竞赛训练题（206） ______年______月______日 ____________________部门

第一试 一、填空题（每小题8分，共64分） 1。已知正整数组成等比数列，且则的最大值为 。 ()a b c a b c <<、、201620162016log log log 3,a b c ++=a b c ++ 2。关于实数的方程的解集为 。x 2 12sin 2222log (1sin )x x -=+- 3。曲线围成的封闭图形的面积为 。 2224x y y +≤ 4。对于所有满足的复数均有，对所有正整数，有，若 。 z i ≠z ()z i F z z i -= +n 1()n n z F z -=020162016,z i z =+=则 5。已知P 为正方体棱AB 上的一点，满足直线A1B 与平面B1CP 所成角 为，则二面角的正切值为 。1111ABCD A B C D -0 6011A B P C -- 6。已知函数，集合则A= 。 22 ()224,()2f x x x g x x x =+-=-+()()f x A x Z g x +?? =∈?? ?? 7。在平面直角坐标系中，P 为椭圆在第三象限内的动点，过点P 引圆的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，直线AB 与轴、轴分别交于点M 、 N ，则面积的最小值为 。 xOy 22 12516x y +=22 9x y +=x y OMN ? 8。有一枚质地均匀的硬币，现进行连续抛硬币游戏，规则如下：在抛掷的过程中，无论何时，连续出现奇数次正面后出现一次反面，则游戏停止；否则游戏继续进行，最多抛掷10次，则该游戏抛掷次数的数学期望为 。 二、解答题（共56分）

高中数学知识应用竞赛初赛试题及参考答案

高中数学知识应用竞赛初赛试题及参考答案 试题 一、窗户造型（满分15分） 《中学生数学》杂志2000年第一期的封面是一幅欧洲教堂的照片，它是一座哥特式的建筑。建筑物上有一 个窗户的造型如下图所示。图中弧AB和弧AC分别是以C和B为圆心BC长为半径的圆弧．☉、☉ 和☉两两相切，并且☉、☉与弧AB相切，☉、☉与弧AC相切，☉、☉的 半径相等．如果使☉、☉充分大，记BC的长度为a，请你计算出☉的半径，并给出这个圆的作法． 二、买房贷款（满分20分） 根据中国人民银行颁布的《个人住房贷款管理办法》（第十一条）“借款人应和贷款银行制定还本付息计划，贷款期限在一年以上的，按月归还贷款本息”的规定，为方便贷款银行操作和选择，中国人民银行具体规定了个人住房贷款的两种按月还本付息的办法，允许借款人和贷款银行在双方商议的基础上做出选择． 第一种办法是等额本息还款法，其还款方式已经在1999年第三届北京高中数学知识应用竞赛初赛试题的第3题中作了介绍，并要求给出月均还款额、还款总额和利息负担总和的计算公式．按照这些公式不难算出，一个人如果从银行得到买房贷款40万元，计划20年还清贷款，按规定贷款的年利率应为5.58％（折合月利率4.65％。），这时贷款人的月均还款额应为0.27696万元，还款总额为66.4717万元，利息负担总和为26.4717万元． 第二种办法是等额本金还款法（又叫等本不等息还款法），指在贷款期间内，每月除了要还清当月贷款的利息外，还要以相等的额度偿还贷款的本金．这样一来，每月偿还的贷款的利息将随本金的减少而逐月递减．因此称之为等本不等息还款法．如果这个贷款人选择了等额本金还款法在20年内偿还他所借的40万元贷款，他只需要偿还本息总合62.413万元，其中利息负担的总合为22.413万元，比前一种还款方法少支

高中数学竞赛试题汇编七《直线与圆》

高中数学竞赛试题汇编七《直线与圆》 一、知识清单 1. 求轨迹方程的步骤：建(系),设(点),限(制条件),代(入坐标),化(简). 2．直线方程的几种形式：一般/点斜/斜截/截距/两点式. 3．l 1//l 2的充要条件是k 1=k 2；l 1l 2的充要条件是k 1k 2=-1。 4．两点P 1(x 1, y 1)与P 2(x 2, y 2)间的距离公式：|P 1P 2|=221221)()(y y x x -+-。 5．点P(x 0, y 0)到直线l: Ax+By+C=0的距离公式：2200| |B A C By Ax d +++=。 6．圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2；圆的一般方程：x 2+y 2+Dx+Ey+F=0(D 2+E 2-4F>0) 圆的参数方程为?? ?+=+=θ θsin cos r b y r a x 【2010黑龙江】与圆()2221x y -+=相切，且在两坐标轴上截距相等的直线有 (A) 2条 (A) 3条 (A) 4条 (A) 6条 答案：选C 【2010浙江】设P 是圆22 36x y +=上的动点，A （20,0）线段PA 的中点M 的轨迹方程为 . 答案：()22109x y -+=. 【2010黑龙江】已知22 1a b +=，且c a b <+恒成立，则c 的取值范围是 (A) (,2)-∞- (B) (,-∞ (C) ( (D) (-∞ 答案：选B 【2012河北】已知点P 是直线40kx y ++=，PA ，PB 是圆C: 2220x y y +-=的两条切线，A 、B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为 .

2019年度高一数学奥林匹克竞赛决赛试题及答案解析

2019年**一中高一数学竞赛奥赛班试题（决赛） 及答案 （时间：5月16日18：40～20：40） 满分：120分 一、 选择题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分） 1．已知 M =},13|{},,13|{},,3|{Z n n x x P Z n n x x N Z n n x x ∈-==∈+==∈=，且 P c N b M a ∈∈∈,,，设c b a d +-=，则∈d （ ） A. M B. N C. P D.P M 2.函数()1 42-+ =x x x x f 是（ ） A 是偶函数但不是奇函数 B 是奇函数但不是偶函数 C 既是奇函数又是偶函数 C 既不是奇函数也不是偶函数 3.已知不等式m 2 ＋(cos 2 θ－5)m ＋4sin 2 θ≥0恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A . 0≤m ≤4 B . 1≤m ≤4 C . m ≥4或x ≤0 D . m ≥1或m ≤0 4.在△ABC 中，c b a ,,分别是角C B A ,,所对边的边长，若 0sin cos 2sin cos =+- +B B A A ，则 c b a +的值是（ ） A.1 B.2 C.3 C.2 5. 设 0a b >>, 那么 2 1 () a b a b + - 的最小值是 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6．设ABC ?的内角A B C ,,所对的边,,a b c 成等比数列，则B C B A C A cos tan sin cos tan sin ++的取值范围是 （ ） A. (0,)+∞ B. C. D. )+∞． 二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分） 7.母线长为3的圆锥中，体积最大的那一个的底面圆的半径为 8．函数| cos sin |2sin )(x x e x x f ++=的最大值与最小值之差等于 。

高中数学知识应用竞赛试题及参考答案.doc

高中数学知识应用竞赛试题及参考答案 试题 1、（满分汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前没行一段距离才能停住。我们称这段距离为“刹车距离”。刹车距离是分析事故的一个重要的因素。在一个限速为40千米/时的路段上，先后有A、B 两辆汽车发生交通事故。事故后，交通警察现场测得A车的刹车距离超过12米，不足15米，B车的刹车距离超过11米，不足12米。又知A、B两种车型的刹车距离S（米）与车速x（千米/时）之间有如下关系： 如果仅仅考虑汽车的车速因素，哪辆车应负责任？ 2.（满分北京电视台每星期六晚播出《东芝动物乐园》，在这个节目中曾经有这样一个抢答题：小晰蜴体长15cm，体重15g,问：当小晰蜴长到体长为时，它的体重大约是多少（选择答案：25g,35g,40g）?尝试用数学分析出合理的解答。 3. （满分受日月的引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐。在通常的情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋。下面是某港口顺某季节每天的时间与水深关系表： (1)请在坐标纸上，根据表中的数据，用连续曲线描出时间与水深关系的函数图像； （2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5的安全间隙（船底与洋底的距离），问该船何时能进入港口？在港口能呆多久？ （3）若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2:00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？ 4．（满分末，某商家迎来店庆，为了吸引顾客，采取“满一百送二十，连环送”的酬宾方式，即顾客在店内花钱满100元（这100元可以是现金，也可是奖励券，或二者合计），就送励券；满，就送40元奖励券，满300元，就送60元奖励券；...。当日，花钱最多的一顾客用现金70000元，如果按照酬宾方式，

最新全国各省高中数学竞赛预赛试题汇编

2012各省数学竞赛汇集 目录 1.2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷- 2. 2012年高中数学联赛湖北省预赛试卷（高一年级） 3. 2012年高中数学联赛湖北省预赛试卷（高二年级） 4. 2012年高中数学联赛陕西省预赛试卷 5. 2012年高中数学联赛上海市预赛试卷 6. 2012年高中数学联赛四川省预赛试卷 7. 2012年高中数学联赛福建省预赛试卷（高一年级） 8. 2012年高中数学联赛山东省预赛试卷 9. 2012年高中数学联赛甘肃省预赛试卷- 10. 2012年高中数学联赛河北省预赛试卷 11. 2012年高中数学联赛浙江省预赛试卷 12. 2012年高中数学联赛辽宁省预赛试卷页 13. 2012年高中数学联赛新疆区预赛试卷（高二年级） 14. 2012年高中数学联赛河南省预赛试卷（高二年级） 15. 2012年高中数学联赛北京市预赛试卷（高一年级） 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢1

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2 2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷 一、填空题（70分） 1、当[3,3]x ∈-时，函数3()|3|f x x x =-的最大值为_____. 2、在ABC ?中，已知12,4,AC BC AC BA ?=?=-则AC =_______. 3、从集合{}3,4,5,6,7,8中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为____________. 4、已知a 是实数，方程2(4)40x i x ai ++++=的一个实根是b （i 是虚部单位），则||a bi +的值为________. 5、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线:C 221124 x y -=的右焦点为F ，一条过原点O 且倾斜角 为锐角的直线l 与双曲线C 交于,A B 两点.若FAB ? 的面积为_______. 6、已知a 是正实数，lg a k a =的取值范围是________. 7、在四面体ABCD 中，5AB AC AD DB ====,3BC =,4CD =该四面体的体积为 ____________. 8 、 已 知 等 差 数 列 {} n a 和等比数列 {} n b 满足： 11223,7,a b a b +=+=334415,35,a b a b +=+=则n n a b +=______. 9、将27,37,47,48,557175， ，这7个数排成一列，使任意连续4个数的和为3的倍数，则这样的排列有________种. 10、三角形的周长为31，三边,,a b c 均为整数，且a b c ≤≤，则满足条件的三元数组(,,)a b c 的个数为____. 二、解答题（本题80分，每题20分） 11、在ABC ?中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，证明： （1）cos cos b C c B a += （2） 2 2sin cos cos 2 C A B a b c += +

高中数学奥林匹克竞赛中的不变量技巧

数学奥林匹克竞赛中的不变量技巧 在一个变化的数学过程中常常有个别的不变元素或特殊的不变状态，表现出相对稳定的较好性质，选择这些不变性作为解题的突破口是一个好主意。 例1.从数集{}3,4,12开始，每一次从其中任选两个数,a b ，用345 5 a b -和435 5 a b +代替它们，能否通过有限多次代替得到数集{}4,6,12。 解：对于数集{},,a b c ，经过一次替代后，得出3 443,,5 5 5 5a b a b c ??-+???? ， 有2222223443()()5555 a b a b c a b c -+++=++ 即每一次替代后，保持3个元素的平方和不变（不变量）。 由22222234124612++≠++知，不能由{}3,4,12替换为{}4,6,12。 例2.设21n +个整数1221,,,n a a a +…具有性质p ；从其中任意去掉一个，剩下的2n 个数可以分成个数相等的两组，其和相等。证明这2n+1个整数全相等。 证明：分三步进行，每一步都有“不变量”的想法： 第一步 先证明这2n+1个数的奇偶性是相同的 因为任意去掉一个数后，剩下的数可分成两组，其和相等，故剩下的2n 个数的和都是偶数，因此，任一个数都与这2n+1个数的总和具有相同的奇偶性； 第二步 如果1221,,,n a a a +…具有性质P ，则每个数都减去整数c 之后，仍具有性质P ，特别地取1c a =，得21312110,,,,n a a a a a a +---… 也具有性质P ，由第一步的结论知，2131211,,,n a a a a a a +---…都是偶数； 第三步 由21312110,,,,n a a a a a a +---…为偶数且具有性质P ，可得 31 211210, ,,,222 n a a a a a a +---… 都是整数，且仍具有性质P ，再由第一步知，这21n +个数的奇偶性相同，为偶数，所以都除以2后，仍是整数且具有性质P ，余此类推，对任意的正整数k ，均有 31 211210, ,,,222n k k k a a a a a a +---…为整数，且具有性质P ，因k 可以任意大，这就推得 21312110n a a a a a a +-=-==-=…即 1221n a a a +===…。

第二十届北京高中数学知识应用竞赛获奖名单

第二十届北京高中数学知识应用竞赛获奖名单 一等奖（88名） 姓名性别年级学校姓名性别年级学校 林左男高二朝阳外国语学校房捷轩男高一北京一零一中周梦怡女高一北京五中李滟蔚女高一人大附中 张诗雯女高一汇文中学何凯男高一北京五中 黄天行男高一汇文中学杨浥文女高一北京二中 王思雯女高二首师大附中石玉峰男高三东直门中学 邓凌浩男高二民大附中谭励彦男高一十一学校 张子研男高一海淀进校附属实验学校李聪睿女高一北京八十中 刘向北男高一首师大附属回龙观育新学校彭江祎男高二北京十二中 许文灏女高二北京一七一中赵嘉莹女高一北京五中 孙弘业男高二牛栏山一中许轩卓男高二密云二中 刘云鹏男高二北大附中刁畅女高二牛栏山一中 臧玉喆男高二北京一七一中蔡亚伦男高一北京二中 刘雨航男高二十一学校秦梦陶女高一清华附中 王奕然男高一北师大附中孟雨凡男高二八一学校 岳璞阳男高一北京十五中张凯风男高一汇文中学 郑晏陶男高一北京二中李雪桐男高一北京五中 昕琦男高二民大附中陈瀚玮男高二牛栏山一中 屠俊天男高二北京五中张一清男高一北京一七一中冯一辰男高一北方交大附中余诗跃男高一中关村中学 付博文男高一民大附中简捷女高一京源学校 权衡男高二朝阳外国语学校周昊辰男高二北京三十五中郭世圆男高二北京一零一中夏铭轩男高二朝阳外国语学校陈冬宇男高一北京二中赵云男高一京源学校 杜懿中男高二北京一七一中李宗泽男高一北师大附中 李祥泽男高二北京二中张宇伦男高二北京一零一中宋心仪女高二北京二中程诗灏男高一北京八十中 邱亦文女高一北京二中陈柏健男高二昌平二中 李天琦男高一景山学校王斌男高二昌平二中 贾泓翰男高二密云二中张朴哲男高二牛栏山一中 魏英暄女高二民大附中史天依男高二大峪中学 李修凡男高二大兴一中李润男高一北京五十七中刘鹿鸣男高一北京四中朱玥华女高二北师大实验中学刘孟琦女高三东直门中学徐沛然男高一北京二中 袁慧华女高二北师大实验中学胡凌女高一人大附中 关美格女高一北京八中王右葭女高一北京四中 姜腾男高二北师大实验中学高楚琪女高二北京二中 张博然男高一人大附中胡茗智男高一民大附中 曹广川男高二牛栏山一中范一凡女高一朝阳外国语学校尹子朔男高一陈经纶中学李国盛男高一汇文中学 吴英图男高二北师大附属良乡中学王子睿涵女高三东直门中学 闫朔男高二延庆一中袁佳音女高二牛栏山一中 李怡然女高二大兴一中郑佳怡女高二牛栏山一中 李博文男高二北京二中刘天启男高二朝阳外国语学校唐仡夫男高一东直门中学侯东良男高二北京一七一中

全国各省高中数学竞赛预赛试题汇编(含答案)

2012各省数学竞赛汇集 2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷 一、填空题（70分） 1、当[3,3]x ∈-时，函数 3()|3|f x x x =-的最大值为__18___. 2、在ABC ?中，已知12,4,AC BC AC BA ?=?=-u u u r u u u r u u u r u u u r 则AC =___4____. 3、从集合{}3,4,5,6,7,8中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为_____310 _______. 4、已知a 是实数，方程2(4)40x i x ai ++++=的一个实根是b （i 是虚部单位） ，则 ||a bi +的值为_____5、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线:C 22 1124 x y -=的右焦点为F ，一条过原点O 且 倾斜角为锐角的直线l 与双曲线C 交于,A B 两点.若FAB ?的面积为，则直线的斜 率为___12 ____. 6、已知a 是正实数，lg a k a =的取值范围是___[1,)+∞_____. 7、在四面体ABCD 中，5AB AC AD DB = ===,3BC =,4CD =该四面体的 体积为____________. 8、已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足：11223,7,a b a b +=+=334415,35,a b a b +=+=则n n a b +=___132n n -+___.（* n N ∈） 9、将27,37,47,48,557175， ，这7个数排成一列，使任意连续4个数的和为3的倍数，则这样的排列有___144_____种. 10、三角形的周长为31，三边,,a b c 均为整数，且a b c ≤≤，则满足条件的三元数组(,,)a b c 的个数为__24___.