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北京市2017届高三数学文一轮复习专题突破训练:平面向量

北京市2017届高三数学文一轮复习专题突破训练:平面向量
北京市2017届高三数学文一轮复习专题突破训练:平面向量

北京市2017届高三数学文一轮复习专题突破训练

平面向量

一、选择、填空题

1、(2016年北京高考)已知向量=a b ,则a 与b 夹角的大小为_________.

2、(2014年北京高考)已知向量()2,4a =,()1,1b =-,则2a b -=( )

(A )()5,7 (B )()5,9 (C )()3,7 (D )()3,9

3、(2016年全国I 卷高考)设向量a =(x ,x +1),b =(1,2),且a ⊥b ,则x = .

4、(2016年全国II 卷高考)已知向量a =(m ,4),b =(3,-2),且a ∥b ,则m =___________.

5、(2016年天津高考)已知△ABC 是边长为1的等边三角形,点E D ,分别是边BC AB ,的中点,连接DE 并延长到点F ,使得EF DE 2=,则AF BC ?的值为( )

(A )85- (B )81 (C )41 (D )811

6、(东城区2016届高三二模)已知向量(cos ,sin )OA ββ=,将向量OA 绕坐标原点O 逆时针旋转θ角得到向量OB (090)θ<<,则下列说法不正确的是

(A )OA OB OA OB +>-

(B )2AB <(C )OA OB OA OB +=- (D )()()OA OB OA OB +⊥-

7、(丰台区2016届高三一模)已知△ABC 中,AB =4,AC =3,∠CAB=90o ,则BA BC ?=__________

8、(海淀区2016届高三二模)已知向量(1,2),=a (2,)t =b , 且0?=a b ,则=|b |

B. C. D.5

9、(石景山区2016届高三一模)如图所示,已知正方形ABCD 的边长为1,点E 从D 点出发,按字母顺序D A B C →→→沿线段DA ,AB ,BC 运动到C 点,在此过程中DE CD ?的最大值是( )

A .0

B .12

C .1

D .1-

10、(西城区2016届高三二模)设平面向量,a b 满足||||2==a b ,()7?+=a a b ,则向量,a b 夹角的余弦值为_____.

11、(昌平区2016届高三二模)如图,在正方形ABCD 中, 4,AD =E 为DC 上一点,且3DE EC =,则AB AE ?=

A .20 B. 16

C. 15

D. 12

D C

A

12、(朝阳区2016届高三二模)已知向量(1,2)=a ,向量(2,)m =b ,若+a b 与a 垂直,则实数m 的值为 .

13、(丰台区2016届高三上学期期末)已知向量(3,-4)a =,(,)b x y =,若a //b ,则

(A )340x y -= (B )340x y += (C )430x y += (D )430x y -=

14、(海淀区2016届高三上学期期末) 如图, 正方形ABCD 中,E 为DC 的中点,若

AE AB AC λμ=+,

则λμ+的值为

A.12

B. 12

- C. 1 D.1-

15、(海淀区2016届高三上学期期中)在中,∠A 60°,||2,||1,则的值为

A .

B .-

C .1

D .-1

16、(西城区2016届高三上学期期末)设M 是ABC ?所在平面内一点,且BM MC =,则AM =( )

(A )AB AC - (B )AB AC + (C )1()2AB AC - (D )1()2

AB AC + 17、(石景山区2016届高三上学期期末)已知向量()3,4a →=-,()m b ,1=→,若()0a a b →→→?-=,则=m ___________

18、(延庆区2016届高三3月模拟)平面直角坐标系xOy 中,已知向量(1,2)a =,1(3,1)2

a b -=,则a b ?= ;

二、解答题 1、已知R ∈x ,设)c o s s i n ,c o s 2(x x x m += ,)cos sin ,sin 3(x x x n -= ,记函数n m x f ?=)(.

(1)求函数)(x f 取最小值时x 的取值范围;

(2)设△ABC 的角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若2)(=C f ,3=c ,求△ABC 的面积S 的最大值.

2、已知两个向量()()2221log ,log ,log ,1a x x b x =+=r r

(1)若a b ⊥r r ,求实数x 的值;

(2)求函数1(),,24f x a b x ??=?∈????

r r 的值域。

3、已知向量)0)(1,(cos ),cos ,sin 3(2>=-=ωωωωx x x ,把函数21)(+?=n m x f 化简为B tx A x f ++=)sin()(?的形式后,利用“五点法”画)(x f y =在某一个周期内的图像时,列表并填入的部分数据如下表所示:

平面向量历年高考题汇编难度高

数 学 平面向量 平面向量的概念及其线性运算 1.★★(2014·辽宁卷L) 设a ,b ,c 是非零向量,已知命题p :若a ·b =0,b ·c =0,则a ·c =0,命题q :若a ∥b ,b∥c ,则a∥c ,则下列命题中真命题是 ( ) A .p ∨q B .p ∧q C .)()(q p ?∧? D .)(q p ?∨ 2.★★(·新课标全国卷ⅠL) 已知A ,B ,C 为圆O 上的三点,若AO →=12(AB →+AC →),则AB → 与AC → 的夹角为________. 3.★★(2014·四川卷) 平面向量a =(1,2),b =(4,2),c =m a +b (m ∈R ),且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角,则m =( ) A .-2 B .-1 C .1 D .2 4. ★★ (2014·新课标全国卷ⅠW)设D 、E 、F 分别为△ABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点,则=+FC EB ( ) A . B. 21 C. D. 2 1 5. ★★(2014福建W)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点,O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点,则OD OC OB OA +++等于 ( ) A .OM B. OM 2 C. OM 3 D. OM 4 6. ★★(2011浙江L )若平面向量,αβ满足1,1a β=≤,且以向量,αβ为邻边的 平行四边形的面积为 1 2 ,则α与β的夹角θ的取值范围是 。 7. ★★(2014浙江 L )记,max{,},x x y x y y x y ≥?=?

(完整word版)高三一轮复习平面向量复习优秀教案

平面向量 第一课时 平面向量的概念 【重要知识】 知识点一:向量的概念 既有大小又有方向的量叫向量。 注意数量与向量的区别:数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小; 向量有方向,大小,双重性,不能比较大小. 知识点二:向量的表示法 ①用有向线段表示; ②用字母a、b (黑体,印刷用)等表示;①用有向线段表示; ③用有向线段的起点与终点字母:AB ; ④向量的大小――长度称为向量的模,记作||. 知识点三:有向线段 (1)有向线段:具有方向的线段就叫做有向线段,三个要素:起点、方向、长度. (2)向量与有向线段的区别: ①向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相同,则这两个向量就是相同的向量; ②有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是不同的有向线段. 知识点四:两个特殊的向量 (1)零向量:长度为0的向量叫零向量,记作0r . 0r 的方向是任意的. 注意0r 与0的含义与书写区别. (2)单位向量:长度为1个单位长度的向量,叫单位向量. 说明:零向量、单位向量的定义都只是限制了大小。 知识点五:平行向量、共线向量 (1) 定义:方向相同或相反的非零向量叫平行向量。 (2) 规定:规定0r 与任一向量平行. (3)共线向量与平行向量关系:平行向量就是共线向量,这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关). 说明:①综合(1)、(2)才是平行向量的完整定义; ②向量,,a b c r r r 平行,记作a r ∥b r ∥c r ③平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系; ④共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关系. 知识点六:相等向量

高三第二轮复习平面向量复习专题

数学思维与训练 高中(三) ------------向量复习专题 向量思想方法和平面向量问题是新考试大纲考查的重要部分,是新高考的热点问题。题型多为选择或填空题,向量作为中学数学中的一个重要工具在三角、函数、解几、立几等问题解决中处处闪光。最近几年的考试中向量均出现在解析几何题中,在解析几何的框架中考查向量的概念和方法、考查向量的运算性质、考查向量几何意义的应用,并直接与距离问题、角度问题、轨迹问题等相联系。 附Ⅰ、平面向量知识结构表 1. 考查平面向量的基本概念和运算律 此类题经常出现在选择题与填空题中,主要考查平面向量的有关概念与性质,要求考生深刻理解平面向量的相关概念,能熟练进行向量的各种运算,熟悉常用公式及结论,理解并掌握两向量共线、垂直的充要条件。 1.(北京卷) | a |=1,| b |=2,c = a + b ,且c ⊥a ,则向量a 与b 的夹角为 ( ) A .30° B .60° C .120° D .150° 2.(江西卷·理6文6) 已知向量 ( ) A .30° B .60° C .120° D .150° 3.(重庆卷·理4)已知A (3,1),B (6,1),C (4,3),D 为线段BC 的中点,则向 量与 的夹角为 ( C ) A . B . C . D .- 4.(浙江卷)已知向量≠,||=1,对任意t ∈R ,恒有| -t |≥| -|,则 ( ) 向量 向量的概念 向量的运算 向量的运用 向量的加、减法 实数与向量的积 向量的数量积 两个向量平行的充要条件两个向量垂直的充要条件 定比分点公式 平移公式 在物理学中的应用 在几何中的应用

平面向量一轮复习建议

平面向量单元复习教学建议 滨州实验中学王清娥 发言日期:2020年3月24日

尊敬的各位老师,大家好!非常荣幸能在这里和大家交流我对《平面向量》这一单元的复习看法,不当之处,敬请批评指正! 一、本单元近五年全国卷I 高考试题统计分析 年份 题号 分数 题型 考查内容 2015 文2 5 选择题 平面向量的坐标运算,减法的三角形法则 理7 5 选择题 平面向量的线性运算,相等向量和相反向量、共线向量等概念 201 6 文13 5 填空题 用平面向量数量积的坐标运算表示垂直 理13 5 填空题 平面向量的模的坐标运算、数量积的性质 2017 文13 5 填空题 两平面向量的加法、数量积坐标运算,向量的垂直(与16年文雷同) 理13 5 填空题 平面向量的数量积运算、模及夹角 2018 文7 5 选择题 同一题。平面向量的线性运算,相等向量和相反向量、共线向量等概念(与15年理科第7题同出一辙) 理6 5 选择题 2019 文8 5 选择题 同一题。平面向量的模、夹角,垂直的条件,数量积的运算律 理7 5 选择题 二、本单元在全国I 卷中的地位和作用 从上表中的统计分析可以看出,平面向量这一单元在高考中是每年的必考内容,它承载着对数学基本运算能力的考查。但是考查注重基础,无论是选择题还是填空题,题号都比较靠前,题目相对比较简单,占分比重也不大(5分),应该是学生比较容易得分的题目,也可以说是送分题。但是如果在教学中老师要求落实不到位,学生对基本概念不理解,基本公式记忆不准确,就会“大意失荆州”,即便出题老师有意送分,也会有不少学生“不领情”而拒收。这就要求我们在一轮复习中,必须从基础知识入手,稳扎稳打,确保该题不丢分。 三、本单元的典型试题类型及解题方法、策略 题型1. 以平面几何为背景的线性运算 (18年理)6. 在ABC ?中,AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,则=EB ( ) A .AC A B 4143- B . A C AB 4341- C . AC AB 4143+ D . AC AB 4 341+ (先由题意画出图形) 解法1:AC AB AC AB AB AD AB AE AB EB 4 143)(4121-=+-=-=-=

高考数学平面向量专题卷(附答案)

高考数学平面向量专题卷(附答案) 一、单选题(共10题;共20分) 1.已知向量,则=() A. B. C. 4 D. 5 2.若向量,,若,则 A. B. 12 C. D. 3 3.已知平面向量,,且,则=() A. B. C. D. 4.已知平面向量、,满足,若,则向量、的夹角为() A. B. C. D. 5.在中,的中点为,的中点为,则() A. B. C. D. 6.已知平面向量不共线,且,,记与的夹角是,则最大时, () A. B. C. D. 7.在中,,AD是BC边上的高,则等于() A. 0 B. C. 2 D. 1 8.已知,则的取值范围是() A. [0,1] B. C. [1,2] D. [0,2] 9.已知向量,的夹角为,且,则的最小值为() A. B. C. 5 D. 10.已知椭圆:上的三点,,,斜率为负数的直线与轴交于,若原点是的重心,且与的面积之比为,则直线的斜率为()

A. B. C. D. 二、填空题(共8题;共8分) 11.在平面直角坐标系xOy中,已知A(0,﹣1),B(﹣3,﹣4)两点,若点C在∠AOB的平分线上,且 ,则点C的坐标是________. 12.已知单位圆上两点满足,点是单位圆上的动点,且,则 的取值范围为________. 13.已知正方形的边长为1,,,,则________. 14.在平面直角坐标系中,设是函数()的图象上任意一点,过点向直线 和轴作垂线,垂足分别是,,则________. 15.已知为锐角三角形,满足,外接圆的圆心为,半径为1,则的取值范围是________. 16.设是边长为的正六边形的边上的任意一点,长度为的线段是该正六边形外接圆的一条动弦,则的取值范围为________. 17.设的外接圆的圆心为,半径为2,且满足,则 的最小值为________. 18.如图,在中,,点,分别为的中点,若,,则 ________. 三、解答题(共6题;共60分) 19.的内角,,所对的边分别为,,.向量与平行.(Ⅰ)求; (Ⅱ)若,求的面积. 20.在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),已知点,点是曲线上任意一点,点为的中点,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.

高三数学平面向量一轮复习.

第七章平面向量 1.理解向量的概念,掌握向量的几何表示,了解共线向量的概念. 2.掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律. 3.掌握实数与向量的积的运算法则及运算律,理解两个向量共线的充要条件. 4.了解平面向量基本定理,理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算. 5.掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. 6.掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式,并且能熟练运用;掌握平移公式. 向量由于具有几何形式与代数形式的“双重身份”,使它成为中学数学知识的一个交汇点,成为多项内容的媒介. 主要考查: 1.平面向量的性质和运算法则,共线定理、基本定理、平行四边形法则及三角形法则.2.向量的坐标运算及应用. 3.向量和其它数学知识的结合.如和三角函数、数列、曲线方程等及向量在物理中的应用.4.正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变形的能力.以化简、求值或判断三角形的形状为主.解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明. 第1课时向量的概念与几何运算 1.向量的有关概念

⑴ 既有 又有 的量叫向量. 的向量叫零向量. 的向量,叫单位向量. ⑵ 叫平行向量,也叫共线向量.规定零向量与任一向量 . ⑶ 且 的向量叫相等向量. 2.向量的加法与减法 ⑴ 求两个向量的和的运算,叫向量的加法.向量加法按 法则或 法则进行.加法满足 律和 律. ⑵ 求两个向量差的运算,叫向量的减法.作法是将两向量的 重合,连结两向量的 ,方向指向 . 3.实数与向量的积 ⑴ 实数λ与向量的积是一个向量,记作λ.它的长度与方向规定如下: ① | λ |= . ② 当λ>0时,λ的方向与的方向 ; 当λ<0时,λ的方向与的方向 ; 当λ=0时,λ . ⑵ λ(μ)= . (λ+μ)= . λ(+b )= . ⑶ 共线定理:向量b 与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ使得 . 4.⑴ 平面向量基本定理:如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线的向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数1λ、2λ,使得 . ⑵ 设1e 、2e 是一组基底,=2111e y e x +,=2212e y e x +,则与共线的充要条件是 . 例1 .已知△ABC 中,D 为BC 的中点,E 为AD 的中点.设=,b AC =,求. 解:=-=4 1(+)-=- 43+4 1 变式训练1.如图所示,D 是△ABC 边AB 上的中点,则向量等于( ) A .-+2 1 B .--21 C .-21 D .+BA 21 解:A

2014届高考数学一轮复习精品题集之平面向量

第2章 平面向量 §2.1向量的概念及其表示 重难点:理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念,会表示向量,掌握平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系. 考纲要求:①了解向量的实际背景. ②理解平面向量的概念及向量相等的含义. ③理解向量的几何表示. 经典例题:下列命题正确的是( ) A.a与b共线,b与c共线,则a与c 也共线 B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点 C.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量 D.有相同起点的两个非零向量不平行 当堂练习: 1.下列各量中是向量的是 ( ) A.密度 B.体积 C.重力 D.质量 2下列说法中正确的是 ( ) A. 平行向量就是向量所在的直线平行的向量 B. 长度相等的向量叫相等向量 C. 零向量的长度为零 D.共线向量是在一条直线上的向量 3.设O 是正方形ABCD 的中心,则向量AO 、OB 、CO 、OD 是 ( ) A .平行向量 B .有相同终点的向量 C .相等的向量 D .模都相同的向量 4.下列结论中,正确的是 ( ) A. 零向量只有大小没有方向 B. 对任一向量,||>0总是成立的 C. ||AB =|| D. ||AB 与线段BA 的长度不相等 5.若四边形ABCD 是矩形,则下列命题中不正确的是 ( ) A. AB 与共线 B. 与BD 相等 C. 与 是相反向量 D. 与模相等 6.已知O 是正方形ABCD 对角线的交点,在以O ,A ,B ,C ,D 这5点中任意一点为起点,另一点为终点的所有向量中, (1)与BC 相等的向量有 ;

(2)与OB 长度相等的向量有 ; (3)与DA 共线的向量有 . 7.在①平行向量一定相等;②不相等的向量一定不平行;③共线向量一定相等;④相等向量一定共线;⑤长度相等的向量是相等向量;⑥平行于同一个向量的两个向量是共线向量中,不正确的命题是 .并对你的判断举例说 明 . 8.如图,O 是正方形ABCD 对角线的交点,四边形OAED ,OCFB 都是正方形,在图中所示的向量中: (1)与AO 相等的向量有 ; (2)写出与AO 共线的向有 ; (3)写出与AO 的模相等的有 ; (4)向量AO 与CO 是否相等?答 . 9.O 是正六边形ABCDE 的中心,且OA a = ,OB b = ,AB c = ,在 以A ,B ,C ,D ,E ,O 为端点的向量中: (1)与a 相等的向量有 ; (2)与b 相等的向量有 ; (3)与c 相等的向量有 10.在如图所示的向量a ,b ,c ,d ,e 中(小正方形的边长为1), 是否存在: (1)是共线向量的有 ; (2)是相反向量的为 ; (3)相等向量的的 ; (4)模相等的向量 . 11.如图,△ABC 中,D ,E ,F 分别是边BC ,AB ,CA 的中点,在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为端点的有向线段中所表示的向量中, (1)与向量FE 共线的有 . O A B C D E F

历年平面向量高考试题汇集学习资料

历年平面向量高考试 题汇集

高考数学选择题分类汇编 1.【2011课标文数广东卷】已知向量a =(1,2),b =(1,0),c =(3,4).若λ为实 数,(a +λb)∥c ,则λ=( ) A.14 B .1 2 C .1 D .2 2.【2011·课标理数广东卷】若向量a ,b ,c 满足a ∥b 且a ⊥c ,则c·(a +2b)=( ) A .4 B .3 C .2 D .0 3.【2011大纲理数四川卷】如图1-1,正六边形ABCDEF 中,BA →+CD →+EF →= ( ) A .0 B.BE → C.AD → D.CF → 4.【2011大纲文数全国卷】设向量a ,b 满足|a|=|b|=1,a·b =-1 2,则|a +2b|=( ) A. 2 B. 3 C. 5 D.7 . 5.【2011课标文数湖北卷】若向量a =(1,2),b =(1,-1),则2a +b 与a -b 的夹角等于( ) A .-π4 B.π6 C.π4 D.3π4 6.【2011课标理数辽宁卷】若a ,b ,c 均为单位向量,且a·b =0,(a -c)·(b -c)≤0,则|a +b -c|的最大值为( ) A.2-1 B .1 C. 2 D .2 【解析】 |a +b -c|=(a +b -c )2=a 2+b 2+c 2+2a·b -2a·c -2b·c ,由于a·b =0,所以上式=3-2c·(a +b ),又由于(a -c)·(b -c)≤0,得(a +b)·c ≥c 2=1,所以|a +b -c|=3-2c·(a +b )≤1,故选B. 7.【2011课标文数辽宁卷】已知向量a =(2,1),b =(-1,k),a·(2a -b)=0,则k =( ) A .-12 B .-6 C .6 D .12

高三一轮复习平面向量知识点整理

平面向量知识点整理 1、概念 (1)向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. (2)单位向量:长度等于1个单位的向量. (3)平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 提醒: ①相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定相等; ②两个向量平行与两条直线平行是不同的两个概念:两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合; ③平行向量无传递性!(因为有零向量) ④三点A 、B 、C 共线 AC AB 、 共线 (4)相等向量:长度相等且方向相同的向量. (5)相反向量:长度相等方向相反的向量。a 的相反向量是-a (6)向量表示:几何表示法AB ;字母a 表示;坐标表示:a =xi+yj =(x,y). (7)向量的模:设OA a =,则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模,记作:||a . ( 2 2 2 222||,||a x y a a x y = +==+。 ) (8)零向量:长度为0的向量。a =O ?|a |=O . 【例题】1.下列命题:(1)若a b =,则a b =。(2)两个向量相等的充要条件是 它们的起点相同,终点相同。(3)若AB DC =,则ABCD 是平行四边形。(4)若 ABCD 是平行四边形,则AB DC =。 (5)若,a b b c ==,则a c =。(6)若//,//a b b c ,则//a c 。其中正确的是_______ (答:(4)(5)) 2.已知,a b 均为单位向量,它们的夹角为60,那么|3|a b +=_____ 13; 2、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点. ⑶三角形不等式:a b a b a b -≤+≤+. ⑷运算性质:①交换律:a b b a +=+;②结合律: ()()a b c a b c ++=++; ③00a a a +=+=. b a C B A a b C C -=A -AB =B

高考平面向量及其应用专题及答案 百度文库

一、多选题 1.下列说法中错误的为( ) A .已知(1,2)a =,(1,1)b =,且a 与a b λ+的夹角为锐角,则实数λ的取值范围是 5,3??-+∞ ??? B .向量1(2,3)e =-,213,24e ?? =- ??? 不能作为平面内所有向量的一组基底 C .若//a b ,则a 在b 方向上的投影为||a D .非零向量a 和b 满足||||||a b a b ==-,则a 与a b +的夹角为60° 2.已知ABC 的三个角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若cos cos A b B a =,则该三角形的形状是( ) A .等腰三角形 B .直角三角形 C .等腰直角三角形 D .等腰或直角三角形 3.在ABC 中,a ,b ,c 分别是内角A ,B ,C 2sin c A =,且 02 C << π ,4b =,则以下说法正确的是( ) A .3 C π = B .若72 c = ,则1cos 7B = C .若sin 2cos sin A B C =,则ABC 是等边三角形 D .若ABC 的面积是4 4.在ABC ?中,内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若,2,6 A a c π ===则角C 的大小 是( ) A . 6 π B . 3 π C . 56 π D . 23 π 5.已知点()4,6A ,33,2B ??- ??? ,与向量AB 平行的向量的坐标可以是( ) A .14,33?? ??? B .97,2?? ??? C .14,33??-- ??? D .(7,9) 6.ABC 中,2AB =,30ACB ∠=?,则下列叙述正确的是( ) A .ABC 的外接圆的直径为4. B .若4A C =,则满足条件的ABC 有且只有1个 C .若满足条件的ABC 有且只有1个,则4AC =

高考数学一轮复习 第四章 平面向量 4.1 平面向量的概念及线性运算

【步步高】(浙江通用)2017版高考数学一轮复习第四章平面向量 4.1 平面向量的概念及线性运算 1.向量的有关概念 名称定义备注 向量 既有大小又有方向的量;向量的大小叫 做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量零向量长度为0的向量;其方向是任意的记作0 单位向量长度等于1个单位的向量 非零向量a的单位向量为 ± a |a|平行向量方向相同或相反的非零向量 0与任一向量平行或共线共线向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共 线向量 相等向量长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等,不能 比较大小 相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量 运算 定义 法则 (或几何意义) 运算律加法求两个向量和的运算 (1)交换律: a+b=b+a; (2)结合律: (a+b)+c =a+(b+c) 减法 求a与b的相反向量- b的和的运算叫做a与 a-b=a+(-b)

b 的差 三角形法则 数乘 求实数λ与向量a 的积的运算 (1)|λa |=|λ||a |; (2)当λ>0时,λa 的 方向与a 的方向相同;当λ<0时,λa 的方向与a 的方向相反;当λ=0时,λa =0 (1)λ(μa )=(λμ)a ; (2)(λ+μ)a =λa +μa ; (3)λ(a +b )= λa +λb 3.共线向量定理 向量a (a ≠0)与b 共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使b =λa . 【知识拓展】 1.若P 为线段AB 的中点,O 为平面内任一点,则OP →=12 (OA →+OB → ). 2.若A 、B 、C 是平面内不共线的三点,则PA →+PB →+PC → =0?P 为△ABC 的重心. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)向量与有向线段是一样的,因此可以用有向线段来表示向量.( × ) (2)|a |与|b |是否相等与a ,b 的方向无关.( √ ) (3)若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c .( × ) (4)向量AB →与向量CD → 是共线向量,则A ,B ,C ,D 四点在一条直线上.( × ) (5)当两个非零向量a ,b 共线时,一定有b =λa ,反之成立.( √ ) (6)△ABC 中,D 是BC 中点,则AD →=12 (AC →+AB → ).( √ ) 1.给出下列命题:①零向量的长度为零,方向是任意的;②若a ,b 都是单位向量,则a =b ;③向量AB →与BA → 相等.则所有正确命题的序号是( ) A .① B .③ C .①③ D .①② 答案 A 解析 根据零向量的定义可知①正确;根据单位向量的定义可知,单位向量的模相等,但方向不一定相同,故两个单位向量不一定相等,故②错误;向量AB →与BA → 互为相反向量,故③错误. 2.如图所示,向量a -b 等于( )

(完整版)平面向量高考真题精选(一)

平面向量高考真题精选(一) 一.选择题(共20小题) 1.(2017?新课标Ⅱ)设非零向量,满足|+|=|﹣|则() A.⊥B.||=||C.∥D.||>|| 2.(2017?新课标Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则?(+)的最小值是() A.﹣2 B.﹣ C.﹣ D.﹣1 3.(2017?浙江)如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O,记I1=?,I2=?,I3=?,则() A.I1<I2<I3B.I1<I3<I2C.I3<I1<I2D.I2<I1<I3 4.(2017?新课标Ⅲ)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若=λ+μ,则λ+μ的最大值为() A.3 B.2 C.D.2 5.(2016?四川)已知正三角形ABC的边长为2,平面ABC内的动点P,M满足||=1,=,则||2的最大值是() A.B.C. D. 6.(2016?新课标Ⅱ)已知向量=(1,m),=(3,﹣2),且(+)⊥,则m=() A.﹣8 B.﹣6 C.6 D.8 7.(2016?天津)已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D、E分别是边AB、

BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则?的值为()A.﹣ B.C.D. 8.(2016?山东)已知非零向量,满足4||=3||,cos<,>=.若⊥(t+),则实数t的值为() A.4 B.﹣4 C.D.﹣ 9.(2016?四川)在平面内,定点A,B,C,D满足==,?=?=?=﹣2,动点P,M满足=1,=,则||2的最大值是() A.B.C. D. 10.(2016?新课标Ⅲ)已知向量=(,),=(,),则∠ABC=()A.30°B.45°C.60°D.120° 11.(2015?新课标Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点,,则()A.B. C.D. 12.(2015?新课标Ⅰ)已知点A(0,1),B(3,2),向量=(﹣4,﹣3),则向量=() A.(﹣7,﹣4)B.(7,4) C.(﹣1,4)D.(1,4) 13.(2015?四川)设向量=(2,4)与向量=(x,6)共线,则实数x=()A.2 B.3 C.4 D.6 14.(2015?山东)已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则=()A.﹣a2B.﹣a2C.a2 D.a2 15.(2015?四川)设四边形ABCD为平行四边形,||=6,||=4,若点M、N

高三一轮复习《平面向量公式和基本方法》

第四部分:平面向量公式和基本方法 平面向量是高一所学内容,这是一个比较有特点的知识,其在物理的“力的分解”上也有所涉及,高中数学 对于平面向量的考察形式主要有两方面:1)向量知识、公式相关题型的考察;2)结合三角函数出题或者出现在解析几何的条件中。 1、平面向量相关主要知识点 1)单位向量:长度为1的向量。若e 是单位向量,则||1e =| |a 同向的单位向量。 零向量:长度为0的向量。记作:0。【0方向是任意的,且与任意向量平行】。 相等向量:长度和方向都相同的向量。 平行向量(共线向量):方向相同或相反的向量。 相反向量:长度相等,方向相反的向量。AB BA =-。 2)向量的加减法: 三角形法则 AB BC AC +=;AB BC CD DE AE +++=;AB AC CB -=(指向被减数) ()()()12122211,,,,,y y x x AB y x B y x A --=? 平行四边形法则: 以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +,a b -。 (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那 条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段 就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法则.向量加法 的三角形法则可推广至多个向量相加: 3)共线(平行)定理://a b a b λ=?。当0λ>时,a b 与同向;当0λ<时,a b 与反向。 4)向量的模:若(,)a x y =,则2||a x y =+2 2||a a =,2||()a b a b +=+ 5)设()()2211,,,y x b y x a ==则: 数量积与夹角公式:||||cos a b a b θ?=?2121y y x x +=; cos |||| a b a b θ?= ?

高考数学-平面向量专题复习

平面向量 【考点例题解析】 考点1.共线定理应用 例一:平面向量→ →b a ,共线的充要条件是( ) A.→ →b a ,方向相同 B. → →b a ,两向量中至少有一个为零向量 C.存在,R ∈λ→ → =a b λ D.存在不全为零的实数0,,2121=+→ → b a λλλλ 变式一:对于非零向量→ →b a ,,“→→ →=+0b a ”是“→ →b a //”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 变式二:设→ →b a ,是两个非零向量( ) A.若→ → → → =+b a b a _则→→ ⊥b a B. 若→→⊥b a ,则→→→→=+b a b a _ C. 若→ →→→=+b a b a _,则存在实数λ,使得 → → =a b λ D 若存在实数λ,使得→ → =a b λ,则→ → → → =+b a b a _ 例二:设两个非零向量→ → 21e e 与,不共线, (1)如果三点共线;求证:D C A e e CD e e BC e e AB ,,,28,23,212121--=+=-= (2)如果三点共线, 且D C A e k e CD e e BC e e AB ,,,2,32,212121-=-=+=求实数k 的值。

变式一:设→ →21e e 与两个不共线向量,,2,3,2212121e e e e e k e -=+=+=若三点A,B,D 共线,求实数 k 的值。 变式二:已知向量→ →b a ,,且,27,25,2+=+-=+=则一定共线的三点是( ) A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D D.A,C,D 考点2.线段定比分点的向量形式在向量线性表示中的应用 例一:设P 是三角形ABC 所在平面内的一点,,2BA BC BP += 则( ) A. PB PA +=0 B. PA PC +=0 C. PC PB +=0 D. PB PA PC ++=0 变式一:已知O 是三角形ABC 所在平面内一点,D 为BC 边的中点,且OC OB OA ++=20,那么( )A. OD A =0 B. OD A 20= C. OD A 30= D. OD A =02 变式二:在平行四边形ABCD 中a AB =,b AD =,NC AN 3=,M 为BC 的中点,则=MN ( 用b a ,表示) 例二:在三角形ABC 中,c AB =,b AC =,若点D 满足DC BD 2=,则=AD ( ) A. ,3132+ B. ,3235- C. ,3132- D. ,3 2 31+

高三数学平面向量一轮复习资料

向量 一.知识清单 向量有关概念 1.有向线段: 叫做有向线段,它包含 三个要素 2.向量: 叫做向量 3.向量的长度(或模): 就是此向量的长度 4.向量的表示: 表示向量,如AB a 或 5.零向量: 叫做零向量,记作 0 6.单位向量: 叫做单位向量 7.平行向量: 叫做平行向量(也叫做共线向量)。如向量a 与b 平行(或共线),记作//a b 8.相等向量: 叫做相等向量。如果向量a 与b 相等,记作a =b 二.基础训练 1.在下列各命题中,真命题为( ) A 两个有共同起点且共线的向量,其终点必相同 B 模为0的向量与任一向量平行 C 向量就是有向线段 D a =b 是a b =的必要不充分条件 2.下列命题中,假命题是( ) A 向量AB 与向量BA 长度相等 B 两个相等向量若起点相同,则终点必相同 C 只有零向量的模等于0 D 共线的单位向量相等 3.已知下列命题:①a=b,b=c ,则a=c; ②若a//b,b//c 则a//c;③若a=b,则a//b; ④若a//b,则a=b.其中命题正确的序号是( ) A ①③ B ②③ C ④③ D ①② 4.在四边形AB CD中, AB DC =,且AB AD =,则四边形ABCD 是 5.如图,D 、 E 、 F 分别是ABC ?的三边BC 、CA 和AB 的中点,试写出: (1)与EF 平行的向量; (2)与EF 相等的向量;

三.强化训练 1.下列说法正确的是( ) A 方向相同或相反的向量是平行向量 B 零向量的长度是0 C 长度相等的向量叫相等向量 D 共线向量是在一条直线上的向量 2.下列命题中,真命题的个数为( ) ① 若a b =,则a =b 或a =b - ② 若AB DC =,则A 、B 、C 、D 是一个平行四边形的四个顶点 ③ 若a =b ,b c =,则a =c ④ 若//a b ,//b c ,则//a c A 4 B 3 C 2 D 1 3.下列命题,正确的是( ) A a b a b =?= B a b a b >?> C //a b a b =? D 00a a =?= 4.如图,ABCD 是边厂为3的正方形,把各边三等分后,共有1 6个交点,从中选取2个交点组成向量,则与AC 平行且长度为的向量个数是 A B C D B C D

高考数学第一轮复习精品试题:平面向量

高考数学第一轮复习精品试题:平面向量 必修4 第2章 平面向量 §2.1向量的概念及其表示 重难点:理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念,会表示向量,掌握平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系. 考纲要求:①了解向量的实际背景. ②理解平面向量的概念及向量相等的含义. ③理解向量的几何表示. 经典例题:下列命题正确的是( ) A.a与b共线,b与c共线,则a与c 也共线 B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点 C.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量 D.有相同起点的两个非零向量不平行 当堂练习: 1.下列各量中是向量的是 ( ) A.密度 B.体积 C.重力 D.质量 2下列说法中正确的是 ( ) A. 平行向量就是向量所在的直线平行的向量 B. 长度相等的向量叫相等向量 C. 零向量的长度为零 D.共线向量是在一条直线上的向量 3.设O 是正方形ABCD 的中心,则向量AO u u u r 、OB uuu r 、CO uuu r 、OD u u u r 是 ( ) A .平行向量 B .有相同终点的向量 C .相等的向量 D .模都相同的向量 4.下列结论中,正确的是 ( ) A. 零向量只有大小没有方向 B. 对任一向量a ,|a |>0总是成立的 C. ||=|BA | D. ||与线段BA 的长度不相等 5.若四边形ABCD 是矩形,则下列命题中不正确的是 ( ) A. 与CD 共线 B. AC 与相等 C. AD 与 CB 是相反向量 D. AB 与CD 模相等 6.已知O 是正方形ABCD 对角线的交点,在以O ,A ,B ,C ,D 这5点中任意一点为起点,另一点为终点的所有向量中, (1)与BC uuu r 相等的向量有 ; (2)与OB uuu r 长度相等的向量有 ; (3)与DA u u u r 共线的向量有 . 7.在①平行向量一定相等;②不相等的向量一定不平行;③共线向量一定相等;④相等向量一定共线;⑤长度相等的向量是相等向量;⑥平行于同一个向量的两个向量是共线向量中,不正确的命题是 .并对你的判断举例说

平面向量 高考专题复习

平面向量 专题 常考考点与核心问题 一 平面向量的性质与运算法则 理解向量的实际背景,向量的含义,掌握零向量、平行向量、共线向量、单位向量等等这些概念以及平面向量的基本定理。 平面向量的和,差,数乘,数量积的运算法则以及其几何意义。 注意:平面向量几何意义与数形结合思想的应用. 二 向量的坐标表示及其线性运算. 向量的坐标运算是代数与几何联系的桥梁,它融数形于一体,既具有代数形式,又具有几何形式.是中学数学知识的一个重要交汇点.常与平面几何,解析几何,三角函数等内容综合.复习时注意转化化归思想的应用. 三 定比分点 熟练掌握定比分点公式与中点公式 定比分点公式的几个表达形式: 设平面上A (x 1,y 1),P (x ,y ),B (x 2,y 2)三点共线,O 为平面上任意一点. ①λ= ②??? ???? ++=++=λ1λλ 1λ2121y y y x x x ③()OB t OA t OP -+=1

四 平面向量与其他知识的综合 1.向量与三角函数,注意正弦定理和余弦定理的使用和向量的几何意义 2.向量与函数,对向量的基本概念和运算要掌握 3.向量与解析几何 基础篇 1.(广东卷理) 一质点受到平面上的三个力1F ,2F ,3F (单位:牛顿)的作用而处于平衡状态.已知1F ,2F 成60°角,且1F ,2F 的大小分别为2和4,则3F 的大小为( ) A .6 B .2 C .52 D .72 考点:平面向量 规律方法:平面向量的运算法则,余弦定理 解析:由力的三角形原理,利用余弦定理 ()2860180cos 221222123=?-?-+=F F F F F ,所以723=F 答案:D 2.(优质真题宁夏海南卷理)已知O ,N ,P 在△ABC 所在平面内,且OA OB OC ==,0=++,且?=?=?,则点O ,N ,P 依次是△ABC 的( ) A .重心 外心 垂心 B .重心 外心 内心 C .外心 重心 垂心 D .外心 重心 内心 (注:三角形的三条高线交于一点,此点为三角型的垂心) 考点:平面向量的几何特点

平面向量 高三 一轮复习(完整版)

题记:向量由于具有几何形式与代数形式的“双重身份”,使它成为高中数学知识的一个交汇点,成为多项内容的媒 介. 一、平面向量的概念及其线性运算 【例1】判断下列命题的真假: 1、有向线段就是向量,向量就是有向线段; 2、非零向量a 与非零向量b 平行,则a 与b 的方向相同或相反; 3、向量AB →与向量CD → 共线,则A 、B 、C 、D 四点共线; 4、若向量a 与b 同向,且|a |>|b |,则a >b ; 5、若向量|a |=|b |,则a 与b 的长度相等且方向相同或相反; 6、对于任意向量|a |=|b |,且a 与b 的方向相同,则a =b ; 7、由于零向量0方向不确定,故0不能与任意向量平行; 8、起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量; 9、向量 与的长度相等; 10、两个相等向量若起点相同,则终点必相同; 11、只有零向量的模等于0; 12、共线的单位向量都相等; 13、向量 与是两平行向量; 14、与任一向量都平行的向量为向量; 15、若 AB =DC ,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形; 16、设O 是正三角形ABC 的中心,则向量 AB 的长度是OA 长度的3倍; 17、在坐标平面上,以坐标原点O 为起点的单位向量的终点P 的轨迹是单位圆; 18、凡模相等且平行的两向量均相等; 19、与共线的等价条件可以是存在一个实数λ,使=λ 或=λ; 20、设,,是任意的非零平面向量且互不共线,则a b a b +>+ 21、下列命题中:其中正确的是_____________ ① → →→→→ → → ?-?=-?c a b a c b a )(; ② → →→→ →→??=??c b a c b a )()(; ③ 2 () a b → → -2 ||a → =2 2||||||a b b → → → -?+; ④ 若0=?→ →b a ,则0=→ a 或0=→ b ; ⑤若,a b c b ?=? 则a c = ⑥22 a a = ; ⑦2a b b a a ?= ; ⑧222()a b a b ?=? ; ⑨222()2a b a a b b -=-?+ 二、平面向量平行定理(共线定理) (1)若//(0)a b b ≠? (2)若a b λ= 共线定理作用(1) (2) 【例2】设两个非零向量a 与b 不共线, (1) 若,28,3().AB a b BC a b CD a b =+=+=- 求证:A..B.D 三点共线; (2) 试确定实数k,使ka b + 和a kb + 共线。 【例3】已知向量a = 1)b =(0,-1),c =(k )。若2a b - 与c 共线,则k=__________。 三、直线的向量参数式方程 已知A,B 是直线l 上任意两点,O 是l 外一点,则对直线l 上任意一点P,存在实数t,使OP 关于基底{,OA OB }的分解 式为 此向量等式叫做直线l 的向量参数方程式,其中实数t 叫做参数,并且满足t =. 应用一:OB OA ,前面的系数之和为定值1 1.(2007·全国Ⅱ)在ABC △中,已知D 是AB 边上一点,若123 AD DB CD CA CB λ==+ ,,则λ=( )

高三数学平面向量专题复习

高三数学平面向量专题复习 一、选择题: 1.若r r |a -b|=r r |a|=4, |b|=5,则r r a与b 的数量积为 ( ) A .10 3 B .-10 3 C .10 2 D .10 2.若点P 分 AB 所成的比为 4 3 ,则A 分BP 所成的比是( ) A.73 B. 37 C.- 37 D.-7 3 3.若将向量r a =(2, 1)围绕原点按逆时针方向旋转π 4 得到向量b r ,则向量b r 的坐标为( ) A .) 2 23,22(-- B .)223,22( C .)22,223(- D .)2 2,223(- 4.在矩形ABCD 中,u u r u u r u u r u u r u u r u u r 设11AE =AB,BF =BC, AB =(a,0),AD =(0,b)22,当u u r u u r EF ⊥DE 时, |a| |b| 的值为 ( ) A .2 B .3 C .2 D .3 5.已知A (5,7),B (2,3),将u u r r AB a 按=(4,1)平移后的坐标为 ( ) A .(-3,-4) B .(-4,-3) C .(1,-3) D .(-3,1) 6.将函数 )(x f y =图象上的点P (1,0)平移至P ′(2,0),则经过这种平移后得到的新 函数的解析式为 ( ) A .y =f(x -1) B .y =f(x)-1 C .y =f(x +1) D .y =f(x)+1 7.设点P 分有向线段21P P 的比是λ,且点P 在有向线段21P P 的延长线上,则λ的取值范围是( ) A.(-∞,-1) B.(-1,0) C.(-∞,0) D.(-∞,-2 1 ) 8.已知02 =+?AB BC AB ,则△ABC 一定是 ( ) A .锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D .等腰直角三角形 9.若非零向量r r a,b 互相垂直,则下列各式中一定成立的是 ( ) A .r r r r a + b =a -b B .r r r r |a +b|=|a -b| C .r r r r (a +b)(a -b)=0 D .r r 2 (a -b)=0 10.设四边形ABCD 中,有DC =2 1 ,且||=|BC |,则这个四边形是( ) A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形 11.已知平行四边形的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(0,0),则它的第4个顶点D 的坐标是 A.(2a,b) B.(a-b,a+b) C.(a+b,b-a) D.(a-b,b-a) 12.将椭圆0716******* 2 =---+y x y x 按向量r a 平移,使中心与原点重合,则r a 的坐标为 ( ) A .(2,1) B .(-1,-2) C .(-1,2) D .(1,-2)

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