2016中考数学二轮复习-二次函数与一元二次方程的综合
第一讲：二次函数与一元二次方程的综合
内容
要求
中
考分值 考察类型 二次函
数与一元二次方程综合题
会根据二次函数的解析式求
其图象与坐标轴的交点坐标，
会确定图象的顶点、开口方向和对称轴；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 7
二次函数与一元二次方程
1. 熟练掌握二次函数的有关知识点
2. 掌握二次函数与一元二次方程的联系。
【例1】 在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y =（a －1）x 2
+2x +1与x 轴有交点，a 为正整数. （1）求a 的值.
（2）将二次函数y =（a －1）x 2
+2x +1的图象向右平移m 个单位，
例题精讲
方法策略
考试要求
y
x
1
1O
a ≠ …………
…………1分
即()
()2
2314210
a k --?-=，且2
-10
k
≠
=3
k
……………………3分 （2）∵二次函数与x 轴有两个交点，
∴
2-40
b a
c ＞，且
a ≠． ……………………４
分
即2
-30k （）＞，且±k ≠1．
当3k ≠且1k ≠±时，即可行．
∵A 、B 两点均为整数点，且k 为整数
∴1
2
2
2
-1+-3-1+-3-42====
-1-1-1+1
k k k k k x k k k k （3）（）342（）2（）2（）
2222-1--3-1-+3+21====
-1-1-1-1
k k k k k x k k k k （3）（）322（）2（）2（） (5)
分
当=0k 时，可使1
x ，2
x 均为整数，
∴当
=0
k 时，
A
、
B
两点坐标为
(-10)
，和
(20)
，……………………6分
【例3】 已知：关于x 的一元二次方程－x 2+(m +1)x +(m +2)=0（m ＞0）．
（1）求证：该方程有两个不相等的实数根； （2）当抛物线y =－x 2+(m +1)x +(m +2)经过点（3，0），
O y
x 求该抛物线的表达式；
（3）在（2）的条件下，记抛物线y =－x 2+(m +1)x +(m +2)
在第一象限之间的部分为图象G ，如果直线 y =k (x +1)+4与图象G 有公共点，请结合函数的图象，求直线y =k (x +1)+4与y 轴交点的纵坐标t 的取值范围．
（1）证明：∵ △= (m +1)2－4×(－1)×(m +2)
=(m +3)2. ………………………………
……………………………1分
∵ m ＞0，
∴ (m +3)2＞0， 即 △＞0，
∴ 原方程有两个不相等的实数
根. …………………………………2分 （2）解：∵ 抛物线抛物线y =－x 2+(m +1)x +(m +2)经过点（3，0），
∴ －
32+3(m +1)+(m +2)=0，………………………………………………3分
∴ m =1. ∴ y =－
x 2+2x +3. ………………………………………………………4分 （3）解：∵ y =－x 2+2x +3=－(x －1)2+4，
∴ 该抛物线的顶点为（1，4）.
∴ 当直线y =k (x +1)+4经过顶点（1，4）时， ∴ 4=k (1+1)+4，
∴ k =0， ∴ y =4.
∴ 此时直线y =k (x +1)+4与y 轴交点的纵坐标
为4. ………………………5分
∵ y =－x 2+2x +3， ∴ 当x =0时，y =3，
∴ 该抛物线与y 轴的交点为（0，3）.
∴ 此时直线y =k (x +1)+4与y 轴交点的纵坐标
为3. ………………………6分
∴ 3＜
t ≤4. …………………………………………………………………7分
【例4】 已知关于x 的一元二次方程
4)15(22=+++-m m x m x .
（1）求证：无论m 取何实数时，原方程总有两个实数根； （2）若原方程的两个实数根一个大于3，另一个小于8，求m 的取值范围； （3）抛物线
m
m x m x y --++-=224)15(与x 轴交于点A 、B （点A
在点B 的左侧），现坐标系内有一矩形OCDE ，如图11，点C （0，－5)，D （6，－5) ，E （6，0),当m 取第（2）问中符合题意的最小整数时，将此抛物线上下平移h 个单位，使平移后的抛物线与矩形OCDE 有两个交点，请结合图形写出h 的取值或取值范围（直接写出答案即可）．
.解：(1)证明： Δ=)
4(14)]15([22
m m m +??-+-………………1分
=1
692
++m m
=2
)13(+m
∵
2
)13(+m ≥0， ……………
…2分
∴ 无论m 取何实数时，原方程总有两个
实数根.
（2） 解关于x 的一元二次方程0
4)15(22
=+++-m m x m x
，
得
1
4,21+==m x m x . ………………3分
由题意得
??
?>+3
148
8143m m m m 或………………4分
解得
82
1
< 3） 5 =h 或 9 4-<<-h . ……………7分
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