登封二中高三2011—2012学年期中练习题(一)

登封二中高三2011—2012学年期中练习题（一）

文科数学

一、 选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。）

1．设i 是虚数单位，复数1＋a i 2－i 为纯虚数，则实数a 为( )

A ．2

B ．－2

C ．－12 D.1

2

2．若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( )

A ．－π4 B.π6 C.π4 D.3π4

3．已知U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，P ＝????

??

y |y ＝1x ，x >2，则?U P ＝( )

A.????12，＋∞

B.????0，12

C.()0，＋∞

D.(]－∞，0∪???

?1

2，＋∞ 4．若α∈????0，π2，且sin 2α＋cos2α＝1

4，则tan α的值等于( ) A.22 B.3

3

C. 2

D. 3 5．对于函数f (x )＝a sin x ＋bx ＋c (其中，a ，b ∈R ，c ∈Z )，选取a ，b ，c 的一组值计算f (1)和f (－1)，所得出的正确结果一定不可能是( )

A ．4和6

B ．3和1

C ．2和4

D ．1和2

6．已知函数f(x)＝???2x ， x ＞0

x ＋1，x≤0，若f(a)＋f(1)＝0，则实数a 的值等于( )

A ．－3

B ．－1

C ．1

D ．3

7．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝( )

A ．8

B ．7

C ．6

D ．5

8．已知函数

2

()1,()43,x f x e g x x x =-=-+-若()(),f a g b =则b 的取值范围为( )

A ．[2

B ．(2

C ．[1,3]

D ．(1,3) 9．.已知三角形ABC ?的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为

2

3

，则这个三角形的周长是( ) A ．18 B ．21 C ．24 D ．15

10．为得到函数πcos 23y x ??=+ ??

?

的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ） A ．左移

5π

12

个单位 B ．右移

5π12个单位 C ．左移5π6个单位 D ．右移5π6

个单位 11．已知函数f (x )＝e x ＋x .对于曲线y ＝f (x )上横坐标成等差数列的三个点A 、B 、C ，给出以

下判断：①△ABC 一定是钝角三角形；②△ABC 可能是直角三角形；③△ABC 可能是等腰三角形；④△ABC 不可能是等腰三角形．其中，正确的判断是( )

A ．①③

B ．①④

C ．②③

D ．②④

12．直线sin()(0,0,||)y y A x A ω?ω?π==+>><，图象截得的线段长分

别为

2

33

π

π和，则A 的值为（ ）A ． B ．2 C ． D ．不能确定 二、填空题:（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。）

13．命题“?x ∈R ，x ≤1或x 2>4”的否定是__________________．

14．函数2(0)y x x =>的图像在点(a k ,a k 2)处的切线与x 轴交点的横坐标为1k a +,其中

k N +∈，若116a =，则135a a a ++的值是____ ____。

15．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________． 16．非空集合G 关于运算⊕满足： （1）对任意,a b G ∈，都有a b G ⊕∈； （2）存在e G ∈，使得对一切a G ∈，都有a e e a a ⊕=⊕=，则称G 关于运算⊕为

“融洽集”；现给出下列集合和运算： ①{},G =⊕非负整数为整数的加法； ②{},G =⊕偶数为整数的乘法；

③{},G =⊕平面向量为平面向量的加法；④{},G =⊕二次三项式为多项式的加法；

⑤{},G =⊕虚数为复数的乘法。

其中G 关于运算⊕为“融洽集”____ _

三、解答题:（本大题共6个小题，共70分。）

17．（１０分）已知ΔABC 中，A>B ，且2

tan tan 560A B x x -+=与是方程的两个根。 （1）求角C 的大小；（2）若AB=5，求BC 边的长。

18．（12分）已知等比数列{a n }的公比q ＝3，前3项和S 3＝13

3

.

(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A >0,0<φ<π)在x ＝π

6

处取得最大值，

且最大值为a 3，求函数f (x )的解析式．

19．（12分）已知向量),2cos 2sin 3()2cos ,1(y x

x b x a +==→→

与共线，且有函数

)(x f y =．(1)若1)(=x f ，求)23

2cos(x -π

的值；(2)在ABC ?中，角C B A ,,,的对边分别是c b a ,,，且满足b c C a 2cos 2=+，求函数)(B f 的取值范围.

20．（１2分）已知函数()ln f x x x =．（Ⅰ）求函数()f x 在[1,3]上的最小值；

（Ⅱ）若存在1

[,e]e

x ∈（e 为自然对数的底数，）使不等式22()3f x x ax ≥-+-成立，求

实数a 的取值范围．

21．（12分）在数列{}n a 中，11a =，2

11

2(1)n n a a n

+=+?．（Ⅰ）证明数列2

{}n

a n 是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令11

2

n n n b a a +=-，求数列{}n b 的前n 项和n S ； （Ⅲ）求数列{}n a 的前n 项和n T ．

22．（12分）已知函数2()()()(,,).f x x a x b a b a b =--∈

（1）当1,2a b ==时，求曲线()(2,(2))y f x f =在点处的切线方程；

（2）设12,()x x f x 是的两个极值点，3()x f x 是的一个零点，且3132,.x x x x ≠≠证明：存在

实数41234,,,,x x x x x 使得按照某种顺序排列后构成等差数列，并求4x ．

数学（文科）参考答案

二、填空题

（13）?x∈R，x>1且x2≤4 （14）21 （15）27 （16）①③

三、解答题

１７

tan tan50

:(*)

tan tan60

A B

A B

+=>

?

?

?=>

?

解依题意

,,,tan tan,(*)tan3,tan2

tan tan5

(1)tan()1

1tan tan16

3

0,,()

44

(2)tan2,sin:

sin sin

sin

5

sin

A B A B A B A B

A B

A B

A B

A B A B C A B

AB BC

A A BC

C A

A

BC AB

C

π

πππ

∴>∴>==

+

+===-

-?-

<+<∴+==-+=

==?=

===

都是锐角又解方程组得

又则

由知在中由正弦定理得

解出

18. 【解答】(1)由q＝3，S3＝

13

3得

a1(1－33)

1－3

＝

13

3，解得a1＝

1

3.所以a n＝

1

3×3

n－1＝3n－2.

(2)由(1)可知a n＝3n－2，所以a3＝3.因为函数f(x)的最大值为3，所以A＝3；

因为当x＝

π

6时f(x)取得最大值，所以sin?

?

?

?

2×

π

6＋φ＝1.又0<φ<π，故φ＝

π

6.

所以函数f(x)的解析式为f(x)＝3sin????

2x＋

π

6.

19. 解：（Ⅰ）∵

→

a与

→

b共线∴

y

x

x

x

2

cos

2

cos

2

sin

3

1

=

+

2

1

)

6

sin(

)

cos

1(

2

1

sin

2

3

2

cos

2

cos

2

sin

32+

+

=

+

+

=

+

=

π

x

x

x

x

x

x

y3分

∴121)6

sin()(=+

+

=π

x x f ，即2

1

)6sin(=+πx 4分 21

1)6(sin 21)3(cos 2)3(2cos )232cos(

22-=-+=--=-=-ππππx x x x 6分 （Ⅱ）已知b c C a 2cos 2=+ 由正弦定理得： C

A C A C C A C A

B

C C A sin cos 2cos sin 2sin cos sin 2)sin(2sin 2sin cos sin 2+=++==+

∴21cos =

A ，∴在ABC ?中 ∠3

π

=A 8分 21)6sin()(++=πB B f ∵∠3π=A ∴320π<

566π

ππ<+

∴1)6sin(21≤+<πB ,2

3)(1≤

3

,1( 12分

20．解：（Ⅰ）由()ln f x x x =，可得()ln 1f x x '=+， ……2分

当1

(0,)e x ∈时，()0,()f x f x '<单调递减；当1(,)e

x ∈+∞时，()0,()f x f x '>单调递增． 所以函数)(x f 在[1,3]上单调递增．

又(1)ln10f ==，所以函数()f x 在[1,3]上的最小值为0． 4分 （Ⅱ）由题意知，22ln 3,x x x ax ≥-+-则32ln a x x x

≤++． 若存在1[,e]e

x ∈使不等式22()3f x x ax ≥-+-成立， 只需a 小于或等于3

2ln x x x

++的最大值． 设()()32ln 0h x x x x x =++

>，则()()()22

31231x x h x x x x +-'=+-=． 当1

[,1)x e

∈时，()()0,h x h x '<单调递减；当(1,e]x ∈时，()()0,h x h x '>单调递增． 由11()23e e e h =-+

+，3(e)2e e h =++，12

()(e)2e 40e e

h h -=-->，

可得1()(e)e h h >．所以，当1[,e]e x ∈时，)(x h 的最大值为11

()23e e e

h =-++． 故1

23e e

a ≤-+

+．…12分 21．解：（Ⅰ）由条件得

122

1(1)2n n

a a n n +=?

+，又1n =时，21n a n =， 故数列2{}n a n 构成首项为1，公式为12的等比数列．从而211

2n n a n -=，即212

n n n a -=．

（Ⅱ）由22(1)21222n n n n

n n n b ++=-=得23521

222n

n n S +=+++ ， 2311352121

22222

n n n n n S +-+?

=++++ ， 两式相减得 ： 23113111212()222222n n n n S ++=++++- ， 所以 25

52

n n

n S +=-． （Ⅲ）由231121()()2n n n S a a a a a a +=+++-+++ 得111

2n n n n T a a T S +-+-=

所以11222n n n T S a a +=+-21

46

122

n n n -++=-． ２２．解：（Ⅰ）解：当a=1,b=2时， 因为f’（x ）=（x-1）（3x-5） 2分

故'

(2)1f = f （2）=0, 3分 所以f （x ）在点（2,0）处的切线方程为y=x - 2 …4分

（Ⅱ）证明：因为f′（x ）＝3（x －a ）（x －

23

a b

+），……6分 由于a

+ …8分

不妨设x 1＝a ，x 2＝23

a b

+，因为x 3≠x 1，x 3≠x 2，且x 3是f （x ）的零点， 故x 3＝b ．10分

又因为23a b +－a ＝2（b －23a b +）， x 4＝12（a ＋23a b +）＝23a b

+，

所以a ，23a b +，23

a b

+，b 依次成等差数列，

所以存在实数x 4满足题意，且x 4＝23

a b

+．……………12分