2008年衡阳市第八中学高三数学第一次考试文科题
一.选择题(每小题只有一个正确答案.共50分)
1.已知I=A ∪B={1，3，5，7，9}，且A ∩B C I ={3，7}，A C I ∩B={9}， 则A ∩B=( )
A {1，3，7}
B {1，5}
C {3，7，9}
D {3，7} 2.已知+∈R b a ,，“122<+b a ”是“(a-1)(b-1)>0”的（ ）条件 A 充分非必要 B 必要非充分 C 充要 D 非充分非必要 3.设A ＝｛x │20≤≤x ｝，B ＝｛y │21≤≤y ｝，在下图中，
能作为以A 为定义域，B 为值域的函数的图象是（ ）
A B C D
4 在R 上定义运算⊙：x ⊙y=x(1-y),若不等式(x-a)⊙(x+1)<1对于任意实数成立x ，则
A -1 B 0 C -2 D -2 A ()a a f ),(- B ()a a f --),( C () )(,1a f a -- D () )(,1a f a -- 6函数1 1 3444)(2>≤???+--=x x x x x x f 的图象和函数x x g 2log )(=的图象的交点个数是 A ．1 B ．2 C ．3 D .4 7设 ）是增函数，则时且当满足。9 01.1()(2),4()()(f a x f x x f x f x f =>-=， =b )9.0(1.1f ，)4(log 2 1f c =的大小关系是（ ） A c b a >> B c a b >> C b c a >> D a b c >> 8设函数?????>≤-=)0() 0(1)()(211x x x x f x ，已知1)(>a f ，则实数a 的取值范围是( ) A ()1,1- B ()()+∞-∞-,11, C ()()+∞-∞-,02, D ()+∞,1 9函数|1|||ln --=x e y x 的图象大致是 （ ） 10若二次函数12)2(24)(22+----=p p x p x x f 在区间[]1,1-内至少存在一点 C （)0,c 使0)(>c f ，则实数p 的取值范围是（ ） A 121<<-p B 233<<-p C 3-≤p D 213-<<-p 或231< 11函数y=(49-x 2 )41 +)3(log 13x -的定义域为： 12已知函数f x ()是R 上的减函数，A （0，-3），B （-2，3）是其图象上的两点，那么不等式|()|f x -≥23的解集是____________________。 13方程f(x)=x 的根称为f(x)的不动点，若函数) 2()(+= x a x x f 有唯一不动点，且 10001=x ，*)()1(1 1N n x f x n n ∈= +，则=2009x 。 14已知函数f (x )的导数为,44)(3x x x f -='且图象过点（0，－5），当函数f (x)取得极大值－5时，x 的值应为( ) 15设函数)(x f 的定义域为R ，则下列命题中：○ 1=y )(x f 是偶函数，则=y )2(+x f 的图像关于y 轴对称；○ 2若=y )2(+x f 是偶函数，则=y )(x f 的图像关于直线2=x 对称；○ 3若)2()2(x f x f -=-，则=y )(x f 的图像关于直线2=x 对称；○4 =y )2(-x f 和=y )2(x f -的图像关于直线2=x 对称。其中正确命题的序号为 三.解答题(共75分) 16（10分）函数y=lg(3－4x+x 2)的定义域为M,当x ∈M 时, 求f(x)=2x+2－3×4x 的最值 17（10分）20世纪80年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度。就是使用地震仪衡量地震的等级，地震能量越大，地震仪纪录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M ，其公式为；M=lgA －lgA 0 (M 表示：震级。 A 表示：被测地震的最大振幅。 A 0表示：标准地震的振幅) （1）假设在一次地震中，一个距离震中心100km 的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时的标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级（精确到0.1） （2）5级地震给人的震感已比较明显，今年我国四川汶川发生了8.0特大地震，试计算它的最大振幅是5级的最大振幅的多少倍？ （可能用到的对数：lg2=0.301） 18（14分）如图,矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE//CF ， ∠BCF=∠CEF=?90,AD=3,EF=2。 （Ⅰ）求证：AE//平面DCF ； （Ⅱ）当AB 的长为何值时,二面角A-EF-C 的大小为?60 19（13分）定义在R 上的函数f(x)对于任意的.m,n ∈R 都有 f(m+n)=f(m)+f(n)－1,并且当x>0时,f(x)>1 (1)求证:f(x)在R 上是增函数; (2)若f(3)=4,解关于a 的不等式 f(a 2+a －5)<2 A B D C F E 20（14分）已知a 是实数，函数2()()f x x x a =-。 （Ⅰ）若3)1(='f ，求a 的值及曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 在区间[]2,0上的最大值。 21（14分）已知()32f x ax bx cx d =+++是定义在R 上的函数，其图象交x 轴于 A 、 B 、 C 两点，若B 点坐标为()2,0，且()f x 在[]1,0-和[]4,5上有相同的单调性，在[]0,2和[]4,5上有相反的单调性。 （1）求c 的值； （2）在函数()f x 的图象上是否存在一点()00,M x y ，使得()f x 在点M 的切线的斜率为3b ？若存在，求出M 点的坐标；若不存在，说明理由。 （3）求AC 的取值范围。 衡阳市第八中学高三年级第一次月考答卷 文科数学 一．选择题（每小题5分共50分） 二．填5分共25分） 11 12 13 14 15 三，解答题（共75分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 答案 答案 一．选择题（每小题5分共50分） 1.已知I=A ∪B={1，3，5，7，9}，且A ∩B C I ={3，7}，A C I ∩B={9}，则A ∩B=( B ) （A ） {1，3，7} （B ） {1，5} （C ） {3，7，9} （D ） {3，7} 2.已知+ ∈R b a ,，“122 <+b a ”是“(a-1)(b-1)>0”的（ A ） （A ） 充分非必要条件 （B ） 必要非充分条件 （C ） 充要条件 （D ） 非充分非必要条件 3..设A ＝｛x │20≤≤x ｝，B ＝｛y │21≤≤y ｝，在下图能作为以A 为定义B 为值域的函数的图 （A ） （B ） （C ） 4 在R 上定义运算⊙：x ⊙y=x(1-y),若不等式(x-a)⊙(x+1)<1对于任意实数成立x ，则（ D ） A -1 )()(R x x f y ∈=有反函数)(1x f y -=，则必在)(1x f y -=的图象上的点是（ B ） （A ） ()a a f ),(- （B ） ()a a f --),( （C ） ())(,1a f a -- （D ） ())(,1a f a -- 6函数 11 3444)(2 >≤? ??+--=x x x x x x f 的图象和函数x x g 2log )(=的图象的交点个数是（ C ） A ．1 B ．2 C ．3 D .4 7．设 ） 是增函数，则时且当满足。901.1()(2),4()()(f a x f x x f x f x f =>-=， =b )9.0(1.1f ，)4(log 2 1f c =的大小关系是（ D ） （A ）c b a >> （B ） c a b >> （C ） b c a >> （D ） a b c >> 8．设函数 ?????>≤-=)0() 0(1)()(21 1x x x x f x ，已知1)(>a f ，则实数a 的取值范围是（ B ） （A ） ()1,1- （B ） ()()+∞-∞-,11, （C ） ()()+∞-∞-,02, （D ） ()+∞,1 9函数|1|||ln --=x e y x 的图象大致是 （D ） 10．若二次函数 12)2(24)(22+----=p p x p x x f 在区间[]1,1-内至少存在一点 C （)0,c 使 0)(>c f ，则实数p 的取值范围是（ B ） （A ） 12 1 <<- p （B ） 2 33< <-p （C ） 3-≤p （D ） 21 3-<<-p 或2 31< 二、填空题（每小题5分共25分） 11，函数y=(49-x 2 )4 1 +) 3(log 13x -的定义域为： [)2,7-∪(2,3) 12．已知函数 f x ()是R 上的减函数， A （0，-3）， B （-2，3）是其图象上的两点，那么不等式|()|f x -≥23的解集是__ (][)+∞∞-,20, __。 13、方程f(x)=x 的根称为f(x)的不动点，若函数 ) 2()(+= x a x x f 有唯一不动点，且10001=x ， *)()1(1 1N n x f x n n ∈= +，则=2009x 2004 。 14．已知函数f (x )的导数为,44)(3x x x f -='且图象过点（0，－5），当函数 f (x)取得极大值－5 时，x 的值应为 0 15．设函数 )(x f 的定义域为R ，则下列命题中：○1=y )(x f 是偶函数，则=y )2(+x f 的图像关于y 轴对称；○ 2若=y ) 2(+x f 是偶函数，则 =y ) (x f 的图像关于直线 2 =x 对称；○ 3若)2()2(x f x f -=-，则 =y ) (x f 的图像关于直线 2 =x 对称；○ 4 =y ) 2(-x f 和 =y )2(x f -的图像关于直线2=x 对称。其中正确命题的序号为 ②、④ 三．解答题 16（10分）函数y=lg(3－4x+x 2 )的定义域为M,当x ∈M 时,求f(x)=2x+2 －3×4x 的最值 解：M={x │3-4x+x 2 >0}=(-∞,1)∪(3,+∞) f(x)的值域是?? ? ?? -?--∞34,4)160,( 17（10分）20世纪80年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度。就是使用地震仪衡量地震的等级，地震能量越大，地震仪纪录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M ，其公式为；M=lgA －lgA 0 (M 表示：震级。 A 表示：被测地震的最大振幅。 A 0表示：标准地震的振幅) （1）假设在一次地震中，一个距离震中心100km 的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时的标准地 震的振幅是0.001，计算这次地震的震级（精确到0.1） （2）5级地震给人的震感已比较明显，今年我国四川汶川发生了8.0特大地震，试计算它的最大振幅是5级的最大振幅的多少倍？ （可能用到的对数：lg2=0.301） 解：（1）M=lg20－lg0.001=lg20000=4+lg2=4.3 (2)设第M 级地震最大振幅为A 。 则由M=lgA-lgA 0 得A=A 0·10M 再设8,5级地震的最大振幅分别为A 1,A 2 它的最大振幅是5级的最大振幅的1000倍 18如图,矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE//CF ，∠BCF=∠CEF=?90,AD= 3,EF=2。 （Ⅰ）求证：AE//平面DCF ； （Ⅱ）当AB 的长为何值时,二面角A-EF-C 的大小为?60（14 分） （Ⅰ）证明：过点E 作EG CF ⊥交CF 于G ，连结DG ， 可得四边形BCGE 为矩形， 又 ABCD 为矩形， 所以AD EG ∥，从而四边形ADGE 为平行四边形， 故 AE DG ∥． 因为AE ?平面DCF ，DG ?平面DCF ， 所以AE ∥平面DCF ． （Ⅱ）解：过点B 作BH EF ⊥交FE 的延长线于H ，连结 AH ． 由平面ABCD ⊥平面BEFC ，AB BC ⊥，得 AB ⊥平面BEFC ， 从而AH EF ⊥． 所以AHB ∠为二面角A EF C --的平面角． 在Rt EFG △中，因为EG AD ==2EF =，所以60CFE ∠= ，1FG =． 又因为CE EF ⊥，所以4CF =， 从而3BE CG ==． 于是sin BH BE BEH =∠= ． 因为 tan AB BH AHB =∠ ， 所以当AB 为92 时，二面角A EF C --的大小为60 ． 方法二：如图，以点C 为坐标原点，以CB CF ，和CD 分别作为x 轴， y 轴和z 轴，建立空间直角坐 10001010 103 508021==??=A A A A E H D A B F C G 标系C xyz -．设AB a BE b CF c ===，，， 则(000)C ，， ， )A a ， ，0)B ， ，0)E b ，，(00)F c ，， ． （Ⅰ）证明：(0)AE b a =- ，， ，0)CB = ，，(00)BE b = ，，， 所以0CB CE = ，0CB BE = ，从而CB AE ⊥，CB ⊥所以CB ⊥平面ABE ．因为CB ⊥平面DCF ， 所以平面ABE ∥平面DCF ．故AE ∥平面DCF ． （Ⅱ）解：因为(0)EF c b =- ，，CE b = 所以0EF CE = ，||2EF = ，从而 3()02b c b -+-=?=， ， 解得34b c ==，． 所以0)E ，，(040)F ，，． 设(1 )n y z =，，与平面AEF 垂直， 则0n AE = ，0n EF = ，解得n a =，． 又因为BA ⊥平面BEFC ，(00)BA a = ，，， 所以||1 |cos |2 ||||BA n n BA BA n <>=== ，，得到92a =． 所以当AB 为 9 2 时，二面角 A EF C --的大小为60 ． 19（13分）定义在R 上的函数f(x)对于任意的.m,n ∈R 都有 f(m+n)=f(m)+f(n)－1,并且当x>0时,f(x)>1 (1)求证:f(x)在R 上是增函数; (2)若f(3)=4,解不等式 f(a 2 +a －5)<2 (1)证明:设x 1,x 2∈R,x 1>x 2 f(x 1)-f(x 2)=f[x 2+ (x 1-x 2)]-f(x 2)=f(x 2)+f(x 1-x 2)-1-f(x 2)=f(x 1-x 2)-1 ∵x 1>x 2 ∴x 1-x 2>0 ∴f(x 1-x 2)>1 ∴f(x 1)-f(x 2)>0 ∴f(x 1)>f(x 2) ∴f(x)在R 上是增函数 (2)∵4=f(3)=f(2)+f(1)-1=[f(1)+f(1)-1]+f(1)-1 ∴ f(1)=2 ∴f(a 2 +a －5)<2等价于：a 2+a-5<1 ∴-3 2()()f x x x a =-。 （Ⅰ）若'(1)3f =，求a 的值及曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求 ()f x 在区间[]2,0上的最大值。 （Ⅰ）解：2()32f x x ax '=-，因为(1)323f a '=-=，所以0a =． 所以曲线 ()y f x =在(1(1))f ，处的切线方程为320x y --=． （Ⅱ）解：令()0f x '=，解得10x =，223 a x = ． 当 203a ≤，即0a ≤时，()f x 在[02]，上单调递增，从而max (2)84f f a ==-． 当223 a ≥，即3a ≥时，()f x 在[02]，上单调递减，从而max (0)0f f ==． 当2023a < <，即03a <<时，()f x 在203a ??????，上单调递减，在223a ?????? ，上单调递增，从而max 8402023a a f a - <?，≤， ， ． 21（14分）已知()32f x ax bx cx d =+++是定义在R 上的函数，其图象交x 轴于A 、B 、C 两点，若 B 点坐标为()2,0，且()f x 在[]1,0-和[]4,5上有相同的单调性，在[]0,2和[]4,5上有相反的单调 性。 （1）求c 的值； （2）在函数 ()f x 的图象上是否存在一点()00,M x y ，使得()f x 在点M 的切线的斜率为3b ？若存 在，求出M 点的坐标；若不存在，说明理由。 （3）求 AC 的取值范围。 解答：（1）因为 ()f x 在[]1,0-和[]0,2上有相反的单调性 所以()0x f x =是的一个极值点，故()00f '= 即2 3200, c=0ax bx c x ++==∴有一个解为 （2）因为()()2,0f x x B 交轴于()840, 42a b d d b a ∴++==-+即 令 ()20320f x ax bx '=+=得122 0, 3b x x a ∴==- 因为在 []0,2和[]4,5上有相反的单调性 223 24 3b a b a ?-≥??∴??-≤?? 63b a ∴-≤≤- 假设存在点()00,M x y 使得()f x 在点M 的切线的斜率为3b 则 ()20003,3230f x b ax bx b '=+-=即 ()()2 243349 6 3 <0 b b a b ab a b a ?? ?=-??-=+ ? ??-≤≤-∴? 故不存在点()00,M x y 满足（2）中的条件。 （3）设 ()()()()2f x a x x x αβ=--- ()()32 2222a x x x αβαβαβαβ??=-+++++-?? ()2 2b b a a αβαβ=-++∴+=--则 2 2d d a a αβαβ=-=- AC αβ=-= max min 63 6 33 b a b AC a b AC a -≤≤-∴=-==-= 当时，当时， 3AC ∴≤≤
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