线性代数综合练习题
第一章 行列式
一、单项选择题
1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).
(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351
2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C)
k n -2
! (D)k n n --2)1(
3.
=0
00110000
0100100
( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2
4．在函数1
003232
1
1112)(x x x x x f ----=
中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2
5． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为
x ,1,5,2-, 则=x ( ).
(A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2
6. 若573411111
3263
478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ).
(A)1- (B)2- (C)3- (D)0
7. 若2
23500101
1
110403--=
D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0
8. k 等于何值时，齐次线性方程组???
??=++=++=++0
00321
321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( )
(A)1- (B)2- (C)3- (D)0
二、填空题
1. n 2阶排列)12(13)2(24-n n 的逆序数是.
2．在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是
.
3. 行列式
=0
1
011101010
0111
.
4．如果M a a a a a a a a a D ==3332
31232221
13
1211
，则=---=32
32
3331
2222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D
5．齐次线性方程组???
??=+-=+=++0
0202321
2
1321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是.
6．若齐次线性方程组??
?
?
?=+--=+=++0
230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =.
三、计算题
1. 64
127816
19441321
111----; 2．y
x y x x y x y y
x y x +++；
3. n
a b b b a a b b a a a b 32
122211
1111
111；
.
四、证明题
1．设1=abcd ，证明：
01
111111111112
22
22
222=++++
d
d
d
d c c c c b b b b a a a a . 2．))()()()()()((11114
4442222
d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a d c b a d
c b a +++------=.
第二章 矩阵
一、单项选择题
1. A 、B 为n 阶方阵，则下列各式中成立的是( )。
(a)2
2A A = (b)))((22B A B A B A +-=-
(c)AB A A B A -=-2)( (d)T T T B A AB =)(
2.设方阵A 、B 、C 满足AB=AC,当A 满足( )时，B=C 。
(a) AB =BA (b) 0≠A (c) 方程组AX=0有非零解 (d) B 、C 可逆 3.若A 为n 阶方阵，k 为非零常数，则=kA ( )。
(a)
A k (b) A k (c)
A
k n (d) A k n
4.设A 为n 阶方阵，且0=A ，则( )。
(a) A 中两行(列)对应元素成比例 (b) A 中任意一行为其它行的线性组合 (c) A 中至少有一行元素全为零 (d) A 中必有一行为其它行的线性组合 5.设A ，B 为n 阶可逆矩阵,下面各式恒正确的是( )。 (a) 111)(---+=+B A B A (b) B A AB T =)(
(c) B A B A T +=+--11)( (d) 111)(---+=+B A B A 6.设A 为n 阶方阵,*A 为A 的伴随矩阵,则( )。 (a) 1*-=A A (b) A A =* (c) 1
*+=n A
A (d) 1
*-=n A
A
7. 设A 为3阶方阵,行列式1=A ,*A 为A 的伴随矩阵,则行列式
=--*12)2(A A ( )。
(a) 827-
(b) 278- (c) 827 (d) 27
8
8. 设A ，B 为n 阶方矩阵,22B A =,则下列各式成立的是( )。
(a) B A = (b) B A -= (c) B A = (d) 2
2
B A = 9. 设A ，B 均为n 阶方矩阵,则必有( )。
(a) B A B A +=+ (b) BA AB = (c) BA AB = (d) 2
2
B A = 10.设A 为n 阶可逆矩阵，则下面各式恒正确的是（ ）。 （a ）T A A 22= (b) 112)2(--=A A
(c) 111])[(])[(---=T T T A A (d) T T T T A A ])[(])[(11--= 11.设A 为n 阶方阵，且0||≠A ，则（ ）。 （a ）A 经列初等变换可变为单位阵I （b ）由BA AX =，可得B X =
（c ）当)|(I A 经有限次初等变换变为)|(B I 时，有B A =-1
（d ）以上（a ）、（b ）、（c ）都不对
二、填空题
1.设A 为n 阶方阵,I 为n 阶单位阵,且I A =2,则行列式=A _______
2.设2???
?
? ??=100020101A ，则行列式)9()3(21I A I A -+-的值为__ _____
三、计算题
1.解下列矩阵方程(X 为未知矩阵).
1) 223221103212102X ???? ? ?-= ? ? ? ?--???? ； 2) 2AX A X I =+-,其中101020101A ?? ?= ? ???；
2.已知110021101A -?? ?
= ? ?-??
,求21(2)(4)A I A I -+-.
3．设301130113A -?? ?
= ? ?
--??
，110110B ??
?= ? ???，且满足2AX X B -=，求X 。
4. 设n 阶方阵,A B 满足2A B AB +=，已知120120003B ??
?
=- ? ???
，求矩阵A .
四、证明题
1. 设A 、B 均为n 阶非奇异阵,求证AB 可逆.
2. 设n 阶矩阵B A ,满足AB B A =+，证明：))(())((E B E A E A E B --=--；
3. 证明可逆的对称矩阵的逆也是对称矩阵.
4. 证明每一个方阵均可表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵的和。
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
一、单项选择题
1．设n 元齐次线性方程组0AX =的系数矩阵的秩为r ，则0AX =有非零解的充分
必要条件是（ ）
(A) r n = (B) r n < (C) r n ≥ (D) r n >
2．设A 是m n ?矩阵，则线性方程组AX b =有无穷解的充要条件是（ ）
(A) ()r A m < (B) ()r A n <
(C) ()()r Ab r A m =< (D) ()()r Ab r A n =< 3.设A 为n m ?阶矩阵，秩n m r A <<=)(，则（ ）。
（a ）A 中r 阶子式不全为零 （b ）A 中阶数小于r 的子式全为零
（c ）A 经行初等变换可化为???
? ??00
0r
I （d ）A 为满秩矩阵 4.设A 为n m ?矩阵，C 为n 阶可逆矩阵，AC B =，则( )。 (a) 秩(A )> 秩(B ) (b) 秩(A )= 秩(B )
(c) 秩(A )< 秩(B ) (d) 秩(A )与秩(B )的关系依C 而定 5.A ，B 为n 阶非零矩阵，且0=AB ，则秩(A )和秩(B )( )。 (a)有一个等于零 (b)都为n (c)都小于n (d)一个小于n ，一个等于n
6.n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是( )。
(a) n r A r <=)( (b) A 的列秩为n (c) A 的每一个行向量都是非零向量 (d) 伴随矩阵存在 7. n 阶矩阵A 可逆的充要条件是( )。 (a) A 的每个行向量都是非零向量 (b) A 中任意两个行向量都不成比例
(c) A 的行向量中有一个向量可由其它向量线性表示
(d) 对任何n 维非零向量X ，均有0≠AX
8．设A 是m n ?矩阵，非齐次线性方程组AX b =的导出组为0AX =，若m n <，则（ ）
(A) AX b =必有无穷多解 (B) AX b =必有唯一解
(C) 0AX =必有非零解 (D) 0AX =必有唯一解 9．设,A B 为n 阶非零矩阵，且0=AB ，则 （ ） (A) n B r A r ≤+)()( (B) 0)(,)(==B r n A r (C) n B r A r <+)()( (D) n B r A r >+)()( 10．设A 为m n ?矩阵，则下列结论正确的是（ ）
(A) 若0AX =仅有零解 ，则AX b =有唯一解 (B) 若0AX =有非零解 ，则AX b =有无穷多解 (C) 若AX b =有无穷多解 ，则0AX =仅有零解 (D) 若AX b =有无穷多解 ，则0AX =有非零解
11．线性方程组1231231
23123047101
x x x x x x x x x ++=??
++=??++=? （ ）
(A) 无解 (B) 有唯一解 (C) 有无穷多解 (D) 其导出组只有零解
二、填空题
1.设4阶方阵A 的秩为2，则其伴随矩阵*A 的秩为____ ___
2.非零矩阵??
?
??
?
?
??n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a 2
1
2221
212111的秩为___ _____ 3. 若线性方程组m n A X b ?=的系数矩阵的秩为m ，则其增广矩阵的秩为 . 4. 设
1231211232,3,120x A a b x x a x ??????
? ? ?=+== ? ? ?
? ? ?-??????
，若齐次线性方程组0AX =只有零解，则
a = .
5. 设1231211232,3,120x A a b x x a x ?????? ? ? ?
=+== ? ? ? ? ? ?-??????
，若线性方程组AX b =无解，则a = .
6. 线性方程组12312123
20200kx x x x kx x x x ++=??
+=??-+=?仅有零解的充分必要条件是 .
7. 设12,,s X X X 和1122s s c X c X c X +++ 均为非齐次线性方程组AX b =的解
（12,,s c c c 为常数），则12s c c c +++= .
8. 设54?矩阵A 的秩为3，123,,ααα是非齐次线性方程组AX b =的三个不同的解
向量，若123122(2,0,0,0),3(2,4,6,8)T T
ααααα++=+=，则AX b =的通解
为 .
9. 设矩阵0
10000100001000
0A ?? ? ?= ? ???
，则3
A 的秩为 。 三、计算题
1.11123512536A λ-?? ?
=- ? ???
，求A 的秩。
2. 已知123
,,ααα是齐次线性方程组0AX =的一个基础解系，问12233,,αααααα+++是否是该方程组的一个基础解系？为什么？
3. 问,a b 为何值时，下列方程组无解？有唯一解？有无穷解？在有解时求出全部解（用基础解系表示全部解）。
1）12312321231x ax x a ax x x x x ax a ++=??++=??++=? 2）123212312
3424
x x bx x bx x b x x x ++=??
-++=??-+=-?
6．当λ为何值时，方程组
1231231
232124551
x x x x x x x x x λλ+-=??
-+=??+-=-? 无解、有唯一解或有无穷多组解？在有无穷多组解时，用导出组的基础解系表示全部解. 四、证明题
1. 证明两个矩阵和的秩小于这两个矩阵秩的和.
2. 证明可逆矩阵的伴随矩阵也可逆，且伴随矩阵的逆等于该矩阵的逆矩阵的伴随矩阵.
第四章 向量组的线性相关性
一、单项选择题
1. 321,,ααα， 21,ββ都是四维列向量，且四阶行列式m =13
21βααα,
n =2321ααβα, 则行列式)(
21321=+ββααα
n m a +)( n m b -)( n m c +-)( n m d --)(
2. 设A 为n 阶方阵，且0=A , 则（ ）。
成比例中两行（列）对应元素A a )( 线性组合中任意一行为其它行的A )b ( 零中至少有一行元素全为A c )( 线性组合中必有一行为其它行的A )d ( 3. 设A 为n 阶方阵，n r A r <=)(，则在A 的n 个行向量中（ ）。
个行向量线性无关必有r a )( 个行向量线性无关
任意r )b ( 性无关组个行向量都构成极大线任意r c )(
个行向量线性表示其它任意一个行向量都能被r )d ( 4. n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是（ ）
n r A r a <=)()( n A b 的列秩为)(
零向量的每一个行向量都是非）（A c 的伴随矩阵存在
）（A d 5. n 维向量组s ααα,,,21 线性无关的充分条件是( )
)(a s ααα,,,21 都不是零向量
)(b s ααα,,,21 中任一向量均不能由其它向量线性表示
)(c s ααα,,,21 中任意两个向量都不成比例
)(d s ααα,,,21 中有一个部分组线性无关
6. n 维向量组)2(,,,21≥s s ααα 线性相关的充要条件是( )
)(a s ααα,,,21 中至少有一个零向量
s b ααα,,,)(21 中至少有两个向量成比例 s c ααα,,,)(21 中任意两个向量不成比例
s d ααα,,,)(21 中至少有一向量可由其它向量线性表示
7. n 维向量组)3(,,,21n s s ≤≤ααα 线性无关的充要条件是( )
s k k k a ,,,)(21 存在一组不全为零的数使得02211≠++s s k k k ααα s b ααα,,,)(21 中任意两个向量都线性无关
s c ααα,,,)(21 中存在一个向量,它不能被其余向量线性表示 s d ααα,,,)(21 中任一部分组线性无关 8. 设向量组s ααα,,,21 的秩为r , 则( )
s a ααα,,,)(21 中至少有一个由r 个向量组成的部分组线性无关 s b ααα,,,)(21 中存在由1+r 个向量组成的部分组线性无关 s c ααα,,,)(21 中由r 个向量组成的部分组都线性无关 s d ααα,,,)(21 中个数小于r 的任意部分组都线性无关
9. 设s ααα,,,21 均为n 维向量, 那么下列结论正确的是( )
)(a 若02211=++s s k k k ααα , 则s ααα,,,21 线性相关
)(b 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 , 都有
02211≠++s s k k k ααα , 则s ααα,,,21 线性无关
)(c 若s ααα,,,21 线性相关,则对任意不全为零的数s k k k ,,,21 , 都有
02211=++s s k k k ααα
)(d 若000021=++s ααα , 则s ααα,,,21 线性无关
10. 已知向量组4321,,,αααα线性无关，则向量组（ ）
14433221,,,)(αααααααα++++a 线性无关 14433221,,,)(αααααααα----b 线性无关 14433221,,,)(αααααααα-+++c 线性无关 14433221,,,)(αααααααα--++d 线性无关
11. 若向量β可被向量组s ααα,,,21 线性表示，则（ ）
)(a 存在一组不全为零的数s k k k ,,,21 使得s s k k k αααβ ++=2211 )(b 存在一组全为零的数s k k k ,,,21 使得s s k k k αααβ ++=2211
)(c 存在一组数s k k k ,,,21 使得s s k k k αααβ ++=2211 )(d 对β的表达式唯一
12. 下列说法正确的是（ ）
)(a 若有不全为零的数s k k k ,,,21 ，使得02211=++s s k k k ααα ，则
s ααα,,,21 线性无关
)(b 若有不全为零的数s k k k ,,,21 ，使得02211≠++s s k k k ααα ，则
s ααα,,,21 线性无关
)(c 若s ααα,,,21 线性相关，则其中每个向量均可由其余向量线性表示 )(d 任何1+n 个n 维向量必线性相关
13. 设β是向量组T )0,0,1(1=α，T )0,1,0(2=α的线性组合，则β=（ ）
T a )0,3,0)(( T b )1,0,2)(( T c )1,0,0)(( T d )1,2,0)(( 14. 设有向量组()T 4,2,1,11-=α，()T 2,1,3,02=α，()T
14,7,0,33=α，
()T
0,2,2,14-=α，()T 10,5,1,25=α，则该向量组的极大线性无关组为（ ）
321,,)(αααa 421,,)(αααb 521,,)(αααc 5421,,,)(ααααd
15. 设T a a a ),,(321=α，T b b b ),,(321=β，T a a ),(211=α，T b b ),(211=β，下列正确的是（ ）
;,,)(11也线性相关线性相关，则若βαβαa 也线性无关；
线性无关，则若11,,)(βαβαb 也线性相关；线性相关，则若βαβα,,)(11c 以上都不对)(d 二、填空题
1. 若T )1,1,1(1=α，T )3,2,1(2=α，T t ),3,1(3=α线性相关，则t= 。
2. n 维零向量一定线性 关。
3. 向量α线性无关的充要条件是 。
4. 若321,,ααα线性相关，则s ααα,,,21 )3(>s 线性 关。
5. n 维单位向量组一定线性 。
6. 设向量组s ααα,,,21 的秩为r,则 s ααα,,,21 中任意r 个 的向量都
是它的极大线性无关组。
7. 设向量T )1,0,1(1=α与T a ),1,1(2=α正交，则=a 。 8. 正交向量组一定线性 。
9. 若向量组s ααα,,,21 与t βββ,,,21 等价，则s ααα,,,21 的秩与
t βββ,,,21 的秩 。
10. 若向量组s ααα,,,21 可由向量组t βββ,,,21 线性表示，则
),,,(21s r ααα ),,,(21t r βββ 。
11122212304A -??
?= ?
?
??
，三维列向量11a α?? ?= ? ???，已知A αα与线性相关，则a = 。
三、计算题
1. 设T )1,1,1(1λα+=，T )1,1,1(2λα+=，T )1,1,1(3λα+=，
T
),,0(2λλβ=，问
（1）λ为何值时，β能由321,,ααα唯一地线性表示？
（2）λ为何值时，β能由321,,ααα线性表示，但表达式不唯一？ （3）λ为何值时，β不能由321,,ααα线性表示？
2. 设T )3,2,0,1(1=α，T )5,3,1,1(2=α，T a )1,2,1,1(3+=α，
T a )8,4,2,1(4+=α，T b )5,3,1,1(+=β问：
（1）b a ,为何值时，β不能表示为4321,,,αααα的线性组合？ （2）b a ,为何值时，β能唯一地表示为4321,,,αααα的线性组合？
3. 求向量组T )4,0,1,1(1-=α，T )6,5,1,2(2=α，T )2,5,2,1(3=α，
T )0,2,1,1(4--=α，T )14,7,0,3(5=α的一个极大线性无关组，并将
其余向量用该极大无关组线性表示。 4. 设T )1,1,
1(1=α，T )3,2,1(2=α，T t ),3,1(3=α，t 为何值时321,,ααα线性相关，
t 为何值时321,,ααα线性无关？
5.向量12321511253,,,3312641113βααα???????? ? ? ? ?--- ? ? ? ?==== ? ? ? ?- ? ? ? ?????????，判断向量β能否由向量组123,,ααα线性表示，若能，写出它的一般表示方式；若不能，请说明理由。 四、证明题
1. 设2131222112,3,ααβααβααβ-=-=+=，试证321,,βββ线性相关。
2. 设βααα,,,,21s 线性相关，而s ααα,,,21 线性无关，证明β能由
s ααα,,,21 线性表示且表示式唯一。
3. 设321,,ααα线性相关，432,,ααα线性无关，求证4α不能由321,,ααα线性表示。
4. 设s αααα,,,,210 是线性无关向量组，证明向量组s ααααααα+++020100,,,, 也线性无关。
5．设n 阶方阵A 有不同的特征值12,λλ，相应的特征向量分别是12,αα，证明：当12,k k 全不为零时，线性组合1122k k αα+不是A 的特征向量。
6. 设n 维列向量组12,,,s ααα 线性相关，A 为n 阶方阵，证明：向量组
12,,,s A A A ααα 线性相关。
第五章 特征值与特征向量
一、单项选择题
1. 设001010100A ?? ?
= ? ???
,则A 的特征值是( )。
(a) -1,1,1 (b) 0,1,1 (c) -1,1,2 (d) 1,1,2
2. 设110101011A ?? ?
= ? ???
,则A 的特征值是( )。
(a) 0,1,1 (b) 1,1,2 (c) -1,1,2 (d) -1,1,1 3. 设A 为n 阶方阵, 2A I =,则( )。
(a) ||1A = (b) A 的特征根都是1 (c) ()r A n = (d) A 一定是对称阵 4. 若12,x x 分别是方阵A 的两个不同的特征值对应的特征向量,则1122k x k x +也是
A 的特征向量的充分条件是( )。
(a) 1200k k ==且 (b) 1200k k ≠≠且 (c) 120k k = (d) 1200k k ≠=且 5. 若n 阶方阵,A B 的特征值相同,则( )。
(a) A B = (b) ||||A B = (c) A 与B 相似 (d) A 与B 合同 6. 设A 为n 阶可逆矩阵, λ是A 的特征值,则*A 的特征根之一是( )。 (a) 1||n A λ- (b) 1||A λ- (c) ||A λ (d) ||n A λ
7. 设2是非奇异阵A 的一个特征值,则211
()3
A -至少有一个特征值等于( )。
(a) 4/3 (b) 3/4 (c) 1/2 (d) 1/4
8. 设n 阶方阵A 的每一行元素之和均为(0)a a ≠,则12A E -+有一特征值为( )。
(a)a (b)2a (c)2a+1 (d)
2
a
+1 9. 矩阵A 的属于不同特征值的特征向量（ ）。
(a)线性相关 (b)线性无关 (c)两两相交 (d)其和仍是特征向量 10. ||||A B =是n 阶矩阵A 与B 相似的( )。
(a)充要条件 (b)充分而非必要条件 (c)必要而非充分条件 (d)既不充分也不必要条件 11. n 阶方阵A 有n 个不同的特征根是A 与对角阵相似的( )。 (a)充要条件 (b)充分而非必要条件 (c)必要而非充分条件 (d)既不充分也不必要条件 12. 设,A B 为相似的n 阶方阵,则( )。
(a)存在非奇异阵P ,使1P AP B -= (b)存在对角阵D ,使A 与B 都相似于D (c)存在非奇异阵P ,使T P AP B = (d)A 与B 有相同的特征向量 13. 若n 阶方阵A 与某对角阵相似,则( )。
(a) ()r A n = (b) A 有n 个不同的特征值 (c) A 有n 个线性无关的特征向量 (d) A 必为对称阵 14. 若A 相似于B ,则( )。
(a) I A I B λλ-=- (b) ||||I A I B λλ-=- (c) A 及B 与同一对角阵相似 (d) A 和B 有相同的伴随矩阵 二、填空题
1. n 阶零矩阵的全部特征值为_______。
2. 设A 为n 阶方阵，且I A =2，则A 的全部特征值为_______。
3. 设A 为n 阶方阵，且0=m A (m 是自然数)，则A 的特征值为_______。
4. 若A A =2，则A 的全部特征值为_______。
5. 若方阵A 与I 4相似，则=A _______。
6. 若n 阶矩阵A 有n 个相应于特征值λ的线性无关的特征向量，则=A _______。
7. 设三阶矩阵A 的特征值分别为-1,0,2,则行列式2A A I ++= 。
8. 设二阶矩阵A 满足232A A E O -+=，则A 的特征值为 。
9. 特征值全为1的正交阵必是 阵。
10. 若四阶矩阵A 与B 相似，A 的特征值为1111
,,,2345，则1B E --= 。
三、计算题
1. 求非奇异矩阵P ,使1P AP -为对角阵.
1) 2112A ??= ??? 2) 1
12131201A -?? ?
=-- ? ?
--??
2. 已知三阶方阵A 的三个特征根为1,1,2,其相应的特征向量依次为
(0,0,1),(1,1,0),(2,1,1)T T T --,求矩阵A .
3.
求正交阵P ，使1P AP -为对角阵，其中???
?
?
??--=011101110A 。
四、证明题
1. 设A 是非奇异阵, λ是A 的任一特征根,求证1
λ
是1A -的一个特征根,并且A 关
于λ的特征向量也是1A -关于
1
λ
的特征向量.
2. 设2A E =,求证A 的特征根只能是1±.
3. 证明:相似矩阵具有相同的特征值.
4. 设n 阶矩阵A E ≠，如果()()r A E r A E n ++-=，证明：-1是A 的特征值。
5. 设12,αα是n 阶矩阵A 分别属于12,λλ的特征向量，且12λλ≠，证明12αα+不是
A 的特征向量。
第六章 二次型
一、单项选择题
1．n 阶对称矩阵A 正定的充分必要条件是（ ）。
()a 0A > ()b 存在阶阵C ，使T A C C = ()c 负惯性指数为零 ()d 各阶顺序主子式为正
3．设A 为正定矩阵，则下列结论不正确的是（ ）。
()a A 可逆 ()b 1A -正定
()c A 的所有元素为正 ()d 任给12(,,,)0,T n X x x x =≠ 均有0T X AX >
4．方阵A 正定的充要条件是（ ）。
()a A 的各阶顺序主子式为正； ()b 1A -是正定阵；
()c A 的所有特征值均大于零； ()d A T A 是正定阵。
5．下列(,,)f x y z 为二次型的是（ ）。
()a 222ax by cz ++ ()b 2ax by cz ++
()c axy byz cxz dxyz +++ ()d 22ax bxy czx ++
6． 设A 、B 为n 阶方阵，12(,,,)T n X x x x = 且T T X AX X BX =则A=B 的充要条件是（ ）。
()a ()()r A r B = ()b T A A =
()c T B B = ()d T A A =，T B B =，
7． 正定二次型1234(,,,)f x x x x 的矩阵为A ，则( )必成立.
()a A 的所有顺序主子式为非负数
()b A 的所有特征值为非负数 ()c A 的所有顺序主子式大于零
()d A 的所有特征值互不相同
8．设A ，B 为n 阶矩阵，若( )，则A 与B 合同.
()a . 存在n 阶可逆矩阵,P Q 且PAQ B =
()b 存在n 阶可逆矩阵P ，且1P AP B -=
线性代数考试题库及答案 一、单项选择题（共5小题，每题2分，共计10分） 1.在111 ()111111 x f x x x -+=-+-展开式中，2x 的系数为 （ ） (A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 2.A 是m ×n 矩阵，(),r A r B =是m 阶可逆矩阵，C 是m 阶不可逆矩阵，且 ()r C r <，则 （ ） (A) BAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (B) BAX O =的基础解系由n-r 个向量组成 (C) CAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (D) CAX O =的基础解系由n-r 个向量组成 3.设n 阶矩阵,A B 有共同的特征值，且各自有n 个线性无关的特征向量，则（ ） (A) A B = (B) ,0A B A B ≠-=但 (C) A B (D) A B 与不一定相似，但 A B = 4.设,,A B C 均为n 阶矩阵，且AB BC CA E ===，其中E 为n 阶单位阵，则 222A B C ++= （ ） (A) O (B) E (C) 2E (D) 3E 5．设1010,0203A B ???? == ? ????? ，则A B 与 （ ） (A)合同，且相似 (B)不合同，但相似 (C)合同，但不相似 （D ）既不合同，又不相似
二、填空题（共 二、填空题（共10小题，每题 2分，共计 20 分） 1．已知11 122 233 30a b c a b c m a b c =≠，则1111 22223333 232323a b c c a b c c a b c c ++=+ 。 2．设 1 010 2010 1A ?? ?= ? ?? ? ，若三阶矩阵Q 满足2,AQ E A Q +=+则Q 的第一行的行向量是 。 3．已知β为n 维单位列向量， T β为β的转置，若T C ββ= ，则 2C = 。 4．设12,αα分别是属于实对称矩阵A 的两个互异特征值12,λλ的特征向量，则 12T αα= 。 5．设A 是四阶矩阵，A * 为其伴随矩阵，12,αα是齐次方程组0AX =的两个线 性无关解，则()r A *= 。 6．向量组1 23(1,3,0,5,0),(0,2,4,6,0),(0,3,0,6,9)T T T ααα===的线性关系 是 。 7．已知三阶非零矩阵B 的每一列都是方程组1231231 23220 2030 x x x x x x x x x λ+-=?? -+=??+-=?的解，则 λ= 。 8．已知三维向量空间3R 的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)T T T ααα===，则向量 (2,0,0)T β=在此基底下的坐标是 。 9．设21110012100,112004A a a ?? ?? ? ?== ? ? ? ????? 则 。 10．二次型2 2 2 123123121323(,,)222222f x x x x x x x x x x x x =++++-的秩为 。
2011-2012-2线性代数46学时期末试卷(A) 考试方式：闭卷 考试时间： 一、单项选择题（每小题 3分，共15分） 1.设A 为m n ?矩阵，齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的（ A ）． (A ) 列向量组线性无关， （B ） 列向量组线性相关， （C ）行向量组线性无关， （D ） 行向量组线性相关． 2．向量,,αβγ线性无关，而,,αβδ线性相关，则（ C ）。 (A ) α必可由,,βγδ线性表出， （B ）β必不可由,,αγδ线性表出， （C ）δ必可由,,αβγ线性表出， （D ）δ必不可由,,αβγ线性表出. 3. 二次型()222 123123 (,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++，当满足（ C ）时，是正定二次型． (A ) 1λ>-； （B ）0λ>； （C ）1λ>； （D ）1λ≥． 4．初等矩阵（A ）； (A ) 都可以经过初等变换化为单位矩阵；（B ） 所对应的行列式的值都等于1； （C ） 相乘仍为初等矩阵； （D ） 相加仍为初等矩阵 5．已知12,, ,n ααα线性无关，则（C ） A. 12231,, ,n n αααααα-+++必线性无关； B. 若n 为奇数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关； C. 若n 为偶数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关； D. 以上都不对。 二、填空题（每小题3分，共15分） 6．实二次型()232221213214,,x x x x tx x x x f +++=秩为2，则=t 7．设矩阵020003400A ?? ? = ? ??? ，则1A -=
WORD 格式整理 2009－2010学年第一学期期末考试 《线性代数》试卷 答卷说明：1、本试卷共6页，五个大题，满分100分，120分钟完卷。 2、闭卷考试。 评阅人:_____________ 总分人：______________ 一、单项选择题。(每小题3分,共24分) 【 】1.行列式=----3111131111311113 (A)0 (B) 1 (C) 2 (D)3 【 】2.设A 为3阶方阵，数2-=λ，3=A ，则=A λ (A) 24 (B) 24- (C) 6 (D) 6- 【 】3.已知,,B A 为n 阶方阵，则下列式子一定正确的是 (A)BA AB = (B)2222B)(A B AB A ++=+ (C)BA AB = (D) 22))((B A B A B A -=-+ 【 】4.设A 为3阶方阵, 0≠=a A ，则=*A (A) a （B) 2a (C) 3a (D) 4a __ __ ___ __ __ ___ __ __ 系_ __ __ ___ __ 专业_ __ __ ___ __ _班级 姓名_ __ ___ __ __ ___ __ 学号__ ___ __ __ ___ __ _ ………… … … … … … … … … （ 密） … … … … … … … … … … … … （ 封 ） … … … …… … … … … … … … （ 线 ） … … … … … … … … … … … …
(A) )()(B R A R < (B) )()(B R A R > (C) )()(B R A R = (D) 不能确定)(A R 和)(B R 的大小 【 】6.设n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩为r ，则0=Ax 有非零解 的充分必要条件是 (A) n r = (B) n r ≥ (C) n r < (D) n r > 【 】7. 向量组)2(,,,21≥m a a a m 线性相关的充分必要条件是 (A) m a a a ,,,21 中至少有一个零向量 (B) m a a a ,,,21 中至少有两个向量成比例 (C) m a a a ,,,21 中每个向量都能由其余1-m 个向量线性表示 (D) m a a a ,,,21 中至少有一个向量可由其余1-m 个向量线性表示 【 】8. n 阶方阵A 与对角阵相似的充分必要条件是 (A)n A R =)( (B)A 有n 个互不相同的特征值 (C)A 有n 个线性无关的特征向量 (D)A 一定是对称阵 二、填空题。(每小题3分,共15分) 1.已知3阶行列式D 的第2行元素分别为1,2,1-，它们的余子式分别为2,1,1-，则=D 。 2.设矩阵方程??????-=???? ??12640110X ，则=X 。 3.设*=ηx 是非齐次线性方程组b Ax =的一个特解，21,ξξ为对应齐次线性方程组 0=Ax 的基础解系， 则非齐次线性方程组b Ax =的通解为 . 4.设n m ?矩阵A 的秩r A R =)(，则n 元齐次线性方程组0=Ax 的解集S 的最大无关组S 的秩=R 。
《线性代数》习题集（含答案） 第一章 【1】填空题 （1） 二阶行列式 2a ab b b =___________。 （2） 二阶行列式 cos sin sin cos αα α α -=___________。 （3） 二阶行列式 2a bi b a a bi +-=___________。 （4） 三阶行列式x y z z x y y z x =___________。 （5） 三阶行列式 a b c c a b c a b b c a +++=___________。 答案：1.ab(a-b)；2.1；3.()2 a b -；4.3 3 3 3x y z xyz ++-；5.4abc 。 【2】选择题 （1）若行列式12 5 1 3225x -=0，则x=（）。 A -3； B -2； C 2； D 3。 （2）若行列式11 1 1011x x x =，则x=（）。 A -1 ， B 0 ， C 1 ， D 2 ，
（3）三阶行列式2 31 503 2012985 23 -=（）。 A -70； B -63； C 70； D 82。 （4）行列式 000 000 a b a b b a b a =()。 A 4 4 a b -；B () 2 2 2a b -；C 4 4 b a -；D 44 a b 。 （5）n 阶行列式0100 0020 0001000 n n - =（）。 A 0； B n ！； C （-1）·n ！； D () 1 1!n n +-?。 答案：1.D ；2.C ；3.A ；4.B ；5.D 。 【3】证明 33()by az bz ax bx ay x y z bx ay by az bz ax a b z x y bz ax bx ay by az y z x ++++++=++++ 答案：提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和，即得结果。 【4】计算下列9级排列的逆序数，从而确定他们的奇偶性： （1）134782695；（2）217986354；（3）987654321。 答案：（1）τ（134782695）=10，此排列为偶排列。 （2）τ（217986354）=18，此排列为偶排列。 （3）τ（987654321）=36，此排列为偶排列。 【5】计算下列的逆序数： （1）135 （2n-1）246 （2n ）；（2）246 （2n ）135 （2n-1）。 答案：（1） 12n （n-1）；（2）1 2 n （n+1） 【6】确定六阶行列式中，下列各项的符号：
线性代数习题和答案 第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出の四个选项中只有 一个是符合题目要求の，请将其代码填在题后の括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ，A*是Aの伴随矩阵，则A *中位于（1，2）の元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵Aの行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs和不全为0の数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+ λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵Aの秩为r，则A中（） A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误の是（） A.η1+η2是Ax=0の一个解 B.1 2 η1+ 1 2 η2是Ax=bの一个解
线性代数（A 卷） 一﹑选择题(每小题3分,共15分) 1. 设A ﹑B 是任意n 阶方阵,那么下列等式必成立的是( ) (A)AB BA = (B)222()AB A B = (C)222()2A B A AB B +=++ (D)A B B A +=+ 2. 如果n 元齐次线性方程组0AX =有基础解系并且基础解系含有()s s n <个解向量,那么矩阵A 的秩为( ) (A) n (B) s (C) n s - (D) 以上答案都不正确 3.如果三阶方阵33()ij A a ?=的特征值为1,2,5,那么112233a a a ++及A 分别等于( ) (A) 10, 8 (B) 8, 10 (C) 10, 8-- (D) 10, 8-- 4. 设实二次型11212222(,)(,)41x f x x x x x ?? ??= ? ?-???? 的矩阵为A ,那么( ) (A) 2331A ??= ?-?? (B) 2241A ??= ?-?? (C) 2121A ??= ? -?? (D) 1001A ?? = ??? 5. 若方阵A 的行列式0A =，则( ) (A) A 的行向量组和列向量组均线性相关 (B)A 的行向量组线性相关,列向量组线性无关 (C) A 的行向量组和列向量组均线性无关 (D)A 的列向量组线性相关,行向量组线性无关 二﹑填空题(每小题3分,共30分) 1 如果行列式D 有两列的元对应成比例,那么该行列式等于 ； 2. 设100210341A -?? ? =- ? ?-?? ，*A 是A 的伴随矩阵，则*1()A -= ； 3. 设α,β是非齐次线性方程组AX b =的解,若λαμβ+也是它的解, 那么λμ+= ； 4. 设向量(1,1,1)T α=-与向量(2,5,)T t β=正交,则t = ； 5. 设A 为正交矩阵,则A = ；
线性代数试题 一 填空题 ◆1. 设A 为3阶方阵且2=A ,则=-*-A A 231 ; 【分析】只要与*A 有关的题,首先要想到公式,E A A A AA ==**,从中推 您要的结论。这里11*2--==A A A A 代入 A A A A A 1)1(231311-= -=-=---*- 注意: 为什么就是3 )1(- ◆2. 设133322211,,α+α=βα+α=βα+α=β, 如321,,ααα线性相关,则321,,βββ线性______(相关) 如321,,ααα线性无关,则321,,βββ线性______(无关) 【分析】对于此类题,最根本的方法就是把一个向量组由另一个向量表示的问题转化为矩阵乘 法的关系,然后用矩阵的秩加以判明。 ???? ??????=110011101],,[],,[321321αααβββ,记此为AK B = 这里)()()(A r AK r B r ==, 切不可两边取行列式！！因为矩阵不一定就是方阵！！ 您来做 下面的三个题: (1)已知向量组m ααα,,,21Λ(2≥m )线性无关。设 111322211,,,,ααβααβααβααβ+=+=+=+=--m m m m m Λ 试讨论向量组m βββ,,,21Λ的线性相关性。(答案:m 为奇数时无关,偶数时相关) (2)已知321,,ααα线性无关,试问常数k m ,满足什么条件时,向量组 312312,,αααααα---m k 线性无关？线性相关？(答案:当1≠mk 时,无关;当1=mk 时,相关) (3)教材P103第2(6)题与P110例4与P113第4题 ◆3. 设非齐次线性方程b x A m =?4,2)(=A r ,321,,ηηη就是它的三个解,且
线性代数综合练习题（一） 一、单项选择题 1. 对于n 阶可逆矩阵A ，B ，则下列等式中（ ）不成立. (A) ()1 1 1---?=B A AB (B) ())/1()/1(1 1 1---?=B A AB (C) ()1 11 ---?=B A AB (D) ()AB AB /11 =- 2. 若A 为n 阶矩阵，且03=A ，则矩阵=--1)(A E （ ）. （A ）2A A E +- （B ）2A A E ++ （C ）2A A E -+ （D ）2A A E -- 3. 设A 是上（下）三角矩阵，那么A 可逆的充分必要条件是A 的主对角线元素为（ ）. (A) 全都非负 （B ） 不全为零 （C ）全不为零 （D ）没有限制 4. 设 3 3)(?=ij a A ，????? ??+++=13 3312 321131 131211 232221a a a a a a a a a a a a B ，???? ? ? ?=10 0001010 1 P ，??? ? ? ? ?=10 1010 001 2P ，那么（ ）. （A ）B P AP =21 （B ）B P AP =12 （C ）B A P P =21 （D ）B A P P =12 5. 若向量组m ααα,,,21 线性相关，则向量组内（ ）可由向量组其余向量线性表示. （A ）至少有一个向量 （B ）没有一个向量 （C ）至多有一个向量 （D ）任何一个向量 6. 若??? ? ? ? ?=21 25314 3212A ，其秩=)(A R （ ）. （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 7. 若方程b AX =中，方程的个数小于未知量的个数，则有（ ）. （A ）b AX =必有无穷多解 （A ）0=AX 必有非零解 （C ）0=AX 仅有零解 （D ）0=AX 一定无解 8. 若A 为正交阵，则下列矩阵中不是正交阵的是（ ）. （A ）1-A （B ）A 2 （C ）4A （D ）T A 9. 若满足条件（ ），则n 阶方阵A 与B 相似. （A ）B A = （B ）)()(B R A R = （C ）A 与B 有相同特征多项式 （D ）A 与B 有相同的特征值且n 个特征值各不相同 二、填空题
第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+ λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r，则A中（） A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（） A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.1 2η1+1 2 η2是Ax=b的一个解 C.η1-η2是Ax=0的一个解 D.2η1-η2是Ax=b的一个解 9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）
线性代数期末考试试卷 答案合集 文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]
×××大学线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=3231 2221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，， ， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。 ( )
三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2 分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 12-n ③ 12+n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，， ， 21（3 s n ）线性无关的充要条件是（ ）。 ① s ααα，， ， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，， ， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，， ， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα，， ， 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。 ① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关 4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。 ① 若A ，B 均可逆，则B A +可逆 ② 若A ，B 均可逆，则 A B 可逆 ③ 若B A +可逆，则 B A -可逆 ④ 若B A +可逆， 则 A ，B 均可逆 5. 若4321νννν，，，是线性方程组0=X A 的基础解系，则4321νννν+++是0=X A 的（ ） ① 解向量 ② 基础解系 ③ 通解 ④ A 的行向量 四、计算题 ( 每小题9分，共63分) 1. 计算行列式 x a b c d a x b c d a b x c d a b c x d ++++。
线性代数B 复习资料 (一)单项选择题 1．设A ，B 为n 阶方阵，且()E AB =2 ，则下列各式中可能不成立的是（ A ） (A )1-=B A (B)1-=B ABA (C)1-=A BAB (D)E BA =2 )( 2．若由AB=AC 必能推出B=C （A ，B ，C 均为n 阶矩阵）则A 必须满足（ C ） (A)A ≠O (B)A=O (C )0≠A (D) 0≠AB 3．A 为n 阶方阵，若存在n 阶方阵B ，使AB=BA=A ，则（ D ） (A) B 为单位矩阵 (B) B 为零方阵 (C) A B =-1 (D ) 不一定 4．设A 为n ×n 阶矩阵，如果r(A) 线性代数综合练习题 第一章 行列式 一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. =0 00110000 0100100 ( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 4．在函数1 003232 1 1112)(x x x x x f ----= 中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 6. 若573411111 3263 478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 7. 若2 23500101 1 110403--= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 8. k 等于何值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题 1. n 2阶排列)12(13)2(24-n n 的逆序数是. 2．在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是 . 3. 行列式 =0 1 011101010 0111 . 4．如果M a a a a a a a a a D ==3332 31232221 13 1211 ，则=---=32 32 3331 2222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D 5．齐次线性方程组??? ??=+-=+=++0 0202321 2 1321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是. 6．若齐次线性方程组?? ? ? ?=+--=+=++0 230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =. 线性代数期末考试题样卷 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，， ，Λ21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，，Λ21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，，Λ21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。 ① s ααα，， ，Λ21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，， ，Λ21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，， ，Λ21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 《 线性代数复习提纲及复习题 》 理解或掌握如下内容： 第一章 n 阶行列式 .行列式的定义，排列的逆系数，行列式性质，代数余子式， 行列式的计算，三角化法及降阶法，克莱姆法则。 第二章 矩阵及其运算 矩阵的线性运算，初等变换与初等矩阵的定义，方阵的逆矩阵定义及性质 方阵的逆矩阵存在的充要条件，用初等变换求逆矩阵，矩阵方程的解法，矩阵的秩的定义及求法；齐次线性方程组只有零解、有非零解的充要条件，；非齐次线性方程组有解的充要条件，解的判定。 第三章 线性方程组 ｎ维向量的线性运算，向量组线性相关性的定义及证明，向量空间，向量组的极大线性无关组、秩； 齐次线性方程组的基础解系，解的结构，方程组求解；非齐次线性方程组解的结构，用初等变换解方程组，增广矩阵含有字母元素的方程组的求解。 复习题： 一、填空 （1）五阶行列式的项5441352213a a a a a 前的符号为 负 ； （2）设)3,3,2(2),3,3,1(-=+-=-βαβα，则α= （1，0，0） ； （3）设向量组γβα,,线性无关，则向量组γβαβα2,,+-线性 无关 ； （4）设* A 为四阶方阵A 的伴随矩阵，且*A =8，则12)(2-A = 4 ； （5）线性方程组054321=++++x x x x x 的解空间的维数是 4 ； （6）设???? ? ??=k k A 4702031，且0=T A 则k = 0或6 ； （7）n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩r(A)秩是r,则其解空间的维数是 n-r ； （8）的解的情况是：方程组b Ax b A R A R 2),,()3(== 有解 ； （9）方阵A 的行向量组线性无关是A 可逆的 充要 条件； 线性代数综合练习 一. 填空题 1. 1.设,135213241 111 5312-= A 1 352132*********-=B 则41424344A A A A +++= ，=+++44434241B B B B 。 41424344423A A A A +++= ，41424344235B B B B +-+= 。 详解： 41424344A A A A +++=414243441111A A A A ?+?+?+? 21351111 042311111 -== 414243442 1351 111 423042314231A A A A -+++= = 4142434421351 112 235042312135 B B B B -+-+= =- 2.设行列式2 2 35007022 220403--= D 则第4行各元素代数余子式之和为 。 4142434424 232135 2135 11 12000142314231111111 1 1 213213 21 (1)423009(1)99 11 111111 B B B B ++--+++= = --=-==-?=- 详解：41424344304022 22007001111 A A A A +++= =- 3、设A 的特征值为：1，─2，3，则2A 的特征值是 1A -的特征值 详解： 2，─4，6 11123 -，， 4、正交矩阵A 的行列式的绝对值等于 1 解答：对， ,(,)()()0,0T T T T T T T A A A A A A A A A E αλαααααααααααααα=?=====>≠22,(,)(,)(,)T A A A αλαααλαλαλααλαα=?=== 21λ∴= 二. 选择题 1. 设1200221011011k k ?????? ? ? ?=- ? ? ? ??? ?--?????? ，则k = (A) 1； (B) 2； (C) 3； (D) 4 详解：选Ａ . 2. 设A =2145?? ???，0319B ??= ?-?? 则AB = (A) 18； (B) 18-； (C) 13 ； (D) 15. 详解：B 3. 设非齐次线性方程组Ax = b ，其中A m ?n 且R(A )=m 《 线性代数A 》试题（A 卷） 试卷类别：闭卷 考试时间：120分钟 考试科目：线性代数 考试时间： 学号： 姓名： 题号 一 二 三 四 五 六 七 总 分 得分 阅卷人 一．单项选择题（每小题3分，共30分） 1．设A 经过初等行变换变为B ，则（ ）.(下面的(),()r A r B 分别表示矩阵,A B 的秩)。 () A ()()r A r B <； () B ()()r A r B =； ()C ()()r A r B >； () D 无法判定()r A 与()r B 之间的关系。 2．设A 为 (2)n n ≥阶方阵且||0A =，则（ ）。 () A A 中有一行元素全为零； () B A 有两行（列）元素对应成比例； () C A 中必有一行为其余行的线性组合； () D A 的任一行为其余行的线性组合。 3. 设,A B 是n 阶矩阵(2n ≥), AB O =,则下列结论一定正确的是: ( ) () ;A A O B O ==或 ()AX B B 的每个行向量都是齐次线性方程组=O 的解. ();C BA O = ()()().D R A R B n +≤ 4．下列不是n 维向量组12,,...,s ααα线性无关的充分必要条件是（ ） () A 存在一组不全为零的数12,,...,s k k k 使得1122...s s k k k O ααα+++≠； () B 不存在一组不全为零的数12,,...,s k k k 使得1122...s s k k k O ααα+++= 12(),,...,s C ααα的秩等于s ； 12(),,...,s D ααα中任意一个向量都不能用其余向量线性表示 5．设n 阶矩阵(3)n ≥1...1................1a a a a a a A a a a ?? ? ? ?= ? ? ???，若矩阵A 的秩为1n -，则a 必为（ ）。 ()A 1； () B 11n -； () C 1-； () D 11 n -. 6．四阶行列式 1 1 2 2334 4 0000 000 a b a b b a b a 的值等于（ ）。 ()A 12341234a a a a b b b b -； ()B 12341234a a a a b b b b +； () C 12123434()()a a b b a a b b --； () D 23231414()()a a b b a a b b --. 7．设A 为四阶矩阵且A b =，则A 的伴随矩阵* A 的行列式为（ ）。 ()A b ； () B 2b ； () C 3b ； () D 4b 8．设A 为n 阶矩阵满足23n A A I O ++=，n I 为n 阶单位矩阵,则1 A -=（ ） () n A I ； ()3n B A I +； ()3n C A I --； ()D 3n A I + 9．设A ，B 是两个相似的矩阵，则下列结论不正确的是（ ）。 ()A A 与B 的秩相同； ()B A 与B 的特征值相同； () C A 与B 的特征矩阵相同； () D A 与B 的行列式相同； 诚实考试吾心不虚 ，公平竞争方显实力， 考试失败尚有机会 ，考试舞弊前功尽弃。 上海财经大学《 线性代数 》课程考试卷（B ）闭卷 课程代码 105208 课程序号 姓名 学号 班级 一、单选题(每小题2分，共计20分) 1. 当=t 3 时，311244s t a a a a 是四阶行列式中符号为负的项。 2. 设A 为三阶方阵，3A = ，则* 2A -=__-72__。 3. 设矩阵01000 01000010 00 0A ????? ?=?????? ，4k ≥,k 是正整数，则=k P 0 。 4. 设A 是n 阶矩阵，I 是n 阶单位矩阵,若满足等式2 26A A I +=，则 () 1 4A I -+= 2 2A I - 。 5. 向量组()()()1,2,6,1,,3,1,1,4a a a +---的秩为1，则 a 的取值为__1___。 6. 方程组1243400x x x x x ++=??+=? 的一个基础解系是 ???? ? ? ? ??--??????? ??-1101,0011 。 7. 设矩阵12422421A k --?? ?=-- ? ?--??，500050004A ?? ? = ? ?-?? ，且A 与B 相似，则=k 4 。 …………………………………………………………… 装 订 线………………………………………………… 8. 123,,ααα是R 3 的一个基,则基312,,ααα到基12,αα,3α的过渡矩阵为 ???? ? ??001100010 。 9. 已知413 1 210,32111 a A B A A I -===-+-, 则B 的一个特征值是 2 。 10. 设二次型222 12312132526f x x x tx x x x =++++为正定, 则t 为 5 4||< t 。 二．选择题（每题3分，共15分） 1. 设A 为n 阶正交方阵，则下列等式中 C 成立。 (A) *A A =; (B)1*A A -= (C)()1T A A -=; (D) *T A A = 2. 矩阵 B 合同于145-?? ? - ? ??? (A) 151-?? ? ? ??? ; （B ）????? ??--321;（C ）???? ? ??112;（D ）121-?? ? - ? ?-?? 3. 齐次线性方程组AX O =有唯一零解是线性方程组B AX =有唯一解的（ C ）。 （A ）充分必要条件； （B ）充分条件； （C ）必要条件； （D ）无关条件。 4．设,A B 都是n 阶非零矩阵，且AB O =，则A 和B 的秩（ B ）。 （A ）必有一个等于零；（B ）都小于n ；（C ）必有一个等于n ；（D ）有一个小于n 。 5．123,,ααα是齐次线性方程组AX O =的基础解系，则__B___也可作为齐次线性方程组 AX O =的基础解系。 (A) 1231231222,24,2αααααααα-+-+--+ （B ）1231212322,2,263αααααααα-+-+-+ 8线性代数练习题(带解题过程) ０ 线性代数试题 一 填空题 ◆1． 设 A 为3阶方阵且 2 =A ，则 = -*-A A 231 ； 【分析】只要与* A 有关的题，首先要想到公式， E A A A AA ==**，从中推 你要的结论。这里1 1* 2--==A A A A 代入 A A A A A 1)1(231311-= -=-=---*- 注意： 为什么是3 )1(- ◆2． 设1 33322211 ,,α+α=βα+α=βα+α=β， 如 3 21,,ααα线性相关，则3 21,,βββ线性 ______(相关) 如 3 21,,ααα线性无关，则 3 21,,βββ线性 ______(无关) 【分析】对于此类题，最根本的方法是把一个向量组由另一个向量表示的问题转化为矩阵乘 １ 法的关系，然后用矩阵的秩加以判明。 ?? ?? ? ?????=110011101],,[],,[321321αααβββ，记此为AK B = 这里)()()(A r AK r B r ==， 切不可两边取行列式！！因为矩阵不一定 是方阵！！ ◆3． 设非齐次线性方程b x A m =?4 ，2)(=A r ，3 2 1 ,,ηη η是 它的三个解，且 T T T )5,4,3,2(,)4,3,2,1(,)7,6,4,3(133221=+=+=+ηηηηηη 求该方程组的通解。(答案： T T T k k x )2,2,1,1()1,1,1,1()6,5,3,2(2 1 21++= ，形式不 唯一) 【分析】对于此类题，首先要知道齐次方程组基础解系中向量的个数（也是解空间的维数） 是多少，通解是如何构造的。其次要知 道解得性质（齐次线性方程组的任意两解的线性线性代数综合练习题(修改)
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