圆与方程
1. 圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-. 特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+.
2. 点与圆的位置关系：
(1).设点到圆心的距离为d ，圆半径为r ：
a.点在圆内 d ＜r ；
b.点在圆上 d=r ；
c.点在圆外 d ＞r
(2).给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-.
①M 在圆C 内22020)()(r b y a x <-+-?
②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-?
（ ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x >-+-?
（3）涉及最值：
① 圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值
min PB BN BC r ==-
max PB BM BC r ==+
② 圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值
min PA AN r AC ==-
max PA AM r AC ==+
思考：过此A 点作最短的弦？（此弦垂直AC ）
3. 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x .
(1) 当0422>-+F E D 时，方程表示一个圆，其中圆心??? ??--2,2E D C ，半径2
422F E D r -+=. (2) 当0422=-+F E D 时，方程表示一个点??? ??--2,2
E D . (3) 当0422<-+
F E D 时，方程不表示任何图形.
注：方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且0422 AF E D -+.
4. 直线与圆的位置关系：
直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-
圆心到直线的距离22B A C
Bb Aa d +++=
1）无交点直线与圆相离??>r d ；
2）只有一个交点直线与圆相切??=r d ；
3）有两个交点直线与圆相交?? 还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组? ??=++++=++0022F Ey Dx y x C By Ax 求解，通过解的个数来判断： （1）当0>?时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交； （2）当0=?时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切； （3）当0 5. 两圆的位置关系 （1）设两圆2121211)()(:r b y a x C =-+-与圆2 222222)()(:r b y a x C =-+-， 圆心距2 21221)()(b b a a d -+-= ① 条公切线外离421??+>r r d ； ② 条公切线外切321??+=r r d ； ③ 条公切线相交22121??+<<-r r d r r ； ④ 条公切线内切121??-=r r d ； ⑤ 无公切线内含??-<<210r r d ； 外离外切相交内切 （2）两圆公共弦所在直线方程 圆 1 C：22 111 x y D x E y F ++++=， 圆 2 C：22 222 x y D x E y F ++++=， 则()()() 121212 D D x E E y F F -+-+-=为两相交圆公共弦方程. 补充说明： ①若 1 C与 2 C相切，则表示其中一条公切线方程； ②若 1 C与 2 C相离，则表示连心线的中垂线方程. （3）圆系问题 过两圆 1 C：22 111 x y D x E y F ++++=和 2 C：22 222 x y D x E y F ++++=交点的圆系方程为() 2222 111222 x y D x E y F x y D x E y F λ +++++++++=（1 λ≠-） 补充： ①上述圆系不包括 2 C； ②2）当1 λ=-时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦） ③过直线0 Ax By C ++=与圆220 x y Dx Ey F ++++=交点的圆系方程为 () 220 x y Dx Ey F Ax By C λ +++++++= 6. 过一点作圆的切线的方程： (1)过圆外一点的切线： ①k不存在，验证是否成立 ②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，即 ? ? ? ? ? + - - - = - = - 1 ) ( ) ( 2 1 1 1 1 R x a k y b R x x k y y 求解k，得到切线方程【一定两解】 例1. 经过点P(1，—2)点作圆(x+1)2+(y—2)2=4的切线，则切线方程为。 (2) 过圆上一点的切线方程：圆(x—a)2+(y—b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)， 则过此点的切线方程为(x 0—a )(x —a )+(y 0—b )(y —b )= r 2 特别地，过圆222r y x =+上一点),(00y x P 的切线方程为200r y y x x =+. 例2.经过点P(—4，—8)点作圆(x+7)2+(y+8)2=9的切线，则切线方程为 。 7．切点弦 (1)过⊙C ：2 22)()(r b y a x =-+-外一点),(00y x P 作⊙C 的两条切线，切点分别为B A 、， 则切点弦AB 所在直线方程为：200))(())((r b y b y a x a x =--+-- 8. 切线长： 若圆的方程为(x -a )2(y -b )2=r 2 ，则过圆外一点P (x 0,y 0)的切线长为 d =22020b)(+)(r y a x ---． 9. 圆心的三个重要几何性质： ① 圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ② 圆心在某一条弦的中垂线上； ③ 两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。 10. 两个圆相交的公共弦长及公共弦所在的直线方程的求法 例.已知圆C 1：x 2 +y 2—2x =0和圆C 2：x 2 +y 2 +4 y =0，试判断圆和位置关系， 若相交，则设其交点为A 、B ，试求出它们的公共弦AB 的方程及公共弦长。 一、求圆的方程 例1 (06重庆卷文)以点)1,2(-为圆心且与直线0543= +-y x 相切的圆的方程为( ) (A)3)1()2(22=++-y x (B)3)1()2(22=-++y x (C)9)1()2(22=++-y x (D)9)1()2(22=-++y x 二、位置关系问题 例2 (06安徽卷文) 直线1=+ y x 与圆0222=-+ay y x )0(>a 没有公共点，则a 的取值范围是( ) (A))12, 0(-(B))12,12(+- (C))12,12(+--(D))12,0(+ 三、切线问题 例3 (06重庆卷理) 过坐标原点且与圆0252422=++-+y x y x 相切的直线方程为( ) (A)x y 3-=或x y 31= (B)x y 3=或x y 3 1-= (C)x y 3-=或x y 31-=(D)x y 3=或x y 31= 四、弦长问题
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