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高考理科数学复习排列组合二项式定理真题解析

高考理科数学复习排列组合二项式定理真题解析
高考理科数学复习排列组合二项式定理真题解析

专题10 排列组合二项式定理

排列、组合与二项式定理是高中数学中内容相对独立的一个部分,排列、组合的知识为概率与统计中的计数问题提供了一定的方法.

这部分内容的试题有一定的综合性与灵活性,要注意与其他数学知识的联系,注意与实际生活的联系.通过对典型例题的分析,总结思维规律,提高解题能力.

§10-1 排列组合

【知识要点】

1.分类计数原理与分步计数原理. 2.排列与组合.

3.组合数的性质:

(1);

(2).

【复习要求】

理解和掌握分类计数与分步计数两个原理.在应用分类计数原理时,要注意“类”与“类”之间的独立性和等效性,在应用分步计数原理时,要注意“步”与“步”之间的相关性和连续性.

熟练掌握排列数公式和组合数公式,注意题目的结构特征和联系;掌握组合数的两个性质,并应用于化简、计算和论证.

正确区别排列与组合的异同,体会解计数问题的基本方法,正确处理附加的限制条件. 【例题分析】

例1 有3封信,4个信筒.

(1)把3封信都寄出,有多少种寄信方法?

(2)把3封信都寄出,且每个信筒中最多一封信,有多少种寄信方法?

?=-=-=m n m

n m

n m n

A A m n m n C m n n A )!(!!,)!(!m

n n m n C C -=1

1-++=m n m n m n C C C

【分析】(1)分3步完成寄出3封信的任务:第一步,寄出1封信,有4种方法;第二步,再寄出1封信,有4种方法;第三步,寄出最后1封信,有4种方法,完成任务.根据分步计数原理,共有4×4×4=43=64种寄信方法.

(2)典型的排列问题,共有=24种寄信方法.

例2 在一块并排10垄的田地中,选择2垄分别种植A ,B 两种作物,每种作物种植1垄,为有利于作物生长,要求A ,B 两种作物的间隔不小于6垄,则不同的种植方法共有______种.

解:设这10垄田地分别为第1垄,第2垄,…,第10垄,要求A ,B 两垄作物的间隔不少于6垄,所以第一步选垄的方式共有(1,8),(1,9),(1,10),(2,9),(2,10),(3,10)这6种选法,第二步种植两种作物共有=2种种植法,所以共有6×2=12种选垄种植方法.

【评述】排列组合是解决计数问题的一种重要方法.但要注意,计数问题的基本原理是分步计数原理和分类计数原理,是最普遍使用的,不要把计数问题等同于排列组合问题.

对某些计数问题,当运用公式很难进行时,适时采取原始的分类枚举方法往往是最好的.如例2.

在具体的计数问题的解决过程中,需要决策的是,这个计数问题需要“分步”还是“分类”完成,再考虑这个计数问题是排列问题、组合问题还是一般的计数问题.如例1的两个问题.

例3 某电子表以6个数字显示时间,例如09:20:18表示9点20分18秒.则在0点到10点之间,此电子表出现6个各不相同数字来表示时间的有______次.

【分析】分步来确定电子表中的六个数字如下: 第一步:确定第一个数字,只能为0,只有1种方法;

第二步:确定第三位数字,只能为0至5中的一个数(又不能与首位相同),所以只有5种方法;

第三步:确定第五位数字,也只能为0至5中的一个数(又不能与首位,第三位相同),所以只有4种方法;

第四步:确定剩下三位数字,0至9共10个数字已用了3个,剩下的7个数字排列在2,

4,6位共有种排法.

由分步计数原理得:1×5×4×=4200种.

3

4A 2

2A 37A 3

7A

【评述】做一件事情分多步完成时,我们一般先做限制条件较大的一步,如本题中,首位受限条件最大,其次为三、五位,所以我们先排首位,再排三、五位,最后排其他位.

例4 7个同学站成一排,分别求出符合下列要求的不同排法的种数. (1)甲站在中间; (2)甲、乙必须相邻;

(3)甲在乙的左边(但不一定相邻); (4)甲、乙、丙相邻; (5)甲、乙、丙两两不相邻;

解:(1)甲站在中间,其余6名同学任意排列,故不同排法有=720.

(2)第一步:先把甲、乙捆绑,视为一个元素,连同其余5个人全排列,共有种排法;第二步:给甲、乙松绑,有种排法,此题共有=1440种不同排法. (3)在7名同学站成一排的种排法中,“甲左乙右”与“甲右乙左”的站法是一一对应的,各占一半,因此甲站在乙的左边(不要求相邻)的不同排法共有÷2=2520种.

(4)先把甲、乙、丙视为一个元素,连同其余4名同学共5个元素的全部排列数有种,再结合甲、乙、丙3个人之间的不同排列有种,此题的解为:=720. (5)先让除甲、乙、丙外的4个人站好,共有种站法,让甲、乙、丙3人插空,由于

4个人形成5个空位,所以甲、乙、丙共有种站法,此题答案.

【评述】当要求某几个元素排在一起时,我们常将这几个元素捆绑在一起作为一个元素与其他元素进行排列如例4(2),(4).

当要求某几个元素不相邻时,我们常常先排其他元素,然后再将这几个元素排在已排好的其他元素的空中如例4(5).

例5 4个不同的球,4个不同的大盒子,把球全部放入盒内,恰有一个盒不放球,共几种放法?

6

6A 66A 2

2A 6

6

A 2

2A 7

7A 77A 5

5A 33A 55A 33

A 4

4A 3

5A 14403544 A A

【分析】先将4个球分成3组,共有种分组方法;再将3组球放在4个盒子里,是排列问题,有24种方法,所以,共有种不同的放球方法.

【评述】类似这种装球问题采取先分组后装球的方法比较好.

例6某班组有10名工人,其中4名是女工.从这10个人中选3名代表,其中至少有一名女工的选法有多少种?

解法1:至少有一名女工的情形有三类:1名女工和2名男工;2名女工和1名男工;3

名女工,把这3类选法加在一起,共有种不同的选法.

解法2:与“至少有一名女工”选法相对立的是“没有女工”的选法,从所有的选法中

除去“没有女工”的选法,剩下的即为所求,共有.

【评述】当涉及“至少”或“至多”的问题时,从大的方向看我们常常是对其分类讨论,运用分类计数原理解决问题,当然,也可以考虑问题的对立面再用减法进行计算.

例7 如图,用六种不同的颜色给图中的4个格子涂色,每个格子涂一种颜色,要求相邻的两个格子颜色不同,且两端的格子的颜色也不同,则不同的涂色方法共有多少种?

【分析】如果按从左至右的顺序去涂色,当涂到第4个格子时会发现,第三个格子的颜色与第一个格子的颜色是否相同决定着第4个格子有几种涂色方法,即如果第三个格子的颜色与第一个格子的颜色是否相同是不确定的,则第四个格子的涂色情况不定.于是,我们要按照1、3两个格子颜色相同和不相同两种情况分类来处理这个计数问题.

解:1、3两个格子颜色相同时,按分步计数原理,有6×5×1×5=150种方法; 1、3两个格子颜色不相同时,按分步计数原理,有6×5×4×4=480种方法. 所以,共有不同的涂色方法630种.

例8 四面体的顶点和各棱中点共10个点,取4个不共面的点,不同取法有多少种?

62

4=C =34A 1443

424=A C 1003

416242614=++C C C C C 1003

6310=-C

C

【分析】没有限制地从10个点中选出4个点,共有种不同选法,除去4点共面的

选法即可.

4点共面的选法有3类.

(1)4个点在四面体A -BCD 的某一个面 上,共有种共面的情况.

(2)过四面体的一条棱上的3个点及对棱的中点,如图中点A ,E ,B ,G 平面,共计有6种共面的情况.

(3)过四面体的四条棱的中点,而且与一组对棱平行的平面,如图E ,F ,G ,H 平面,此类选法共有3种.

综上,符合要求的选法共有种.

例9 在给出的下图中,用水平或垂直的线段连结相邻的字母,按这些线段行走时,正好拼出“竞赛”即“CONTEST ”的路线共有多少条?

【分析】“CONTEST ”的路线的条数与“TSETNOC ”路线的条数相同,如下右图,从左下角的T 走到边上的C 共有6步,每一步都有2种选择,由分步计数原理,所以下图中,“TSETNOC ”路线共有26=64条.

所以本题的答案为64×2-1=127.

4

10C 4

64C 141)364(4

6410=++?-C

C

【评述】例9的这种计数的方法常称之为对应法计数,它的理论基础为:如果两个集合之间可以建立一对一的对应关系,那么这两个集合的元素的个数相同.借助这个原理,如果一个集合元素的个数不好计算时,我们将其转化为求另一个集合元素的个数不失为一种较好的方法.

例10 (1)计算的值; (2)计算的值;

(3)证明:.

(1)解:. (2)解:注意到中的隐含条件:n ≥m ,m ∈N ,n ∈N *,有

解得,所以n =10. 所以,.

(3)证明:

【评述】对于含排列组合式的恒等式证明及计算问题常用的方法有两种,一种是运用排列组合数的计算公式转化为代数恒等式的证明及代数式求值问题,另一种是运用组合数的一些性质进行计算及证明.

常用的组合数的性质有:

(1); (2);

59

694

858A A A A -+n

n n

n

C C 321383+-+m

n m n m n A mA A 11+-=+27

5!93!85!9!94!8!84!

4!9!3!9!4!8!3!859

69

4858=??=-?+?=-+

=-+A A A A m

n C ????

??

?≥+≥->-≥,

321,

038,

03,383n n n n n n 221219≤≤n 4661

3123030312830=+=+C C C C )!

1(!

)!1(!)1()!1(!)!(!1

+-++-+-=+-+-=

+??-m n n m m n n m n m n n m m n n mA A m n

m n m n A m n n m n n m n n m m n n m n 1]!

)1[()!1()!1()!1()!1(!)!1(!)1(+=-++=+-+=+-++-+-=

??m n n m n C C -=1

1-++=m n m n m n C C C

(3);

(4).

练习10-1

一、选择题

1.5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共有( ) (A)10种

(B)20种

(C)25种

(D)32种

2.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中,那么不同插法的种数为( ) (A)42

(B)30

(C)20

(D)12

3.四面体的一个顶点为A ,从其他顶点与棱的中点中取3个点,使它们和点A 在同一平面上,不同的取法有( ) (A)30种

(B)33种

(C)36种

(D)39种

4.某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘,根据需要,软件至少买3片,磁盘至少买2盒,则不同的选购方式有( ) (A)5种

(B)6种

(C)7种

(D)8种

5.下列等式中正确的是( )

(1);

(2)

; (3); (4). (A)(1)(2) (B)(1)(2)(3) (C)(1)(3)

(D)(2)(3)(4)

6.有两排座位,前排11个座位,后排12个座位,现安排2人就座,规定前排中间的3个座位不.能坐,并且这2人不左右相邻,那么不同排法的种数是( ) (A)234种 (B)346种 (C)350种 (D)363种

二、填空题

n

n n n n n C C C C 2210=++++ΛΛΛ++=++3

120n n n n C C C C 1

1--=k n k n nC kC 1

11

111+++=+k n k n C n C k k

n k n

C k k n C 1

1

+-=

+k

n k n C n k C 1

11

1++=

++

7.从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax +By +C =0中的A 、B 、C ,所得的经过坐标原点的直线有______条.(结果用数值表示)

8.用数字0,1,2,3,4,5可以组成没有重复数字,并且比20000大的五位偶数共有______. 9.马路上有12盏灯,为了节约用电,可以熄灭其中3盏灯,但两端的灯不能熄灭,也不能熄灭相邻的两盏灯,那么熄灯方法共有______种.

10.将标号为1,2,…,10的10个球放入标号为1,2,…,10的10个盒子内,每个盒内

放一个球,则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有______种.(以数字作答)

11.从集合{O ,P ,Q ,R ,S }与{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}中各任取2个元素排成一

排(字母和数字均不能重复),每排中字母O ,Q 和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是______.(用数字作答)

12.8个相同的球放进编号为1、2、3的盒子里,则放法种数为______.(以数值作答)

§10-2 二项式定理

【知识要点】

1.二项式定理:.

2.通项公式:,

3.,,,…,,…,称为二项式系数,

4.二项展开式的系数的性质:

;.

【复习要求】

会求二项展开式中适合某种特殊条件的项;

了解利用二项式定理进行近似计算,证明与组合数有关的等式或整数(整式)的整除性的方法. 【例题分析】

例1 在二项式的展开式中,含x 4的项的系数是______.

n

n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+---ΛΛ222110)(r

r n r n r b a C T -+=10n C 1n C 2n C r n C n

n C n n n n n n C C C C 2210=++++ΛΛΛ++=++3120n n n n C C C C 5

2

)1

(x

x -

解:, 令10-3r =4,得r =2,所以x 4项的系数是.

例2 (1)若(1+x )n 的展开式中,x 3的系数是x 系数的7倍,求n 的值; (2)在(2+lg x )8的展开式中,二项式系数最大的项的值等于1120,求x 的值.

解:(1)由已知,即

,整理得n 2-3n -40=0,

解得n =8或n =-5(舍).所以n =8.

(2)(2+lg x )8的展开式中共有9项,二项式系数最大的项为第5项.

由已知,,整理得(lg x )4=1,所以lg x =±1,

解得x =10或 例3 求的展开式中x 的系数为有理数的项的个数.

解:,

若系数为有理数,则

都必须是整数,即r 应为6的倍数. 又0≤r ≤100,所以r 的不同值有17个. 所以x 的系数为有理数的项共有17项.

例4 已知的展开式中,第3项与第6项的系数互为相反数,求展开式中系数最小的项.

解: 由已知,所以n =7.

所以第4项系数最小, r r r r r

r r x C x

x C T 31055251)1()1

()

(--+-=-=10)1(2

25=-C 1

37n n C C =n n n n 76

)

2)(1(=--1120)(lg 24

4485=?=?x C T ?=

10

1x 1003

)23(+x r r r r

r

r r r x C x C T ---+==1003

2

100100

3

100100

1·2·3

·)2()3(3

,2100r

r -n

n

x )1

(-,)1(,)1(10555564222

23-----=-==-=n n n n n n n n x C x

x C T x C x x

C T 2

5n n C C =.35)1(3733

7374x x C x

x

C T -=-=-=-

【评述】通项公式是二项式定理中常用的一个公式,要熟练掌握,同

时注意系数、上标、下标之间的关系;

注意系数、二项式系数的区别,如例2; 注意运用通项公式求第3项时,r =2.如例4.

例5 已知(a 2+1)n 的展开式中的各项系数之和等于的展开式的常数项,而(a 2+1)n 的展开式中的系数最大项等于54,求a 的值,

解:的展开式的第r +1项

令T r +1为常数项,则20-5r =0,r =4,所以常数项 又(a 2+1)n 的展开式中的各项系数之和等于2n ,由题意得2n =16,所以n =4. 由二项式系数的性质知,(a 2+1)n 的展开式中的系数最大的项即为二项式系数最大的项,是中间项T 3,所以,解得.

例6 已知(1-2x )7=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 7x 7.求: (1)a 1+a 2+…+a 7; (2)a 1+a 3+a 5+a 7; (3)a 0+a 2+a 4+a 6;

(4)|a 0|+|a 1|+|a 2|+…+|a 7|.

解:令x =1,则a 0+a 1+a 2+…+a 7=-1. ① 令x =-1,则a 0-a 1+a 2-a 3+a 4-a 5+a 6-a 7=37. ②

(1)易知a 0=1,所以a 1+a 2+…+a 7=a 0+a 1+a 2+…+a 7-a 0=-2;

(2)(①-②)÷2,得a 1+a 3+a 5+a 7==-1094;

(3)(①+②)÷2,得a 0+a 2+a 4+a 6==1093;

(4)方法1:因为(1-2x )7的展开式中a 1,a 3,a 5,a 7是负数,a 0,a 2,a 4,a 6是正数,

r

r n r n r b a C T -+=15

2)1516(

x

x +52)1516(x x +.)516()1()516(2

520555251r

r r r r

r r x C x

x C T ---+==.165

16

4

55=?

=C T 544

2

4=a C 3±=a 2317--2

317

+-

所以|a 0|+|a 1|+|a 2|+…+|a 7|=a 0+a 2+a 4+a 6-(a 1+a 3+a 5+a 7)=2187. 方法2:因为|a 0|+|a 1|+|a 2|+…+|a 7|表示(1+2x )7的展开式中各项系数的和,

令x =1,可得|a 0|+|a 1|+|a 2|+…+|a 7|=37=2187.

【评述】通过给二项式定理中的字母赋值(根据式子的特点,常令字母为1或-1)的方式可以解决二项展开式系数整体求值的问题.

例7 若多项式x 2+x 10=a 0+a 1(x +1)+a 2(x +1)2+…+a 9(x +1)9+a 10(x +1)10,则a 9=______.

【分析】方法1:由于a 0+a 1(x +1)+a 2(x +1)2+…+a 9(x +1)9+a 10(x +1)10=x 2+x 10

[-1+(x +1)2]+[-1+(x +1)10]

=,

则.

方法2:由于等式左边x 10的系数为1,所以a 10=1,

又,等式左边x 9的系数为0,所以,所以a 9=-10.

例8 除以100的余数为______.

解:

前面各项均能被100整除,只有末尾两项不能被100整除,

,所以9192除以100的余数为81.

例9求(0.998)5精确到0.001的近似值. 解:. 【评述】利用二项式定理求余数、求近似值是二项式定理的应用之一. 例10 设a >1,n ∈N *且n ≥2,求证. 10

101091910)1()1()1(+++-+x C x C Λ10)1(9

109-=-=C a 0109

109=+a C a 92

91190909090)190(91

91

922909291192920929292

+++++=+=????C C C C Λ818200828119091

92+==+?C =-=55

)002.01((0.998)

990.0)002.0()002.0(2251

505

÷+-+-+ΛC C C n

a a n 1

1-<

-

证明:设,则(x +1)n =a .

欲证原不等式,即证nx <(x +1)n -1,其中x >0.

即有(x +1)n >nx +1,得证.

例11 的展开式中常数项为______.(用数字作答)

解:求的常数项,即求展开式中的常数项及含x

-2

的项.

对于,. 令8-2r =0,即有r =4,.

令8-2r =-2,即有r =5,.

所以常数项为70+2×(-56)=-42.

练习10-2

一、选择题

1.若的展开式中的所有二项式系数和为512,则该展开式中的常数项为 (A)-84

(B)84

(C)-36

(D)36

2.已知的展开式中x 3的系数为,常数a 的值为( )

(A)1

(B)2

(C)4

(D)8

3.在(1+x )5(1-x )4的展开式中,x 3的系数是( ) (A)4

(B)-4 (C)8 (D)-8

4.若与同时有最大值,则m 的值是( )

(A)5

(B)4或5 (C)5或6 (D)6或7

x a n =-1)2(111)1(1

1110≥+=+>++++=+---n nx x C x C x C x C x n n n n n n n n n Λ8

2

)1

)(21(x

x x -+8

2

)1)(21(x

x x -+8

)1(x

x -8)1(x

x -r r r r r

r r x C x

x

C T 288881)1()1

(--+-=-=70)1(4

845=-=C T 2

2585656)1(---=-=x x C T n

x

x )1(2

-9

)2

(

x x a -49n

C 21m

n C

二、填空题 5.(x 2+

)6

的展开式中常数项是______.(用数字作答) 6.若(x +1)n =x n +…+ax 3+bx 2+…+1,(n ∈N *),且a ∶b =3∶1,那么n =______. 7.(n +1)n

+1

除以n 2(n >1)的余数为______.

8.观察下列等式:

……

由以上等式推测到一个一般的结论:

对于___________.

三、解答题

9.在(3x +1)n 的展开式中,如果各项系数的和比各项二项式系数的和大992,求n 的值. 10.若f (x )=(1+2x )m +(1+3x )n 展开式中x 的系数为13,则x 2的系数为( )

11.当n ∈N *时,求证:

x

12235515-=+C C 3799591922+=++C C C 511131391351311322-=+++C C C C 7151717131791751711722+=++++C C C C C =++++∈+++++1

414914514114*,n n n n n C C C C n ΛN .3)11(2<+≤n

n

习题10

一、选择题

1.某校要求每位学生从7门课程中选修4门,其中甲、乙两门课程不能都选,则不同的选课方案有( ) (A)35种

(B)25种

(C)20种

(D)16种

2.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名学生不能分到同一个班,则不同分法的种数为( ) (A)18

(B)24

(C)30

(D)36

3.从单词“equation ”中选取5个不同的字母排成一排,含有“qu ”(其中“qu ”相连且顺序不变)的不同排列共有( ) (A)120种

(B)480种

(C)720种

(D)840种

4.若=,则(a 0+a 2)2-(a 1+a 3)2的值为( )

(A)-1 (B)1 (C)0 (D)2

5.若的展开式中含有非零常数项,则正整数n 的最小值为( ) (A)10 (B)6

(C)5

(D)3

6.若,则的值为( )

(A)2 (B)0

(C)-1

(D)-2

二、填空题

7.在(3-x )7的展开式中,x 5的系数是______.(用数字作答)

8.从6名男生和4名女生中,选出3名代表,要求至少有一名女生,则不同的选法有______种.

9.有6个座位连成一排,现有3人就座,则恰有两个空座位相邻的不同坐法有______种. 10.(x -y )10的展开式中,x 7y 3的系数与x 3y 7的系数之和等于______.

11.数列a 1,a 2,…,a 7,其中恰好有5个2和2个4,调换a 1至a 7各数的位置,一共可以

组成不同的数列(含原数列)______个.

3)32(+x 3

32210x a x a x a a +++n

x x )23(3

2

-)()21(2009

2009102009

R ∈+++=-x x

a x a a x Λ20092009

2122a

a a a +++Λ

12.2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人

分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中小张和小赵只能从事前两项工作,其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有______种. 三、解答题

13.已知(1+x )+(1+x )2+…+(1+x )n =a 0+a 1x +a 2x 2+…+a n x n ,若a 1+a 2+a 3+…+a n -1

=509-n ,求n .

14.已知n 是等差数列4,7,10,13,…中的一项.求证的展开式中不含常数项.

n

x

x )1(

专题10 排列组合二项式定理参考答案

练习10-1

一、选择题

1.D 2.A 3.B 4.C 5.B 6.B 二、填空题

7.30; 8.240; 9.56; 10.240; 11.8424; 12.45.

练习10-2

一、选择题

1.B 2.C 3.B 4.C 二、填空题

5.15; 6.11; 7.n +1; 8.24n -

1+(-1)n 22n -

1. 三、解答题

9.解:令x =1,得各项系数和为4n ,又各项二项式系数和为2n , 所以4n -2n =992.22n -2n -992=0,解得n =5.

10.解:f (x )=(1+2x )m +(1+3x )n 展开式中含x 的项,

由2m +3n =13,m ,n 为正整数,得m =2,n =3或m =5,n =1,

当m =2,n =3时,求得x 2的系数为31;当m =5,n =1时求得x 2的系数为40, 故x 2的系数为31或40.

11.证明:, 因为, 所以 x n m x C x C n m )32(321

1

+=+2111111)11(1221

=+≥++++=+????

n

C n C n C n C n

n n n n n n n

Λ12

1!1)11()21)(11(!1)!(!!1-≤≤----==-=?

k k k k

n

k n k n n k n k n k n n C ΛΛn

n n n n n n n n n n C n C n C n C n C n 1·121111)11(22221+++≤++++=+

????ΛΛ.32

1

32121212112<-=++++

≤--n n Λ

所以

习题10

一、选择题

1.B 2.C 3.B 4.A 5.C 6.C 二、填空题

7.-189; 8.100; 9.72; 10.-240; 11.21; 12.36. 三、解答题

13.解:令x =1,得2+22+23+…+2n =a 0+a 1+a 2+…+a n -1+a n .

令x =0,则a 0=n . 又由已知可得a n =1.

,化简得2n =256,∴n =8. 14.解:用反证法,假设第r +1项为常数,即为常数项.

又等差数列4,7,10,13,…的第k 项为a k =4+(k -1)×3=3k +1(k ∈N *). 令n =3k +1,T r +1为常数项,则 即,∵k ∈N *,这与,且r ∈N 矛盾,所以它没有常数项. .3)11(2<+≤n

n

1)509(1

2)

12(2+-+=--n n n 2

32

1r n r n

r r

n r n

r x

C x

x

C T -

-

-+==?.02

313,023=-+=-

r k r n 3

2

2+

=k r

高中数学《二项式定理》公开课优秀教学设计二

二项式定理(第1课时) 一、内容和内容解析 内容:二项式定理的发现与证明. 内容解析:本节是高中数学人教A版选修2-3第一章第3节的内容.二项式定理是多项式乘法的特例,是初中所学多项式乘法的延伸,此内容安排在组合计数模型之后,随机变量及其分布之前,既是组合计数模型的一个应用,也是为学习二项分布作准备.由于二项式定理的发现,可以通过从特殊到一般进行归纳概括,在归纳概括过程中还可以用到组合计数模型,因此,这部分内容对于培养学生数学抽象与数学建模素养有着不可忽略的价值.教学中应当引起充分重视. 二、目标和目标解析 目标: (1)能通过多项式乘法,归纳概括出二项式定理内容,并会用组合计数模型证明二项式定理. (2)能从数列的角度认识二项式的展开式及其通项的规律,并能通过特例体会二项式定理的简单应用. (3)通过二项式定理的发现过程培养学生的数学抽象素养,以及用二项式定理这个模型培养学生数学建模素养. 目标解析: (1)二项式展开式是依多项式乘法获得的特殊形式,因此从多项式乘法出发去发现二项式定理符合学生的认知规律.但归纳概括的结论,如果不加以严格的证明不符合数学的基本要求.因此,在归纳概括的过程中,用好组合模型不仅可以更自然地得到结论,还能为证明二项式定理提供方法. (2)由于二项展开式是一个复杂的多项式.如果不把其看成一个数列的和,引进数列的通项帮助理解与应用,学生很难短期内对定理有深入的认识.因此,通过一些特例,建立二项式展开式与数列及数列和的联系,是达成教学目标的一个重要途径.(3)数学核心素养是数学教学的重要目标,但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实.在二项式定理的教学中,从特殊的二项式展开式的特征归纳概括一般二项式展开式的规律是进行数学抽象教学的很好机会;同时利用组合计数模型证明二项式定理,以及利

高考数学专题之排列组合小题汇总

温馨提示:(每题4分满分100分时间90分钟)姓名________________ 一、单选题 1.某种植基地将编号分别为1,2,3,4,5,6的六个不同品种的马铃薯种在如图所示的 A B C D E F 这六块实验田上进行对比试验,要求这六块实验田分别种植不同品种的马铃薯,若种植时要求编号1,3,5的三个品种的马铃薯中至少有两个相邻,且2号品种的马铃薯不能种植在A 、F这两块实验田上,则不同的种植方法有 ( ) A. 360种 B. 432种 C. 456种 D. 480种 2.甲、乙、丙、丁、戊五位妈妈相约各带一个小孩去观看花卉展,她们选择共享电动车出行,每辆电动车只能载两人,其中孩子们表示都不坐自己妈妈的车,甲的小孩一定要坐戊妈妈的车,则她们坐车不同的搭配方式有() A.种 B.种 C.种 D.种 3.已知某超市为顾客提供四种结账方式:现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲没有银联卡,顾客乙只带了现金,顾客丙、丁用哪种方式结账都可以,这四名顾客购物后,恰好用了其中的三种结账方式,那么他们结账方式的可能情况有()种 A. 19 B. 26 C. 7 D. 12 4.有张卡片分别写有数字,从中任取张,可排出不同的四位数个数为() A . B. C. D. 5.我市拟向新疆哈密地区的三所中学派出5名教师支教,要求每所中学至少派遣一名教师,则不同的派出方法有() A. 300种 B. 150种 C. 120种 D. 90种 6.一只小青蛙位于数轴上的原点处,小青蛙每一次具有只向左或只向右跳动一个单位或者两个单位距离的能力,且每次跳动至少一个单位.若小青蛙经过5次跳动后,停在数轴上实数2位于的点处,则小青蛙不同的跳动方式共有( )种. A. 105 B. 95 C. 85 D. 75 7.中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”,主要指德育;“乐”,主要指美育;“射”和“御”,就是体育和劳动;“书”,指各种历史文化知识;“数”,数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动,每艺安排一节,连排六节,一天课程讲座排课有如下要求:“数”必须排在前三节,且“射”和“御”两门课程相邻排课,则“六艺”课程讲座不同排课顺序共有() A.种 B.种 C.种 D.种 8.郑州绿博园花展期间,安排6位志愿者到4个展区提供服务,要求甲、乙两个展区各安排一个人,剩下两个展区各安排两个人,其中的小李和小王不在一起,不同的安排方案共有() A. 168种 B. 156种 C. 172种 D. 180种 9.用6种不同的颜色对正四棱锥的8条棱染色,每个顶点出发的棱的颜色各不相同,不同的染色方案共有多少种() A.14400 B.28800 C.38880 D.43200 10.《红海行动》是一部现代海军题材影片,该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事.撤侨过程中,海军舰长要求队员们依次完成六项任务,并对任务的顺序提出了如下要求:重点任务A 必须排在前三位,且任务E、F必须排在一起,则这六项任务的不同安排方案共有() A. 240种 B. 188种 C. 156种 D. 120种 11.定义“有增有减”数列{}n a如下:* t N ?∈,满足 1 t t a a + <,且* s N ?∈,满足 1 S S a a + >.已知“有增有减”数列{}n a共4项,若{}() ,,1,2,3,4 i a x y z i ∈=,且x y z <<,则数列{}n a共有() 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

排列组合与二项式定理知识点

排列组合与二项式定理知识点

第一、第二……第n 位上选取元素的方法都是m 个,所以从m 个不同元素中,每次取出n 个元素可重复排列数m·m·… m = m n .. 例如:n 件物品放入m 个抽屉中,不限放法,共有多少种不同放法? (解:n m 种) 二、排列. 1. ⑴对排列定义的理解. 定义:从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素,按照一定顺序...... 排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ⑵相同排列. 如果;两个排列相同,不仅这两个排列的元素必须完全相同,而且排列的顺序也必须完全相同. ⑶排列数. 从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列,称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数,用符号m n A 表示. ⑷排列数公式: ) ,,()! (! )1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-= +--=Λ 注意:!)!1(!n n n n -+=? 规定0! = 1 111--++=?+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 1 1 --=m n m n nA A 规定10 ==n n n C C

2. 含有可重元素...... 的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是:设重集S 有k 个不同元素a 1,a 2,…...a n 其中限重复数为n 1、n 2……n k ,且n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排 列个数等于! !...!!2 1 k n n n n n =. 例如:已知数字3、2、2,求其排列个数3 ! 2!1)!21(=+=n 又例如:数字5、5、5、求其排列个数?其排列 个数1!3!3==n . 三、组合. 1. ⑴组合:从n 个不同的元素中任取m (m≤n )个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合. ⑵组合数公式: )!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m m m n m n -= +--==Λ ⑶两个公式:①;m n n m n C C -= ②m n m n m n C C C 11+-=+ ①从n 个不同元素中取出m 个元素后就剩下n-m 个元素,因此从n 个不同元素中取出 n-m 个元素的方法是一一对应的,因此是一样多的就是说从n 个不同元素中取出n-m 个元素的唯一的一个组合. (或者从n+1个编号不同的小球中,n 个白球一

排列组合与二项式定理精华总结

排列组合 知识点 一、两个原理. 1. 乘法原理、加法原理:分类相加,分步相乘。 二、排列:元素是有顺序的 (1):对排列定义.:从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素,按照一定顺序......排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. (2):排列数公式: ),,()! (! )1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-= +--=Λ 注意:!)!1(!n n n n -+=? 规定0! = 1 111--++=?+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 1 1 --=m n m n nA A 规定10==n n n C C (3): 含有可重元素...... 的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是:设重集S 有k 个不同元素a 1,a 2,…...a n 其中有限重复数为n 1、n 2……n k ,且 n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排列个数等于! !...!! 21k n n n n n = . 三、组合:元素没有顺序之分 (1):组合:从n 个不同的元素中任取m (m≤n )个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合. (2):组合数公式:)! (!!! )1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m m m n m n -=+--==Λ (3):两个性质:①;m n n m n C C -= ②m n m n m n C C C 11+-=+ (4):常用的证明组合等式方法例. i. 裂项求和法. 如: )!1(11)!1(!43!32!21+-=++++n n n Λ(利用! 1 )!1(1!1n n n n --=-) ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法. v. 递推法(即用m n m n m n C C C 11+-=+递推)如:4 13353433+=+++n n C C C C C Λ. vi. 构造二项式. 如:n n n n n n C C C C 222120)()()(=+++Λ 证明:这里构造二项式n n n x x x 2)1()1()1(+=++其中n x 的系数,左边为 2 2120022110) ()()(n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C +++=?++?+?+?--ΛΛ,而右边n n C 2= 四、排列、组合综合 (1)直接法 (2)间接法 (3)捆绑法 (4)插空法 (5)占位法 (6)调序法 (7)平均法 (8)隔板法 (9)定位问题 (10)指定元素排列组合问题 五、二项式定理. 1. ⑴二项式定理:n n n r r n r n n n n n n b a C b a C b a C b a C b a 01100)(+++++=+--ΛΛ. 展开式具有以下特点:

高三数学 二项式定理

二项式定理 1. 知识精讲: (1)二项式定理:()n n n r r n r n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+--ΛΛ110(* ∈N n ) 其通项是=+1r T r r n r n b a C - (r=0,1,2,……,n ),知4求1,如:555 156b a C T T n n -+== 亦可写成:=+1r T r n r n a b a C )( ()()()n n n n r r n r n r n n n n n b C b a C b a C a C b a 11110-++-++-=---ΛΛ(*∈N n ) 特别地:()n n n r n r n n n n n x C x C x C x C x +++++=+-ΛΛ101(* ∈N n ) 其中,r n C ——二项式系数。而系数是字母前的常数。 例1.n n n n n n C C C C 13 21393-++++Λ等于 ( ) A .n 4 B 。n 43? C 。134-n D.3 1 4-n 解:设n n n n n n n C C C C S 13 21393-++++=Λ,于是: n n n n n n n C C C C S 333333 3221++++=Λ=133333 32210 -+++++n n n n n n n C C C C C Λ 故选D 例2.(1)求7 (12)x +的展开式的第四项的系数; (2)求91 ()x x -的展开式中3 x 的系数及二项式系数解:(1)7 (12)x +的展开式的第四项是333317(2)280T C x x +==, ∴7 (12)x +的展开式的第四项的系数是280. (2)∵9 1()x x -的展开式的通项是9921991 ()(1)r r r r r r r T C x C x x --+=-=-, ∴923r -=,3r =, ∴3x 的系数339(1)84C -=-,3 x 的二项式系数3984C =. (2)二项展开式系数的性质:①对称性,在二项展开式中,与首末两端“等距离”的两项的 二项式系数相等,即ΛΛ,,,,22110k n n k n n n n n n n n n n C C C C C C C C ---==== ②增减性与最大值:在二项式展开式中,二项式系数先增后减,且在中间取得最大值。如果

2020年高考理科数学易错题《排列组合》题型归纳与训练

2020年高考理科数学《排列组合》题型归纳与训练 【题型归纳】 题型一 计数原理的基本应用 例1 某校开设A 类选修课2门,B 类选修课3门,一位同学从中选3门.若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有 A .3种 B .6种 C .9种 D .18种 【答案】 C . 【解析】 可分以下2种情况:①A 类选修课选1门,B 类选修课选2门,有 62312=?C C 种不同的选法;②A 类选修课选2门,B 类选修课选1门,有31322=?C C 种不同的选法.所以根据分类计数原理知不同的选法共有6+3=9种.故要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有9种.故选:C 【易错点】注意先分类再分步 【思维点拨】两类课程中各至少选一门,包含两种情况:A 类选修课选1门,B 类选修课选2门;A 类选修课选2门,B 类选修课选1门,写出组合数,根据分类计数原理得到结果. 题型二 特殊元素以及特殊位置 例 1 将F E D C B A ,,,,,六个字母排成一排,且B A ,均在C 的同侧,则不同的排法有( )种.(用数字作答) 【答案】 480 【解析】考虑到C B A ,,要求有顺序地排列,所以将这三个字母当作特殊元素对待。先排F E D ,,三个字母,有12036 =A 种排法;再考虑C B A ,,的情况:C 在最左端有2种排法,最右端也是2种排法,所以答案是4804120=?种. 【易错点】注意特殊元素的考虑 【思维点拨】对于特殊元素与特殊位置的考量,需要瞻前顾后,分析清楚情况,做到“不重复不遗漏”;如果情况过于复杂,可以考虑列举法,虽然形式上更细碎一些,但是情况分的越多越细微,每种情况越简单,准确度就越高. 题型三 捆绑型问题以及不相邻问题 例1 由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字且1,3都不与5相邻的六位偶数的个数是( )个.

排列组合二项式定理知识点

排列组合项定理考试内容:分类计数原理与分步计数原理. 排列.排列数公式. 组合.组合数公式.组合数的两个性质.二项式定理.二项展开式的性质. 考试要求: (1)掌握分类计数原理与分步计数原理,并能用它们分析和解决一些简单的应用问题. (2)理解排列的意义,掌握排列数计算公式,并能用它解决一些简单的应用问题. (3)理解组合的意义,掌握组合数计算公式和组合数的性质,并能用它们解决一些简单的应用问题. (4)掌握二项式定理和二项展开式的性质,并能用它们计算和证明一些简单的问题. 排列组合二项定理知识要点 一、两个原理. 1. 乘法原理、加法原理. 2. 可.以.有.重.复.元.素.的排列. 从m个不同元素中,每次取出n个元素,元素可以重复出现,按照一定的顺序排成一排,那么第一、第二……第n位上选取元素的方法都是m个,所以 从m个不同元素中,每次取出n个元素可重复排列数m- m?…m = m n..例

3! 1 . 3! 如:n 件物品放入m 个抽屉中,不限放法,共有多少种不同放法? (解: m n 种) 二、排列. 1.(1)对排列定义的理解. 定义:从n 个不同的元素中任取 m (贰n )个元素,按照一定顺序 排成一列, 叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ⑵相同排列. 如果;两个排列相同,不仅这两个排列的元素必须完全相同,而且排列的顺 序也必须完全相同. ⑶排列数. 从n 个不同元素中取出m (mcn)个元素排成一列,称为从n 个不同元素中取 出 m 个元素的一个排列.从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数,用 符号表 示. ⑷排列数公式: 注意:n n! (n 1)! n!规定 0! = 1 m m m m 1 m m 1 m m 1 On, A n 1 A n A m C n A n mA n A n nA n 1 /规^定 C n C n 1 2.含有可重元素的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是:设重集 S 有k 个不同元素a 1, a 2,……a n 其中限重复数为n 1、n ..... n k ,且n = n 计尊+ .. n k ,则S 的排列 例如:已知数字3、2、2,求其排列个数n 喈3又例如:数字5、5、5、 求其排列个数?其排列个数 个数等于n n! n !n 2!...n k

排列组合与二项式定理的综合练习题

排列组合与二项式定理的综合应用 1.已知(1+a x )(1+x)5的展开式中x 2 的系数为5,则a = (A )-4 (B )-3 (C )-2 (D )-1 2.若52345012345(23)x a a x a x a x a x a x -=+++++,则:等于() A .55 B .-l C .52 D .52- 3,则的值为 A . B .C 4.学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座,每科一节课,每节至少有一科,且数学、理综不安排在同一节,则不同的安排方法共有() A.36种 B.30种 C.24种 D.6种 5.4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门,则恰有2人选修课程甲的不同选法共有 (A) 12种 (B) 24种 (C) 30种 (D)36种 6.()()8 x y x y -+的展开式中27x y 的系数为________.(用数字填写答案) 7.(x-2)6的展开式中3x 的系数为.(用数字作答) 8.已知(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)8=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 8x 8,则a 1+a 2+a 3+…+a 8=________. 9.有3名男生,4名女生,在下列不同要求下,求不同的排列方法总数: (1)选其中5人排成一排; (2)排成前后两排,前排3人,后排4人; (3)全体排成一排,甲不站在排头也不站在排尾; (4)全体排成一排,女生必须站在一起; (5)全体排成一排,男生互不相邻; (6)全体排成一排,甲、乙两人中间恰好有3人. 10.7个人排成一排,按下列要求各有多少种排法? (1)其中甲不站排头,乙不站排尾; (2)其中甲、乙、丙3人必须相邻; (3)其中甲、乙、丙3人两两不相邻; (4)其中甲、乙中间有且只有1人; (5)其中甲、乙、丙按从左到右的顺序排列. 2312420)()(a a a a a +-++16-16

高中数学 2二项式定理(带答案)

二项式定理 一.二项式定理 1.右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式 2.各项的系数r n C 叫做二项式系数 3.式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项,它是二项展开式的第1r +项,即 1(0,1,2, ,).r n r r r n T C a b r n -+== 4.二项展开式特点:共1r +项;按字母a 的降幂排列,次数从n 到0递减;二项式系数r n C 中r 从0到 n 递增,与b 的次数相同;每项的次数都是.n 二.二项式系数的性质 性质1 ()n a b +的二项展开式中,与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等,即m n m n n C C -= 性质2 二项式系数表中,除两端以外其余位置的数都等于它肩上两个数之和,即11m m m n n n C C C -++= 性质3 ()n a b +的二项展开式中,所有二项式系数的和等于2n ,即012.n n n n n C C C ++ += (令1a b ==即得,或用集合的子集个数的两种计算方法结果相等来解释) 性质4 ()n a b +的二项展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项 的二项式系数的和,即 02 213 21 12.r r n n n n n n n C C C C C C +-++ ++ =++ ++ = (令1,1a b ==-即得) 性质5 ()n a b +的二项展开式中,当n 为偶数时,中间一项的二项式系数2n n C 取得最大值;当n 为奇数时,中间两项的二项式系数1 2,n n C -1 2n n C +相等,且同时取得最大值.(即中间项的二项式系数最大)

高考数学专题之排列组合综合练习

高考数学专题之排列组 合综合练习 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

1.从中选个不同数字,从中选个不同数字排成一个五位数,则这些五位数中偶数的个数为() A. B. C. D. 2.五个同学排成一排照相,其中甲、乙两人不排两端,则不同的排法种数为()A.33 B.36 C.40 D.48 3.某校从8名教师中选派4名同时去4个边远地区支教(每地1名教师),其中甲和乙不能都去,甲和丙只能都去或都不去,则不同的选派方案有() A.900种 B.600种 C.300种 D.150种 4.要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言,若甲、乙都被选中,且他们发言中间恰好间隔一人,那么不同的发言顺序共有__________种(用数字作答). 5.有五名同学站成一排照毕业纪念照,其中甲不能站在最左端,而乙必须站在丙的左侧(不一定相邻),则不同的站法种数为__________.(用数字作答) 6.有个座位连成一排,现有人就坐,则恰有个空位相邻的不同坐法是 __________. 7.现有个大人,个小孩站一排进行合影.若每个小孩旁边不能没有大人,则不同的合影方法有__________种.(用数字作答) 8.(2018年浙江卷)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答) 9.由0,1,2,3,4,5这6个数字共可以组成______.个没有重复数字的四位偶数. 10.将四个编号为1,2,3,4的小球放入四个编号为1,2,3,4的盒子中. (1)有多少种放法

排列组合二项式定理与概率统计

排列组合二项式定理与概率统计 重点知识回顾 1. 排列与组合 ⑴ 分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理,两者的区别在于分步计数原理和分步有关, 分类计数原理与分类有关 ⑵ 排列与组合主要研究从一些不同元素中,任取部分或全部元素进行排列或组合, ⑶排列与组合的主要公式 _ r — r+1 项是 T r+1 =C n a n r b r . ⑵二项展开式的通项公式 二项展开式的第r+1项T r+1=c n a n —r b r (r=0,1,…叫)做二项展开式的通项公式。 ⑶二项式系数的性质 ① 在二项式展开式中,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等, 即 c n = c n r (r=0,1,2,…,n ). 项和第n 3项)的二项式系数相等,并且最大,其值为 2 A n = n! =n(n — 1)(n — 2) ....... 2 ? 1. ②组合数公式: c m n! n(n 1) (n m 1) (m < n) m!( n m)! m (m 1) 2 1 ③组合数性质: ①c m ㈡ m (m < n) ② c 0 c ; c n 2 c ; 2n ③ Cn Cn c 4 C n c 1 c 3 C n C n 2n 1 2.二项式定理 ⑴二项式定理 (a +b)n =C 0a n +c n a n — 1 r b+ …+C n a n r b r +… + c n b n ,其中各项系数就是组合数c n ,展开式共有n+1项,第 问题?区别排列问题与组合问题要看是否与顺序有关, 与顺序有关的属于排列问题, 与顺序无关的属于组合问题 求共有多少种方法的 ①排列数公式: A m n! (n m)! n(n 1) (n m 1) (m

排列组合与二项式定理及概率应用综合

第一讲 排列组合概念及简单应用 排列和排列数公式 A m n =n (n -1)(n -2)…(n -m +1)=n ! (n -m )!(m ,n ∈N *,并且m ≤n ) A n n =n !=n ×(n -1)×(n -2)×…×3×2×1. 规定:0!=1. 组合与组合数公式 1.组合数公式 C m n =A m n A m m =n (n -1)(n -2)…(n -m +1)m !=n !m !(n -m )!(m ,n ∈N *,并且 m ≤n ) 2.组合数的性质 (1)C m n =C n -m n (2)C m n +1=C m n +C m - 1n 常规题型 一、投信问题 1、个口袋里有5封信,另一个口袋里有4封信,各封信内容均不相同. (1)从两个口袋里各取一封信,有多少种不同的取法? (2)把这两个口袋里的9封信,分别投入4个邮筒,有多少种不同的放法? 2、五位旅客到一个城市出差,这个城市有6家旅馆,有多少种住宿方法? 3、12名旅客在一辆火车上,共有六个车站,有多少种下车方案? 4、3个同学在一座只有两个楼梯的楼上下楼,有几种下楼方案? 二、染色问题 1、如图所示,将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两端异色,如果只有5种颜色可供使用,求不同的染色方法总数. 2. 如图所示,用五种不同的颜色分别给A ,B ,C ,D 四个区域涂色,相邻区域必须涂不同颜色,若允许同一种颜色多次使用,则不同的涂色方法共有________种. 3.用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1,2,…,9的9个小正方形(如图),使得任意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同,且标号为1,5,9的小正方形涂相同的颜色,则符合条件的所有涂法共有________种.

高考数学 《二项式定理》

二项式定理 主标题:二项式定理 副标题:为学生详细的分析二项式定理的高考考点、命题方向以及规律总结。 关键词:二项式定理,二项式系数,项系数 难度:2 重要程度:4 考点剖析: 1.能用计数原理证明二项式定理. 2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 命题方向: 1.二项式定理是高中数学中的一个重要知识点,也是高考命题的热点,多以选择、填空题的形式呈现,试题难度不大,多为容易题或中档题. 2.高考对二项式定理的考查主要有以下几个命题角度: (1)求二项展开式中的第n项; (2)求二项展开式中的特定项; (3)已知二项展开式的某项,求特定项的系数. 规律总结: 1个公式——二项展开式的通项公式 通项公式主要用于求二项式的特定项问题,在运用时,应明确以下几点: (1)C r n a n-r b r是第r+1项,而不是第r项; (2)通项公式中a,b的位置不能颠倒; (3)通项公式中含有a,b,n,r,T r+1五个元素,只要知道其中的四个,就可以求出第五个,即“知四求一”. 3个注意点——二项式系数的三个注意点 (1)求二项式所有系数的和,可采用“赋值法”; (2)关于组合式的证明,常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法; (3)展开式中第r+1项的二项式系数与第r+1项的系数一般是不相同的,在具体求各项的系数时,一般先处理符号,对根式和指数的运算要细心,以防出错.

知 识 梳 理 1.二项式定理 二项式定理 (a +b )n =C 0n a n +C 1n a n -1b +…+C r n a n -r b r +…+C n n b n (n ∈N *) 二项展开式 的通项公式 T r +1=C r n a n -r b r ,它表示第r +1项 二项式系数 二项展开式中各项的系数C 0 n ,C 1n ,…,C n n 2.二项式系数的性质 (1)0≤k ≤n 时,C k n 与C n -k n 的关系是C k n =C n -k n . (2)二项式系数先增后减中间项最大 当n 为偶数时,第n 2 +1项的二项式系数最大,最大值为2n n C ;当n 为奇数时,第n +1 2项和n +3 2项的二项式系数最大,最大值为21 -n n C 或21 +n n C . (3)各二项式系数和:C 0 n +C 1n +C 2n +…+C n n =2n , C 0n +C 2n +C 4n +…=C 1n +C 3n +C 5n +…=2 n -1.

高考数学排列组合常见题型

选修2-3:排列组合常见题型 可重复的排列(求幂法) 重复排列问题要区分两类元素:一类可以重复,另一类不能重复。 在这类问题使用住店处理的策略中,关键是在正确判断哪个底数,哪个是指数。 【例1】 (1)有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛,每人限报一科,有多少种不同的报名方法? (2)有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军,有多少种不同的结果? (3)将3封不同的信投入4个不同的邮筒,则有多少种不同投法? 【解析】:(1)4 3(2)34 (3)3 4 相邻问题(捆绑法) 相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列. 【例1】,,,,A B C D E 五人站成一排,如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边,那么不同的排法种数有 【解析】:把,A B 视为一人,且B 固定在A 的右边,则本题相当于4人的全排列,4424A =种 练习:(2012辽宁)一排9个座位坐了3个三口之家,若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为 (A)3×3! (B) 3×(3!)3 (C)(3!)4 (D) 9! 【解析】:C 相离问题(插空法 ) 元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 【例1】七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是 【解析】:除甲乙外,其余5个排列数为55A 种,再用甲乙去插6个空位有26A 种,不同的排法种数是 52563600A A = 【例2】 书架上某层有6本书,新买3本插进去,要保持原有6本书的顺序,有 种不同的插法 【解析】: 111789A A A =504 【例3】.马路上有编号为1,2,3…,9九只路灯,现要关掉其中的三盏,但不能关掉相邻的二盏或三盏,也不能关掉两端的两盏,求满足条件的关灯方案有多少种? 【解析】:把此问题当作一个排队模型,在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯3 5C = 10 种方法。

高中数学排列组合与二项式定理知识点总结

排列组合与二项式定理知识点 1.计数原理知识点 ①乘法原理:N=n1·n2·n3·…nM (分步) ②加法原理:N=n1+n2+n3+…+nM (分类) 2.排列(有序)与组合(无序) Anm=n(n-1)(n-2)(n-3)…(n-m+1)=n!/(n-m)! Ann =n! Cnm = n!/(n-m)!m! Cnm= Cnn-m Cnm+Cnm+1= Cn+1m+1 k?k!=(k+1)!-k! 3.排列组合混合题的解题原则:先选后排,先分再排 排列组合题的主要解题方法:优先法:以元素为主,应先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素. 以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置. 捆绑法(集团元素法,把某些必须在一起的元素视为一个整体考虑) 插空法(解决相间问题)间接法和去杂法等等 在求解排列与组合应用问题时,应注意: (1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题; (2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理; (3)分析题目条件,避免“选取”时重复和遗漏; (4)列出式子计算和作答. 经常运用的数学思想是: ①分类讨论思想;②转化思想;③对称思想. 4.二项式定理知识点: ①(a+b)n=Cn0ax+Cn1an-1b1+ Cn2an-2b2+ Cn3an-3b3+…+ Cnran-rbr+-…+ Cn n-1abn-1+ Cnnbn 特别地:(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnrxr+…+Cnnxn ②主要性质和主要结论:对称性Cnm=Cnn-m 最大二项式系数在中间。(要注意n为奇数还是偶数,答案是中间一项还是中间两项) 所有二项式系数的和:Cn0+Cn1+Cn2+ Cn3+ Cn4+…+Cnr+…+Cnn=2n 奇数项二项式系数的和=偶数项而是系数的和 Cn0+Cn2+Cn4+ Cn6+ Cn8+…=Cn1+Cn3+Cn5+ Cn7+ Cn9+…=2n -1 ③通项为第r+1项:Tr+1= Cnran-rbr 作用:处理与指定项、特定项、常数项、有理项等有关问题。 5.二项式定理的应用:解决有关近似计算、整除问题,运用二项展开式定理并且结合放缩法证明与指数有关的不等式。 6.注意二项式系数与项的系数(字母项的系数,指定项的系数等,指运算结果的系数)的区别,在求某几项的系数的和时注意赋值法的应用。

排列组合 二项式定理知识点

排列组合二项定理考试内容: 分类计数原理与分步计数原理. 排列.排列数公式. 组合.组合数公式.组合数的两个性质. 二项式定理.二项展开式的性质. 考试要求: (1)掌握分类计数原理与分步计数原理,并能用它们分析和解决一些简单的应用问题. (2)理解排列的意义,掌握排列数计算公式,并能用它解决一些简单的应用问题. (3)理解组合的意义,掌握组合数计算公式和组合数的性质,并能用它们解决一些简单的应用问题. (4)掌握二项式定理和二项展开式的性质,并能用它们计算和证明一些简单的问题. 排列组合二项定理知识要点 一、两个原理. 1. 乘法原理、加法原理. 2. 可.以有 ..重复 ..的排列. ..元素 从m个不同元素中,每次取出n个元素,元素可以重复出现,按照一定的顺序排成一排,那么第一、第二……第n位上选取元素的方法都是m个,所以从m个不同元素中,每次取出n个元素可重复排列数m·m·… m = m n.. 例

如:n 件物品放入m 个抽屉中,不限放法,共有多少种不同放法? (解: n m 种) 二、排列. 1. ⑴对排列定义的理解. 定义:从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素,按照一定顺序......排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ⑵相同排列. 如果;两个排列相同,不仅这两个排列的元素必须完全相同,而且排列的顺序也必须完全相同. ⑶排列数. 从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列,称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数,用符号m n A 表示. ⑷排列数公式: 注意:!)!1(!n n n n -+=? 规定0! = 1 111--++=?+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 11--=m n m n nA A 规定10 ==n n n C C 2. 含有可重元素...... 的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是:设重集S 有k 个不同元素a 1,a 2,…...a n 其中限重复数为n 1、n 2……n k ,且n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排列个数等于! !...!! 21k n n n n n = . 例如:已知数字3、2、2,求其排列个数3! 2!1)!21(=+=n 又例如:数字5、5、5、求其排列个数?其排列个数1! 3!3==n .

高中数学排列组合经典题型全面总结版

高中数学排列与组合 (一)典型分类讲解 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 先排末位共有1 3C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有 34A 由分步计数原理得1 1 3 434 288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间,也不种在两端的花盆里,问有多少不同的种法? 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一个复合元素,再与其它元素进行排列,同时对相邻元 素内部进行自排。由分步计数原理可得共有 522522480A A A =种不同的排法 练习题:某人射击8枪,命中4枪,4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种? 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种, 第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种 46 A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有54 56A A 种 练习题:某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中,且两个新节目不相邻,那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略 例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素 之间的全排列数,则共有不同排法种数是: 73 73/A A (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 47 A 种方法,其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法,则共有4 7A 种方法。 思考:可以先让甲乙丙就坐吗? (插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 方法 练习题:10人身高各不相等,排成前后排,每排5人,要求从左至右身高逐渐增加,共有多少排法? 5 10C 五.重排问题求幂策略 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原 理共有6 7种不同的排法 练习题: 1. 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中,那么不同插 法的种数为 42 4 4 3 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象,元素不受位置的约束,可以逐一安排各个元素的位置,一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为n m 种

排列组合与二项式定理知识点

高中数学第十章-排列组合二项定理 考试内容: 分类计数原理与分步计数原理. 排列.排列数公式. 组合.组合数公式.组合数的两个性质. 二项式定理.二项展开式的性质. 考试要求: (1)掌握分类计数原理与分步计数原理,并能用它们分析和解决一些简单的应用问题. (2)理解排列的意义,掌握排列数计算公式,并能用它解决一些简单的应用问题. (3)理解组合的意义,掌握组合数计算公式和组合数的性质,并能用它们解决一些简单的应用问题. (4)掌握二项式定理和二项展开式的性质,并能用它们计算和证明一些简单的问题. §10. 排列组合二项定理 知识要点 一、两个原理. 1. 乘法原理、加法原理. 2. 可.以有..重复..元素.. 的排列. 从m 个不同元素中,每次取出n 个元素,元素可以重复出现,按照一定的顺序排成一排,那么第一、第二……第n 位上选取元素的方法都是m 个,所以从m 个不同元素中,每次取出n 个元素可重复排列数m·m·… m = m n .. 例如:n 件物品放入m 个抽屉中,不限放法,共有多少种不同放法? (解:n m 种) 二、排列. 1. ?对排列定义的理解. 定义:从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素,按照一定顺序......排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ?相同排列. 如果;两个排列相同,不仅这两个排列的元素必须完全相同,而且排列的顺序也必须完全相同. ?排列数. 从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列,称为从n 个不同元素中取出m 个元素的 一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数,用符号m n A 表示. ?排列数公式: ),,()! (! )1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-= +--= 注意:!)!1(!n n n n -+=? 规定0! = 1 111--++=?+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 11 --=m n m n nA A 规定10 ==n n n C C 2. 含有可重元素...... 的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是:设重集S 有k 个不同元素a 1,a 2,…...a n 其中限重复数

2018年高考二项式定理十大典型问题及例题

学科教师辅导讲义 1.二项式定理: 011 ()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=++ ++ +∈, 2.基本概念: ①二项式展开式:右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =???. ③项数:共(1)r +项,是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项:展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r r n T C a b -+=表示。 3.注意关键点: ①项数:展开式中总共有(1)n +项。 ②顺序:注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n b a +是不同的。 ③指数:a 的指数从n 逐项减到0,是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ,是升幂排列。各项的次数和等于n . ④系数:注意正确区分二项式系数与项的系数,二项式系数依次是012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ??????项的系数是a 与b 的系数 (包括二项式系数)。 4.常用的结论: 令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈ 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+- ++ +-∈ 5.性质: ①二项式系数的对称性:与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等,即0n n n C C =, (1) k k n n C C -= ②二项式系数和:令1a b ==,则二项式系数的和为0122r n n n n n n n C C C C C +++++ +=, 变形式1221r n n n n n n C C C C ++ ++ +=-。 ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和: 在二项式定理中,令1,1a b ==-,则0123 (1)(11)0n n n n n n n n C C C C C -+-++-=-=, 从而得到:02421321 11222 r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++???++???=++ ++???= ?= ④奇数项的系数和与偶数项的系数和:

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