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高中数学复习专题讲座(第26讲)圆锥曲线综合题

高中数学复习专题讲座(第26讲)圆锥曲线综合题
高中数学复习专题讲座(第26讲)圆锥曲线综合题

题目 高中数学复习专题讲座圆锥曲线综合题 高考要求

圆锥曲线的综合问题包括 解析法的应用,与圆锥曲线有关的定值问题、最值问题、参数问题、应用题和探索性问题,圆锥曲线知识的纵向联系,圆锥曲线知识和三角、复数等

代数知识的横向联系,解答这部分试题,需要较强的代数运算能力和图形认识能力,要能准确地进行数与形的语言转换和运算,推理转换,并在运算过程中注意思维的严密性,以保证结果的完整

重难点归纳

解决圆锥曲线综合题,关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何

性质,注意挖掘知识的内在联系及其规律,通过对知识的重新组合,以达到巩固知识、提高能力的目的

(1)对于求曲线方程中参数的取值范围问题,需构造参数满足的不等式,通过求不等式(组)求得参数的取值范围;或建立关于参数的目标函数,转化为函数的值域

(2)对于圆锥曲线的最值问题,解法常有两种 当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,可考虑利用数形结合法解;当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则

可先建立目标函数,再求这个函数的最值

典型题例示范讲解

例1已知圆k 过定点A (a ,0)(a >0),圆心k 在抛物线C y 2=2ax 上运动,MN 为圆k 在y 轴上截得的弦

(1)试问MN 的长是否随圆心k 的运动而变化?

(2)当|OA |是|OM |与|ON |的等差中项时,抛物线C 的准线与圆k 有怎样的位置关系? 命题意图 本题考查圆锥曲线科内综合的知识及学生综合、灵活处理问题的能力

知识依托 弦长公式,韦达定理,等差中项,绝对值不等式,一元二次不等式等知识 错解分析 在判断d 与R 的关系时,x 0的范围是学生容易忽略的

技巧与方法 对第(2)问,需将目标转化为判断d =x 0+

2

a 与R =a x +2

0的大小

解 (1)设圆心k (x 0,y 0),且y 02=2ax 0,

圆k 的半径R =|AK |=2

202

020)(a

x y a x +=

+-

∴|MN |=22

022

02

022x a x x R -+=-=2a (定值)

∴弦MN 的长不随圆心k 的运动而变化

(2)设M (0,y 1)、N (0,y 2)在圆k (x -x 0)2+(y -y 0)2=x 02+a 2中, 令x =0,得y 2-2y 0y +y 02-a 2=0,∴y 1y 2=y 02-a 2 ∵|OA |是|OM |与|ON |的等差中项

∴|OM |+|ON |=|y 1|+|y 2|=2|OA |=2a

又|MN |=|y 1-y 2|=2a , ∴|y 1|+|y 2|=|y 1-y 2|

∴y 1y 2≤0,因此y 02

-a 2

≤0,即2ax 0-a 2

≤0 ∴0≤x 0a

圆心k 到抛物线准线距离d =x 0+

2

a ≤a ,而圆k 半径R =22

0a x +≥a

且上两式不能同时取等号,故圆k 必与准线相交

例2如图,已知椭圆

1

2

2

-+

m y

m

x

=1(2≤m ≤5),过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其

准线的交点从左到右的顺序为A 、B 、C 、D ,设f (m )=||AB |-

|CD ||

(1)求f (m )的解析式; (2)求f (m )的最值

命题意图 本题主要考查利用解析几何的知识建立函数关系式,并求其最值,体现了圆锥曲线与代数间的科间综合

知识依托 直线与圆锥曲线的交点,韦达定理,根的判别式,利用单调性求函数的最

错解分析 在第(1)问中,要注意验证当2≤m ≤5时,直线与椭圆恒有交点

技巧与方法 第(1)问中,若注意到x A ,x D 为一对相反数,则可迅速将||AB |-|CD ||化简 第(2)问,利用函数的单调性求最值是常用方法

解 (1)设椭圆的半长轴、半短轴及半焦距依次为a 、b 、c ,则a 2=m ,b 2=m -1,c 2=a 2-b 2=1 ∴椭圆的焦点为F 1(-1,0),F 2(1,0)

故直线的方程为y =x +1,又椭圆的准线方程为x =±c

a

2

,即x =±m

∴A (-m ,-m +1),D (m ,m +1)

考虑方程组?

????=-++=11122m y

m

x x y ,消去y 得 (m -1)x 2+m (x +1)2=m (m -1) 整理得 (2m -1)x 2+2mx +2m -m 2=0 Δ=4m 2-4(2m -1)(2m -m 2)=8m (m -1)2

∵2≤m ≤5,∴Δ>0恒成立,x B +x C

又∵A 、B 、C 、D 都在直线y =x +1上

∴|AB |=|x B -x A |=2=(x B -x A )22,|CD |=2(x D -x C ) ∴||AB |-|CD ||=2|x B -x A +x D -x C |=2|(x B +x C )-(x A +x D )| 又∵x A =-m ,x D =m ,∴x A +x D =0 ∴||AB |-|CD ||=|x B +x C |22=|m

m 212--|22=

m

m 222 (2≤m ≤5)

故f (m )=

m

m 222,m ∈[2,5] (2)由f (m )=

m

m 222,可知f (m )=

m

1222-

又2-

2

1≤2-

m

1≤2-

5

1,∴f (m )∈[3

24,9210]

故f (m )的最大值为3

24,此时m =2;f (m )的最小值为92

10,此时m =5

例3舰A 在舰B 的正东6千米处,舰C 在舰B 的北偏西30°且与B 相距4千米,它们准备捕海洋动物,某时刻A 发现动物信号,4秒后B 、C 同时发现这种信号,A 发射麻醉炮弹 设舰与动物均为静止的,动物信号的传播速度为1千米/秒,炮弹的速度是

3

320g

米/秒,其中g 为重力加速度,若不计空气阻力与舰高,问舰A 发射炮弹的方位角和仰角应是多少?

命题意图 考查圆锥曲线在实际问题中的应用,及将实际问题转化成数学问题的能力 知识依托 线段垂直平分线的性质,双曲线的定义,两点间的距离公式,斜抛运动的

曲线方程

错解分析 答好本题,除要准确地把握好点P 的位置(既在线段BC 的垂直平分线上,

又在以A 、B 为焦点的抛物线上),还应对方位角的概念掌握清楚

技巧与方法 通过建立恰当的直角坐标系,将实际问题转化成解析几何问题来求解

对空间物体的定位,一般可利用声音传播的时间差来建立方程

解 取AB 所在直线为x 轴,以AB 的中点为原点,建立如图所示的直角坐标系 由题意可知,A 、B 、

C 舰的坐

标为(3,0)、(-3,0)、(-5,23)

由于B 、C 同时发现动物信号,记动物所在位置为P ,则|PB |=|PC | 于是P 在线段BC 的中垂线上,易求

得其方

程为3x -3y +73=0

又由A 、B 两舰发现动物信号的时间差为4秒,知|PB |-|PA |=4,故知P 在双曲线

5

4

2

2

y

x

-

=1的右支上

直线与双曲线的交点为(8,53),此即为动物P 的位置,利用两点间距离公式,可得|PA |=10

据已知两点的斜率公式,得k PA =3,所以直线P A 的倾斜角为60°,于是舰A 发射炮弹的方位角应是北偏东30°

设发射炮弹的仰角是θ,初速度v 0=

3

320g

,则

θ

θ

cos 10sin 200?=

?v g

v ,

∴sin2θ=

2

3102

=

v g ,∴仰角θ=30°

例4若椭圆

2

22

2b

y a

x +

=1(a >b >0)与直线l x +y =1在第一象限内有两个不同的交点,求

a 、

b 所满足的条件,并画出点P (a ,b )的存在区域

解 由方程组?????=+=+1

12222b y

a

x y x 消去y ,整理得 (a 2+b 2)x 2-2a 2x +a 2(1-b 2

)=0 ①

则椭圆与直线l 在第一象限内有两个不同的交点的充要条件是方程①在区间(0,1)内有两相异实根,令f (x )=(a 2

+b 2

)x 2

-2a 2

x +a 2

(1-b 2

),则有

???

??

?

?>><<<<>+??????

??????

>><+<>-+-=>-=>-+-=?0101

01 0100

)1()1(0)1()0(0)1)((4422222

2

2222

22

2222b a a b b a b a b a a

b a a b f b a f b b a a a 同时满足上述四个条件的点P (a ,b )的存在区域为如图所示的阴影部分

学生巩固练习

1 已知A 、B 、C 三点在曲线y =x 上,其横坐标依次为1,m ,4(1<m <4),当△ABC

的面积最大时,m 等于( )

A 3

B

4

9 C

2

5

D

2

3

2 设u ,v ∈R ,且|u |≤2,v >0,则(u -v )2+(v

u 922-

-)2的最小值为( )

A 4

B 2

C 8

D 22

3 A 是椭圆长轴的一个端点,O 是椭圆的中心,若椭圆上存在一点P ,使∠OPA =

2

π

,

则椭圆离心率的范围是_________

4 一辆卡车高3米,宽1 6米,欲通过抛物线形隧道,拱口宽恰好是抛物线的通径长,若拱口宽为a 米,则能使卡车通过的a 的最小整数值是____

5 已知抛物线y =x 2-1上一定点B (-1,0)和两个动点P 、Q ,当P 在抛物线上运动时,BP ⊥PQ ,则Q 点的横坐标的取值范围是_________

6 已知直线y =kx -1与双曲线x 2-y 2=1的左支交于A 、B 两点,若另一条直线l 经过点P (-2,0)及线段AB 的中点Q ,求直线l 在y 轴上的截距b 的取值范围

7 已知抛物线C y 2=4x

(1)若椭圆左焦点及相应的准线与抛物线C 的焦点F 及准线l 分别重合,试求椭圆短轴端点B 与焦点F 连线中点P 的轨迹方程;

(2)若M (m ,0)是x 轴上的一定点,Q 是(1)所求轨迹上任一点,试问|MQ |有无最小值?若有,求出其值;若没有,说明理由

8 如图,

ADB 为半圆,AB 为半圆直径,O 为半圆圆心,且OD ⊥AB ,Q 为线段OD 的中点,已知|AB |=4,曲线C 过Q 点,动点P 在曲线C 上运动且保持|P A |+|PB |的值不变

(1)建立适当的平面直角坐标系,求曲线C 的方程; (2)过D 点的直线l 与曲线C 相交于不同的两点M 、N ,且

M 在D 、N 之间,设DN

DM =λ,求λ的取值范围

参考答案:

1 解析 由题意知A (1,1),B (m ,m ),C (4,2)

直线AC 所在方程为x -3y +2=0, 点B 到该直线的距离为d

|4

1)2

3(|2

1|23|2

110

|

23|102

1||2

12

-

-=+-=+-??=

?=

?m m m m m d AB S ABC ∵m ∈

(1,4),∴当2

3=m 时,S △ABC 有最大值,此时m =

答案 B

2 解析 考虑式子的几何意义,转化为求圆x 2

+y 2

=2上的点与双曲线xy =9上的点的距离的最小值 答案 C

3 解析 设椭圆方程为

2

22

2b

y a

x +

=1(a >b >0),以OA 为直径的圆 x 2-ax +y 2=0,两式联立消

y 得

2

2

2a

b a -x 2-ax +b 2=0 即e 2x 2-ax +b 2=0,该方程有一解x 2,一解为a ,由韦达定理x 2=

2

e

a -

a ,0<x 2<a ,即0<

2

e

a -a <a 2

2?

<e <1

答案

2

2<e <1

4 解析 由题意可设抛物线方程为x 2=-ay ,

当x =

2

a 时,y =-

4

a ;当x =0 8时,y =64

.0

由题意知

a

a 64.04-≥3,即a 2-12a -2 56≥0 解得a 的最小整数为13

答案 13

5 解析 设P (t ,t 2-1),Q (s ,s 2-1)

∵BP ⊥PQ ,∴

t

s t

s t t

----?+-)

1()1(112

22=-1,

即t 2+(s -1)t -s +1=0

∵t ∈R ,∴必须有Δ=(s -1)2+4(s -1)≥0 即s 2+2s -3≥0,

解得s ≤-3或s ≥1

D

答案 (-∞,-3]∪[1,+∞)

6 解 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)

由??

?=--=1

12

2

y x kx y ,得(1-k 2)x 2+2kx -2=0,

又∵直线AB 与双曲线左支交于A 、B 两点,

故有????

?

????>--=<--=+>-+=?≠-0120120)1(8)2(012

212212

22k x x k k x x k k k

解得-2<k <-1

.

222),22,1(22)

1,2(,2

22,0).

2(2

212

2121

11

20

1

11,12),,(2

2

2

2

2

2002

002

2

1000-<+

>-

-∈-+∴--∈-+==+-+=∴-+=+--=+--=

-=+-=

+=

b b k k

k k k

b x x k k

y l k k k k k x y l k

kx y k

k x x x y x Q 或即又则令的方程为的斜率为

则设

7 解 由抛物线y 2

=4x ,得焦点F (1,0),准线l x =-1

(1)设P (x ,y ),则B (2x -1,2y ),椭圆中心O ′,则|FO ′|∶|BF |=e ,又设点B 到l 的距离为d ,

则|BF |∶d =e ,∴|FO ′|∶|BF |=|BF |∶d ,即(2x -2)2+(2y )2=2x (2x -2),化简得P 点轨迹方程为y 2

=x -1(x >1)

(2)设Q (x ,y ),则

|MQ |=22)(y m x +-)1(4

5)]21

([1)(22>-

+---+-=x m m x x m x

(ⅰ)当m -

21≤1,即m ≤

23时,函数t =[x -(m -

2

1)2]+m -

4

5在(1,+∞)上递增,故t 无

最小值,亦即|MQ |无最小值

(ⅱ)当m -

2

1>1,即m >

2

3时,函数t =[x 2

-(m -

2

1)2

]+m -

4

5在x =m -

2

1处有最小值m

4

5,∴|MQ |min =4

5

-

m

8 解 (1)以AB 、OD 所在直线分别为x 轴、y 轴,O 为原点,建立平面直角坐标系,

∵|PA |+|PB |=|QA |+|QB |=2521222=+>|AB |=4

∴曲线C 为以原点为中心,A 、B 为焦点的椭圆

设其长半轴为a ,短半轴为b ,半焦距为c ,则2a =25,∴a =5,c =2,b =1

∴曲线C 的方程为

5

2

x

+y 2=1

(2)设直线l 的方程为y =kx +2, 代入

5

2

x

+y 2=1,得(1+5k 2)x 2

+20kx +15=0

Δ=(20k )2-4315(1+5k 2)>0,得k 2

由图可知

2

1x x DN

DM =

由韦达定理得???

????

+=

?+-=+22122151155120k x x k

k x x

将x 1=λx 2代入得

??

?

???

?+=λ+=λ+222222

222

5115)

51(400)1(k x k k x 两式相除得

)

15(380)

51(15400)

1(2

2

22

k

k k

+

=

+=

λ

λ+

3

16)

51(3804,3

205

15,3

510,5

32

2

2

2

<+<

<

+<

∴<

<

∴>

k

k k

k

33

1,0,3

16)

1(42

<λ<∴>=

λ<

λ

λ+<

∴解得DN

DM ① ,2

1DN

DM x x =

=

λ M 在D 、N 中间,∴λ<1

又∵当k 不存在时,显然λ=

3

1=

DN

DM (此时直线l 与y 轴重合)

课前后备注

学法指导 怎样学好圆锥曲线

圆锥曲线将几何与代数进行了完美结合 借助纯代数的解决手段研究曲线的概念和性

质及直线与圆锥曲线的位置关系,从数学家笛卡尔开创了坐标系那天就已经开始

高考中它依然是重点,主客观题必不可少,易、中、难题皆有为此需要我们做到1重点掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义和性质这些都是圆锥曲线的基石,高考中的题目都涉及到这些内容

2重视求曲线的方程或曲线的轨迹,此处作为高考解答题的命题对象难度较大所以要掌握住一般方法定义法、直接法、待定系数法、相关点法、参数法等3加强直线与圆锥曲线的位置关系问题的复习此处一直为高考的热点这类问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点、线段的中点、弦长、垂直问题,因此分析问题时利用数形结合思想和设而不求法与弦长公式及韦达定理联系去解决这样加强了对数学各种能力的考查

4重视对数学思想、方法进行归纳提炼,达到优化解题思维、简化解题过程

(1)方程思想

解析几何的题目大部分都以方程形式给定直线和圆锥曲线,因此把直线与圆锥曲线相交的弦长问题利用韦达定理进行整体处理,就简化解题运算量

(2)用好函数思想方法

对于圆锥曲线上的一些动点,在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的量,从而使一些线的长度及a,b,c,e之间构成函数关系,函数思想在处理这类问题时就很有效

(3)掌握坐标法

坐标法是解决有关圆锥曲线问题的基本方法近几年都考查了坐标法,因此要加强坐标法的训练

圆锥曲线综合试题(全部大题目)含答案

1. 平面上一点向二次曲线作切线得两切点,连结两切点的线段我们称切点弦.设过抛物线 22x py =外一点00(,)P x y 的任一直线与抛物线的两个交点为C 、D ,与抛物线切点弦AB 的交点为Q 。 (1)求证:抛物线切点弦的方程为00()x x p y y =+; (2)求证:112|||| PC PD PQ +=. 2. 已知定点F (1,0),动点P 在y 轴上运动,过点P 作PM 交x 轴于点M ,并延长MP 到点N ,且.||||,0PN PM PF PM ==? (1)动点N 的轨迹方程; (2)线l 与动点N 的轨迹交于A ,B 两点,若304||64,4≤≤-=?AB OB OA 且,求直线l 的斜率k 的取值范围. 3. 如图,椭圆13 4: 2 21=+y x C 的左右顶点分别为A 、B ,P 为双曲线134:222=-y x C 右支上(x 轴上方)一点,连AP 交C 1于C ,连PB 并延长交C 1于D ,且△ACD 与△PCD 的面积 相等,求直线PD 的斜率及直线CD 的倾斜角. 4. 已知点(2,0),(2,0)M N -,动点P 满足条件||||PM PN -=记动点P 的轨迹为W . (Ⅰ)求W 的方程;

(Ⅱ)若,A B 是W 上的不同两点,O 是坐标原点,求OA OB ?的最小值. 5. 已知曲线C 的方程为:kx 2+(4-k )y 2=k +1,(k ∈R) (Ⅰ)若曲线C 是椭圆,求k 的取值范围; (Ⅱ)若曲线C 是双曲线,且有一条渐近线的倾斜角是60°,求此双曲线的方程; (Ⅲ)满足(Ⅱ)的双曲线上是否存在两点P ,Q 关于直线l :y=x -1对称,若存在,求出过P ,Q 的直线方程;若不存在,说明理由。 6. 如图(21)图,M (-2,0)和N (2,0)是平面上的两点,动点P 满足: 6.PM PN += (1)求点P 的轨迹方程; (2)若2 ·1cos PM PN MPN -∠=,求点P 的坐标. 7. 已知F 为椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的右焦点,直线l 过点F 且与双曲线 12 2 2=-b y a x 的两条渐进线12,l l 分别交于点,M N ,与椭圆交于点,A B . (I )若3 MON π∠= ,双曲线的焦距为4。求椭圆方程。 (II )若0OM MN ?=(O 为坐标原点),1 3 FA AN =,求椭圆的离心率e 。

(完整版)高中数学圆锥曲线知识点总结

高中数学知识点大全—圆锥曲线 一、考点(限考)概要: 1、椭圆: (1)轨迹定义: ①定义一:在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆,两定点是焦点,两定点间距离是焦距,且定长2a大于焦距2c。用集合表示为: ; ②定义二:在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e,那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫焦点,定直线叫准线,常数是离心 率用集合表示为: ; (2)标准方程和性质:

注意:当没有明确焦点在个坐标轴上时,所求的标准方程应有两个。 (3)参数方程:(θ为参数); 3、双曲线: (1)轨迹定义: ①定义一:在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线,两定点是焦点,两定点间距离是焦距。用集合表示为: ②定义二:到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e,那么这个点的轨迹叫做双曲线。其中定点叫焦点,定直线叫准线,常数e是离心率。 用集合表示为:

(2)标准方程和性质: 注意:当没有明确焦点在个坐标轴上时,所求的标准方程应有两个。

4、抛物线: (1)轨迹定义:在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线,定点是焦点,定直线是准线,定点与定直线间的距离叫焦参数p。用集合表示为 : (2)标准方程和性质: ①焦点坐标的符号与方程符号一致,与准线方程的符号相反;②标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一致;③标准方程的顶点在原点,对称轴是坐标轴,有别于一元二次函数的图像;

二、复习点睛: 1、平面解析几何的知识结构: 2、椭圆各参数间的关系请记熟“六点六线,一个三角形”,即六点:四个顶点,两个焦点;六线:两条准线,长轴短轴,焦点线和垂线PQ;三角形:焦点三角形。则椭圆的各性质(除切线外)均可在这个图中找到。

高二数学圆锥曲线测试题以及详细答案

圆锥曲线测试题及详细答案 一、选择题: 1、双曲线 22 1102x y -=的焦距为( ) 2.椭圆14 22 =+y x 的两个焦点为F 1、F 2,过F 1作垂直于x 轴的 直线与椭圆相交,一个交点为P ,则||2PF = ( ) A . 2 3 B .3 C .27 D .4 3.已知动点M 的坐标满足方程|12512|132 2-+=+y x y x ,则动点M 的轨迹是( ) A. 抛物线 B.双曲线 C. 椭圆 D.以上都不对 4.设P 是双曲线192 22=-y a x 上一点,双曲线的一条渐近线方程为1,023F y x =-、F 2分别是双曲线的左、右焦点,若5||1=PF ,则=||2PF ( ) A. 1或5 B. 1或9 C. 1 D. 9 5、设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2,过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ,若△F 1PF 2为等腰直角三 角形,则椭圆的离心率是( ). A. B. C. 2 D. 1 6.双曲线)0(12 2≠=-mn n y m x 离心率为2,有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合,则mn 的值为( ) A . 163 B .83 C .316 D .3 8 7. 若双曲线22 21613x y p -=的左焦点在抛物线y 2=2px 的准线上,则p 的值为 ( ) (A)2 (B)3 (C)4 8.如果椭圆 19 362 2=+y x 的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是( ) 02=-y x B 042=-+y x C 01232=-+y x D 082=-+y x 9、无论θ为何值,方程1sin 22 2=?+y x θ所表示的曲线必不是( ) A. 双曲线 B.抛物线 C. 椭圆 D.以上都不对

2020高考数学圆锥曲线试题(含答案)

2020高考虽然延期,但是每天练习一定要跟上,加油! 圆锥曲线 一. 选择题: 1.(福建卷11)又曲线22 221x y a b ==(a >0,b >0)的两个焦点为F 1、 F 2,若P 为其上一点,且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.(海南卷11)已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上,那么点P 到点Q (2, -1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P 的坐标为( A ) A. (4 1 ,-1) B. (4 1,1) C. (1,2) D. (1,-2) 3.(湖北卷10)如图所示,“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点 的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行,若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长,给出下列式子: ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④ 1 1 c a <2 2 c a . 其中正确式子的序号是B

A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.(湖南卷8)若双曲线22221x y a b -=(a >0,b >0)上横坐标为32 a 的点 到右焦点的距离大于它到左准线的距离,则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 5.(江西卷7)已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点,满足120MF MF ?=u u u u r u u u u r 的点M 总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是C A .(0,1) B .1 (0,]2 C .(0, 2 D .,1)2 6.(辽宁卷10)已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点,则点P 到点(0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( A ) A B .3 C D .92 7.(全国二9)设1a >,则双曲线22 22 1(1)x y a a - =+的离心率e 的取值范围是( B ) A . B . C .(25), D .(2 8.(山东卷(10)设椭圆C 1的离心率为 13 5 ,焦点在X 轴上且长轴长为 A B C D -

专题圆锥曲线(高三数学第二轮复习专题讲座)

数学专题复习系列 圆锥曲线 一、知识结构 1.方程的曲线 在平面直角坐标系中,如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系: (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫 做方程的曲线. 点与曲线的关系 若曲线C 的方程是f(x,y)=0,则点P 0(x 0,y 0)在曲线C 上?f(x 0,y 0)=0; 点P 0(x 0,y 0)不在曲线C 上?f(x 0,y 0)≠0 两条曲线的交点 若曲线C 1,C 2的方程分别为f 1(x,y)=0,f 2(x,y)=0,则 f 1(x 0,y 0)=0 点P 0(x 0,y 0)是C 1,C 2的交点? f 2(x 0,y 0) =0 方程组有n 个不同的实数解,两条曲线就有n 个不同的交点;方程组没有实数解,曲线就没有 交点. 2.圆 圆的定义 点集:{M ||OM |=r },其中定点O 为圆心,定长r 为半径. 圆的方程 (1)标准方程 圆心在c(a,b),半径为r 的圆方程是 (x-a)2+(y-b)2=r 2 圆心在坐标原点,半径为r 的圆方程是 x 2+y 2=r 2 (2)一般方程 当D 2+E 2 -4F >0时,一元二次方程 x 2+y 2 +Dx+Ey+F=0 叫做圆的一般方程,圆心为(-2D ,-2E ,半径是2 4F -E D 22+.配方,将方程x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0化为 (x+2D )2+(y+2 E )2=44F -E D 22+ 当D 2 +E 2 -4F=0时,方程表示一个点 (-2D ,-2 E ); 当D 2 +E 2-4F <0时,方程不表示任何图形. 点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0),则

高中数学圆锥曲线专题-理科

圆锥曲线专题 【考纲要求】 一、直线 1.掌握直线的点方向式方程、点法向式方程、点斜式方程,认识坐标法在建立形与数的关 系中的作用; 2.会求直线的一般式方程,理解方程中字母系数表示斜率和截距的几何意义:懂得一元二 次方程的图像是直线; 3.会用直线方程判定两条直线间的平行或垂直关系(方向向量、法向量); 4.会求两条相交直线的交点坐标和夹角,掌握点到直线的距离公式。 二、圆锥曲线 1.理解曲线的方程与方程的曲线的意义,并能由此利用代数方法判定点是否在曲线上,以 及求曲线交点; 2.掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义,并理解上述曲线在直角坐标系中的标准方程的 推导过程; 3.理解椭圆、双曲线、抛物线的有关概念及简单的几何特性,掌握求这些曲线方程的基本 方法,并能根据曲线方程的关系解决简单的直线与上述曲线有两个交点情况下的有关问题; 4.能利用直线和圆、圆和圆的位置关系的几何判定,确定它们之间的位置关系,并能利用 解析法解决相应的几何问题。 【知识导图】【精解名题】 一、弦长问题 例1 如图,已知椭圆 2 21 2 x y +=及点B(0, -2),过点B引椭圆的割线(与椭圆相交的直线)BD与椭圆交于C、D两点 (1)确定直线BD斜率的取值范围 (2)若割线BD过椭圆的左焦点 12 ,F F是椭圆的右焦点,求 2 CDF ?的面积 y x B C D F1F2 O

二、轨迹问题 例2 如图,已知平行四边形ABCO ,O 是坐标原点,点A 在线段MN 上移动,x=4,y=t (33)t -≤≤上移动,点C 在双曲线 22 1169 x y -=上移动,求点B 的轨迹方程 三、对称问题 例3 已知直线l :22 2,: 1169 x y y kx C =++=,问椭圆上是否存在相异两点A 、B ,关于直线l 对称,请说明理由 四、最值问题 例4 已知抛物线2 :2()C x y m =--,点A 、B 及P(2, 4)均在抛物线上,且直线PA 与PB 的倾斜角互补 (1)求证:直线AB 的斜率为定值 (2)当直线AB 在y 轴上的截距为正值时,求ABP ?面积的最大值 五、参数的取值范围 例5 已知(,0),(1,),a x b y → → == ()a → +⊥()a → - (1)求点P (x, y )的轨迹C 的方程 (2)直线:(0,0)l y kx m k m =+≠≠与曲线C 交于A 、B 两点,且在以点D (0,-1)为圆 心的同一圆上,求m 的取值范围 六、探索性问题 例6 设x, y ∈R ,,i j →→ 为直角坐标平面内x, y 轴正方向上的单位向量,若向量 (2)a x i y j → →→=++,且(2)b x i y j →→→=+-且8a b →→ += (1)求点M (x, y )的轨迹方程 (2)过点(0,3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点,设OP OA OB → → → =+,是否存在这样的直线l ,使得四边形OAPB 是矩形?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,请说明理由

高中数学圆锥曲线详解【免费】

解圆锥曲线问题常用方法+椭圆与双曲线的经典 结论+椭圆与双曲线的对偶性质总结 解圆锥曲线问题常用以下方法: 1、定义法 (1)椭圆有两种定义。第一定义中,r 1+r 2=2a 。第二定义中,r 1=ed 1 r 2=ed 2。 (2)双曲线有两种定义。第一定义中,a r r 221=-,当r 1>r 2时,注意r 2的最小值为c-a :第二定义中,r 1=ed 1,r 2=ed 2,尤其应注意第二定义的应用,常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 (3)抛物线只有一种定义,而此定义的作用较椭圆、双曲线更大,很多抛物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法 因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理直接解决,但应注意不要忽视判别式的作用。 3、解析几何的运算中,常设一些量而并不解解出这些量,利用这些量过渡使问题得以解决,这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题,常用“点差法”,即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0),将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程,作差后,产生弦中点与弦斜率的关系,这是一种常见的“设而不求”法,具体有: (1))0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ,设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有02 020=+k b y a x 。 (2))0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ,设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02 020=-k b y a x (3)y 2 =2px (p>0)与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 【典型例题】 例1、(1)抛物线C:y 2 =4x 上一点P 到点A(3,42) (2)抛物线C: y 2 =4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,则点分析:(1)A 在抛物线外,如图,连PF ,则PF PH =

(完整word版)高中数学圆锥曲线结论(最完美版本)

椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角,则焦 点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以 长轴为直径的圆,除去长轴的两个端 点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上,则过0 P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ,则过 Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2,则切点弦P 1P 2的直线方程是 00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a >b >0)的左右焦点 分别为F 1,F 2,点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=,则椭圆的焦点角形的面积为1 2 2tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆 22 22 1x y a b +=(a >b >0)的焦半径公式: 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、 Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于 两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶 点,A 1P 和A 2Q 交于点M ,A 2P 和A 1Q 交于点N ,则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴 的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则 2 2OM AB b k k a ?=-, 即0 20 2y a x b K AB -=。 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P 在右支;外切:P 在左支) 5. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=(a >

历年高考数学圆锥曲线试题汇总

高考数学试题分类详解——圆锥曲线 一、选择题 1.设双曲线22221x y a b -=(a>0,b>0)的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切,则该双曲线的离心率等于 ( C ) (A)3 (B)2 (C)5 (D )6 2.已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ,点A l ∈,线段AF 交C 于点B ,若3FA FB =,则||AF = (A). 2 (B). 2 (C).3 (D ). 3 3.过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线,该直线与双曲线的两条渐近线 的交点分别为,B C .若1 2 AB BC =,则双曲线的离心率是 ( ) A.2 B.3 C.5 D .10 4.已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ,右顶点为A ,点B 在椭圆上,且BF x ⊥轴, 直线 AB 交y 轴于点P .若2AP PB =,则椭圆的离心率是( ) A . 3 B .22 C.13 D .12 5.点P 在直线:1l y x =-上,若存在过P 的直线交抛物线2 y x =于,A B 两点,且 |||PA AB =,则称点P 为“ 点”,那么下列结论中正确的是 ( ) A .直线l 上的所有点都是“点” B .直线l 上仅有有限个点是“点” C .直线l 上的所有点都不是“ 点” D.直线l 上有无穷多个点(点不是所有的点)是“ 点” 6.设双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2 +1 只有一个公共点,则双曲线的离心率为 ( ). A. 4 5 B. 5 C. 2 5 D.5 2

高中数学圆锥曲线解题技巧总结

高中数学圆锥曲线解题 技巧总结 Company number:【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

解圆锥曲线问题的常用方法大全 1、定义法 (1)椭圆有两种定义。第一定义中,r 1+r 2=2a 。第二定义中,r 1=ed 1 r 2=ed 2。 (2)双曲线有两种定义。第一定义中,a r r 221=-,当r 1>r 2时,注意r 2的最小值为c-a :第二定义中,r 1=ed 1,r 2=ed 2,尤其应注意第二定义的应用,常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 (3)抛物线只有一种定义,而此定义的作用较椭圆、双曲线更大,很多抛物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法 因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理直接解决,但应注意不要忽视判别式的作用。 3、解析几何的运算中,常设一些量而并不解解出这些量,利用这些量过渡使问题得以解决,这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题,常用“点差法”,即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0),将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程,作差后,产生弦中点与弦斜率的关系,这是一种常见的“设而不求”法,具体有: (1))0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ,设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有 020 20=+k b y a x 。 (2))0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ,设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02 020 =-k b y a x (3)y 2=2px (p>0)与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 【典型例题】 例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为______________ (2)抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 分析:(1)A 在抛物线外,如图,连PF ,则PF PH =现,当A 、P 、F 三点共线时,距离和最小。

高中数学圆锥曲线试题(含答案)

理数 圆锥曲线 1. (2014大纲全国,9,5分)已知双曲线C的离心率为2,焦点为F1、F2,点A在C上.若|F1A|=2|F2A|,则

cos∠AF2F1=() A. B. C. D. [答案] 1.A [解析] 1.由题意得解得|F2A|=2a,|F1A|=4a, 又由已知可得=2,所以c=2a,即|F1F2|=4a, ∴cos∠AF2F1===.故选A. 2. (2014大纲全国,6,5分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于A、B两点.若△AF1B的周长为4,则C的方程为() A.+=1 B.+y2=1 C.+=1 D.+=1 [答案] 2.A [解析] 2.由题意及椭圆的定义知4a=4,则a=,又==,∴c=1,∴b2=2,∴C的方程为+=1,选A. 3. (2014重庆,8,5分)设F1、F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|·|PF2|=ab,则该双曲线的离心率为() A. B. C. D.3 [答案] 3.B

[解析] 3.设|PF1|=m,|PF2|=n,依题意不妨设m>n>0, 于是 ∴m·n=··?m=3n. ∴a=n,b=n?c=n,∴e=,选B. 4. (2014广东,4,5分)若实数k满足00,25-k>0. ∴-=1与-=1均表示双曲线, 又25+(9-k)=34-k=(25-k)+9, ∴它们的焦距相等,故选A. 5. (2014福建,9,5分)设P,Q分别为圆x2+(y-6)2=2和椭圆+y2=1上的点,则P,Q两点间的最大距离是() A.5 B.+ C.7+ D.6 [答案] 5.D [解析] 5.设Q(cos θ,sin θ),圆心为M,由已知得M(0,6), 则|MQ|=

高考数学圆锥曲线综合题型归纳解析

圆锥曲线综合题型归纳解析 【知识点精讲】 一、定值问题 解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决.证明过程可总结为“变量——函数——定值”,具体操作程序如下: (1)变量——选择适当的量为变量; (2)函数——把要证明为定值的量表示成变量的函数; (3)定值——化简得到函数的解析式,消去变量得到定值。 求定值问题常见的方法有两种: (1)从特殊情况入手,求出定值,在证明定值与变量无关; (2)直接推理、计算,并在计算过程中消去变量,从而得到定值。 二、求最值问题常用的两种方法 (1)几何法:题中给出的条件有明显的几何特征,则考虑用几何图形的性质来解决。 (2)代数法:题中给出的条件和结论的几何特征不明显,则可以建立目标函数,在求该函数的最值。求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法、和三角换元等,这是代数法。 三、求定值、最值等圆锥曲线综合问题的“三重视” (1)重视定义在解题中的应用(优先考虑); (2)重视曲线的几何特征特别是平面几何的性质与方程的代数特征在解题中的作用; (3)重视根与系数的关系(韦达定理)在解题中的应用(涉及弦长、中点要用)。 四、求参数的取值范围 根据已知条件及题目要求建立等量或不等量关系,再求参数的范围。 题型一、平面向量在解析几何中的应用 【思路提示】解决平面向量在解析几何中的应用问题要把几何特征转化为向量关系,并把向量用坐标表示。常见的应用有如下两个: (1)用向量的数量积解决有关角的问题: ①直角12120a b x x y y ?=+=r r g ; ②钝角10||||a b a b ?-<= == r r r r g r r g 。

高中数学圆锥曲线问题常用方法经典例题(含答案)

专题:解圆锥曲线问题常用方法(一) 【学习要点】 解圆锥曲线问题常用以下方法: 1、定义法 (1)椭圆有两种定义。第一定义中,r 1+r 2=2a 。第二定义中,r 1=ed 1 r 2=ed 2。 (2)双曲线有两种定义。第一定义中,a r r 221=-,当r 1>r 2时,注意r 2的最小值为c-a :第二定义中,r 1=ed 1,r 2=ed 2,尤其应注意第二定义的应用,常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 (3)抛物线只有一种定义,而此定义的作用较椭圆、双曲线更大,很多抛物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法 因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理直接解决,但应注意不要忽视判别式的作用。 3、解析几何的运算中,常设一些量而并不解解出这些量,利用这些量过渡使问题得以解决,这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题,常用“点差法”,即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0),将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程,作差后,产生弦中点与弦斜率的关系,这是一种常见的“设而不求”法,具体有: (1))0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ,设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则 有 020 20=+k b y a x 。 (2))0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ,设弦AB 中点为M(x 0,y 0)

(完整版)高中数学-圆锥曲线练习题含答案

圆锥曲线专题练习 一、选择题 1.已知椭圆116 252 2=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3,则P 到另一焦点距离为 ( ) A .2 B .3 C .5 D .7 2.若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为18,焦距为6,则椭圆的方程为 ( ) A .116922=+y x B .1162522=+y x C .1162522=+y x 或125 162 2=+y x D .以上都不对 3.设双曲线的半焦距为c ,两条准线间的距离为d ,且d c =,那么双曲线的离心率e 等于( ) A .2 B .3 C .2 D .3 4.抛物线x y 102=的焦点到准线的距离是 ( ) A .25 B .5 C .2 15 D .10 5.若抛物线28y x =上一点P 到其焦点的距离为9,则点P 的坐标为 ( ) A .(7, B .(14, C .(7,± D .(7,-± 6.如果22 2=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆,那么实数k 的取值范围是( ) A .()+∞,0 B .()2,0 C .()+∞,1 D .()1,0 二. 填空题 7.双曲线的渐近线方程为20x y ±=,焦距为10,这双曲线的方程为_______________。 8.设AB 是椭圆22 221x y a b +=的不垂直于对称轴的弦,M 为AB 的中点,O 为坐标原点, 则AB OM k k ?=____________。 三.解答题 9.已知顶点在原点,焦点在x 轴上的抛物线被直线21y x =+截得的弦长为15,求抛物线的方程。

10、已知动点P 与平面上两定点(A B 连线的斜率的积为定值12- . (Ⅰ)试求动点P 的轨迹方程C. (Ⅱ)设直线1:+=kx y l 与曲线C 交于M 、N 两点,当|MN |= 3 24时,求直线l 的方程.

高中数学圆锥曲线综合--求轨迹方程

圆锥曲线综合--求轨迹方程 教学任务 教学流程说明 教学过程设计 圆锥曲线综合--求轨迹方程 求轨迹的常用方法: (1)定义法:如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义,则可由曲线的定义直接写出方程; (2)代入求轨法(坐标平移法或转移法):若动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x 1,y 1)的变化而变化,并且Q(x 1,y 1) 又在某已知曲线上,则可先用x 、y 的代数式表示x 1、y 1,再将x 1、y 1带入已知曲线得要求的轨迹方程; (3)直接法:直接通过建立x 、y 之间的关系,构成F(x,y)=0,是求轨迹的最基本的方法; (4)待定系数法:所求曲线是所学过的曲线:如直线,圆锥曲线等,可先根据条件列出所求曲线的方程, 再由条件确定其待定系数,代回所列的方程即可 (5)参数法:当动点P (x,y )坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将x 、y 均 用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程。 1、(1)一动圆过定点)0,1(A 且与定圆16)1(2 2 =++y x 相切,求动圆圆心的轨迹方程; (2)又若定点)0,2(A 定圆为4)2(22 =++y x 呢? 2、△ABC 中,B (-3,8)、C (-1,-6),另一个顶点A 在抛物线y 2=4x 上移动,求此三角形重心G 的轨迹方程.

3、在平面直角坐标系中,若}2,{},2,{-=+=y x y x 8=+。求动点),(y x M 的轨迹C 的方程; 一、填空: 1.平面内到点A (0,1)、B (1,0)距离之和为2的点的轨迹为 2.已知M (-2,0)、N (2,0),动点P 满足|PM |-|PN |=4,则动点P 的轨迹方程是____________ 3.已知lg(2),lg |2|,lg(16)x y x -成等差数列,则点(,)P x y 的轨迹方程 __ 4.P 是椭圆15 92 2=+y x 上一点,过P 作其长轴垂线,M 是垂足,则PM 中点轨迹方程为______ 5.点M 到F (3,0)的距离比它到直线x+4=0 的距离小1,则点M 的轨迹方程是 6.动点p 与定点A(-1,0), B(1,0)的连线的斜率之积为-1,则p 点的轨迹方程是 。 7、动圆与x 轴相切,且被直线y=x 所截得的弦长为2,则动圆圆心的轨迹方程为 。 8、倾斜角为 4 π 的直线交椭圆42 x +y 2=1于A 、B 两点,则线段AB 中点的轨迹方程是 9、理)两条直线ax+y+1=0和x -ay -1=0(a ≠±1)的交点的轨迹方程是 二、选择: 10、,a b 为任意实数,若(,)a b 在曲线(,)0f x y =上,则(,)b a 也在曲线(,)0f x y =上,那么曲线(,)0f x y =的几何特征是( ) (A )关于x 轴对(B )关于y 轴对称 (C )关于原点对称 (D )关于直线x -y =0对称 11、方程2 2 2 2 (1)0x x y ++-=的图象是( ) (A )y 轴或圆(B )两点(0,1)与(0,-1)(C )y 轴或直线y =1±(D )答案均不对 12、若一动圆与两圆x 2+y 2=1, x 2+y 2-8x+12=0都外切,则动圆圆心的轨迹为: ( ) A 、抛物线 B 、圆 C 、双曲线的一支 D 、椭圆 三、解答 17、已知动点p 到定点F (1,0)和直线x=3的距离之和等于4,求p 点的轨迹方程。 18、抛物线y 2=x +1,定点A (3,1),B 是抛物线上任意一点,点P 在AB 上满足 BP :P A =1:2,当点B 在抛物线上运动时,求点P 的轨迹方程并指出轨迹是什么曲线? 19、理)过原点作直线l 和抛物线642 +-=x x y 交于A 、B 两点,求线段AB 中点M 的轨迹方程。

高二数学圆锥曲线练习题及答案超经典习题

京翰提示:圆锥曲线的考题一般是两个选择、一个填空、一个解答题,客观题的难度为中等,解答题目相对较难,同时平面向量的介入,增加了本专题高考命题的广度圆锥曲线高考热点题型归纳。正圆锥曲线的考题一般是两个选择、一个填空、一个解答题,客观题的难度为中等。 高二数学—圆锥曲线综合练习 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.已知|→ a |=|→ b |,→ a ⊥→ b ,且(→a +→b )⊥(k → a -→ b ) ,则k 的值是( ) A .1 B .-1 C .0 D .-2 2、已知3a =r ,23b =r ,3a b ?=-r r ,则a r 与b r 的夹角是( ) A 、150? B 、120? C 、60? D 、30? 3、若)()(),1,2(),4,3(b a b x a b a -⊥+-==且,则实数x=( ) A 、23 B 、223 C 、323 D 、4 23 4、已知(1,2)a =r ,(2,3)b x =-r 且a r ∥b r ,则x =( ) A 、-3 B 、34 - C 、0 D 、 34 5.椭圆12222=+b y a x (a >b>0)离心率为23,则双曲线12222=-b y a x 的离心率为 ( ) A . 45 B .2 5 C .32 D .4 5 6.抛物线顶点在原点,焦点在y 轴上,其上一点P(m ,1)到焦点距离为5,则抛物线方程为( ) A .y x 82 -= B .y x 82 = C . y x 162 -= D .y x 162 = 7.若过原点的直线与圆2 x +2 y +x 4+3=0相切,切点在第三象限,直线的方程是( ) A .x y 3= B .x y 3-= C .x y 3 3 = D .x y 3 3- =

圆锥曲线的综合经典例题(有答案)

经典例题精析 类型一:求曲线的标准方程 1. 求中心在原点,一个焦点为且被直线截得的弦AB的中点横 坐标为的椭圆标准方程. 思路点拨:先确定椭圆标准方程的焦点的位置(定位),选择相应的标准方程,再利用待定系数法确定、(定量). 解析: 方法一:因为有焦点为, 所以设椭圆方程为,, 由,消去得, 所以 解得 故椭圆标准方程为 方法二:设椭圆方程,,, 因为弦AB中点,所以, 由得,(点差法) 所以 又

故椭圆标准方程为. 举一反三: 【变式】已知椭圆在x轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直, 且该焦点与长轴上较近的端点的距离为.求该椭圆的标准方程. 【答案】依题意设椭圆标准方程为(), 并有,解之得,, ∴椭圆标准方程为 2.根据下列条件,求双曲线的标准方程. (1)与双曲线有共同的渐近线,且过点; (2)与双曲线有公共焦点,且过点 解析: (1)解法一:设双曲线的方程为 由题意,得,解得, 所以双曲线的方程为 解法二:设所求双曲线方程为(),

将点代入得, 所以双曲线方程为即 (2)解法一:设双曲线方程为-=1 由题意易求 又双曲线过点,∴ 又∵,∴, 故所求双曲线的方程为. 解法二:设双曲线方程为, 将点代入得, 所以双曲线方程为. 总结升华:先根据已知条件确定双曲线标准方程的焦点的位置(定位),选择相应的标准方程,再利用待定系数法确定、.在第(1)小题中首先设出共渐近线的双曲线系方程. 然后代点坐标求得方法简便.第(2)小题实轴、虚轴没有唯一给出.故应答两个标准方程. (1)求双曲线的方程,关键是求、,在解题过程中应熟悉各元素(、、、及 准线)之间的 关系,并注意方程思想的应用. (2)若已知双曲线的渐近线方程,可设双曲线方程为 (). 举一反三: 【变式】求中心在原点,对称轴在坐标轴上且分别满足下列条件的双曲线的标准方程. (1)一渐近线方程为,且双曲线过点.

高中数学圆锥曲线的知识点总结

高考数学圆锥曲线部分知识点梳理 一、方程的曲线: 在平面直角坐标系中,如果某曲线C (看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程 (,)0f x y =的实数解建立了如下的关系:(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解;(2)以这个方程的解为坐标 的点都是曲线上的点,那么这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线. 点与曲线的关系:若曲线C 的方程是(,)0f x y =,则点000(,)P x y 在曲线C 上?00(,)0f x y =;点000(,)P x y 不在曲线C 上?00(,)0f x y ≠. 两条曲线的交点:若曲线1C ,2C 的方程分别为1(,)0f x y =,2(,)0f x y =,则点000(,)P x y 是1C ,2C 的交点 ?{ ),(0),(002001==y x f y x f 方程组有n 个不同的实数解,两条曲线就有n 个不同的交点;方程组没有实数解,曲线就没 有交点. 二、圆: 1、定义:点集{|}M OM r =,其中定点O 为圆心,定长r 为半径. 2、方程:(1)标准方程:圆心在(,)C a b ,半径为r 的圆方程是2 2 2 ()()x a y b r -+-= 圆心在坐标原点,半径为r 的圆方程是2 2 2x y r += (2)一般方程:①当22 40D E F +->时,一元二次方程2 20x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程,圆心为 )2 ,2(E D -- 半径是2. 配方,将方程22 0x y Dx Ey F ++++=化为 22224()()224 D E D E F x y +-+++= ②当2 2 40D E F +-=时,方程表示一个点)2 ,2(E D -- ③当2 2 40D E F +-<时,方程不表示任何图形. (3)点与圆的位置关系 已知圆心(,)C a b ,半径为r ,点M 的坐标为00(,)x y ,则||MC r < ?点M 在圆C 内,||MC r =?点M 在圆C 上,||MC r >?点M 在圆C 外,其中||MC = (4)直线和圆的位置关系:①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系:直线与圆相交?有两个公共点;直线与圆相切?有一个公共点;直线与圆相离?没有公共点. ②直线和圆的位置关系的判定:(i)判别式法;(ii)利用圆心(,)C a b 到直线0Ax By C ++=的距离 2 2 B A C Bb Aa d +++= 与半径r 的大小关系来判定.

高二数学圆锥曲线测试题以及详细答案

圆锥曲线测试题及详细答案 一、选择题: 1、双曲线 22 1102x y -=的焦距为( ) 2.椭圆14 22 =+y x 的两个焦点为F 1、F 2,过F 1作垂直于x 轴的 直线与椭圆相交,一个交点为P ,则||2PF = ( ) A . 23 B .3 C .2 7 D .4 3.已知动点M 的坐标满足方程|12512|1322-+=+y x y x ,则动点M 的轨迹是( ) A. 抛物线 B.双曲线 C. 椭圆 D.以上都不对 4.设P 是双曲线192 22=-y a x 上一点,双曲线的一条渐近线方程为1,023F y x =-、F 2分别是双曲线的左、右焦点,若5||1 =PF ,则=||2PF ( ) 】 A. 1或5 B. 1或9 C. 1 D. 9 5、设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2,过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ,若△F 1PF 2为等腰直角三角 形,则椭圆的离心率是( ). A. B. C. 2 D. 1 6.双曲线)0(12 2≠=-mn n y m x 离心率为2,有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合,则mn 的值为( ) A .163 B .83 C .316 D .38 7. 若双曲线22 21613x y p -=的左焦点在抛物线y 2=2px 的准线上,则p 的值为 ( ) (A)2 (B)3 (C)4 8.如果椭圆 19 362 2=+y x 的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是( ) A 02=-y x B 042=-+y x C 01232=-+y x D 082=-+y x 9、无论θ为何值,方程1sin 22 2=?+y x θ所表示的曲线必不是( ) |

高中数学圆锥曲线试题(含答案)

理数 圆锥曲线 1. (2014大纲全国,9,5分)已知双曲线C的离心率为2,焦点为F1、F2,点A在C上.若|F1A|=2|F2A|,

则cos∠AF2F1=( ) A. B. C. D. [答案]1.A [解析] 1.由题意得解得|F2A|=2a,|F1A|=4a, 又由已知可得=2,所以c=2a,即|F1F2|=4a, ∴cos∠AF2F1===.故选A. 2.(2014大纲全国,6,5分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于A、B两点.若△AF1B的周长为4,则C的方程为( ) A.+=1 B.+y2=1 C.+=1D.+=1 [答案]2.A [解析] 2.由题意及椭圆的定义知4a=4,则a=,又==,∴c=1,∴b2=2,∴C的方程为+=1,选A. 3. (2014重庆,8,5分)设F1、F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|·|PF2|=ab,则该双曲线的离心率为( ) A. B.C.D.3 [答案] 3.B

[解析] 3.设|PF1|=m,|PF2|=n,依题意不妨设m>n>0, 于是 ∴m·n=··?m=3n. ∴a=n,b=n?c=n,∴e=,选B. 4. (2014广东,4,5分)若实数k满足0<k<9,则曲线-=1与曲线-=1的() A.焦距相等B.实半轴长相等 C.虚半轴长相等 D.离心率相等 [答案] 4.A [解析] 4.∵0<k<9,∴9-k>0,25-k>0. ∴-=1与-=1均表示双曲线, 又25+(9-k)=34-k=(25-k)+9, ∴它们的焦距相等,故选A. 5.(2014福建,9,5分)设P,Q分别为圆x2+(y-6)2=2和椭圆+y2=1上的点,则P,Q两点间的最大距离是() A.5B.+ C.7+D.6 [答案] 5.D [解析] 5.设Q(cos θ,sin θ),圆心为M,由已知得M(0,6), 则|MQ|=

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