两直线的位置关系
[知识能否忆起]
一、两条直线的位置关系
二、两条直线的交点
设两条直线的方程是l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，两条直线的交点坐标就是方程组{ A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，
A 2x ＋
B 2y ＋
C 2＝0的解，若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立．
三、几种距离 1．两点间的距离
平面上的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)间的距离公式： d (A ，B )＝|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2. 2．点到直线的距离
点P (x 1，y 1)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 1＋By 1＋C |
A 2＋
B 2
. 3．两条平行线间的距离
两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝
|C 1－C 2|A 2＋B 2
.
[小题能否全取]
1．(教材习题改编)已知l 1的倾斜角为45°，l 2经过点P (－2，－1)，Q (3，m )．若l 1⊥l 2，则实数m 为( )
A ．6
B ．－6
C ．5
D ．－5
解析：选B 由已知得k 1＝1，k 2＝m ＋15.
∵l 1⊥l 2，∴k 1k 2＝－1， ∴1×m ＋15
＝－1，即m ＝－6.
2．(教材习题改编)点(0，－1)到直线x ＋2y ＝3的距离为( ) A.5
5
B. 5 C ．5
D.15
解析：选B d ＝|0＋2×(－1)－3|
5
＝ 5.
3．点(a ，b )关于直线x ＋y ＋1＝0的对称点是( ) A ．(－a －1，－b －1) B ．(－b －1，－a －1) C ．(－a ，－b )
D ．(－b ，－a )
解析：选B 设对称点为(x ′，y ′)，则
???
y ′－b x ′－a
×(－1)＝－1， x ′＋a 2＋y ′＋b 2＋1＝0，
解得x ′＝－b －1，y ′＝－a －1.
4．l 1：x －y ＝0与l 2：2x －3y ＋1＝0的交点在直线mx ＋3y ＋5＝0上，则m 的值为( ) A ．3 B ．5 C ．－5
D ．－8
解析：选D 由{ x －y ＝0， 2x －3y ＋1＝0，得l 1与l 2的交点坐标为(1,1)． 所以m ＋3＋5＝0，m ＝－8.
5．与直线4x ＋3y －5＝0平行，并且到它的距离等于3的直线方程是______________________．
解析：设所求直线方程为4x ＋3y ＋m ＝0，由3＝|m ＋5|
42＋32
，得m ＝10或－20.
答案：4x ＋3y ＋10＝0或4x ＋3y －20＝0
1.在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在，两条直线都有斜率时，可根据斜率的关系作出判断，无斜率时，要单独考虑．
2．在使用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式时，直线方程必须先化为Ax ＋By ＋C ＝0的形式，否则会出错．
典题导入
[例1] (2012·浙江高考)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
[自主解答] 由a ＝1，可得l 1∥l 2；反之，由l 1∥l 2，可得a ＝1或a ＝－2. [答案] A
在本例中若l 1⊥l 2，试求a .
解：∵l 1⊥l 2，∴a ×1＋2×(a ＋1)＝0， ∴a ＝－23
.
由题悟法
1．充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l 1和l 2，l 1∥l 2?k 1＝k 2，l 1⊥l 2?k 1·k 2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意．
2．(1)若直线l 1和l 2有斜截式方程l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，则直线l 1⊥l 2的充要条件是k 1·k 2＝－1.
(2)设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.则l 1⊥l 2?A 1A 2＋B 1B 2＝0.
以题试法
1．(2012·大同模拟)设a ，b ，c 分别是△ABC 中角A ，B ，C 所对的边，则直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系是( )
A ．平行
B ．重合
C ．垂直
D ．相交但不垂直
解析：选C 由已知得a ≠0，sin B ≠0，所以两直线的斜率分别为k 1＝－sin A a ，k 2＝b
sin B ，
由正弦定理得k 1·k 2＝－sin A a ·b
sin B
＝－1，所以两条直线垂直．
典题导入
[例2] (2012·浙江高考)定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离．已知曲线C 1：y ＝x 2＋a 到直线l ：y ＝x 的距离等于曲线C 2：x 2＋(y ＋4)2＝2到直线l ：y ＝x 的距离，则实数a ＝________.
[自主解答] 因曲线C 2：x 2＋(y ＋4)2＝2到直线l ：y ＝x 的距离为0－(－4)2－2＝22－
2＝2，所以曲线C 1与直线l 不能相交，故x 2＋a ＞x ，即x 2＋a －x ＞0.
设C 1：y ＝x 2
＋a 上一点为(x 0，y 0)，则点(x 0，y 0)到直线l 的距离d ＝|x 0－y 0|2＝
－x 0＋x 20＋a
2
＝
????x 0－122＋a －1
42≥
4a －1
42
＝2，所以a ＝9
4.
[答案] 94
由题悟法
1．点到直线的距离问题可直接代入距离公式去求．注意直线方程为一般式． 2．点到与坐标轴垂直的直线的距离，可用距离公式求解．也可用如下方法去求解： (1)点P (x 0，y 0)到与y 轴垂直的直线y ＝a 的距离d ＝|y 0－a |. (2)点P (x 0，y 0)到与x 轴垂直的直线x ＝b 的距离d ＝|x 0－b |.
以题试法
2．(2012·通化模拟)若两平行直线3x －2y －1＝0,6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为213
13，则c
的值是________．
解析：由题意得63＝a －2≠c
－1，
得a ＝－4，c ≠－2，
则6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c
2
＝0，
则
????
c 2＋113
＝
213
13
，解得c ＝2或－6.
答案：2或－6
典题导入
[例3] (2012·成都模拟)在直角坐标系中，A (4,0)，B (0，4)，从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后，再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是( )
A ．210
B ．6
C ．3 3
D ．2 5
[自主解答] 如图，设点P 关于直线AB ，y 轴的对称点分别为D ，C ，
易求得D (4,2)，C (－2,0)，由对称性知，D ，M ，N ，C 共线，则△PMN 的周长＝|PM |＋|MN |＋|PN |＝|DM |＋|MN |＋|NC |＝|CD |＝40＝210即为光线所经过的路程．
[答案] A
由题悟法
对称问题主要包括中心对称和轴对称 (1)中心对称
①点P (x ，y )关于O (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)满足
{ x ′＝2a －x ， y ′＝2b －y .
②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． (2)轴对称
①点A (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点A ′(m ，n )，则有
???
n －b m －a
×????－A B ＝－1， A ·a ＋m 2＋B ·b ＋n 2＋C ＝0.
②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．
以题试法
3．(2012·南京调研)与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为( ) A ．3x ＋4y ＋5＝0 B ．3x ＋4y －5＝0 C ．－3x ＋4y －5＝0 D ．－3x ＋4y ＋5＝0
解析：选A 与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程是3x －4(－y )＋5＝0，即3x ＋4y ＋5＝0.
1．(2012·海淀区期末)已知直线l 1：k 1x ＋y ＋1＝0与直线l 2：k 2x ＋y －1＝0，那么“k 1＝k 2”是“l 1∥l 2”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选C 由k 1＝k 2,1≠－1，得l 1∥l 2；由l 1∥l 2知k 1×1－k 2×1＝0，所以k 1＝k 2.故“k 1＝k 2”是“l 1∥l 2”的充要条件．
2．当0＜k ＜1
2时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
解析：选B 解方程组{ kx －y ＝k －1，
ky －x ＝2k ，得两直线的交点坐标为? ??
??k k －1，2k －1k －1，因为0＜k ＜12，所以k k －1＜0，2k －1k －1＞0，故交点在第二象限．
3．(2012·长沙检测)已知直线l 1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l 2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，则直线l 1与l 2的距离为( )
A.8
5
B.32 C ．4
D ．8
解析：选B ∵直线l 1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l 2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，即为3x ＋4y ＋12＝0，∴直线l 1与直线l 2的距离为???
?
12＋732＋42＝3
2
.
4．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2恒过定点( ) A ．(0,4)
B ．(0,2)
C ．(－2,4)
D ．(4，－2)
解析：选B 由于直线l 1：y ＝k (x －4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)．又由于直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，故直线l 2恒过定点(0,2)．
5．已知直线l 1：y ＝2x ＋3，若直线l 2与l 1关于直线x ＋y ＝0对称，又直线l 3⊥l 2，则l 3
的斜率为( )
A ．－2
B ．－12
C.12
D ．2
解析：选A 依题意得，直线l 2的方程是－x ＝2(－y )＋3，
即y ＝12x ＋32，其斜率是12，
由l 3⊥l 2，得l 3的斜率等于－2.
6．(2012·岳阳模拟)直线l 经过两直线7x ＋5y －24＝0和x －y ＝0的交点，且过点(5,1)．则l 的方程是( )
A ．3x ＋y ＋4＝0
B ．3x －y ＋4＝0
C ．x ＋3y －8＝0
D ．x －3y －4＝0
解析：选C 设l 的方程为7x ＋5y －24＋λ(x －y )＝0，即(7＋λ)x ＋(5－λ)y －24＝0，则(7＋λ)×5＋5－λ－24＝0.解得λ＝－4.l 的方程为x ＋3y －8＝0.
7．(2012·郑州模拟)若直线l 1：ax ＋2y ＝0和直线l 2：2x ＋(a ＋1)y ＋1＝0垂直，则实数a 的值为________．
解析：由2a ＋2(a ＋1)＝0得a ＝－12.
答案：－1
2
8．已知平面上三条直线x ＋2y －1＝0，x ＋1＝0，x ＋ky ＝0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k 的所有取值为________．
解析：若三条直线有两条平行，另外一条与这两条直线相交，则符合要求，此时k ＝0或2；若三条直线交于一点，也符合要求，此时k ＝1，故实数k 的所有取值为0,1,2.
答案：0,1,2
9．(2013·临沂模拟)已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________．
解析：由题意得，点到直线的距离为|4×4－3×a －1|5＝|15－3a |5.又|15－3a |5≤3，即|15－
3a |≤15，解得，0≤a ≤10，所以a ∈[0,10]．
答案：[0,10]
10．(2013·舟山模拟)已知1a ＋1
b ＝1(a ＞0，b ＞0)，求点(0，b )到直线x －2y －a ＝0的距离
的最小值．
解：点(0，b )到直线x －2y －a ＝0的距离为d ＝a ＋2b 5＝15(a ＋2b )????1a ＋1b ＝15????
3＋2b a ＋a b ≥
1
5
(3＋22)＝35＋2105，当且仅当a 2＝2b 2，a ＋b ＝ab ，即a ＝1＋2，b ＝2＋22时取
等号．所以点(0，b )到直线x －2y －a ＝0的距离的最小值为35＋210
5
.
11．(2012·荆州二检)过点P (1,2)的直线l 被两平行线l 1：4x ＋3y ＋1＝0与l 2：4x ＋3y ＋6＝0截得的线段长|AB |＝2，求直线l 的方程．
解：设直线l 的方程为y －2＝k (x －1)， 由{ y ＝kx ＋2－k ， 4x ＋3y ＋1＝0， 解得A ?
??
?
?3k －73k ＋4，－5k ＋83k ＋4； 由{ y ＝kx ＋2－k ， 4x ＋3y ＋6＝0，解得B ? ??
??
3k －123k ＋4，8－10k 3k ＋4.
∵|AB |＝2， ∴
????53k ＋42＋???
?5k 3k ＋42＝2，
整理，得7k 2－48k －7＝0， 解得k 1＝7或k 2＝－1
7
.
因此，所求直线l 的方程为x ＋7y －15＝0或7x －y －5＝0. 12．已知直线l ：3x －y ＋3＝0，求： (1)点P (4,5)关于l 的对称点；
(2)直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程．
解：设P (x ，y )关于直线l ：3x －y ＋3＝0的对称点为P ′(x ′，y ′)． ∵k PP ′·k l ＝－1，即y ′－y
x ′－x ×3＝－1.①
又PP ′的中点在直线3x －y ＋3＝0上， ∴3×x ′＋x 2－y ′＋y 2
＋3＝0.②
由①②得???
x ′＝－4x ＋3y －95
， ③
y ′＝3x ＋4y ＋3
5
. ④
(1)把x ＝4，y ＝5代入③④得x ′＝－2，y ′＝7， ∴P (4,5)关于直线l 的对称点P ′的坐标为(－2,7)．
(2)用③④分别代换x －y －2＝0中的x ，y ，得关于l 的对称直线方程为－4x ＋3y －9
5－
3x ＋4y ＋3
5
－2＝0， 化简得7x ＋y ＋22＝0.
1．点P 到点A (1,0)和直线x ＝－1的距离相等，且点P 到直线y ＝x 的距离为2
2
，这样的点P 的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：选C ∵点P 到点A 和定直线距离相等， ∴P 点轨迹为抛物线，方程为y 2＝4x .
设P (t 2,
2t )，则22＝|t 2
－2t |
2
，解得t 1＝1，t 2＝1＋2，t 3＝1－2，故P 点有三个．
2．(2012·福建模拟)若点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，则m 2＋n 2的最小值是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4
D ．2 3
解析：选C 设原点到点(m ，n )的距离为d ，所以d 2＝m 2＋n 2，又因为(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，所以原点到直线4x ＋3y －10＝0的距离为d 的最小值，此时d ＝|－10|42＋32
＝
2，所以m 2＋n 2的最小值为4.
3．在直线l ：3x －y －1＝0上求一点P ，使得P 到A (4,1)和B (0，4)的距离之差最大．
解：如图所示，设点B 关于l 的对称点为B ′，连接AB ′并延长
交l 于P ，此时的P 满足|P A |－|PB |的值最大．设B ′的坐标为(a ，b )，则k BB ′·k l ＝－1，
即3·b －4
a ＝－1.
则a ＋3b －12＝0.①
又由于线段BB ′的中点坐标为????
a 2，
b ＋42，且在直线l 上，
则3×a 2－b ＋4
2－1＝0，即3a －b －6＝0.②
解①②，得a ＝3，b ＝3，即B ′(3,3)．
于是AB ′的方程为y －13－1＝x －43－4，即2x ＋y －9＝0.
解{ 3x －y －1＝0， 2
x ＋y －9＝0，得{ x ＝2， y ＝5， 即l 与AB ′的交点坐标为P (2,5)．
1．点(1，cos θ)(其中0≤θ≤π)到直线x sin θ＋y cos θ－1＝0的距离是1
4，那么θ等于( )
A.5π
6 B.π6或5π6 C.π6
D.π6或7π6
解析：选B 由已知得|sin θ＋cos 2θ－1|sin 2θ＋cos 2θ＝1
4，
即|sin θ－sin 2θ|＝1
4
，
∴4sin 2θ－4sin θ－1＝0或4sin 2θ－4sin θ＋1＝0， ∴sin θ＝1±22或sin θ＝1
2.
∵0≤θ≤π，∴0≤sin θ≤1， ∴sin θ＝12，即θ＝π6或5π
6
.
2．已知直线l ：x －y －1＝0，l 1：2x －y －2＝0.若直线l 2与l 1关于l 对称，则l 2的方程是( )
A ．x －2y ＋1＝0
B ．x －2y －1＝0
C ．x ＋y －1＝0
D ．x ＋2y －1＝0
解析：选B l 1与l 2关于l 对称，则l 1上任一点关于l 的对称点都在l 2上，故l 与l 1的交点(1,0)在l 2上．又易知(0，－2)为l 1上一点，设其关于l 的对称点(x ，y )，则
???
x ＋02
－y －22－1＝0， y ＋2
x ×1＝－1，得{ x ＝－1，
y ＝－1.即(1,0)，(－1，－1)为l 2上两点，可得l 2方程为x －2y －1＝0.
3．光线沿直线l 1：x －2y ＋5＝0射入，遇直线l ：3x －2y ＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程．
解：法一：由{ x －2y ＋5＝0， 3x －2y ＋7＝0，
得{ x ＝－1，
y ＝2. 即反射点M 的坐标为(－1,2)．
又取直线x －2y ＋5＝0上一点P (－5,0)，设P 关于直线l 的对称点P ′(x 0，y 0)，由PP ′⊥l 可知，k PP ′＝－23＝y 0
x 0＋5
.
而PP ′的中点Q 的坐标为????
x 0－52，y 02，Q 点在l 上，
即3·x 0－52－2·y 0
2
＋7＝0.
由??? y 0x 0
＋5＝－23， 32(x 0－5)－y 0＋7＝0.得???
x 0＝－1713， y 0＝－3213. 根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x －2y ＋33＝0. 法二：设直线x －2y ＋5＝0上任意一点P (x 0，y 0)关于直线l 的对称点为P ′(x ，y )，则y 0－y x 0－x
＝－2
3
，
又PP ′的中点Q ??
??
x ＋x 02，y ＋y 02在l 上，
即3×x ＋x 02－2×y ＋y 0
2
＋7＝0，
由??
?
y 0－y x 0－x
＝－2
3， 3×x ＋x 02－(y ＋y 0)＋7＝0. 可得P 点的坐标为
x 0＝－5x ＋12y －4213，y 0＝12x ＋5y ＋28
13
，
代入方程x －2y ＋5＝0中，化简得29x －2y ＋33＝0， 故所求反射光线所在的直线方程为29x －2y ＋33＝0.