中考数学综合模拟测试卷
学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．-2020的相反数是（ ） A ．-2020
B ．2020
1-
C ．
2020
1
D ．2020
2．下列计算正确的是( ) A ．a 3+a 2=a 5
B ．a 3?a 2=a 5
C ．(2a 2)3=6a 6
D ．a 6÷a 2=a 3
3．如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
4．一组数据按从大到小排列为2，4，8，x ，10，14．若这组数据的平均数为8，则这组数据的中位数、众数分别为 （ ） A ．8，9
B ．9,9
C ．9，10
D ．10,10
5.如图 AB 是⊙O 的直径，点 D 是⊙O 上的任意一点， ∠BDC = 20? ，则 ∠ABC =
．
A .20°
B .70°
C .80°
D .90°
6．已知二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A ．abc ＜0
B ．b 2﹣4ac ＜0
C ．a ﹣b +c ＜0
D ．2a +b =0
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．分解因式：3x 3﹣27x =_____．
8．某景区去年十一期间共接待游客约1260000人次，将“1260000”用科学记数法表示为_____． 9．已知方程5x 2+kx ﹣6=0有一个根是2，则另一个根是_____，k =_____．
10．我国古代数学名著《九章算术》中有一题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”（凫：野鸭）设野鸭与大雁从南海和北海同时起 飞，经过 x 天相遇，则可列方程
．
11.如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r =3cm ，扇形的圆心角θ=120°，则该圆锥的母线长l 为________cm ．
12.如图，矩形 ABCD 中，动点 P 沿 B →A →D →B →C →D 路线运动，点 M 是 AB 边上的一点，且MB =
4
1
AB ,已知 AB =4,BC =2,AP =2MP ，则点 P 到边 AD 的距离为 .
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（1）计算： +
-
1
（2）已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 、E 、F 分别是△ABC 各边的中点，求证：四边形AEDF 是菱形．
14．先化简，再求值：822224
x x x x x +??-+
÷ ?--??，其中1
2x =-． 15.一文具商店的装订机的价格比文具盒的价格的3倍少1元，购买2把装订机和6个文具盒共需70元，问装订机与文具盒价格各是多少元?
16.请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．
（1）如图①，四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B =∠D ，画出四边形ABCD 的对称轴m ； （2）如图②，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A =∠D ，画出BC 边的垂直平分线n ．
17.有红、黄两个布袋，红布袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字2和4．黄布袋中有三 个完全相同的小球，分别标有数字－2，－4和－6．小贤先从红布袋中随机取出一个小球， 记录其标有的数字为x ，再从黄布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为y ，这样就 确定点M 的一个坐标为（x ，y ）．
⑴用列表或画树状图的方法写出点M 的所有可能坐标； ⑵求点M 落在双曲线x
y 8
-
=上的概率. 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 课外阅读是提高学生素养的重要途径．某中学为了了解全校学生课外阅读情况，随机抽查 了 200 名
学生，统计他们平均每天课外阅读时间（t 小时）．根据每天课外阅读时间的长短 分为 A ，B ，C ，D 四类，下面是根据所抽查的人数绘制的两幅不完整的统计图表．请根据 图中提供的信息，解答下面的问题：
200 名学生平均每天课外阅读时间统计表
（1）求表格中a的值，并在图中补全条形统计图；
（2）该校现有1800名学生，请你估计该校共有多少名学生课外阅读时间不少于1小时？
（3）请你根据上述信息对该校提出相应的建议.
19.订书机是由推动器、托板、压形器、底座、定位轴等组成.如图1是一台放置在水平桌面上的大型订书机，将其侧面抽象成如图2所示的几何图形．若压形器EF的端点E固定于定位轴CD的中点处，在使用过程中，点D和点F随压形器及定位轴绕点C旋转，CO⊥AB于点O，CD=12cm,连接CF，若∠FED=45°，∠FCD=30°.
（1）求FC的长
（2）若OC=2cm，求在使用过程中，当点D落在底座AB上时，请计算CD与AB的夹角及点F运动的路线之长.（结果精确到0.1cm，参考数据：sin9.6?≈0.17，π≈3.14 , 3≈1.732）
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴上，点B在第一象限内，∠OAB=90°，OA=AB，△OAB
的面积为2，反比例函数y=k
x
的图象经过点B．
（1）求k的值；
（2）已知点P坐标为（a，0），过点P作直线OB的垂线l，点O，A关于直线l的对称点分别为O′，A′，
若线段O′A′与反比例函数y=k
x
的图象有公共点，直接写出a的取值范围．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21.四边形ABCD 是⊙O 的圆内接四边形，线段AB 是⊙O 的直径，连结AC .BD ．点H 是线段BD 上的一点，连结AH 、CH ，且∠ACH =∠CBD ，AD =CH ，BA 的延长线与CD 的延长线相交与点P ． （1）求证：四边形ADCH 是平行四边形； （2）若AC =BC ，PB =
PD ，AB +CD =2（
+1）
①求证：△DHC 为等腰直角三角形； ②求CH 的长度．
22．如图，矩形OABC 中，点O 为原点，点A 的坐标为（0，8），点C 的坐标为（6，0）．抛物线2
49
y x bx c =-++经过A 、C 两点，与AB 边交于点D ． （1）求抛物线的函数表达式；
（2）点P 为线段BC 上一个动点（不与点C 重合），点Q 为线段AC 上一个动点，AQ =CP ，连接PQ ，设CP =m ，△CPQ 的面积为S ．
①求S 关于m 的函数表达式，并求出m 为何值时，S 取得最大值； ②当S 最大时，在抛物线2
49
y x bx c =-
++的对称轴l 上若存在点F ，使△FDQ 为直角三角形，请直接写出所有符合条件的F 的坐标；若不存在，请说明理由．
六、（本大题共12分）
23．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．如图（1），已知四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点M 是BC 边的中点，过点M 作ME ∥AC 交BD 于点E ，作MF ∥BD 交AC 于点F ．我们称四边形0EMF
为四边形ABCD的“伴随四边形”．
（1）若四边形ABCD是菱形，则其“伴随四边形”是，若四边形ABCD矩形，则其“伴随四边形”是：（在横线上填特殊平行四边形的名称）
（2）如图（2），若四边形ABCD是矩形，M是BC延长线上的一个动点，其他条件不变，点F落在AC的延长线上，请写出线段OB、ME，MF之间的数量关系，并说明理由．
答案与解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．-2020的相反数是（ ） A ．-2020 B ．2020
1-
C ．
2020
1
D ．2020
【答案】D
【点睛】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键． 2．下列计算正确的是( ) A ．a 3+a 2=a 5 B ．a 3?a 2=a 5
C ．(2a 2)3=6a 6
D ．a 6÷a 2=a 3
【答案】B
【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘除运算和积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键． 3．如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【点睛】简单组合体的三视图．
4．一组数据按从大到小排列为2，4，8，x ，10，14．若这组数据的平均数为8，则这组数据的中位数、众数分别为 （ ） A ．8，9 B ．9,9
C ．9，10
D ．10,10
【答案】C
【点睛】此题主要考查了平均数、中位数、众数，正确把握平均数、中位数、众数的定义是解题关键． 5.如图 AB 是⊙O 的直径，点 D 是⊙O 上的任意一点， ∠BDC = 20? ，则 ∠ABC =
．
A .20°
B .70°
C .80°
D .90° 【答案】B
【点睛】此题主要考查了圆周角、圆心角，正确把握圆周角、圆心角的定义是解题关键． 6．已知二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A ．abc ＜0
B ．b 2﹣4ac ＜0
C ．a ﹣b +c ＜0
D ．2a +b =0
【答案】D
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，能够从给出的图象上获取信息确定a ，b ，c ，△，对称轴之间的关系是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．分解因式：3x 3﹣27x =_____． 【答案】3x （x +3）（x ﹣3）．
【点睛】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力．一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
8．某景区去年十一期间共接待游客约1260000人次，将“1260000”用科学记数法表示为_____． 【答案】1.26×106．
【点睛】考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．
9．已知方程5x 2+kx ﹣6=0有一个根是2，则另一个根是_____，k =_____． 【答案】﹣
3
5
﹣7． 【点睛】此题考查了一元二次方程的解的定义与根与系数的关系．此题难度适中，解此题的关键是注意掌握若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2=-
b a ，x 1x 2=
c a
. 11．我国古代数学名著《九章算术》中有一题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”（凫：野鸭）设野鸭与大雁从南海和北海同时起 飞，经过 x 天相遇，则可列方程
．
【答案】
19
7=+x
x
【点睛】此题主要考查了列方程，正确理解题目意思，根据假设列出方程.
11.如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r =3cm ，扇形的圆心角θ=120°，则该圆锥的母线长l 为________cm ．
【答案】9
【点睛】本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长公式为：
π180
n r
． 12.如图，矩形 ABCD 中，动点 P 沿 B →A →D →B →C →D 路线运动，点 M 是 AB 边上的一点，且MB =
4
1
AB ,已知 AB =4,BC =2,AP =2MP ，则点 P 到边 AD 的距离为 .
【答案】2,4，或
5
5
420- 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（1）计算： +
-
1
（2）已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 、E 、F 分别是△ABC 各边的中点，求证：四边形AEDF 是菱形．
【答案】
（1）+
-
1
1+32-
（2）证明：∵D ，E ，F 分別是BC ，AB ，AC 的中点， ∴ED ∥AC ，ED =
12AC ，DF ∥AB ，DF =1
2
AB ， ∵ED ∥AC ，DF ∥AB ， ∴四边形AEDF 是平行四边形， ∵AB =AC ， ∴ED =FD ，
∴四边形AEDF 是菱形．
【点睛】此题主要考查了实数的计算和菱形的判定，关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；一组邻边相等的平行四边形是菱形． 14．先化简，再求值：822224
x x x x x +?
?-+÷ ?--??，其中1
2x =-． 【答案】
原式=（2
442-+-x x x +28-x x
）?2)2(2+-x x
=2
)2(2-+x x ?2)
2(2+-x x
=2（x +2） =2x +4， 当x =﹣
2
1
时，
原式=2×（﹣2
1）+4=﹣1+4=3． 【点睛】本题考查的知识点是分式的化简求值，解题的关键是熟练的掌握分式的化简求值.
15.一文具商店的装订机的价格比文具盒的价格的3倍少1元，购买2把装订机和6个文具盒共需70元，问装订机与文具盒价格各是多少元?
【答案】
解：设文具盒的价格为x 元，装订机的价格为y 元，
依题意得，316270x y x y ?-=??+=??．解此方程组得?
??==176y x ． 答：装订机的价格为17元，文具盒价格为6元．
16.请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．
（1）如图①，四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B =∠D ，画出四边形ABCD 的对称轴m ；
（2）如图②，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A =∠D ，画出BC 边的垂直平分线n ．
【答案】
17.有红、黄两个布袋，红布袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字2和4．黄布袋中有三 个完全相同的小球，分别标有数字－2，－4和－6．小贤先从红布袋中随机取出一个小球， 记录其标有的数字为x ，再从黄布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为y ，这样就 确定点M 的一个坐标为（x ，y ）．
⑴用列表或画树状图的方法写出点M 的所有可能坐标；
⑵求点M 落在双曲线x
y 8-
=上的概率. 【答案】
解：（1）列表或画树状图略，点 M 的坐标有
(2) 点M 落在双曲线x y 8-=上的概率是P =62=3
1. 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 课外阅读是提高学生素养的重要途径．某中学为了了解全校学生课外阅读情况，随机抽查 了 200 名
学生，统计他们平均每天课外阅读时间（t 小时）．根据每天课外阅读时间的长短 分为 A ，B ，C ，D 四类，下面是根据所抽查的人数绘制的两幅不完整的统计图表．请根据 图中提供的信息，解答下面的问题：
200 名学生平均每天课外阅读时间统计表
（1）求表格中 a 的值，并在图中补全条形统计图；
（2）该校现有 1800 名学生，请你估计该校共有多少名学生课外阅读时间不少于 1 小时？
（3）请你根据上述信息对该校提出相应的建议.
【答案】
解：（1）200﹣40﹣80﹣60=20（名），故 a 的值为 20，条形统计图如下：
(2)1800×
200
2060+=720人答：估计该校共有 720 名学生课外阅读时间不少于 1 小时． (3) 略 19.订书机是由推动器、托板、压形器、底座、定位轴等组成.如图 1 是一台放置在水平桌面上 的大型订书机，将其侧面抽象成如图 2 所示的几何图形．若压形器 EF 的端点 E 固定于定位 轴 CD 的中点处，在使用过程中，点 D 和点 F 随压形器及定位轴绕点 C 旋转，CO ⊥AB 于点 O ， CD =12cm ,连接 CF ，若∠FED =45°，∠FCD =30°.
（1）求 FC 的长
（2）若 OC =2cm ，求在使用过程中，当点 D 落在底座 AB 上时，请计算 CD 与 AB 的夹角及 点 F 运动的路线之长.（结果精确到 0.1cm ，参考数据： sin 9.6? ≈ 0.17 ，π ≈ 3.14 , 3≈ 1.732 ）
解：
（1）连接 CF ，过点 F 作 FH ⊥CE 的延长线于点 H
∵∠FEH =45°，∠FHC =90°.
∴设 EH =FH =x ．
∵∠FCH = 30°
∴tan ∠FCH =3
36=+=x x CH FH ； 解得：x =333+
∴CF =2x =636+≈16.4cm .
（2）在使用过程中，CD 与AB 的夹角为：
∴sin ∠CDA =12
2≈0.17； ∵sin 9.6°≈0.17；
∴CD 与AB 的夹角为9.6°；
点 F 运动的路线之长：cm l 7.21804.1614.36.9=??=
20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 在x 轴上，点B 在第一象限内，∠OAB =90°，OA =AB ，△OAB 的面积为2，反比例函数y =
k x 的图象经过点B ． （1）求k 的值；
（2）已知点P 坐标为（a ，0），过点P 作直线OB 的垂线l ，点O ，A 关于直线l 的对称点分别为O ′，A ′，
若线段O ′A ′与反比例函数y =k x
的图象有公共点，直接写出a 的取值范围．
【答案】
解：（1）∵∠OAB =90°，OA =AB ，
∴设点B 的坐标为（m ，m ），则OA =AB =m ，
∵△OAB 的面积为2， ∴12
m m ?=2，
解得：m=2（负值舍去），∴点B的坐标为（2，2），
代入反比例函数y=k
x
中，得k=4；
（2）∵B（2，2）
∴∠BOA=45°，
∵l⊥OB，
∴O′A′⊥x轴
∴P、O′、A′三点共线，且点O′在直线OB上∴O′（a，a）、A′（a，a﹣2）
当O′在反比例函数图象上时，有a×a=4
解得：a1=﹣2，a2=2
当A′在反比例函数图象上时，有a×（a﹣2）=4
解得：a3=1a4=1
若线段O′A′与反比例函数y=k
x
的图象有公共点，
a的取值范围是：﹣2≤a≤1或2≤a≤1
【点睛】本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，熟练运用图象上的点的坐标满足图象的解析式是本题的关键
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21.四边形ABCD是⊙O的圆内接四边形，线段AB是⊙O的直径，连结AC.BD．点H是线段BD上的一点，连结AH、CH，且∠ACH=∠CBD，AD=CH，BA的延长线与CD的延长线相交与点P．
（1）求证：四边形ADCH是平行四边形；
（2）若AC=BC，PB=PD，AB+CD=2（+1）
①求证：△DHC为等腰直角三角形；
②求CH的长度．
【答案】
证明：（1）∵∠DBC =∠DAC ，∠ACH =∠CBD
∴∠DAC =∠ACH ,∴AD ∥CH ，且AD =CH
∴四边形ADCH 是平行四边形
（2）①∵AB 是直径
∴∠ACB =90°=∠ADB ，且AC =BC
∴∠CAB =∠ABC =45°，∴∠CDB =∠CAB =45°
∵AD ∥CH
∴∠ADH =∠CHD =90°，且∠CDB =45°
∴∠CDB =∠DCH =45°,∴CH =DH ，且∠CHD =90°
∴△DHC 为等腰直角三角形；
②∵四边形ABCD 是⊙O 的圆内接四边形，
∴∠ADP =∠PBC ，且∠P =∠P ,∴△ADP ∽△CBP
∴
，且PB =PD ， ∴，AD =CH ，∴
∵∠CDB =∠CAB =45°，∠CHD =∠ACB =90°∴△CHD ∽△ACB
∴
,∴AB =CD ∵AB +CD =2（+1）,∴CD +CD =2（+1）
∴CD =2，且△DHC 为等腰直角三角形,∴CH =
22．如图，矩形OABC 中，点O 为原点，点A 的坐标为（0，8），点C 的坐标为（6，0）．抛物线249
y x bx c =-
++经过A 、C 两点，与AB 边交于点D ．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点P 为线段BC 上一个动点（不与点C 重合），点Q 为线段AC 上一个动点，AQ =CP ，连接PQ ，设CP =m ，△CPQ 的面积为S ．
①求S 关于m 的函数表达式，并求出m 为何值时，S 取得最大值；
②当S 最大时，在抛物线249
y x bx c =-++的对称轴l 上若存在点F ，使△FDQ 为直角三角形，请直接写出所有符合条件的F 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）244893y x x =-
++；（2）①2315(5)102
S m =-+，当m =5时，S 取最大值；②满足条件的点F 共有四个，坐标分别为13(,8)2F ，23()2F ,4
，33(,62F +
，43(,62F -， 解：（1）将A 、C 两点坐标代入抛物线，得84366b+c=09
c =???-?+?? ， 解得：438
b c ?=???=? ，
∴抛物线的解析式为y =﹣49x 2+43
x +8； （2）①∵OA =8，OC =6，
∴AC
=10，
过点Q 作QE ⊥BC 与E 点，则sin ∠ACB = QE QC = AB AC =35
， ∴
10QE m - =35
， ∴QE =35（10﹣m ），
∴S =
12?CP ?QE =12m 35×（10﹣m ）=﹣310
m 2+3m ； ②∵S =12?CP ?QE =12m ×35（10﹣m ）=﹣310m 2+3m =﹣310（m ﹣5）2+152， ∴当m =5时，S 取最大值；
在抛物线对称轴l 上存在点F ，使△FDQ 为直角三角形，
∵抛物线的解析式为y =﹣49x 2+43x +8的对称轴为x =32
， D 的坐标为（3，8），Q （3，4），
当∠FDQ =90°时，F 1（
32
，8）， 当∠FQD =90°时，则F 2（32
，4）， 当∠DFQ =90°时，设F （32，n ）， 则FD 2+FQ 2=DQ 2， 即49+（8﹣n ）2+49
+（n ﹣4）2=16，
解得：n =6，
∴F 3（32，6+2），F 4（32，6﹣2
）， 满足条件的点F 共有四个，坐标分别为
F 1（32，8），F 2（32，4），F 3（32，6），F 4（32，6）．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用能力，其中涉及到的知识点有抛物线的解析式的求法抛物线的最值等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题．
六、（本大题共12分）
23．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．如图（1），已知四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点M是BC边的中点，过点M作ME∥AC交BD于点E，作MF∥BD交AC于点F．我们称四边形0EMF 为四边形ABCD的“伴随四边形”．
（1）若四边形ABCD是菱形，则其“伴随四边形”是，若四边形ABCD矩形，则其“伴随四边形”是：（在横线上填特殊平行四边形的名称）
（2）如图（2），若四边形ABCD是矩形，M是BC延长线上的一个动点，其他条件不变，点F落在AC的延长线上，请写出线段OB、ME，MF之间的数量关系，并说明理由．
【答案】
（1）如图1，∵ME∥AC，MF∥BD，
∴四边形OEMF是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠BOC=90°，
∴四边形OEMF是矩形；
如图2，∵ME∥AC，MF∥BD，
∴四边形OEMF是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OC，
∵M是BC边的中点，
∴ME=1
2
OC，MF=
1
2
OB，
∴ME=MF，
∴四边形OEMF是菱形；故答案为：矩形；菱形．
（2）∵ME∥AC，MF∥BD，
∴四边形OEMF是平行四边形，
∴OE=MF，
∴OB+MF=OB+OE=BE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠OBC=∠OCB，
∵ME∥AC，
∴∠EMB=∠OCB，
∴∠EBM=∠EMB，
∴EB=EM，
∴EM=OB+MF．
【点睛】本题考查的是矩形、菱形的性质和判定，理解伴随四边形的定义、灵活运用矩形、菱形的性质定理和判定定理是解题的关键