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刘玲-经济学中两个优化问题的条件极值方法

刘玲-经济学中两个优化问题的条件极值方法
刘玲-经济学中两个优化问题的条件极值方法

经济学中两个优化问题的条件极值方法

刘玲

(数学计算机科学学院 10数学 100701089 )

关键词:经济学;优化问题;条件极值;拉格朗日乘数法;

摘要:数学方法在很多经济学问题中具有广泛的应用,是解决许多经济问题的有力工具。本文研究了解决经济学中等式约束条件下的两个优化问题的数学方法,这两个问题是消费者在既定收入下的效用最大化问题、生产者的最优生产要素组合问题。通过对比常见的处理有条件约束的优化问题的数学方法,我们发现拉格朗日乘数法是一类非常有效而且具有可操作性的方法,所以本文选择了该方法作为解决上述两类经济优化问题的数学方法。结合具体实例,本文给出了利用拉格朗日乘数法求解上述两类优化问题的一般途径,而实例分析的结果也表明经济学中优化问题在此方法下可以得到有效解决。

Conditional extreme method for two economical optimization problems

Liu ling

(School of Mathematics and Computer Science, mathematics and applied mathematics major, 10 100701089)

Key words: economics; Optimization problem;conditional extreme;Lagrange multiplier method;Abstract: Mathematical methods are widely applied in many economic issues and are well known as a powerful tool to solve many economic problems. In this paper, we proposed a mathematical method for solving two economical optimization problems: utility maximization problem with constrained incomes for customers and optimal combination of production factors. By comparing several popular mathematical methods for conditional constraint optimization problem, we found that the Lagrange multiplier method is very effective and workable and thus this method is selected this as a solution to these two types of economic optimization problem. With concrete examples, this paper presents a general approach to Lagrange multiplier method for solving the above-mentioned two types of optimization problems, and examples of analysis results also show that economics optimization problem in this method can be effectively solved.

引言

多元函数条件极值是多元函数微分学的重要组成部分,它不仅在理论上有重要的应用,而且在其它学科及有关实际问题中有着广泛的应用,无论是在科学研究,还是在实际工程,运筹规划,经济管理中,经常要解决怎样使投入量最少,产出最多,效益最高等问题.这些经济和生活问题通常可以转化为数学中的函数问题来探讨,进而转化为求函数中极大值、极小值的问题.本文首先对多元函数无条件极值和条件极值的解题方法进行了归纳与总结,通过具体实例对各种解法进行分析类比,从中可以看到不同的条件极值问题可以有不同的解题方

法,但是只有拉格朗日乘数法是解决所有等式条件

下最有效的方法,并运用拉格朗日乘数法解决经济学中的效用最大化,生产要素最佳组合问题。但是 拉格朗日乘数法也不是万能的,对于不等式约束条件的极值问题则需要通过线性规划中的单纯形法来解决,并用此方法解决了改进的效用最大化问题。因此,经济学中的优化问题,对于等式和不等式的约束条件,都找到了有效的解决方法。

1等式约束条件下条件极值方法

1.1多元函数的无条件极值的一般理论[1]

定义1.1设n (2)n ≥元函数12(,,)n z f x x x =在

点0p 00012(,,

,)n x x x 的某邻域0()u p 内有定义,

若对任何0(,)()p x y u p ∈,都有0()()f p f p ≤(或

0()()f p f p ≥。则称函数f 在点

0p 取到极大(极

小)值,点0p 称为f 的极大(或极小)值点。极大值(极小值)统称极值,极大值点(极小值点)统称为极值点。

定理1.1(必要条件)若n (2)n ≥元函数

12(,,,)n z f x x x =在点00012(,,

,)n x x x 存在偏导

数,且在该点取得极值,则有0

012(,,

,)0i x n f x x x =

(1,2,,)i n =

注:使偏导数都为0的点称为稳定点,但稳定点不一定是极值点.

定理1.2(充分条件) 如果函数

),,,,(321n x x x x f y =,E x x x x n ∈),,,,(321 ,

0P ),,,,(0

030201n x x x x 的某邻域内具有n 阶连续偏导

数,且0P 是f 的稳定点,具有Hesse 矩阵H ,则(1)若H 为正定(或负定)矩阵时,f 在0P 取严格极小(或极大)值;(2)若H 为半正定(或半负定)矩阵时,f 在点0P 取极小值(或极大)值;

(3)若H 为不定矩阵,f 在点0P 不取极值. 注:设n 元函数),,,()(21n x x x f p f =在

),,,(0

02010n x x x p 点具有偏导数,则称矩阵

1112121

2221

2

n n n n n n x x x x x x x x

x x x x x x x x x x p f f f f f f H f f f ??

????=????????

L L M L

L M L

为函数),,,()(21n x x x f p f =在点0p 的Hesinn

矩阵,若二阶偏导数连续则H 是实对称矩阵。

特别地,对于二元函数,根据正半定或负半定对称阵所属主子行列式的符号规则,定理1.2可写成如下比较实用的形式:

定理1.3设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的某邻域

0()u p 连续且有一阶与二阶连续偏导数,如果

00(,)0x f x y '=,00(,)0y f x y '=,设

000000(,),(,),(,)xx

xy yy A f x y B f x y C f x y ''''''===,则(1)当20B A C -<时,00(,)f x y 一定为极值,并且当A (或C )0>时,00(,)f x y 为极小值;当A (或C )0<时,00(,)f x y 为极大值; (2)当2

0B AC ->时,00(,)f x y 不是极值; (3)当20B AC -=,还不能断定00(,)f x y 是否为极值,须作进一步研究。

1.2多元函数的条件极值[2]

1.2.1多元函数条件极值的定义

前面我们讨论的极值问题,其极值点的搜索范围是目标函数的定义域。但在实际问题中还有另外一中类型的极值问题,其极值点的搜索范围还受到许多条件限制。

例如要设计一个容量为V 的长方体无上盖水箱,试问水箱长、宽、高各等于多少时,其所用的

材料最少(即表面积最小)。设水箱的长、宽、高分别为,,,x y z 则表面积为

(,,)2()s x y z xz yz xy =++

定义域是0,0,0,x y z >>>,而且必须满足条件

xyz v =

像这类附有约束条件的极值问题称为条件极值问

题,不带约束条件的极值问题称为无条件极值问题。

条件极值问题的一般形式是在条件组

12(,,,)0,1,2,,()k n x x x k m m n φ==

的限制下,求目标函数12(,,,)n y f x x x =的极值

1.2.2多元函数的条件极值的几种特殊解法 解法一 消元法

从条件112321231123

(,,,,)0,(,,,,)0,...,(,,,,)0

n n n n x x x x x x x x x x x x φφφ-=??

=??=?L L L 解出

112211(),(),...,()n n n n n x x x x x x φφφ--===代入

123(,,,...,)n y f x x x x =便消去了变元将条件极

值转化为无条件极值.

例1.2.1对于上述长方体无盖水箱问题由条 件xyz v =,解出v

z xy

=

代入目标函数式,有 11

(,)(,,

)2(),(0,0),v f x y s x y v xy x y xy y x

==++>> 由于(,)f x y 在定义域内无偏导数存在的点,由

22

1

201

20f

v y x x f v x y

y ??=-+=??????=-+=???(定理1.1)

解得x y z ==

=

由实际问题表面积无最大值,有最小值,故当

x y z ==

=

时表面积s = 解法二:参数法

通过观察约束条件进行三角替换,化为无条件极值问题,利用三角函数的性质进行求解 例1.2.2已知222x y R +=,求xy 的极大值。 解:令cos ,sin ,x R y R θθ== 则 2

2

1sin cos sin 22

xy R R θθθ==

因为sin 2θ的极大值是1,故xy 的极大值为212

R 。 解法三:不等式法

均值不等式是常用的不等式,其形式为

12n a a a n

++

+≤

这里0,1,2k a k n ≥=,且等号成立的充分条件

是12n a a a ===

例1.2.3已知

1111

2

x y z ++=,(0,0,0)x y z >>>,求(,,)222f x y z x y z =++的极小值. 解 因为0,0,0,x y z >>>所以

(,,)222f x y z x y z =++

14()2

x y z =++?

1114()(

)x y z x y z

=++?++ 4(3)x y y z x z

y x z y z x

=+

+++++

4(3222)36≥+++=

当且仅当6x y z ===时,等号成立. 注:条件极值的参数法、不等式法、极坐标法等等都具有一定的技巧性,但也有一定的局限性。消元法的局限性在于从约束条件组中解除m 个变元并不总是可以实现的,参数法要求参数替换后可以运用已知的三角公式,不等式法则要求题目可以转化到

某个不等式上进行求解。但是这些特殊的要求并不总是能实现的,那么对于求解条件极值的一般方法还有待进一步提高。

1.2.3拉格朗日乘数法

拉格朗日乘数法是求多元函数条件极值的一种常用方法,特别是在约束条件比较多的情况下使用拉格朗日乘数法更方便适用,它将条件极值转化为了无条件极值问题,使问题简单化.

(1)拉格朗日乘数法的推导[3]

设在约束条件0),(=y x ?之下求函数=z ),(y x f 的极值。当满足约束条件的点),(00y x 是函数

),(y x f 的条件极值点,且在该点函数),(y x ?满足

隐函数存在条件时, 由方程0),(=y x ?决定隐函数)(x g y =,于是点0x 就是一元函数

())( , x g x f z =极限,有

0)(='+=x g f f dx

dz

y x 代入)

,()

,()(00000y x y x x g y x ??-=',就有

0)

,()

,(),(),(00000000=-y x y x y x f y x f y x y x ??,

即x f -y ?y f x ?0=即

(x f ,y f ) (?y ?,x ?-)0= . 可见向量(x f ,y f )与向量(y ?,x ?-)正交. 注

意到向量(

x ?,y ?)也与向量(y ?,x ?-)正交,即

得向量(x f ,y f )与向量(

x ?,y ?)线性相关, 即存

在实数λ, 使 (x f ,y f )+λ(x ?,y ?)0=.

亦即 ??

?=+=+.

, 0y y x x f f λ?λ? 由上述讨论可见 , 函数=z ),(y x f 在约束

条件0),(=y x ?之下的条件极值点应是方程组

?

??

??==+=+.

0),(, 0),(),(, 0),(),(y x y x y x f y x y x f y y x x ?λ?λ? 的解. 引进Lagrange 函数

),(),(),,(y x y x f y x L λ?λ+=,

( 称其中的实数λ为Lagrange 乘数 ) 则上述方程组即为方程组

?

??

??===.

0),,( , 0),,( , 0),,(λλλλy x L y x L y x L y x

(2)更一般的情形,构造拉格朗日函数

12112(,,,,,,)(,,)n m n L x x x f x x x λλ=+L L L L

1

2

1

(,,)m

k

k

n k x x x λ?=∑L

然后,解方程组0,1,2,,0,,2,i k

L

i n

x L k i m λ??==????

??==???

从此方程组中解出稳定点的坐标

000

12(,,)i n P x x x L (1,2,,)i k =L ,所得稳定点是

函数极值的可疑点,需进一步判断得出函数的极值,具体可以通过无条件极值的充分条件来验 (3)拉格朗日乘数法证明不等式 例1.2.4求函数xyz z y x f =),,(在条件

)0,0,0,0( 1

111>>>>=++r z y x r

z y x . 下的极小值 ;并证明不等式

31

1113abc c b a ≤??

? ??++- ,c b a , , 任意正常数 .

解:设拉格朗日函数为 +=xyz z y x L ),,,(λ ) 1111(r

z

y

x

-++λ.

对L 求偏导数, 并令它们都等于0, 则有

??

????????

??

?=-++==-==-==-

=.01

111,

0,

0,

0222

r z y x L z

xy Lz y xz L x

yz L y x λλλλ

由上述方程组的前三式, 易得

μ

====xyz z y x 111.从而函数L 的稳定点为r z y x 3===,4)3(r =λ.

为了判断3)3()3,3,3(r r r r f =是否为所求条件极(小)值, 我们可把条件 1111r

z

y

x

=++看作隐函

数),(y x z z =(满足隐函数定理条件), 并把目标函数),(),(),,(y x F y x xyz z y x f ==看作f 与

),(y x z z =的复合函数.为此计算如下:

2

2

2

2

22

,11

y z z x z z x z y x -

=-=---

=3

32x yz xyz yz yz F xx x x xx =

++=, xy

z x z y z z xyz xz yz z F xy

x y xy 3222+

--=+++=, 3

32y xz F yy

=

.

当r z y x 3===时, r F F r F xy yy xx 3,

6===,

027*******

>=-=-r r r F F F xy yy xx . 由此可见, 所求得的稳定点为极小值点, 而且可以验证是最小值点. 这样就有不等式

)11110,0,0(33r

z y x z y x r xyz =++>>>≥且

.

令c z b y a x ===,,, 则1)111(

-++=c

b a r

, 代入上不等式有

3

1])111(

3[-++≥c

b a abc

1

1113(

)(0,0,0)a b c a b c

-++≤>>>或.

注: 用拉格朗日乘数法求解条件极值问题的步骤: (1) 根据问题意义确定目标函数与条件组. (2) 作拉格朗日函数

∑=+=m

k k k m n f x x x L 12121),,,,,,,(?λλλλ ,

其中i λ的个数即为条件组的个数. (3) 求拉格朗日函数的稳定点, 即通过令

0,0=??=??j

i L

x L λ,)

,,2,1,,,2,1(m j n i ==求出所有稳定点, 这些稳定点就是可能的极值点. (4) 对每一个可能的条件极值点, 据理说明它是否确实为条件极值点. 如果已知某实际问题或根据条件确有极值, 而该问题的拉格朗日函数又只

有一个稳定点, 则这个稳定点就是所求的条件极值点. 否则, 还需要采用定理1.2所述的无条件极值的充分条件来判定.

1.2.4极值与最值

由有界闭区域上连续函数的性质知,连续函数f 在有界闭区域G 上一定能取得最大值与最小值。即存

在12,p p G ∈,有12(),()f p m f p M ==,对一切p G ∈,有()m f p M ≤≤。最大值,最小值也可以在边界点取到,也可以在内部取到。而极值只

能在区域内部取到,极值和最值的关系如下: (1)极值点不一定是最值点

(2)最值点不一定是极值点,如最值点在边界上取得的时候该点不可能为极值点

(3)当最值点在内部取到时,最大值、最小值点一定是极值点,则一定是稳定点或偏导数不存在点。

0000000()'(')()证:设是在内的最大(小)值点,则对任意的p G,有f(p)f(p ),

则一定存在p 的某邻域使得U (p )G,则U (p )G,有f(p )故p 是的极大(小)值点

p f G p f p f ∈≤≥??∈?≤≥(4)最大值、最小值点一定包含在区域内部的稳定点和偏导数不存在点的点及边界点(边界函数值最大值与最小值点)之中,这些怀疑点中函数值中的最大者即为函数的最大值,最小者即为函数最小值。 (5)若根据实际问题一定有最大值(或最小值),而内部有唯一可疑点,则改点的函数无须判断一定是最大值(或最小值)。

2拉格朗日乘数法在经济学中的运用

在经济分析中,决策者(无论是个人消费者、家庭、企业还是国家政府)经常需要利用最大化或最小化的方法,在多种可能中,做出选择 。比如,在消费者需求的效用理论中,消费者以效用最大为目标,在生产论中,企业主生产定量产品以成本最小为目标,在既定成本下以最大产量为目标。这说明了最大化与最小化概念的重要性,也是经济决策分析的通常特点。要解决这些向题,需要利用多元函数的极值理论。下面主要运用拉格朗日乘数法解决等式约束下的经济优化问题。

2.1消费者在既定收入下的效用最大化问题

效用是指消费者在消费商品时所感受到的满足程度,于是,就产生了对这种“满足程度”即效用大小的度量问题。西方经济学中的效用论就是研究消费者的效用问题,并运用了函数的条件极值原理推导出来消费如何在预算的支出下获得最大的效用。其具体过程如下:

(1)首先介绍效用论的几个概念[4]

a.总效用:指消费者在一定时间内从一定数量的商品中得到的效用量的总和

b.边际效用:指消费者在一定时间内增加一单位商品的消费所得到的的效用量增加,若消费者对一种商品的消费数量为Q,则总效用函数为 TU=()f Q 相应的边际效用函数为:()/MU dTU Q dQ =

c.边际替代率:它表示消费者在效用水平不变条件下所愿意接受的一种交换比率。

(2)假设消费者打算用m 元购买

1212x x p p 两商品、,价格分别为、;那么消费者的预算约束为1122;x p x p m +=设消费者的效用函数为12(,)u u x x =,则消费者在预算约束下的效用最大化问题实际上就是函数的条件极值问题,

用拉格朗日乘数法来解决,构建拉格朗日函数

效用最大化的一阶条件为:

由前两个式子可得:

所以得出结论:效用最大化的必要条件为------两商品的边际替代率等于两商品的价格之比。

注1:根据实际问题知效用存在最大化,故此处省略了该最大化问题的二阶条件

注2:该结论在西方经济学中具有重大的意义,它给消费者实现效用最大化提供了一般依据,由此可见条件极值的求解给经济生活中的作用。

例3.2已知某消费者每年用于商品1和的商品2的收入为540元,两商品的价格分别为P1=20元和P2=30元,该消费者的效用函数为2

213X X U =,该消费者每年购买这两种商品的数量应各是多少时能使效用最大化?

解:根据有拉格朗日乘数法推出的消费者的效用最大化的均衡条件: MU1/MU2=P1/P2

其中,由2

213X X U =可得:MU1=dTU/dX1 =2

23X

MU2=dTU/dX2 =6X1X2

于是,有:30/206/32122=X X X (1)

将(1)式代入预算约束条件,得:X1=9,X2=12 因此,该消费者每年购买这两种商品的数量应该

(1)

(2)(3)

11

1

2221122()0()00L u x p x x L u x p x x L

m p x p x λλλ

???=-=???????=-=??????=--=???121

(,)/u x x x ??121

22(,)u x x MU x MU ?=-

?121122(,)

..maxu u x x s t p x p x m =+=12

121122(,,)(,)(),L x x u x x m p x p x λλ≡+--11

22MU P

MU p =

为:388832

21==X X U

注:当然此处也可用拉格朗日乘数法求解,此处是应用了上面用拉格朗日乘数法推导出的结果,使计算更直接方便。

2.2最优生产要素组合

在实际的生产过程中,尤其是长期生产过程中,企业使用的各种生产要素都是可以调整的,并且各种生产要素中一般存在着一定的替代关系。这里假定只有劳动L K 和资本是可变的生产要素,厂商的理性选择就是采用最优要素投入组合,也就是指成本最小产量最大的组合:用既定数量的成本生产最大产量的组合,或是用最小成本生产既定产量的组合。先介绍几个概念:

(1)生产函数:一定时期内,在技术水平不变的前提下,各种投入的生产要素的数量所能产生的最大产量之间的关系。 Q=f(L,K)

(2)一种要素的边际产量(MP ):是在其他投入保持不变的情况下,增添一单位的该要素投入而多生产出来的产量/L MP dQ dL =

(3)边际技术替代率是指在技术和产量不变的条件下,厂商为增加一单位某种要素的投入所能减少的另一种要素的投入量,用MRTS 表示

L

K MRTS

LK

??=

或者:dL

dK MRTS LK =

2.2.1生产者在既定成本下最大产量的要素组合 如果用C 表示既定的成本,W 和r分别代表劳动L 和资本K 的价格,则最优组合可转化为条件极值问

题:Max Q L K C L K ??

?:=f (,),=w +r。

拉格朗日函数:Z=f L K (C wL K λ--(,)+r)

Z 极大的必要条件是它对L 、K 的一阶偏导数等于零:

000L L K K f Z w MP w L f Z r MP r K Z C wL rK λλλλλ=??=-=?=???

??

=-=?=???

--=???

, 于是,LK MRTS =

r

w

MP MP K L =

这便是既定成本下实现最大产量的要素组合原则。 例3.3已知某企业的生产函数为

2/31/3,2, 1.=Q L K w r ===劳动的价格为资本的价格为求:当成本C 3000时,企业实现最大产量是的L 、K 、Q 的值。

解法一:C=2L+K,312K L Q =

1/31/32/32/323

(/)/(/)13

L

K

L K

MP dQ dL dQ dK MP L K --==

为了实现最大产量:MP /MP w /r 2.L K == 联立得K=L,代入C=2L+K 得

当C=3000时,得L=K=1000. Q=1000.

解法二:拉格朗日乘数法: 2/31/3max 2L K=3000

Q L K ?=?

+? 令2/31/3(,,)(30002)N L K L K L K λλ=+-- 将拉格朗日函数分别对L,K,λ求导,得到极值的一

阶条件:1/31/32/32/3

2/2031/03/3000230N L L K N K L K

N L K λλλ--?

??=-=??

???=-=??

??=--=???

由前两式得K=L;代入三式得3000-2L-L=0.

解得.L=1000, K=1000.

再将L,K 代入目标函数得 Q=1000.

2.2.2生产者在既定产量下最小成本的要素组合 在0(,)Q f L K Q ==的限制条件下,求得使

wL rK +具有最小值的最优生产要素组合

得LK MRTS =//L K

MP f L w f K

MP r

??==??

00(,,)()[(,)]

00(,)0L K wL rK Q f L K f L L f r K k Q f L K πλλπ

ωλπλπ

λ=++-???=-=????

???=-=?

?????=-=???

注1:这便是既定产量下实现最小成本的要素组合原则。由实际问题意义,省去最值问题的二阶条件。 注2:也可以拉格朗日乘数法来解,相当于把上述结论演算了一遍,故不再重述。

注3:由拉格朗日乘数解决最优生产问题得出了一般通解,这为生产者进行合理生产提供了很大的方便,由此可见条件极值的求解尤其是拉格朗日乘数法的重要性。

3不等式约束条件下的极值问题

以上讨论的是运用等式约束条件下的拉格朗日乘数法解决经济学中的优化问题,即在上述两个优化问题中假定了消费者的预算支出,并且购买的要素没有其他限制条件,所以得到的是等式约束条件。但是生产生活中对生产或者购买的要素经常是有限制的。

例如购买商品x1和x2,价格分别为1元和2元,购买一单位该商品得到的效用分别为1和3,预算支出为10元,但是消费者需要x1的量不超过5单位,需要x2的量不超过4单位,求分别购买多少才能使效用最大化?

按照题意列出约束条件为: 求12max 3S x x =+

1122125

210.4,0

x x x s t x x x ≤??+≤??≤??≥?

因为文章前面大量介绍了拉格朗日乘数法可以解决所有的等式约束条件极值问题,那么如果它是否可以解决不等式约束条件下的极值问题需要讨论。

首先运用运筹学中的线性规划问题将其标准化 化标准型:令S ’=-S ,引进松弛变量34,5,0x x x ≥,其标准型为求12min '3S x x =--

1312425155

210.4~0

x x x x x s t x x x x +=??++=??

+=??≥?

对于上面的问题用拉格朗日乘数法来解决

12113(,)3(5)L x x x x x λλ=--++-+

2124325(210)(4)x x x x x λλ++-++-

此问题取得极值的必要条件为:

1122233142

53/10

/320

/0/0

/0

L x L x L x L x L x λλλλλλλ??=-++=????=-++=??

??==????==????==? 于是产生矛盾结果,说明拉格朗日方法失效,要探寻新的求解方法。

注:失效的原因在于没有考虑自变量的非负约束

对于不等式约束条件下的极值问题,运筹学中的线性规划问题已为此提供了有效的解决方法—单纯形法。

通过标准化使每个线性规划问题都可化为标准[5]

再根据运筹学中的单纯形法制作单纯形表则可以解出不等式约束条件下的极值问题。

现用单纯形法求解上述问题:作单纯形表:在约束方程组系数矩阵中345,,x x x 的系数构成单位矩阵,故取345,,x x x 为基变量,目标函数已非基化了,作

11

max(min)(),1,2,,0,1,2,,目标函数 满足约束条件 其中,,0,n j j j n

ij j i j j

ij i j f X c x a x b i m x j n

a R

b

c R

===?==???≥=?∈≥∈∑∑L L

初始单纯形表并“换基迭代”

表1 单纯形表

最终结果:此时检验数均为非负数,线性规划问题取得最优解,最优解为X=[2 4 3 0 0] T 目标函数取得最优值 'S = -14原线性规划问题的最优解为:1x =2,2x =4.目标函数的最优值为14,即max S=2+3×4=14。

结论

为了探究经济学中优化问题的解决方法,文章阐述分等式约束和不等式约束条件进行讨论。对于等式约束条件下的极值问题,通过逐步的分析得到拉格朗日乘数法是最有效的解决方法。对于不等式约束下的极值问题,单纯形法是最有效的解决方法。因此,对于经济学中的优化问题,本文提供了切实

可行的条件极值方法。

参考文献

[1] 华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2002:136-137

[2] 华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2002:165-167

[3] 同济大学应用数学系.高等数学[M].北京:高等教育出版社,2002:57-58

[4]高鸿业.西方经济学[M]. 北京:中国人民大学出版社,2011:117-119

[5]运筹学教材编写组.运筹学[M]北京:清华大学出版社,2005:35-37

求极值的若干方法

求极值的若干方法 1 序言 一般来说函数的极值可以分为无条件极值和条件极值两类.无条件极值问题即是函数中的自变 量只受定义域约束的极值问题;而条件极值问题即是函数中的自变量除受定义域约束外还受其它条件限制的极值问题.下面我们给出极值的定义 定义1) 136](1[P 设函数f 在点0P 的某邻域0()U P 内有定义,若对于任何点 0()P U P ∈,成立不等式 0()()f P f P ≤(或0()()f P f P ≥), 则称函数f 在点0P 取得极大(或极小)值,点0P 称为f 的极大(或极小)值点.极大值、极小值统称为极值.极大值点、极小值点统称为极值点. 2 求解一元函数无条件极值的常用方法 2.1 导数法 定理1 ) 142](2[P 设f 在点0x 连续,在某邻域0(;)o U x δ内可导. (i)若当00(,)x x x δ∈-时()0f x '≤,当00(,)x x x δ∈+时()0f x '≥,则f 在点0x 取得极小值. (ii)若当00(,)x x x δ∈-时()0f x '≥,当00(,)x x x δ∈+时()0f x '≤,则f 在点0x 取得极大值. 由此我们可以推出当0(;)o x U x δ∈时,若()f x '的符号保持不变,则()f x 在0x 不取极值. 定理2 ) 142](2[P 设f 在0x 的某邻域0(;)U x δ内一阶可导, 在0x x =处二阶可导,且()0f x '=,()0f x ''≠. (i)若0()0f x ''<,则f 在0x 取得极大值. (ii)若0()0f x ''>,则f 在0x 取得极小值. 对于一般的函数我们既可以利用定理1,也可以利用定理2,但对于有不可导点的函数只能用定理1. 例1 求函数2 ()(1)f x x x =-的极值.

罗默《高级宏观经济学》(第3版)课后习题详解(第2章 无限期界与世代交叠模型)

罗默《高级宏观经济学》(第3版)第2章 无限期界与世代交叠模型 跨考网独家整理最全经济学考研真题,经济学考研课后习题解析资料库,您可以在这里 查阅历年经济学考研真题,经济学考研课后习题,经济学考研参考书等内容,更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验,从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富,这或许能帮你少走弯路,躲开一些陷阱。 以下内容为跨考网独家整理,如您还需更多考研资料,可选择经济学一对一在线咨询进行咨询。 2.1 考虑N 个厂商,每个厂商具有规模报酬不变的生产函数()Y F K AL =,,或者(利用密集形式)()Y ALf k =。设()·0f '>,()()* ** 1c s f k =-。设所有厂商以工资wA 雇用工人,以成本r 租借资本,并且拥有相同的A 值。 (a )考虑一位厂商试图以最小成本生产Y 单位产出的问题。证明k 的成本最小化水平 () ()()**1001t t t f c c k cs f k n g k L n L αδ*+??"==-=++=+ ??? <唯一地被确定并独立于Y ,所有厂商因此选择相同的k 值。 (b )证明N 个成本最小化厂商的总产出等于具有相同生产函数的一个单个厂商利用N 个厂商所拥有的全部劳动与资本所生产的产出。 证明:(a )题目的要求是厂商选择资本K 和有效劳动AL 以最小化成本rK wAL +,同时厂商受到生产函数()Y ALf k =的约束。这是一个典型的最优化问题。 () .mi . n s t w Y ALf k AL rK = + 本题使用拉格朗日方法求解,构造拉格朗日函数: 求一阶条件: 用第一个结果除以第二个结果: 上式潜在地决定了最佳资本k 的选择。很明显,k 的选择独立于Y 。 上式表明,资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比,这便是成本最小化条件。 (b )因为每个厂商拥有同样的k 和A ,下面是N 个成本最小化厂商的总产量关系式:

函数极值的几种求法

函数极值的几种求法 ──针对高中生所学知识 摘要:函数是数学教学中一个重要的组成部分,从小学六年级的一元一次方程继而延伸到初中的一次函数,二次函数的初步介绍,再到高中的函数的单调性、周期性、最值、极值,以及指数函数、对数函数、三角函数的学习,这些足以说明函数在数学教学中的地位。极值作为函数的一个重要性质,无论是在历年高考试题中,还是在实际生活运用中都占有不可或缺的地位。本文主要阐述了初高中常见的几种函数,通过函数极值的相关理论给出每种函数极值的求解方法。 关键词:函数;单调性;导数;图像;极值 Abstract: Function is an important part of mathematics teaching. First the learning of linear equation in six grade, secondly the preliminary introduction of linear functions and quadratic functions in junior high school, then the monotonicity, the periodicity, the most value and the extreme value of function, finally the learning of the logarithmic function, exponential function and trigonometric function in high school. These are enough to show the important statue of the function in mathematics teaching. As an important properties of function, extreme value has an indispensable status whether in the calendar year test, or in daily life. This article will mainly expound the methods of solving the extreme value of sever functions in middle school. Key words: function; monotonicity; derivative; image; extreme value “函数”一词最先是由德国的数学家莱布尼茨在17世纪采用的,当时莱布尼茨用“函数”这一词来表示变量x的幂,也就是x的平方x的立方。之后莱布尼茨又将“函数”这一词用来表示曲线上的横坐标、纵坐标、切线的长度、垂线的长度等与曲线上的点有关的变量[]1。就这样“函数”这词逐渐盛行。在中国,清代著名数学家、天文学家、翻译家和教育家,近代科学的先驱者善兰给出的定义是:

目标函数的几种极值求解方法

目标函数极值求解的几种方法 题目:()() 2 22 1 122min -+-x x ,取初始点()() T x 3,11 =,分别用最速下降法, 牛顿法,共轭梯度法编程实现。 一维搜索法: 迭代下降算法大都具有一个共同点,这就是得到点()k x 后需要按某种规则确定一个方向()k d ,再从()k x 出发,沿方向()k d 在直线(或射线)上求目标函数的极小点,从而得到()k x 的后继点()1+k x ,重复以上做法,直至求得问题的解,这里所谓求目标函数在直线上的极小点,称为一维搜索。 一维搜索的方法很多,归纳起来大体可以分为两类,一类是试探法:采用这类方法,需要按某种方式找试探点,通过一系列的试探点来确定极小点。另一类是函数逼近法或插值法:这类方法是用某种较简单的曲线逼近本来的函数曲线,通过求逼近函数的极小点来估计目标函数的极小点。本文采用的是第一类试探法中的黄金分割法。原理书上有详细叙述,在这里介绍一下实现过程: ⑴ 置初始区间[11,b a ]及精度要求L>0,计算试探点1λ和1μ,计算函数值 ()1λf 和()1μf ,计算公式是:()1111382.0a b a -+=λ,()1111618.0a b a -+=μ。令 k=1。 ⑵ 若L a b k k <-则停止计算。否则,当()K f λ>()k f μ时,转步骤⑶;当 ()K f λ≤()k f μ时,转步骤⑷ 。 ⑶ 置k k a λ=+1,k k b b =+1,k k μλ=+1,()1111618.0++++-+=k k k k a b a μ,计算函数值 ()1+k f μ,转⑸。 ⑷ 置k k a a =+1,k k b μ=+1,k k μμ=+1,()1111382.0++++-+=k k k k a b a λ,计算函数值()1+k f λ,转⑸。 ⑸ 置k=k+1返回步骤 ⑵。 1. 最速下降法 实现原理描述:在求目标函数极小值问题时,总希望从一点出发,选择一个目

常用最优化方法评价准则

常用无约束最优化方法评价准则 方法算法特点适用条件 最速下降法属于间接法之一。方法简便,但要计算一阶偏导 数,可靠性较好,能稳定地使函数下降,但收敛 速度较慢,尤其在极点值附近更为严重 适用于精度要求不高或用于对 复杂函数寻找一个好的初始 点。 Newton法属于间接法之一。需计算一、二阶偏导数和Hesse 矩阵的逆矩阵,准备工作量大,算法复杂,占用 内存量大。此法具有二次收敛性,在一定条件下 其收敛速度快,要求迭代点的Hesse矩阵必须非 奇异且定型(正定或负定)。对初始点要求较高, 可靠性较差。 目标函数存在一阶\二阶偏导 数,且维数不宜太高。 共轭方向法属于间接法之一。具有可靠性好,占用内存少, 收敛速度快的特点。 适用于维数较高的目标函数。 变尺度法属于间接法之一。具有二次收敛性,收敛速度快。 可靠性较好,只需计算一阶偏导数。对初始点要 求不高,优于Newton法。因此,目前认为此法是 最有效的方法之一,但需内存量大。对维数太高 的问题不太适宜。 适用维数较高的目标函数 (n=10~50)且具有一阶偏导 数。 坐标轮换法最简单的直接法之一。只需计算函数值,无需求 导,使用时准备工作量少。占用内存少。但计算 效率低,可靠性差。 用于维数较低(n<5)或目标函 数不易求导的情况。 单纯形法此法简单,直观,属直接法之一。上机计算过程 中占用内存少,规则单纯形法终止条件简单,而 不规则单纯形法终止条件复杂,应注意选择,才 可能保证计算的可靠性。 可用于维数较高的目标函数。

常用约束最优化方法评价标准 方法算法特点适用条件 外点法将约束优化问题转化为一系列无约束优化问题。 初始点可以任选,罚因子应取为单调递增数列。 初始罚因子及递增系数应取适当较大值。 可用于求解含有等式约束或不等 式约束的中等维数的约束最优化 问题。 内点法将约束优化问题转化为一系列无约束优化问题。 初始点应取为严格满足各个不等式约束的内点, 障碍因子应取为单调递减的正数序列。初始障碍 因子选择恰当与否对收敛速度和求解成败有较大 影响。 可用于求解只含有不等式约束的 中等维数约束优化问题。 混合罚函数法将约束优化问题转化为一系列无约束优化问题, 用内点形式的混合罚函数时,初始点及障碍因子 的取法同上;用外点形式的混合罚函数时,初始 点可任选,罚因子取法同外点法相同。 可用于求解既有等式约束又有不 等式约束的中等维数的约束化问 题。 约束坐标轮换法由可行点出发,分别沿各坐标轴方向以加步探索 法进行搜索,使每个搜索点在可行域内,且使目 标函数值下降。 可用于求解只含有不等式约束, 且维数较低(n<5),目标函数的 二次性较强的优化问题。 复合形法在可行域内构造一个具有n个顶点的复合形,然 后对复合形进行映射变化,逐次去掉目标函数值 最大的顶点。 可用于求解含不等式约束和边界 约束的低维优化问题。

罗默《高级宏观经济学》第版课后习题详解第章索洛增长模型

罗默《高级宏观经济学》(第3版)第1章 索洛增长模型 跨考网独家整理最全经济学考研真题,经济学考研课后习题解析资料库,您可以在这里查阅历年经济学考研真题,经济学考研课后习题,经济学考研参考书等内容,更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验,从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富,这或许能帮你少走弯路,躲开一些陷阱。 以下内容为跨考网独家整理,如您还需更多考研资料,可选择经济学一对一在线咨询进行咨询。 增长率的基本性质。利用一个变量的增长率等于其对数的时间导数的事实证明: (a )两个变量乘积的增长率等于其增长率的和,即若()()()Z t X t Y t =,则 (b )两变量的比率的增长率等于其增长率的差,即若()()()Z t X t t =,则 (c )如果()()Z t X t α=,则()()()()//Z t Z t X t X t α=g g 证明:(a )因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导,那么可得下式: 因为两个变量的积的对数等于两个变量各自对数之和,所以有下式: 再简化为下面的结果: 则得到(a )的结果。 (b )因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导,那么可得下式: 因为两个变量的比率的对数等于两个变量各自对数之差,所以有下式: 再简化为下面的结果: 则得到(b )的结果。 (c )因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导,那么可得下式: 又由于()()ln ln X t X t αα??=??,其中α是常数,有下面的结果: 则得到(c )的结果。 假设某变量X 的增长率为常数且在10~t 时刻等于0a >,在1t 时刻下降为0,在12~t t 时刻逐渐由0上升到a ,在2t 时刻之后不变且等于a 。 (a )画出作为时间函数的X 的增长率的图形。 (b )画出作为时间函数的ln X 的图形。 答:(a )根据题目的规定,X 的增长率的图形如图1-1所示。 从0时刻到1t 时刻X 的增长率为常数且等于a (0a >),为图形中的第一段。X 的增长率从0上升到a ,对应于图中的第二段。从2t 时刻之后,X 的增长率再次变为a 。 图1-1 时间函数X 的增长率 (b )注意到ln X 关于时间t 的导数(即ln X 的斜率)等于X 的增长率,即: 因此,ln X 关于时间的图形如图1-2所示:从0时刻到1t 时刻,ln X 的斜率为a (0a >),在1t 时刻,()X t 的增长率出现不连续的变化,因此ln X 的斜率出现扭曲,在1t 时刻至2t 时刻,ln X 的斜率由0逐渐变为a ;从2t 时刻之后,ln X 的斜率再次变为a (0a >)。 图1-2 ln X 关于时间的图形

无约束优化方法程序

无约束优化方法---鲍威尔方法 本实验用鲍威尔方法求函数f(x)=(x1-5)2+(x2-6)2 的最优解。 一、简述鲍威尔法的基本原理 从任选的初始点x⑴o出发,先按坐标轮换法的搜索方向依次沿e1.e2.e3进行一维搜索,得各自方向的一维极小点x⑴ x⑵ x⑶.连接初始点xo⑴和最末一个一维极小点x3⑴,产生一个新的矢量 S1=x3⑴-xo⑴ 再沿此方向作一维搜索,得该方向上的一维极小点x⑴. 从xo⑴出发知道获得x⑴点的搜索过程称为一环。S1是该环中产生的一个新方向,称为新生方向。 接着,以第一环迭代的终点x⑴作为第二环迭代的起点xo⑵,即 Xo⑵←x⑴ 弃去第一环方向组中的第一个方向e1,将第一环新生方向S1补在最后,构成第二环的基本搜索方向组e2,e3,S1,依次沿这些方向求得一维极小点x1⑵,x2⑵,x3⑵.连接 Xo⑵与x3⑵,又得第二环的新生方向 S2=x3⑵-xo⑵ 沿S2作一维搜索所得的极小点x⑵即为第二环的最终迭代点 二、鲍威尔法的程序 #include "stdafx.h" /* 文件包含*/ #include

#include #include #define MAXN 10 #define sqr(x) ((x)*(x)) double xkk[MAXN],xk[MAXN],sk[MAXN]; int N,type,nt,et; //N--变量个数,type=0,1,2,3 nt,et--不等式、等式约束个数 double rk; double funt(double *x,double *g,double *h) { g[0]=x[0]; g[1]=x[1]-1; g[2]=11-x[0]-x[1]; return sqr(x[0]-8)+sqr(x[1]-8); } double F(double *x) { double f1,f2,ff,fx,g[MAXN],h[MAXN]; int i; fx=funt(x,g,h); f1=f2=0.0; if(type==0 || type==2)for(i=0; i1.0e-15)?1.0/g[i]:1.0e15;

常用无约束最优化方法(一)

项目三 常用无约束最优化方法(一) [实验目的] 编写最速下降法、Newton 法(修正Newton 法)的程序。 [实验学时] 2学时 [实验准备] 1.掌握最速下降法的思想及迭代步骤。 2.掌握Newton 法的思想及迭代步骤; 3.掌握修正Newton 法的思想及迭代步骤。 [实验内容及步骤] 编程解决以下问题:【选作一个】 1.用最速下降法求 22120min ()25[22]0.01T f X x x X ε=+==,,,. 2.用Newton 法求 22121212min ()60104f X x x x x x x =--++-, 初始点 0[00]0.01T X ε==,,. 最速下降法 Matlab 程序: clc;clear; syms x1 x2; X=[x1,x2]; fx=X(1)^2+X(2)^2-4*X(1)-6*X(2)+17; fxd1=[diff(fx,x1) diff(fx,x2)]; x=[2 3]; g=0; e=0.0005; a=1; fan=subs(fxd1,[x1 x2],[x(1) x(2)]); g=0; for i=1:length(fan) g=g+fan(i)^2; end g=sqrt(g); step=0; while g>e step=step+1; dk=-fan; %点x(k)处的搜索步长

ak=((2*x(1)-4)*dk(1)+(2*x(2)-6)*dk(2))/(dk(1)*dk(2)-2*dk(1)^2-2*dk(2)^2); xu=x+ak*dk; x=xu; %输出结果 optim_fx=subs(fx,[x1 x2],[x(1) x(2)]); fprintf(' x=[ %d %d ] optim_fx=%d\n',x(1),x(2),optim_fx); %计算目标函数点x(k+1)处一阶导数值 fan=subs(fxd1,[x1 x2],[x(1) x(2)]); g=0; for i=1:length(fan) g=g+fan(i)^2; end g=sqrt(g); end %输出结果 optim_fx=subs(fx,[x1 x2],[x(1) x(2)]); fprintf('\n最速下降法\n结果:\n x=[ %d %d ] optim_fx=%d\n',x(1),x(2),optim_fx); c++程序 #include #include #include #include float goldena(float x[2],float p[2]) {float a; a=-1*(x[0]*p[0]+4*x[1]*p[1])/(p[0]*p[0]+4*p[1]*p[1]); return a; } void main() {float a=0,x[2],p[2],g[2]={0,0},e=0.001,t; int i=0; x[0]=1.0; x[1]=1.0;

求极值与最值的方法

求极值与最值的方法 1 引言 在当前的数学教育中,求初等函数的极值与最值占有比较重要的位置,由于其解法灵活,综合性强,能力要求高,故而解决这类问题,要掌握各数学分支知识,能综合运用各种数学技能,灵活选择合理的解题方法。下面我们将要介绍多种求初等函数的极值和最值的方法。 2 求函数极值的方法 极值定义:设函数()f x 在0x 的某邻域内有定义,且对此邻域内任一点 x 0()x x ≠,均有0()()f x f x <,则称0()f x 是函数错误!未找到引用源。的一个极大值;同样如果对此邻域内任一点x 0()x x ≠,均有错误!未找到引用源。,则称0()f x 是函数错误!未找到引用源。的一个极小值。函数的极大值与极小值统称为函数的极值。使函数取得极值的点0x ,称为极值点。 2.1 求导法 判别方法一: 设()f x 在点0x 连续,在点错误!未找到引用源。的某一空心邻域内可导。当 x 由小增大经过错误!未找到引用源。时,如果: (1)'()f x 由正变负,那么0x 是极大值点; (2)错误!未找到引用源。由负变正,那么0x 是极小值点; (3)错误!未找到引用源。不变号,那么0x 不是极值点。 判别方法二: 设()f x 在点0x 处具有二阶导数,且'()0f x =,''()0f x =。 (1)如果''()0f x <,则()f x 在点0x 取得极大值; (2)如果''()0f x >,则()f x 在点0x 取得极小值。

判别方法三: 设()f x 在点0x 有n 阶导数,且0)()()(0)1(00===''='-x f x f x f n 0)(0)(≠x f n ,则: (1)当为偶数时,)(x f 在0x 取极值,有0)(0)(x f n 时,)(x f 在0x 取极小值。 (2)当为奇数时,)(x f 在0x 不取极值。 求极值方法: (1)求一阶导数,找出导数值为0的点(驻点),导数值不存在的点,及端点; (2)判断上述各点是否极值点 例 1 求函数32()69f x x x x =-+的极值。 解法一 : 因为32()69f x x x x =-+的定义域为错误!未找到引用源。, 且'2()31293(1)(3)f x x x x x =-+=--, 令'()0f x =,得驻点11x =, 23x =; 在错误!未找到引用源。内,错误!未找到引用源。,在错误!未找到引用源。内,'()0f x <,(1)4f =为函数()f x 的极大值。 解法二: 因为错误!未找到引用源。的定义域为错误!未找到引用源。, 且错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。。 令错误!未找到引用源。,得驻点错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。。又因为错误!未找到引用源。,所以,错误!未找到引用源。为)(x f 极大值。 错误!未找到引用源。,所以错误!未找到引用源。为)(x f 极小值.

求函数极值的几种方法

求解函数极值的几种方法 1.1函数极值的定义法 说明:函数极值的定义,适用于任何函数极值的求解,但是在用起来时却比较的烦琐. 1.2导数方法 定理(充分条件)设函数()f x 在0x 处可导且0()0f x '=,如果x 取0x 的左侧的值时,()0f x '>,x 取0x 的右侧的值时,()0f x '<,那么()f x 在0x 处取得极大值,类似的我们可以给出取极小值的充分条件. 例1 求函数23()(1)f x x x =-的单调区间和极值 解 23()(1)f x x x =- ()x -∞<<+∞, 3222()2(1)3(1)(1)(52)f x x x x x x x x '=-+-=--. 令 ()0f x '=,得到驻点为10x =,22 5 x = ,31x =.列表讨论如下: 表一:23()(1)f x x x =-单调性列表 说明:导数方法适用于函数()f x 在某处是可导的,但是如果函数()f x 在某处不可导,则就不能用这样的方法来求函数的极值了.用导数方法求极值的条件是:函数()f x 在某点0x 可导. 1.3 Lagrange 乘法数方法 对于问题: Min (,)z f x y = s.t (,)0x y =

如果**(,)x y 是该问题的极小值点,则存在一个数λ,使得 ****(,)(,)0x x f x y g x y λ+= ****(,)(,)0y y f x y g x y λ+= 利用这一性质求极值的方法称为Lagrange 乘法数 例2 在曲线3 1(0)y x x = >上求与原点距离最近的点. 解 我们将约束等式的左端乘以一个常数加到目标函数中作为新的目标函 数2231 ()w x y y x λ=++- 然后,令此函数对x 的导数和对y 的导数分别为零,再与原等式约束合并得 43 320201x x y y x λλ?+=?? +=???=? 解得 x y ?=? ?= ?? 这是唯一可能取得最值的点 因此 x y ==为原问题的最小值点. 说明:Lagrange 乘法数方法对于秋多元函数是比较方便的,方法也是比较简单的 :如果**(,)x y 是该问题的极小值点则存在一个数λ,使得 ****(,)(,)0x x f x y g x y λ+= ****(,)(,)0y y f x y g x y λ+= 这相当于一个代换数,主要是要求偏导注意,这是高等代数的内容. 1.4多元函数的极值问题 由极值存在条件的必要条件和充分条件可知,在定义域内求n 元函数()f p 的极值可按下述步骤进行:①求出驻点,即满足grad 0()0f p =的点0p ;②在0 p

求式子最值的几种常见的方法

求式子最值的几种常见的方法 我任教新教材已有二个轮回了,通过这几年教学和学习中,总结了几种求式子最值的常用方法,式子最值主要还是求函数最大值和最小值。 第一种方法是熟练利用基础函数的一些性质,基础函数包括指数函数、对数函数、幂函数、三角函数,这此函数图像和性质,学生必须牢牢记住掌握。比如二次函数在实数内求最值,只求对称轴函数值即可。再加上开口方向就定出最大或最小值。比如:y=sinx 有实数内求最大或最小值,掌握正弦函数性质,直接指出最大值是1,最小值是-1。若求基础函数在定义域内某一个区间内最值,就得看此区间函数单调情况再求最值。 方法二:利用单调性求最值,比如:y=1x-2在区间[3,4]上最值,先证明y=1x-2在[3,4]上是单调递减的,所以x=3时,y最大1,x=4时,y最小1/2。 方法三:利用线性规划求最值 例如:若变量x,y满足y≤1x+y≥0x-y-2≤0 则z=x-2y取值范围点。 A.[-1,3) B.[-3,1)

C. [-3,3) D. [-1,1) 先画可行域,画直线x-2y=0,平移直线x-2y=0在可能域内求使,z= x-2y产生最值的最优解,代入z= x-2y,选C。 有些函数最值还可以把线性规划问题加深求非线性目标函数最值,常利用式子几何意义来求,如:已知实数x,y满足约束条件x≥-1y≥0x+y≥1 则(x+2)2+y2最小值是 解决这个问题利用几何意义在可行域内找一点到(-2,0)点距离平方最小,最后得9/2,这些类型还有利用斜率意义等。 方法四:利用不等式求最值 利用不等式求最值,常用基本不等式2,a>0,b>0,则a+b≥2ab这个式子必须有一个固定值,当a+b确定能求出,ab积最大值,当ab积固定时能求出a+b的最小值,但在a=b前提下。老师在教学中给同学总结一正、二定、三相等,例如:设a>b>c,n∈N且1a-b+1b-c ≥na-c恒成立,求n的最大值是() A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 解决这道题实际上就是求(a-c)(1a-b+1b-c)的最小值,上式变形[(a-b)+(b-c)][ 1a-b+1b-c]展开后利用重要不等式求出选C,利用不等式2求最

罗默《高级宏观经济学》第版课后习题详解第章索洛增长模型

罗默《高级宏观经济学》(第3版)第1章 索洛增长模型 跨考网独家整理最全经济学考研真题,经济学考研课后习题解析资料库,您可以在这里查阅历年经济学考研真题,经济学考研课后习题,经济学考研参考书等内容,更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验,从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富,这或许能帮你少走弯路,躲开一些陷阱。 以下内容为跨考网独家整理,如您还需更多考研资料,可选择经济学一对一在线咨询进行咨询。 增长率的基本性质。利用一个变量的增长率等于其对数的时间导数的事实证明: (a )两个变量乘积的增长率等于其增长率的和,即若()()()Z t X t Y t =,则 (b )两变量的比率的增长率等于其增长率的差,即若()()()Z t X t t =,则 (c )如果()()Z t X t α=,则()()()()//Z t Z t X t X t α=g g 证明:(a )因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导,那么可得下式: 因为两个变量的积的对数等于两个变量各自对数之和,所以有下式: 再简化为下面的结果: 则得到(a )的结果。 (b )因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导,

那么可得下式: 因为两个变量的比率的对数等于两个变量各自对数之差,所以有下式: 再简化为下面的结果: 则得到(b )的结果。 (c )因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导,那么可得下式: 又由于()()ln ln X t X t αα??=?? ,其中α是常数,有下面的结果: 则得到(c )的结果。 假设某变量X 的增长率为常数且在10~t 时刻等于0a >,在1t 时刻下降 为0,在12~t t 时刻逐渐由0上升到a ,在2t 时刻之后不变且等于a 。 (a )画出作为时间函数的X 的增长率的图形。 (b )画出作为时间函数的ln X 的图形。 答:(a )根据题目的规定,X 的增长率的图形如图1-1所示。 从0时刻到1t 时刻X 的增长率为常数且等于a (0a >),为图形中的第一段。X 的增长率从0上升到a ,对应于图中的第二段。从2t 时刻之后,X 的增长率再次变为a 。 图1-1 时间函数X 的增长率 (b )注意到ln X 关于时间t 的导数(即ln X 的斜率)等于X 的增长率,即: 因此,ln X 关于时间的图形如图1-2所示:从0时刻到1t 时刻,ln X 的斜率为a (0a >),在1t 时刻,()X t 的增长率出现不连续的变化,因此ln X 的

求最值问题的几种方法

浅谈求最值问题的几种方法 摘要:最值问题综合性强, 涉及到中学数学的许多分支, 因而这类问题题型广, 知识面宽,而且在解法上灵活多样, 能较好体现数学思想方法的应用. 在历年的高考试题中, 既有基础题, 也有一些小综合的中档题, 更有一些以难题的形式出现. 解决这类问题要掌握多方面的知识, 综合运用各种数学技巧, 灵活选择合理的解题方法, 本文就几类最值问题作一探求. 关键词:数学;函数;最值;最大值;最小值 1. 常见函数的最值问题. 1.1 一次函数的最大值与最小值. 一次函数b kx y +=在其定义域(全体实数)内是没有最大值和最小值的, 但是, 如果对自变量x 的取值范围有所限制时, 一次函数就可能有最大值和最小值了. 例1. 设0>a 且 a ≠1,)1(1 x a ax y -+=,(0≤x ≤1),求y 的最大值与最小值. 解: )1(1x a ax y -+=可化为:.1 )1(a x a a y +-=下面对一次项系数分两种情况讨论: (1)当a >1时,a -a 1>0,于是函数a x a a y 1 )1(+-=的函数值是随着x 的增加而增加的,所 以 当x =0时,y 取最小值 a 1 ; 当x =1时,y 取最大值a . (2)当0

求函数最值的方法归纳

求函数最值的常用以下方法: 1.函数单调性法 先确定函数在给定区间上的单调性,然后依据单调性求函数的最值.这种利用函数单调性求最值的方法就是函数单调性法.这种求解方法在高考中是必考的,且多在解答题中的某一问中出现. 例1 设a >1,函数f (x )=log a x 在区间[a,2a ]上的最大值与最小值之差为1 2,则a =________. 【思路】 先判断函数在指定区间上的单调性,再求出函数的最值,然后利用条件求得参数a 的值. 【解析】 ∵a >1,∴函数f (x )=log a x 在区间[a,2a ]上是增函数,∴函数在区间[a,2a ]上的最大值与最小值分别为log a 2a ,log a a =1.∴log a 2=1 2 ,a =4.故填4. 【讲评】 解决这类问题的重要的一步就是判断函数在给定区间上的单调性.这一点处理好了,以下的问题就容易了.一般而言,对一次函数、幂函数、指数函数、对数函数在闭区间[m ,n ]上的最值:若函数f (x )在[m ,n ]

上单调递增,则f(x)min=f(m),f(x)max=f(n);若函数f(x)在[m,n]上单调递减,则f(x)min=f(n),f(x)max=f(m);若函数f(x)在[m,n]上不单调,但在其分成的几个子区间上是单调的,则可以采用分段函数求最值的方法处理.2.换元法 换元法是指通过引入一个或几个新的变量,来替换原来的某些变量(或代数式),以便使问题得以解决的一种数学方法.在学习中,常常使用的换元法有两类,即代数换元和三角换元,我们可以根据具体问题及题目形式去灵活选择换元的方法,以便将复杂的函数最值问题转化为简单函数的最值问题,从而求出原函数的最值.如可用三角代换解决形如a2+b2=1及部分根式函数形式的最值问题. 例2 (1)函数f(x)=x+21-x的最大值为________. 【解析】方法一:设1-x=t(t≥0), ∴x=1-t2, ∴y=x+21-x=1-t2+2t

高中数学解题方法系列:函数求最值问题的7种方法

高中数学解题方法系列:函数求最值问题的7种方法 最值问题遍及代数、三角、立体几何及解析几何各科之中,在生产实践中也有广泛的应用。最值问题长期是各类考试的热点,求函数最值常用方法有: 一、配方法 配方法是求二次函数最值或可转化为二次函数的函数最值的基本方法,形如])()([)(2c x bf x f a x F ++=的函数最值问题,均可使用配方法。 例1、 已知]3,1[,log 2)(3∈+=x x f x ,求函数)()]([2 2x f x f y +=最值。 解 :由]3,1[,log 2)(3∈+=x x f x , 得 22 2222log 2)log 2()()]([x x x f x f y +++=+= 3)3(log 6log 6)(log 23323-+=++=x x x 。 又函数f(x)定义域[1,3],所以函数)()]([22x f x f y +=定义域为{31312≤≤≤≤x x ,解得31≤≤x ,所以]2 1,0[log 3∈x 。由二次函数单调性得,4376≤≤y ,所求函数最大值为374 ,最小值为6。 评注:利用二次函数的性质求最值要注意到自变量的取值范围,和对称轴与区间的相对位置关系。 二、判别式法 主要适用于可化为关于x 的二次方程的函数,把函数转化成关于x 的一元二次方程,通过方程F(x,y)=0有实根,判别式0≥?,当x 的范围是R 时,仅考虑即可,当X 的范 围非R 时,还需要结合图形另解不等式。特别的,形如2 2221121c x b x a c x b x a y ++++=22,(a a 不同是为0)分子、分母无公因式的函数最值常用此法。 例2、 求下列函数最值 (1)4 32+=x x y ;(2)3274222++-+=x x x x y 。 解;(1)由4 32+=x x y ,得 0432=+-y x yx 。 当y=0时, x=0; 当0≠y 时,由0≥? 得4343≤≤-y , 故原函数最小值为34-,最大

巧求最值问题八种方法

如何求“最值”问题 求最大值与最小值是中学数学常见的一种题型,在数学竞赛中作为一个靓点大量存在,解这类题有一定的难度和技巧,所以不少同学为之感叹,这里向大家介绍一些求最值问题的方法与技巧。 一、 利用配方求最值 例1:若x,y 是实数,则19993322+--+-y x y xy x 的最小值是 。 分析:由于是二次多项式,难以直接用完全平方公式,所以用配方法来解更为简捷。 原式= 1990)96(2 1)96(21)2(212222++-++-++-y y x x y xy x =1990)3(21)3(21)(21222+-+-+-y x y x 显然有 (x-y)2≥0, (x-3)2≥0, (y-3)2≥0, 所以 当x -y =0,x-3=0,y-3=0时 ,得x=y=3时, 代数式的值最小,最小是1990; 例2,设x为实数,求y =312-+-x x x 的最小值。 分析:由于此函数只有一个未知数,容易想到配方法,但要注意只有一个完全平方式完不成,因此要考虑用两个平方完全平方式,并使两个完个平方式中的x取值相同。由于y=121122--+++-x x x x =1)1()1(22--+-x x x ,要求y 的最小值,必须有x -1=0,且01 =-x x ,解得x =1, 于是当x =1时,y=312-+ -x x x 的最小值是-1。 二、 利用重要不等式求最值 例3:若xy =1,那么代数式4 4411y x +的最小值是 。 分析:已知两数积为定值,求两数平方和的最小值,可考虑用不等式的性质来解此题,44411y x +=2 222222)(121·1·2)21()1(xy y x y x =≥+=1 所以:4 4411y x +的最小值是1 三、 构造方程求最值 例4:已知实数a 、b 、c 满足:a+b+c =2, abc =4.求a 、b、c 中的最大者的最小值. 分析:此例字母较多,由已知可联想到用根与系数的关系,构造方程来解。

范里安中级微观经济学重点整理

1市场 ·经济学是通过对社会现象建立模型来进行研究的,这种模型能对现实社会作简化的描述。·分析过程中,经济学家以最优化原理和均衡原理为指导。最优化原理指的是人们总是试图选择对他们最有利的东西;均衡原理是指价格会自行进行调整直到供需相等。 ·需求曲线衡量在不同价格上人们愿意购买的需求量;供给曲线衡量在不同价格上人们愿意供应的供给量。均衡价格是需求量和供给量相等时的价格。 ·研究均衡价格和数量在基础条件变化时如何变化的理论称为比较静态学。 ·如果没有方法可使一些人的境况变得更好一些而又不致使另一些人的境况变得更差一些,那么,这种经济状况就是帕累托有效率的。帕累托效率的概念可用于评估配置资源的各种方法。 2预算约束 ·预算集是由消费者按既定价格和收入能负担得起的所有商品束组成的。象征性的假设只有两种商品,但这个假设比它看起来更具有概括性。 ·预算线可记为p1x1+p2x2=m。它的斜率是-p1/p2,纵截距是m/p2,横截距是m/p1 ·增加收入使预算线向外移动。提高商品1的价格使预算线变得陡峭,提高商品2的价格使预算线变得平坦。 ·税收、补贴和配给通过改变消费者支付的价格而改变了预算线的斜率和位置。 3偏好 ·经济学家假设消费者可以对各种各样的消费可能性进行排序,消费者对消费束排序的方式显示了消费者偏好。 ·无差异曲线可以用来描绘各种不同的偏好。 ·良性性状偏好是单调的(越多越好)和凸的(平均消费束比端点消费束更受偏好) ·边际替代率(MRS)衡量了无差异曲线的斜率。解释为消费者为获得更多商品1而愿意放弃的商品2的数量。 4效用 ·效用函数仅仅是一种表示或概括偏好排列次序的方法。效用水平的数值并没有实质性的含义。 ·因此,对于一个既定的效用函数来说,它的任何一种单调变换所表示的都是相同的偏好。·由公式MRS=Δx2/Δx1=-MU1/MU2,可以根据效用函数计算出边际替代率(MRS)。

(完整版)物理中求极值的常用方法

物理解题中求极值的常用方法 运用数学工具处理物理问题的能力是高考重点考查的五种能力之一,其中极值的计算在教学中频繁出现。因为极值问题范围广、习题多,会考、高考又经常考查,应该得到足够重视。另外很多学生数、理结合能力差,这里正是加强数理结合的“切人点”。学生求极值,方法较少,教师应该在高考专题复习中提供多种求极值的方法。求解物理极值问题可以从物理过程的分析着手,也可以从数学方法角度思考,下面重点对数学方法求解物理极值问题作些说明。 1、利用顶点坐标法求极值 对于典型的一元二次函数y=ax 2+bx+c, 若a>0,则当x=-a b 2时,y 有极小值,为y min =a b ac 442-; 若a<0,则当x=-a b 2时,y 有极大值,为y max =a b ac 442-; 2、利用一元二次函数判别式求极值 对于二次函数y=ax 2+bx+c ,用判别式法 利用Δ=b 2-4ac ≥0。(式中含y) 若y ≥A ,则y min =A 。 若y ≤A ,则y max =A 。 3、利用配方法求极值 对于二次函数y=ax 2+bx+c ,函数解析式经配方可变为y=(x-A)2+常数:(1)当x =A 时,常数为极小值;或者函数解析式经配方可变为y = -( x -A )2+常数。(2)当x =A 时,常数为极大值。 4、利用均值定理法求极值 均值定理可表述为 ≥+2 b a a b ,式中a 、b 可以是单个变量,也可以是多项式。 当a =b 时, (a+b)min =2ab 。 当a =b 时, (a+b) max =2 )(2 b a +。 5、利用三角函数求极值 如果所求物理量表达式中含有三角函数,可利用三角函数的极值求解。若所求物理量表达式可化为“y=Asin ααcos ”的形式,则y= 21Asin2α,在α=45o时,y 有极值2 A 。 对于复杂的三角函数,例如y=asin θ+bcos θ,要求极值时先需要把不同名的三角函数sin θ和cos θ,变成同名的三角函数,比如sin(θ+ф) 。这个工作叫做“化一”。首先应作辅助角如所示。

第三章 无约束最优化方法

第三章无约束最优化方法 本章内容及教学安排 第一节概述 第二节迭代终止原则 第三节常用的一维搜索方法 第四节梯度法 第五节牛顿法 第六节共轭方向法 第七节变尺度法 第八节坐标轮换法 第九节鲍威尔方法 第一节概述 优化问题可分为 无约束优化问题 有约束优化问题 无约束最优化问题求解基于古典极值理论的一种数值迭代方法,主要用来求解非线性规划问题 迭代法的基本思想:

所以迭代法要解决三个问题 1、如何选择搜索方向 2、如何确定步长

3、如何确定最优点(终止迭代) 第二节 迭代终止准则 1)1K K X X ε+-≤ 111/2 21K K K K n i i i X X X X ε++=??-=-≤???? ∑() 2) 11()()()() () K K K K K f X f X f X f X or f X ε ε ++-≤-≤ 3)(1)()K f X ε+?≤ 第三节 常用的一维搜索方法 本节主要解决的是如何确定最优步长的问题。 从初始点(0)X 出发,以一定的步长沿某一个方向,可以找到一个新的迭代点,其公式如下: (1)(0)00(2)(1)11(1)() K K k k X X S X X S X X S ααα+=+=+= + 现在假设K S 已经确定,需要确定的是步长k α,就把求多维目标函数的极小值这个多维算过程中,当起步点和方向问题,变成求一个变量即步长的最优值的一维问题了。即 (1)()min ()min ()min ()K K K k k f X f X S f αα+=+= 由此可见,最佳步长*K α由一维搜索方法来确定 求*k α,使得()()()()()()min K K K K f f X S αα=+→ 一、一维搜索区间的确定 区间[,]a b 应满足 ()(*)()f a f f b α><

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