§1.9直线和平面垂直的判定和性质（第一课时）
浙江省湖州二中数学组 王峥嵘 邮编313000
一、 素质教育目标：
（一） 知识教学点
1、 直线和平面垂直的定义和相关概念
2、 直线和平面垂直的判定定理
3、 直线和直线平行的性质定理（即课本P25 页例1）
（二） 能力训练点
1、 引导学生合理应用平移的方法将分散的条件集中到某一个图形中进行研究，特别是辅助线的合理添加。
2、 引导学生在研究直线和平面位置关系时转化为直线和直线的的位置关系（如直线和平面垂直，只须这条直线垂直于这个平
面内的两条相交直线），向学生渗透转化思想的应用。
（三） 德育教育：引导学生认识到定理的证明过程实质是应用转化思想
的过程：立体几何的问题转化为平面几何的问题；解决空间线、面垂直问题我们通过转化为线、线垂直的问题来解决，转化的思想是一种常用的数学思想方法。
二、 教学重点、难点
（一） 教学重点：1、掌握直线和平面垂直的定义：如果一条直线和一个 平面内的任何一条直线垂直，那么这条直线和这个平面垂直。
2、掌握直线和平面垂直的判定定理：
.,,ααα平面则，
，平面，平面若⊥⊥⊥=??l n l m l A n m n m I
3、掌握线线平行的性质定理：
.,//αα平面，则平面若⊥⊥b a b a
（二） 教学难点：
线、面垂直定义的理解和判定定理的证明；同时还要解决好定
理证明中辅助线添加的方法和原因，及为何可用经过B 点的两条直线说明“任意”直线的问题。
三、 教学工具的准备
幻灯片：书写本节课涉及的定义、定理和图例.
多媒体课件：演示本节课涉及的线线、线面关系，增加立体几何 的直观性.
四、课时安排：
本课题（§1.9直线和平面垂直的判定和性质）共安排2课时，本节课为第一课时
五、 学生活动设计：
1、
观察生活中，线面垂直的实例和应用。 2、 现实生活中如何确定和保证一条“线”和“面”的垂直。
六、 教学过程：
（一） 温顾知新，新课引入：
1、 空间两条直线有哪几种位置关系？
多媒体课件演示（三种：两直线相交，两直线平行，两直线异面）
2、 经过一点和一条直线垂直的直线有几条？
多媒体课件演示（由两直线垂直的定义可知：经过一点有无数条直线和已
α A B l （图1）
知直线垂直）
3、 空间一条直线与一个平面有哪几种位置关系？
多媒体课件演示（三种：直线在平面内,直线和平面相交,直线和平面平行） 师：我们已经学过直线和平面平行的判定和性质，知道直线和平面平行的问题可 转化为考察直线和平面内直线平行的关系，今天我们学习直线和直线相交的一种特殊情况——直线和平面垂直，这个问题同样可以转化为考察一条直线和一个平面内直线的关系，然后加以解决。
(板书：§1.9直线和平面垂直的判定和性质)
（二） 小结活动，推测结论
１、 教师演示课本P 23的实例并指出书脊（想象成一条直线）、各书页
与桌面的交线成90°角，得出书脊（“线”）和桌面（“面”）垂直，
给出直线和平面垂直的具体形象。从而引出直线和平面垂直的概
念：(多媒体课件演示结合幻灯片显示定义)如果一条直线和一个平面内的
任何一条直线垂直，我们说这条直线和这个平面互相垂直，直线
叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面。
２、 注意点：过一点（无论点是否在平面上）有且只有一条直线和一个平面
垂直；过一点（无论点是否在直线上）有且只有一个平面和一条直线垂
直。平面的垂线和平面一定相交，交点
叫做垂足。
３、 说明直线和平面垂直的画法和表示：画
直线和水平平面垂直时要把直线画成
和表示平面的平行四边形的横边垂直，
如图（图1）中的AB.直线 和平面互相垂直，记作 ⊥α.
４、小结现实生活中的线面垂直，推测线面垂直判定定理：师：我们在现实生活中是如何保证“线”和“面”的垂直？
生甲：泥瓦匠用铅锤来使墙面和地面垂直。
生乙：广场的路灯靠灯杆下的六个有一个角为直角的角铁，来使灯杆和地面垂直。
师：很好，大家都对生活中“线”和“面”的垂直有所发现，甲同学的发现是工人们对重力的利用，我们暂且不说，请
注意乙同学的发现，我们一起想一想，是否可以减少角铁
的个数，同时这些角铁要是怎样的位置关系？
生：两个，它们不在同一平面上。
师：对！那么我们想想看，这样的两个角铁实际上是保证了灯杆（“线”）和地面（“平面”）的几条直线垂直，对这些直
线有什么要求？
生：灯杆和地面两条直线垂直，这两条直线相交。
师：好！请大家自己根据上面的例子总结一下，我们如何在判断空间一条直线和一个平面垂直。
（三）层层推进，证明线面垂直判定定理
指导学生写出已知条件和结论，并画出图形（图2）：
已知：,B
n
m
n
m=
?
?I
，
平面
，
平面β
α
.
,n
l
m
l⊥
⊥
求证：.
α
平面
⊥l α
A
B
l
（图2）
m
n
师：你们准备如何证明直线 和平面α垂直呢？
生：根据直线和平面垂直的概念来证明，我们需要证明直线 和平面α内的任何一条直线都垂直。
师：是的，我们现在只有从直线和平面垂直的概念入手证明直线 和平面α垂直。那么我们设g是在平面内α任意一条直线，现
在只要证明 ⊥g就可以了。对于平面α内不经过B点的直线k，
可以过点B做它的平行线k′，通过异面直线所成的角的定义
来说明直线k和直线 垂直，所以，我们先来证明g经过 和平
面α的垂足B点的情况。
（学生思考证明方法，教师在图2上适时添加辅助线，并对下列问题根据需要作出提示）1、l、g是相交直线，要证明她们垂直，实际上已经转化为平面几何中证明直线和直线垂直的问题，可以考虑等腰三角形的性质，在直线l上点B的两侧分别取点A和A′，使AB = A′B.
2、直线m、n和线段A A′是什么关系？（m、n垂直平分线段AA′）
3、从结论看，直线g与线段A A′应当是什么关系？（g垂直平分线段A A′）
4、怎样证明直线g垂直平分线段A A′？（只要能证明在g上任取的点E，有AE= A′E）
5、过E做直线分别与m、n交于C、D，连接AC、A′C、AD、A′D，则有：AC= A′C、
AD= A′D，由此能证明AE= A′E吗？（利用
全等三角形的性质）
（学生叙述证明过程，教师板书）
l
A′α
A
B
（图3）
m n
空间中得垂直关系 1.线面垂直 直线与平面垂直得判定定理:如果,那么这条直线垂直于这个平面。 推理模式: 直线与平面垂直得性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线。 2.面面垂直 两个平面垂直得定义:相交成得两个平面叫做互相垂直得平面。 两平面垂直得判定定理:(线面垂直面面垂直) 如果,那么这两个平面互相垂直。 推理模式: 两平面垂直得性质定理:(面面垂直线面垂直) 若两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们得得直线垂直于另一个平面。 一般来说,线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决,其关系为:线线垂直线面垂直面面垂直.这三者之间得关系非常密切,可以互相转化,从前面推出后面就是判定定理,而从后面推出前面就是性质定理.同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题.在空间图形中,高一级得垂直关系中蕴含着低一级得垂直关系,下面举例说明. 例题:1.如图,AB就是圆O得直径,C就是圆周上一点,PA⊥平面ABC. (1)求证:平面PAC⊥平面PBC; (2)若D也就是圆周上一点,且与C分居直径AB得两侧,试写出图中所有互相垂直得各对平面. 2、如图,棱柱得侧面就是菱形, 证明:平面平面 3、如图所示,在长方体中,AB=AD=1,AA 1=2,M就是棱CC 1 得中点 (Ⅰ)求异面直线A 1M与C 1 D 1 所成得角得正切值; (Ⅱ)证明:平面ABM⊥平面A 1B 1 M 1
4、如图,就是圆Ｏ得直径,Ｃ就是圆周上一点,平面ABC .若AE ⊥PC ,Ｅ为垂足,Ｆ就是PB 上任意一点,求证:平面AEF ⊥平面PBC . 5、如图,直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中,AC ＝BC ＝1,∠ACB ＝90°,AA 1 ＝,D 就是A 1B 1 中点.(1)求证C 1D ⊥平面A 1B ;(2)当点F 在BB 1 上什么位置时,会使得AB 1 ⊥平面C 1DF ？并证明您得结论 6、S 就是△ABC 所在平面外一点,SA ⊥平面ABC,平面SAB ⊥平面SBC,求证AB ⊥BC 、 7、在四棱锥中,底面ABCD 就是正方形,侧面VAD 就是正三角形,平面VAD ⊥底面ABCD 证明:AB ⊥平面VAD V D C B A S A B
莘县一中课时教案 2015年12 月22 日第17 周 课题线面垂直的性质定理课型新授 教学目标能利用直线与平面垂直的性质定理解决简单的数学问题通过直观感知、操作确认归纳线面垂直的性质定理，提高学生的空间想象能力、几何直观能力和等价转化能力． 重点探究、发现直线与平面垂直的性质定理及性质定理的简单应用．难点直线与平面垂直的性质定理的推导证明以及灵活运用． 教学过程 复习回顾： 问题1：直线与平面垂直的定义是什么？如何判断直线和平面垂直？问题2：如果一条直线垂直于一个平面，能得到什么结论？ 问题3：如果有两条、三条或更多直线垂直于一个平面， 则这些直线之间又有什么位置关系呢？ 情境1.路边上的电线杆子们的边沿的关系：
教学过程 重申：垂直于同一个平面的直线之间具有怎样的位置关系？ 观察图片，你能得到什么启发． 情境2：如图，长方体ABCD A B C D '''' -中， 棱,,, AA BB CC DD ''''所在直线都与 底面ABCD垂直， 各侧棱之间具有什么位置关系？ 直线与平面垂直的性质定理： 文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行．符号语言：// a b a b αβ ⊥⊥? ， 图形语言： 证明：假定a b 与不平行，设a b O =． 过点O作直线// b a '， //, a b aα '⊥bα ' ∴⊥ 即经过一点O的存在两条直线,b b'都与α垂直这是不可能的．∴假设不成立， 即：// a b．
教学过程 问题：你是怎样理解直线与平面垂直的性质定理的，定理的实质是什么？性质定理有什么作用呢？ （1）直线与平面垂直的性质定理的实质是：线面垂直?线线平行； （2）利用直线与平面垂直的性质定理可以证明直线与直线平行． 练习： （1）平行于同一直线的两条直线互相平行． （2）垂直于同一直线的两条直线互相平行． （3）平行于同一平面的两条直线互相平行． （4）垂直于同一平面的两条直线互相平行． 答案：（1）√；(2) ×；(3) ×；(4) √． 例1（教材 71 P探究）设直线a b ，分别在正方体ABCD A B C D '''' - 中两个不同的平面内，欲使// a b，则a b ，应满足什么条件？ 解：a b ，满足下面条件中的任何一个，都能使// a b： （1）a b ，同垂直于正方体一个面； （2）a b ，分别在正方体两个相对的面内且共面； （3）a b ，平行于同一条棱； （4）,, E F M分别为,, AA BB CC ''' 的中点，ED所在的直线 为a，FC或B M '所在直线为b．
线面垂直的判定和性质定理（习题课） A组 1 C 2 B 3 D 4 D 5 C 6 ③ 7 ①② 8a或2a 9 (2) d＝10 5. 10 (2) V＝ 3 (3) 6 4 B组 1 D 2 ①②③ 3 (2)43 3(3) 3 2
A组基础训练 一、选择题 1．已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则() A．β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直 B．β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直C．β内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直D．β内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直
【解析】如图，在平面β内的直线若与α，β的交线a平行，则有m与之垂直．但却不一定在β内有与m平行的直线，只有当α⊥β时才存在．【答案】 C 2．已知两个平面垂直，下列命题： ①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线． ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线． ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面． ④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面． 其中正确命题的个数是() A．3B．2C．1D．0 【解析】根据面面垂直的性质定理知，命题④正确；两平面垂直，一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内与交线垂直的直线，故命题②正确，命题①③错误． 【答案】 B 3．(2013·广东高考)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是() A．若α⊥β，m?α，n?β，则m⊥n B．若α∥β，m?α，n?β，则m∥n C．若m⊥n，m?α，n?β，则α⊥β D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β 【解析】如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，平面BCC1B1⊥平面ABCD，BC1?平面BCC1B1，BC?平面ABCD，而BC1不垂直于BC，故A错误．平面A1B1C1D1∥平面ABCD，B1D1?平面A1B1C1D1，AC?平面ABCD，但B1D1和AC不平行，故B错误．
直线与平面垂直的判定与性质 一、选择题 1．两异面直线在平面α内的射影（） A．相交直线B．平行直线 C．一条直线—个点D．以上三种情况均有可能 2．若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面（） A．有且只有—个B．可能存在也可能不存在 C．有无数多个D．—定不存在 3．在空间，下列哪些命题是正确的（） ①平行于同一条直线的两条直线互相平行； ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ③平行于同一个平面的两条直线互相平行； ④垂直于同—个平面的两条直线互相平行． A．仅②不正确B．仅①、④正确C．仅①正确D．四个命题都正确 4．若平面α的斜线l在α上的射影为l′，直线b∥α，且b⊥l′，则b与l（）A．必相交B．必为异面直线C．垂直D．无法确定 5．下列命题 ①平面的每条斜线都垂直于这个平面内的无数条直线； ②若一条直线垂直于平面的斜线，则此直线必垂直于斜线在此平面内的射影； ③若平面的两条斜线段相等，则它们在同一平面内的射影也相等； ④若一条线段在平面外并且不垂直于这个平面，则它的射影长一定小于线段的长． 其中，正确的命题有（） A．1个B．2个C．3个n 4个 6．在下列四个命题中，假命题为（） A．如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直 B．垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边 C．过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内 D．如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面 7．已知P是四边形ABCD所在平面外一点且P在平面ABCD内的射影在四边形ABCD 内，若P到这四边形各边的距离相等，那么这个四边形是（） A．圆内接四边形B．矩形C．圆外切四边形D．平行四边形 8．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，P A⊥平面ABC，P A＝8，则P到BC的距离等于（） 2C．35D．45 A．5B．5 二、填空题 9．AB是平面α的斜线段，其长为a，它在平面α内的射影A′B的长为b，则垂线A′A_________． 10．如果直线l、m与平面α、β、γ满足：l＝β∩γ，l⊥α，m α和m⊥γ，现给出以下四个结论： ①α∥γ且l⊥m；②αγ且m∥β③αβ且l⊥m；④αγ且l⊥m；其中正确的为“________”．（写出序号即可） 11．在空间四面体的四个面中，为直角三角形的最多有____________个． 12．如图，正方形ABCD，P是正方形平面外的一点，且P A⊥平面A BCD则在△P AB、△PBC、△PCD、△P AD、△P AC及△PBD中，为直角三角形有_________个．
§1.9直线和平面垂直的判定和性质（第一课时） 浙江省湖州二中数学组 王峥嵘 邮编313000 一、 素质教育目标： （一） 知识教学点 1、 直线和平面垂直的定义和相关概念 2、 直线和平面垂直的判定定理 3、 直线和直线平行的性质定理（即课本P25 页例1） （二） 能力训练点 1、 引导学生合理应用平移的方法将分散的条件集中到某一个图形中进行研究，特别是辅助线的合理添加。 2、 引导学生在研究直线和平面位置关系时转化为直线和直线的的位置关系（如直线和平面垂直，只须这条直线垂直于这个平 面内的两条相交直线），向学生渗透转化思想的应用。 （三） 德育教育：引导学生认识到定理的证明过程实质是应用转化思想 的过程：立体几何的问题转化为平面几何的问题；解决空间线、面垂直问题我们通过转化为线、线垂直的问题来解决，转化的思想是一种常用的数学思想方法。 二、 教学重点、难点 （一） 教学重点：1、掌握直线和平面垂直的定义：如果一条直线和一个 平面内的任何一条直线垂直，那么这条直线和这个平面垂直。 2、掌握直线和平面垂直的判定定理： .,,ααα平面则， ，平面，平面若⊥⊥⊥=??l n l m l A n m n m I
3、掌握线线平行的性质定理： .,//αα平面，则平面若⊥⊥b a b a （二） 教学难点： 线、面垂直定义的理解和判定定理的证明；同时还要解决好定 理证明中辅助线添加的方法和原因，及为何可用经过B 点的两条直线说明“任意”直线的问题。 三、 教学工具的准备 幻灯片：书写本节课涉及的定义、定理和图例. 多媒体课件：演示本节课涉及的线线、线面关系，增加立体几何 的直观性. 四、课时安排： 本课题（§1.9直线和平面垂直的判定和性质）共安排2课时，本节课为第一课时 五、 学生活动设计： 1、 观察生活中，线面垂直的实例和应用。 2、 现实生活中如何确定和保证一条“线”和“面”的垂直。 六、 教学过程： （一） 温顾知新，新课引入： 1、 空间两条直线有哪几种位置关系？ 多媒体课件演示（三种：两直线相交，两直线平行，两直线异面） 2、 经过一点和一条直线垂直的直线有几条？ 多媒体课件演示（由两直线垂直的定义可知：经过一点有无数条直线和已
2.3.3 直线与平面垂直的性质教学设计课标要求： 以立体几何的定义、公理、定理为出发点，通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的性质定理，并加以证明。 学情分析： 在学习本节课的内容之前，刚刚学习了直线与平面垂直的定义以及判定定理，在学完判定定理之后紧接着的例1当中我们利用判定定理证明了线线平行的性质定理，即如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面，用符号语言表示为若a//b, a⊥α，则 b⊥α。而我们的直线与平面垂直的性质定理就是将上述命题的中的题设和结论改变一下得到的。所以在前面知识的基础上学习本节课的内容并不是很难。 教材分析： 1.本节的作用和地位：本节课是人教版必修 2 第二章直线与平面垂直的第三课时。空间中直线与平面之间的位置关系中，垂直是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范。空间中直线与平面垂直的性质定理不仅是由线面关系转化为线线关系，而且将垂直关系转化为平行关系，因此直线与平面垂直的性质定理在立体几何中有着重要的地位和作用。 2.本节主要内容：直线与平面垂直的性质定理的证明及转化思想的渗透。 教学目标： 1.知识与技能：掌握直线与平面垂直的性质定理，了解线面关系与线线关系，垂直关系与平行关系之间的转化以及反证法的应用。 2.过程与方法：在观察长方体模型的基础上进行操作确认，获得
对性质定理正确性的认识，进一步推导出定理的证明过程。 3.情感态度与价值观：通过“直观感知、操作确认，推理证明”，提高空间想象的能力和逻辑推理能力。 教学重点：直线与平面垂直的性质定理的证明及转化思想的渗透。 教学难点：直线与平面垂直的性质定理的证明 教学理念： 高中学生思维活跃，参与意识、自主探究能力较强，整节课主要以学生自主探究为主，老师只起一个组织，引导的作用。从而增强空间想象能力，养成质疑思辨、创新的精神。 教学方法： 探究讨论法 教学用具： 长方体模型，量角器，直角三角板，多媒体 教学设计： 一．创设情境，揭示课题 问题：（实物式引入）： （1）两根旗杆垂直于地面，给我们以旗杆平行的形象 （2）让学生双手各持一支笔直立与桌面，通过操作确认两支笔平行。 数学来源于生活，把这些问题抽象概括得到一个新的问题： 若a⊥α，b⊥α，那a和 b 会有怎样的位置关系呢？ 让学生自由发言，教师不急于下结论，而是继续引导学生：欲知结论怎样，让我们一起来观察、探讨。（自然进入课题内容） 设计意图：现实生活中的问题更能激发学生的学习兴趣，让学生从现实生活中发现数学，将问题化归为数学问题，感受数学来 源于生活，又服务于生活。
α β a A 线、面垂直的判定与性质 一、线、面垂直的判定与性质 1.线面垂直的定义：如果直线 l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们说直线 l 与平面α 互相垂直. 2.线面垂直的判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直． 直线与平面垂直 3. （1）的射影所成的角（2）（3一条直线与平面所成的角的取值范围是 4.二面角相关概念：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作 垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. ∠AOB 即为二面角α -AB-β的平面角 注意：二面角的平面角必须满足： （1）角的顶点在棱上.（2）角的两边分别在两个面内. （3）角的边都要垂直于二面角的棱. 二面角的取值范围 5.面面垂直的定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.记为β⊥α 6.判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直． 7.直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行 8.面面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 面面垂直?线面垂直 α ⊥l 记为???????? l a l ⊥b l ⊥α?a α?b A b a = ] 90,0[0[]] 0[180,000π，或a β?a α⊥面?βα⊥ //a a b b αα⊥???⊥?a b α a b l a a l αβαββ⊥??=?????⊥?a α?⊥
二、例题解析 题型一、判断问题 例1、直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α的关系是() A．l和平面α相互平行B．l和平面α相互垂直C．l在平面α内D．不能确定 变式：如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径； ④正六边形的两条边．则能保证该直线与平面垂直() A．①③B．①②C．②④D．①④ 例2、已知直线a∥平面α，a⊥平面β，则( ) A．α⊥βB．α∥βC．α与β不垂直D．以上都有可能 变式：下列命题中错误的是( ) A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 例3、已知b⊥平面α，a?α，则直线a 与直线b 的位置关系是( ) A．a∥b B．a⊥b C．直线a 与直线b 垂直相交D．直线a 与直线b 垂直且异面 变式1：下面四个命题，其中真命题的个数为( ) ①如果直线l 与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α； ②如果直线l 与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α； ③如果直线l 与平面α不垂直，则直线l 和平面α内的所有直线都不垂直； ④如果直线l 与平面α不垂直，则平面α内也可以有无数条直线与直线l 垂直． A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个 变式2：已知平面α⊥平面β，则下列命题正确的个数是() ①α内的直线必垂直于β内的无数条直线；②在β内垂直于α与β的交线的直线必垂直于α内的任意一条直线；③α内的任何一条直线必垂直于β；④过β内的任意一点作α与β交线的垂线，则这条直线必垂直于α. A．4 B．3C．2D．1 题型二：求角问题（线面角、面面角） 例1、在正方体ABCD－A1B1C1D1中， (1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值． (2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角． 变式：如图所示，Rt△BMC中，斜边BM＝5且它在平面ABC上的射影AB长为4，∠MBC＝60°， 求MC与平面ABC所成角的正弦值．
直线、平面垂直的判定及其性质（二）（讲义） ?知识点睛 一、直线与平面垂直（线面垂直） 性质定理：垂直于同一个平面的两条直线_____________． a b α ∵_________，b⊥α， ∴___________． 其他性质： 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面； 如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么这条直线也垂直于另一个平面． 二、平面与平面垂直（面面垂直） 性质定理：两个平面垂直，则一个平面内_____________的直线与另一个平面垂直． α a l β ∵α⊥β，α∩β=l，________，________， ∴a⊥β． 其他性质： 如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面； 如果一平面垂直于两平行平面中的一个平面，那么它必垂直于另一个平面．
?精讲精练 1.已知直线l垂直于直线AB和AC，直线m垂直于直线BC和AC，则直 线l，m的位置关系是（） A．平行B．异面C．相交D．垂直 2.对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一组条件是（） A．m∥n，m∥α，n∥β B．m⊥n，α∩β=m，n?α C．m∥n，n⊥β，m?α D．m∥n，m⊥α，n⊥β 3.若m，n，l是互不重合的直线，α，β，γ是互不重合的平面，给出 下列命题： ①若α⊥β，α∩β=m，m⊥n，则n⊥α或n⊥β； ②若α∥β，α∩γ=m，β∩γ=n，则m∥n； ③若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线； ④若α∩β=m，m∥n，且n?α，n?β，则n∥α且n∥β； ⑤若α∩β=m，β∩γ=n，α∩γ=l，且α⊥β，α⊥γ，β⊥γ，则m⊥n， m⊥l，n ⊥ l． 其中正确命题的序号是________________． 4.边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则AC 的长为（） B C D A A B． 2 a C． 2 a D．a
直线、平面垂直的判定及其性质 最新考纲 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题 . 知 识 梳 理 1.直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 如果一条直线l 与平面α内的任意直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直. (2)判定定理与性质定理 (1)定义：一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角. (2)范围：??? ???0，π2. 3.二面角 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；
(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角. (3)二面角的范围：[0，π]. 4.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. (2)判定定理与性质定理 1.两个重要结论 (1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面. (2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法). 2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”. 基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)直线l 与平面α内的无数条直线都垂直，则l ⊥α.( ) (2)垂直于同一个平面的两平面平行.( ) (3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.( )
空间中的垂直关系 1.线面垂直 直线与平面垂直的判定定理:如果 ,那么这条直线垂直于这个平面。 推理模式: 直线与平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线 。 2.面面垂直 两个平面垂直的定义:相交成 的两个平面叫做互相垂直的平面。 两平面垂直的判定定理:(线面垂直?面面垂直) 如果 ,那么这两个平面互相垂直。 推理模式: 两平面垂直的性质定理:(面面垂直?线面垂直) 若两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面。 一般来说,线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决,其关系 为:线线垂直???→←???判定性质线面垂直???→←???判定性质 面面垂直.这三者之间的关系非常密切,可以互相转化,从前面推出后面就是判定定理,而从后面推出前面就是性质定理.同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题.在空间图形中,高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系,下面举例说明. 例题:1.如图,AB 就是圆O 的直径,C 就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC. (1)求证:平面PAC ⊥平面PBC; (2)若D 也就是圆周上一点,且与C 分居直径AB 的两侧,试写出图中所有互相垂直的各对平面.
2、如图,棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 就是菱形,11B C A B ⊥ 证明:平面1AB C ⊥平面11A BC 3、如图所示,在长方体1111ABCD A B C D -中,AB=AD=1,AA 1=2,M 就是棱CC 1的中点 (Ⅰ)求异面直线A 1M 与C 1D 1所成的角的正切值; (Ⅱ)证明:平面ABM ⊥平面A 1B 1M 1 4、如图,AB 就是圆Ｏ的直径,Ｃ就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC .若AE ⊥PC ,Ｅ为垂足,Ｆ就是PB 上任意一点,求证:平面AEF ⊥平面PBC .
线面、面面平行和垂直的八大定理 一、线面平行。 1、判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平 面平行。符合表示： β ββ////a b a b a ??? ????? 2、性质定理：如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 符号表示： b a b a a a ////??? ?????=??βαβαα 二、面面平行。 1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。 符号表示： β α//////????? ?????==N n m M b a a m b n 2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。 符号表示： d l d l ////??? ???==γβγαβα （更加实用的性质：一个平 面内的任一直线平行另一平面） 三、线面垂直。 1、判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直 线垂直这个平面。 符号表示： α⊥?????? ??????=⊥⊥a M c b b a c a ＄：三垂线定理：（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
符号表示： PA a A oA a po oA a ⊥??? ? ????=⊥⊥??ααα 2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线。） 四、面面垂直。 1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。 βααβ⊥??⊥a a , 2、性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。βαβαβα⊥?⊥?=?⊥a b a a b ,,，
立体几何之垂直关系 【知识要点】 空间中的垂直关系 如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直． 如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直． 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面． 解决空间问题的重要思想方法：等价转化——化空间问题为平面问题．空间平行、垂直关系证明的基本思想方法——转化与联系，如图所示． 题型1 平移证明线线垂直 例1 如图，在四棱锥ABCD P -中，N M AD BC AB AD BC BC AB ,.2,1,,===⊥分别为DC PD ,的中点，求证：AC MN ⊥ 例2 底面ABCD 是正方形，Q G BE PD PD BE ,,2,=‖分别为AP AB ,的中点，求证：CG QE ⊥
例3 如图，在正方形1111D C B A ABCD -中，M 为1CC 的中点，F E ,分别为11,D A CD 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：OM EF ⊥ 题型2 线面垂直判定 例1 如图，在三棱锥ABC P -中，PAB ?是等边三角形。 ①若ABC ?是等边三角形，证明：PC AB ⊥ ②若 90=∠=∠PBC PAC ，证明：PC AB ⊥ 例 2 已知四棱台1111D C B A ABCD -的上下底面边长分别是2和4的正方形， 41=AA 且
ABCD AA 底面⊥1，点P 为1DD 的中点，求证：PBC AB 面⊥1 例3 如图，在三棱柱111C B A ABC -中，AC AB BAC ==∠,90 ，1A 在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为11C B 的中点。证明：⊥D A 1平面BC A 1 题型3 线面垂直性质证明线线垂直 例1 如图，在三棱柱111C B A ABC -中，侧棱垂直于底面，D AA AC ACB ,2 1,901= =∠ 是棱1AA 的中点，求证：BD DC ⊥1 例2 已知正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面互相垂直，M 为AC 上一点，N 为BF 上一点，且FN AM =。求证：AB MN ⊥
**教育ISO讲义 直线、平面垂直的判定及性质 思考：如何一条直线与一个平面不相交，该直线可能与平面垂直吗？如果一个平面与另一个平面不相交，这两个平面可能垂直吗？
一、知识梳理 1．直线与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面 内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 ? ????a ，b ?αa ∩b ＝O l ⊥a l ⊥b ?l ⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ? ??? ?a ⊥αb ⊥α?a ∥b 2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平 面的垂线，则这两个 平面互相垂直 ? ??? ?l ?βl ⊥α?α⊥β 性质定理 两个平面互相垂直， 则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另 一个平面 ???? ?α⊥β l ?β α∩β＝a l ⊥a ?l ⊥ α 3.空间角 (1)直线与平面所成的角 ①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，如图，∠P AO 就是斜线AP 与平面α所成的角． ②线面角θ的范围：θ∈????0，π 2． (2)二面角 ①定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱．两个半平面叫
做二面角的面． 如图的二面角，可记作：二面角α-l -β或二面角P -AB -Q ． ②二面角的平面角 如图，过二面角α-l -β的棱l 上一点O 在两个半平面内分别作BO ⊥l ，AO ⊥l ，则∠AOB 就叫做二面角α-l -β的平面角． ③二面角的范围 设二面角的平面角为θ，则θ∈[0，π]． ④当θ＝π 2时，二面角叫做直二面角． 常用结论 1．线线、线面、面面垂直间的转化 2．两个重要定理 (1)三垂线定理 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直． (2)三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直． 3．重要结论 (1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． (2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)． (3)垂直于同一条直线的两个平面平行． (4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直． 考点1 线面垂直的判定与性质(多维探究) 【例1】如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，AB ⊥平面P AD ，AB ∥CD ，PD ＝AD ，E 是PB 的中点，F 是DC 上的点，且DF ＝1 2 AB ，PH 为△P AD 中AD 边上的高．
§7.3 直线、平面垂直的判定与性质 1．直线与平面垂直 (1)定义 如果直线a 与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线a 与平面α互相垂直，记作a ⊥α，直线a 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线a 的垂面．垂线和平面的交点即为垂足． (2)判定定理与性质定理 2.直线和平面所成的角 (1)定义 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°的角． (2)范围：????0，π 2. 3．平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念
①二面角：一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角； ②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角． (2)平面和平面垂直的定义 如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直． (3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理 概念方法微思考 1．若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面吗？ 提示垂直．若两平行线中的一条垂直于一个平面，那么在平面内可以找到两条相交直线与该直线垂直，根据异面直线所成的角，可以得出两平行直线中的另一条也与平面内的那两条直线成90°的角，即垂直于平面内的这两条相交直线，所以垂直于这个平面． 2．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面吗？ 提示垂直．在两个相交平面内分别作与第三个平面交线垂直的直线，则这两条直线都垂直于第三个平面，那么这两条直线互相平行．由线面平行的性质定理可知，这两个相交平面的交线与这两条垂线平行，所以该交线垂直于第三个平面． 题组一思考辨析
2020高考数学人教A 版课后作业：9-5 线面、面面垂直的判定及性 质 1.(文)(2020·北京海淀区期末)已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中不正确的是( ) A ．若m ∥α，α∩β＝n ，则m ∥n B ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α C ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β D ．若m ⊥α，m ?β，则α⊥β [答案] A [解析] 选项A 中，直线m 与直线n 也可能异面，因此A 不正确． (理)(2020·芜湖十二中)已知两条不同的直线m 、n ，两个不同的平面α、β，则下列命题中的真命题是( ) A ．若m ⊥α，n ⊥β，α⊥β，则m ⊥n B ．若m ∥α，n ∥β，α∥β，则m ∥n C ．若m ⊥α，n ∥β，α⊥β，则m ⊥n D ．若m ∥α，n ⊥β，α⊥β，则m ∥n [答案] A [解析] ? ?? ? ??? ?m ⊥αα⊥β?m ∥β或m ?β n ⊥β ?m ⊥n ，故A 正确； 如图(1)，m ⊥α，n ⊥α满足n ∥β，但m ∥n ，故C 错； 如图(2)知B 错； 如图(3)正方体中，m ∥α，n ⊥β，α⊥β，知D 错． 2．(文)(2020·东莞模拟)若l 为一条直线，α、β、γ为三个互不重合的平面，给出下
面三个命题： ①α⊥γ，β⊥γ?α⊥β；②α⊥γ，β∥γ?α⊥β； ③l∥α，l⊥β?α⊥β. 其中的真命题有( ) A．0个B．1个 C．2个D．3个 [答案] C [解析]①中α与β可能平行，故①错，②③正确． (理)(2020·北京市朝阳区模拟)设α，β，γ是三个不重合的平面，l是直线，给出下列命题 ①若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ；②若l上两点到α的距离相等，则l∥α；③若l⊥α，l∥β，则α⊥β；④若α∥β，l?β，且l∥α，则l∥β. 其中正确的命题是( ) A．①②B．②③ C．②④D．③④ [答案] D [解析]对于①：若α⊥β，β⊥γ，则可能α⊥γ，也可能α∥γ.对于②：若l上两点到α的距离相等，则l∥α，显然错误．当l⊥α，l∩α＝A时，l上到A距离相等的两点到α的距离相等．③④显然正确． 3．(2020·安徽省皖南八校联考)设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( ) A．若l⊥m，m?α，则l⊥α B．若l⊥α，m?α，则l⊥m C．若l∥α，l∥m，则m∥α D．若l∥α，m∥α，则l∥m [答案] B [解析]直线垂直于平面中两条相交直线，才能垂直于平面，故A错；C中m可能包含在平面α中；D中两条直线可能平行、相交或异面． 4.(2020·广东省深圳市高三调研)如下图，在立体图形D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是( )
1．线面垂直 直线与平面垂直的判定定理：如果 ，那么这条直线垂直于这个平面。 推理模式： 直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线 。 2．面面垂直 两个平面垂直的定义：相交成 的两个平面叫做互相垂直的平面。 两平面垂直的判定定理：（线面垂直?面面垂直） 如果 ，那么这两个平面互相垂直。 推理模式： 两平面垂直的性质定理：（面面垂直?线面垂直） 若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面。 一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系 为：线线垂直???→←???判定性质线面垂直???→←???判定 性质面面垂直．这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，下面举例说明． 例题：1．如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点，PA ⊥平面ABC ． （1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ； （2）若D 也是圆周上一点，且与C 分居直径AB 的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面． 2、如图，棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是菱形，11B C A B ⊥
证明：平面1AB C ⊥平面11A BC 3、如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB=AD=1，AA 1=2，M 是棱CC 1的中点 （Ⅰ）求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值； （Ⅱ）证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M 1 4、如图，AB 是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA ⊥平面ABC ．若AE ⊥PC ，Ｅ为垂足，Ｆ是PB 上任意一点，求证：平面AEF ⊥平面PBC ． 5、如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA 1 ＝2，D
《直线与平面垂直的判定》教学设计 一、学习内容分析 本节课内容选自《普通高中课程标准实验教科书·数学必修2（人教A版）》第二章节。本节课主要学习直线与平面垂直的定义、判定定理及其初步运用。 本节课中的线面垂直定义是探究线面垂直判定定理的基础；线面垂直的判定定理充分体现了线线垂直与线面垂直之间的转化，它既是后面学习面面垂直的基础，又是连接线线垂直和面面垂直的纽带。学好这部分内容，对于学生建立空间观念，实现从认识平面图形到认识立体图形的飞跃，是非常重要的。 二、学习者分析 本节课的学生是高一的学生，在学习本节课之前，学生已经学习了掌握了线线垂直的证明，并且学习了空间内直线与平面位置关系以及直线与平面平行的知识，因此学生对于线面垂直的判定定理的学习有良好的认知基础。但是学生对于理解线面垂直的定义有一定的困难，受线面平行的影响，很容易由一直线垂直于一平面内一直线得出线面垂直，由于平面内看不到直线，要让学生去体会“与平面内所有直线垂直”就有一定困难；同时，线面垂直判定定理的发现具有一定的隐蔽性，学生不易想到。 三、教学重点、难点 重点：直线与平面垂直的判定定理。 【 难点：探究得出出直线与平面垂直的判定定理及初步运用． 四、教学目标 （1）知识与技能目标： 1.描述直线与平面垂直的定义； 2.运用直线与平面垂直的判定定理证明简单的的空间位置关系问题. （2）过程与方法目标： 1.通过对实例、图片的观察，概括定义，正确理解定义，增强观察能力； 2.在探索直线与平面垂直判定定理的过程中感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”、“无限转化为有限”等数学思想. ' （3）情感态度与价值观目标： 1.通过对空间中直线与平面垂直定义的归纳，感受生活中的数学美； 2.通过经历直线与平面垂直判定定理的探究，体验探索的乐趣 五、教学过程 1．复习回顾，引入新课
线面、面面关系的判定与性质 一、线面关系的转换网络图 1﹒线线平行： （1）平行公理:平行于同一直线的两直线平行（线线平行的传递性）﹒ （4）线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么 这条直线和交线平行（线面平行→线线平行）﹒ （6）面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行（面面平行 →线线平行）﹒ （12）线面垂直的性质定理：垂直于同一平面的两直线平行﹒ 2﹒线线垂直： （9）线面垂直的性质：一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线（线面垂直→线线垂直）其它判定方法：利用平面几何中证明线线垂直的方法（如勾股定理，等腰直角三角形底边上的高，正方形（菱形）的对角线等）﹒ 3﹒线面平行： （2）线面平行的判定定理：如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面 平行（线线平行→线面平行）﹒ （5）面面平行的性质定理：两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面（面面平行→线 面平行）﹒ 4﹒线面垂直： （7）线面垂直的判定定理：如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面（线线 垂直→线面垂直）﹒ （11）线面垂直的判定定理推论：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个 平面﹒ （14）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则它也垂直于另一个平面﹒
（10）面面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个 平面（面面垂直→则线面垂直）﹒ 5﹒面面平行： （4）面面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行（线面 平行→面面平行）﹒ （13）定理：垂直于同一条直线的两个平面平行﹒ 6﹒面面垂直： （8）面面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面垂直，另一个平面过这条线，则这两个平面垂直 （面面垂直→则线面垂直）﹒ 7.直线与平面所成的角 （1）定义：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角. 这个角的范围为]90,0[0 . （2）斜线与平面成角计算一般步骤： ①找过斜线上一点与平面垂直的直线； ②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角； ③把这个角放在三角形中计算. 注：斜线PA 与平面α所成的角为PAB ∠，其中α平面⊥PB . 二、典型例题 例1：三棱锥ABC P -中，ABC PA 平面⊥， 0 90=∠BAC ，证明：PAC BA 平面⊥. （判定定理、定义） 变式1：三棱锥ABC P -中，PA AC ⊥，ABC ?满足0 90=∠BAC ， AC PA =，D 是边PC 的中点， 证明：DAB PC 平面⊥. （判定定理、定义、等腰三角形的高） C B A P C D A P B P A B α
1．复习回顾，引入新课 问题：同学们，我们已经学习了空间中直线与平面的位置关系，有哪些位置关系？ 【师生活动】学生集体可能回答：直线在平面内，直线与平面平行，直线与平面相交 【追问】有些位置关系是比较特殊的，一种是线面平行，还有一种呢？ 【师生活动】教师引导学生回答线面垂直这种位置关系是一种特殊的线面位置关系并揭示课题 2．逐步探索，得出定义 问题：在日常生活中你见到的线面垂直的现象有哪些？ 【师生活动】学生列举生活中的线面垂直现象，然后教师也展示生活中的一些线面垂直现象，例如篮球架和地面垂直，旗杆和地面垂直。对于旗杆与地面垂直的现象进行抽象化，让学生对下列问题进行思考。 思考： (1)阳光下，旗杆AB 与它在地面上的影子BC 所成的角度是多少？ (2)随着太阳的移动,影子BC 的位置也会移动, 而旗杆AB 与影子BC 所成的角度是否会发生改变? (3)旗杆AB 与地面上任意一条不过点B 的直线11C B 的位置关系如何?依据是什么？ 3. 创设情境，猜想定理 【师生活动】教师引导学生认识到由于利用直线与平面垂直的定义直接判定直线与平面垂直是非常困难的，需要寻找简捷、可行的方法来判定直线与平面垂直。 【实验】过△ABC 的顶点A 翻折三角形纸片得到折痕AD,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上， 1 ） 折 痕 AD 是 否 与 桌 面 垂 直 2）如何翻折才能使折痕AD 与桌面所在的平面垂直 通过观察,我们容易发现,当且仅当ＡＤ ⊥ＢＣ，ＡＤ所在的直线与桌面所在的平面垂直,而翻折之后垂直关系不变，即ＡＤ ⊥ＣＤ，ＡＤ ⊥ＢＤ． B D C B1 A 【师生活动】教师引导学生分别根据这两个示意图进行实验，并思考：