一般矩阵可逆的判定
一般矩阵可逆的判定 Good （11统计数学与统计学院 1111060231） 摘要：作为一张表，矩阵的运算规则具有特殊性。在运算的过程中，逆矩阵则是作为矩阵乘法的逆运算而存在的。由于矩阵乘法的逆运算仅限于方阵，故而逆矩阵又作为一项特殊的矩阵除法运算而存在。对于矩阵的运算来说，逆矩阵是不可缺少的一部分。在以线性代数为基础的研究中，逆矩阵是解决实际问题的一个最直观，最实用的工具。然而在实际研究中，并不是所有方阵都存在逆矩阵，那么对于矩阵可逆的判定就显得极其重要了。 关键字：阶方阵；；；； 0 引言 逆矩阵是矩阵乘法逆运算的结果。这个逆运算的过程被作为矩阵运算的一部分而不可或缺。对于所有矩阵而言，只有方阵中可逆的那部分才存在逆矩阵；就好像四边形一样，只有当矩形的四边相等才能被叫做正方形。然而也就是这很特殊的一小部分，它的运用却充斥着所有与线性代数相关的领域。比如：物理学，经济学，统计学，数学，社会管理学等等。对于矩阵的运算来说，逆矩阵的运算至关重要。由于矩阵在实际运用中具有的重要作用，而逆矩阵对于矩阵来说又具有重要的作用。在以矩阵为研究对象的研究过程中，研究逆矩阵也就有了很重要的意义。 对于研究逆矩阵的过程中，“什么样的矩阵才可逆？”是值得深讨的问题。就像求四边形中的正方形一样，要求正方形，最基本的前提就是：四边形必须是矩形。只有四边形满足四个内角都是90度的时候，四边形才称的上是矩形。而对于矩形来说，只有满足矩形的四条边都相等时，这样的矩形才能被称为正方形。对于矩阵可逆来说，一个矩阵要可逆，最基本的前提：必须满足矩阵的行列相等，矩阵必须是一个方阵才行。研究方阵的可逆，对于实际
一般矩阵可逆的判定 Good （11统计数学与统计学院 1111060231） 摘要：作为一张表，矩阵的运算规则具有特殊性。在运算的过程中，逆矩阵则是作为矩阵乘法的逆运算而存在的。由于矩阵乘法的逆运算仅限于方阵，故而逆矩阵又作为一项特殊的矩阵除法运算而存在。对于矩阵的运算来说，逆矩阵是不可缺少的一部分。在以线性代数为基础的研究中，逆矩阵是解决实际问题的一个最直观，最实用的工具。然而在实际研究中，并不是所有方阵都存在逆矩阵，那么对于矩阵可逆的判定就显得极其重要了。 关键字：n阶方阵A；A≠0；r A=n；?λn≠0；AB=BA=I n 0 引言 逆矩阵是矩阵乘法逆运算的结果。这个逆运算的过程被作为矩阵运算的一部分而不可或缺。对于所有矩阵而言，只有方阵中可逆的那部分才存在逆矩阵；就好像四边形一样，只有当矩形的四边相等才能被叫做正方形。然而也就是这很特殊的一小部分，它的运用却充斥着所有与线性代数相关的领域。比如：物理学，经济学，统计学，数学，社会管理学等等。对于矩阵的运算来说，逆矩阵的运算至关重要。由于矩阵在实际运用中具有的重要作用，而逆矩阵对于矩阵来说又具有重要的作用。在以矩阵为研究对象的研究过程中，研究逆矩阵也就有了很重要的意义。 对于研究逆矩阵的过程中，“什么样的矩阵才可逆？”是值得深讨的问题。就像求四边形中的正方形一样，要求正方形，最基本的前提就是：四边形必须是矩形。只有四边形满足四个内角都是90度的时候，四边形才称的上是矩形。而对于矩形来说，只有满足矩形的四条边都相等时，这样的矩形才能被称为正方形。对于矩阵可逆来说，一个矩阵要可逆，最基本的前提：必须满足矩阵的行列相等，矩阵必须是一个方阵才行。研究方阵的可逆，对于实际应用才存在实际意义。那么对于方阵来说，又需要满足什么样的条件，方阵才可逆呢？本文也就是从可逆矩阵的判定条件入手，着重分析可逆判定的充要条件。最后介绍几种常用的求解逆矩阵的方法。 1 矩阵的概念 1.0矩阵的定义 定义1：令F是一个数域，用F上的m×n个数a ij(i=1,2,?,m;j=1,2,?,n)排成m行n列的矩阵列，则称为m×n阵，也称为一个F上的矩阵，简记为A mn。 A=a11a12 a21a22 ?a1n ?a2n ?? a m1a m2 ?? ?a mn 1.1逆矩阵的定义 定义2：设A是数域F上的n阶方阵，若数域F上同时存在一个n阶方阵B,使得 AB=BA=I n 则称B是A的逆矩阵，记作：B=A?1。
§1.4 可逆矩阵 ★教学内容： 1.可逆矩阵的概念； 2.可逆矩阵的判定； 3.利用转置伴随矩阵求矩阵的逆； 4.可逆矩阵的性质。 ★教学课时：100分钟/2课时。 ★教学目的： 通过本节的学习，使学生 1. 理解可逆矩阵的概念； 2. 掌握利用行列式判定矩阵可逆以及利用转置伴随矩阵求矩阵的逆的方法； 3. 熟悉可逆矩阵的有关性质。 ★教学重点和难点： 本节重点在于使学生了解什么是可逆矩阵、如何判定可逆矩阵及利用转置伴随矩阵求逆的方法；难点在于转置伴随矩阵概念的理解。 ★教学设计： 一可逆矩阵的概念。 1.引入：利用数字乘法中的倒数引入矩阵的逆的概念。 2.定义1.4.1（可逆矩阵）对于矩阵A，如果存在矩阵B，使得AB BA E ==则称A为可逆矩阵，简称A可逆，并称B为A的逆矩阵，或A的逆，记为1 A-。 3.可逆矩阵的例子： （1）例1 单位矩阵是可逆矩阵； （2）例2 10 11 A ?? = ? ?? ， 10 11 B ?? = ? - ?? ，则A可逆； （3）例3 对角矩阵 100 020 003 A ?? ? = ? ? ?? 可逆； （4）例4 111 011 001 A ?? ? = ? ? ?? ， 110 011 001 B - ?? ? =- ? ? ?? ，则A可逆。 4.可逆矩阵的特点： （1）可逆矩阵A都是方阵； （2）可逆矩阵A的逆唯一，且1 A-和A是同阶方阵；
（3）可逆矩阵A 的逆1A -也是可逆矩阵，并且A 和1A -互为逆矩阵； （4）若A 、B 为方阵，则1 AB E A B -=?=。 二 可逆矩阵的判定及转置伴随矩阵求逆 1.方阵不可逆的例子： 例5 1100A ?? = ??? 不可逆； 例6 1224A ?? = ??? 不可逆； 2.利用定义判定矩阵可逆及求逆的方法： （1）说明利用定义判定及求逆的方法， （2）说明这种方法的缺陷； 3.转置伴随矩阵求逆 （1）引入转置伴随矩阵 1）回顾行列式按一行一列展开公式及推论 1122,0,i s i s in sn D i s a A a A a A i s =?+++=?≠?L (1,2,,)i n =L ， 1122,0,j t j t nj nt D j t a A a A a A j t =?+++=? ≠?L (1,2,,)j n =L ； 2）写成矩阵乘法的形式有： 111211121 1212221222212 120 00000n n n n n n nn n n nn a a a A A A A a a a A A A A A E a a a A A A A ?????? ? ?? ? ? ???== ? ??? ? ?? ? ?????? ? L L L L L L M M O M M M O M M M O M L L L 3）定义1.4.2（转置伴随矩阵）设ij A 式是()ij n n A a ?=的行列式中ij a 的代数余 子式，则 1121 112 22 2* 12n n n n nn A A A A A A A A A A ?? ? ? = ? ??? L L M M O M L 称为A 的转置伴随矩阵。 （2）转置伴随矩阵求逆： 1）* AA A E =； 2）定理1.4.1 A 可逆的充分必要条件是0A ≠（或A 非奇异），且
典型例题（二）方阵可逆的判定 例1 设A 是n 阶方阵, 试证下列各式： （1）若0||≠A , 则T T A A )()(11--=； （2）若A 、B 都是n 阶可逆矩阵, 则* **)(A B AB =； （3）T T A A )()(**=； （4）若0||≠A , 则* 11*)()(--=A A ； （5） * 1*)1()(A A n --=-； （6）若0||≠A , 则l l A A )()(11--=（l 为自然数）； （7） * 1*)(A k kA n -=. 证 （1）因为0||≠A , 故A 是可逆矩阵, 且 E AA =-1 两边同时取转置可得 E E A A AA T T T T ===--)()()(11 故由可逆矩阵的定义可知 T A )(1-是A T 的逆矩阵. 即 1 1)()(--=T T A A （2）利用方阵与其对应的伴随矩阵的关系有 E AB AB AB ||)()(*= （2-7） 另一方面 B I A B B A A B AB A B )|(|)())((*****== E AB E B A B B A |||| ||||*=== （2-8） 比较式（2-7）、（2-8）可知 ))(()()(***AB A B AB AB = 又因为A 、B 均可逆, 所以(AB )也可逆, 对上式两端右乘1 )(-AB 可得 ***)(A B AB = （3）设n 阶方阵A 为 ?????????? ????=nn n n n n a a a a a a a a a A 2 1 2222111211 于是可得A 的伴随矩阵* A 为 ??????? ??? ????=nn n n n n A A A A A A A A A A 2122212 12111 * 注意到A 的转置矩阵为
杭州电子科技大学研究生考试卷（A 卷） 课程名称： 工程矩阵理论 1. 在R 2?2 中，求矩阵A=a b c d ????? ?在基 12341001000000001001????????====???????????????? E E E E ，，，下的坐标. 2. 设R [x ]4是所有次数小于4的实系数多项式组成的线性空间，求多项式p (x ) = 1+2x 3在基 1，x -1，(x -1)2，(x -1)3下的坐标. 3. 设1V 和2V 是线性空间 V 的两个子空间。证明维数公式： 121212dim dim dim()dim()V V V V V V +=++ 4. 已知矩阵A 相似与矩阵B ，证明：trace(AB ) = trace(BA ). 5. 已知矩阵A = ??? ? ? ?????-311111002，（1）求多项式 2012()p λαλαλα=++使得 2012()At p A A A I e ααα=++= （2）说明多项式()p λ是二次多项式的理由 （3）利用（1） 的结果计算At e . 6. 利用初等变换把λ-矩阵 2 (1)0 00000(1)λλλλ+?????? +???? 化为 Smith 标准型。 7. 已知矩阵A = ???? ? ?????-00i 001i 10， （1）A 是对称矩阵还是反对称矩阵，或者都不是？ （2）A 是Hermite 矩阵还是反Hermite 矩阵，或者都不是？ （3）A 是正规矩阵吗？A 可对角化吗？A 可酉对角化吗？ （4）求酉矩阵U 使U H AU 为对角矩阵.
? ? ? ? ? ? ? §1.4 可逆矩阵 ★ 教学内容： 1. 可逆矩阵的概念； 2. 可逆矩阵的判定； 3. 利用转置伴随矩阵求矩阵的逆； 4. 可逆矩阵的性质。 ★ 教学课时：100 分钟/2 课时。 ★ 教学目的： 通过本节的学习，使学生 1. 理解可逆矩阵的概念； 2. 掌握利用行列式判定矩阵可逆以及利用转置伴随矩阵求矩阵的逆的方法； 3. 熟悉可逆矩阵的有关性质。 ★ 教学重点和难点： 本节重点在于使学生了解什么是可逆矩阵、如何判定可逆矩阵及利用转置伴随矩阵 求逆的方法；难点在于转置伴随矩阵概念的理解。 ★ 教学设计： 一 可逆矩阵的概念。 1. 引入：利用数字乘法中的倒数引入矩阵的逆的概念。 2. 定义 1.4.1（可逆矩阵）对于矩阵 A ，如果存在矩阵 B ，使得 AB = BA = E 则称 A 为可逆矩阵，简称 A 可逆，并称 B 为 A 的逆矩阵，或 A 的逆，记为 A -1 。 3. 可逆矩阵的例子： （1） 例 1 单位矩阵是可逆矩阵； ?1 0 ? ? 1 0 ? （2） 例 2 A = 1 1 ? ， B = -1 1 ? ，则 A 可逆； ? ? ? ? ? 1 0 0 ? （3） 例 3 对角矩阵 A = 0 2 0 ? 可逆； 0 0 3 ? ? 1 1 1? ? 1 -1 0 ? （4）例 4 A = 0 1 1? ， B = 0 1 -1? ，则 A 可逆。 ? 0 0 1? 4. 可逆矩阵的特点： （1） 可逆矩阵 A 都是方阵； ? 0 0 1 ? （2） 可逆矩阵 A 的逆唯一，且 A -1 和 A 是同阶方阵；
习题 一 1．（1）因 cos sin sin cos nx nx nx nx ?? ? ? -?? cos sin sin cos x x x x ????-??= cos(1) sin(1)sin(1) cos(1)n x n x n x n x ++?? ??-++?? ，故由归纳法知 cos sin sin cos n nx nx A nx nx ?? =??-?? 。 （2）直接计算得4 A E =-，故设4(0,1,2,3)n k r r =+=，则4(1)n k r k r A A A A ==-，即只需算出23,A A 即可。 （3）记J=0 1 0 1 1 0 ?????? ?????????? ，则 ， 112211111 () n n n n n n n n n n n n n n i i n i n n i n n n a C a C a C a C a C a A aE J C a J a C a a -----=-????????=+==?? ???????? n ∑。 2．设11 22 (1,0),0 a A P P a A E λλ-??===?? ?? 则由得 2 1112111 1 1 210 0 0 a λλλλλλλ?? ????==?????????????? 1时,不可能。 而由2 112222 0 0 000 0 0 a λλλλλλ?? ????==?????????????? 1时,知1i λ=±所以所求矩阵为1i PB P -， 其中P 为任意满秩矩阵，而 1231 0 1 0 1 0,,0 10 1 0 1B B B -??????===?????? --?????? 。 注：2 A E =-无实解，n A E =的讨论雷同。 3．设A 为已给矩阵，由条件对任意n 阶方阵X 有AX=XA ，即把X 看作2 n 个未知数时线 性方程AX -XA=0有2 n 个线性无关的解，由线性方程组的理论知其系数矩阵为零矩阵，
习题二 1．化下列矩阵为Smith 标准型： （1）222211λλλλ λλλλλ?? -?? -????+-?? ; （2）2222 00 000 00(1)00000λλλλλλ ?? ?? -? ? ??-?? -?? ; （3）2222 232321234353234421λλλλλλλλλλλλλλ?? +--+-??+--+-????+---?? ; (4)23014360220620101003312200λλλλλλλλλλλλλλ????++??????--????---?? . 解：（1）对矩阵作初等变换 23221311(1)100 10 000000(1)00(1)c c c c c c r λλλλλλλλλ+--?-???????????→-???→? ??? ????-++???? ， 则该矩阵为Smith 标准型为 ???? ? ?????+)1(1λλλ； （2）矩阵的各阶行列式因子为 44224321()(1),()(1),()(1),()1D D D D λλλλλλλλλλ=-=-=-=, 从而不变因子为 22 2341234123()()() ()1,()(1),()(1),()(1)()()() D D D d d d d D D D λλλλλλλλλλλλλλλλ== =-==-==-故该矩阵的Smith 标准型为
2210000(1)0000(1)00 00(1)λλλλλλ?? ??-????-?? -??； （3）对矩阵作初等变换 故该矩阵的Smith 标准型为 ?? ?? ??????+--)1()1(112 λλλ; (4)对矩阵作初等变换 在最后的形式中，可求得行列式因子 3254321()(1),()(1),()()()1D D D D D λλλλλλλλλ=-=-===, 于是不变因子为 2541234534()() ()()()1,()(1),()(1)()() D D d d d d d D D λλλλλλλλλλλλλ==== =-==-故该矩阵的Smith 标准形为 2 1 0000 010 0000100000(1)00 00 0(1)λλλλ?????????? -?? ??-?? . 2.求下列λ-矩阵的不变因子： （1） 21 0021002λλλ--????--????-??； （2）100 1000 λαββλα λαββ λα+????-+? ???+??-+?? ；
东南大学工程矩阵理论期终考试试卷09 一、求C 中，V1=í?2′2的子空间V1,V2的交空间V1?V2及和空间V1+V2的基和维数，其ì?x ?èxy?üì?xy?ü|x,y?C,V=|x,y?Cy2í?y、 ÷÷y?t?è-y-x?t 二、欧氏空间R[x]3中的内积定义为：对"j,y?R[x]3，
阵100的秩。 ???÷五、假设矩阵A=?002÷、 ?÷è? 1、求A的广义逆矩阵A； At 2、求一个次数不超过2的多项式f，使得f=Ae、 + 六、假设f是n维酉空间V上的线性变换，若对任意 a,b?V，有 b,=)a ) 1、证明：在V的标准正交基下，f的矩阵为Hermite矩阵； 2、证明：存在V的一组标准正交基，使得f的矩阵为对角阵。 七、假设s′n矩阵A的秩为r ，证明A2￡AF￡2。 八、假设A是A?C+s′n的广义逆矩阵，证明：Cn=K?R，其中， K,R分别表示矩阵A的核空间和A+的值域、 九、假设A,B都n阶Hermite矩阵、 1、如果A是正定的，证明：存在可逆矩阵C，使得 CHAC,CHBC都是对角阵； 2、如果A,B都是半正定的，并且A的秩r=n-1，证明：存在可逆矩阵C，
工程矩阵理论试卷（A ） 2006年10月 系别 学号 姓名 成绩 一． （20%）记22C ?为复数域C 上的22?矩阵全体在通常的运算下所构成的复数域上的线性空间，矩阵1100A -??= ??? ，{}22|V X C AX XA ?=∈=。 1．证明V 是22C ?的子空间，并求V 的基和维数； 2．假设22C ?的子空间0|,a W a b C a b b ????=?∈?? ?-???? ，求W 的基和维数； 3．求,V W V W +?的基和维数。 二． （12%）假设矩阵000 0050000310031A ?? ? ?= ?- ?-??，试求A 的广义逆矩阵A +。 三． （16%）设矩阵101101000A ?? ?=- ? ??? 。 1. 分别求A 的特征多项式及Jordan 标准型； 2. 写出A 的最小多项式； 3. 将At e 表示成关于A 的次数不超过2的多项式，并求At e 。 四． （20%）记22C ?为复数域C 上的22?矩阵全体在通常的运算下所构成的复数域上的 线性空间，对固定的矩阵22,A B C ?∈，定义22C ?上的变换如下：对任意22X C ?∈， ()f X AXB =。 1. 证明：对给定的矩阵22,A B C ?∈，f 是22C ?上的线性变换； 2. 设1011,1000A B ????== ? ????? 。分别求11122122,,,E E E E 在f 下的像，并求f 在22C ?的基11122122,,,E E E E 下的矩阵M ；
3. 假设1011,1000A B ????== ? ????? ，求f 的值域()R f 及核子空间()K f 的各一组 基及它们的维数； 4. 问：22()()C R f K f ?=⊕是否成立？为什么？ 五． (12%)设矩阵21000403A x ?? ?= ? ???，32020003y B ?? ?= ? ??? 。 1. 根据x 的不同的值，讨论矩阵A 的所有可能的Jordan 标准形； 2. 若A 与B 是相似的，问：参数,x y 应满足什么条件？试说明理由。 六． (10%)假设3R 的由12,ξξ 生成的子空间12(,)V L ξξ=，其中 12(0,1,0),(1,0,2)ξξ== 。设(1,0,1)η=。在V 中求向量0η，使得 0min V ξηηηξ∈-=-。 七． (10%)证明题 1. 证明：Hermite 阵和酉矩阵都是正规阵。试举一例说明存在这样的正规阵，它既不 是Hermite 矩阵，也不是酉矩阵。 2. 若n 维列向量n C α∈的长度小于2，证明：4H I αα-是正定矩阵。
矩阵可逆的若干判别方法 可逆矩阵是高等代数中不可缺少的一部分，也是矩阵运算中的重要组成部分，对解决数数学问题有重大意义，学习可逆矩阵，对我们解决一些代数问题有极大的帮助。 如何判断矩阵可逆，主要有以下十一种方法。 一、 矩阵可逆的基本概念 （1）对于n 阶矩阵A ，若存在n 阶矩阵B ，使得 AB=BA=I 则称矩阵A 为可逆矩阵（或非退化或非奇异或满秩矩阵），或A 可逆，称B 为A 的 逆矩阵，记作B= A -1 。 注：若矩阵可逆，则A 的逆矩阵由A 唯一确定。 （2）矩阵A 的行秩等于列秩。 （3）矩阵A 经过一系列初等变换得到矩阵B ，则A 与B 等价。 （4）记矩阵A 中元素a ij 的代数余子式为A ij ，则A*=（A ij ）T n ×n ，我们就称A*为A 的伴随矩阵。 二、矩阵可逆的性质 （1）若矩阵A 可逆，则A 的逆矩阵A -1也可逆，且（A -1）-1 =A 。 （2）若矩阵A,B 均可逆，则矩阵AB 也可逆，且(AB) -1=B -1A -1 。 （3）若矩阵A 可逆，则A T 也可逆，且（A T ）-1=（A -1）T 。 （4）若矩阵A 可逆，λ≠0，则λA 也可逆，且(A λ)= λ 1A -1 。 （5）若矩阵A 可逆，则|A -1 |= | |1A 。 （6）矩阵A 的逆矩阵A -1 = | |*A A 。 （7）若A 为m ×n 阶矩阵，P 为m 阶矩阵，Q 为n 阶矩阵，A,P,Q 均为可逆矩阵，则有r(PAQ)=r(PA)=r(AQ)=r(A)。 三、矩阵可逆的若干判别方法 （一）定义判别法 对于n 阶方阵A ，若存在n 阶方阵B ，使得AB=BA=I,则A 可逆，且B 为A 的逆， 记为B=A -1 。 例1. 判断矩阵A=??? ? ? ??010100001 是否可逆？ 证 存在矩阵B=????? ??010100001，使得AB=BA=??? ? ? ??100010001 所以矩阵A 可逆。 注：此方法大多适用于简单的矩阵。
n k r n n 1 2 习题 一 1．（ 1）因 cosnx sin nx sin nx cosnx cosx sin x sin x = cosx cos(n sin(n 1)x 1)x sin( n cos(n 1)x 1)x ，故由归纳法知 cosnx sin nx A 。 sin nx cosnx （ 2）直接计算得 A 4 E ，故设 n 4 k r (r 0,1,2,3) ，则 A n A 4 k A r ( 1) A ， 即 只需算出 A 2, A 3 即可。 0 1 0 1 （ 3 ）记 J= ，则 ， 1 0 n 1 n 1 2 n 2 n a C n a C n a C n a n C 1 a n 1 C n 1a A n (aE J ) n n C i a i J n i i 0 n n a n 。 C 1a n 1 a n 2. 设 A P 1 a 2 P 1(a 1,0),则由A 2 E 得 a 1时, 1 1 1 1 0 1 2 1 2 1 0 2 不可能。 1 而由 a 1 0时, 2 1 知 1 所以所求矩阵为 PB P 1 ， 其中 P 为任意满秩矩阵，而 i i 2 2 2 1 0 1 0 1 0 B 1 , B 2 , B 3 。 0 1 0 1 1 注： A 2 E 无实解， A n E 的讨论雷同。 3. 设 A 为已给矩阵，由条件对任意 n 阶方阵 X 有 AX=XA ，即把 X 看作 n 2 个未知数时线 性方程 AX XA=0 有 n 2 个线性无关的解， 由线性方程组的理论知其系数矩阵为零矩阵， 1
习题三 1．证明下列问题： （1）若矩阵序列{}m A 收敛于A ，则{}T m A 收敛于T A ，{} m A 收敛于A ； （2）若方阵级数∑∞ =0m m m A c 收敛，则∑∑∞ =∞==?? ? ??00)(m m T m T m m m A c A c . 证明：（1）设矩阵 ,,2,1,)() (Λ==?m a A n n m ij m 则 ,)()(n n m ji T m a A ?=,)()(n n m ij m a A ?=,,2,1Λ=m 设 ,)(n n ij a A ?= 则 n n ji T a A ?=)(，,)(n n ij a A ?= 若矩阵序列{}m A 收敛于A ，即对任意的n j i ,,2,1,Λ=，有 ij m ij m a a =∞ →) (lim ， 则 ji m ji m a a =∞ →)(lim ，ij m ij m a a =∞ →)(lim ，n j i ,,2,1,Λ=， 故{} T m A 收敛于T A ，{} m A 收敛于A . (2)设方阵级数 ∑∞ =0 m m m A c 的部分和序列为 ΛΛ,,,,21m S S S ， 其中m m m A c A c c S +++=Λ10.
若 ∑∞ =0 m m m A c 收敛，设其和为S ，即 S A c m m m =∑∞ =0 ，或S S m m =∞ →lim ， 则 T T m m S S =∞ →lim . 而级数∑∞ =0 )(m m T m A c 的部分和即为T m S ，故级数∑∞ =0 )(m m T m A c 收敛，且其和为T S ， 即 ∑∑∞ =∞==?? ? ??00)(m m T m T m m m A c A c . 2.已知方阵序列{}m A 收敛于A ，且{} 1-m A ，1 -A 都存在，证明： （1）A A m m =∞ →lim ；（2）{}1 1 lim --∞ →=A A m m . 证明：设矩阵 ,,2,1,)() (Λ==?m a A n n m ij m ,)(n n ij a A ?= 若矩阵序列{}m A 收敛于A ，即对任意的n j i ,,2,1,Λ=，有 ij m ij m a a =∞ →) (lim . (1) 由于对任意的n j j j ,,,21Λ，有 ,lim ) (k k kj m kj m a a =∞ → n k ,,2,1Λ=， 故 ∑-∞ →n n n j j j m nj m j m j j j j m a a a ΛΛΛ2121)()(2)(1) ()1(lim τ ＝ ∑-n n n j j j nj j j j j j a a a ΛΛΛ21212121) ()1(τ ， 而 ∑-= n n n j j j m nj m j m j j j j m a a a A ΛΛΛ2121) ()(2)(1)()1(τ，
一. （10％）求22×C 的子空间12,V V 的交空间12V V ∩及和空间12V V +的基和维数，其中，V x ∈?． 12,y ?????? |,|,C V x ???=∈??????x y x y x y y x ??=??????y C ??二. （10%）欧氏空间3[]R x 中的内积定义为：对3(),()[]x x R x ?ψ?∈， )1 1(),()()(x x ?ψ?<>∫x ?ψ=x dx 。令1α=，x β=，2x η=， (,)W L αβ=。求η在W 中的正投影，即求0W η∈，使得 0min W ξηηη∈ξ?=?． 三. （20%）在22×矩阵空间22C ×上定义线性变换f 如下：对任意矩阵22X C ×∈， ?，其中，a 为234a a a a ?()f X ??=?? X 的迹()tr X 。 1. 求f 在22C ×的基11122122,,,E E E E 下的矩阵M ； 2. 分别求f 的值域()R f 及核子空间()K f 的基及维数； 3. 求f 的特征值及相应的特征子空间的基； 4. 问：是否存在22C ×的基，使得f 在这组基下的矩阵为对角阵？为什么？ 四. （10%）根据参数,a b 不同的值，讨论矩阵b ??的Jordan 标准形，并求矩阵100的秩。 1702001a A ???=????? ()A I ?五. （14%）假设矩阵． 101002101A ????=?????? 1. 求A 的广义逆矩阵A + ； 2. 求一个次数不超过2的多项式()f λ，使得()At f A Ae =． 六. （10%）假设f 是n 维酉空间V 上的线性变换，若对任意,V αβ∈，有())((),)(,f f αβα=β。 1. 证明：在V 的标准正交基下，f 的矩阵为Hermite 矩阵； 2. 证明：存在V 的一组标准正交基，使得f 的矩阵为对角阵。 七. （8%）假设s n ×矩阵A 的秩为r ，证明22F A A A ≤≤。
工程矩阵理论试卷样卷10a 一、假如n n A C ?∈。 1、记} { ()n n V A X C AX XA ?===。证明：()V A 是n n C ?的子空间。 2、若A 是单位矩阵，求()V A 。 3、若2n =，0011A ?? = ?-?? 。求这里V （A ）的一组基及其维数。 4、假如} { 22 ()W A X C AX O ?===。问：对上一题中的()V A 和()W A ，()()V A W A +是否为直和？ 说明理由。 解： 1、证明子空间，即为证明该空间关于加法和数乘封闭。即若有,()x y V A ∈，()()x y V A +∈，()kx V A ∈。 设,()x y V A ∈，k F ∈， ()()A x y A x A y x A y A x y A +=+=+=+，()()x y V A +∈∴ ()( )A k x k A x k x A k x A ===， ()kx V A ∈∴ ∴()V A 是n n C ?的子空间。 2、若A 是单位矩阵，则} { ()n n V A X C IX XI ?===，因为对单位阵I 来说，IX XI =恒成立，故， ()n n V A C ?=。 3、若2n =，0011A ??= ?-??，设a b X c d ?? = ??? ，有AX XA =，即， 000011110 00a b a b c d c d b b a c b d d d b a c d b d d ???????? = ??? ???--???????? -????= ? ? ---???? =?? -=??-=-? ，有0b a c d =??-=?，故0a X c a c ??= ?-??=0000a c c a ????+ ? ?-???? 故X 的一组基为00101101,???? ? ?-???? ，维数为2。
. 典型例题（二）方阵可逆的判定 例1 设A 是n 阶方阵, 试证下列各式： （1）若, 则 ； （2）若A 、B 都是n 阶可逆矩阵, 则 ； （3） ； （4）若, 则 ； （5） ； （6）若, 则（l 为自然数）； （7） . 证 （1）因为, 故A 是可逆矩阵, 且 两边同时取转置可得 故由可逆矩阵的定义可知 是A T 的逆矩阵. 即 （2）利用方阵与其对应的伴随矩阵的关系有 （2-7） 另一方面 （2-8） 比较式（2-7）、（2-8）可知 又因为A 、B 均可逆, 所以(AB )也可逆, 对上式两端右乘可得 （3）设n 阶方阵A 为 于是可得A 的伴随矩阵为 注意到A 的转置矩阵为 0||≠A T T A A )()(11--=* **)(A B AB =T T A A )()(**=0||≠A *11*)()(--=A A * 1*)1()(A A n --=-0||≠A l l A A )()(11--=* 1*)(A k kA n -=0||≠A E AA =-1 E E A A AA T T T T ===--)()()(11T A )(1-1 1)()(--=T T A A E AB AB AB ||)()(*=B I A B B A A B AB A B )|(|)())((*****==E AB E B A B B A |||| ||||*===))(()()(***AB A B AB AB =1 )(-AB * **)(A B AB =??? ???????????=nn n n n n a a a a a a a a a A ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211 * A ??? ???????????=nn n n n n A A A A A A A A A A ΛΛΛΛΛΛΛ212221212111 *
杭州电子科技大学研究生考试卷（A卷）课程名称：工程矩阵理论 一、单项选择题（每题4分，共20分） 1. 设A∈C m?n，对A的奇异值分解，下列说法正确的是： （1）存在且唯一（2）存在但不唯一 （3）可能不存在（4）可能存在但不唯一2. 设A∈C n?n，则A的幂序列E，A，A2/2!, A k/k!, （1）收敛于零（2）发散 （3）收敛与否与具体A有关（4）收敛 3. 设A∈C n?n满足A3= E，则下列说法正确的是： （1）A的最小多项式与特征多项式相同 （2）A不可对角化（3）A的约当标准型中约当块的数目为n （4）不能确定A是否可对角化 4. 设A为n阶方阵，则有： （1）R(A) ⊕ N(A)= C n , （2）R(A) + N(A)= C n （3）R(A) ⊕ N(A T )= C n, （4）R(A T) ⊕ N(A T)= C n 5. 设A为n阶Hermite矩阵，则： （1）A的n个特征值全大于零 （2）存在可逆矩阵P使得P H AP=E （3）存在正线上三角矩阵R使得A=R H R （4）存在酉矩阵U使得U H AU=Λ，其中Λ为实对角矩阵二、填空题（每题4分，共20分） 1. 设ε 1, ε 2 , ε 3 为3维线性空间V的一组基，σ是V到自身的一个线性变换。σ在基ε 1 , ε 2 , ε 3 下的
矩阵为???? ??????3332 31 232221 1312 11 a a a a a a a a a ，则σ在基ε3, 2ε2, 3ε1下的矩阵为。 2. 设方阵A 满足A 2 = 3A, 则sin (3A ) = 。 3. 矩阵A = diag 21312,,0203? ????? ? ????????? ?，则A 的最小多项式为 。 4. 设X = (x 1, x 2, , x n )T 为变向量，α = (a 1, a 2, , a n )T 为常向量，H = (h ij )n ?n 为常矩阵，则： ， () =HX X X T D D 。 5. 设A ∈C n ?n 为Hermite 矩阵，X ∈C n ，A 的n 个特征值为λ1，λ2， ，λn ，满足λ1 ≤ λ2 ≤ ≤ λn ， 则： X X AX X H X H 0max ≠ = 。 三、计算和证明题(1-4题，每题10分，第五题20分，共60分) 1. 已知矩阵A = 1 0111113??????-???? ， （1）求多项式212 0)(αλαλαλ++=p 使得At e I A A A p =++=2120)(ααα （2）说明多项式)(λp 是二次多项式的理由 （3）利用（1）的结果计算At e . 2. 设矩阵A 的奇异值分解为：H V U A ??????∑=000，其中),,(diag 1r σσ =∑。验证H U V A ?? ????∑=-+ 00 01是矩阵A 的Penrose-Moore 逆。 3. 证明：12121122()() A A B B A B A B ??=? 4 利用初等变换把λ-矩阵???? ??????++2)1(000000 )1(λλλλ化为Smith 标准型。 5 设方阵A 、B 满足AB = BA 证明 ( 1 ) N(A ) 是B 不变子空间 （2）()At Bt A B t e e e +=
【可逆矩阵判定典型例题】矩阵可逆 典型例题（二）方阵可逆的判定 例1设A是n阶方阵,试证下列各式： （1）若|A|≠0,则(AT)-1=(A-1)T ； （2）若A、B都是n阶可逆矩阵,则 (AB)*=B*A* ；（3） (AT)*=(A*)T；（4）若|A|≠0,则(A*)-1=(A-1)* ；（5） (-A)*=(-1)n-1A*；（6）若|A|≠0,则(Al)-1=(A-1)l （l为自然数）；（7） (kA)*=kn-1A*.证（1）因为|A|≠0,故A是可逆矩阵,且AA-1 =E两边同时取转置可得 (AA-1)T=(A-1)TAT=(E)T=E 故由可逆矩阵的定义可知 (A-1)T是AT的逆矩阵.即 (A-1)T=(AT)-1 （2）利用方阵与其对应的伴随矩阵的关系有 (AB)*(AB)=|AB|E
另一方面 (B*A*)(AB)=B*(A*A)B=B*(|A|I)B =|A|B*B=|A||B|E=|AB|E 比较式（2-7）、（2-8）可知 (AB)*(AB)=(B*A*)(AB) 又因为A、B均可逆,所以(AB)也可逆,对上式两端右乘(AB)-1可得 (AB)*=B*A* （3）设n 阶方阵A为 ?aa12a?11 1n?A=?a??21a22a2n??? ??aa? ?n1n2ann?于是可得A的伴随矩阵A* 为 ?AA?11 21An1?A*=?A??12A22An2??? ???AA?1n2nAnn注意到?A的转置矩阵为 2-7）2-8）（ （ T 可推出A的伴随矩阵为 ?a11??a12
AT=? ??a?1n a21a22a2n A12A22An2 an1??an2???ann?? * 比较A与(A)可知 T* ?A11??A21 (AT)*=? ??A?n1 *T T* A1n??A2n???Ann?? (A)=(A) *-1|A|≠0AA（4）因为,故A可逆,A的逆矩阵为,并且由A=|A|E 可知 -1-1*-1-1|A|≠0A(A)=|A|E可得A由于,可逆且 1 (A-1)*=A |A| 另一方面,由 A*=|A|A-1
习题一 1.判断下列集合对指定的运算是否构成R 上的线性空间 （1）11 {()| 0}n ij n n ii i V A a a ?====∑，对矩阵加法和数乘运算； （2）2{|,}n n T V A A R A A ?=∈=-，对矩阵加法和数乘运算； （3）33V R =；对3R 中向量加法和如下定义的数乘向量：3 ,,0R k R k αα?∈∈=； （4）4{()|()0}V f x f x =≥，通常的函数加法与数乘运算。 解： （1）、（2）为R 上线性空间 （3）不是，由线性空间定义，对0α?≠有1α=α，而题（3）中10α= （4）不是，若k<0，则()0kf x ≤，数乘不满足封闭性。 2.求线性空间{|}n n T V A R A A ?=∈=的维数和一组基。 解：一组基 100 010 10 101010000000100............ ......0010010?? ???? ?????? ???? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? ?????? dim W =n ( n +1)/2 3.如果U 1和U 2都是线性空间V 的子空间，若dim U 1=dim U 2，而且12U U ?，证明：U 1=U 2。 证明：因为dim U 1=dim U 2，故设 {}12,,,r ααα为空间U 1的一组基，{}12,,,r βββ为空间U 2的一组基 2U γ?∈，有 ()12 r X γγβββ= 而 ()()12 12r r C αααβββ=，C 为过渡矩阵，且可逆 于是 ()()()112 12121r r r X C X Y U γγγγβββαααααα-===∈ 由此，得 21 U U ?
工程矩阵理论试卷 一、假如n n A C ?∈。 1、记} { ()n n V A X C AX XA ?===。证明：()V A 是n n C ?的子空间。 2、若A 是单位矩阵，求()V A 。 3、若2n =，0011A ?? = ?-?? 。求这里V （A ）的一组基及其维数。 4、假如} { 22 ()W A X C AX O ?===。问：对上一题中的()V A 和()W A ，()()V A W A +是否为直和？ 说明理由。 解： 1、证明子空间，即为证明该空间关于加法和数乘封闭。即若有,()x y V A ∈，()()x y V A +∈，()kx V A ∈。 设,()x y V A ∈，k F ∈， ()()A x y Ax Ay xA yA x y A +=+=+=+，()()x y V A +∈∴ ()()A kx kAx kxA kx A ===， ()kx V A ∈∴ ∴()V A 是n n C ?的子空间。 2、若A 是单位矩阵，则} { ()n n V A X C IX XI ?===，因为对单位阵I 来说，IX XI =恒成立，故， ()n n V A C ?=。 3、若2n =，0011A ??= ?-??，设a b X c d ?? = ??? ，有AX XA =，即， 00001111000a b a b c d c d b b a c b d d d b a c d b d d ???????? = ??? ???--???????? -????= ? ?---????=?? -=??-=-? ，→ 有0b a c d =??-=?，故0a X c a c ??= ?-??=0000a c c a ????+ ? ?-???? 故X 的一组基为00101101,???? ? ?-???? ，维数为2。