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2016合肥一中高考总复习平面向量专题

2016高考总复习平面向量专题(A )

1. 已知向量a =(1,2),b =(2,0),若向量λa +b 与向量c =(1,-2)共线,则实

数λ等于( )

A .-2

B .-1

3 C .-1 D .-23

[答案] C

[解析] λa +b =(λ,2λ)+(2,0)=(2+λ,2λ), ∵λa +b 与c 共线,

∴-2(2+λ)-2λ=0,∴λ=-1.

2. (文)已知向量a =(3,1),b =(0,1),c =(k ,3),若a +2b 与c 垂直,则k

=( ) A .-1 B .- 3 C .-3 D .1

[答案] C

[解析] a +2b =(3,1)+(0,2)=(3,3), ∵a +2b 与c 垂直,∴(a +2b )·c =3k +33=0, ∴k =-3.

(理)已知a =(1,2),b =(3,-1),且a +b 与a -λb 互相垂直,则实数λ的值为( )

A .-611

B .-116 C.611 D.116

[答案] C

[解析] a +b =(4,1),a -λb =(1-3λ,2+λ), ∵a +b 与a -λb 垂直,

∴(a +b )·(a -λb )=4(1-3λ)+1×(2+λ)=6-11λ=0,∴λ=6

11.

3. 设非零向量a 、b 、c 满足|a |=|b |=|c |,a +b =c ,则向量a 、b 间的夹角为( )

A .150°

B .120°

C .60°

D .30°

[答案] B

[解析] 如图,在?ABCD 中,

∵|a |=|b |=|c |,c =a +b ,∴△ABD 为正三角形, ∴∠BAD =60°,∴〈a ,b 〉=120°,故选B.

(理)向量a ,b 满足|a |=1,|a -b |=3

2,a 与b 的夹角为60°,则|b |=( ) A.12 B.1

3 C.1

4 D.15

[答案] A

[解析] ∵|a -b |=32,∴|a |2+|b |2-2a ·b =3

4, ∵|a |=1,〈a ,b 〉=60°,

设|b |=x ,则1+x 2-x =34,∵x >0,∴x =12. 4. 若AB →·BC →+AB →2

=0,则△ABC 必定是( )

A .锐角三角形

B .直角三角形

C .钝角三角形

D .等腰直角三角形 [答案] B

[解析] AB →·BC →+AB →2=AB →·(BC →+AB →)=AB →·AC →=0,∴AB →⊥AC →,

∴AB ⊥AC ,∴△ABC 为直角三角形.

5. (文)若向量a =(1,1),b =(1,-1),c =(-2,4),则用a ,b 表示c 为( )

A .-a +3b

B .a -3b

C .3a -b

D .-3a +b

[答案] B

[解析] 设c =λa +μb ,则(-2,4)=(λ+μ,λ-μ), ∴??? λ+μ=-2λ-μ=4,∴???

λ=1μ=-3

,∴c =a -3b ,故选B. (理)在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 交于O ,E 是线段OD 的中点,AE 的延长线与CD 交于点F ,若AC

→=a ,BD →=b ,则AF →等于( ) A.14a +12b B.23a +13b C.12a +14b D.13a +23b [答案] B

[解析] ∵E 为OD 的中点,∴BE →=3ED →,

∵DF ∥AB ,∴|AB ||DF |=|EB |

|DE |,

∴|DF |=13|AB |,∴|CF |=23|AB |=2

3|CD |, ∴AF

→=AC →+CF →=AC →+23CD →=a +23(OD →-OC →) =a +23(12b -12a )=23a +1

3b .

6. 若△ABC 的三边长分别为AB =7,BC =5,CA =6,则AB →·BC

→的值为( )

A .19

B .14

C .-18

D .-19

[答案] D

[解析] 据已知得cos B =72+52-622×7×5=1935,故AB →·BC

→=|AB →|×|BC →|×(-cos B )

=7×5×? ??

??

-1935=-19.

7. 若向量a =(x -1,2),b =(4,y )相互垂直,则9x +3y 的最小值为( )

A .12

B .2 3

C .3 2

D .6

[答案] D

[解析] a ·b =4(x -1)+2y =0,∴2x +y =2,∴9x +3y =32x +3y ≥232x +y =6,等号在x =1

2,y =1时成立.

8. 若A ,B ,C 是直线l 上不同的三个点,若O 不在l 上,存在实数x 使得x 2OA

+xOB →+BC →=0,实数x 为( ) A .-1 B .0 C.

-1+5

2

D.1+52 [答案] A

[解析] x 2OA

→+xOB →+OC →-OB →=0,∴x 2OA →+(x -1)OB →+OC →=0,由向量共

线的充要条件及A 、B 、C 共线知,1-x -x 2=1,∴x =0或-1,当x =0时,BC →

=0,与条件矛盾,∴x =-1.

9. (文)已知P 是边长为2的正△ABC 边BC 上的动点,则AP →·(AB

→+AC →)( )

A .最大值为8

B .最小值为2

C .是定值6

D .与P 的位置有关

[答案] C

[解析] 以BC 的中点O 为原点,直线BC 为x 轴建立如图坐标系,则B (-1,0),C (1,0),A (0,3),AB

→+AC →=(-1,-3)+(1,-3)=(0,-23), 设P (x,0),-1≤x ≤1,则AP

→=(x ,-3),

∴AP →·(AB →+AC →)=(x ,-3)·(0,-23)=6,故选C.

(理)在△ABC 中,D 为BC 边中点,若∠A =120°,AB →·AC →=-1,则|AD →|的

最小值是( )

A.12

B.3

2 C. 2 D.22

[答案] D

[解析] ∵∠A =120°,AB →·AC →=-1,

∴|AB →|·|AC →|·cos120°=-1, ∴|AB →|·|AC

→|=2, ∴|AB →|2+|AC →|2≥2|AB →|·|AC

→|=4, ∵D 为BC 边的中点,∴AD →=12(AB →+AC →),∴|AD →|2=14(|AB →|2+|AC →|2+2AB →·AC

→)=14(|AB →|2+|AC →|2-2)≥14(4-2)=1

2,

∴|AD

→|≥22

.

10. 如图所示,点P 是函数y =2sin(ωx +φ)(x ∈R ,ω>0)的图象的最高点,M ,N

是该图象与x 轴的交点,若PM →·PN

→=0,则ω的值为( )

A.π8

B.π4 C .4 D .8

[答案] B

[解析] ∵PM →·PN →=0,∴PM ⊥PN ,又P 为函数图象的最高点,M 、N 是该

图象与x 轴的交点,∴PM =PN ,y P =2,∴MN =4,∴T =2πω=8,∴ω=π4. 11. 如图,一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ,AD 分别交于E 、F 两点,

且交其对角线于K ,其中AE →=13AB →,AF →=12AD →,AK →=λAC

→,则λ的值为( )

A.15

B.1

4 C.13 D.12

[答案] A

[解析] 如图,取CD 的三等分点M 、N ,BC 的中点Q ,则EF ∥DG ∥BM ∥NQ ,易知AK

→=1

5AC →,∴λ=1

5

.

12. 已知向量a =(2,3),b =(-1,2),若m a +4b 与a -2b 共线,则m 的值为( )

A.1

2 B .2 C .-2 D .-1

2

[答案] C

[解析] m a +4b =(2m -4,3m +8),a -2b =(4,-1), 由条件知(2m -4)·(-1)-(3m +8)×4=0, ∴m =-2,故选C.

13. 在△ABC 中,C =90°,且CA =CB =3,点M 满足BM →=2MA →,则CM →·CB

→等于( ) A .2 B .3 C .4 D .6 [答案] B

[解析] CM →·CB →

=(CA →+AM →)·CB → =(CA →+13

AB →)·CB

=CA →·CB →+13AB →·CB → =13|AB →|·|CB →|·cos45° =13×32×3×22=3.

14. 在正三角形ABC 中,D 是BC 上的点,AB =3,BD =1,则AB →·AD

→=________.

[答案] 15

2

[解析] 由条件知,|AB →|=|AC →|=|BC →|=3,〈AB →,AC →〉=60°,〈AB →,CB →〉=

60°,CD

→=23

CB →, ∴AB →·AD →=AB →·(AC →+CD →)=AB →·AC →+AB →·23CB →

=3×3×cos60°+

23×3×3×cos60°=15

2.

15. 已知向量a =(3,4),b =(-2,1),则a 在b 方向上的投影等于________.

[答案] -25

5

[解析] a 在b 方向上的投影为a ·b |b |=-25

=-25

5.

16. 已知向量a 与b 的夹角为2π

3,且|a |=1,|b |=4,若(2a +λb )⊥a ,则实数λ=

________. [答案] 1

[解析] ∵〈a ,b 〉=2π3,|a |=1,|b |=4,∴a ·b =|a |·|b |·cos 〈a ,b 〉=1×4×cos 2π

3=-2,∵(2a +λb )⊥a ,∴a ·(2a +λb )=2|a |2+λa ·b =2-2λ=0,∴λ=1.

17. 已知:|OA →|=1,|OB →|=3,OA →·OB →

=0,点C 在∠AOB 内,且∠AOC =30°,

设OC →=mOA →+nOB →(m ,n ∈R +

),则m n =________. [答案] 3

[解析] 设mOA

→=OF →,nOB →=OE →,则OC →=OF →+OE →,

∵∠AOC =30°,∴|OC →|·cos30°=|OF →|=m |OA →|=m ,

|OC →|·sin30°=|OE

→|=n |OB →|=3n , 两式相除得:m 3n =|OC →

|cos30°|OC

→|sin30°=1tan30°=3,∴m

n =3.

18. (文)设i 、j 是平面直角坐标系(坐标原点为O )内分别与x 轴、y 轴正方向相同

的两个单位向量,且OA →=-2i +j ,OB →=4i +3j ,则△OAB 的面积等于

________. [答案] 5

[解析] 由条件知,i 2=1,j 2=1,i ·j =0,∴OA →·OB →=(-2i +j )·

(4i +3j )=-8+3=-5,又OA →·OB →=|OA →|·|OB →|·cos 〈OA →,OB →〉=55cos 〈OA →,OB →〉,

∴cos 〈OA

→,OB →〉=-55,∴sin 〈OA →,OB →〉=255,

∴S △OAB =12|OA →|·|OB →|·sin 〈OA

→,OB →〉=12×5×5×255

=5.

(理)三角形ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 所对的边,能得出三角形ABC 一定是锐角三角形的条件是________(只写序号)

①sin A +cos A =15 ②AB →·BC →

<0 ③b =3,c =33,B =30° ④tan A +tan B +tan C >0.

[答案] ④

[解析] 若A 为锐角,则sin A +cos A >1,∵sin A +cos A =1

5,∴A 为钝角,∵AB →·BC →<0,∴BA →·BC →>0,∴∠B 为锐角,由∠B 为锐角得不出△ABC 为锐角三角形;由正弦定理b sin B =c sin C 得,3sin30°=33sin C ,∴sin C =32,∴C =60°或120°,∵c ·sin B =332,3<332<33,∴△ABC 有两解,故①②③都不能得出△ABC 为锐角三角形.

④由tan A +tan B +tan C =tan(A +B )(1-tan A tan B )+tan C =-tan C (1-tan A tan B )+tan C =tan A tan B tan C >0,及A 、B 、C ∈(0,π),A +B +C =π知A 、B 、C 均为锐角,

∴△ABC 为锐角三角形.

19. 已知平面向量a =(1,x ),b =(2x +3,-x ).

(1)若a ⊥b ,求x 的值. (2)若a ∥b ,求|a -b |. [解析] (1)若a ⊥b ,

则a ·b =(1,x )·(2x +3,-x )=1×(2x +3)+x (-x )=0, 整理得x 2-2x -3=0,解得x =-1或x =3. (2)若a ∥b ,则有1×(-x )-x (2x +3)=0, 则x (2x +4)=0,解得x =0或x =-2, 当x =0时,a =(1,0),b =(3,0), ∴|a -b |=|(1,0)-(3,0)|=|(-2,0)| =(-2)2+02=2,

当x =-2时,a =(1,-2),b =(-1,2), ∴|a -b |=|(1,-2)-(-1,2)|=|(2,-4)| =22+(-4)2=2 5.

20. 已知向量a =(sin x ,-1),b =(3cos x ,-1

2),函数f (x )=(a +b )·a -2.

(1)求函数f (x )的最小正周期T ;

(2)将函数f (x )的图象向左平移π

6上个单位后,再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍,得到函数g (x )的图象,求函数g (x )的解析式及其对称中心坐标.

[解析] (1)f (x )=(a +b )·a -2=a 2+a ·b -2 =sin 2x +1+3sin x cos x +12-2 =

1-cos2x 2+32sin2x -12=32sin2x -1

2cos2x

=sin(2x -π6), ∴周期T =2π

2=π.

(2)向左平移π6个单位得,y =sin[2(x +π6)-π

6] =sin(2x +π

6),横坐标伸长为原来的3倍得,

g (x )=sin(23x +π

6),

令23x +π6=k π得对称中心为(3k π2-π

4,0),k ∈Z .

21. (文)三角形的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ,设向量m =(c

-a ,b -a ),n =(a +b ,c ),若m ∥n . (1)求角B 的大小;

(2)若sin A +sin C 的取值范围. [解析] (1)由m ∥n 知c -a a +b =b -a

c ,

即得b 2=a 2+c 2-ac ,据余弦定理知 cos B =12,得B =π3.

(2)sin A +sin C =sin A +sin(A +B )=sin A +sin(A +π

3)

=sin A +12sin A +32cos A =32sin A +3

2cos A =3sin(A +π

6),

∵B =π3,∴A +C =2π3,∴A ∈(0,2π3), ∴A +π6∈(π6,5π6),∴sin(A +π6)∈(1

2,1], ∴sin A +sin C 的取值范围为(3

2,3].

(理)在钝角三角形ABC 中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边,m =(2b -c ,cos C ),n =(a ,cos A ),且m ∥n .

(1)求角A 的大小;

(2)求函数y =2sin 2B +cos(π

3-2B )的值域. [解析] (1)由m ∥n 得(2b -c )cos A -a cos C =0, 由正弦定理得2sin B cos A -sin C cos A -sin A cos C =0, ∵sin(A +C )=sin B , ∴2sin B cos A -sin B =0,

∵B 、A ∈(0,π),∴sin B ≠0,∴A =π

3. (2)y =1-cos2B +12cos2B +3

2sin2B =1-12cos2B +32sin2B =sin(2B -π

6)+1, 当角B 为钝角时,角C 为锐角,则 ?????

π2

0<2π3-B <π2

?π2

3,

∴5π6<2B -π6<7π6,∴sin(2B -π6)∈(-12,12), ∴y ∈(12,32).

当角B 为锐角时,角C 为钝角,则

?????

0

?0

6,

∴-π6<2B -π6<π6,∴sin(2B -π6)∈(-12,12), ∴y ∈(12,32),

综上,所求函数的值域为(12,3

2).

22. 设函数f (x )=a ·b ,其中向量a =(2cos x,1),b =(cos x ,3sin2x ),x ∈R .

(1)若f (x )=1-3且x ∈[-π3,π

3],求x ;

(2)若函数y =2sin2x 的图象按向量c =(m ,n )(|m |<π

2)平移后得到函数y =f (x )的图象,求实数m 、n 的值.

[解析] (1)依题设,f (x )=2cos 2x +3sin2x =1+2sin(2x +π

6).

由1+2sin(2x +π6)=1-3,得sin(2x +π6)=-3

2, ∵-π3≤x ≤π3,∴-π2≤2x +π6≤5π6, ∴2x +π6=-π3,即x =-π4.

(2)函数y =2sin2x 的图象按向量c =(m ,n )平移后得到函数y =2sin2(x -m )+n 的图象,即函数y =f (x )的图象.

由(1)得f (x )=2sin2(x +π

12)+1. ∵|m |<π2,∴m =-π

12,n =1.

23. 已知向量OP →=(2cos x +1,cos2x -sin x +1),OQ →=(cos x ,-1),f (x )=OP →·OQ

→.

(1)求函数f (x )的最小正周期;

(2)当x ∈[0,π

2]时,求函数f (x )的最大值及取得最大值时的x 值.

[解析] (1)∵OP →=(2cos x +1,cos2x -sin x +1),OQ →

=(cos x ,-1), ∴f (x )=OP →·OQ →=(2cos x +1)cos x -(cos2x -sin x +1)

=2cos 2x +cos x -cos2x +sin x -1 =cos x +sin x =2sin(x +π4), ∴函数f (x )最小正周期T =2π. (2)∵x ∈[0,π2],∴x +π4∈[π4,3π

4],

∴当x +π4=π2,即x =π4时,f (x )=2sin(x +π

4)取到最大值 2.

24. △ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,向量m =(-1,1),n

=(cos B cos C ,sin B sin C -3

2),且m ⊥n . (1)求A 的大小;

(2)现在给出下列三个条件:①a =1;②2c -(3+1)b =0;③B =45°,试从中选择两个条件以确定△ABC ,求出所确定的△ABC 的面积.

(注:只需要选择一种方案答题,如果用多种方案答题,则按第一方案给分). [解析] (1)因为m ⊥n ,

所以-cos B cos C +sin B sin C -3

2=0,

即cos B cos C -sin B sin C =-32,所以cos(B +C )=-3

2, 因为A +B +C =π,所以cos(B +C )=-cos A , 所以cos A =3

2,A =30°.

(2)方案一:选择①②,可确定△ABC , 因为A =30°,a =1,2c -(3+1)b =0,

由余弦定理得,12

=b 2

+(3+12b )2-2b ·3+12b ·32

解得b =2,所以c =6+2

2,

所以S △ABC =12bc sin A =1

2·2·6+22·12=

3+14,

方案二:选择①③,可确定△ABC , 因为A =30°,a =1,B =45°,C =105°,

又sin105°=sin(45°+60°)=sin45°cos60°+cos45°sin60°=6+24,

由正弦定理c =a sin C sin A =1·sin105°sin30°=6+22, 所以S △ABC =12ac sin B =1

2·1·6+22·22=3+14. (注意:选择②③不能确定三角形)

(理)如图,⊙O 方程为x 2+y 2=4,点P 在圆上,点D 在x 轴上,点M 在DP 延长线上,⊙O 交y 轴于点N ,DP

→∥ON →,且DM

→=32

DP →.

(1)求点M 的轨迹C 的方程;

(2)设F 1(0,5)、F 2(0,-5),若过F 1的直线交(1)中曲线C 于A 、B 两点,求F 2A →·F 2B →的取值范围.

[解析] (1)设P (x 0,y 0),M (x ,y ), ∵DM →=32DP →,∴???

??

y =32y 0x =x 0,∴?????

y 0=23y

x 0=x

代入

x 2

0+y 20=4

得,x 24+y 2

9=1.

(2)①当直线AB 的斜率不存在时,显然F 2A →·F 2B →

=-4,

②当直线AB 的斜率存在时,不妨设AB 的方程为:y =kx +5,

由????

?

y =kx +5x 24+y 2

9

=1得,(9+4k 2)x 2+85kx -16=0,

不妨设A 1(x 1,y 1),B (x 2,y 2),则 ?

????

x 1+x 2=-85k 9+4k 2

x 1x 2=-169+4k 2,

F 2A →·F 2B →=(x 1,y 1+5)·(x 2,y 2+5)=(x 1,kx 1+25)·(x 2,kx 2+25)=(1+k 2)x 1x 2+25k (x 1+x 2)+20

=-16(1+k 2)9+4k 2+-80k 29+4k 2+20=-96k 2-169+4k 2+20

=-4+

200

9+4k 2

, ∵k 2≥0,∴9+4k 2≥9,∴0<2009+4k 2≤

200

9, ∴-4

B →

≤1649,

综上所述,F 2A →·F 2

B →

的取值范围是(-4,1649].

25. 在平面直角坐标系内,已知两点A (-1,0)、B (1,0),若将动点P (x ,y )的横坐

标保持不变,纵坐标扩大到原来的2倍后得到点Q (x ,2y ),且满足AQ →·BQ →

=1.

(1)求动点P 所在曲线C 的方程;

(2)过点B 作斜率为-22的直线l 交曲线C 于M 、N 两点,且OM

→+ON →+OH →=0,又点H 关于原点O 的对称点为点G ,试问M 、G 、N 、H 四点是否共圆?若共圆,求出圆心坐标和半径;若不共圆,请说明理由.

[解析] (1)设点P 的坐标为(x ,y ),则点Q 的坐标为(x ,2y ), 依据题意得,AQ

→=(x +1,2y ),BQ →=(x -1,2y ).

∵AQ →·BQ

→=1,∴x 2-1+2y 2=1.

∴动点P 所在曲线C 的方程是x 22+y 2

=1. (2)因直线l 过点B ,且斜率为k =-2

2, ∴l :y =-2

2(x -1),

联立方程组???

??

x 22+y 2=1

y =-2

2(x -1)

,消去y 得,2x 2-2x -1=0.

设M (x 1,y 1)、N (x 2,y 2), ∴?????

x 1+x 2

=1,x 1x 2

=-1

2,

∴y 1+y 2=-22(x 1-1)-2

2(x 2-1) =-22(x 1+x 2)+2=22.

由OM →+ON →+OH →=0得,OH →=(-x 1-x 2,-y 1-y 2), 即H (-1,-22),

而点G 与点H 关于原点对称,∴G (1,2

2),

设线段MN 、GH 的中垂线分别为l 1和l 2,k GH =2

2,则有 l 1:y -24=2(x -1

2),l 2:y =-2x .

联立方程组??

?

y -24=2(x -12),

y =-2x

解得l 1和l 2的交点为O 1(18,-2

8). 因此,可算得|O 1H |=

(98)2+(328)2=3118,

|O 1M |=

(x 1-18)2+(y 1+28)2=3118.

所以M 、G 、N 、H 四点共圆,且圆心坐标为O 1(18,-28),半径为311

8.

2016高考总复习平面向量专题(B )

一、选择题

1.(文)(2016·东北师大附中)已知|a |=6,|b |=3,a ·b =-12,则向量a 在向量b 方向上的投影是( )

A .-4

B .4

C .-2

D .2

[答案] A

[解析] a 在b 方向上的投影为 a ·b |b |=-12

3=-4.

(理)(2016·浙江绍兴调研)设a ·b =4,若a 在b 方向上的投影为2,且b 在a 方向上的投影为1,则a 与b 的夹角等于( )

A.π

6 B.π3 C.2π3

D.π3或2π3

[答案] B

[解析] 由条件知,a ·b |b |=2,a ·b

|a |=1,a ·b =4, ∴|a |=4,|b |=2,

∴cos 〈a ,b 〉=a ·b |a |·|b |=44×2=

12, ∴〈a ,b 〉=π

3.

2.(文)(2016·云南省统考)设e 1,e 2是相互垂直的单位向量,并且向量a =3e 1+2e 2,b =x e 1+3e 2,如果a ⊥b ,那么实数x 等于( )

A .-9

2 B.92 C .-2

D .2

[答案] C

[解析] 由条件知|e 1|=|e 2|=1,e 1·e 2=0, ∴a ·b =3x +6=0,∴x =-2.

(理)(2016·四川广元市质检)已知向量a =(2,1),b =(-1,2),且m =t a +b ,n =a -k b (t 、k ∈R ),则m ⊥n 的充要条件是( )

A .t +k =1

B .t -k =1

C .t ·k =1

D .t -k =0

[答案] D

[解析] m =t a +b =(2t -1,t +2),n =a -k b =(2+k,1-2k ),∵m ⊥n ,∴m ·n =(2t -1)(2+k )+(t +2)(1-2k )=5t -5k =0,∴t -k =0.

3.(文)(2016·湖南湘潭质检理)在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =4,则AB →·AC →等于( )

A .-16

B .-8

C .8

D .16

[答案] D

[解析] 因为∠C =90°,所以AC →·CB →=0,所以AB →·AC →=(AC →+CB →)·AC →=|AC →|2+AC →·CB

→=AC 2=16. (理)(2016·天津质检文)如图,在△ABC 中,AD ⊥AB ,BC →=3BD →,|AD →|=1,

则AC →·AD

→=( )

A .2 3 B.3

2 C.3

3

D. 3

[答案] D

[解析] ∵AC

→=AB →+BC →=AB →+3BD →,

∴AC →·AD →=(AB →+3BD →)·AD →=AB →·AD →+3BD →·AD →, 又∵AB ⊥AD ,∴AB →·AD

→=0, ∴AC →·AD →=3BD →·AD →=3|BD →|·|AD →|·cos ∠ADB

=3|BD →|·cos ∠ADB =3·|AD →|= 3.

4.(2016·湖南省湘潭市)设非零向量a 、b 、c 满足|a |=|b |=|c |,a +b =c ,则〈a ,b 〉=( )

A .150°

B .120°

C .60°

D .30°

[答案] B

[解析] ∵a +b =c ,|a |=|b |=|c |≠0, ∴|a +b |2=|c |2=|a |2,∴|b |2+2a ·b =0, ∴|b |2+2|a |·|b |·cos 〈a ,b 〉=0, ∴cos 〈a ,b 〉=-12,

∵〈a ,b 〉∈[0°,180°],∴〈a ,b 〉=120°.

5.(2016·四川双流县质检)已知点P 在直线AB 上,点O 不在直线AB 上,且存在实数t 满足OP →=2tP A →+tOB →

,则|P A →

||PB →|

=( )

A.1

3 B.12 C .2

D .3

[答案] B

[解析] ∵OP →=2t (OA →-OP →)+tOB →,

∴OP

→=2t 2t +1OA →+t 2t +1

OB →

, ∵P 在直线AB 上,∴2t 2t +1+t

2t +1

=1,∴t =1, ∴OP →

=23OA →+13OB →,

∴P A →=OA

→-OP →=13OA →-13OB →, PB →=OB →-OP →=23OB →-23OA →=-2P A →

∴|P A →

||PB →|

=12.

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