海淀区高三年级第二学期期末练习
数学(文)答案及评分参考 2015.5
一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分)
(1)B (2)D (3)A (4)C
(5)D (6)C (7)B (8)C
二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分。有两空的小题,第一空2分,第二空3分)
(9)24y x =- (10)1 (11)12
π- (12),2.4
αβπ?=???π?=-?? (13)3-,327e y -=-
(14)假,由①②③可知只使用一种网络浏览器的人数是212+374=586,这与④矛盾
三、解答题(共6小题,共80分)
(15)(共13分)
解:(Ⅰ)πππ113()4sin
cos 4663222
f =-=?-=. ………………4分 (Ⅱ)因为 ()4sin cos 2f x x x =- 24sin (12sin )x x =-- ………………6分
22sin 4sin 1x x =+-
22(sin 1)3x =+-. ………………8分
因为 1sin 1x -≤≤,
所以 当sin 1x =-,即2,2
x k k π=π-∈Z 时,()f x 取得最小值3-. ………………13分
(16)(共13分)
解.(Ⅰ) 20名女生掷实心球得分如下:5,6,7,7,7,7,7,7,8,8,8,9,9,9,9,9,9,9,10,10.所以中位数为8,众数为9. ………………4分
(Ⅱ) 由题意可知,掷距离低于7.0米的男生的得分如下:4,4,4,6,6,6.这6名男生分别记为
123123,,,,,A A A B B B .从这6名男生中随机抽取2名男生,所有可能的结果有15种,它们是:
121311121323212223(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)A A A A A B A B A B A A A B A B A B ,
313233121323(,),(,),(,),(,),(,),(,)A B A B A B B B B B B B . ………………6分
用C 表示“抽取的2名男生得分均为4分”这一事件,则C 中的结果有3个,它们是:
121323(,),(,),(,)A A A A A A . ………………8分 所以,所求得概率31()155
P C ==. ………………9分 (Ⅲ)略. ………………13分
评分建议:从平均数、方差、极差、中位数、众数等角度对整个年级学生掷实心球项目的情况进行
合理的说明即可;也可以对整个年级男、女生该项目情况进行对比;或根据目前情况对学生今后在
该项目的训练提出合理建议.
(17)(共14分)
(Ⅰ)解:四棱准P ABCD -的正视图如图所示.
………………3分
(Ⅱ)证明:因为 PD ⊥平面ABCD ,AD ?平面ABCD ,
所以 PD AD ⊥. ………………5分
因为 AD DC ⊥,PD CD D =,PD ?平面PCD ,CD ?平面PCD ,
所以AD ⊥平面PCD . ………………7分
因为 AD ?平面PAD ,
所以 平面PAD ⊥平面PCD . ………………8分
(Ⅲ)分别延长,CD BA 交于点O ,连接PO ,在棱PB 上取一点E ,使得
12
PE EB =.下证//AE 平面PCD .
………………10分
因为 //AD BC ,3BC AD =,
所以
13OA AD OB BC ==,即12
OA AB =. 所以 OA PE AB EB
=. 所以 //AE OP . ………………12分
因为OP ?平面PCD ,AE ?平面PCD , 所以 //AE 平面PCD . ………………14分
(18)(共13分)
解:(Ⅰ)因为数列{}n a 是首项为2,公比为2的等比数列,
所以 1222n n n a -=?=. ………………2分
所以 222log 2log 22n n n b a n ===. ………………3分
所以 2(22)24+22
n n n S n n n +=++==+. ………………6分 (Ⅱ)令2(1)22n n n n n S n n n n c a ++===. 则11111(1)(2)(1)(1)(2)222
n n n n n n n n n S S n n n n n n c c a a +++++++++--=-=-=. ………………9分 所以 当1n =时,12c c <;
当2n =时,32c c =;
当3n ≥时,10n n c c +-<,即345c c c >>>
. 所以 数列{}n c 中最大项为2c 和3c .
所以 存在2k =或3,使得对任意的正整数n ,都有
k n k n S S a a ≥. ………………13分 (19)(共13分)
解:(Ⅰ)'()1,0.a a x f x x x x
-=-=> ………………2分 当0a <时,对(0,)x ?∈+∞,'()0f x <,所以 ()f x 的单调递减区间为(0,)+∞;
………………4分
O E D C B A P
当0a >时,令'()0f x =,得x a =.
因为 (0,)x a ∈时,'()0f x >;(,)x a ∈+∞时,'()0f x <.
所以 ()f x 的单调递增区间为(0,)a ,单调递减区间为(,)a +∞. ………………6分
(Ⅱ)用max min (),()f x f x 分别表示函数()f x 在[1,e]上的最大值,最小值.
当1a ≤,且0a ≠时,由(Ⅰ)知:在[1,e]上,()f x 是减函数.
所以 max ()(1)1f x f ==.
因为 对任意的1[1,e]x ∈,2[1,e]x ∈, 12()()2(1)24f x f x f +≤=<,
所以对任意的1[1,e]x ∈,不存在2[1,e]x ∈,使得12()()4f x f x +=. ………………8分
当1e a <<时,由(Ⅰ)知:在[1,]a 上,()f x 是增函数,在[,e]a 上,()f x 是减函数.
所以 max ()()ln 2f x f a a a a ==-+.
因为 对11x =,2[1,e]x ?∈,
2(1)()(1)()1ln 2(ln 1)33f f x f f a a a a a a +≤+=+-+=-+<,
所以 对11[1,e]x =∈,不存在2[1,e]x ∈,使得12()()4f x f x +=. ………………10分
当e a ≥时,令()4()([1,e])g x f x x =-∈.
由(Ⅰ)知:在[1,e]上,()f x 是增函数,进而知()g x 是减函数.
所以 min ()(1)1f x f ==,max ()(e)e 2f x f a ==-+,
max ()(1)4(1)g x g f ==-,min ()(e)4(e)g x g f ==-.
因为 对任意的1[1,e]x ∈,总存在2[1,e]x ∈,使得12()()4f x f x +=,即12()()f x g x =,
所以 (1)(e),(e)(1),f g f g ≥??≤?即(1)(e)4,(e)(1) 4.
f f f f +≥??+≤?
所以 (1)(e)e 34f f a +=-+=,解得e 1a =+. ………………13分
综上所述,实数a 的值为e 1+.
(20)(共14分)
(Ⅰ)解:点10M (,)是椭圆C 的“1分点”,理由如下: ………………1分
当直线l 的方程为1x =时,由2114y +=可得33(1,),(1,)22
A B -.(不妨假设点A 在x 轴的上方) 所以 13=13=22AOB S ???,133=2=222
AOD S ???. 所以AOB AOD S S ??=,即点10M (,)是椭圆C 的“1分点”. ………………4分
(Ⅱ)证明:假设点M 为椭圆C 的“2分点”,则存在过点M 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点,
使得2AOB AOD S S ??=.
显然直线l 不与y 轴垂直,设:1l x my =+,1122(,),(,)A x y B x y . 由2
21,41x y x my ?+=???=+?
得 22(4)230m y my ++-=.
所以 12224m y y m -+=+, ① 12234
y y m -=+. ② ………………6分 因为 2AOB AOD S S ??=,
所以 12111(||||)22||22
y y y +=??,即21||3||y y =. ………………8分 由②可知120y y <,所以213y y =-. ③
将③代入①中得 124
m y m =
+, ④ 将③代入②中得21214y m =+, ⑤ 将④代入⑤中得 2
214
m m =+,无解. 所以 点10M (,)不是椭圆C 的“2分点”. ………………10分
(Ⅲ)0x 的取值范围为(2,1)
(1,2)--. ………………14分