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数学教学中的动点与移动问题

数学教学中的动点与移动问题
数学教学中的动点与移动问题

哈尔滨学院本科毕业论文(设计)题目:中学几何中的定值问题探究

院(系)理学院

专业数学与应用数学

年级2009级

姓名于春红学号09031413

指导教师黄永辉职称副教授

2013年5月30日

毕业论文(设计)评语及成绩

目录

摘要 (1)

ABSTRACT (2)

前言 (3)

第一章常见的定值问题 (4)

1.1 定点 (4)

1.2 定线段 (5)

1.3 定和 (7)

1.4 定差 (9)

1.5定比值 (9)

1.6 定积 (11)

1.7定角 (12)

1.8定形 (13)

1.9定周长 (14)

1.10 定面积 (16)

1.11 定体积 (18)

第二章定值问题的求解策略 (19)

2.1 定义法 (19)

2.2 设参消参法 (20)

2.3 分离参数法 (21)

2.4 特殊位置法求定值 (22)

2.5 函数法求定值 (23)

2.6 相似法求定值 (24)

2.7 三角函数法求定值 (25)

参考文献 (27)

致谢 (28)

摘要

中学几何中的定值问题一直是近几年来考题中的热点之一。由于这类题型在解题之前不知道定值的结果,因而对解题者增添了一定的难度。解决这类问题时,要善于在动点的“变”中寻求定值的“不变”性,常通过对一些特殊值、特殊位置、特殊图形等的特殊探索先确定出定值,再转化为有方向、有目标的一般性证明题,从而达到解决问题的目的。本文首先通过具体的例子来将几何定值问题分为十类,再通过分析题目中变动部分与固定部分的关系,图中变动部分的特殊位置和固定部分之间的关系,从思维策略上阐述了利用定义、设参消参、分离参数特殊位置法、函数法、相似法等方法探求了平面几何的定值问题求解思路。

关键词:中学几何;定值问题;求解策略

ABSTRACT

Middle school geometry in setting value question has been the hotspot in recent years examination questions. Because this kind of questions in solving problems fixed value before the results don't know who to problem solving, and added some difficulties. To solve this kind of problem, wants to be good in the fixed point "change" for setting value "unchanged" sex, often through some special value, special position, special graphics to determine the special explore a fixed value, again into a direction and goal of general proof, thus achieved the problem solving problem of purpose. This paper firstly by specific examples to will geometric value problem into six types, again through analyzing the title change in part and fixed part of relations, figure change in part of the special position and the relationship between the fixed part, and applying special position method, function method, similar methods including explore the value of plane geometry. Finally expounded from thinking strategies by definition, ginseng and eliminating parameters. trigonometric function, separation parameter solving geometry in setting value problem, the thinking method in thought further distillation.

Key words:Middle school geometry; Setting value problem; Search; Solving strategy

前言

在几何中,我们经常会遇到一类问题,就是探究在什么条件下才能使某个对象为定值。解析几何中的这类探究型定值问题是中学数学的重要问题,求解这类问题需要综合运用解析几何和代数的相关知识与方法,因此是高考命题的一个重点。由于条件与定值均需探究,对考生分析问题和解决问题的能力提出了更高的要求,因此,探究中学几何中的定值问题求解策略是十分重要的。

在动态几何问题中,当一些元素按照一定的规律在确定的范围内变化时,与它相关的另一些几何元素的某些量或其数量关系保持不变,这类问题称为几何定值问题。即指几何问题在一定条件下构成的几何图形中,某些几何元素的几何量在动态的过程中保持不变,或几何元素间的某些位置关系、某些几何性质不变的情形。定值问题由于有时甚至不知道定值的结果,而使人难以下手,给问题解决带来困难。解决这类问题时,要善于运用辩证的观点去思考分析,在“可变”的元素中寻求“不变”的量.一般可采用特殊值或特殊的位置,探得定值,如果需要的话再考虑证明;或直接推理、计算,并在计算中消去变量,从而得到定值。

在解析几何中,某些几何量在特定的关系结构中,不受相关变元的制约而恒定不变,则称该几何量具有定值特性,这类问题称之为定值问题。定值问题是备受关注的焦点之一,它体现了动与静的完美统一,其内容丰富,综合性强,难度较大,因此不少同学常常因解题策略选择不当而导致解答过程繁难、运算量大、甚至半途而废。鉴于此,研究几何中的定值问题的破解策略十分必要。

本文将从定值问题的类型、求解几何定值问题的常用方法、解决定值问题的思维策略两部分分别进行阐述,以求使读者较为系统地理解有关几何中的定值问题的求解策略及其常用方法。

第一章 常见的定值问题

在求解定值问题时,我们应将常见的定值问题进行分类,然后在“可变”的元素中寻求“不变”的量。然后再采取相应方法求解定值,可以考虑运用定义法,函数法等相应的方法求得定值。

我们着重看下面的例题,并对相应的问题进行简单的分类:

1.1 定点

直线与圆的定值问题是试题中常见的问题,下面几道例题是关于定值的常见问题。

例1 已知圆O 的方程为,122=+y x ,直线l 1过点A (3,0),且与圆O 相切,(1)求直线l 1的方程;

(2)设圆O 与x 轴交于P 、Q 两点,M 是圆O 上异于P 、Q 的任意一点,过点A 且与x 轴垂直的直线为l 2,直线PM 交直线l 2于点P ',直线QM 交直线l 2于点Q ,求证:以为Q P ''直径的圆C '总过定点,并求出定点坐标.

解 略解:(1

)3)y x =-. (2)对于圆O 方程122=+y x ,令0y =,得1x =±,即(1,0),(1,0)P Q -.又因为

直线2l 过点A 并且与x 轴垂直,所以直线2l 方程为3x =,设(,)M st ,则直线PM 方

程为

).1(1

++=

x s t

y 解方程组

3,(1)1x t y x s =??

?

=+?+?

得).14,

3('+s t P 同理也可得,).1

2,3('-s t Q 则以P Q ''为直径的圆C '的方程为

0)1

2)(14()3)(3(=--+-

+--s t

y s t y x x , 又因为,122=+t s 所以整理后得

02

61622=-+

+-+y t

s x y x , 若圆C '经过定点,只需令,0=y 从而有

,0162=+-x x

解得223±=x

所以圆C '总经过定点坐标是()

0,223±.

评注 此例题是将以直径的圆化为方程恒成立的问题,另外也可以把M 放在圆与y 轴的交点处探求。事实上首先是对直线与圆位置关系的确定,之后将其转变为定点定值问题的处理,若存在的解都可化为方程恒成立的问题,通过分离变量的方法求解就不难了,只要在平常做题时多看看,多想想,处理这类问题的能力就会相应提高。

1.2 定线段

例2 (2012年福建泉州中考)已知:A 、B 、C 不在同一直线上. (1)若点A 、B 、C 均在半径为R 的⊙O 上,

i )如图1-1,当∠A=45°时,R=1,求∠BOC 的度数和BC 的长度; ii )如图1-2,当∠A 为锐角时,求证sin ∠A=

BC

2R

; (2)若定长线段....BC 的两个端点分别在∠MAN 的两边AM 、AN (B 、C 均与点A 不重合)滑动,如图1-3,当∠MAN=60°,BC=2时,分别作BP ⊥AM ,CP ⊥AN ,交点为点P ,试探索:在整个滑动过程中,P 、A 两点的距离是否保持不变?请说明理由.

(3)

分析 (1)i )由圆周角定理得出∠BOC=2∠A=90°,然后再利用勾股定理得出BC 的长;

ii )作辅助线直径BE ,即∠E=∠A ,BE=2R ,利用sin ∠A=sin ∠E=BC BC

BE 2R

=

,得出结果即可。

(2)首先证明点A 、B 、P 、C 都在⊙K 上,再利用sin ∠A=BC

2R

,得出

AP=

BC sin60=

?,即AP 为定值。 解 (1)i )因为∠A=45°,所以∠BOC=90°(同弧所对的圆周角等于所对的圆心角的一半)。

又有R=1,即由勾股定理可得

ii )证明:连接BO 并延长交圆于点E ,再连接EC (图1-4)。 知EC ⊥BC, 且∠E=∠A,

所以sin ∠E=sin ∠A=BC BC BE 2R

=

。 (2)保持不变。理由为:

如图1-5,连接AP ,取AP 的中点K ,连接BK 、CK , 在Rt △APC 中,CK=1

2

AP=AK=KP 。 同理可得BK=AK=KP 。

因为CK=KB=AK=KP ,进而点A 、B 、P 、C 都在⊙K 上。 所以由(1)ii )sin ∠A=BC 2R 可知sin60°=BC

AP

。 所以

AP=BC sin60?(即AP 为定值)。

1.3 定和

例3 在平面直角坐标系中,△ABC 的边AB 在x 轴上且OA >OB ,以AB 为直径的圆过点C ,若点C 的坐标为(0, 2),AB=5,∠ACB 的平分线交x 轴于点D ,过点D 任作一直线l 分别交射线CA 、CB(点C 除外)于点M 、N ,则CN

CM 1

1+的值是否为定值,若是,求出定值;若不是,请说明理由.

解 过D 作DE ⊥CM 交AC 于E ,DF ⊥BC 交CN 于F 因为CD 平分∠ACB , 所以DE=DF 因为

S △CMN = S △CMD + S △CDN

所以

21CM·CN=21CM·DE+2

1CN·DF 即

CM·CN=(CM+CN)·DE

DE

CN CM CN CM 1

=

?+ 即

DE

CN CM 1

11=

+ 又因为

S △ABC = S △ACD + S △BCD

所以

21AB·CO=21AC·DE+2

1CB·DF 整理得 5×2=(AC+BC) ·DE 所以

10

1BC

AC DE +=

因为

AC 2+BC 2=AB 2=25,

21AC·BC=2

1

AB·CO 所以

AC·CB=5×2=10

所以

(AC+CB)2-2AC·CB=25

(AC+BC)2=25+20=45

所以

AC+BC=35

所以

10

5

31=DE 即

10

5311=+CN CM 所以

CN

CM 1

1+

是定值.

1.4 定差

例4 如图1-7:在⊙O 中,直径CD ⊥弦AB ,点P 在弧BDA 上运动,CP 交AB 于点Q ,BE 平分∠QBP ,BC=2. ⑴求证:CE=CB ; ⑵当点P 运动时,EP

EQ 11-的值是否发生变化,若不变,求其值;若变化,说明理由.

解 ⑴略 ⑵

EP

EQ 11-的值不发生变化 因为CO ⊥AB 并且CO 是⊙O 的半径 所以弧AC=弧CB 所以∠CBQ=∠P 又因为∠CBQ=∠PCB 所以△CBQ ∽△CPB 所以

BC

CQ

PC BC =

即PC·CQ=BC 2=4 所以(CE+PE)(CE -QE)=4 图1-7

又因为CE=CB=2 所以(2+PE)(2-QE)=4 即4-2QE+2PE -PE·QE=4 所以21=?-QE PE QE PE 即2111=-PE QE 所以PE

EQ 1

1-的值不发生变化。

1.5 定比值

例5 在平面直角坐标系xOy 中,点M 在x 轴的正半轴上,⊙M 交x 轴于A 、B 两点,交y 轴于C 、D 两点,且C 为弧AE 的中点,点A 的坐标为(-2, 0),AE=8.

⑴求点C 的坐标;

⑵过点D 作⊙M 的切线,交x 轴于点P ,动点F 在⊙M 的圆周上运动时,

PF

OF

D

值是否发生变化?若不变,求出比值;若变化,说明变化规律.

图1-8

解 ⑴C(0, 4)

⑵PF OF 的值不发生变化。 连接MD 、MF 、CM 、OF 因为PD 切⊙M 于D ,所以

MD ⊥PD ,△DOM ∽△PDM

所以

DM

OM

PM DM =

又因为 MF=MD

所以

MF

OM

PM MF =

且∠OMF=∠FMP 所以

△OMF ∽△FMP

所以

MF

OM

PF OF =

在Rt △COM 中, OC 2+OM 2=CM 2 即42+(CM -2)2=CM 2 解得 CM=5 所以

OM=5-2=3 MF=CM=5

所以

5

3

==MF OM PF OF 即PF

OF

的值不发生变化。

1.6 定积

例6 如图1-9:O 为等腰△ABC 底边BC 的中点,以O 为圆心作半圆与两腰相切于D 、E ,过半圆上任一点F 作半圆的切线,分别交AB 、AC 于M 、N . 求证:BM ·CN 的定值.

图1-9

解 连接OM 、ON 因为AB=AC 所以∠B=∠C

又因为BM 、MN 、CN 分别切⊙O 于D 、F 、E 所以

∠BMO=∠OMN ∠MNO=∠ONC 因为

∠B+∠C+∠BMN+∠CNM=360° 所以

2∠B+2∠BMO+2∠ONC=360° 即

∠B+∠BMO+∠ONC=180° 又因为

∠B+∠BMO+∠BOM=180°

M

N

O

F

E

D C

B

A

所以

∠BOM=∠ONC 所以

△BOM ∽△ONC 所以

CN OB

OC BM

BM·CN=OB·OC 又因为

OB=OC=2

1

BC 所以

BN·CN=

4

1

BC 2 所以BM·CN 为定值.

1.7 定角

例7 如图1-10:AB 是⊙O 的直径,点P 是AB 延长线上的一点,过P 点作⊙O 的切线,切点为C ,连接AC ,若点P 在AB 的延长线上运动,∠CPA 的平分线PM 交AC 于点M ,你认为∠CMP 的大小是否发生变化?若变化,请说明理由;若不变,求出∠CMP 的大小.

图1-10

解 ∠CMP 的大小不发生变化,连接CO 。 因为PC 与⊙O 相切于C ,所以OC ⊥CP

A

设∠A=x 则∠COP=2x (圆周角等于所对圆心角的一半。) 设∠APM=∠MPC=y 即∠OPC=2∠APM=2∠MPC=2y 在Rt △OCP 中,

∠COP+∠OPC=90° 即2x+2y=90° 所以x+y=45° 因为

∠CMP=∠A+∠APM=x +y=45° 所以∠CMP 的大小不发生变化。

1.8 定形

例8 如图1-11:xy 是半圆O 内的一条长度不变的弦,xy 可以在半圆O 内滑动,过x 、y 两点分别作直径AB 的垂线,垂足分别为C 、D ,M 为xy 的中点,连接MC 、MD. 求证:△MCD 的形状不会改变.

图1-11

解 把半圆O 补充成整圆.延长xc 交⊙O 于P ,连接py . 因为 cp xc

所以CM 是△xpy 的中位线 所以CM ∥py 所以∠xcm =∠P

又因为弦xy 是一条长度不变的弦,所以∠P 的大小不变 所以∠xcm 的大小不变,又因为

∠XCM +∠MCD =90°

所以∠MCD 的大小不变。

B

A

过M作MN⊥AB交AB于点N,则MN是梯形YDCX的中位线

所以MN垂直平分CD,所以CM=MD

即△MCD是等腰三角形,又因为底角∠MCD为定值

所以△MCD的形状不会改变。

1.9 定周长

例9 (2012年湖北咸宁中考)如图1-12,矩形MNPQ中,点E,F,G,H 分别在NP,PQ,QM,MN上,若4

3

2

1∠

=

=

=

∠,则称四边形EFGH为矩形MNPQ的反射四边形.图1-13,图1-14,图1-15中,四边形ABCD为矩形,且AB=4,BC=8.

理解与作图:

(1)在图1-13,图1-14中,点E,F分别在BC,CD边上,试利用正方形网格在图上作出矩形ABCD的反射四边形EFGH.

计算与猜想:

(2)求图1-13,图14中反射四边形EFGH的周长,并猜想矩形ABCD的反射四边形的周长是否为定值?

启发与证明:

(3)如图1-15,为了证明上述猜想,小华同学尝试延长GF交BC的延长线于

M

分析(1)由网格结构,作出相等的角就可出反射四边形。

(2)图1-13中,利用勾股定理求出EF=FG=GH=HE的长度,就可得到周长,图1-14中利用勾股定理求出EF=HG,FG=EH的长度,然后求出周长,从而得到四边形EFGH的周长是定值。

(3)延长GH交CB的延长线于点N,再利用“ASA”证明Rt△FCE和Rt△FCM全等,根据全等三角形对应边相等可得EF=FM,

EC=CM,同理求出HN=EH,BN=BE,从而得到MN=2BC,再证明MG=NG,过点G作GK⊥BC交BC于K,根据等腰三角形三线合一的性质求出1

KM MN8

2

==,再利用勾股定理求出MG的长度,然后即可求出四边形EFGH 的周长。

解(1)作图如下:

(2)在图1-16中,

EF FG GH HE

===

∴四边形EFGH

的周长为

在图1-17中,

EF GH

=

,FG HE

=

∴四边形EFGH

的周长为22?。

猜想:矩形ABCD的反射四边形周长为定值。

(3)延长GF交BC的延长线于点M,

∵12

∠=∠,15

∠=∠,∴25

∠=∠。

又∵FC=FC,∴Rt△FCE≌Rt△FCM(ASA)。

∴FE=FM,EC=CM。

同理HN=HE,NB=BE。∴MN=2BC=16。

∵M905901

∠=?-∠=?-∠,N903

∠=?-∠,13

∠=∠,∴M N

∠=∠。∴GN=GM。过点G作GK⊥BC交BC于K(如图1-18),则

1

KM MN8

2

==。

∴GM=

∴四边形EFGH

的周长为2GM=∴矩形ABCD的反射四边形的周长为定值。

评注 本题考查了新定义即网格问题,作图的应用与作图的设计,勾股定理,等腰三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,矩形的性质。

1.10 定面积

例10 (2012年四川自贡中考)如图1-19所示,在菱形ABCD 中,AB=4,∠BAD=120°,△AEF 为正三角形,点E 、F 分别在菱形的边BC .CD 上滑动,且E 、F 不与B .C .D 重合.

(1)证明不论E 、F 在BC .CD 上如何滑动,总有BE=CF ;

(2)当点E 、F 在BC .CD 上滑动时,分别探讨四边形AECF 和△CEF 的面积是否发生变化?如果不变,求出这个定值;如果变化,求出最大(或最小)值.

图1-19 分析 (1)先求证AB=AC ,进而求证△ABC 、△ADC 为等边三角形,得∠ACF =60°,AC=AB ,从而求证△ABE ≌△ACF ,即可得BE=CF 。 (2)由△ABE ≌△ACF 可得S △ABE =S △ACF ,故根据

S 四边形AECF =S △AEC +S △AFC =S △AEC +S △AEB =S △ABC

即得四边形AECF 的面积是定值。当正三角形AEF 的边AE 与BC 垂直时,AE 边最短.

△AEF 的面积会随着AE 的变化而变化,且当AE 边最短时,正三角形AEF 的面积会最小,根据

S △CEF =S 四边形AECF -S △AEF , 则△CEF 的面积就会最大。

图1-20 解 (1)证明:如图1-20,连接AC ∵四边形ABCD 为菱形,∠DAB=120°,

∠BAE+∠CAE=60°,∠CAF+∠CAE=60°,∴∠BAE=∠CAF 。 ∵∠BAD=120°,∴∠BAC=60°。 ∴△ABC 和△ADC 为等边三角形。

∴∠ACF=60°,AB=AC 。∴∠ABE=∠AFE 。 ∴在△ABE 和△ACF 中,

∵∠EAB=∠FAC ,AB=AC ,∠EAB=∠FCA , ∴△ABE ≌△ACF (ASA )。∴BE=CF 。

(2)四边形AECF 的面积保持不变,但△CEF 的面积大小将发生变化。理由如下:

由(1)得△EBA ≌△FCA ,则

S △EAB =S △FAC 。∴S 四边形AECF =S △AEC +S △AFC =S △AEC +S △AEB =S △ABC ,

即S 四边形AECF 是定值。

作AH ⊥BC 交BC 于H 点(图1-21),则BH=2,

AECF ABC 11

S S BC AH BC 22

?==??==四边形

故由“垂线段最短”可知:当正三角形AEF 的边AE 与BC 垂直时,AE 边最短. 故△AEF 的面积会随着AE 的变化而变化,且当AE 最短时,正三角形AEF 的面积会最小, 又

S △CEF =S 四边形AECF ﹣S △AEF ,

则此时△CEF 的面积就会最大.

∴S △CEF =S 四边形AECF ﹣S △

AEF

1

2

=?

对初中数学教学的一点思考

对初中数学教学的一点思考 新的《课程标准》在教材编写建议中特别强调:“所选择的素材应尽量来源于自然、社会与科学中的现象和实际问题”,因此,以其他学科为素材的跨学科试题成为近几年数学中考命题的热点。其目的就是要培养祖国需要的具有创新精神和实践能力的新型人才。在新课程教材中,我们学生要有一定的综合能力,作为实施新课程的一线数学教师,更要具备除数学专业水平以外的跨学科知识。这样对我们教学将有更大的帮助。 跨学科题目是近几年来刚出现的一类试题,是在执行新课程标准的过程中出现的一类新颖试题,它考查的重点是数学知识,但它附加了其他学科的学科背景.解答时需要用到其它学科的知识作铺垫,能较好的考查学生的综合发展能力,有利于学生各科之间的均衡发展,有效的遏制偏科现象的发生.常见类型有:与物理、化学、生物、地理、体育、电脑、语文等学科进行综合的问题,或以这些学科为命题背景,或以相关学科的知识为载体,形式多样,多在学科知识点交叉处设计.解答时,要将相关学科的知识与数学知识加以综合,灵活运用。 题型1与物理相结合的题 与物理知识相关的题型在近几年各地中考试题中经常出现,体现了数学的“工具性”作用。 例1.(04河北省)图1所示的电路的总电阻为10Ω,若R1=2R2,则R1,R2的值分别是(A ) 例2.(05青岛)已知力F所做的功W是15焦,则表示力F与物体在力的方向上通过的距离s的函数关系的图象大致为图中的(D) 例3.(06江苏泰州)在物理实验课上,小明用弹簧称将铁块A悬于盛有水的水槽中,然后匀速向上提起,直至铁块完全露出水面一定高度,则下图能反映弹簧称的读数y(单位N)与铁块被提起的高度x(单位cm)之间的函数关系的大致图象是(C) 解决与物理相结合的题,要对物理学科的有关知识相当熟悉,如果不熟悉很难解决问题,这就告诉我们要掌握某一学科知识,单纯学好一门知识是不够了,因为学科之间的知识是相互渗透的. 题型2与化学相结合的题 与化学知识相关的题型比较多,主要考查学生应用化学知识解决实际问题的能力.

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初一数学动点问题答题技巧与方法 关键:化动为静,分类讨论。解决动点问题,关键要抓住动点,我们要化动为静,以不变应万变,寻找破题点(边长、动点速度、角度以及所给图形的能建立等量关系等等)建立所求的等量代数式,攻破题局,求出未知数等等。动点问题定点化是主要思想。比如以某个速度运动,设出时间后即可表示该点位置;再如函数动点,尽量设一个变量,y尽量用x来表示,可以把该点当成动点,来计算。 步骤:①画图形;②表线段;③列方程;④求正解。 数轴上动点问题 数轴上动点问题离不开数轴上两点之间的距离。为了便于大家对这类问题的分析,首先明确以下几个问题: 1.数轴上两点间的距离,即为这两点所对应的坐标差的绝对值,也即用右边的数减去左边的数的差。即数轴上两点间的距离=右边点表示的数—左边点表示的数。 2.点在数轴上运动时,由于数轴向右的方向为正方向,因此向右运动的速度看作正速度,而向作运动的速度看作负速度。这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得到运动后点的坐标。即一个点表示的数为a,向左运动b个单位后表示的数为a—b;向右运动b 个单位后所表示的数为a+b。 3.数轴是数形结合的产物,分析数轴上点的运动要结合图形进行分析,点在数轴上运动形成的路径可看作数轴上线段的和差关系。 问题引入:如图,有一数轴原点为O,点A所对应的数是﹣1,点A沿数轴匀速平移经过 原点到达点B. (1)如果OA=OB,那么点B所对应的数是什么? (2)从点A到达点B所用时间是3秒,求该点的运动速度. (3)从点A沿数轴匀速平移经过点K到达点C,所用时间是9秒,且KC=KA,分别求点K和点C所对应的数. 【考点】数轴;比较线段的长短.【专题】数形结合. 【分析】(1)由于OA=OB,可得点B所对应的数是点A所对应的数的相反数; (2)先求出AB的距离,再根据速度=路程÷时间求解; (3)先求出AC的距离,得到点C所对应的数,由KC=KA,得到点K所对应的数. 【解答】解:(1)∵OA=OB,点A所对应的数是﹣1,∴点B所对应的数是1; (2)[1﹣(1)]÷3=3÷3=1.故该点的运动速度每秒为1. (3)1×9=9,9÷2=4.5,∴点C所对应的数为﹣1+9=7, 点K所对应的数为﹣1+4.5=3.故点C所对应的数为7,点K所对应的数为3. 【点评】考查了数轴和路程问题,熟练掌握数轴上两点间的距离的求法,本题虽有几题,但基础性较强,难度不大. 练习:

XX年3月数学教学工作心得体会

XX年3月数学教学工作心得体会 数学教学应当有意识、有计划地设计教学活动,引导学生体会数学与现实社会的联系,加强学生的数学应用意识,不断丰富解决问题的策略,提高解决问题的能力。结合有关的教学内容,培养学生如何进行初步的分析、综合、比较、抽象、概括,对简单的问题进行判断、推理、逐步学会有条理、有根据地思考问题,同时注意培养思维的敏捷性和灵活性。在日常学习生活中能撇开事物的具体形象,抽取事物的本质属性,从而获取新的知识。在这几年的时间里我得到了一些教训,认识到自己有很多不足,并且对小学教学工作有了一些体会。 一、设计生活实际、引导学生积极探究 这种教学设计有利于激发学生学习兴趣,使学生对新的知识产生强烈的学习欲望,充分发挥学生的能动性的作用,从而挖掘学生的思维能力,培养学生探究问题的习惯和探索问题的能力。 1、在教学中既要根据自己的实际,又要联系学生实际,进行合理的教学设计。注重开发学生的思维能力又把数学与生活实际联在一起,使学生感受到生活中处处有数学。使教学设计具有形象性,给学生极大的吸引,抓住了学生认识的特点,形成开放式的教学模式,达到预先教学的效果。 2、给学生充分的思维空间,做到传授知识与培养能力

相结合,重视学生非智力因素的培养;合理创设教学情境激发学生的学习动机,注重激发学生学习的积极性推动学生活动意识。 3、利用合理地提问与讨论发挥课堂的群体作用,锻炼学生语言表达能力。达成独立、主动地学习、积极配合教师共同达成目标。 二、积极提问,贯穿课堂始终 要想学生40分钟内都会专心听你的课那是不可能的,他们或多或少会开小差,他们有的可能连书本都不拿出来或不翻开,甚至还会说话打闹。这时如果采用提问的方式的话,就会使学生的精神一下子紧张起来,并且去思考你所提出的问题,但是提问时,不能只提问一些选择性的问题,因为这样他们思考的空间就会很小,这样不利于培养学生的思维能力;另外,提问要有均匀性,不能反复提问某个学生,这样会使其他学生回答问题的热情消退的。 三、设计质疑教学,激发学生学习欲望 1、充分挖掘教材,利用学生已有的知识经验作为铺垫。 2、重视传授知识与培养能力相结合,充分发挥和利用学生的智慧能力,积极调动学生主动、积极地探究问题,培养学生自主学习的习惯。 3、在教学中提出质疑,让学生通过检验,发展和培养学生思维能力,使学生积极主动寻找问题,主动获取新的知

b5新课改后提高数学教学效率的一点思考 苏教版 (2)

本文为自本人珍藏 版权所有 仅供参考 新课改后提高数学教学效率的一点思考 众所周知,新课改后的高中数学课程内容增多,但对学生的理性分析与逻辑推理能力的要求却仍然较高。于是,如何高效率高质量的完成教学任务便成了高中教师面临的一个棘手问题,作为抗战在教学一线的老师,我也经常遇到此类挑战。经过一番思考与探究,实践表明:要提高教学效率,务必做到“三精”:即教学内容精选,讲授语言精辟,教学结论精炼。 一.在教学过程选题时,力求所选的题目针对性强,考察知识点广,具有代表性。 如例1设,a b 是两个共线的非零向量(t R ∈) (1) 记1,,()3OA a OB tb OC a b ===+ ,那么当t 实数为何值时,A 、B 、C 三点共线? (2) 若1a b == ,且,a b 与夹角为120°,那么实数x 为何值时,a xb - 的值最小? 例2 已知(cos ,sin ),(cos ,sin )a b ααββ== 且a 与之b 间满足关系 : ka b kb +=- ,其中k>0 (1) 用k 表示a b ? (2) 求a b ? 的最小值,并求此时a 与b 夹角θ的大小 这类题目属于平面向量与函数性质、解不等式求解知识点交汇,依托向量把函数增减性、奇偶性、解不等式等知识很自然的融于一体,既考察了向量的长度、角度、数量积等知识点,又考察了函数基本性质、解不等式等重要知识,可谓一举多得。 再如例3:在△ABC 中,已知1tan ,3 B C AC ===ABC 的面积。 解法1:设AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b,由tan B = 60B =?1sin ,2 B B ∴==又sin C == sin 8sin b C c B ==,sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C ∴=+=+= 面积1sin 2 S bc A == 解法2:同解法1得c=8,由余弦定理得2222cos ,a b c bc A =+-而 1cos cos()cos cos sin sin 6 A B C B C B C =-+=-+=- 2220,4a a a ∴=+>∴=1sin 2 S ac B ==。

人教版七年级下册数学动点问题

动点问题 1、如图6-7,已知A 、B 两村庄的坐标分别为(2,2)、(7,4),一辆汽车在x 轴上行驶,从原点O 出发. (1)汽车行驶到什么位置时离A 村最近?写出此点的坐标. (2)汽车行驶到什么位置时离B 村最近?写出此点的坐标. (3)请在图中画出汽车行驶到什么位置时,距离两村的和最短? 2.如图,以直角三角形AOC 的直角顶点O 为原点,以OC 、OA 所在直线为x 轴 和y 轴建立平面直角坐标系,点A (0,a ),C (b ,0) 20b -=. (1) 则A 点的坐标为___________,C 点的坐标为__________; (2) 已知坐标轴上有两动点P 、Q 同时出发,P 点从C 点出发沿x 轴负方向以1个单位长度每秒的速度匀速移动,Q 点从O 点出发以2个单位长度每秒的速度沿y 轴正方向移动,点Q 到达A 点整个运动随之结束.AC 的中点D 的坐标是(1,2),设运动时间为t (t >0)秒.问:是否存在这样的t ,使S △ODP = S △ODQ ,若存在,请求出t 的值;若不存在,请说明理由; (3) 点F 是线段AC 上一点,满足∠FOC =∠FCO ,点G 是第二象限中一点,连OG ,使得∠AOG =∠AOF .点E 是线段OA 上一动点,连CE 交OF 于点H ,当点E 在线段OA 上运动的过程中,OHC ACE OEC ∠+∠∠的值是否会发生变化,若不变,请求出它的值;若变化,请说明理由. 3.如图1,在平面直角坐标系中,第一象限内长方形ABCD , AB ∥y 轴,点A (1,1),点C (a , b ),

满足035=-+-b a . (1)求长方形ABCD 的面积. (2)如图2,长方形ABCD 以每秒1个单位长度的速度向右平移,同时点E 从原点O 出发沿x 轴以每秒2 个单位长度的速度向右运动,设运动时间为t 秒. ①当t=4时,直接写出三角形OAC 的面积为 ; ② 若AC ∥ED ,求t 的值; (3)在平面直角坐标系中,对于点()P x y ,,我们把点(11)P y x '-++,叫做点P 的伴随点, 已知点1A 的伴随点为2A ,点2A 的伴随点为3A ,点3A 的伴随点为4A ,…,这样依次得到点1A ,2A ,3A ,…,n A . ①若点1A 的坐标为(3,1),则点3A 的坐标为 ,点2014A 的坐标为 ; ②若点1A 的坐标为(a ,b ),对于任意的正整数n ,点n A 均在x 轴上方,则a ,b 应满足的条件为 . 4、如图,在平面直角坐标中,A (0,1),B (2,0),C (2,1.5). (1)求△ABC 的面积; (2)如果在第二象限内有一点P (a ,0.5),试用a 的式子表示四边形ABOP 的面积; (3)在(2)的条件下,是否存在这样的点P ,使四边形ABOP 的面积与△ABC 的面积相等?若存在,求出点P 的坐标,若不存在,请说明理由. y x P O C B A 5、如图,△ABC 的三个顶点位置分别是A (1,0),B (-2,3),C (-3,0). (1)求△ABC 的面积; (2)若把△ABC 向下平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度,得到△A B C ''',请你在图中画出△A B C '''; (3)若点A 、C 的位置不变,当点P 在y 轴上什么位置时,使 2ACP ABC S S =V V ; (4)若点B 、C 的位置不变,当点Q 在x 轴上什么位置时,使 D C B A E O y x 24题图2 24题图1 D C B A O y x

对中学数学教学改革的几点看法

对中学数学教学改革的几点看法 发表时间:2011-11-11T13:17:10.980Z 来源:《少年智力开发报(课改论坛)》2011年27期作者:刘朝亮 [导读] 自从教育逐渐普及以来,由于数学的极端重要性,数学教育在人才培养上的重要地位也日益显现出来 山东省金乡县第二中学刘朝亮 一、引言 自从教育逐渐普及以来,由于数学的极端重要性,数学教育在人才培养上的重要地位也日益显现出来,但是,如何从数学的特点出发卓有成效地进行数学教育,以确保数学在教育中的地位和作用,近百年来在世界范围内,进行了大量的改革和探索,推动了中学数学教育改革的深入和发展。本文将就数学教学改革的紧迫性,并结合中学数学教学目的和原则,对这一问题进行探讨。对数学教学改革中应注意的问题及改革的现状进行进一步的阐述。 二、中学数学教学的目的和教学原则 数学教学目的基本上涉及了四个方面的内容: (1)功利性上,强调数学知识的实用性,强调数学在实际问题中的应用和对其它学科发展的影响。 (2)素质性上,强调数学的思想品质培养,科学方法训练。数学的学习有利于培育良好的思想品质,有利于培养科学的学习方法,能够增强人们思维的深刻性、广阔性、灵活性、和独创性。 (3)思想性上,强调数学教育对形成世界观、激发爱国主义、伦理道德方面所起的作用。 (4)个性上,强调数学教育对学生个性发展、身体心理素质方法发展的影响。数学教育过程以人为本,以人为中心。以人的个性发展,全面发展,终身发展为目标。在重视知识学习,能力培养的同时,更重视学生个性发展,身体心理素质的健全发展。 三、中学数学教学改革 (1)情感教育。情感教育是深层次的教育,教师通过自己对事业的义务感、责任感,对学生的同志感、友谊感等满腔热忱去教育学生,引起师生之间情感上的沟通与共鸣,在心理上产生对教师的亲切感、信任感,对数学的向往和追求感。这样既能调动学习积极性,又使学生变消极情感为积极情感,普通情感升华为高尚情感,培养了学生良好的心理品质。 (2)兴趣教育。培养学生对数学的浓厚兴趣是非智力因素教育的重点,也是学生学数学的内在动力,因此,在数学教学过程中,要通过设计适当的问题情景,运用恰当的教法和手段,激发学生对对数学的兴趣与爱好,引起他们的求知欲和好奇心,使每一节课学生都感受到成功的喜悦和其乐无穷的享受。 (3)心理平衡教育。中学生中,因学习遇到困难而悲观失望、自动退学的现象经常出现,尤其是数学科,其抽象性容易使学生产生畏难情绪。因此,在数学教学中,必须注意开导和鼓励学生树立正确的动机,力求在学习上做到以严谨的科学态度正视困难,迎难而上,满怀信心去探究数学的奥秘。 四、中学数学教学改革的关键 (1)运算能力训练。必须使学生认识到,运算不过关,演算失误,不但解决不了实际问题,而且给生产建设造成损失。因此,对各种运算法则,要精通熟练,每演算一套题,要全神贯注,心,口,手高度协调,做到步步把关,准确迅速,要懂得算理,会寻找合理、简捷的算法。 (2)推理能力训练。推理训练,一定要克服单纯老师讲,学生听的做法。教者必须根据教材内容,精心设计,扮演各种角色来开拓学生的思维:1.充当“反面角色”,即教者不但演示正确的解题途径,而有时也有意演示一些错误的步骤,或提出某种模糊的问题来给学生检查、讨论、分析、论证,使他们自己发现问题,纠正错误。2.充当仲裁角色,由教者设疑质疑,让学生去讨论争议,最后将学生的各种意见进行综合分析,辩定是非,给予“仲裁”。以达到统一对问题的理解与认识。3.充当答辩角色,师生双方都可以提出问题来搞课堂答辩,教者尽可能搞一些错误论点来给学生反驳,学生也可以随时提出问题给教师解答。教者也要及时分析解答学生提出的问题。4.充当询问角色,即课堂分析问题,教者不要包办代替,而是层层设问,如“题目给出这个已知条件有什么用?题目中还隐含什么条件?用什么方法解决最合理?用某种方法为什么行不通?”等等,这样,教者似乎处于重重困难状态,从而诱导学生迫不及待地要帮助老师解决困难。 (3)抽象能力训练。抽象能力训练可考虑:1.通过解决应用题,为抽象能力的形成奠定基础。在定理、公式教学中,从具体事实对象出发,引导学生逐步抽象为公式的形式。2.布置学生假日或假期收集一些实际问题先做好记录,并带回学校进行讨论研究,然后抽象成数学问题。 开发学生的智力,培养学生的综合能力是重要的,但在教学过程中,教者要注意处理好以下几个问题: (1)正确处理教与学的关系。在教与学的统一体中,学生是学习的主题,是内因;而学生学习又是在教师的组织、启发和引导下进行的,教师应在教学中发挥主导以及相对于而言的外因作用。于是在改革初期产生了“以教师为主导,学生为主题”的理论,这被认为是我国教学理论上的一个突破。尽管对此尚有不同见解,但在教与学的和谐统一乃是教学的关键这一点上,则已取得普遍共识。 (2)正确处理知识与能力的关系。知识本身不等于能力,而离开知识作基础的“能力”是不存在的。“数学教学是数学活动的教学”,要让学生在掌握知识的同时学会科学思维,通过知识的习得充分汲取数学思想和方法的养分,从而发挥数学广义上的教育功能。能力的形成要有一个过程,主要应通过基础知识的掌握、基本技能的熟练、思想方法的领悟以及具体问题的解决等途径来进行。 (3)正确处理讲与练的关系。所谓讲与练,系指课堂教学中教师与学生各自的活动,是教学的两种基本形式。传统教学以教师讲解为住,往往忽视学生练习。对此,在改革中要正确处理讲和练的关系。但是对于“精”和“多”的度,在理解和掌握上要处理好。要做到合理适中。

初中数学教学中的一点思考

初中数学教学中的一点思考 义务教育阶段的数学课程,其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地发展。它不仅要考虑数学自身的特点,更应遵循学生学习数学的心理规律,强调从学生已有的生活经验出发,让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程,进而使学生获得对数学理解的同时,在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。 杨裕前老师、董林伟老师主编的苏科版初中数学教材更加体现了这些理念: 一、注重"图文"并茂创设情境。新教材利用彩色画面,注重内容的"图文"并茂,能有效利用"主题图"创设教学情境。 二、注重引导学生“做”数学,教材中的“数学实验室”,“数学活动”、“课题学习”等栏目,引导学生通过“做”感受数学、探索知识和结论、应用所学的知识解决简单问题;学生通过“做”获得感受的基础上,揭示具体“事例”的数学本质,然后再明晰有关的知识。 三、注重“过程”和“数学思想方法”,新教材通过观察、思考、探索等认知活动,让学生亲身经历知识的形成过程,使学生的学习过程更多地成为其发现数学、了解数学、体验数学的过程。 四、注重创新能力的培养,新教材中注重让学生操作,培养学生的创新能力,在教学过程中,要经常借用直观演示、操作、游戏等形式,营造富有情趣的教学氛围,让学生的操作与思维联系起来,使新知识在操作中产生,创新意识在操作中萌发。 在从事初中数学教学多年来,并进行过循环教学,通过和一些优秀老教师的交流中,我总感觉教材中有些知识可以提前渗透:比如证明的规范性,在初一上学期数学中就有图形相关知识的说理,当时我们强调有条理地说明理由,还不如直接渗透“证明”这个理念,在初一下学期,出现“三角形的全等”,这时候又没有渗透这一理念,初二也没有,一直到初三的上学期“图形的证明”中才统一,而这种“不规范”的证明

初一上数学线段动点问题

数学线段动点问题 1.已知数轴上两点A 、B 对应的数分别为—1,3,点P 为数轴上一动点,其对应的数为x. (1)若点P 到点A 、点B 的距离相等,求点P 对应的数;(1) (2)数轴上是否存在点P ,使点P 到点A 、点B 的距离之和为5?若存在,请求出x 的值。若不存在,请说明理由?(-1.5,3.5) (3)当点P 以每分钟一个单位长度的速度从O 点向左运动时,点A 以每分钟5个单位长度向左运动,点B 一每分钟20个单位长度向左运动,问它们同时出发,几分钟后P 点到点A 、点B 的距离相等?(2/23) 2.数轴上点A 对应的数是-1,B 对应的数是1,一只小虫甲从点B 出发沿着数轴的正方向以每秒4个单位长度的速度爬行至C 点,再立即返回到A 点,共用了4秒。 (1)求点C 对应的数;(8) (2)若小虫甲返回到A 点后作如下运动:第1次向右爬行2个单位长度,第2次向左爬行4个单位长度,第3次向右爬行6个单位长度,第4次向左爬行8个单位长度,…依次规律爬下去,求它第10次所停在点所对应的数.(-11) (3)若小虫甲返回到A 后继续沿着数轴的负方向以每秒4个单位长度的速度爬行,这时另一只小虫乙从点C 出发沿着数轴的负方向以每秒7个单位长度的速度爬行,设小虫甲爬行后对应的点为E ,小虫乙爬行后对应的点为F.设点A 、E 、F 、B 所对应的数分别是x A 、x E 、x F 、x B ,当运动时间t 不超过1时, |x A -x E |-|x E -x F |+|x F -x B |的值是否发生变化?若变化,请说明理由;若不变,请求出其值。 如图,点O 为直线AB 上一点,过点O 作射线OC ,使∠BOC=120°.将直角三角板的直角顶点放在点O 处,一边OM 在射线OB 上,另一边ON 在直线AB 的下方. (1)将图1中的三角板绕点O 逆时针旋转至图2,使一边OM 在∠BOC 的内部,且恰好平分∠BOC .问:此时直线ON 是否平分∠AOC ?请说明理由. (2)将图1中的三角板绕点O 以每秒6°的 速度沿逆时针方向旋转一周,在旋转的过程中, 第t 秒时,直线ON 恰好平分锐角∠AOC ,求t 的值. (3)将图1中的三角板绕点O 顺时针旋转至 图3,使ON 在∠AOC 的内部,求∠AOM-∠NOC 的度数. 3.已知数轴上A 、B 两点对应数为-2、4,P 为数轴上一动点,对应的数为x 。

对小学数学教学的几点建议-讲座稿

对小学数学教学的几点建议 尊敬的各位领导、老师: 大家好! 我和大家交流的题目是《小学数学教学的几点建议》,在这过程中说得不当的地方,敬请大家批评指正。 一、用生活中素材帮助我们进行教学 我的第一个建议是,在小学数学教学中,我们可以充分挖掘身边的素材进行教学。 我们的教学条件各不相同,如果有多媒体的支撑,我们能够用生动的动画、精美的图片带领学生轻松学习。但现在的大多数教室的设备,还停留在一支粉笔一块黑板的年代,于是我们在生活中去寻找帮助我们教学的素材尤其重要。 一位老师在进行四年级下册的数学广角里的植树问题时,他伸出两个指头,问大家:“这表示数字几?”孩子们都说二,再伸出三个手指,大家都说三。老师再伸出三个手指问大家:“那大家说说这两个手指间有多少个空”,学生说有两个。这位老师这时告诉告诉学生:“这里的手指间的“空”,在我们数学的植树问题里,是一个新的概念,那就是“间隔”。现在,我让几名同学上来扮演树,我们来看看有多少间隔”。 在这个教学片段里,这位老师没有用多媒体,就是借助老师自己的手进行启发,再让几名学生进行演示,就让学生一下子明白了间隔的意义,整个过程显得轻松且有趣,教学效果也明显。 在进行四则运算的教学时,有位老师遇到难题了,他虽然根据教师用书上的提示,在学生开始接触四则运算时先标出运算顺序,但还是有一部分学生掌握得不太好。有一天,他在黑板上写出尊老爱幼这个词,他说:“尊老是放在前面的,先有尊老,才有爱幼,我们的亲人,有爷爷奶奶爸爸妈妈及兄弟姐妹,我们有东西都要先想到分给爷爷奶奶,然后是爸爸妈妈,最后才是兄弟姐妹。而在运算符号的大家庭中,括号就是爷爷妈妈,我们要先算括号,而乘除则是爸爸妈妈,我们第二步就是算乘除了,最后才是兄弟姐妹,也就是加减了,大家说,大家说,运算符号一家,爷爷奶奶是谁,爸爸妈妈是谁,是兄弟姐妹谁。”接下来,他又以考一考的方式让孩子们复述了几遍他们对应的关系,再进行练习。后来的情况说明,他这种方法的效果很好,基本没有再在运算顺序上出错的孩子了。 二、用好《教师教学用书》 我们在备课时,教案是最常用的,但《教师教学用书》在很多方面却更胜一筹。他没有直接提出我们备课手册里要的东西,但只要花上那么一点功夫,对我们的备课能起到事半功倍的作用。 1、表格形成知识系统 《教师教学用书》有哪些方面好呢,我认为,他的第一个好是每单元前面的知识结构图 《教师用书》里大多数单元不是有表格就是有结构图,这个结构图或结构表,把我们一个单元的主要内容及呈现方式都给浓缩进来了,如果我们在进入每一个单元的教学前,都花上那么几分钟看看,就能够让我们整体把握本单元内容,形成完整的知识体系。便于我们在教学中调整我们的教学进度,也能让我们在对学生的引导中自觉不自觉地把这种认识传递给他们。 2、“教学建议”指导我们灵活采用教法 《教师用书》除了知识结构表可以看之外,第二个看点就是“教学建议”。这些建议不像教案一样,已经把方法固定化,比如教案上常提到的使用多媒体,我们却因条件的限制做不到,以教案作为自己的指导的话,不太适用。所以,我的认识是:“教学建议”可以指导我们灵活采用教法 3、“教学建议”进行练习指导 教学建议的第二个作用,体现在对如何提示我们进行练习指导。 三、用好课本上的主题图、插图 课本是我们进行教学,学生进行学习最基本的依托,所以我们要充分利用课本。在我们人教版的课本中,有个独创,那就是有丰富的主题图和插图。我的第三个建议是,我们要用好课本上的主题图和插图。 这些主题图有什么特征呢,我看有两个,那就是图数并茂、多幅连贯。 四、让学生参与到探索过程中来 我的第四个建议是:让学生参与到探索过程中来, 有的专家甚至提出了这样的理念:“问题比答案更重要过程比结果更精彩”“得到方法就等开拥有未来”,其依据是“听过的,我们会忘记,看过的,我们会有痕迹,亲自做过的,我们会永远记忆”, 在教学到分数的基本性质时,有位老师让孩子们回去剪三张纸条,分别是0.1米、0.10米和0.100米,还要写上具体的数字。第二天一上课,他让孩子们拿出来这三张根纸条,有个学生就大声说这三张纸条一样长,于是这位老师就因势利导,让学生理解了小数末尾添上“0”或去掉“0”小数的大小不变 五、营造严肃、活泼的课堂气氛 课堂是我们师生解决问题的共同战场,良好的课堂气氛决定了教学效果,于是我认为,我们要营造一个严肃活泼的课堂气氛。 1、要求学生上课要精神抖擞、注意力集中。 第一点,我们得要求孩子们上课就得精神抖擞,注意力集中。有一句话说,良好的开头是成功的一半。对于精神状态不佳的孩子,有位老师这样提醒他们:不要焉妥妥、憨痴痴、傻乎乎地坐着,要有精气神,让那股子精气神从脊柱这里向

高中数学教学设计及课件

篇一:高中数学教学设计与教学反思 高中数学教学设计与教学反思 第一章第三节三角函数的诱导公式(一) 一、指导思想与理论依据 数学是一门培养人的思维,发展人的思维的重要学科。因此,在教学中,不仅要使学生“知其然”而且要使学生“知其所以然”。所以在学生为主体,教师为主导的原则下,要充分揭示获取知识和方法的思维过程。因此本节课我以建构主义的“创设问题情境——提出数学问题——尝试解决问题——验证解决方法”为主,主要采用观察、启发、类比、引导、探索相结合的教学方法。在教学手段上,则采用多媒体辅助教学,将抽象问题形象化,使教学目标体现的更加完美。 二.教材分析 三角函数的诱导公式是普通高中课程标准实验教科书(人教a版)数学必修四,第一章第三节的内容,其主要内容是三角函数诱导公式中的公式(二)至公式(六).本节是第一课时,教学内容为公式(二)、(三)、(四).教材要求通过学生在已经掌握的任意角的三角函数的定义和诱导公式(一)的基础上,利用对称思想发现任意角与、、终边的对称关系,发现他们与单位圆的交点坐标之间关系,进而发现他们的三角函数值的关系,即发现、掌握、应用三角函数的诱导公式公式(二)、(三)、(四).同时教材渗透了转化与化归等数学思想方法,为培养学生养成良好的学习习惯提出了要求.为此本节内容在三角函数中占有非常重要的地位. 三.学情分析 本节课的授课对象是本校高一(1)班全体同学,本班学生水平处于中等偏下,但本班学生具有善于动手的良好学习习惯,所以采用发现的教学方法应该能轻松的完成本节课的教学内容. 四.教学目标 (1).基础知识目标:理解诱导公式的发现过程,掌握正弦、余弦、正切的诱导公式; (2).能力训练目标:能正确运用诱导公式求任意角的正弦、余弦、正切值,以及进行简单的三角函数求值与化简; (3).创新素质目标:通过对公式的推导和运用,提高三角恒等变形的能力和渗透化归、数形结合的数学思想,提高学生分析问题、解决问题的能力; (4).个性品质目标:通过诱导公式的学习和应用,感受事物之间的普通联系规律,运用化归等数学思想方法,揭示事物的本质属性,培养学生的唯物史观. 五.教学重点和难点 1.教学重点 理解并掌握诱导公式. 2.教学难点 正确运用诱导公式,求三角函数值,化简三角函数式. 六.教法学法以及预期效果分析 “授人以鱼不如授之以鱼”,作为一名老师,我们不仅要传授给学生数学知识,更重要的是传授给学生数学思想方法, 如何实现这一目的,要求我们每一位教者苦心钻研、认真探究.下面我从教法、学法、预期效果等三个方面做如下分析. 1.教法 数学教学是数学思维活动的教学,而不仅仅是数学活动的结果,数学学习的目的不仅仅是为了获得数学知识,更主要作用是为了训练人的思维技能,提高人的思维品质. 在本节课的教学过程中,本人以学生为主题,以发现为主线,尽力渗透类比、化归、数形

初中数学老师教学心得体会

初中数学老师教学心得体会 时代的发展和要求,数学教学的价值目标取向不仅仅局限于让学生获得基本的数学知 识和技能,更重要的是在数学教学活动中,了解数学的价值,增强数学的应用意识,获得 数学的基本思想方法,经历问题解决的过程。在教学中要处理好知识性目标和发展性目标 平衡与和谐的整合,在知识获得的过程中促进学生发展,在发展过程中落实知识。这就需 要学生对学习进行自我反思。新课程强调以创新精神和实践能力的培养为重点,倡导以主动、探究、合作为特征的学习方式。教学活动是师生双边的活动,它是以教材为中心,教 师教的活动和学生学的活动的相互作用,使学生获取数学知识、技能和能力,发展学生思 维品质,培养创新意识,并形成良好的学习习惯。而教育改革中教师是关键,学生是主体。同时,教师能力的提高及学生能力的提高,都是在实践的探究中逐步确立。由此可见,教 师与学生要想发展,必须要将实践与探究融为一体,使之成为促进师生发展、能力不断提 升的过程,而反思则是将二者有效结合。那么应从哪些方面实现师生互动的反思模式构建呢? 1、要求做好课堂简要摘记。 当前,老师讲学生听已成了教学中最普遍的方法。而要学生对教学的内容进行反思, 听是远远不够的。要反思,就要有内容。所以学生就要先进行课堂简要摘记。课堂简要摘 记给学生提供了反思的依据。学生也能从课堂简要摘记中更好的体验课堂所学习的内容, 学生的学习活动也成了有目标,有策略的主体行为,可促使老师和学生进行探索性,研究 性的活动。有利于学生在学习活动中获得个人体验,提高个人的创造力,所以课堂简要摘 记是学生进行反思的重要环节。 2、指导学生掌握反思的方法。 课堂教学是开展反思性学习的主渠道。在课堂教学中有意识的引导学生从多方位、多 角度进行反思性的学习。学生的实践反思,可以是对自身的认识进行反思,如,对日常生 活中的事物及课堂中的内容,都可引导学生多问一些为什么?;也可以是联系他人的实践, 引发对自己的行为的比较反省,我们可以多引导学生进行同类比较,达到会当凌绝顶,一 览众山小的境界;也可以是对生活中的一种现象,或是周围的一种思潮的分析评价,此外 学生的反思还何以是阶段性的,如:一节课尾声时,让学生进行一下反思,想想自己这节 课都有什么收获?还有哪些疑问?当天睡前,反思一下今天自己的感受;或是一周反思一下 自己的进步和不足等等。具体有以下五种方法: ① 在解决问题中反思,掌握方法:解题是学习数学的必经之路,学生解决问题时, 往往缺乏对解题过程的反思,没有对解题过程进行提炼和概括,只是为完成任务而解题, 导致解题质量不高,效率低下。教师应积极引导学生整理思维过程,确定解题关键,回顾 解题思路,概括解题方法,使解题的过程清晰、思维条理化、精确化和概括化。②在集体讨论中反思,形成概念:活动是感知的源泉,是思维发展的基础。每个人都 以自己的经验为背景来建构对事物的理解,所以认识相对有限。学生通过集体讨论和交流,

数学教学的几点思考(新)

数学教学的几点思考 致学课使用最广泛的课程中学教师就应该把数学课 教好使学生学好。我们在中学的英语课本中学过数学家高斯的故事,在他小的时候计算过一个数学题目是从1加到100的和是多少。不到一分钟的功夫小高斯就做出了答案是5050。我用这个故事来教育学生好好学习思考未来属于你们。现在我们面临的问题很多其中最关键的就是怎样使学生学好数学在这方面教学万法问题。究竟怎样才能把学生教好呢?第一、数学教学活动要注重课程目标的整体实现。第二任重学生在学习活动中的主体。第三、注重学生对基础知识、基本技能的理解和掌握。第四。引导学生积累教学活动经验、感悟数学思想。 一、数学教学活动要注重课程目标的整体实现 新观含中不仅包含对事物的新认识、新思想而且包含一个不断学习的过程。为此现在就必须学会学习只有不断地学习获取新知识更新观含形成新认识。数学教学应根据具体的教学内容创设有助于学生自主学习的问题情景引导学生通 过实践、思考探索交流获得数学的基础知识基本技能、基本思考和基本活动经验使学生主动的、富有个性的学习不断提高发现问题和提出问题的能力分析问题的能力和解决问题

的能力。作为数学教师在教学中不仅要教学生学会更应教学生会学。教学教学活动是师生积极参与交往互动共同发展的过程。 课程目标的整体实现需要日积月累。在日常的教学活动中应努力挖掘教学内容中可能蕴涵的与上述四个方面有关的教育价值通过长期的教学过程看逐渐实现课程的整体目标。因此无论是设计、实施课堂教学方案还是组织有效的教学活动不仅要重视学生获得知识技能而且要激发学生的兴趣通过独立思考考或者合作交流感悟数学的基本思想引导学生在参入数学活动的过程中积累基本经验帮助学生形成良好的学习习惯。 二、注重学生在学习活动中的主体 有效的数学教学活动是教师教育学的统一应体现“以人为本”的理含促使学生的全面发展。学生是数学学习的主体在积极参与学习活动的过程中不断到发展学生获得知识可以通过接受学习也可以通过自主探索等方式但必须建立在自己思考考的基础上;学生应用知识并逐步形成技能离不开自己的实践学生在获得知识库技能的过程中只有亲身参与教师精心设计的教学活动才能在数学思考、问题解决和情感态度方面得到发展。 创新能力在数学教学中主要表现对已解决问题寻求新的解法。“学起于思,思源于疑、学生探索知识的思维过程

小学数学教学的几点建议

关于小学数学教学的几点建议 第一,对数学课堂教学的建议。 数学是研究现实世界数量关系与空间形式的一门科学。数学教学是数学活动的教学,是师生间、学生间良性互动与共同发展的过程。数学学科特有的活动有哪些呢?我想主要有:观察、操作、归纳、类比、猜想、验证、推理、交流、反思等等。开展数学活动的前提是要满足学生的情感、动机需求,创造积极的课堂环境—安全感、趣味性、自信心、归属感、自由与权力。让学生在具体活动中展开积极的思维过程,体验数学知识。 洋思课堂教学的本质特征是:课堂教学的全过程让学生都像考试一样紧张地学习。所谓“先学后教,当堂训练”实际上是从上课一直考到下课:一上课教师揭示学习目标,指导自学,让学生明确看书的内容、方法、要求,知道几分钟之后要如何检测效果,这样学生立即紧张起来,他们读书、看书就等于考前准备,或者好像看试卷那样紧张;几分钟后教师让学生有的到黑板上书写,有的在座位上练习,这是第一场考试;练习完了,老师把大家做错了的地方集中到黑板上,让会的同学更正,这是第二场考试;以后大家讨论弄懂为什么,这是第三场考试。老师对检测作出评价后,利用20分钟左右的时间当堂完成作业,这也是考试,作业本就是试卷。这样从上课至下课,学生都像考试那样独立地、紧张地思维。

第二,对数学教材处理的建议: 1、一要尊重教材,但是不能“唯教材” 。教师应该结合学生的情况,用发展的眼光、辩证地看待教材,用好教材,因为对于学生而言,教材是他们从事数学学习活动的“出发点”,而不是“终结目标”,教师不应该把教材变成为学生从事数学学习活动时的模仿对象。因此,切不能“照本宣科”把教材当作圣经来念,不能“唯教材”。二要钻研教材,用好教材中的每一个素材。教材就是提供给教师进行教学的素材,是给你的一个问题、给你一个情境、一条思路,你遇到这个情境、问题和思路,要充分利用它们,想办法达到你制定的教学目标。而具体说来,要先“入教材”,看到教材提供的思路和教学方法是什么,这样才有利于“出教材”,即根据学生不同的基础,尊重学生的认知发展和知识的逻辑顺序,适当改变教材,让教材“为我所用”。三用好教材,培养学生数学阅读能力。目前的数学课上有一个共同的现象,就是教师很少让学生阅读数学课本,大家想一想,课上教师不引导、不教学生如何阅读数学课本,课后学生自己能够直面书本吗?如果离开了教师讲解,学生还能够通过课本自学数学吗?这样下去学生的数学阅读和数学理解能力如何能够提高呢?所以我在此特别强调,一定要利用数学教材,培养学生的数学阅读能力。数学阅读与语文阅读有一些共同之处,都需要认读、理解、鉴赏等,也都讲究阅读中的记忆、速度、技巧等,但是显然我们应该看到数学阅读的特殊性,即数学阅读的对象是由数学语言组成的,数学语言无

初中数学教学心得体会

初中数学教学心得体会 导读:本文是关于初中数学教学心得体会,希望能帮助到您! 数学新课程标准明确指出,义务教育阶段的数学课程应突出体现基础性、普及性和发展性,使数学教育面向全体学生,实行“人人学有价值的数学”。这不禁让我重新对这一理念加以剖析。19世纪恩格斯说:“数学是关于空间形式和数量关系的学科。”而作为数学学科三大部分(数与代数、几何和统计)之一的数与代数部分,它是中小学数学课程中的经典内容,它在义务教育的阶段的数学课程中占有相当重要的地位,有着重要的教育价值。在新的课程标准下,这一学习领域的目标、内容、结构以及教学活动方面都发生了很大的变化。下面从三个方面谈谈自己的感想。 (一)《标准》在总体目标中提出要使学生“经历运用数学符号和图形描述现实世界的过程,建立数感和符号感,发展抽象思维。” 可见,理解数感、符号感让学生在数学学习的过程中建立数感和符号感是非常重要的,是进入数学学习的基础。在义务教育阶段学生要学习整数、小数、分数、有理数、实数等数的概念,这些概念本身是抽象的,但通过数学的学习,使学生能将这些数的概念与它们所表示的实际意义建立起联系,例如,一百万有多大,一把黄豆大约有多少粒等等。在课程标准中,重视对数的意义的理解,培养学生的数感和符号感,淡化过分“形式化”和记

忆的要求,使学生在学习数学的过程中自主活动,不仅提高了自身的数学素养,还有助于他们利用数学头脑来理解和解释现实问题。 数学与现实生活是密切相关的。联合国教科文组织早在八十年代初就提出“数学问题解决应作为学校数学教育的中心”。因此,有价值的数学更多地体现在学生用数学的眼光和思维去观察、认识日常生活现象,去解决生活中的问题,获得或提高适应生活的能力。过去教师一直非常重视学生笔算的正确率和熟练度,学生缺乏估算意识与估算方法。但在日常生活中恰恰是估算较笔算用得更为广泛。我们常常需要估计上学、上班所用的时间,估计完成某一任务(烧饭、买菜、做作业等)所需的时间,估计写一篇文章所需的纸量,放置冰箱所需地方的大小,估计一次旅游所需的费用等等。因此,加强估算,培养学生估算意识,发展学生的估算能力,具有重要的价值。新课程标准也反复强调要加强估算,淡化笔算。 (二)“数与代数”有利于发展学生思维、能力,培养数学情感的数学。 在提倡“人人学有价值的数学”的今天,将这一理念落实到中学阶段,就要求我们教师不仅仅要关注学生知识技能掌握如何,更要关注到学生的情感、态度、价值观和一般能力的培养。学生的思维能力、思想方法、习惯、情感和态度对于学生今后去创造生活有着不可估量的价值。因此,“数与代数”作为基础部分,它的主要内容是研究现实世界数量关系和运动、变化规律中的数学模型,它可以帮助人们从数量关系的角度更准确、清晰的认识、

小学数学教学几点思考

小学数学教学几点思考 发表时间:2018-04-02T11:43:57.150Z 来源:《中小学教育》2018年2月作者:赖显刚 [导读] 掌握运用数学知识的方法,能够用所学的数学知识解决实际问题。根据小学数学教学的任务及所要求达到的目标出发,引起了我对小学数学教学的以下几点思考。 赖显刚四川省宜宾市江安县铁清镇中心小学校 644200 中图分类号:G628.2 文献标识码:A 文章编号:ISSN1001-2982 (2018)02-166-01 教师是数学教学的重要组成部分。小学数学教学,要求教师引导儿童通过观察,认识周围世界中所包含的最为简单的数量关系,建立情境和一般法则之间的联系,从而使学生通过学习这些法则,掌握运用数学知识的方法,能够用所学的数学知识解决实际问题。根据小学数学教学的任务及所要求达到的目标出发,引起了我对小学数学教学的以下几点思考。 一、合理组织,创设情境,有张有弛 由于小学生的注意力不够集中,根据小学生的这个特点,在组织教学课堂上,作为教师尽可能创设情景,在学生兴趣最浓厚、注意力最集中的这个期间将重点、难点知识展示出来,师生共同活动,使学生掌握重点知识,完成学习目标。再利用课堂其他时间,师生互动,做好反馈以及检测,完成教学环节,使整个教学张驰结合。为提高教学效率,我们必须创造一定的环境、意境,通过这样的手段,引导学生进行学习,发展学生数学的素养。通过情境设计、多媒体使用、课堂活动组织等辅助手段达成目标,符合学生的喜好。这样可以让学生在思维冲突中发掘数学潜在问题,引发学生对数学问题的兴趣。 二、引导学生掌握科学的学习方法 1.教学生学会预习 预习实际上是一种非常关键有效的学习方法。预习,即在上课开始前,提前学习将要学的内容,一方面可以熟悉所学内容,对自己不懂的地方了解掌握这样的一种方法。在预习过程中学生肯定有不了解的新内容,教师需要教会学生怎样做好记号。标记好重点内容。对存在疑问与不懂的地方标记好,留待课堂上解决。 2.教学生学会听课 教师的言传身教需要贯穿在听课过程中。听课可以说是教学中非常关键的一大中心环节,大部分学生在“听”时没有掌握科学的方法,因此难以取得理想的学习效果。如何才能听好课呢?首先,做到专心,在听课时务必做到专心,不能三心二意,心不在焉。其次,需要把握重点,认真做好笔记。在教学过程中,教师反复强调的问题实际上就是学生需要把握的重点,学生要想深刻掌握,一定要学会记录重要的知识点,这样有利于课后更好的巩固与复习。 三、培养学生自主学习的能力 在数学教学中,教师要注重培养学生自主学习的能力,改变枯燥、抽象的数学学习,让学生对数学学习感兴趣,这是学好数学的前提。小学一年级的学生已经接受过学前教育,简单的数学知识对他们来说并不陌生,因此在上课的时候,教师要为学生准备充足的教具,让学生自主观察,让他们寻找教室内的有关数学知识,比如有多少桌子、有多少凳子、有多少小朋友等,还可以带领他们到校园内进行观察,看看校园内还有哪些数学知识,看哪个学生说得又多又好,让学生自主感知数学就在我们的生活中,就在我们的身边,培养学生良好的探究学习习惯,激发他们学习数学的热情,从而受到事半功倍的效果。 四、利用多媒体手段,激发学习兴趣。 兴趣是知识的入门。瑞士著名教育家皮亚杰说:“所有智力方面的工作都要依赖于兴趣。”当一个人对某种事物发生兴趣时,他就会入迷地去追求,去探索。学生一旦对学习产生兴趣,必将成为他学习的内在动力,多媒体的发展体现了现代教育技术的发展需要,优化教学环境是现代教育技术发展理论中的一个重要指导思想。在教学中应充分利用多媒体手段,优化教学环境,激发学生学习动机。 在教学长方形和正方形的周长时,我在上课伊始便运用多媒体课件播放《龟兔赛跑》的课件,乌龟围绕长5厘米宽3厘米的长方形花坛跑,兔子围绕边长4厘米的正方形花坛跑,它们同时到达终点,请同学们帮它们算算谁跑得路程长。这道题就是求长方形和正方形的周长。这节课多媒体的使用,让学生很好地理解了周长的概念,帮助学生分析、理解长方形和正方形的周长计算方法,激发了学生的学习新知的兴趣,在愉快和谐的气氛中学习了数学,发展学生解决问题和数学思维的能力。 五、教师要让学生切身感受到数学学习的重要性,让学生自觉地学习数学 对于小学生来说,由于其思维能力和认识能力有限,在他们眼里,数学还很抽象化,没有一个具体的概念,这就要求小学数学教师要让学生切身感受到数学知识在我们现实生活中的应用,让学生在好奇心和求知欲的驱使下,自己主动地对知识进行探索,教师的教学内容也可以是直接来源于生活,比如说,告诉学生,平时买水果的时候,要先知道水果的单价,然后称出水果的重量,最后才能准确计算出水果的价钱;还比方说,生活中用到的手表、时钟等计时工具,需要学生先会认识数字,然后知道钟表每个刻度所代表的含义及其运行规律,这样才能准确的读出时间;另外,教师还可以从学生自身出发,告诉他们,每个人的年龄、身高、体重等重要信息的表述,也都离不开数字。教师要让学生体会到,数学知识存在于我们生活的各个方面,要让学生了解到,数学知识非常重要,它对生活很有帮助,学生必须要掌握一定的数学知识,才能更好的生活。 在小学数学教学过程中,教师要真正发挥其引导作用,关注学生的学习习惯,关注学生的思考问题方式,关注数学的教学方向和内容,从而促进学生数学能力的逐步攀升,让小学生爱上数学学习,让数学知识陪伴他们健康茁壮地成长。

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