课题：2.2二次函数的图象与性质 (3)
教学目标：
1．能够作出y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象，并能够理解它与y=ax2的图象的关系，理解a,h和k对二次函数图象的影响.
2．能正确说出y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
3．能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标解决问题.
教学重点与难点：
重点：能够作出y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象，并能理解它与y=ax2的图象的关系，理解a,h和k对二次函数图象的影响.
难点：能够利用二次函数的图象和性质解决问题．
课前准备：
（老师）多媒体课件．
（学生）每名学生至少准备2张透明度较高的纸并在上面各作一个单位长度为1cm的坐标系．教学过程:
一、情景创设，引入新课
师：生活中有很多的建筑造型不仅大气美观，而且也与我们数学中的抛物线相关，请同学们看下面的图片．（多媒体出示）你认为它们可以抽象成怎样的抛物线形状？
师：（等同学们七嘴八舌说个大概之后，不要太追究他们说的准确度，有个大概就行）大家看，是否是下面的抛物线形状？（多媒体出示）你认为这种抛物线与我们所学习过的函数y=ax2、y=ax2＋c的图象有什么不同？
处理方式：老师点题的同时播放图片，学生看图片的同时思考老师提出的问题，等同学们七嘴八舌把自己的想法说个大概之后，（不要追究学生语言表达的准确度，只要能表达出与上节课所学的函数图象不同就行）老师再展示抽象出来的抛物线图片，并让学生比较所得图象与所学函数y=ax2和y=ax2＋c的图象的不同，大部分同学能够说出：函数图象的开口大小不同，函数图象的顶点坐标不同，抛物线既有左右平移又有上下平移.在此基础上，老师再说，这就是我们本节课要探究的抛物线的左右上下平移问题，即y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k，老师边说边板书课题2.2二次函数的图象与性质 (3).
设计意图：由生活中的图片让学生抽象出数学中的抛物线，并与所学过的抛物线相比，一方面告知学生“数学来源于生活又反作用于生活，要学习有用的数学”，另一方面也提示了学生本节课要探究的是抛物线的左右上下平移问题.
二、复习旧知，导入新课
师：为了更好的研究函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象和性质，我们先来回顾上节课所学的函数y=ax2和y=ax2＋c的图象和性质. 试着解答下列三个问题：
活动内容：（多媒体出示）
问题1．二次函数y=3x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是什么？y=3x2-2的图象呢？比较二者的联系．
问题2．二次函数y=2x2，y=2x2+1，y=2x2-5的图象之间有什么关系，它们是如何通过平移得到的？
处理方式： 1．教师点题：首先回顾上节课我们所认识的二次函数y=ax2和y=ax2＋c的图象及性质.2．给学生2分钟的时间回顾和阅读题目，两个小题的答案以抢答的形式给出．关于第二题的平移说法不唯一，学生只要说对即可，老师不要做统一要求．（y=2x2的图象向上平移1个单位可以得到y=2x2+1的图象，y=2x2+1的图象向下平移6个单位可以得到y=2x2-5
的图象，y=2x2的图象向下平移5个单位也可以得到y=2x2-5的图象）．
设计意图：老师点题，回顾上一节课二次函数图象之间的上下平移关系并用两个小题加以巩固，为新课的学习做好预设．
三、动手操作，探究新知
师：我们先来探究二次函数y=a(x-h)2的图象和性质．
活动内容1：探究二次函数y=a(x-h)2的图象和性质（多媒体出示）
1．请同学们在同一坐标系中作出二次函数y=2x2、y=2(x－1)2和y=2(x+1)2的图象．
(1)完成下表：
(2)分别作出二次函数y=2x2、y=2(x－1)2和y=2(x+1)2的图象．
(3)二次函数y=2(x－1)2和y=2(x+1)2的图象是什么形状?它与二次函数y=2x2的图象有什么相同点和不同点?它们的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性和最值分别是什么? 试填写下表：
(4)你认为函数图象的左右平移由什么来决定？是怎么样来决定的？
处理方式： 1．先让学生回顾二次函数画图的三个步骤．2．学生在准备好的坐标系内做出以上函数的图象（C层学生作y=2x2的图象；B层学生作y=2(x－1)2的图象；A层学生作y=2(x+1)2的图象）．3．小组成员A、B、C层之间把图象重叠，互相交流，总结问题（3）的答案，思考问题（4）的答案．4．在学生画图、交流的过程中，老师巡视指导．5．各小组
选派代表展示问题（3）、（4）的答案，对于问题（3）：函数y=2(x－1)2、y=2(x+1)2的图象与函数y=2x2的图象的相同点与不同点学生在图象的重叠过程中可以直观的得出，有的同学也可能会由列表中的数据分析得出，老师应予以及时的鼓励；对于它们的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性和最值在小组交流中也应能得出正确结果；对于问题（4）的答案，学生在图象的重叠过程中可以直观的得出，有的学生可能会回答：“抛物线的左右平移是由加减某个常数来决定的，加就左移，减就右移”；此时，有的同学可能会质疑：“不对，要是y=2x2加2（或减2）就变成y=2x2+2（或y=2x2-2），这样就变成上节课所学的抛物线的上下平移了，不是左右平移了”；细心的同学可能马上会补充说：“是括号里x加减某个常数来决定抛物线的左右平移，x加几抛物线就整体向左平移几个单位长度，x减几抛物线就整体向右平移几个单位长度”，……此时老师不要急于给出统一的言语说明，可以融入学生的争论中，只要学生的表意清晰，老师就予以鼓励，待学生达成统一意见又正好是正确结论时，老师就可以说：“同学们表现得都很棒，总结的也很好．下面我们就把结论归纳如下．（多媒体出示）
设计意图：通过让不同层次的学生自己动手作图，识图，让更多的学生能参与到学习中来，从而带动学生的思考，真正让学生借助图象用自己的语言归纳得出函数 y=a(x-h)2的性质，直观形象地用移动的观点掌握二次函数图象左右平移的规律．
师：探究完函数y=a(x-h)2的图象和性质以后，我们再来探究再复杂一点的函数y=a(x-h)2+k的图象和性质．
活动内容2：探究二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质（多媒体出示）
1．在同一直角坐标系内：C层学生作函数y=2x2+3的图象；B层学生作函数y=2(x－1)2+1的图象；A层学生作函数y=2(x+1)2-1的图象，并与自己在活动内容1中所作的函数y=2x2、y=2(x－1)2和y=2(x+1)2的图象相比，说出你的发现．
2．你能给出函数y=2(x－1)2+1的对称轴、顶点坐标和最值吗？函数y=2(x+1)2-1的对称轴、顶点坐标和最值又是怎样的？你能类比归纳二次函数y=a(x-h)2+k的图象的对称轴、顶
点坐标和最值吗？你有什么发现？试填写下表：·
3．由函数y=2x2的图象，能得到函数y=2x2+1，y=2(x－1)2，y=2(x－1)2+1的图象吗？你是怎样得到的？由此你认为二次函数y=a(x-h)2+k的图象如何由二次函数y=ax2的图象平移得到？
4．二次函数y=a(x-h)2+k的图象具有那些性质？
处理方式：四个问题不是一次性的展示给学生的，而是根据课堂的进度，由老师的过渡语按顺序出现的．具体如下：
1. 问题1让A、B、C三个层次的学生在活动内容1的基础上独立完成作图，给学生充足的时间画图、重叠比较、小组交流、归纳性质，老师巡视并加以针对性的指导，力争让每一个学生都能用语言描述这两个函数图象直观呈现的内容：函数y=2x2的图象整体向上平移3个单位长度得到函数y=2x2+3的图象（上节课已学）；：函数y=2(x－1)2的图象整体向上平移1个单位长度得到函数y=2(x－1)2+1的图象；函数y=2(x+1)2的图象整体向下平移1个单位长度得到函数y=2(x+1)2-1的图象．学生会发现：所作的两个图象之间的关系就是上节课所学的函数图象之间的上下平移，只不过这里需要把(x－1)和(x+1)看成一个整体而已，从而把知识融会贯通．
2．在学生充分感知了问题1的答案，明晰图象整体上是上下平移之后，老师说：借助于你们所作的图象，我们来解决一个问题．展示问题2，前两问的答案，应该是所有的学生在图象的直观作用下能够圆满解答，第三问有点难度，每一小组的B、C层次学生在A层次学生的帮助下，也应该能归纳出结论．对于实在归纳不出结论的小组，可以去别的小组“取经”亦或是老师去个别指导，都得出结论后，老师表扬同学后出示结论．（多媒体出示）
3．在学生已明确了抛物线的上下左右平移规律以后，老师说：利用我们所探究出来的抛物线的上下左右平移规律，尝试看一下由一个函数图象能否得到以下几个函数图象？它们之间有怎样的平移关系？展示问题3，对于前两问，A层次的学生可能会直接得出答案，B、C层次的学生也会在自己所作图象的再次重叠比较中，得出答案，对于由函数y=2x2的图象得到函数y=2(x－1)2+1的图象，学生有可能只会说“先向右平移一个单位长度再向上平移一个单位长度”而考虑不到“先向上平移一个单位长度再向右平移一个单位长度”，此时老师要做适时的引导；对于第三问的答案，学生可能只会由函数关系式的表面得出“二次函数y=ax2的图象先向右平移h个单位长度再向上平移k个单位长度得到函数y=a(x-h)2+k的图象”或者“二次函数y=ax2的图象先向上平移k个单位长度再向右平移h个单位长度得到函数y=a(x-h)2+k的图象”这样的结论，考虑不到h和k的正、负性和绝对值问题，此时老师要根据学生的具体表现做一定的讲解和引导，必要时再举几个实例说明，要让绝大部分学生真正明白之后，再出示结论．（多媒体出示）
4．老师：顺利解决了前三个问题，我们对于二次函数y=a(x-h)2+k的图象有了最基本的感知，知道它是由函数y=ax2的图象平移得到的，那它又具有哪些性质呢？让我们共同来总结一下吧．展示问题（4），学生以小组为单位讨论交流，此环节要充分发挥学生的自主能动性，让组内的每一个组员都动嘴去说，老师巡视并融入到各小组中听取学生的讨论并适时插话讲解和引导，然后再对学生的归纳进行强调．（多媒体出示）
二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条抛物线,它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a,h,k的值有关. 下面我们就一般形式来进行总结：
设计意图：学生在经历了前面二次函数学习过程的基础上，已具有一定的经验，此环节意在让学生经历作图、类比、猜测、归纳、抽象等活动过程，渗透数形结合的思想方法，在已有的知识经验基础上生成新的知识经验，并将新旧知识同化，及时总结，形成方法．平移口诀的给出，又增添了学生学习的趣味性．
四、巩固练习，应用新知
师：学习的目的是为了更好的应用，就让我们利用函数y=a (x-h )2与y=a (x-h )2
+k 的图象和性质解决以下几个小问题吧. （多媒体出示） 1．指出下列函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． (1) y = 2(x+3)2
-21 (2) y = -31(x+1)2-5 (3) y = -2
1(x+1)2 (4) y = -
4
3x 2
-1 （5）y = (x+1)2+2 （6）y = -3x 2+2 2．函数y = 3x 2
图象向左平移2个单位得到函数 图象．
3．函数y = -3(x-2)2
-5的图象向左平移 个单位，再向上平移 ______单位得到函数y =-3（x +1）2
+4的图象．
4．一条抛物线的形状与y =2x 2的形状和开口方向相同，且顶点坐标为（4，-2），试写出它的关系式．
解：设抛物线为y=a (x-h )2
+k
∵顶点坐标为（4，-2） ∴h =4,k=-2
又∵抛物线的形状与y =2x 2的形状和开口方向相同 ∴ a=2
∴抛物线的关系式为y ＝2(x －4)2
-2
处理方式：给学生5分钟左右的时间独立完成，1分钟左右的时间小组内成员互对答案，（好帮差讲解），期间，老师巡视、询问并指导．然后小组派代表展示汇报：1、2、3题以抢答的形式展示；4题以在黑板上板演的形式或实物投影的形式展示，师生共同完善做题步骤．
设计意图：此环节以多种题型考查学生对本节课所学知识点的掌握，从而加深学生对二
次函数y=a (x-h )2
+k 的性质理解应用，特别是函数关系式中三个常数a,h,k 对函数图象的影响．
五、回顾反思，提炼升华
师：时间留给我们最好的礼物就是记忆，现在就让我们来分享这即将逝去的40分钟带给我们的礼物吧：通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？
处理方式：给学生2分钟左右的时间结合课本和板书回顾知识点并在小组内交流，然后选两个小组的代表发言，老师再用多媒体展示探究活动中所展示过的知识点，加以强化和巩固.
（多媒体出示）
设计意图：由学生的回顾与语言描述，再现本节课的知识，让本节课的知识浓缩升华，培养自我反馈，自主发展的意识，多媒体的进一步展示，是对本节课知识点的强化．
六、达标检测，反馈提高
师：本节课的探究活动已经结束了，下面就让我们来检测一下我们的探究成果吧！相信大家一定会成功的！（多媒体出示）
A 组：
1．函数y ＝-12(x ＋3)2
－1，当x _____时，y 都随x 的增大而减小，当x _____时，y 有最
_______值是_______.
2．将抛物线y =x 2的图象先沿x 轴向左平移4个单位,再沿对称轴向下平移3个单位 ，得到的抛物线的表达式是 .
3．已知y ＝5x 2
的图象是抛物线，若抛物线不动，把x 轴分别向上、向右平移3个单位，
那么在新坐标系下抛物线的表达式是________.
B 组：
抛物线y ＝2(x -2)2
-6的顶点为C ,已知y =-kx +3的图像经过点C ,求这个一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形的面积.
处理方式：A 组题要求C 层次学生独立完成，B 组题要求A 、B 层次学生独立完成．学生做题期间，老师巡视，一是及时批阅做完同学的答案；二是对做题的确有困难的学生进行针对性讲解．做完后，教师出示答案（B 组题要有完整的做题过程），指导学生校对，学生根据答案进行纠错．
设计意图：学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高．
七、布置作业，课堂延伸
必做题：课本39页，习题2.4第1题、第2题． 选做题：课本39页，习题2.4第3题、第4题．
设计意图：分层布置作业使不同层次的学生都有事可做，同时也能培养学生课下自主学习的好习惯，提高学生的竞争意识，拓宽学生的知识面．
结束语：
师：高斯曾说：给我最大快乐的，不是已懂得知识，而是不断的学习；不是已有的东西，而是不断的获取；不是已达到的高度，而是继续不断的攀登．希望同学们在数学的天地里飞的更高，飞的更远！（多媒体播放歌曲“飞的更高”结束本课） 板书设计：
教材分析 本节课是数学新人教版九级（上）第二十二章《二次函数》第一节课内容 二次函数教学设计 一、教学目标知识方面： 1.理解并掌握二次函数的概念； 2.能根据实际问题中的条件列出二次函数的解析式。 3.经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，体会二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型。 4.通过分析实际问题列出二次函数关系式，培养学生分析问题、解决问题的能力。情感方面：通过学生的主动参与，师生、学生之间的合作交流，提高学生的学习兴趣，激发他们的求知欲、培养合作意识。 二、教材分析 本节课是数学新人教版九年级（上）第二十二章《二次函数》第一节课内容.知识方面，它是在正比例函数，一次函数，对函数认识的完善与提高；也是对方程的理解的补充，同时也是以后学习初等函数的基础。根据本节的教学内容及学生学情，给彩虹、桥梁等图片这些丰富的生活实例，进一步让学生充分感受到二次函数的应用价值与实际意义。 重点是理解二次函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式； 难点是从实例中抽象出二次函数的定义，会分析实例中的二次函数关系。 三、教学过程教学过程： 一、提出问题，导入新课。 1、回忆一下什么是正比例函数、一次函数？它们的一般形式是怎样的？图象形状各是什么？ 2、教师提出问题：投篮球时篮球运行的路线是什么曲线？这种曲线的形状是怎样的？是否象以前学过的函数图象？能否用新的函数关系式来表示？怎样计算篮球达到最高点时的高度？这将在本章——二次函数中学习。 3、你能举出一些生活中类似的曲线吗？ 二、合作交流，形成概念。1．列式表示下面函数关系。 问题1：正方体的六个面是全等的正方形，如果正方形 的棱长为x，表面积为y，写出y与x的关系。 问题2：某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的数量y将随计划所定的x的值而定，y与x之间的关系怎样表示? 活动中教师关注： （1）学生参与小组合作讨论后，能否明白题意，写出相应关系式。 （2）问题3中可先分析一年后的产量，再得出两年后的产量。 2.教师引导学生观察，分析上面三个函数关系式的共同点。 学生小组交流、讨论得出结论，它们的共同点： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式。 a,b,c为常数，且a≠0 （2）等式的右边最高次数为，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项。（3）x的取值范围是任意实数。 教师口述二次函数的定义并板书在黑板上：一般地，形如y=ax2+bx+c（a,b，c是常数，a≠0）的函数，叫二次函数。
二次函数练习题 班级 姓名 成绩 二次函数所描述的关系 1.下列函数中，哪些是二次函数？ 1 “、 (1) y=3(x-1)2+1 (2) y=x + (3) x F 列函数中：① y= — x 2;②y=2x :③y=22+x 2 — x 3；④m=3 — t — t 2是二次函数的是 s=3-2t (4) y= —⑸y=(x+3) 2-x 2 ⑹ v=10 n r2 x x 2 若y= ( 1) x m 6m 5是二次函数，则m=() —1 B . 7 C . — 1或7 D .以上都不对 F 列各关系式中，属于二次函数的是 (x 为自变量) 1 2 y= x 8 B . y= .. x 2 1 1 C . y= 2 x y=ax 2+bx+c(a , b , C 是常数)是二次函数的条件是 a M 0, b M 0, C M 0 B . a<0, b M 0, C M 0 C . a>0, 1 自由落体公式h= gt 2(g 为常量),h 与t 之间的关系是 2 A.正比例函数 下列结论正确的是 A . y=ax 2是二次函数 B .二次函数自变量的取值范围是所有实数 C .二次方程是二次函数的特例 D .二次函数的取值范围是非零实数 已知函数 y=(m 2— m)x 2+(m — 1)x+m+1. (1) 若这个函数是一次函数， (2) 若这个函数是二次函数， 函数 A . b 丰 0, C M 0 (其中x 、t 为自变量). 2 D . y=a x B. 一次函数 C.二次函数 D.以上答案都不对 2 如果函数y=x k 3k 2 +kx+1 求 m 的值; 求 m 的值 是二次函数，贝U k 的值一 —定是 2 10 .如果函数y=(k — 3) x k 3k 2+kx+1是二次函数，则k 的值一定是 11. 下列函数属于二次函数的是( ) 1 y=x —— x B . y= (x — 3) 2 — x 2 1 C . y= 2 -x x D . y=2 (x + 1) 2 — 1 12. 在半径为 cm 的圆面上，从中挖去一个半径为 o x cm 的圆面，剩下一个圆环的面积为 y cm ，贝V y 与x 的函 数关系式为( A . y= x 2 — 5 2 B . y= (5 — x ) 2 2 .y= —( x + 5) D . y= — x + 25 结识抛物线 y=ax 2 1 .函数y= ax 2 a 2 2a 6 是二次函数，当 a= ____ 时，其图象开口向上；当 a= ____ 时，其图象开口向下 2.填右表并填空： 抛物线y=2x2的顶点坐标是 __________ 」对
初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质： a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随 x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ． 0a < 向下 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0．
初中数学二次函数专题复习教案 〖知识点〗二次函数、抛物线的顶点、对称轴和开口方向。 〖大纲要求〗 1．理解二次函数的概念; 2．会把二次函数的一般式化为顶点式,确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会用描点法画二次函数的图象； 3．会平移二次函数y=a ｘ2 （ａ≠0)的图象得到二次函数y=a(ax ＋ｍ)２ +k 的图象，了解特殊与一般相互联系和转化的思想； 4．会用待定系数法求二次函数的解析式； 5．利用二次函数的图象,了解二次函数的增减性,会求二次函数的图象与ｘ轴的交点坐标和函数的最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系。 内容 (1）二次函数及其图象 如果y=ａx 2+ｂx+c （a,b ，c 是常数，a ≠0),那么,ｙ叫做x 的二次函数。 二次函数的图象是抛物线,可用描点法画出二次函数的图象。 （2）抛物线的顶点、对称轴和开口方向 抛物线ｙ＝ａx 2 +bx ＋c(a ≠0)的顶点是)44, 2(2a b ac a b --，对称轴是a b x 2-=,当a>0时，抛物线开口向上,当ａ<0时,抛物线开口向下。 抛物线y ＝a （x+h)2+ｋ(a ≠０)的顶点是（-h ，k ），对称轴是x=－h. 〖考查重点与常见题型〗 1．考查二次函数的定义、性质,有关试题常出现在选择题中,如: 已知以x 为自变量的二次函数y ＝（m-2)ｘ2＋m ２－m-2额图像经过原点, 则m 的值是 2．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像,习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数y ＝k ｘ＋ｂ的图像在第一、二、三象限内，那么函数 y ＝kx 2+ｂx －1的图像大致是（ ） y 0 -1 x
二次函数知识点 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2 =++（a b c y ax bx c ，，是常数，0 a≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0 a≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2 y ax bx c =++的结构特征： ⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2． ⑵a b c ，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2 =的性质： y ax a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2 =+的性质： y ax c 上加下减。 =-的性质： y a x h 左加右减。
4. ()2 y a x h k =-+的性质： 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成
初三数学二次函数经典题型 二次函数单元检测 (A) 姓名___ ____ 一、填空题： 1、函数2 1 (1)21m y m x mx +=--+是抛物线，则m ＝ . 2、抛物线2 23y x x =--+与x 轴交点为 ，与y 轴交点为 . 3、二次函数2 y ax =的图象过点（－1，2），则它的解析式是 ， 当x 时，y 随x 的增大而增大. 4．抛物线2)1(62 -+=x y 可由抛物线262 -=x y 向 平移 个单位得到． 5．抛物线342 ++=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 ． 6．抛物线() 422 2-++=m x x y 的图象经过原点，则=m ． 7．抛物线m x x y +-=2 ，若其顶点在x 轴上，则=m ． 8. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x ＝－2，且开口方向与形状与抛物线 相同，又过原点，那么a ＝ ，b ＝ ，c ＝ . 9、二次函数2 y x bx c =++的图象如下左图所示，则对称轴是 ，当函数值0y <时， 对应x 的取值范围是 . 10、已知二次函数2 1(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点 A （－2，4）和 B （8，2），如上右图所示，则能使1y 2y >成立的x 的取值范围 . 二、选择题： 11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A ．2 1xy x += B ． 2 20x y +-= C ． 2 2y ax -=- D ．2 2 10x y -+= 2 2 3x y -=
12．在同一坐标系中，作2 2y x =、2 2y x =-、2 12 y x = 的图象，它们共同特点是 ( ) A ． 都是关于x 轴对称，抛物线开口向上 B ．都是关于y 轴对称，抛物线开口向下 B ． 都是关于原点对称，顶点都是原点 D ．都是关于y 轴对称，顶点都是原点 13．抛物线12 2+--=m mx x y 的图象过原点，则m 为（ ） A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1 14．把二次函数122 --=x x y 配方成为（ ） A ．2 )1(-=x y B ． 2)1(2--=x y C ．1)1(2 ++=x y D ．2)1(2 -+=x y 15．已知原点是抛物线2 (1)y m x =+的最高点，则m 的范围是( ) A ． 1-
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设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2 的两个实数根. （5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02 ≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由 方程组 c bx ax y n kx y ++=+=2 的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时?l 与G 有两个交 点; ②方程组只有一组解时?l 与G 只有一个交点；③方程组无解时?l 与G 没有交点. （6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2 与x 轴两交点为 ()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故 a c x x a b x x = ?-=+2121,()()a a ac b a c a b x x x x x x x x AB ?=-=-?? ? ??-=--= -= -=44422 212 212 2121 课 后 作 业 １.抛物线y ＝x 2 ＋2x －2的顶点坐标是 （ ） A.（2，－2） B.（1，－2） C.（1，－3） D.（－1，－3） ２.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） Ａ．ab ＞0，c ＞0 Ｂ．ab ＞0，c ＜0 Ｃ．ab ＜0，c ＞0 Ｄ．ab ＜0，c ＜0 C A E F B D 第２,３题图 第4题图 ３.二次函数c bx ax y ＋＋＝2 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A ．a ＞0，b ＜0，c ＞0 B ．a ＜0，b ＜0，c ＞0 C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0 D ．a ＜0，b ＞0，c ＞0
二次函数练习题 班级 姓名 成绩 二次函数所描述的关系 1．下列函数中，哪些是二次函数？ (1）y=3(x-1)2+1 （2）y=x ＋ x 1 （3）s=3-2t （4）y=x x -21 (5)y=(x+3)2-x 2 (6) v=10πr 2 2．下列函数中：①y =－x 2；②y =2x ；③y =22+x 2－x 3；④m =3－t －t 2是二次函数的是______(其中x 、t 为自变量). 3．若y=（m ＋1）x 5 62--m m 是二次函数，则m=（ ） A ．－1 B ．7 C ．－1或7 D ．以上都不对 4．下列各关系式中，属于二次函数的是(x 为自变量) A ．y = 8 1x 2 B ．y =12 -x C ．y = 21x D ．y =a 2x 5．函数y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 是常数)是二次函数的条件是 A ．a ≠0，b ≠0，c ≠0 B ．a <0，b ≠0，c ≠0 C ．a >0，b ≠0，c ≠0 D ．a ≠0 6．自由落体公式h = 2 1gt 2 (g 为常量)，h 与t 之间的关系是 A.正比例函数 B.一次函数 C.二次函数 D.以上答案都不对 7．下列结论正确的是 A ．y =ax 2是二次函数 B ．二次函数自变量的取值范围是所有实数 C ．二次方程是二次函数的特例 D ．二次函数的取值范围是非零实数 8．已知函数y =(m 2－m )x 2+(m －1)x +m +1. (1)若这个函数是一次函数，求m 的值; (2)若这个函数是二次函数，求m 的值 9．如果函数y=x 2 32+-k k +kx+1是二次函数，则k 的值一定是______ 10．如果函数y=(k －3) x 2 32+-k k +kx+1是二次函数,则k 的值一定是______ 11．下列函数属于二次函数的是（ ） A ．y=x － x 1 B ．y=（x －3）2－x 2 C ．y=21x －x D ．y=2（x ＋1）2 －1 12． 在半径为5㎝的圆面上，从中挖去一个半径为x ㎝的圆面，剩下一个圆环的面积为y ㎝2 ，则y 与x 的函数关系式为（ ） A ．y=πx 2 －5 B ．y=π（5－x ）2 C ．y=－（x 2 ＋5） D ．y=－πx 2 ＋25π 结识抛物线y=ax 2
初三数学二次函数教案 二次函数在初三阶段会学习到，而且是数学学习重点，那么同学们应该如何掌握好二次函数的学习呢?教师又应该如何设计教案帮助同学们更好第学习二次函数呢? 教学目标: 1.经历探索二次函数y=ax2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验。 2.能够利用描点法作出函数y=ax2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y=ax2的性质，初步建立二次函数表达式与图象之间的联系。 3.能根据二次函数y=ax2的图象，探索二次函数的性质(开口方向、对称轴、顶点坐标)。 教学重点:二次函数y=ax2的图象的作法和性质 教学难点:建立二次函数表达式与图象之间的联系 教学方法:自主探索，数形结合 教学建议: 利用具体的二次函数图象讨论二次函数y=ax2的性质时，应尽可能多地运用小组活动的形式，通过学生之间的合作与交流，进行图象和图象之间的比较，表达式和表达式之间的比较，建立图象和表达式之间的联系，以达到学生对二次函数性质的真正理解。 教学过程: 一、认知准备: 1.正比例函数、一次函数、反比例函数的图象分别是什么? 2.画函数图象的方法和步骤是什么?(学生口答)
你会作二次函数y=ax2的图象吗?你想直观地了解它的性质吗?本节课我们一起探索。 二、新授: (一)动手实践:作二次函数y=x2和y=-x2的图象 (同桌二人，南边作二次函数y=x2的图象，北边作二次函数y=-x2的图象，两名学生黑板完成) (二)对照黑板图象议一议:(先由学生独立思考，再小组交流) 1.你能描述该图象的形状吗? 2.该图象与x轴有公共点吗?如果有公共点坐标是什么? 3. 当x<0时，随着x的增大，y如何变化?当x>0时呢? 4.当x取什么值时，y值最小?最小值是什么?你是如何知道的? 5.该图象是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么?请你找出几对对称点。 (三) 学生交流: 1.交流上面的五个问题(由问题1引出抛物线的概念，由问题2引出抛物线的顶点) 2.二次函数y=x2 和y=-x2的图象有哪些相同点和不同点? 3.教师出示同一直角坐标系中的两个函数y=x2 和y=-x2 图象，根据图象回答: (1)二次函数y=x2和y=-x2 的图象关于哪条直线对称? (2)两个图象关于哪个点对称? (3)由y=x2 的图象如何得到y=-x2 的图象? (四) 动手做一做:
二次函数知识点归纳 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 （1）抛物线2 ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点； ②当0a 时，开口向上；当0 二次函数知识点归纳及相关典型题 第一部分 基础知识 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 （1）抛物线2 ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点； ②当0a 时，开口向上；当0最新史上最全初三数学二次函数知识点归纳总结