西安爱知初级中学数学全等三角形单元复习练习(Word版含答案) 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）
1．在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD=1
2
BC，则△ABC的顶角的度数为
_____．
【答案】30°或150°或90°
【解析】
试题分析：分两种情况；①BC为腰，②BC为底，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠ACD=30°，然后分AD在△ABC内部和外部两种情况求解即可．
解：①BC为腰，
∵AD⊥BC于点D，AD=1
2 BC，
∴∠ACD=30°，
如图1，AD在△ABC内部时，顶角∠C=30°，
如图2，AD在△ABC外部时，顶角∠ACB=180°﹣30°=150°，
②BC为底，如图3，
∵AD⊥BC于点D，AD=1
2 BC，
∴AD =BD =CD ，
∴∠B =∠BAD ，∠C =∠CAD ，
∴∠BAD +∠CAD =
12
×180°=90°， ∴顶角∠BAC =90°， 综上所述，等腰三角形ABC 的顶角度数为30°或150°或90°．
故答案为30°或150°或90°．
点睛：本题考查了含30°交点直角三角形的性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
2．如图，在ABC 中，AB AC >，按以下步骤作图：分别以点B 和点C 为圆心，大于BC 一半长为半径作画弧，两弧相交于点M 和点N ，过点M N 、作直线交AB 于点D ，连接CD ，若10AB =，6AC =，则ADC 的周长为_____________________．
【答案】16
【解析】
【分析】
利用基本作图可以判定MN 垂直平分BC ，则DC=DB ，然后利用等线段代换得到ACD ?的周长=AB+AC ，再把10AB =，6AC =代入计算即可．
【详解】
解：由作法得MN 垂直平分BC ，则DC=DB ，
10616ACD C CD AC AD DB AD AC AB AC ?=++=++=+=+=
故答案为：16．
【点睛】
本题考查了基本作图和线段垂直平分线的性质，熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）是本题的关键．
3．如图，1AB A B =，1112A B A A =，2223A B A A =，3334A B A A =，…，当2n ≥，70A ∠=?时，11n n n A A B --∠=__________．
【答案】1702n -? 【解析】
【分析】
先根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出121B A A ∠，232B A A ∠及343B A A ∠的度数，再找出规律即可得出11n n n A A B --∠的度数．
【详解】
解：∵在1ABA ?中，70A ∠=?，1AB A B =
∴170BA A A ∠==?∠
∵1112A A A B =，1BA A ∠是121A A B ?的外角
∴12111211703522B A A A B A BA A ?∠=∠==
=?∠ 同理可得，2321217017.542B A A BA A ?∠=
==?∠，343131708.7582B A A BA A ?∠===?∠ ∴111702n n n n A A B ---?∠=
． 故答案为：
1
702n -? 【点睛】
本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据特殊情况找出规律是解题关键．
4．如图，在等腰直角三角形ABC 中，90ACB ∠=?，4AC BC ==，D 为BC 中点，E 为AC 边上一动点，连接DE ，以DE 为边并在DE 的右侧作等边DEF ?，连接BF ，则BF 的最小值为______.
【答案】3
【解析】
【分析】
由60°联想旋转全等，转换动长为定点到定线的长，构建等边三角形BDG，利用△BDF≌△GDE，转换BF=GE，然后即可求得其最小值.
【详解】
以BD为边作等边三角形BDG，连接GE，如图所示：
∵等边三角形BDG，等边三角形DEF
∴∠BDG=∠EDF=60°，BD=GD=BG，DE=DF=EF
∴∠BDG+∠GFD=∠EDF+∠GFD，即∠BDF=∠GDE
∴△BDF≌△GDE（SAS）
∴BF=GE
当GE⊥AC时，GE有最小值，如图所示GE′，作DH⊥GE′
∴BF=GE=CD+1
2
DG=2+1=3
故答案为：3.
【点睛】
此题主要考查等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题关键是由60°联想旋转全等，转换动长为定点到定线的长.
5．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内的两点，AE平分∠BAC，
∠D=∠DBC=60°，若BD=5cm，DE=3cm，则BC的长是 ______cm．
【答案】8．
【解析】
【分析】
作出辅助线后根据等边三角形的判定得出△BDM为等边三角形，△EFD为等边三角形，从而得出BN的长，进而求出答案．
【详解】
解：延长DE交BC于M，延长AE交BC于N，作EF∥BC于F，
∵AB=AC，AE平分∠BAC，
∴AN⊥BC，BN=CN，
∵∠DBC=∠D=60°，
∴△BDM为等边三角形，
∴△EFD为等边三角形，
∵BD=5，DE=3，
∴EM=2，
∵△BDM为等边三角形，
∴∠DMB=60°，
∵AN⊥BC，
∴∠ENM=90°，
∴∠NEM=30°，
∴NM=1，
∴BN=4，
∴BC=2BN=8（cm），
故答案为8．
【点睛】
本题考查等边三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．
6．等腰三角形一边长等于4，一边长等于9，它的周长是__．
【答案】22
【解析】
【分析】
等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形；
【详解】
解：因为4+4=8<9，0<4<9+9=18，
∴腰的不应为4，而应为9，
∴等腰三角形的周长=4+9+9=22.
故答案为22.
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去.
7．在△ABC 中，∠ACB＝90o，D、E 分别在 AC、AB 边上，把△ADE 沿 DE 翻折得到△FDE，点 F 恰好落在 BC 边上，若△CFD 与△BFE 都是等腰三角形，则∠BAC 的度数为_________．【答案】45°或60°
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，设∠BAC的度数为x，则∠B=90°-x，∠EFB =135°-x，∠BEF=2x-45°，
当△BFE 都是等腰三角形，分三种情况讨论，即可求解.
【详解】
∵∠ACB＝90o，△CFD是等腰三角形，
∴∠CDF=∠CFD=45°，
设∠BAC的度数为x，
∴∠B=90°-x，
∵△ADE 沿 DE 翻折得到△FDE，点 F 恰好落在 BC 边上，
∴∠DFE=∠BAC=x，
∴∠EFB=180°-45°-x=135°-x，
∵∠ADE=∠FDE，
∴∠ADE=（180°-45°）÷2=67.5°，
∴∠AED=180°-∠ADE-∠BAC=180°-67.5° -x=112.5°-x，
∴∠DEF=∠AED=112.5°-x，
∴∠BEF=180°-∠AED-∠DEF=180°-（112.5°-x）-（112.5°-x）=2x-45°，
∵△BFE 都是等腰三角形，分三种情况讨论：
①当FE=FB时，如图1，
则∠BEF=∠B，
∴90-x=2x-45，解得：x=45；
②当BF=BE时，
则∠EFB=∠BEF，
∴135-x=2x-45，
解得：x=60，
③当EB=EF时，如图2，
则∠B=∠EFB，
∴135-x=90-x，无解，
∴这种情况不存在.
综上所述：∠BAC 的度数为：45°或60°.
故答案是：45°或60°.
图1 图2
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质定理，用代数式表示角度，并进行分类讨论，是解题的关键.
8．在下列结论中：①有三个角是60?的三角形是等边三角形；②有一个外角是120?的等腰三角形是等边三角形；③有一个角是60?，且是轴对称的三角形是等边三角形；④有一腰上的高也是这腰上的中线的等腰三角形是等边三角形．其中正确的是__________.
【答案】①②③④
【解析】
【分析】
依据等边三角形的定义，含有一个600角的等腰三角形是等边三角形判断即可.
【详解】
有三个角是600的三角形是等边三角形，故①正确；外角是1200时，邻补角为600，即有一个内角是600的等腰三角形是等边三角形，故②正确；轴对称的三角形是等腰三角形，且含有一个600角，因此是等边三角形，故③正确；一腰上的高也是中线，故底边等于腰长，所以此三角形是等边三角形，故④正确.
故此题正确的是①②③④.
【点睛】
此题考查等边三角形的判定方法，熟记方法才能熟练运用.
9．如图，在四边形ABCD中，∠A=60°，∠ADC=∠ABC=90°，在AB、AD上分别找一点F、E，连接CE、EF、CF，当△CEF的周长最小时，则∠ECF的度数为______．
【答案】60°
【解析】
【分析】
此题需分三步：第一步是作出△CEF的周长最小时E、F的位置（用对称即可）；第二步是证明此时的△CEF的周长最小（利用两点之间线段最短）；第三步是利用对称性求此时
∠ECF的值.
【详解】
分别作出C关于AD、AB的对称点分别为C1、C2，连接C1C2，分别交AD，AB于点E、F再连接CE、CF此时△CEF的周长最小，理由如下：
在AD、AB上任意取E1、F1两点
根据对称性：
∴CE=C1E，CE1=C1E1，CF=C2F，CF1=C2F1
∴△CEF的周长= CE＋EF＋CF= C1E＋EF＋C2F= C1C2
而△CE1F1的周长= CE1＋E1F1＋CF1= C1E1＋E1F1＋C2F1
根据两点之间线段最短，故C1E1＋E1F1＋C2F1＞C1C2
∴△CEF的周长的最小为：C1C2.
∵∠A=60°，∠ADC=∠ABC=90°
∴∠DCB=360°－∠A－∠ADC－∠ABC=120°
∴∠C C1C2＋∠C C2C1=180°－∠DCB=60°
根据对称性：∠C C1C2=∠E CD，∠C C2C1=∠F CB
∴∠E CD＋∠F CB=∠C C1C2＋∠C C2C1=60°
∴∠ECF=∠DCB－（∠E CD＋∠F CB）=60°
故答案为：60°
【点睛】
此题考查的是周长最小值的作图方法（对称点），及周长最小值的证法：两点之间线段最短，掌握周长最小值的作图方法是解决此题的关键.
10．如图，在△ABC 中，AB=AC ，AB 边的垂直平分线DE 交AC 于点D ．已知△BDC 的周长为14，BC=6，则AB=___．
【答案】8
【解析】
试题分析：根据线段垂直平分线的性质，可知AD=BD ，然后根据△BDC 的周长为
BC+CD+BD=14，可得AC+BC=14，再由BC=6可得AC=8，即AB=8.
故答案为8.
点睛：此题主要考查了线段的垂直平分线的性质，解题时，先利用线段的垂直平分线求出BD=AD ，然后根据三角形的周长互相代换，即可其解.
二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）
11．如图，ABC ，分别以AB 、AC 为边作等边三角形ABD 与等边三角形ACE ，连接BE 、CD ，BE 的延长线与CD 交于点F ，连接AF ，有以下四个结论：①BE CD =；②FA 平分EFC ∠；③FE FD =；④FE FC FA +=．其中一定正确的结论有（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C
【解析】
【分析】 根据等边三角形的性质证出△BAE ≌△DAC ，可得BE =CD ，从而得出①正确；
过A 作AM ⊥BF 于M ，过A 作AN ⊥DC 于N ，由△BAE ≌△DAC 得出∠BEA =∠ACD ，由等角的补角相等得出∠AEM =∠CAN ，由AAS 可证△AME ≌△ANC ，得到AM =AN ，由角平分线的判定定理得到FA 平分∠EFC ，从而得出②正确；
在FA 上截取FG ，使FG =FE ，根据全等三角形的判定与性质得出△AGE ≌△CFE ，可得
AG=CF，即可求得AF=CF+EF，从而得出④正确；
根据CF+EF=AF，CF+DF=CD，得出CD≠AF，从而得出FE≠FD，即可得出③错误．【详解】
∵△ABD和△ACE是等边三角形，
∴∠BAD=∠EAC=60°，AE=AC=EC．
∵∠BAE+∠DAE=60°，∠CAD+∠DAE=60°，
∴∠BAE=∠DAC，
在△BAE和△DAC中，
∵
AB AD
BAE DAC
AE AC
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
，
∴△BAE≌△DAC（SAS），
∴BE=CD，①正确；
过A作AM⊥BF于M，过A作AN⊥DC于N，如图1．
∵△BAE≌△DAC，
∴∠BEA=∠ACD，
∴∠AEM=∠ACN．
∵AM⊥BF，AN⊥DC，
∴∠AME=∠ANC．
在△AME和△ANC中，∵∠AEM=∠CAN，∠AME=∠ANC，AE=AC，
∴△AME≌△ANC，
∴AM=AN．
∵AM⊥BF，AN⊥DC，AM=AN，FA平分∠EFC，②正确；
在FA上截取FG，使FG=FE，如图2．
∵∠BEA=∠ACD，∠BEA+∠AEF=180°，
∴∠AEF+∠ACD=180°，
∴∠EAC+∠EFC=180°．
∵∠EAC=60°，
∴∠EFC=120°．
∵FA平分∠EFC，
∴∠EFA=∠CFA=60°．
∵EF=FG，∠EFA=60°，
∴△EFG是等边三角形，
∴EF=EG．
∵∠AEG+∠CEG=60°，∠CEG+∠CEF=60°，
∴∠AEG=∠CEF，
在△AGE和△CFE中，
∵
AE AC
AEG CEF
EG EF
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
，
∴△AGE≌△CFE（SAS），
∴AG=CF．
∵AF=AG+FG，
∴AF=CF+EF，④正确；
∵CF+EF=AF，CF+DF=CD，CD≠AF，
∴FE≠FD，③错误，
∴正确的结论有3个．
故选C．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确作辅助线是解答本题的关键．
12．在Rt ABC
?中，90
ACB
∠=?，以ABC
?的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在ABC
?的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多可画几个？
（）
A．9个B．7个C．6个D．5个
【答案】B
【解析】
【分析】
先以Rt ABC
?三个顶点分别为圆心，再以每个顶点所在的较短边为半径画弧，即可确定等腰三角形的第三个顶点；也可以作三边的垂直平分线确定等腰三角形的第三个顶点即得．【详解】
解：①如图1，以B 为圆心，BC 长为半径画弧，交AB 于点D ，则?BCD 就是等腰三角形；
②如图2，以A 为圆心，AC 长为半径画弧，交AB 于点E ，则?ACE 就是等腰三角形； ③如图3，以C 为圆心，BC 长为半径画弧，交AB 于M ，交AC 于点F ，则?BCM 、?BCF 是等腰三角形；④如图4，作AC 的垂直平分线交AB 于点H ，则?ACH 就是等腰三角形；⑤如图5，作AB 的垂直平分线交AC 于点G ，则?AGB 就是等腰三角形；⑥如图6，作BC 的垂直平分线交AB 于I ，则?BCI 就是等腰三角形．
故选：B ．
【点睛】
本题考查等腰三角形的判定的应用，通过作垂直平分线或者画弧的方法确定相等的边是解题关键．
13．如图，30MON ∠=?．点1A ，2A ，3A ，?，在射线ON 上，点1B ，2B ，3B ，?，在射线OM 上，112A B A ?，223A B A ?，334
A B A ?，?均为等边三角形，若11OA =，则201920192020A B A ?的边长为（ ）
A ．20172
B ．20182
C ．20192
D ．20202
【答案】B
【解析】
【分析】 根据等边三角形的性质和30MON ∠=?，可求得1130∠=?OB A ，进而证得11OA B ?是等
腰三角形，可求得2OA 的长，同理可得22OA B ?是等腰三角形，可得222=A B OA ，同理得
规律333、
、=???=n n n A B OA A B OA ，即可求得结果． 【详解】
解：∵30MON ∠=?，112A B A ?是等边三角形，
∴11260∠=?B A A ，1112A B A A =
∴1111230∠=∠-∠=?OB A B A A MON ，
∴11∠=∠OB A MON ，则11OA B ?是等腰三角形，
∴111=A B OA ，
∵11OA =，
∴11121==A B A A OA =1，21122=+=OA OA A A ，
同理可得22OA B ?是等腰三角形，可得222=A B OA =2，
同理得23342==A B 、34482==A B ，
根据以上规律可得：2018201920192=A B ，即201920192020A B A ?的边长为20182，
故选：B ．
【点睛】
本题属于探索规律题，主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，掌握等边三角形的三个内角都是60°、等角对等边和探索规律并归纳公式是解题的关键．
14．在坐标平面上有一个轴对称图形，其中A （3，﹣
52
）和B （3，﹣112）是图形上的一对对称点，若此图形上另有一点C （﹣2，﹣9），则C 点对称点的坐标是（ ）
A ．（﹣2，1）
B ．（﹣2，﹣32）
C ．（﹣32
，﹣9） D ．（﹣2，﹣1） 【答案】A
【解析】
【分析】 先利用点A 和点B 的坐标特征可判断图形的对称轴为直线y=-4，然后写出点C 关于直线y=-4的对称点即可．
【详解】
解：∵A （3，﹣
52
）和B （3，﹣112）是图形上的一对对称点， ∴点A 与点B 关于直线y ＝﹣4对称， ∴点C （﹣2，﹣9）关于直线y ＝﹣4的对称点的坐标为（﹣2，1）．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了坐标与图形的变化，需要注意关于直线对称：关于直线x=m 对称，则两点的纵
坐标相同，横坐标和为2m；关于直线y=n对称，则两点的横坐标相同，纵坐标和为2n．
15．如图，△ABC中，AB＝AC，且∠ABC＝60°，D为△ABC内一点，且DA＝DB，E为△ABC 外一点，BE＝AB，且∠EBD＝∠CBD，连DE，CE. 下列结论：①∠DAC
＝∠DBC；
②BE⊥AC ；③∠DEB＝30°. 其中正确的是（）
A．①... B．①③... C．② ... D．①②③
【答案】B
【解析】
【分析】
连接DC,证ACD BCD DAC DBC
∠∠
?=
得出①，再证BED BCD
?，得出BED BCD30
∠∠
==?;其它两个条件运用假设成立推出答案即可.
【详解】
解：证明：连接DC，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠ACB=60°，
∵DB=DA，DC=DC，
在△ACD与△BCD中，
AB BC
DB DA
DC DC
=
?
?
=
?
?=
?
,
∴△ACD≌△BCD （SSS），
由此得出结论①正确；
∴∠BCD=∠ACD=
1
30
2
ACB
∠=?
∵BE=AB，
∴BE=BC，
∵∠DBE=∠DBC，BD=BD，
在△BED与△BCD中，
BE BC
DBE DBC
BD BD
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
,
∴△BED ≌△BCD （SAS ），
∴∠DEB=∠BCD=30°．
由此得出结论③正确；
∵EC ∥AD ，
∴∠DAC=∠ECA ，
∵∠DBE=∠DBC ，∠DAC=∠DBC ，
∴设∠ECA=∠DBC=∠DBE=∠1，
∵BE=BA ，
∴BE=BC ，
∴∠BCE=∠BEC=60°+∠1，
在△BCE 中三角和为180°，
∴2∠1+2（60°+∠1）=180°
∴∠1=15°，
∴∠CBE=30，这时BE 是AC 边上的中垂线，结论②才正确．
因此若要结论②正确，需要添加条件EC ∥AD.
故答案为：B.
【点睛】
本题考查的知识点主要是全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质，通过已知条件作出恰当的辅助线是解题的关键点.
16．如图，在四边形ABCD 中，AB AC =，60ABD ∠=，75ADB ∠=，
30BDC ∠=，则DBC ∠=（ ）°
A ．15
B ．18
C ．20
D ．25
【答案】A
【解析】
【分析】 延长BD 到M 使得DM =DC ，由△ADM ≌△ADC ，得AM =AC =AB ，得△AMB 是等边三角形，得∠ACD =∠M =60°，再求出∠BAO 即可解决问题.
【详解】
如图，延长BD 到M 使得DM =DC.
∵∠ADB =75°，
∴∠ADM =180°﹣∠ADB =105°.
∵∠ADB =75°，∠BDC =30°，
∴∠ADC =∠ADB +∠BDC =105°，
∴∠ADM =∠ADC.
在△ADM和△ADC中，
∵
AD AD
ADM ADC
DM DC
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
，
∴△ADM≌△ADC，
∴AM=AC.
∵AC=AB，
∴AM=AC=AB，∠ABC=∠ACB.
∵∠ABD=60°，
∴△AMB是等边三角形，
∴∠M=∠DCA=60°.
∵∠DOC=∠AOB，∠DCO=∠ABO=60°，
∴∠BAO=∠ODC=30°.
∵∠CAB+∠ABC+∠ACB=180°，
∴30°+2(60°+∠CBD)=180°，
∴∠CBD=15°.
故选：A.
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是添加辅助线构造全等三角形，题目有一定难度.
17．如图，在等腰△ABC中，AB=AC=6,∠BAC=120°，点P、Q分别是线段BC、射线BA上一点，则CQ+PQ的最小值为（）
A．6 B．7.5 C．9 D．12
【答案】C
【分析】
通过作点C 关于直线AB 的对称点，利用点到直线的距离垂线段最短，即可求解.
【详解】
解：如图，作点C 关于直线AB 的对称点1C ，1CC 交射线BA 于
H ，过点1C 作BC 的垂线，垂足为P ，与AB 交于点Q ，CQ+PQ 的长即为1PC 的长.
∵AB=AC=6,∠BAC=120°，
∴∠ABC=30°，
易得BC=63，
在Rt △BHC 中，∠ABC=30°，
∴HC=33，∠BCH=60°，
∴163CC =，
在1Rt △PCC 中，1PCC ∠=60°，
∴19PC =
∴CQ+PQ 的最小值为9，
故选：C.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质以及利用对称点求最小值的问题，认真审题作出辅助线是解题的关键.
18．如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A 、E 重合），在AE 同侧分别作等边三角形ABC 和等边三角形CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连接PQ ．以下五个结论：①AD ＝BE ；②AP ＝BQ ；③PQ ∥AE ；④DE ＝DP ；⑤∠AOE ＝120°；其中正确结论的个数为（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
【答案】C
【分析】
①由于△ABC和△CDE是等边三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，从而证出△ACD≌△BCE，可推知AD=BE，故①正确；
②由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△ACP≌△BCQ （ASA），所以AP=BQ；故②正确；
③根据②△CQB≌△CPA（ASA），再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由
∠PQC=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，可知③正确；
④根据∠QCP=60°，∠DPC=∠BCA+∠PAC＞60°，可知PD≠CD，可知④错误；
⑤利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是
∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，由平角的性质可得∠AOE=120°，可知⑤正确；
【详解】
①∵△ABC和△CDE为等边三角形
∴AC＝BC，CD＝CE，∠BCA＝∠DCB＝60°
∴∠ACD＝∠BCE
∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴AD＝BE，故①正确；
由（1）中的全等得∠CBE＝∠DAC，且BC＝AC，∠ACB＝∠BCQ＝60°
∴△CQB≌△CPA（ASA），
∴AP＝BQ，故②正确；
∵△CQB≌△CPA，
∴PC＝PQ，且∠PCQ＝60°
∴△PCQ为等边三角形，
∴∠PQC＝∠DCE＝60°，
∴PQ∥AE，故③正确，
∵∠QCP＝60°，∠DPC＝∠BCA+∠PAC＞60°，
∴PD≠CD，
∴DE≠DP，故④DE＝DP错误；
∵BC∥DE，
∴∠CBE＝∠BED，
∵∠CBE＝∠DAE，
∴∠AOB＝∠OAE+∠AEO＝60°，
∴∠AOE＝120°，故⑤正确，
故选C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，综合性较强，题目难度较大．
19．如图，等边
△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上的一点，当PA=CQ时，连接PQ交AC于点D，下列结论中不一定正确的是（）
A．PD=DQ B．DE=1 2
AC C．AE=
1
2
CQ D．PQ⊥AB
【答案】D
【解析】
过P作PF∥CQ交AC于F，∴∠FPD=∠Q，∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ACB=60°，∴∠A=∠AFP=60°，∴AP=PF，∵PA=CQ，∴PF=CQ，在△PFD与△DCQ 中，
FPD Q
PDE CDQ
PF CQ
∠=∠
?
?
∠=∠
?
?=
?
，∴△PFD≌△QCD，∴PD=DQ，DF=CD，∴A选项正确，
∵AE=EF，∴DE=
1
2
AC，∴B选项正确，∵PE⊥AC，∠A=60°，∴AE=
1
2
AP=
1
2
CQ，∴C选项正确，故选D．
20．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是长方形，点A、C的坐标分别为A（10，0 ），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为（）
A．（3，4），（2，4）B．（3，4），（2，4），（8，4）C．（2，4），（8，4）
D．（3，4），（2，4），（8，4），（2.5
，4）
【答案】B
【解析】
试题解析：有两种情况：①以O为圆心，以5为半径画弧交BC于P点，此时OP=OD=5，在Rt△OPC中，OC=4，OP=5，
由勾股定理得PC=3，
则P的坐标是（3，4）；
②以D为圆心，以5为半径画弧交BC于P′和P″点，此时DP′=DP″=OD=5，
过P′作P′N⊥OA于N，
在Rt△OP′N中，设CP′=x，
则DN=5-x，P′N=4，OP=5，由勾股定理得：42+（5-x）2=52，
x=2，
则P′的坐标是（2，4）；
过P″作P″M⊥OA于M，
设BP″=a，
则DM=5-a，P″M=4，DP″=5，
在Rt△DP″M中，由勾股定理得：（5-a）2+42=52，
解得：a=2，
∴BP″=2，CP″=10-2=8，
即P″的坐标是（8，4）；
假设0P=PD，则由P点向0D边作垂线，交点为Q则有PQ2十QD2=PD2，
∵0P=PD=5=0D，
∴此时的△0PD为正三角形，于是PQ=4，QD=1
2
0D=2.5，PD=5，代入①式，等式不成
立．所以排除此种可能．故选B．
全等三角形[知识要点] 一、全等三角形 一般三角形直角三角形 判 定 边角边（SAS）、角边角（ASA） 角角边（AAS）、边边边（SSS） 具备一般三角形的判定方法 斜边和一条直角边对应相等 （HL） 性 质 对应边相等，对应角相等 对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等 ②全等三角形面积相等． 2．证题的思路： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ） 找任意一边（ ） 找两角的夹边（ 已知两角 ） 找夹已知边的另一角（ ） 找已知边的对角（ ） 找已知角的另一边（ 边为角的邻边 ） 任意角（ 若边为角的对边，则找 已知一边一角 ） 找第三边（ ） 找直角（ ） 找夹角（ 已知两边 AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 例1在△ABC中，AC=5，中线AD=4，则边AB的取值范围是( ) A．1 3．如图，把大小为4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形，例如图1．请 在下图中，沿着虚线画出四种不同的分法，把4×4的正方形方格图形分割成两 个全等图形． 4．如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3=28：5：3，则∠a的度数为 5．如图，已知0A=OB，OC=0D，下列结论中：①∠A=∠B；②DE=CE；③连OE，则0E平分∠0，正确的是( ) A．①② B。②③ C．①③ D．①②③ 6．如图，A在DE上，F在AB上，且AC=CE，∠l=∠2=∠3，则DE的长等于( )． A：DC B．BC C．AB D．AE+AC 7．如图，AB∥CD，AC∥DB，AD与BC交于0，AE⊥BC．于E，DF⊥BC于F，那 么图中全等的三角形有( )对 A．5 B．6 C．7 D．8 8.如图，把△ABC绕点C顺时针旋转35度，得到△A′B′C, A′B′交AC乎点D，已知∠A′DC=90°，求∠A的度数 9..如图，在△ABE和△ACD中，给出以下四个论断：①AB=AC；②AD=AE③AM=AN④AD⊥DC，AE⊥BE．以其中三个论断为题设，填入下面的“已知”栏中，一个论断为结论，填入下面的“求证”栏中，使之组成一个真命题，并写出证明过程 已知： 求证： 全等三角形拔高题 如图,在厶ABC 中,D 是边BC 上一点,AD 平分/ BAC 在AB 上截取AE=AC 连结DE 已知DE=2cm BD=3cm 求线段BC 的长 2. BD = CE, AD 与BE 相交于点P,求ZAPE 的大小。 3. A 已知等边三角形ABC 中, 若/ BAE 的平分线AF 交BE 于F , AC=8求DC 的长 已知：如图所示,BD 为/ ABC 的平分线,AB=BC 点P 在BD 上 , PMLAD 于 M ?PN1 CD 于 N , 5. 判断PM 与PN 的关系. 4. 如图所示，P 为/ AOB 的平分 线上一点,PCI OA 于 C, ?/ OAP+Z OBP=180° , 若 OC=4cm 求 AO+B (的值. 如图所示,A , E , F , C 在一 条直线上,AE=CF 过E , F 分别作DE?LAC, BF 丄AC,若 EF,为什么？若将△ DEC 的边EC 沿 AB=CD 可以得到BD 平分 AC 方向移动,变为如图所示时,其余条件不变,上述结论是否 成立？请说明理由. 6.如图,△ ABC 中 , D 是BC 的中点,过D 点的直线GF 交AC 于F ,交AC 的平行线BG 于G 点, DE 丄DF,交AB 于点E,连结EG EF. 求证：BG=CF; 请你判断BE+CF 与 EF 的大小关系，并说明理由。 7.已知：如图 E 在厶ABC 的边 AC 上,且/ AEB= / ABC ⑴求证：/ ABE " C; FD// BC 交 AC 于 D ,设 AB=5 0 (1) (2) 于点N ，试判断线段BN 与CN 的数量关系, 并证明你的结论. 9.已知：如 C 8.如图，在厶ABC 和厶DCB 中，AB= DC AC= DB AC 与 DB 交于点M 求证：△ ABC^A DCB ； 过点C 作CN// BD,过点B 作BN// AC CN 与BN 交 且DOAE, E 为AB 的中点, 1. A B C D E 固始三中八年级上期《全等三角形》数学培优作业 （考查内容：边角边） 命题人：吴全胜1、已知：如图，AB＝AC，F、E分别是AB、AC的中点。求证：△ABE≌△ACF。 2、已知：点A、F、E、C在同一条直线上，AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF． 求证：△ABE≌△CDF． 3、已知：如图AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE，求证：△ABD≌△ACE 4、如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，试说明△ABD≌△ACD。 A B D C 5、已知：如图，AD∥BC，CB AD=。求证：CBA ADC? ? ?。 6、已知：如图，AD∥BC，CB AD=，CF AE=。求证：CEB AFD? ? ?。 7、已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，DB AC=，DF AE=，AD EA⊥，AD FD⊥，垂足分别是A、D。求证：FDC EAB? ? ? 8、已知：如图，AC AB=，AE AD=，2 1∠ = ∠。求证：ACE ABD? ? ?。 9、如图，在ABC ?中，D是AB上一点，DF交AC于点E，FE DE=，CE AE=， AB与CF有什么位置关系？说明你判断的理由。 10、已知：如图，DBA CAB∠ = ∠，BD AC=。求证∠C=∠D 11、已知：如图，AC和BD相交于点O，OC OA=，OD OB=。 求证：DC∥AB。 12、已知：如图，AC和BD相交于点O，DC AB=，DB AC=。求证：C B∠ = ∠。 13、已知：如图,D、E分别是△ABC的边AB,AC的中点,点F在DE的延长线上,且EF=DE． 求证：(1)BD=FC (2)AB∥CF 14、已知: 如图 , AB=AC , EB=EC , AE的延长线交BC于D．求证：BD=CD． 15、已知，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上求证： BE=AD D C A B E 《全等三角形》压轴题训练 (1) 1.如图，在ABC ?中，,AD BC CE AB ⊥⊥,垂足分别为,,,D E AD CE 交于点,H EH 、3,4EB AE ===，则CH 的长是( ) A. 4 B. 5 C. 1 D. 2 2.如图，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交边 ,AC AB 于点,M N ，再分别以,M N 为圆心，大于12 MN 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D ，若4,25CD AB ==，则ABD ?的面积为( ) A. 15 B. 30 C. 45 D. 60 3.如图，在Rt ABC ?中，90,12,6C AC BC ∠=?==，一条线段,,PQ AB P Q =两点分别在线段AC 和以点A 为端点且垂直于AC 的射线AX 上运动，要使ABC ?和QPA ?全等，则AP 的长为 . 4.如图，//,,,,2,3AD BC AB BC CD DE CD ED AD BC ⊥⊥===，则ADE ?的面积为 . 5. (1)观察推理:如图①，在ABC ?中，90,ACB AC BC ∠=?=,直线l 过点C ，点,A B 在直线l 的同侧，,BD l AE l ⊥⊥，垂足分别为,D E .求证:AEC CDB ???. (2)类比探究:如图②，在Rt ABC ?中，90,4ACB AC ∠=?=，将斜边AB 绕点A 逆时 针旋转90°至AB '，连接B C '，求AB C '?的面积. (3)拓展提升:如图③，在EBC ?中，60,3E ECB EC BC ∠=∠=?==，点O 在BC 上，且2OC =，动点P 从点E 沿射线EC 以每秒1个单位长度的速度运动，连接OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转120°得到线段OF .要使点F 恰好落在射线EB 上，求点P 运动的时间t . 6.【初步探索】 (1)如图①，在四边形ABCD 中，,90AB AD B ADC =∠=∠=?. ,E F 分别是,BC CD 上的点，且EF BE FD =+.探究图中,,BAE FAD EAF ∠∠∠之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法:延长FD 到点G ，使DG BE =.连接AG .先证明ABE ADG ???，再证AEF AGF ???，可得出结论，他的结论应是 . 【灵活运用】 (2)如图②，在四边形ABCD 中，,180AB AD B D =∠+∠=?. ,E F 分别是,BC CD 上的点，且EF BE FD =+，上述结论是否仍然成立?请说明理由. 【延伸拓展】 (3)如图③，在四边形ABCD 中，180,ABC ADC AB AD ∠+∠=?=.若点E 在CB 的延长线上，点F 在CD 的延长线上，仍然满足EF BE FD =+，请写出EAF ∠与DAB ∠的数量关系，并给出证明过程. 全等三角形练习题及答案 1、下列判定直角三角形全等的方法，不正确的是（） A、两条直角边对应相等。 B、斜边和一锐角对应相等。 C、斜边和一条直角边对应相等。 D、两锐角相等。 2、在△ABC中，∠B＝∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是100°，那么在△ABC中与这100°角对应相等的角是（） A.∠A B.∠B C.∠C D.∠B或∠C 3、下列各条件中，不能作出唯一三角形的是（） A.已知两边和夹角 B.已知两角和夹边 C.已知两边和其中一边的对 角 D.已知三边 4、在△ABC与△DEF中，已知AB=DE；∠A=∠D；再加一个条件，却不能判断 △ABC与△DEF全等的 是（）. A． BC=EF B．AC=DF C．∠B=∠E D．∠C=∠F 5、使两个直角三角形全等的条件是（） A．一锐角对应相等B．两锐角对应相等 C．一条边对应相等D．两条直角边对应相等 6、在△ABC和△A'B'C'中有①AB=A'B'，②BC=B'C'，③AC=A'C'，④∠A=∠A'， ⑤∠B=∠B'，⑥∠C=∠C'，则下列各组条件中不能保证△ABC≌△A'B'C'的是（） A、①②③ B、①②⑤ C、①②④ D、②⑤⑥ 7、如图，已知∠1=∠2，欲得到△ABD≌△ACD，还须从下列条件中补选一个，错误的选法是 （） A、∠ADB=∠ADC B、∠B=∠C C、DB=DC D、AB=AC 8、如图，△ABC≌△ADE，若∠BAE=120°，∠BAD=40°，则∠BAC的度数为 A. 40° B. 80° C.120° D. 不能确定 9、如图，AE＝AF，AB＝AC，EC与BF交于点O，∠A＝600，∠B＝250，则∠EOB的度数为（） A．600 B．700C．750D．850 10、如图，已知AB＝DC，AD＝BC，E.F在DB上两点且BF＝DE，若∠AEB＝120°，∠ADB＝30°，则∠BCF= ( ) A. 150° B.40° C.80° D. 90° 11、①两角及一边对应相等②两边及其夹角对应相等③两边及一边所对的角对应相等④两角及其夹边对应相等，以上条件能判断两个三角形全等的是( ) A．①③ B．②④ C．②③④ D．①②④ 12、下列条件中，不能判定两个三角形全等的是（） A．三条边对应相等 B．两边和一角对应相等 C．两角及其一角的对边对应相等 D．两角和它们的夹边对应相等 13、如图，已知，，下列条件中不能判定⊿≌⊿的是（） （A）（B） （C）（D）∥ 14、如图，AB与CD交于点O，OA＝OC，OD＝OB，∠A=50°，∠B＝30°， 则∠D的度数为（）. 全等三角形判定与性质专题训练 一、全等三角形实际应用问题 1如图，要测量河两岸相对的两点A、B间的距离，先在过B点的AB的垂线L上取两点C、D，使CD=BC，再在过D点的垂线上取点E，使A、C、E在一条直线上，ED=AB这时，测ED的长就得AB得长，判定△ACB≌△ECD的理由是（） A. SAS B. ASA C. SSS D .AAS 2.如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是（） A．PO B．PQ C．MO D．MQ 3、如图所示，将两根钢条AA′，BB′的中点O连在一起，使A A′，BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，则A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（）A、SSS B、SAS C、ASA D、HL 4、如图：工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在∠AOB的边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，得到∠AOB的平分线OP，做法中用到三角形全等的判定方法是（） A、SSS B、SAS C、ASA D、HL 5、如图，有两个长度相等的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度 DF 相等，则这两个滑梯与地面的夹角∠ABC+∠DFE= 度 6、如图,小明把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是：( ) A 、带①去， B 、带②去 C 、带③去 D 、①②③都带去 二、证两次全等相关问题 1：如图：已知AB=AE，BC＝ED，∠B＝∠E，AF⊥CD，F为垂足,求证: CF＝DF E B 1 2 G C E G ? ? 全等三角形证明过程训练（习题） 例题示范 例 1：已知：如图，在正方形 ABCD 中，AB =CB ，∠ABC =90°．E A D 为正方形内一点，BE ⊥BF ，BE =BF ，EF 交 BC 于点 G ． 求证：AE =CF ． 【思路分析】 A D ① 读题标注： B C F ② 梳理思路： F 要证 AE =CF ，可以把它们放在两个三角形中证全等．观察发现，放在△ABE 和△CBF 中进行证明． 要证全等，需要三组条件，其中必须有一组边相等． 由 已知得，AB =CB ；BE =BF ； 根据条件∠ABC =90°，BE ⊥BF ，推理可得∠1=∠2． 因此由 SAS 可证两三角形全等． 【过程书写】（在演草部分先进行规划，然后书写过程） 证明：如图 ∵BE ⊥BF ∴∠EBF =90° ∴∠2+∠EBC =90° ∵∠ABC =90° ∴∠1+∠EBC =90° ∴∠1=∠2 在△ABE 和△CBF 中 ? A B = CB ? ∠1 = ∠2 ?BE = BF （已知） （已证） （已知） ∴△ABE ≌△CBF （SAS ） ∴AE =CF （全等三角形对应边相等） 过程规划： 1．准备不能直接用的条件： ∠1=∠2 2．证明△ABE ≌△CBF 3．根据全等性质得，AE =CF E 巩固练习 1. 如图，PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，垂足分别为点 D ，E ，且 P D =PE ， 将 上述条件标注在图中，易得 ≌ ， 从而 A D = ． D A D A P E B C 第 1 题图 第 2 题图 2. 已知：如图，AB ⊥BD 于点 B ，CD ⊥BD 于点 D ，如果要使 △ABD ≌△CDB ，那么还需要添加一组条件， 这个条件可以是 ，理由是 ； 这个条件也可以是 ，理由是 ； 这个条件也可以是 ，理由是 ； 这个条件还可以是 ，理由是 ． 3. 已知：如图，C 为 BD 上一点，AC ⊥CE ，AC =CE ，∠ABC = ∠CDE =90°．若 A B =4，DE =2，则 B D 的长为 ． A B C D 4. 已知：如图，点 A ，E ，F ，B 在同一条直线上，CE ⊥AB 于点 E ，DF ⊥AB 于点 F ，BC =AD ，AE =BF ． 求证：△CEB ≌△DFA ． A C D E F B 七年级全等测试 ?选择题（共3小题） 1. 如图，EB交AC于M，交FC于D, AB交FC于N,/ E=Z F=90° / B=Z C, AE=AF,给出下列结论：①/ 1 = /2;②BE=CF③厶ACN^A ABM:④CD=DN 其中正确的结论有（） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 2. 如图，△ ABC为等边三角形，D、E分别是AC、BC上的点，且AD=CE AE与BD相交于点P，BF丄AE于点F.若BP=4则PF的长（） A. 2 B. 3 C. 1 D. 2 二 3. 如图，OA=OC OB=OD且0A丄OB, OCX OD,下列结论：①△ AOD^A COB ②CD=AB③/ CDA=Z ABC; 其中正确的结论是（） D A.①② B.①②③ C?①③D.②③ 二.解答题（共11小题） 4. 如图，四边形ABCD中，对角线AC BD交于点O, AB=AC点E是BD上点，且AE=AD / EAD=Z BAC （1）求证：/ ABD=/ ACD (2)若/ ACB=65，求/ BDC的度数. B C 5. (1)如图①，在四边形ABCD中，AB// DC, E是BC的中点，若AE是/ BAD 的平分线，试探究AB, AD，DC之间的等量关系，证明你的结论； (2)如图②，在四边形ABCD中，AB// DC, AF与DC的延长线交于点F, E是BC 的中点，若AE是/BAF的平分线，试探究AB，AF, CF之间的等量关系，证明你的结论. 6 .已知：在△ ABC中，AB=AC D为AC的中点，DE丄AB, DF丄BC,垂足分别为点E, F,且DE=DF求证：△ ABC是等边三角形. 7. 已知，在△ ABC中，/ A=90°, AB=AC点D为BC的中点. (1)如图①，若点E、F分别为AB、AC上的点，且DE丄DF,求证：BE=AF (2)若点E、F分别为AB、CA延长线上的点，且DE丄DF,那么BE=AF吗？请利用图②说明理由. 圍①图 图圏 E D F C B A 三角形培优训练专题【三角形辅助线做法】 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。 【常见辅助线的作法有以下几种】 1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。 2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。 3、遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。 4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。 5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。 6、已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。 7、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。 1、已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围. 2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小. 全等三角形训练 一、知识点填空 (1)能够 的两个图形叫做全等形，能够 的两个三角形叫做全等三角形. (2)把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做 ，重合的边叫做 ，重合的角叫做 . (3)全等三角形的 边相等，全等三角形的 角相等. (4) 对应相等的两个三角形全等（边边边或 ）. (5)两边和它们的 对应相等的两个三角形全等（边角边或 ）. (6)两角和它们的 对应相等的两个三角形全等（角边角或 ）. (7)两角和其中一角的 对应相等的两个三角形全等（角角边或 ）. (8) 和一条 对应相等的两个直角三角形全等（斜边、直角边 或 ）. (9)角的 上的点到角的两边的距离相等. 2.如图，图中有两对三角形全等，填空： (1)△CDO ≌ ，其中，CD 的对应边是 ， DO 的对应边是 ，OC 的对应边是 ； (2)△ABC ≌ ，∠A 的对应角是 ， ∠B 的对应角是 ，∠ACB 的对应角是 . 3. 如图，OA ⊥AC ，OB ⊥BC ，填空： (1)利用“角的平分线上的点到角的两边 的距离相等”，已知 ＝ ， 可得 ＝ ； (2)利用“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”， 已知 ＝ ，可得 ＝ ； 4.如图，AB ⊥AC ，DC ⊥DB ，填空： (1)已知AB ＝DC ，利用 可以判定 △ABO ≌△DCO ； (2)已知AB ＝DC ，∠BAD ＝∠CDA ，利用 可以判△ABD ≌△DCA ； (3)已知AC ＝DB ，利用 可以判定△ABC ≌△DCB ； (4)已知AO ＝DO ，利用 可以判定△ABO ≌△DCO ； (5)已知AB ＝DC ，BD ＝CA ，利用 可以判定△ABD ≌△DCA. 二、推理填空，完成下面的证明过程： 5. 如图，OA ＝OC ，OB ＝OD. 求证：AB ∥DC. 证明：在△ABO 和△CDO 中， OA OC , AOB __________,OB OD ,?=? ∠=??=? ∴△ABO ≌△CDO （ ）. ∴∠A ＝ . A B C D E O A B C D O 12O A B C 一、填空题（每小题4分,共32分）. 1．已知：///ABC A B C ??≌，/A A ∠=∠，/B B ∠=∠，70C ∠=?，15AB cm =，则/ C ∠=_________，//A B =__________． 2．如图1，在ABC ?中，AB=AC ，AD ⊥BC 于D 点，E 、F 分别为DB 、DC 的中点，则图中共有全等三 角形_______对． 图1 图2 图3 3． 已知△ABC ≌△A ′B ′C ′，若△ABC 的面积为10 cm 2，则△A ′B ′C ′的面积为______ c m 2，若△A ′B ′C ′的周长为16 cm ，则△ABC 的周长为________cm ． 4． 如图2所示，∠1=∠2，要使△ABD ≌△ACD ，需添加的一个条件是________________(只添一个条件即可)． 5．如图3所示，点F 、C 在线段BE 上，且∠1=∠2，BC =EF ，若要使△ABC ≌△DEF ，则还需补充一个条件________，依据是________________． 6．三角形两外角平分线和第三个角的内角平分线_____一点，且该点在三角形______部． 7．如图4，两平面镜α、β的夹角 θ，入射光线AO 平行于β，入射到α上，经两 次反射后的出射光线CB 平行于α，则角θ等于________． 8．如图5，直线AE ∥BD ，点C 在BD 上，若AE ＝4，BD ＝8，△ABD 的面积为16，则ACE △ 的面积为 ______． 二、选择题（每小题4分,共24分） 9．如图6，AE ＝AF ，AB ＝AC ，E C 与BF 交于点O ，∠A ＝600，∠B ＝250，则∠E O B 的度数为（ ） A 、600 B 、700 C 、750 D 、850 10．△ABC ≌△DEF ，且△ABC 的周长为100 cm ，A 、B 分别与D 、E 对应，且AB ＝35 cm ，DF =30 cm ，则EF 的长为( ) A ．35 cm B ．30 cm C ．45 cm D ．55 cm 11．图7是一个由四根木条钉成的框架，拉动其中两根木条后，它的形状将会改变，若固定其形状，下列有四种加固木条的方法，不能固定形状的是钉在________两点上的木条．( ) A ．A 、F B ． C 、E C ．C 、A D ． E 、F 12．要测量河两岸相对的两点A 、B 的距离，先在AB 的垂线BF 上取两点C 、D ，使CD=?BC ，再定出BF 的垂线DE ，使A 、C 、E 在一条直线上，可以证明△EDC ?≌△ABC ，?得到ED=AB ，因此测得ED 的长就是AB 的长（如图8），判定△EDC ≌△ABC 的理由是（ ） N A M C B 图7 图8 图9 图10 全等三角形过程训练（二）(人教版) 一、单选题(共6道，每道16分) 1.如图，已知，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F． 求证：△AED≌△AFD． 证明：如图， _____________________ 在△AED和△AFD中 _____________________ ∴△AED≌△AFD（AAS） ①；②；③； ④；⑤． 以上空缺处依次所填最恰当的是( ) A.①③ B.①④ C.①⑤ D.②⑤ 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定 2.如图：AB∥DE，AB=ED，BF=DC．求证：△ABC≌△EDF． 证明：如图， ∵BF=DC ∴BF+FC=DC+CF 即BC=DF _____________________ 在△ABC和△EDF中 _____________________ ∴△ABC≌△EDF（______） ①；②； ③；④；⑤； ⑥SAS；⑦SSA． 以上空缺处依次所填最恰当的是( ) A.①③⑥ B.①④⑥ C.②④⑥ D.②⑤⑦ 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定 3.已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD且AD∥BC．求证：△ABD≌△CDB． 证明：如图， _____________________ 在△ABD和△CDB中 _____________________ ∴△ABD≌△CDB（ASA） ①；②；③；④．以上空缺处依次所填最恰当的是( ) A.①④ B.①③ C.②④ D.②③ 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定 4.如图，在△ABC中，∠ACD=90°，AC=BC，AE⊥BF于点E，交BC于点D．求证：△ADC≌△BFC． 全等三角形判断一 一、选择题 1. △ABC和△中，若AB＝，BC＝，AC＝.则（） A.△ABC≌△ B. △ABC≌△ C. △ABC≌△ D. △ABC≌△ 2. 如图，已知AB＝CD，AD＝BC，则下列结论中错误的是（） A.AB∥DC B.∠B＝∠D C.∠A＝∠C D.AB＝BC 3. 下列判断正确的是（） A.两个等边三角形全等 B.三个对应角相等的两个三角形全等 C.腰长对应相等的两个等腰三角形全等 D.直角三角形与锐角三角形不全等 4. 如图，AB、CD、EF相交于O，且被O点平分，DF＝CE，BF＝AE，则图中全等三角形的对数共有（） A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 5. 如图，将两根钢条，的中点O连在一起，使，可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，则的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△的理由是( ) A.边角边 B.角边角 C.边边边 D.角角边 6. 如图，已知AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，AB＝CD，BC＝ED，以下结论不正确的是（） A.EC⊥AC B.EC＝AC C.ED ＋AB ＝DB D.DC ＝CB 二、填空题 7. 如图，AB＝CD，AC＝DB，∠ABD＝25°，∠AOB＝82°，则∠DCB＝_________. 8. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD互相平分，则图中全等三角形共有_____对. 9. 如图，在△ABC和△EFD中，AD＝FC，AB＝FE，当添加条件_______时，就可得△ABC≌△EFD（SSS） 10. 如图，AC＝AD，CB＝DB，∠2＝30°，∠3＝26°，则∠CBE＝_______. 11. 如图，点D在AB上，点E在AC上，CD与BE相交于点O，且AD＝AE，AB＝AC，若∠B ＝20°，则∠C ＝______． 全等三角形——全等三角形的判定综合训练 班别 姓名 学号 一、学习目标： 能够识别并熟练掌握全等三角形的几种判定方法。 二、知识回顾：全等三角形有哪几种判定方法？ 1、如图：△ABC 与△DEF 中， ∵?? ???===__________________________________________________________ ∴△ABC ≌△DEF （ ） 2、如图：△ABC 与△DEF 中， ∵?? ? ??===__________________________________________________________ ∴△ABC ≌△DEF （ ） 3、如图：△ABC 与△DEF 中， ∵ ?? ? ??===__________________________________________________________ ∴△ABC ≌△DEF （ ） 4、如图：△ABC 与△DEF 中， ∵?? ? ??===__________________________________________________________ ∴△ABC ≌△DEF （ ） 5、如图：∠____=∠_____=90° Rt △ABC 与Rt △DEF 中， ∵?? ?==_________ ___________________ __________ ∴Rt △ABC≌Rt △DEF（ ） 三、练习： 1、已知AB=CD，BE=DF，AF=CE，则AB与CD有怎样的位置关系？ 2、已知O是AB中点，OC=OD，AOD BOC ∠=∠，求证：AC BD = 3、已知：如图, ∠1=∠2 , ∠3=∠4求证：AC=AB． 4、已知：如图, E、D、B、F在同一条直线上, AD∥CB , ∠BAD=∠BCD , DE=BF． 求证：AE∥CF. 5、如图，△ABC中，D是BC上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F分别为垂足，且AE=AF， 试说明：DE=DF，AD平分∠BAC. 全等三角形提优训练（一） （全等三角形的性质与判定的应用） 知识点 全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等,对应边上的中线相等,对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 寻找对应边和对应角,常用到以下方法： （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边. (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角. （3)有公共边的，公共边常是对应边． （4)有公共角的，公共角常是对应角. (５)有对顶角的,对顶角常是对应角. (6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角），一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角). 要想正确地表示两个三角形全等,找出对应的元素是关键． 全等三角形的判定方法: 一、全等三角形 注：①判定两个三角形全等必须有一组边对应相等; ②全等三角形面积相等． 全等三角形证明的思路： ?? ? ?? ??? ???? ? ? ????? ?? ? ?? ?????? ???????）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）找直角（）找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 练习: １、如图,在平面上将△ABC 绕B 点旋转到△A’BC’的位置时，AA’∥BC ，∠ABC ＝70°,则∠CBC’为_＿__＿___度． 2、如图∠1＝∠２＝200，AD ＝A Ｂ， ∠Ｄ＝∠B ，E 在线段BC 上，则∠A ＥＣ= 3、如图所示，ABC ADE △≌△,BC 的延长线交DA 于F ,交DE 于G ， 105ACB AED ∠=∠=,15CAD ∠=,30B D ∠=∠=,则1∠的度数为 ４、已知:如图，△OAD ≌△OBC ，且∠O=70°，∠C=25°，则∠A ＥB=_____＿__度. 5、如图,D E ，分别为ABC △的AC ,BC 边的中点,将此三角形沿DE 折叠,使点C 落在AB 边上的点P 处．若48CDE ∠=°,则APD ∠等于 6、如图,在Rt △A ＢC 中,已知∠A ＣB ＝90°,∠Ａ＝5０°，将其折叠,使点A 落在边CB 上点A ′处,折痕为ＣD,则∠Ａ′ＤB ＝ 7、如图，已知△ＡBC 为 等 边三角形, 点D 、E 分别在变边BC 、ＡC 上,且AE=CD,ＡD 与ＢE 相交于点Ｆ,则：∠BFD= 8、如图，点A 、C 、B 在同一直线上,△DAC 和△EBC 均是等边三角形，ＡE 与BD 交于点O ，AE 、 初中数学专项训练：全等三角形 一、选择题 1．如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是 A．AB=AD B．AC平分∠BCD C．AB=BD D．△BEC≌△DEC 2．如图，在△ABC和△DEB中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC ≌△DEC，不能添加的一组条件是 A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DC C．BC=DC，∠A=∠D D．∠B=∠E，∠A=∠D 3．如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=? 60，CP2 =，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是 A．2 B．2 C．3D．3 2 4．如图，在四边形ABCD中，对角线AB=AD，CB=CD，若连接AC、BD相交于点O，则图中全等三角形共有【】 A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 5．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC，则添加的条件不能为（） A．BD=CE B．AD=AE C．DA=DE D．BE=CD 6．如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（） A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC 7．如图，已知△ABC中，∠ABC=90°,AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三 条直线l 1，l 2 ，l 3 上，且l 1 ，l 2 之间的距离为1 , l 2 ，l 3 之间的距离为2 , 则AC的长是（） A ．26 B ．52 C ．24 D ．7 二、填空题 8．如图，已知∠C=∠D ，∠ABC=∠BAD ，AC 与BD 相交于点O ，请写出图中一组相等的线段 ． 9．如图，在Rt△ABC 中，∠A=Rt ∠，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，AD=3，BC=10，则△BDC 的面积是 。 10．如图，已知BC=EC ，∠BCE=∠ACD ，要使△ABC≌△DEC ，则应添加的一个条件为 ．（答案不唯一，只需填一个） 11．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AB 的垂直平分线DE 交AC 于E ，交BC 的延长线于F ，若∠F=30°，DE=1，则BE 的长是 ． 12．如图，△ABC 中，AD 是中线，AE 是角平分线，CF ⊥AE 于F ，AB=5，AC=2，则DF 的长为 ． 13．如图，在△ABC 和△DEF 中，点B 、F 、C 、E 在同一直线上，BF = CE ，AC ∥DF ，请添加一个条件，使△ABC ≌△DEF ，这个添加的条件可以是 ．（只需写一个，不添加辅助线） 14．如图，点O 是△ABC 的两条角平分线的交点，若∠BOC ＝118°，则∠A 12.1 全等三角形 一、选择题 1. 如图，△ABC≌△ECD，AB和EC是对应边，C和D是对应顶点，则下列结论中错误的是（） A. AB＝CE B. ∠A＝∠E C. AC＝DE D. ∠B＝∠D 2. 如图，△ABC≌△BAD，A和B，C和D分别是对应顶点，若AB＝6cm，AC＝4cm， BC＝5cm，则AD的长为（） A. 4cm B. 5cm C. 6cm D. 以上都不对 3. 下列说法中正确的有（） ①形状相同的两个图形是全等图形②对应角相等的两个三角形是全等三角 形③全等三角形的面积相等④若△ABC≌△DEF，△DEF ≌△MNP， △ABC≌△MNP. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 4. 如图,△ABE≌△ACD,∠B＝50°,∠AEC＝120°,则∠DAC的度数等于（） A.120° B.70° C.60° D.50° 5. 已知△ABC≌△DEF，BC＝EF＝6cm，△ABC的面积为18平方厘米，则EF边上的高是（） A.6cm B.7cm C.8cm D.9cm 6. 将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC、BD分别为折痕，则∠CBD的度数为（） A.60° B.75° C.90° D.95° 二、填空题 7. 如图，在△ABC中，AC＞BC＞AB，且△ABC≌△DEF，则在△DEF中，______ ＜______＜_______(填边). F E D C B A 8. 如图，△ABC≌△AED，AB＝AE，∠1＝27°，则∠2＝___________. 9. 已知△DEF≌△ABC，AB＝AC，且△ABC的周长为23cm，BC＝4cm，则△DEF 的边中必有一条边等于______. 10. 如图，如果将△ABC向右平移CF的长度，则与△DEF重合，那么图中相等的线段有__________；若∠A＝46°，则∠D＝________. 全等三角形综合练习（四） （补充资料一） 1． 已知：如图，△ABC 中，∠C =2∠B ，∠1=∠2。求证：AB =AC+CD 。 2． 已知：AD 平分BAC ∠，AC AB BD =+。求证：2B C ∠=∠。 3． 如图，已知AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠。求证：BD CE =。 4． 如图，在ABC △中，90C ∠=o ，D E ，分别为AC AB ，上的点，且AD BD =，AE BC =， DE DC =。求证：DE AB ⊥。 B 1 2 D C A A E D B C B C D 5． 如图1所示，A ，E ，F ，C 在一条直线上，AE ＝CF ，过E ，F 分别作DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，若AB ＝CD ， 可以得到BD 平分EF ，为什么？若将△DEC 的边EC 沿AC 方向移动，变为图2时，其余条件不变，上述结论是否成立？请说明理由。 6． 如图，△ABC 中，D 是BC 的中点，过D 点的直线GF 交AC 于F ，交AC 的平行线BG 于G 点，DE ⊥DF ，交AB 于点E ，连结EG 、EF 。 （1）求证：BG ＝CF 。 （2）请你判断BE +CF 与EF 的大小关系，并说明理由。 C A B F E G D C A B G E F D C D B A F E G 图1 图2 7． 已知：∠AOB =90°，OM 是∠AOB 的平分线，将三角板的直角顶P 在射线OM 上滑动，两直角边分 别与OA 、OB 交于C 、D 。PC 和PD 有怎样的数量关系，证明你的结论。 8． 如图：BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，BM =AC ，CN =AB 。求证：（1）AM =AN ；（2）AM ⊥AN 。 A B M O P C D A M N E F B C 1 2 3 4 全等三角形培优竞赛训练题 1、已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF丄BD交BC于F,连接DF , G为DF中点，连接EG, CG. (1 )直接写出线段EG与CG的数量关系； (2)将图1中厶BEF绕B点逆时针旋转450，如图2所示，取DF中点G,连接EG, CG. 你在(1)中得到的结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明. (3)将图1中厶BEF绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问(1) 中的结论是否仍然成立？ 图1图2图3 学习参考 2、数学课上，张老师出示了问题：如图1 ,四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点. AEF 90°，且EF交正方形外角DCG的平行线CF于点F，求证：AE= EF. 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M ,连接ME，则 AM = EC,易证△ AME =△ ECF ,所以AE EF . 在此基础上，同学们作了进一步的研究： (1)小颖提出：如图2,如果把点E是边BC的中点”改为点E是边BC上(除B, C外)的任意一点”，其它条件不变，那么结论AE=EF'仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； (2)小华提出：如图3，点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点，其他条 件不变，结论AE= EF”仍然成立.你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由 图1图2图3 3、已知Rt A ABC 中，AC BC,Z C 90, D 为AB 边的中点，EDF 90° EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB （或它们的延长线）于E、F. 1 当EDF绕D点旋转到DE AC于E时（如图1），易证S A DEF S A CEF S A ABC- 2 当EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是 否成立？若成立，请给予证明；若不成立，S A DEF、S A C EF、S A ABC又有怎样的数量关 系？请写出你的猜想，不需证明 F 图 1图2 E B 1 2 G C E G ? ? 全等三角形证明过程训练（习题） 例题示范 例 1：已知：如图，在正方形 ABCD 中，AB =CB ，∠ABC =90°．E A D 为正方形内一点，BE ⊥BF ，BE =BF ，EF 交 BC 于点 G ． 求证：AE =CF ． 【思路分析】 A D ① 读题标注： B C F ② 梳理思路： F 要证 AE =CF ，可以把它们放在两个三角形中证全等．观察发现 ，放在△ABE 和△CBF 中进行证明． 要证全等，需要三组条件，其中必须有一组边相等． 由 已知得，AB =CB ；BE =BF ； 根据条件∠ABC =90°，BE ⊥BF ，推理可得∠1=∠2． 因此由 SAS 可证两三角形全等． 【过程书写】（在演草部分先进行规划，然后书写过程） 证明：如图 ∵BE ⊥BF ∴∠EBF =90° ∴∠2+∠EBC =90° ∵∠ABC =90° ∴∠1+∠EBC =90° ∴∠1=∠2 在△ABE 和△CBF 中 ? A B = CB ? ∠1 = ∠2 ?BE = BF （已知） （已证） （已知）∴△ABE ≌△CBF （SAS ） ∴AE =CF （全等三角形对应边相等） 过程规划： 1．准备不能直接用的条件： ∠1=∠2 2．证明△ABE ≌△CBF 3．根据全等性质得，AE =CF E 巩固练习 1. 如图，PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，垂足分别为点 D ，E ，且 P D =PE ， 将 上述条件标注在图中，易得 ≌ ， 从而 A D = ． B D A D A P E B C C 第 1 题图 第 2 题图 2. 已知：如图，AB ⊥BD 于点 B ，CD ⊥BD 于点 D ，如果要使 △ABD ≌△CDB ，那么还需要添加一组条件， 这个条件可以是 ，理由是 ； 这个条件也可以是 ，理由是 ； 这个条件也可以是 ，理由是 ； 这个条件还可以是 ，理由是 ． 3. 已知：如图，C 为 BD 上一点，AC ⊥CE ，AC =CE ，∠ABC = ∠CDE =90°．若 A B =4，DE =2，则 B D 的长为 ． A B C D 4. 已知：如图，点 A ，E ，F ，B 在同一条直线上，CE ⊥AB 于点 E ，DF ⊥AB 于点 F ，BC =AD ，AE =BF ． 求证：△CEB ≌△DFA ． A C D E F B(最新最全)全等三角形练习题综合拔高题
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