第三章 三角函数、解三角形
第三讲 三角函数的图象与性质
【考纲速读吧】
1．能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性．
2．借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]，正切函数在（－π2，π
2
）上的性质．
整体思想的运用，求y ＝A sin （ωx ＋φ）（ω>0）的单调区间、周期、值域、对称轴（中心）时，把ωx ＋φ看作一个整体．
个重要性质
1．周期性：函数y ＝A sin （ωx ＋φ）和y ＝A cos （ωx ＋φ）的最小正周期为2π
|ω|
，y ＝tan （ωx ＋φ）的最小正
周期为π
|ω|
．
2．单调性：三角函数的单调性应在定义域内考虑，注意以下两种形式单调区间的不同．
①y ＝sin （π4－x ），②y ＝sin （x －π
4
）．
种必会方法
1．利用sin x 、cos x 的有界性；
2．形式复杂的函数应化为y ＝A sin （ωx ＋φ）＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；
3．换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域（最值）问题．
【课前自主导学】01
1．周期函数和最小正周期
对于函数f （x ），如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有________，则称 f （x ）为周期函数，T 为它的一个周期．若在所有周期中，有一个________的正数，则这个最小的正数叫做）的________．
若函数f （x ）满足f （x ＋2）＝－f （x ），函数f （x ）是周期函数吗？
（1）函数y ＝sin （12x ＋π
3
）的周期为________． （2）函数y ＝tan （3ax －π
3
）的最小正周期是2，则a ＝________．
2
判断以下命题的正误．
①y ＝sin x 在第一象限是增函数．（ ） ②y ＝cos x 在[0，π]上是减函数．（ ） ③y ＝tan x 在定义域上为增函数．（ ） ④y ＝|sin x |的周期为2π．（ ）
⑤y ＝k sin x ＋1，x ∈R 则y 的最大值为k ＋1．（ ）
（1）y ＝cos （x ＋π3）（x ∈[0，π]）的值域________．（2）y ＝tan （π
4
－x ）的单调递减区间__________． 【自我校对】
1．f （x ＋T ）＝f （x ） 最小 最小正周期
想一想：提示：f [（x ＋2）＋2]＝－f （x ＋2）＝f （x ），即f （x ＋4）＝f （x ），所以f （x ）是周期为4的函数．
填一填：（1）4π 提示：y ＝sin （x 2＋π3）＝sin （12x ＋2π＋π3）＝sin （12（x ＋4π）＋π3）． （2）±π
6
2．[－1,1] [－1,1] R [－π2＋2k π，π2＋2k π] [π2＋2k π，3π
2
＋2k π] [（2k －1）π，2k π] [2k π，（2k ＋1）π]
（－π2＋k π，π2＋k π） x ＝π2＋2k π －π
2
＋2k π（k ∈Z ） 2k π（k ∈Z ） π＋2k π（k ∈Z ） 奇 偶 奇
（k π，0），k ∈Z （k π＋π2，0），k ∈Z （k π2，0），k ∈Z x ＝k π＋π
2
，k ∈Z x ＝k π，k ∈Z 2π 2π π
判一判：①× ②√ ③× ④× ⑤×
填一填：（1）[－1，1
2
]
（2）（k π－π4，k π＋34π）（k ∈Z ） 提示：∵y ＝tan （π4－x ）＝－tan （x －π
4）．
∴k π－π ________ ． （2）[2012·湖南高考]函数f （x ）＝sin x －cos （x ＋π 6 ）的值域为（ ） A ． [－2,2] B ． [－3，3] C ． [－1,1] D ． [－ 32，32 ] 【审题视点】（1）由三角函数的正弦线、余弦线及单位圆进行作图求解； （2）把f （x ）化简为单个的三角函数，再确定其值域． [解析] （1）由题意，得 ? ???? 2sin x －1>0， 1－2cos x ≥0，即? ?? sin x >12，cos x ≤12 ， 首先作出sin x ＝12与cos x ＝1 2 表示的角的终边（如图所示）． 由图可知劣弧ACB 和优弧CBD 的公共部分对应角的范围是[2k π＋π3，2k π＋5π 6 ）（k ∈Z ）． 所以函数的定义域为[2k π＋π3，2k π＋5π 6 ）（k ∈Z ）． （2）f （x ）＝32sin x －32cos x ＝3sin （x －π 6 ）∈[－3， 3 ]．故选B ． [答案] （1）[2k π＋π3，2k π＋5π 6 ）（k ∈Z ） （2）B 【师说点拨】 （1）求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． （2）求解三角函数的值域（最值）常见到以下几种类型的题目： ①形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin （ωx ＋φ）＋k 的形式，再求最值（值域）； ②形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域（最值）； ③形如y ＝a sin x cos x ＋b （sin x ±cos x ）＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域（最值）； ④y ＝a sin x ＋b c cos x ＋d 的三角函数可考虑数形结合，三角函数有界性，求最值． 【变式探究】 （1）[2013·苏州模拟]函数y ＝sin x ＋16－x 2的定义域为________． （2）已知f （x ）的定义域为[0,1]，则f （cos x ）的定义域为________． （3）函数y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为________． （4）[2013·衡水统考]求函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x ，x ∈[0，π]的最值________． （5）y ＝sin x ＋2 sin x （0 （6）求函数y ＝2－cos x sin x （0 答案：（1）[－4，－π]∪[0，π] （2）{x |2k π－π2≤x ≤2k π＋π 2 ，k ∈Z } （3）[－9,1] （4）最大值为1，最小值为－1 （5）3 （6） 3 解析：（1）∵sin x ≥0 ∴2k π≤x ≤2k π＋π， ∵16－x 2≥0，∴－4≤x ≤4， 取交集得[－4，－π]∪[0，π]． （2）0≤cos x ≤1?2k π－π2≤x ≤2k π＋π 2 ，k ∈Z ． （3）y ＝2cos 2x ＋5sin x －4＝2（1－sin 2x ）＋5sin x －4＝－2sin 2x ＋5sin x －2＝－2（sin x －54）2＋9 8 ． ∴当sin x ＝1时，y max ＝1， 当sin x ＝－1时，y min ＝－9， ∴y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为[－9,1]． （4）设sin x －cos x ＝t ，t ＝2sin （x －π 4 ）， ∵x ∈[0，π]，∴x －π4∈[－π4，3 4π]， ∴t ∈[－1，2]，sin x cos x ＝1－t 22 ， ∴y ＝t ＋1－t 22＝－1 2 （t －1）2＋1， 当t ＝1时，y max ＝1，t ＝－1时，y min ＝－1． （5）令sin x ＝t ，则由0 （6）y ＝2－cos x sin x 表示A （0,2）与动点B （－sin x ，cos x ）连线的斜率，又动点B 在以 原点为圆心，1为半径的圆上，∵0 当直线AB 与半圆相切时，斜率，即y 最小， 由Rt △OAB 中，OA ＝2，OB ＝1知∠BAO ＝30°，∴AB 的倾斜角为60°， 例2 [2011·安徽高考]已知函数f （x ）＝sin （2x ＋φ）其中φ为实数，若f （x ）≤|f （π 6 ）|对x ∈R 恒成立， 且f （π 2 ）>f （π），则f （x ）的单调增区间为（ ） A ． [k π－π3，k π＋π6]，k ∈Z B ． [k π，k π＋π 2]，k ∈Z C ． [k π＋π6，k π＋23π]，k ∈Z D ． [k π－π 2，k π]，k ∈Z [解析] 若f （x ）≤|f （π6）|对x ∈R 恒成立，则f （π6）为函数的最值，即2×π6＋φ＝k π＋π 2 ，k ∈Z ，∴φ＝k π ＋π6，k ∈Z ． 又f （π 2 ）>f （π）即sin φ<0． 令k ＝－1，此时φ＝－56π适合条件．令2x －56π∈[2k π－π2，2k π＋π 2 ]，k ∈Z 解得x ∈[k π＋π6，k π＋2π 3 ]，k ∈Z ．故选C ． [答案] C 奇思妙想：本例题条件不变，求函数f （x ）在[0，π]上的单调递减区间． 解：f （x ）＝sin （2x －56π），∵0≤x ≤π， ∴－5π6≤2x －56π≤7 6 π，结合正弦曲线， 由－56π≤2x －56π≤－π2，解得0≤x ≤π6， 由π2≤2x －56π≤76π，解得2 3 π≤x ≤π， ∴单调减区间为[0，π6]，[2 3 π，π] 【师说点拨】 求形如y ＝A sin （ωx ＋φ）（A >0，ω>0）的函数的单调区间，基本思路是把ωx ＋φ看作一个整体，由－ π2＋2k π≤ωx ＋φ≤π2＋2k π（k ∈Z ）求得函数的增区间，由π2＋2k π≤ωx ＋φ≤3π2 ＋2k π（k ∈Z ）求得函数的减区间．若在y ＝A sin （ωx ＋φ）中，ω<0，则应先利用诱导公式将解析式转化，使x 的系数变为正数，再进行求解． 【变式探究】 （1）函数y ＝sin （π3－2x ）的递增区间________． （2）函数y ＝log 1 2cos2x 的递减区间________． 答案：（1）[k π＋512π，k π＋1112π]（k ∈Z ） （2）（k π－π 4 ，k π]（k ∈Z ） 解析：（1） ∵ y ＝－sin （2x －π3），∴ 2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋32π ∴ k π＋512π≤x ≤k π＋11 12 π． （2）y 递减区间为cos2x 的递增区间，同时注意cos2x >0，∴有2k π－π2<2x ≤2k π，k π－π 4 其递减区间为（k π－π 4 ，k π]（k ∈Z ）． 【考点三】函数的奇偶性、周期性、对称性 例3 [2013·广东模拟]若函数f （x ）＝sin 2ax －3sin ax cos ax （a >0） 的图象与直线y ＝m 相切，相邻切点 之间的距离为π 2 ． （1）求m 的值； （2）若点A （x 0，y 0）是y ＝f （x ）图象的对称中心，且x 0∈[0，π 2 ]，求点A 的坐标． 【审题视点】 （1）由函数图象与直线y ＝m 相切，可知函数的最值为m ，所以相邻切点的距离等于最小正周期，从而确定m 与a 的值； （2）利用换元法和三角函数的性质求出对称中心的坐标，然后求解给定范围内的对称中心即可． [解] （1）f （x ）＝sin 2ax －3sin ax cos ax ＝1－cos2ax 2－32sin2ax ＝－sin （2ax ＋π6）＋1 2 ， 由题意，知m 为f （x ）的最大值或最小值，所以m ＝32或m ＝－1 2 ． （2）由题设，知函数f （x ）的周期为π 2 ，所以a ＝2． 所以f （x ）＝－sin （4x ＋π6）＋12．令sin （4x ＋π6）＝0，得4x ＋π 6 ＝k π（k ∈Z ）， 所以x ＝k π4－π24（k ∈Z ）．由0≤k π4－π24≤π 2 （k ∈Z ），得k ＝1或k ＝2， 所以点A 的坐标为（5π24，12）或（11π24，1 2 ）． [点评] 求解三角函数性质的有关问题，难点在于三角函数解析式的化简与整理，熟练掌握三角恒等变换的有关公式，灵活应用角之间的关系对角进行灵活变换，将解析式转化为一角一函数的形式，然后通过换元法求解有关性质即可． 【师说点拨】 1．求y ＝A sin （ωx ＋φ）和y ＝A cos （ωx ＋φ）的最小正周期T ＝2π|ω|．y ＝A tan （ωx ＋φ）的最小正周期T ＝π |ω| ． 2．y ＝A sin （ωx ＋φ）的对称性 对称轴方程ωx ＋φ＝k π＋π 2 ，k ∈Z 求出x ． 对称中心ωx ＋φ＝k π，k ∈Z 求出x 可得中心横坐标． 对于y ＝A cos （ωx ＋φ）的对称轴、对称中心横坐标可类似求出． 3． y ＝A sin （ωx ＋φ）的奇偶性 φ＝k π时为奇函数，φ＝k π＋π 2 时为偶函数． 【变式探究】 [2013·青岛调研]已知a ＝（sin x ，－cos x ），b ＝（cos x ，3cos x ），函数f （x ）＝a ·b ＋ 3 2 ． （1）求f （x ）的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标； （2）求最小正实数m ，使得函数f （x ）的图象向左平移m 个单位后所对应的函数是偶函数． 解：（1）f （x ）＝sin x cos x －3cos 2x ＋32＝12sin2x －32（cos2x ＋1）＋32＝12sin2x －32cos2x ＝sin （2x －π 3 ）， 所以f （x ）的最小正周期为π． 令sin （2x －π3）＝0，得2x －π3＝k π，∴x ＝k π2＋π6，k ∈Z ．故所求对称中心的坐标为（k π2＋π 6 ，0）（k ∈Z ）． （2）将函数f （x ）的图象向左平移m 个单位，对应函数解析式为g （x ）＝f （x ＋m ）＝sin[2（x ＋m ）－π 3 ]， 即g （x ）＝sin （2x ＋2m －π3）为偶函数， 由条件知，2m －π3＝k π＋π 2 ，k ∈Z ． ∴m ＝k π2＋5π12（k ∈Z ），又∵m >0，∴m 的最小值为5π12 ． 【课课精彩无限】03 等价转化思想在三角函数中的应用 【选题·热考秀】 [2012·课标全国高考]已知ω>0，函数f （x ）＝sin （ωx ＋π4）在（π2 ，π）单调递减，则ω的取值范围是（ ） A ． [12，54] B ． [12，34] C ． （0，1 2 ] D ． （0,2] [规范解答] 结合y ＝sin ωx 的图象可知y ＝sin ωx 在????π2ω，3π2ω单调递减，而y ＝sin ????ωx ＋π4＝sin ??? ?ω????x ＋π4ω，可知y ＝sin ωx 的图象向左平移π4ω个单位之后可得y ＝sin （ωx ＋π4）的图象，故y ＝sin （ωx ＋π 4 ）在????π4ω，5π4ω单调递减，故应有????π2，π?????π4ω，5π4ω，解得12≤ω≤54 ． [答案] A 【备考·角度说】 No ．1 角度关键词：审题视点 准确利用集合的关系，把问题进行等价转化是此题求解的关键，利用正弦函数的单调性，确定f （x ） 的单调减区间，由题意可知（π 2 ，π）为其子区间，建立不等关系破解． No ．2 角度关键词：方法突破 利用三角函数的性质求解参数的问题，一般属于逆向思维问题，难度相对较大一些，解答此类问题，是以熟练掌握三角函数的所有性质为前提，通常将方程思想与等价转化思想相结合，同时要注意，x 的系数ω是否规定了符号，以防错解． 【经典演练提能】04 1．[2012·福建高考]函数f （x ）＝sin ??? ?x －π 4的图象的一条对称轴是（ ） A ． x ＝π4 B ． x ＝π2 C ． x ＝－π4 D ． x ＝－π 2 答案：C 解析：由x －π4＝π2＋k π，得x ＝k π＋34π，当k ＝－1时，x ＝－π 4 ． 2．[2012·山东高考]函数y ＝2sin ???? πx 6－π3（0≤x ≤9）的最大值与最小值之和为（ ） A ． 2－3 B ． 0 C ． －1 D ． －1－ 3 答案：A 解析：∵ 0≤x ≤9，∴ －π3≤πx 6－π3≤7π 6 ，∴ y ∈[－3，2]，∴ 最大值与最小值之和为2－3． 3．[2013·金版原创]已知函数f （x ）＝2sin ωx （ω>0）在区间[－π3，π 4 ]上的最小值是－2，则ω的最小值为（ ） A ．23 B ．3 2 C ．2 D ．3 答案：B 解析：∵f （x ）＝2sin ωx （ω>0）在区间[－π3，π4]上的最小值为－2，∴T 4≤π3，即π2ω≤π3，∴ω≥3 2 ，即ω的最 小值为32 ． 4．[2013·郑州调研]函数y ＝2cos 2（x －π 4 ）－1是（ ） A ． 最小正周期为π的奇函数 B ． 最小正周期为π 2的奇函数 C ． 最小正周期为π的偶函数 D ． 最小正周期为π 2 的偶函数 答案：A 解析：∵y ＝cos （2x －π2）＝cos （π 2 －2x ）＝sin2x ，∴T ＝π且sin （－2x ）＝－sin2x ，∴f （x ）为奇函 数． 5．设函数y ＝sin （ωx ＋φ）（ω>0，φ∈（－π2，π2））的最小正周期为π，且其图象关于直线x ＝π 12 对称，则 在下面四个结论：①图象关于点（π4，0）对称；②图象关于点（π3，0）对称；③在[0，π 6 ]上是增函数；④ 在[－π 6 ，0]上是增函数中，所有正确结论的编号为________． 答案：②④ 解析：∵ T ＝π，∴ω＝2． 又2×π12＋φ＝k π＋π2，∴ φ＝k π＋π 3 ． ∵ φ∈（－π2，π2），∴ φ＝π3，∴ y ＝sin （2x ＋π 3 ）．由图象及性质可知②④正确． 【限时规范特训】05 （时间：45分钟 分值：100分） 一、选择题 1．[2013·广州一测]如果函数f （x ）＝sin （ωx ＋π6）（ω>0）的两个相邻零点之间的距离为π 12 ，则ω的值为 （ ） A ． 3 B ． 6 C ． 12 D ． 24 答案：C 解析：T ＝π6，ω＝2π T ＝12，选C 项． 2．[2012·大纲全国高考]若函数f （x ）＝sin x ＋φ 3 （φ∈[0,2π]） 是偶函数，则φ＝（ ） A ． π2 B ． 2π3 C ． 3π2 D ． 5π3 答案：C 解析：∵f （x ）为偶函数，关于y 轴对称，x ＝0为其对称轴． ∴ x ＋φ3＝π2＋k π，令x ＝0，φ＝3k π＋32π，当k ＝0时，φ＝32 π，选C 项． 3．函数y ＝tan （π4x －π2 ）的部分图象如图所示，则（O B →－O A →）·O B → ＝（ ） A ． －4 B ． 4 C ． －2 D ． 2 答案：B 解析：容易求得点A （2,0），B （3,1），则（O B →－O A →）·O B → ＝（1,1）·（3,1）＝4． 4．[2013·惠州模拟]已知函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为[－1，1 2 ]，则b －a 的值不可能是（ ） A ． π3 B ． 2π3 C ． π D ． 4π3 答案：A 解析：画出函数y ＝sin x 的草图分析知b －a 的取值范围为[2π3，4π 3 ]． 5．[2013·金版原创]若函数y ＝2cos ωx 在区间[0，2π 3 ]上递减，且有最小值1，则ω的值可以是（ ） A ． 2 B ． 12 C ． 3 D ． 1 3 答案：B 解析：由y ＝2cos ωx 在[0，23π]上是递减的，且有最小值为1，则有f （2 3 π）＝1， 即2×cos （ω×23π）＝1?cos 2π3ω＝1 2 ．检验各数据，得出B 项符合． 6．[2013·泰安质检]函数f （x ）＝cos （2x ＋3π 2 ）（x ∈R ），下面结论不正确的是（ ） A ． 函数f （x ）的最小正周期为π B ． 函数f （x ）的对称中心是（π 2 ，0） C ． 函数f （x ）的图象关于直线x ＝π 4 对称 D ． 函数f （x ）是偶函数 答案：D 解析：∵f （x ）＝cos （2x ＋3π2）＝sin2x （x ∈R ），∴最小正周期T ＝2π 2 ＝π，选项A 正确； 由2x ＝k π得x ＝k π2，k ∈Z ，∴函数f （x ）的对称中心为（k π 2，0），∴取k ＝1得选项B 正确； 由2x ＝k π＋π2得x ＝k π2＋π4，k ∈Z ，∴取k ＝0得函数f （x ）的对称轴为x ＝π 4 ，∴选项C 正确； ∵f （x ）＝sin2x （x ∈R ），∴f （－x ）＝－f （x ），f （x ）为奇函数， ∴选项D 不正确． 二、填空题 7．[2013·太原模考]若函数f （x ）＝2tan （kx ＋π 3 ）的最小正周期T 满足1 答案：2或3 解析：因为T ＝πk ，所以1<πk <2，即π 2 8．函数f （x ）＝cos （2x －π4）＋3在[－π2，π 2 ]上的单调递减区间为________． 答案：[－π2，－3π8]∪[π8，π 2 ] 解析：由2k π≤2x －π4≤2k π＋π得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8，k ∈Z ．∵x ∈[－π2，π 2 ]， ∴取k ＝0得f （x ）在[－π2，π2]上的单调递减区间为[π8，π2]；取k ＝－1得f （x ）在[－π2，π 2 ]上的单调递 减区间为[－π2，－3π8]．∴f （x ）在[－π2，π2]上的单调递减区间为[－π2，－3π8]和[π8，π 2 ]． 9．[2013·安庆模拟]如果函数y ＝3cos （2x ＋φ）的图象关于点（4π 3 ，0）中心对称，那么|φ|的最小值为________． 答案：π6 解析：由已知得3cos （2×4π3＋φ）＝0，即cos （2π 3 ＋φ）＝0， ∴φ＋2π3＝k π＋π2，k ∈Z ， 即φ＝k π－π6，∴|φ|min ＝π6 ． 三、解答题 10．[2013·金华模拟]已知函数f （x ）＝A sin （ωx ＋φ）＋1（ω>0，A >0,0<φ<π2）的周期为π，f （π 4 ）＝3＋ 1，且f （x ）的最大值为3． （1）写出f （x ）的表达式； （2）写出函数f （x ）的对称中心，对称轴方程． 解：（1）因T ＝π，∴ ω＝2，最大值为3， ∴ A ＝2． ∴ f （x ）＝2sin （2x ＋φ）＋1， ∵ f （π4）＝3＋1，∴ 2sin （π2＋φ）＋1＝3＋1，∴ cos φ＝3 2． ∵ 0<φ<π2，∴φ＝π6．∴ f （x ）＝2sin （2x ＋π 6 ）＋1． （2）由f （x ）＝2sin （2x ＋π6）＋1，令2x ＋π6＝k π，得x ＝k π2－π 12 （k ∈Z ）， ∴对称中心为（k π2－π12，1）（k ∈Z ）， 由2x ＋π6＝kx ＋π2，得x ＝k π2＋π 6（k ∈Z ）， ∴对称轴方程为x ＝k π2＋π 6 （k ∈Z ）． 11．[2013·南通质检]已知a >0，函数f （x ）＝－2a sin （2x ＋π6）＋2a ＋b ，当x ∈[0，π 2 ]时，－5≤f （x ）≤1． （1）求常数a ，b 的值； （2）求f （x ）的单调区间． 解：（1）∵ x ∈[0，π2]，∴ π6≤2x ＋π6≤76π，∴ －12≤sin （2x ＋π 6 ）≤1， 又∵ a >0，－5≤f （x ）≤1， ∴ ????? －2a ＋2a ＋b ＝－5a ＋2a ＋b ＝1，即 ????? a ＝2， b ＝－5. （2）f （x ）＝－4sin （2x ＋π6）－1，由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π得－π3＋k π≤x ≤π 6 ＋k π，k ∈Z ， 由 π2＋2k π≤2x ＋π6≤32π＋2k π得 π6＋k π≤x ≤2 3 π＋k π，k ∈Z ， ∴ f （x ）的单调递增区间为[π6＋k π，23π＋k π]（k ∈Z ），单调递减区间为[－π3＋k π，π 6 ＋k π]（k ∈Z ）． 12．[2013·深圳调研]设函数f （x ）＝sin ωx ＋sin （ωx －π 2 ），x ∈R ． （1）若ω＝1 2，求f （x ）的最大值及相应的x 的集合； （2）若x ＝π 8 是f （x ）的一个零点，且0<ω<10，求ω的值和f （x ）的最小正周期． 解：（1）f （x ）＝sin ωx ＋sin （ωx －π2）＝sin ωx －cos ωx ＝2sin （ωx －π 4 ）． 当ω＝12时，f （x ）＝2sin （x 2－π4），而－1≤sin （x 2－π4）≤1，所以f （x ）的最大值为2， 此时，x 2－π4＝π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝3π2＋4k π，k ∈Z ，相应的x 的集合为{x |x ＝3π 2 ＋4k π，k ∈Z }． （2）因为f （x ）＝2sin （ωx －π4），所以，x ＝π8是f （x ）的一个零点?f （π8）＝2sin （ωπ8－π 4 ）＝0， 即ωπ8－π 4 ＝k π，k ∈Z ，整理，得ω＝8k ＋2，又0<ω<10， 所以0<8k ＋2<10，－1 4 f （x ）＝2sin （2x －π 4 ），f （x ）的最小正周期为π． 三角函数的图象与性质题型归纳总结 题型归纳及思路提示 题型1 已知函数解析式确定函数性质 【思路提示】一般所给函数为y ＝A sin(ω x ＋φ)或y ＝A cos(ω x ＋φ)，A>0,ω>0,要根据 y ＝sin x ，y ＝cos x 的整体性质求解。 一、函数的奇偶性 例1 f (x )＝sin ()x ?+（0≤?<π）是R 上的偶函数，则?等于（ ） A.0 B ． 4π C ．2 π D ．π 【评注】由sin y x =是奇函数，cos y x =是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：sin()(); y A x k k Z ??π=+=∈(1)若是奇函数，则 sin()+ (); 2 y A x k k Z π ??π=+=∈(2)若是偶函数，则 cos()(); 2 y A x k k Z π ??π=+=+ ∈(3)若是奇函数，则 cos()(); y A x k k Z ??π=+=∈(4)若是偶函数，则 tan()().2k y A x k Z π ??=+= ∈(5)若是奇函数，则 .()sin ||a R f x x a a ∈=-变式1已知，函数为奇函数，则等于（ ） A.0 B ．1 C ．1- D ．1 ± 2.0()cos()()R f x x x R ???∈==+∈变式设，则“”是“为偶函数”的（ ） A 充分不必要条件 B ．必要不充分条 C ．充要条件 D ．无关条件 3.()sin()0()f x x f x ω?ω=+>变式设，其中，则是偶函数的充要条件是（ ） A.(0)1f = B ．(0)0f = C ．'(0)1f = D ．'(0)0 f = 2.()sin(2)()()2f x x x R f x π =-∈例设，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数 B ．π最小正周期为的偶函数 C ．2π 最小正周期为 的奇函数 D ．2π 最小正周期为的偶函数 2()sin 1()()f x x x R f x =-∈变式1.若，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数 B ．π最小正周期为的偶函数 C ．π最小正周期为2的奇函数 D ．π最小正周期为2的偶函数 三角函数的图像与性质 1．三角函数中的值域及最值问题 a ．正弦(余弦、正切)型函数在给定区间上的最值问题 (1)(经典题，5分)函数f (x )＝sin ????2x －π4在区间????0，π 2上的最小值为( ) A ．－1 B ．－ 22 C.22 D ．0 答案：B 解析：∵x ∈????0，π2，∴－π4≤2x －π4≤3π 4，∴函数f (x )＝sin ????2x －π4在区间????0，π2上先增后减．∵f (0)＝sin ????－π4＝－22， f ????π2＝sin ????3π4＝2 2， f (0) 三角函数的图象与性质 1.(2020·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝cos ? ? ???ωx ＋π6在[－π，π]的图象大致如图，则f (x )的 最小正周期为( ) A.10π 9 B.7π6 C.4π3 D.3π2 解析 由图象知π 解析 T ＝2π 1＝2π，故①正确. 当x ＋π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝π 6＋2k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，故②错误. y ＝sin x 的图象 y ＝sin ? ?? ?? x ＋π3的图象，故③正确.故选B. 答案 B 3.(2019·全国Ⅱ卷)下列函数中，以π2为周期且在区间? ???? π4，π2单调递增的是( ) A.f (x )＝|cos 2x | B.f (x )＝|sin 2x | C.f (x )＝cos|x | D.f (x )＝sin|x | 解析 易知A ，B 项中函数的最小正周期为π 2；C 中f (x )＝cos|x |＝cos x 的周期为2π，D 中f (x )＝sin|x |＝?????sin x ，x ≥0， －sin x ，x <0，由正弦函数图象知，在x ≥0和x <0时，f (x ) 均以2π为周期，但在整个定义域上f (x )不是周期函数，排除C ，D. 又当x ∈? ????π4，π2时，2x ∈? ?? ?? π2，π， 则y ＝|cos 2x |＝－cos 2x 是增函数，y ＝|sin 2x |＝sin 2x 是减函数，因此A 项正确，B 项错误. 答案 A 4.(2020·江苏卷)将函数y ＝3sin ? ? ???2x ＋π4的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的 图象中与y 轴最近的对称轴的方程是________. 解析 将函数y ＝3sin ? ? ???2x ＋π4的图象向右平移π6个单位长度，所得图象的函数解析式为y ＝3sin ?????? 2? ????x －π6＋π4＝3sin ? ????2x －π12.令2x －π12＝k π＋π2，k ∈Z ，得对称轴的方程为x ＝k π2＋7π24，k ∈Z ，分析知当k ＝－1时，对称轴为直线x ＝－5π 24，与y 轴最近. 答案 x ＝－5π 24 5.(2020·北京卷)若函数f (x )＝sin(x ＋φ)＋cos x 的最大值为2，则常数φ的一个取值 三角函数的图象与性质 ——正弦函数、余弦函数的性质 【教学目标】 1．理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义； 2．会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间； 3．掌握正弦函数的周期及求法。(n )si y A x ω?＝＋ 【教学重点】 正、余弦函数的性质。 【教学难点】 正、余弦函数性质的理解与应用。 【教学过程】 一、讲解新课： （1）定义域： 正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集［或］， R (,)-∞+∞分别记作： sin y x x ∈R ＝，cos ,y x x =∈R （2）值域 ，1sin 1x ≤≤--1cos 1 x ≤≤也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是。[ ]-1,1其中正弦函数，sin y x =x ∈R （1）当且仅当，时，取得最大值1。 x 2k 2π π=+k ∈Z （2）当且仅当，时，取得最小值。 x 2k 2π π=+k ∈Z 1- 而余弦函数，cos y x ＝x ∈R 当且仅当，时，取得最大值1，时，取得最小值。 2x k π=k ∈Z (21)x k π=+k ∈Z 1-（3）周期性 由，()知： sin(2)sin x k x π+=cos(2)cos x k x π+=k ∈Z 正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的。 一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值()f x T x 时，都有，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周()()f x T f x +=T 期。 由此可知，，，…，，，…(且)都是这两个函数的周期。2π4π2π-4π-2k πk ∈Z 0k ≠对于一个周期函数 ，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正()f x 数就叫做 的最小正周期。()f x 注意： 1．周期函数定义域，则必有，且若则定义域无上界；则定义域x ∈M x T M +∈0T ＞0T ＜无下界； 2．“每一个值”只要有一个反例，则就不为周期函数（如） ()f x ()()001f x t f x +3．往往是多值的（如，，，…，，，…都是周期）周期中最T sin y x =2π4π2π-4π-T 小的正数叫做的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期） ()f x 根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数，(且)都是它的2k πk ∈Z 0k ≠周期，最小正周期是2π （4）奇偶性 由sin()sin x x -=-可知：为奇函数 ()cos x cosx -＝sin y x =为偶函数 cos y x =∴正弦曲线关于原点O 对称，余弦曲线关于y 轴对称 三角函数图像与性质知识 点总结 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020 函数图像与性质知识点总结 一、三角函数图象的性质 1．“五点法”描图 (1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,0) ? ?? ?? ?π2，1 (π，0) ? ?? ??? 32π，－1 (2π，0) (2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,1)，? ?????π2，0，(π，－1)，? ???? ? 3π2，0，(2π，1) 2.三角函数的图象和性质 函数 性质 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x 定义域 R R {x |x ≠k π＋π 2 ，k ∈Z} 图象 值域 [－1,1] [－1,1] R 对称性 对称轴： x ＝k π＋ π2(k ∈Z)； 对称轴： x ＝k π(k ∈Z) 对称中心： 对称中心：? ?? ?? ?k π2，0 (k ∈Z) 3.一般地对于函数()，如果存在一个非零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期) 4.求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x、cos x的有界性； 关于正、余弦函数的有界性 由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于?x∈R，恒有－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1，所以1叫做y＝sin x，y＝cos x的上确界，－1叫做y＝sin x，y＝cos x的下确界. 三角函数图像与性质复习 教案目标： 1、掌握五点画图法，会画正余弦、正切函数图象以及相关的三角函数图象及性质。 2、深刻理解函数的定义和正弦、余弦、正切函数的周期性。 重点：五点作图法画正余弦函数图象，及正余弦函数的性质，及一般函数) sin(?ω+=x A y 的图象。 难点：一般函数)sin(?ω+=x A y 的图象与性质。 【教案内容】 1、引入： 有个从未管过自己孩子的统计学家，在一个星期六下午妻子要外出买东西时，勉强答应照看一下4个年幼好动的孩子。当妻子回家时，他交给妻子一张纸条，上写：“擦眼泪11次；系鞋带15次；给每个孩子吹玩具气球各5次，每个气球的平均寿命10秒钟；警告孩子不要横穿马路26次；孩子坚持要穿过马路26次；我还想再过这样的星期六0次。” 2、三角函数知识体系及回忆正余弦函数的概念和周期函数： 正弦函数： 余弦函数： 周期函数： 注意： 最小正周期： 一般函数)sin(?ω+=x A y 中：A 表示 ，ω表示 及频率： ，相位： 。 正切函数： 3、三角函数的图象： 值域:tan ;tan .2 2 22 x x x x x x π π π π < → →+∞>- →-→-∞当且时，当且时， 单调性:对每一个k Z ∈，在开区间(,)22 k k π π ππ- +内，函数单调递增. 对称性:对称中心：( ,0)()2 k k Z π ∈，无对称轴。 五点作图法的步骤： （由诱导公式画出余弦函数的图象） 【例题讲解】 例1 画出下列函数的简图 (1)1sin y x =+[0,2]x π∈(2)cos y x =-[0,2]x π∈ (3)2sin y x =[0,2]x π∈ 例2 (1)方程lg sin x x =解得个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 (2)3[, ]22x ππ ∈- 解不等式3 sin 2 x ≥- 4([,])33x ππ∈- 例3已知函数()cos(2)2sin()sin()3 4 4 f x x x x π π π =-+-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程； （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122 ππ - 上的值域。 例4已知函数()sin(),f x A x x R ω?=+∈（其中0,0,02 A π ω?>><< ）的周期为π， 且图象上一个最低点为2( ,2)3 M π -. (Ⅰ)求()f x 的解读式；（Ⅱ）当[0, ]12 x π∈，求()f x 的最值. 例5写出下列函数的单调区间及在此区间的增减性： (1)1tan()26 y x π=-；(2)tan(2)4y x π =-． 【过手练习】 1、函数sin(2)3 y x π =+ 图像的对称轴方程可能是（） A ．6x π =- B ．12 x π =- C ．6x π = D ．12 x π = 2、已知函数)0)(sin(2>+=ωφωx y 在区间[0，2π]的图像 如下，那么ω=（） A. 1 B. 2 C. 1/2 D. 3 1 3、函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为 三角函数的图像与性质题型归纳总结 题型归纳及思路提示 题型1 已知函数解析式确定函数性质 【思路提示】一般所给函数为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)，A>0,ω>0,要根据 y ＝sin x ，y ＝cos x 的整体性质求解。 一、函数的奇偶性 例1 f (x )＝sin ()x ?+（0≤?<π）是R 上的偶函数，则?等于（ ） A.0 B ． 4πC ．2 π D ．π 【评注】由sin y x =是奇函数，cos y x =是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：sin()(); y A x k k Z ??π=+=∈(1)若是奇函数，则 sin()+ (); 2 y A x k k Z π ??π=+=∈(2)若是偶函数，则 cos()(); 2 y A x k k Z π ??π=+=+ ∈(3)若是奇函数，则 cos()(); y A x k k Z ??π=+=∈(4)若是偶函数，则 tan()().2k y A x k Z π ??=+= ∈(5)若是奇函数，则 .()sin ||a R f x x a a ∈=-变式1已知，函数为奇函数，则等于（ ） A.0 B ．1 C ．1-D ．1 ± 2.0()cos()()R f x x x R ???∈==+∈变式设，则“”是“为偶函数”的（ ） A 充分不必要条件 B ．必要不充分条 C ．充要条件 D ．无关条件 3.()sin()0()f x x f x ω?ω=+>变式设，其中，则是偶函数的充要条件是（ ） A.(0)1f =B ．(0)0f =C ．'(0)1f =D ．'(0)0 f = 2.()sin(2)()()2f x x x R f x π =-∈例设，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数B ．π最小正周期为的偶函数 C ．2π 最小正周期为 的奇函数D ．2π 最小正周期为的偶函数 2()sin 1()()f x x x R f x =-∈变式1.若，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数 B ．π最小正周期为的偶函数 C ．π最小正周期为2的奇函数D ．π最小正周期为2的偶函数 三角函数的图象与性质 教学目标 1．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质． ．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、 2 重点难点 重点是通过复习，能运用四种三角函数的性质研究复合三角函数的性质及图象的特点，特别是三角函数的周期性，是需要重点明确的问题． 难点是，在研究复合函数性质时，有些需要先进行三角变换，把问题转化到四种三角函数上，才能进行研究，这就增加了问题的综合性和难度． 教学过程 三角函数的图象与性质是三角函数的核心问题，要熟练、准确地掌握．特别是三角函数的周期性，反映了三角函数的特点，在复习“三角函数的性质与图象”时，要牢牢抓住“三角函数周期性”这一内容，认真体会周期性在三角函数所有性质中的地位和作用．这样才能把性质理解透彻． 一、三角函数性质的分析 ．三角函数的定义域 1 函数y=cotx的定义域是x≠π或(kπ，kπ+π)(k∈Z)，这两种表示法都需要掌握．即角x不能取终边在x轴上的角． (2)函数y=secx、y=cscx的定义域分别与y=tanx、y=cotx相同． 求下列函数的定义域： 例1 π](k∈Z) ． 形使函数定义域扩大． 到．注意不要遗漏． ． (3)满足下列条件的x的结果，要熟记(用图形更便于记住它的结果) 是 [ ] 所以选C． 2．三角函数的值域 (1)由|sinx|≤1、|cosx|≤1得函数y=cscx、y=secx的值域是 |cscx|≥1、|secx|≥1． (2)复合三角函数的值域问题较复杂，除了代数求值域的方法都可以适用外，还要注意三角函数本身的特点，特别是经常需要先进行三角变换再求值域． 一、选择题 1．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( ) A ．[－1,1] B ．[－5 4，－1] C ．[－5 4，1] D ．[－1，5 4 ] [答案] C [解析] 本题考查了换元法，一元二次函数闭区间上的最值问题，通过sin x ＝t 换元转化为t 的二次函数的最值问题，体现了换元思想和转化的思想，令t ＝sin x ∈[－1,1]，y ＝t 2 ＋t －1，(－1≤t ≤1)，显然－5 4 ≤y ≤1，选C. 2．(2011·山东理，6)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间[0，π 3]上单调递增， 在区间[π3，π 2 ]上单调递减，则ω＝( ) A ．3 B ．2 C.32 D.2 3 [答案] C [解析] 本题主要考查正弦型函数y ＝sin ωx 的单调性 依题意y ＝sin ωx 的周期T ＝4×π3＝43π，又T ＝2π ω， ∴2πω＝43π，∴ω＝32 . 故选C(亦利用y ＝sin x 的单调区间来求解) 3．(文)函数f (x )＝2sin x cos x 是( ) A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为2π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数 D ．最小正周期为π的偶函数 [答案] C [解析] 本题考查三角函数的最小正周期和奇偶性． f (x )＝2sin x cos x ＝sin2x ，最小正周期T ＝2π 2＝π， 且f (x )是奇函数． (理)对于函数f (x )＝2sin x cos x ，下列选项中正确的是( ) A ．f (x )在(π4，π 2)上是递增的 B ．f (x )的图像关于原点对称 C ．f (x )的最小正周期为2π D ．f (x )的最大值为2 [答案] B [解析] 本题考查三角函数的性质．f (x )＝2sin x cos x ＝sin2x ，周期为π，最大值为1，故C 、D 错；f (－x )＝sin(－2x )＝－2sin x ，为奇函数，其图像关 于原点对称，B 正确；函数的递增区间为???? ??k π－π4，k π＋π4，(k ∈Z)排除A. 4．函数y ＝sin2x ＋a cos2x 的图像关于直线x ＝－π 8对称，则a 的值为 ( ) 高考复习正弦、余弦的图象和性质 【考纲要求】 1、会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的简图；熟悉基本三角函数的图象、定义域、值域、奇偶性、单调性及其最值；理解周期函数和最小正周期的意义. 2、理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2]π的性质（如单调性、最大和最小值、与x 轴交点等）,理解正切函数在区间(,)22 ππ -的单调性. 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、“五点法”作图 在确定正弦函数sin y x =在[0,2]π上的图象形状时，最其关键作用的五个点是(0,0)，( ,1)2 π， (,0)π，3( ,-1)2 π ，(2,0)π 考点二、三角函数的图象和性质 名称 sin y x = cos y x = tan y x = 定义域 x R ∈ x R ∈ {|,} 2 x x k k Z π π≠+ ∈ 值 域 [1,1]- [1,1]- (,)-∞+∞ 图象 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单 单调增区间: 单调增区间: 单调增区间： 应用 三角函数的图象与性质 正弦函数的图象与性质 余弦函数的 图象与性质 正切函数的 图象与性质 要点诠释： ①三角函数性质包括定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、最大值和最小值、对称性等，要结合图象记忆性质，反过来，再利用性质巩固图象．三角函数的性质的讨论仍要遵循定义域优先的原则，研究函数的奇偶性、单调性及周期性都要考虑函数的定义域． ②研究三角函数的图象和性质，应重视从数和形两个角度认识，注意用数形结合的思想方法去分析问题、解决问题. 考点三、周期 一般地，对于函数()f x ，如果存在一个不为0的常数T ,使得当x 取定义域内的每一个值时，都有 (+)=()f x T f x ，那么函数()f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的 最小正数，叫做最小正周期（函数的周期一般指最小正周期）. 要点诠释： 应掌握一些简单函数的周期： ①函数sin()y A x ω?=+或cos()y A x ω?=+的周期2T π ω = ； ②函数tan()y A x ω?=+的周期T πω = ； ③函数sin y x =的周期=T π； 三角函数专题辅导 课程安排 制作者：程国辉 专题辅导一 三角函数的基本性质及解题思路 课时：4-5学时 学习目标： 1. 掌握常用公式的变换。 2. 明确一般三角函数化简求值的思路。 第一部分 三角函数公式 1、两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cos α·cos β-sin α·sin β cos(α-β)=cos α·cos β+sin α·sin β sin(α±β)=sin α·cos β±cos α·sin β tan(α+β)=(tan α+tan β)/(1-tan α·tan β) tan(α-β)=(tan α-tan β)/(1+tan α·tan β 2、倍角公式： sin(2α)=2sin α·cos α=2/(tan α+cot α) cos(2α)=(cos α)^2-(sin α)^2=2(cos α)^2-1=1-2(sin α)^2 tan(2α)=2tan α/(1-tan^2α) cot(2α)=(cot^2α-1)/(2cot α) 3、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式： ()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβ αβαβαβααα=±=±???→= ()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 2 1cos2sin 2 2tan tan 21tan 令 ＝ ＝ αβαβαβαβααα αααβα αβααβα αα αα=±=???→=-↓=-=-±±=?-↓= - 4、同角三角函数的基本关系式： （1）平方关系：2 2 2 2 2 2 sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= （2）倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, （3）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αα αααα = = 三角函数的性质与图像（学案） 一、 学习目标 1、“五点法”画函数sin()y A x ω?=+的图像. 2、图像变换规律. 3、由函数图像或性质求解析式. 重点：围绕三角函数图像变换、五点作图求函数解析式. 难点：图像变换中的左右平移变换中平移量的确定. 二、 学习过程 1、高考考点分析 2、知识梳理： （1）用“五点法”画sin()y A x ω?=+一个周期的简图时，要找出 五个关键点。 填写表格： （2）三角函数图像的变化规律： （3）函数sin()y A x ω?=+的物理意义： （4）由函数sin()y A x k ω?=++图像求函数解析式的步骤和方法： ①A 的确定： ②k 的确定： ③ω的确定： ④?的确定： 三、基础训练 1、函数sin(2)3 y x π =+的最小正周期为（ ） A. 4π B. 2π C. π D. 2 π 2、将函数2sin(2)6 y x π =+的图像向右平移14 个周期后，所得图像 对应的函数为（ ） A. 2sin(2)6 y x π=+ B. 2sin(2)3 y x π =+ C. 2sin(2)4 y x π=- D. 2sin(2)3 y x π =- 3、为了得到sin()3 y x π =+的图像，只需把函数sin y x =的图像上所 有的点（ ） A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向上平移3π个单位 D ．向下平移3 π 个单位 4、函数2cos2y x x +的最小正周期为（ ） A ． 2 π B .23π C. π D. 2π 四、范例导航 题型一：三角函数的图象 例1．（2000全国，5）函数y ＝－xc os x 的部分图象是（ ） 变式练习．（2002上海，15）函数y =x +sin|x |，x ∈［－π，π］的大致图象是（ ） 题型二：函数sin()y A x ω?=+图像及变换 例2、已知函数2sin(2)3 y x π =+ （1）求它的振幅、周期、初相。 （2）用五点作图法作它在一个周期内的图像。 （3）试说明2sin(2)3 y x π =+的图像可由sin y x =的图像经过 怎样的变换得到？ 列表： 三角函数的图象与性质 、知识网络 基弃变换 三、知识要点 （一）三角函数的性质 1、定义域与值域 2、奇偶性 （1）基本函数的奇偶性奇函数：y = sinx , y = tanx ; 偶函数：y= cosx. （2） -'’ 一 -‘：型三角函数的奇偶性 (i)g (x)=* (x€ R) g (x )为偶函数 ' 二二—「二： O卫址1(徴 + ? =/win(-徴+@)(x亡卫)U sin ocrcos(p= 0(x白应) cos (p二 0 o(p= jt/r-hy e 7) 由此得 同理，旨（对二話乞山（伽+洌0€丘）为奇函数O 寻炉=七兀3€2）. （ii）u'■■ ' '''「：；：：「' ■?■. 八为偶函数' ..为奇函数 O 【本讲教育信息】 一.教学内容： 三角函数的图象与性质 二.教学目的： 了解三角函数的周期性，知道三角函数y＝A sin（ωx＋φ）， y＝A cos（ωx＋φ）的周期为。 能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，并能根据图象理解正弦函数、 余弦函数在[0，2π]，正切函数在（－，）上的性质（如单调性、最大值和 最小值、图象与x轴的交点等）。 了解三角函数y＝A sin（ωx+φ）的实际意义及其参数A，ω，φ对函数图象变化的影响；会画出y＝A sin（ωx+φ）的简图，能由正弦曲线y＝sin x 通过平移、伸缩变换得到y＝A sin（ωx+φ）的图象。 会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期变化现 象的重要函数模型。 三.教学重点：三角函数的性质与运用 教学难点：三角函数的性质与运用。 四.知识归纳 1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 2.三角函数的单调区间： 的递增区间是， 递减区间是； 的递增区间是， 递减区间是， 的递增区间是， 3.函数 最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该 图象与直线的交点都是该图象的对称中心。 4.由y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋)的图象一般有两个途径，只有区别 开这两个途径，才能灵活进行图象变换 利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现.无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少. 途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换) 先将y＝sinx的图象向左(＞0)或向右(＜0＝平移｜｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的图象。 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0),再沿x轴向左(＞0)或向右(＜0＝平移个单位，便得y＝sin(ωx＋)的图象。 5.由y＝Asin(ωx＋)的图象求其函数式： 给出图象确定解析式y=Asin（ωx+）的题型，有时从寻找“五点”中的 第一零点（－，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置. 6.对称轴与对称中心： 的对称轴为，对称中心为； 的对称轴为，对称中心为； 对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。 7.求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A、的正负。利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间； 8.求三角函数周期的常用方法： 经过恒等变形化成“、”的形式，再利用周期公式，另外还有图像法和定义法。 9.五点法作y=Asin（ωx+）的简图： 五点取法是设x=ωx+，由x 取0、、π、、2π来求相应的x 值及对应 三角函数的图像和性质 1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）： 正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (2π,1) (π,0) (2 3π ,-1) (2π,0) 余弦函数y=cosx x ∈[0,2π]的图像中，五个关键点是：(0,1) (2π,0) (π,-1) (2 3π,0) (2π,1) 2 sin y x = cos y x = tan y x = 图 象 定义域 R R ,2x x k k ππ??≠+∈Z ???? 值域 []1,1- []1,1- R 最 值 当 22 x k π π=+ 时， max 1y =；当22x k ππ=- 时，min 1y =-． 当2x k π=时， max 1y =；当2x k ππ=+ 时，min 1y =-． 既无最大值也无最小值 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单 调 性 在2,22 2k k π πππ?? - + ??? ? 上是增函数； 在32,22 2k k ππππ? ?++??? ? 上是减函数． 在[]2,2k k πππ-上是增函 数； 在[]2,2k k πππ+上是减函数． 在,2 2k k π πππ? ? - + ?? ? 上是增函数． 对称 性 对称中心(),0k π 对称轴2 x k π π=+ 对称中心,02k π π??+ ?? ? 对称轴x k π= 对称中心,02k π?? ??? 无对称轴 函 数 性 质 例作下列函数的简图 (1)y=|sinx|，x ∈[0，2π]， (2)y=-cosx ，x ∈[0，2π] 例利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x 的集合： 21sin )1(≥ x 21 cos )2(≤ x 3、周期函数定义：对于函数()y f x =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有：()()f x T f x +=，那么函数()y f x =就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。 注意： 周期T 往往是多值的（如sin y x = 2π,4π,…,-2π,-4π,…都是周期）周期T 中最小的正数叫做 ()y f x =的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）sin y x =, cos y x =的最小正周期为2π （一 般称为周期） 正弦函数、余弦函数：ωπ= 2T 。正切函数：π ω 例求下列三角函数的周期： 1? y=sin(x+3 π ) 2? y=cos2x 3? y=3sin(2x +5π) 4? y=tan3x 例求下列函数的定义域和值域： （1）2sin y x =- （2）y =（3）lgcos y x = 三角函数的图像与性质 知识点总结 GE GROUP system office room 【GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8- 三角函数的图像与性质一、正弦函数、余弦函数的图像与性质 函数y＝sin x y＝cos x 图 象 定义域R R 值域[－1,1][－1,1] 单调性 递增区间： 2,2() 22 k k k Z ππ ππ ?? -+∈ ?? ?? 递减区间： 3 2,2() 22 k k k Z ππ ππ ?? ++∈ ?? ?? 递增区间：[2kπ－π， 2kπ] (k∈Z) 递减区间：[2kπ，2kπ＋ π] (k∈Z) 最值x＝2kπ＋ π 2 (k∈Z)时，y max ＝1； x＝2kπ(k∈Z)时，y max＝1； x＝2kπ＋π(k∈Z) 时，y min 二、正切函数的图象与性质 三、三角函数图像的平移变换和伸缩变换 1. 由x y sin =的图象得到)sin( ?ω+=x A y (0,0A ω>>)的图象 注意：平移变换或伸缩变换都是针对自变量x 而言的，因此在用这样的变换法作图 象时一定要注意平移与伸缩的先后顺序，否则会出现错误。 2. )sin(?ω+=x A y (0,0A ω>>)的性质 （1）定义域、值域、单调性、最值、对称性： 将?ω+x 看作一个整体，与相应的简单三角函数比较得出； （2）奇偶性：只有当?取特殊值时，这些复合函数才具备奇偶性： )sin(?ω+=x A y ，当π ?k =时为奇函数，当2 ππ?±=k 时为偶函数； （3）最小正周期：ω π2=T 3. y ＝A sin(ωx ＋φ), x ∈[0,+∞) (0,0A ω>>)中各量的物理意义 (1) A 称为振幅； (2)2T πω =称为周期； (3) 1f T = 称为 三角函数的图像与性质 一、 正弦函数、余弦函数的图像与性质 二、正切函数的图象与性质 定义域 {|,}2 x x k k Z π π≠ +∈ 函数 y ＝sin x y ＝cos x 图 象 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] 单调性 递增区间：2,2() 2 2k k k Z ππππ??-+∈??? ? 递减区间：32,2()2 2k k k Z ππππ??++∈??? ? 递增区间：[2k π－π，2k π] (k ∈Z ) 递减区间：[2k π，2k π＋π] (k ∈Z ) 最 值 x ＝2k π＋π 2(k ∈Z )时，y max ＝1； x ＝2k π－π 2(k ∈Z )时，y min ＝－1 x ＝2k π(k ∈Z )时，y max ＝1； x ＝2k π＋π(k ∈Z ) 时，y min ＝－1 奇偶性 奇函数 偶函数 对称性 对称中心：(k π，0)(k ∈Z )（含原点） 对称轴：x ＝k π＋π 2，k ∈Z 对称中心：(k π＋π 2，0)(k ∈Z ) 对称轴：x ＝k π，k ∈Z （含y 轴） 最小正周期 2π 2π 三、三角函数图像的平移变换和伸缩变换 1. 由x y sin =的图象得到)sin(?ω+=x A y (0,0A ω>>)的图象 注意：定要注意平移与伸缩的先后顺序，否则会出现错误。 2. )sin(?ω+=x A y (0,0A ω>>)的性质 （1）定义域、值域、单调性、最值、对称性： 将?ω+x 看作一个整体，与相应的简单三角函数比较得出； （2）奇偶性：只有当?取特殊值时，这些复合函数才具备奇偶性： )sin(?ω+=x A y ，当π?k =时为奇函数，当2 ππ?±=k 时为偶函数； （3）最小正周期：ω π2=T 难点15 三角函数的图象和性质 三角函数的图象和性质是高考的热点，在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象和性质结合起来.本节主要帮助考生掌握图象和性质并会灵活运用. ●案例探究 ［例1］设z 1=m +(2－m 2)i ,z 2=cos θ+(λ+sin θ)i ,其中m ,λ,θ∈R ，已知z 1=2z 2，求λ的取值范围. 知识依托：主要依据等价转化的思想和二次函数在给定区间上的最值问题来解决. 错解分析：考生不易运用等价转化的思想方法来解决问题. 技巧与方法：对于解法一，主要运用消参和分离变量的方法把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题；对于解法二，主要运用三角函数的平方关系把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题. 解法一：∵z 1=2z 2， ∴m +(2－m 2)i =2cos θ+(2λ+2sin θ)i ,∴???+=-=θλθ sin 222cos 22m m ∴λ=1－2cos 2θ－sin θ=2sin 2θ－sin θ－1=2(sin θ－41)2－89. 当sin θ=41时λ取最小值－8 9，当sin θ=－1时，λ取最大值2. 解法二：∵z 1=2z 2 ∴???+=-=θλθ sin 222cos 22m m ∴??? ????--==222sin 2cos 2λθθm m , ∴4 )22(42 22λ--+m m =1. ∴m 4－(3－4λ)m 2+4λ2－8λ=0,设t =m 2,则0≤t ≤4, 令f (t )=t 2－(3－4λ)t +4λ2－8λ,则?????????≥≥≤-≤≥?0 )4(0)0(424300f f λ或f (0)·f (4)≤0 ∴???? ?????≤≥≤≤≤≤--≥0220434 589λλλλλ或或 ∴－ 8 9≤λ≤0或0≤λ≤2. ∴λ的取值范围是［－8 9，2］. ［例2］如右图，一滑雪运动员自h =50m 高处A 点滑至O 点，由于运动员的技 巧(不计阻力)，在O 点保持速率v 0不为，并以倾角θ起跳，落至B 点，令OB =L ， 试问，α=30°时，L 的最大值为多少？当L 取最大值时，θ为多大？ 知识依托：主要依据三角函数知识来解决实际问题. 错解分析：考生不易运用所学的数学知识来解决物理问题，知识的迁移能力不 三角恒等变换及三角函数图象性质 一例题讲解 1．快速写出下列各式的值： （1）? ? ? ? -43cos 13sin 13cos 43sin （2）? ? ? ? -26cos 56sin 64cos 56cos （3）2sin15cos15??=_________； （4）2 2 cos 15sin 15?-?=_________； （5）2 2sin 151?-=_________； （6）2 2 sin 15cos 15?+?=________ （7）) 15tan(1195tan 1?? -++ （8） 2cos 6sin x x -=________ 2化简：（1）4221 2cos 2cos 22tan()sin ()44x x x x ππ-+ -+；（2）(1sin cos )(sin cos )22(0)22cos θθθθθπθ++-<<+．3 设4cos()5αβ-=-，12cos()13αβ+=，且(,)2παβπ-∈，3(,2)2 π αβπ+∈，求c o s 2α，cos 2β． 4若3cos()45x π +=，177124x ππ<<，求2sin 22sin 1tan x x x +-的值． 5已知函数()2sin (sin cos )f x x x x =+． （Ⅰ）用五点法画出函数在区间,22ππ??-???? 上的图象，长度为一个周期； （Ⅱ）说明()2sin (sin cos )f x x x x =+的图像可由sin y x =的图像经过怎样变换而得到． 6为得到)6 2sin(π - =x y 的图象，可以将x y 2cos =的图象向右平移____个单位长度． 7已知正弦函数sin()y A x ω?=+(0,0)A ω>>的图像如右图所示． （1）求此函数的解析式1()f x ； （2）求与1()f x 图像关于直线8x =对称的曲线的解析式2()f x ； －2 2 2 x =8 x y O高中数学三角函数的图象与性质题型归纳总结
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