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九年级数学上册 一元二次方程的解法(因式分解法)教案 苏科版

九年级数学上册 一元二次方程的解法(因式分解法)教案 苏科版
九年级数学上册 一元二次方程的解法(因式分解法)教案 苏科版

一元二次方程的解法(因式分解法)

一、教学目标

(1)知识目标:了解因式分解法的概念,会用因式分解法解一元二次方程;

(2)能力目标:(1)学会观察方程的特征,选用适当的方法解一元二次方程;

(2)体会转化思想,把一个一元二次方程降次转化为两个一次方程求解。

(3)情感目标.:结核实际与探索,寻找解决问题的策略和方法,以求简便,积极探索不

同的解法,与同学进行交流,勇于发表自己的观点,从交流中发现最优解法。

二、教学重点:用因式分解法解某些一元二次方程

教学难点:选择适当的方法解一元二次方程

三、教学方法:探究、合作、交流、讨论法

四、教学过程:

一)情景导入

知识回顾:1、用适当的方法解下列一元二次方程:

(1)(2)(3)(4)

2、把下列各式因式分解

(1)(2)(3)(4)x-5x-6

意图:复习因式分解的基本方法和前面学过的一元二次方程的几种解法,为进入新课的学习做准备。二)讲授新知

预习检测:

1、若(x+1)(x-2)=0,则x=______,x=________;若(2x-1)(3x+5)=0, 则x=______,x=________;

2、若3x(x-6)=0, 则x=______,x=________;

3、(1)解方程x-x=0时,左边可因式分解成__________=0于是得x=______,x=________;

(2)解方程3x(x+5)-5(x+5)=0时,左边可因式分解成__________=0于是得x=______,x=________; 三、点拨解读:

在解方程时,将方程的左边因式分解,得到而因式x和x-1中必有一个为0,即x=0 或x-1=0这样,解就转化为解x=0或x-1=0,从而达到降次的目的,同时也体现了数学中的转化思想。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

可见,能用因式分解法解的一元二次方程须满足这样的条件:(1)方程的一边为0(2)另一边能分解成两个一次因式的积

四、例题讲评:

例1、用因式分解法解一元二次方程

(1)3x2=x (2)x+3-x(x+3)=0

分析和点拨:(1)不满足条件中的哪一条?怎么办?(2)中的左边能分解成两个一次因式的积吗?以加强学生对条件的理解。

思考:小明解方程时,在方程的两边都除以(x+2),的x+2=4,解得x=2,你认为对吗?为什么?

例2、用因式分解法解下列一元二次方程

(1)(2x-1)2-x2=0 (2)16x2-(2x+1)2=0

分析和点拨:方程的两边能分解为两个一次因式的积吗?符合什么形式?解题中注意过程的细化和规范。例3、用因式分解法解下列一元二次方程

(1)x+2x+3=0 (2)4y(y-5)+25=0 (3) (x-1)2-6(x-1)+9=0

例4、用因式分解法解下列一元二次方程

(1)x-3x-28=0 (2)x+7x-18=0 (3)(y-2) -2(y-2)-3=0

五、课堂巩固练习

1、用因式分解法解下列一元二次方程

(1)(2)(3)

(4)(5)(6)

当堂检测:

用适当的方法解下列一元二次方程

1、 2、 3、

4、(x-2)2-2(x-2)-8=0

5、x-2x+1=0

6、 (x-2)(x+3)=6

六)拓展与延伸

1、若实数x,y满足(x+y+2)(x+y-1)=0,则x+y=_______;

2、若实数x,y满足(x+y+2)(x+y-1)=0,则x+y=_______;

3若实数x满足(x+x) -5(x+x)-6=0,则x+x=_______;

七)课堂小结:

用因式分解法解一元二次方程的一般步骤:(1)将方程右边化为0,左边因式分解;(2)根据“至少有一个因式为零”,得到两个一元一次方程.(3)两个一元一次方程的根就是原方程的根

八)布置作业:见作业纸

一元二次方程的定义教案

第二章一元二次方程 1 认识一元二次方程 第1课时一元二次方程的定义 【知识与技能】 探索一元二次方程及其相关概念,能够辨别各项系数,能够从实际问题中抽象出方程知识. 【过程与方法】 在探索问题的过程中使学生感受方程是刻画现实世界的一个模型,体会方程与实际生活的联系. 【情感态度】 通过用一元二次方程解决身边的问题,体会数学知识应用的价值,提高学生学习数学的兴趣,了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用. 【教学重点】 一元二次方程的概念. 【教学难点】 如何把实际问题转化为数学方程. 一、情境导入,初步认识 问题1:有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm.在它的四个角分别切去一个正方形,然后将四周突出的部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积是3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形? 问题2:一个长为10米的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8米,如果梯子的顶端下滑1米,那么梯子的底端滑动多少米? 你能设出未知数,列出相应的方程吗? 【教学说明】为学生创设了一个回忆、思考的情境,又是本课一种很自然的引入,为本课的探究活动做好铺垫. 二、思考探究,获取新知

你能通过观察下列方程得到它们的共同特点吗? (1)(100-2x)(50-2x)=3600 (2)(x+6)2+72=102 【教学说明】 分组合作、小组讨论,经过讨论后交流小组的结论,可以发现上述方程都不是所学过的方程,特点是两边都是整式,且整式的最高次数是2. 【归纳结论】方程的等号两边都是整式,只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2的方程叫作一元二次方程; 一般地,任何一个关于x的一元二次方程,经过整理,都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a、b、c为常数,a≠0) 这种形式叫作一元二次方程的一般形式.其中ax2是二次项,a是二次项的系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项. 活动中教师应重点关注: (1) 引导学生观察所列出的两个方程的特点; (2)让学生类比前面复习过的一元一次方程定义得到一元二次方程定义; (3)强调定义中体现的3个特征: ①整式;②一元;③2次. 【教学说明】 让学生充分感受所列方程的特点,再通过类比的方法得到定义,从而达到真正理解定义的目的. 三、运用新知,深化理解 1.下列方程是一元二次方程的有. (1)x2+1/x-5=0(2)x2-3xy+7=0 (3)=4(4)m3-2m+3=0 x2-5=0(6)ax2-bx=4 (5) 2 解答:(5) 2.已知方程(m+2)x2+(m+1)x-m=0,当m满足_______时,它是一元一次方程;当m满足_______时,它是一元二次方程. 解析:当m+2=0,即m=-2时,方程是一元一次方程;当m+2≠0,即m≠

一元二次方程及解法经典习题及解析

一元二次方程及解法经典习题及解析 知识技能: 一、填空题: 1.下列方程中是一元二次方程的序号是 . 42=x ① 522=+y x ② ③01332=-+x x 052=x ④ 5232=+x x ⑤ 412=+x x ⑥ x x x x x x 2)5(0143223-=+=+-。。。。⑧⑦ 2.已知,关于2的方程12)5(2=-+ax x a 是一元二次方程,则a 3.当=k 时,方程05)3()4(22=+-+-x k x k 不是关于X 的一元二次方程. 4.解一元二次方程的一般方法有 , , , · 5.一元二次方程)0(02=/=++a c bx ax 的求根公式为: . 6.(2004·沈阳市)方程0322=--x x 的根是 . 7.不解方程,判断一元二次方程022632 =+--x x x 的根的情况是 . 8.(2004·锦州市)若关于X 的方程052=++k x x 有实数根,则k 的取值范围是 . 9.已知:当m 时,方程0)2()12(22=-+++m x m x 有实数根. 10.关于x 的方程0)4(2)1(222=++-+k kx x k 的根的情况是 . 二、选择题: 11.(2004·北京市海淀区)若a 的值使得1)2(42 2-+=++x a x x 成立,则a 的值为( ) A .5 8.4 C .3 D .2 12.把方程x x 332-=-化为02=++c bx ax 后,a 、b 、c 的值分别为( ) 3.3.0.--A 3.3.1.--B 3.3.1.-C 3.3.1.--D 13.方程02=+x x 的解是( ) x A .=土1 0.=x B 1,0.21-==x x C 1.=x D

一元二次方程教案设计

《一元二次方程》教学设计 四川省旺苍县英萃中学校何剑 教学目标: 1、知识与技能目标 (1)通过对实际问题的分析,感受方程作为刻画现实世界有效模型的意义,通过观察、归纳一元二次方程的概念。 (2)能对具体情景中的数学信息作出合理的解释,能用方程来描述和刻画事物间的等量关系。 2、过程与方法目标 体验数学与日常生活密切相关的联系,认识到许多问题可以用数学方法解决,体验实际问题“数学化”的过程。 3、情感态度与价值观 体会在解决问题的过程中同学间合作交流的重要性,体验数学活动的成功经验,激发学生的学习激情。 教学重点: 1、理解什么是一元二次方程,以及一元二次方程的有关概念。 2、经历探索等量关系式,列方程的过程。 教学难点: 分析与确定问题中的等量关系,能用方程来描述和刻画事物间的等量关系。 教学方法与教学手段 互动式、合作探究;投影仪

教学过程: 一、情景导入,回顾概念 1、求课桌的长和宽 教师利用投影仪向学生展示:你的课桌面积为0.24m 2,已知长比宽多20cm ,求课桌的长和宽是多少? 学生根据老师给出的信息,寻找正确答案。 老师提问:你是怎样求出课桌的长和宽的? 运用方程: 设课桌的宽为xm ,长比宽多0.2m ,则长应为(x+0.2)m ,要求课桌的面积,就要用到矩形面积公式:长×宽=面积,就可以得到方程:x(x+0.2)=0.24,解出方程就可以求得宽。 2、求握手的人数。 游戏:请4个同学上讲台,每两人握一次手,看一共要握多少次手。 学生根据握手的次数,很容易得到答案是6次。 变式训练:一个小组的女生,每两人握一次手,共握了15次,求这个小组有女生多少人。 运用方程:设有x 个女生,每个女生要与其他剩下的(x-1)个女生握手,所以一共要握x(x-1)次,由于甲和乙握手后就不再需要乙和甲握手,所以共握手次数应为)1(2 1-x x 次,则方程为: 15)1(21=-x x ,整理得302=-x x 解出方程便得到女生人数。 请学生回顾:什么是一元二次方程。

专题复习:一元二次方程的五种常用解法(后附答案)【精品】

专题:一元二次方程的5种解法 方法1 形如x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的一元二次方程用直接开平方法求解 1.用直接开平方法解下列方程: (1)9x2=25; (2)x2-√=0; (3)(2t-1)2=9; (4)(x-3)2-9=0. (5)2(x-1)2-18=0. 用直接开平方法解一元二次方程的三个步骤: (1)看:看是否符合x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)的形式; (2)化:对于不符合x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)形式的方程先化为符合的形式; (3)求:应用平方根的意义,将一元二次方程化为两个一元一次方程求解.

方法2 当二次项系数为1,且一次项系数为偶数时,用配方法求解 2.用配方法解下列方程: (1)x 2-10x+9=0; (2)x 2+2x=2; (3)2x 2-4x+1=0. 3. 用配方法解下列方程: (1)3x 2 +6x -5=0; (2)12 x 2 -6x -7=0; (3)2x 2+7x -4=0. 用配方法解一元二次方程的“五步法” (1)移项:使方程的左边为二次项和一次项,右边为常数项. (2)化1:当方程的二次项系数不为1时,在方程的两边同除以二次项系数,把二次项系数化为1. (3)配方:在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方,把原方程化成(x +n)2=p 的形式. (4)开方:若p ≥0,则两边直接开平方得到一元一次方程;若p <0,则原方程无解. (5)求解:解所得到的一元一次方程,求出原方程的解.

方法3 易化成一般形式(二次项系数不为1)时,用公式法求解4.用公式法解方程: (1)x2+3x+1=0; (2)2x2-5x-7=0; (3)(x+1)(x-1)+2(x+3)=8; (4)y2-2√2y+2=0; (5)(x+1)(2x-6)=1; (6)x2+5x+18=3(x+4).

一元二次方程优质课教学设计

《一元二次方程》 2.1一元二次方程教学设计 一、内容和内容解析 (1)内容:一元二次方程的概念, 一元二次方程的一般形式 (2)内容解析:一元二次方程是中学数学的主要内容之一,在初中数学中占有重要地位。我们从知识的发展来看,学生通过一元二次方程的学习,可以对已学过实数、一元一次方程、整式、二次根式等知识加以巩固,同时一元二次方程又是今后学生学习可化为一元二次方程的方程、一元二次不等式、二次函数以及高次方程等知识的基础。初中数学中,一些常用的解题方法、计算技巧以及主要的数学思想,在本章教材中都有比较多的体现、应用和提升。我们从知识的横向联系上来看,学习一元二次方程对其它学科有重要意义。 二、目标和目标解析 (1)目标:理解一元二次方程的概念;了解一元二次方程的一般形式;会把一个一元二次方程化为一般形式;会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。(2)目标解析: 1.通过实际问题的解决,让学生体会到未知数相乘(或因面积问题)导致方程的次数升高,从而说明一元二次方程存在的实际背景,感受一元二次方程是重要的数学模型,体会到学习的必要性. 2.将不同形式的一元二次方程统一为一般形式,学生从数学符号的角度,体会概括出数学模型的简洁和必要,针对“二次”规定a≠0的条件,完善一元二次方程的概念。学生能够将一元二次方程整理成一般形式,准确的说出方程的各项系数,并能确定简单的字母系数方程为一元二次方程的条件. 三、学情分析 教学对象是九年级学生,他们有强烈的好奇心和求知欲,当他们在解决实际问题时,发现列出的方程不再是以前所学过的一元一次方程或是可化为一元一次方程的其他方程时,他们自然会想需要进一步研究和探索有关方程的问题。而从学生的认知结构上来看,前面我们已经系统的研究了一元一次方程及相关概念、整式、分式、二次根式。这就为我们继续研究一元二次方程奠定了基础。 四、教学问题诊断分析

一元二次方程教案

学生姓名:闫鹏飞郭 新 教师姓名:李双虎授课日期:7月27日授课科目:数学授课时间:8:30 第几课时:第十八课时 本 次 授 课 内 容 及 授 课 目 标 (教师填写)教学目标:了解一元二次方程及有关概念;掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次 ──解一元二次方程;掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方 法;应用熟练掌握以上知识解决问题. 教学重点:一元二次方程及其它有关的概念. 教学难点:一元二次方程配方法解题.用公式法解一元二次方程时的讨论. 教学过程: 1、1、)长方形门的高比宽多6尺8寸,门的对角线长1丈,?那么门的高和宽各是多 少? 2、)如图,如果 AC CB AB AC ,那么点C叫做线段AB的黄金分割点. 3、)如果假设AB=1,AC=x,那么BC=________,根据题意,得:________. 整理得:_________. 3、将方程(8-2x)(5-2x)=18化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系 数、一次项系数及常数项. 4.将方程(x+1)2+(x-2)(x+2)=?1化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二 次项、二次项系数;一次项、一次项系数;常数项. 5、求证:关于x的方程(m2-8m+17)x2+2mx+1=0,不论m取何值,该方程都是一元 二次方程.

新航线一线教师授课表 备注:请学生、教师根据实际情况认真填写并签字确认,我们将以此为依据,进行教学调整 学生签字: 学习管理师签字: 6、配方:填上适当的数,使下列等式成立: (1)x 2+12x+ =(x+6)2 (2)x 2―12x+ =(x ― )2 (3)x 2+8x+ =(x+ )2 从上可知:常数项配上一次项系数的一半的平方。 7、:解方程:x 2+8x ―9=0 8、某林场计划修一条长750m ,断面为等腰梯形的渠道,断面面积为1.6m 2,?上口宽比 渠深多2m ,渠底比渠深多0.4m . (1)渠道的上口宽与渠底宽各是多少? (2)如果计划每天挖土48m 3,需要多少天才能把这条渠道挖完? 作 业 课 后 单元测试题1----8 思考题1 学生 评语

21.1一元二次方程(教学设计)

第1课时 21.1一元二次方程(教学设计) 课型:新授课 编制:张媚 九年级( )班 姓名 学习目标: 1、知识与技能: 了解一元二次方程的概念,一元二次方程的一般形式ax 2+bx+c=0(a ≠0),应用一元二次方程概念解决一些简单问题。 2、过程与方法: 通过独立思考,小组交流,探究一元二次方程的概念和一元二次方程的一般形式。 3、情感与态度: 培养学生自学能力与小组合作的意识。 重点: 一元二次方程的一般形式ax 2+bx+c=0(a ≠0) 难点:一元二次方程的一般形式ax 2+bx+c=0(a ≠0)转化。 学情分析:本节课以实际问题为例,通过自主学习,小组探究交流讨论,引出一元二次方程的概念,有利于学生感受和理解,对每个知识点,进行归纳整理,设计适当练习,加深对知识理解,发展学生的能力,突破重点,降低难点。但现有 学生运算能力较差,将一元二次方程的化为一般形式ax 2+bx+c=0(a ≠0)有一定困 难,对实际问题列一元二次方程也会出现困难。 导学过程: 一、自学指导: 阅读教材第1至4页,并完成预习内容.. 问题1 如图,有一块长方形铁皮,长100 cm ,宽50 cm ,在它的四角各切去一个同样的正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积 为3 600 cm 2,那么铁皮各角应切去多大的正方形? 分析:设切去的正方形的边长为x cm ,则盒底的长为 ,宽为 .得方程 , 整理得 化简,得 .① 问题2 要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛? 分析:全部比赛的场数为 设应邀请x 个队参赛,每个队要与其他 个队各赛1场,所以全部比赛共 ____ 场. 列方程_ ____ = . 化简整理得 .② 知识探究 (1)方程①②中未知数的个数各是多少? 个 (2)它们最高次数分别是几次? 次 方程①②的共同特点是:这些方程的两边都是整式,只含有 未知数(一元),并且未知数的最高次数是 的整式方程. 自学反馈 1.一元二次方程的概念. 2.一元二次方程的一般形式: 自学检测: 下列方程中哪些是一元二次方程?(看课件) 二、合作探究(例题学习) 活动1小组讨论 例1将方程3x (x -1)=5(x +2)化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项. 05212 =+-x x )(

一元二次方程全教案

21.1 一元二次方程 一、教学内容:认识一元二次方程 二、教材分析: 教科书先以一个设计人体雕像的实际问题作为开篇,并在第一节又给出两个实际问题,通过建立方程,并引导学生思这些方程的共同特点,从而归纳得出一元二次方程的概念、一般形式,给出一元二次方程根的概念.在这个过程,通过归纳具体方程的共同特点,定义一元二次方程的概念,体现了研究代数学问题的一般方法.一般形式也是对具体方程从“元”(未知数的个数)、“次数”和“项数”等角度进行归纳的结果; 三、学情分析: 初中阶段是智力发展的关键年龄,学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展,观察能力、记忆能力和想象能力也随着迅速发展。从年龄特点来看,初中学生好动、好奇、好表现,注意力易分散,爱发表见解,希望得到老师的表扬,所以在教学中应抓住学生这一特点,一方面要运用直观生动的生活实例,激发学生的兴趣,使他们的注意力始终集中在课堂上;另一方面要创造条件和机会,让学生发表见解,发挥学生学习的主动性。促进学生个性发展。从认知基础上看,学生已经学习了一元一次方程、平方根、因式分解等知识,为本章的学习奠定了基础。学生在利用方程解决实际问题的过程中,会发现仅用这些知识是不能够解决的,因此迫切的需要一元二次方程这个解决问题的工具。 四、教学目标 (一)知识与技能 1.理解一元二次方程概念是以未知数的个数和次数为标准的. 2.掌握一元二次方程的一般形式以及三种特殊形式,能将一个一元二次方程化为一般形式 3.理解二次根式的根的概念,会判断一个数是否是一个一元二次方程的根 (二)过程与方法 通过根据实际问题列方程,向学生渗透知识来源于生活.

(三)情感态度价值观 通过观察,思考,交流,获得一元二次方程的概念及其一般形式和其它三种特殊形式. 五、教学重难点 教学重点:一元二次方程的一般形式和一元二次方程的根的概念 教学难点:通过提出问题,建立一元二次方程的数学模型 六、教学方法和手段: 讲授法、练习法 七、学法指导 讲授指导 八、教学过程 一、复习引入 小学学习过简易方程,上初中后学习了一元一次方程,二元一次 方程组,可化为一元一次方程的分式方程,运用方程方法可以解决众多代数问题和几何求值问题,是非常常见的一种数学方法。从这节课开始学习一元二次方程知识.先来学习一元二次方程的有关概念. 二、探究新知 (一)探究课本问题2 分析: 1.参赛的每两个队之间都要比赛一场是什么意思? 2.全部比赛场数是多少?若设应邀请x 个队参赛,如何用含x 的 代数式表示全部比赛场数? 整理所列方程后观察: 1.方程中未知数的个数和次数各是多少? 2.下列方程中和上题的方程有共同特点的方程有哪些? 4x+3=0;0422=-+x x ;042=-+y x ;0350752=+-x x ;0621=-+x x

一元二次方程组教案

5.1.认识二元一次方程组 教学目标: 1.知识与技能:通过实例了解一元二次方程,一元二次方程组及其解的概念,会判断一组数是不是一个二元一次方程组的解。 2教学思考:通过对实际问题的分析,使学生进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型。. 3解决问题:培养学生能够使用数学知识解决生活实际问题的能力,同时发展学生的观察、归纳、概括的能力。 4.情感态度与价值观:激发学生的求知欲,培养他们勇于探索的精神。 教学重难点: 重点:对二元一次方程,二元一次方程组及其解的理解。 难点:二元一次方程,二元一次方程组及其解的个数。 课时安排: 一课时 教学设计 教学准备 幻灯片 教学流程 (一)复习: 1.一元一次方程的定义. 例:下例哪些方程式一元一次方程? 2(1)35(2)16(3) 32(4)6(5) 3x x y x x xy x π=+==+==+ 注 : 一元:一个未知数 一次:含有未知数的项的次数都是1次 整式:分母中不含字母 2.方程的解:使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解 例:x=5是方程3x+5=20的解吗?为什么? 3.方程2x+y=8是一元一次方程吗?若不是,那又什么呢? (二)新课讲授 1、老牛与小马 分析:审题 A :数量问题 B : 2= -小马老牛 C :设老牛驮了x 个包裹, 小马驮了 y 个包裹。 )(小马 老牛121-=+

想一想 2x y -= 12(1)x y +=- 上面所列方程各含有几个未知数? 2个未知数 含有未知数的项的次数是多少? 次数是1 二元一次方程定义:含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是 1 的整式方程叫做二元一次方程. 判断点:1、未知数几个? 2个 判断点:2、含未知数项的次数是几次? 1次 判断点:3、整式 分母中不含未知数 练一练: 1.请判断下列各方程中,哪些是二元一次 方程,哪些不是?并说明理由. ()()()()21390; 232120; (3)20 1(4)315347; 62100. x y x y xy y x y a b x +-=-+=+=-=-=+= 2.如果方程12231m m n x y -+-=是二元一次方程,那么m =___________,n =______________ . 做一做 6,2x y ==适合方程 8x y +=吗?5,3x y ==呢? 4,4x y ==呢?你还能找到其他 x,y 的值适合方程8x y += 吗? 适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解 例如: 6,2x y ==是方程8x y +=的一个解,记作6,2.x y =??=? 练一练: 1.在下列四组数值中,哪些是二元一次方程 31x y -=的解? (A ) 2,3.x y =??=? (B ) 4,1.x y =??=? (C )10,3.x y =??=? (D )5,2.x y =-??=-?

一元二次方程的四种解法

龙文教育个性化辅导教案提纲教师:陈燕玲学生:年级九日期: 星期: 时段: 课题一元二次方程的概念及解法 学情分析 教学目标与考点分析1.掌握一元二次方程的概念及其一般形式,能指出一元二次方程的各项及其系数。2 能根据具体一元二次方程的特征,灵活选择方程的解法。体会解决问题方法的多样性。 教学重点难点教学重点: 掌握常用四种一元二次方程的解法。教学难点: 灵活选用适当方法解一元二次方程 教学方法讲解法合作探究法 教学过程 一、一元二次方程的概念: 问题(1)有一面积为54m2的长方形,将它的一边剪短5m,另一边剪短2m,恰好变成一个正方形,那么这个正方形的边长是多少? 如果假设剪后的正方形边长为x,那么原来长方形长是________,宽是_____,根据题意,得:_______.整理,得:________. 归纳: (1)只含一个未知数x;(2)最高次数是2次的;(3)?整式方程. 因此,像这样的方程两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程. 一般地,任何一个关于x的一元二次方程,?经过整理,?都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0).这种形式叫做一元二次方程的一般形式. 一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0(a≠0)后,其中ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项. 例1.将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项. 注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号. 例2.将方程(x+1)2+(x-2)(x+2)=?1化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项、二次项系数;一次项、一次项系数;常数项.

公式法解一元二次方程教案

公式法解一元二次方程 一、教学目标 (1)知识目标 1.理解求根公式的推导过程和判别公式; 2.使学生能熟练地运用公式法求解一元二次方程. (2)能力目标 1.通过由配方法推导求根公式,培养学生推理能力和由特殊到一般的数学思 想. 2.结合的使用求根公式解一元二次方程的练习,培养学生运用公式解决问题的能力,全面培养学生解方程的能力,使学生解方程的能力得到切实的提高。 (3)德育目标 让学生体验到所有一元二次方程都能运用公式法去解,形成全面解决问题的积极情感,感受公式的对称美、简洁美,产生热爱数学的情感. 二、教学的重、难点及教学设计 (1)教学的重点 1.掌握公式法解一元二次方程的一般步骤. 2.熟练地用求根公式解一元二次方程。 (2)教学的难点: 理解求根公式的推导过程及判别公式的应用。 (3)教学设计要点 1.情境设计 上课开始,通过提问让学生回忆一元二次方程的概念及配方法解一元二次方程的一般步骤。利用昨天所学“配方法”解一元二次方程,达到“温故而知新”的目的和总结配方法的一般步骤,为下一步解一般形式的一元二次方程做准备。 然后让学生思考对于一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 能否用配方法求出它的解?引出本节课的内容。 2.教学内容的处理 (1)回顾配方法的解题步骤,用配方法来解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)。 (2)总结用公式法解一元二次方程的解题步骤,并补充理解判别公式的分类与应用。 (3)在小黑板上补充课后思考题:李强和萧晨刚学了用公式法解一元二次方程,看到一个关于x 的一元二次方程x2+(2m-1)x+(m-1)=0, 李强说:“此方程有两个不相等的实数根”,而萧晨反驳说:“不一定,根的情况跟m的值有关”.那你们认为呢?并说明理由. 3.教学方法 在教学中由特殊的解法(配方法)引导探究一般形式一元二次方程的解的形

23.2.5一元二次方程的解法(五)应用题1 学案

23.2.5《一元二次方程的解法》学案(5) 学习目标: 1、使学生能根据量之间的关系,列出一元二次方程的应用题。 2、提高学生分析问题、解决问题的能力。 3、培养学生数学应用的意识。 学习重难点: 认真审题,分析题中数量关系,适当设未知数,寻找等量关系,列出方程是本节课的重点,也是难点。 学习过程: 一、课前预习: 1、叙述列一元一次方程解应用题的步骤。 2、一元二次方程有哪些解法 3、用多种方法解方程22 -=++ (31)69 x x x 二、课上探究: 自主探究: 绿苑小区规划设计时,准备在每两幢楼房之间,安排面积为900平方米的一块长方形绿地,并且长比宽多10米,那么绿地的长和宽各为多少? 解:设宽为x米,可列出方程 解出方程: 合作交流: 列一元二次方程解应用题的步骤: 。 (鼓励用自己的语言总结出解题步骤。) 自主学习: 例1.如图,一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮,要在它的四角截去四个相等的小正方形,折成一个无盖的长方体水槽,使它的底面积为800平方米.求截去正方形的边长。 分析:设截去正方形的边长x厘米,底面(图中虚线线部分)长等于 厘米,宽等于厘米,S底面= 。 请同学们自己列出方程并解这个方程,讨论它的解是否符合题意。

精讲点拨: 注意:检验方程的解是否符合题意。 自主学习: 例2:学校生物小组有一块长32m,宽20m的矩形试验田,为了管理方便,准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道.要使种植面积为5402 m, 小道的宽应是多少? 解: 精讲点拨: 要注意分析题意,抓住主要的数量关系,列出方程,把实际问题转化为数学问题来解决。求得方程的根之后,要注意检验是否符合题意,然后得到原问题的解答 自主探究: 思考:是否还有其它的办法解决问题? 合作交流: 通过本节课的学习你有什么收获?在二次根式的化简时注意什么问题? 当堂检测: A组 1、用一块长80cm、宽60cm的薄钢片,在四个角上截去四个相同的边长为xcm的小正方形,然后做成底面积为1500cm的无盖长方体盒子。为求出x,根据题意,列方程并整理得() A、x2-70x+825=0 B、x2+70x-825=0 C、x2-70x-825=0 D、x2+70x+825=0 2、要用一条长为24cm的铁丝围成一个斜边长为10cm的直角三角形,则两条直角边的长分别为() A、4cm,8cm B、6cm,8cm C、4cm,10cm D、7cm,7cm

一元二次方程教学案例及反思

一元二次方程教学案例及反思 一、案例背景 1、教材分析: 一元二次方程在初中代数学习中,具有重要的地位,起着承前启后的作用。一方面对以前学习过的各种知识进行综合地应用,比如说整式、开平方、一元一次方程、一次方程组以及不等式的知识在这一章里都有应用,另一方面,一元二次方程又是前面所学知识的继续和发展,它还是以后学习其他方程以及数学知识的基础,比如说,二次函数、高中要学习的指数方程、对数方程等等都与一元二次方程有关。这节课是人教版第22章的第一节课时,主要学习一元二次方程的定义、一般形式及其根的概念。本节在引言方程的基础上,首先通过两个实际问题——面积问题和比赛问题,进一步引出一元二次方程的具体例子,然后再引导学生观察列出这三个具体方程,并发现它们在形式上的共同点,给出一元二次方程的定义。 2、学生分析 在前面学生已经学习了一元一次方程,二元一次方程组,可化为一元一次方程的分式方程等等,已经初步地感受了方程的模型作用,并且积累了一些利用方程解决实际问题的一些经验,解决了一些实际问题。教师要在这基础上,通过实际问题,引导学生认识一元二次方程的定义、一般形式及其根的概念。 3、教学目标: (1)理解一元二次方程概念是以未知数的个数和次数为标准的;掌握一元二次方程的一般形式以及三种特殊形式,能将一个一元二次方程化为一般形式;理解二次根式的根的概念,会判断一个数是否是一个一元二次方程的根。 (2)经历观察,归纳一元二次方程的概念,一元二次方程的根的概念及其一般形式和其它三种特殊形式。 (3)通过生活学习数学,并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情。 4、教学重点: 一元二次方程的概念,一般形式和一元二次方程的根的概念。 5、教学难点: 通过提出问题,建立一元二次方程的数学模型,?再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念。 6、教学思路: 以实际问题为背景,引出一元二次方程及其有关概念,通过学生分组讨论,得到一元二次方程的一般形式,给出一元二次方程根的概念,组织学生分析一元二次方程的根的不唯一性。 二、课堂实录: (一)复习引入 师:我们已经学习了一元一次方程及其解法、可化为一元一次方程的分式方程,知道运用方程方法可以解决众多代数问题和几何求值问题,是非常常见的一种数学方法。今天我们来学习一种新的方程——一元二次方程。 师:在学习之前,同学们回忆一下,什么叫一元一次方程? 生1:含有一个未知数,并且未知数的次数是1的式子是一元一次方程。 生2:不是“式子”应该是整式方程。 师:对了,一定是整式方程才行,要不然有可能是分式方程,大家要记住哦。

一元二次方程的解法复习教案

一元二次方程及其解法《一元二次方程的解法》练习课(2课时) 一、教学目标: 1、掌握一元二次方程的四种解法,会根据方程的不同特点,灵活选用适当的方法求解方程。 2、方程求解过程中注重方式、方法的引导,特殊到一般、字母表示数、整体代入等数学思想方法的渗透。 3、培养学生概括、归纳总结能力。 二、重点、难点: 1 重点:会根据不同的方程特点选用恰当的方法,使解题过程简单合理。 2 难点:通过揭示各种解法的本质联系,渗透降次化归的思想。 三、教学过程: (一)情景引入:三位同学在作业中对方程(2x-1)2=3(2x-1)采用的不同解法如下: 第一位同学:第三位同学: 解:移项:(2x-1)2-3(2x-1) =0 解:整理: (2x-1) [(2x-1)-3]=0 即 2x-1=0或(2x-1)-3=0 X= 或 x=2 第二位同学: = 解:方程两边除以(2x-1): (2x-1)=3 X=2 针对三位同学的解法谈谈你自己的看法: (1)他们的解法都正确吗? (2)哪一位同学的解法较简便呢?

(二)复习提问:我们学了一元二次方程的哪些解法?---- 练习一:按括号中的要求解下列一元二次方程: (1)4(1+x)2=9(直接开平方法);(2)x2+4x+2=0(配方法); (3)3x2+2x-1=0(公式法);(4)(2x+1)2= -3 (2x+1) (因式分解法) 概括四种解法的特点及步骤: 1.直接开平方法:直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法,这是最基础的方法,与此前解一元一次方程类似。(在降次时注意正负两个值) 2.配方法:配方法就是把方程配成一个完全平方式,再用直接开平法求解,配方时,方程左右两边同时【加上一次项系数一半的平方】。(方法:先移项,再化二次项系数为一,然后配方,最后利用直接开平法求解。) 3.公式法:用公式法解一元二次方程时首先要将方程化成一般形式,也就是ax2+bx+c=0的形式,然后才能做。在用公式法解一元二次方程中,先算b2-4ac的值。 4.因式分解法:因式分解法就是利用所学过的分解因式的知识来求解。 一般步骤:①将方程右边化为零;②将方程左边分解为两个一次因式乘积;③令每个因式分别等于零,得到两个一元一次方程;④解这两个一元一次方程 练习二:选用适当的方法解下列方程 (1)2(1-x)2-6=0 (3)3(1-x)2=2-2x (2)(2x-1)+3(2x-1)+2=0;(4)(x+2)(x+3)=6 交流讨论:1 与同桌或邻桌同学比较,看谁的解法更简单。 2 你如何根据方程的特征选择解法? 已知代数式x2 - 6x+10 , (1)试说明无论x取何实数时,代数式的值都大于0. (2)求代数式的最小值. (四)课堂练习:

一元二次方程的解法归纳总结

一元二次方程的解法归纳总结 一元二次方程的解法是每一个中学生都必须掌握的,共有5种解法,其中直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法是教材上重点讲解的四种方法,并没有提到换元法,我们在这次归纳总结中给于详细的讲解.另外,还将介绍某些特殊的一元二次方程的解法. 在上面提到的四种解一元二次方程的方法中,直接开平方法是最直接的方法,因式分解法是最简单的方法,配方法是最基本的方法,而公式法是最万能的方法. 我们要根据一元二次方程的特点选择合适的解法,如一元二次方程缺少一次项,选择用直接开平方法求解;一元二次方程缺少常数项,选择用因式分解法(缺常选因)求解. 一、直接开平方法 解形如p x =2(p ≥0)和()c b ax =+2 (c ≥0)的一元二次方程,用直接开平方法. 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤: (1)把一元二次方程化为p x =2(p ≥0)或()c b ax =+2 (c ≥0)的形式; (2)直接开平方,把方程转化为两个一元一次方程; (3)分别解这两个一元一次方程,得到一元二次方程的两个解. 注意: (1)直接开平方法是最直接的解一元二次方程的方法,并不适合所有的一元二次方程的求解; (2)对于一元二次方程p x =2,当0

c 时,一元二次方程有两个不相等的实数根; ②当0=c 时,一元二次方程有两个相等的实数根; ③当0

一元二次方程教学案例.

一元二次方程教学案例 教材分析 1、教材的地位和作用 一元二次方程是中学教学的主要内容,在初中代数中占有重要的地位,在一元二次方程的前面,学生学了实数与代数式的运算,一元一次方程(包括可化为一元一次方程的分式方程)和一次方程组,上述内容都是学习一元二次方程的基础,通过一元二次方程的学习,就可以对上述内容加以巩固,一元二次方程也是以后学习(?指数方式,对数方程,三角方程以及不等式,函数,二次曲线等内容)的基础,此外,学习一元二次方程对其他学科也有重要的意义。 2、教学目标及确立目标的依据 九年义务教育大纲对这部分的要求是:"使学生了解一元二次方程的概念",依据教学大纲的要求及教材的内容,针对学生的理解和接受知识的实际情况,以提高学生的素质为主要目的而制定如下教学目标。 知识目标:使学生进一步理解和掌握一元二次方程的概念及一元二次方程的一般形式。 能力目标:通过一元二次方程概念的教学,培养学生善于观察,发现,探索,归纳问题的能力,培养学生创造性思维和逻辑推理的能力。 德育目标:培养学生把感性认识上升到理性认识的辩证唯物主义的观点。 3、重点,难点及确定重难点的依据 "一元二次方程"有着承上启下的作用,在今后的学习中有广泛的应用,因此本节课做为起始课的重点是一元二次方程的概念,一元二次方程(特别是含有字母系数的)化成一般形式是本节课的难点。 二、教材处理 在教学中,我发现有的学生对概念背得很熟,但在准确和熟练应用方面较差,缺乏应变能力,针对学生中存在的这些问题,本节课突出对教学概念形成过程的教学,采用探索发现的方法研究概念,并引导学生进行创造性学习。 三、教学方法和学法 教学中,我运用启发引导的方法让学生从一元一次方程入手,类比发现并归纳出一元二次方程的概念,启发学生发现规律,并总结规律,最后达到问题解决。 四、教学手段 采用投影仪 五、教学程序 1、新课导入:

九年级数学 一元二次方程的解法 (5)

一元二次方程的解法 ?一元二次方程的解: 能够使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。 解一元二次方程方程: 求一元二次方程解的过程叫做解一元二次方程方程。 ?韦达定理: 一元二次方程根与系数的关系(以下两个公式很重要,经常在考试中运用到) 一般式:ax2+bx+c=0的两个根x1和x2关系: x1+x2= -b/a x1·x2=c/a ?一元二次方程的解法: 1、直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。 直接开平方法适用于解形如的一元二次方程,根据平方根的定义可知,x+a 是b的平方根,当时,;当b<0时,方程没有实数根。 用直接开平方法求一元二次方程的根,一定要正确运用平方根的性质,即正数的平方根有两个,它们互为相反数,零的平方根是零,负数没有平方根。 2、配方法 配方法是一种重要的数学方法,它不仅在解一元二次方程上有所应用,而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。 配方法的理论根据是完全平方公式,把公式中的a看做未知数x,并用

x代替,则有。 3、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法,它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程的求根公式: 求根公式是专门用来解一元二次方程的,故首先要求a≠0;有因为开平方运算时,被开方数必须是非负数,所以第二个条件是b2-4ac≥0。即求根公式使用的前提条件是a≠0且b2-4ac≥0。 4、因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段,求出方程的解的方法,这种方法简单易行,是解一元二次方程最常用的方法。 ?一元二次方程求根公式推导过程 解一元二次方程的一种方法,也指套用公式计算某事物。另外还有配方法、十字相乘法、直接开平方法与分解因式法。公式表达了用配方法解一般的一元二次方程的结果。

《一元二次方程的解法》教案

《一元二次方程的解法》教案 教学内容 1.给出配方法的概念,然后运用配方法解一元二次方程. 2.理解一元二次方程求根公式的推导过程,了解公式法的概念. 3.因式分解的探究及其方法. 教学目标 1.了解配方法的概念,掌握运用配方法解一元二次方程的步骤. 2.通过复习上一节课的解题方法,给出配方法的概念,然后运用配方法解决一些具体题目. 3.会熟练应用公式法解一元二次方程. 4.会利用因式分解法解某些简单数字系数的一元二次方程. 重难点关键 重点: 1.讲清配方法的解题步骤. 2.求根公式的推导和公式法的应用. 3.应用因式分解法解一元二次方程. 难点与关键: 1.把常数项移到方程右边后,两边加上的常数是一次项系数一半的平方. 2.一元二次方程求根公式法的推导. 3.将方程化为一般形式后,对方程左侧二次三项式的因式分解. 教学过程 一、复习引入 (学生活动)解下列方程: (1)x2-8x+7=0 (2)x2+4x+1=0 老师点评:我们前一节课,已经学习了如何解左边含有x的完全平方形式,右边是非负数,不可以直接开方降次解方程的转化问题,那么这两道题也可以用上面的方法进行解题.解:(1)x2-8x+(-4)2+7-(-4)2=0 (x-4)2=9 x-4=±3即x1=7,x2=1 (2)x2+4x=-1 x2+4x+22=-1+22 (x+2)2=3即x+2

x12,x2-2 二、探索新知 像上面的解题方法,通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫配方法.可以看出,配方法是为了降次,把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解.例:解下列方程: (1)x2=2 (2)4x2-1=0 分析:第1题直接用开平方法解;第2题可先将-1移项,再两边同时除以4化为x2=a的形式,再用直接开平方法解之. 例:解下列方程: (1)x2+6x+5=0 (2)2x2+6x-2=0 (3)(1+x)2+2(1+x)-4=0 分析:我们已经介绍了配方法,因此,我们解这些方程就可以用配方法来完成,即配一个含有x的完全平方. 解:(1)移项,得:x2+6x=-5 配方:x2+6x+32=-5+32(x+3)2=4 由此可得:x+3=±2,即x1=-1,x2=-5 (2)移项,得:2x2+6x=-2 二次项系数化为1,得:x2+3x=-1 配方x2+3x+(3 2 )2=-1+( 3 2 )2(x+ 3 2 )2= 5 4 由此可得x+3 2 =± 2 ,即x1= 2 - 3 2 ,x2=- 2 - 3 2 (3)去括号,整理得:x2+4x-1=0 移项,得x2+4x=1 配方,得(x+2)2=5 x+2x12,x22 三、应用拓展 用配方法解方程(6x+7)2(3x+4)(x+1)=6 分析:因为如果展开(6x+7)2,那么方程就变得很复杂,如果把(6x+7)看为一个数y,那 么(6x+7)2=y2,其它的3x+4=1 2 (6x+7)+ 1 2 ,x+1= 1 6 (6x+7)- 1 6 ,因此,方程就转化为y的方程, 像这样的转化,我们把它称为换元法.解:设6x+7=y 则3x+4=1 2 y+ 1 2 ,x+1= 1 6 y- 1 6

一元二次方程的解法教案

学生:科目:年级: 教师:时间:20 13 年月日课题 教学目标1.初步掌握用直接开平方法解一元二次方程,会用直接开平方法解形如 的方程; 2.初步掌握用配方法解一元二次方程,会用配方法解数字系数的一元二次方程; 3.掌握一元二次方程的求根公式的推导,能够运用求根公式解一元二次方程; 4.会用因式分解法解某些一元二次方程。 5.通过对一元二次方程解法的教学,使学生进一步理解“降次”的数学方法,进一步获得对事物可以转化的认识。 重难点重点:一元二次方程的四种解法。 难点:选择恰当的方法解一元二次方 一、教材分析: 1.知识结构:一元二次方程的解法 2.重点、难点分析 (1)熟练掌握开平方法解一元二次方程 用开平方法解一元二次方程,一种是直接开平方法,另一种是配方法。 如果一元二次方程的一边是未知数的平方或含有未知数的一次式的平方,另一边是一个非负数,或完全平方式,如方程,和方程 就可以直接开平方法求解,在开平方时注意取正、负两个平方根。 配方法解一元二次方程,就是利用完全平方公式,把一般形式的一元二次方程, 转化为的形式来求解。配方时要注意把二次项系数化为1和方程两边都加上一次项系数一半的平方这两个关键步骤。

(2)熟记求根公式()和公式中字母的意义在使用求根公式时要注意以下三点: 1)把方程化为一般形式,并做到、、之间没有公因数,且二次项系数为正整数,这样代入公式计算较为简便。 2)把一元二次方程的各项系数、、代入公式时,注意它们的符号。 3)当时,才能求出方程的两根。 (3)抓住方程特点,选用因式分解法解一元二次方程 如果一个一元二次方程的一边是零,另一边易于分解成两个一次因式时,就可以用因式分解法求解。这时只要使每个一次因式等于零,分别解两个一元一次方程,得到两个根就是一元二次方程的解。 我们共学习了四种解一元二次方程的方法:直接开平方法;配方法;公式法和因式分解法。解方程时,要认真观察方程的特征,选用适当的方法求解。 二、教法建议 1.教学方法建议采用启发引导,讲练结合的授课方式,发挥教师主导作用,体现学生主体地位,学生获取知识必须通过学生自己一系列思维活动完成,启发诱导学生深入思考问题,有利于培养学生思维灵活、严谨、深刻等良好思维品质. 2. 注意培养应用意识.教学中应不失时机地使学生认识到数学源于实践并反作用于实践. 一复习 1.完全的一元二次方程的一般形式是什么样的?(注意a≠0) 2.不完全一元二次方程的哪几种形式? (答:只有三种ax2=0,ax2+c=0,ax2+bx=0(a≠0)) 3.对于前两种不完全的一元二次方程ax2=0 (a≠0)和ax2+c=0 (a≠0),我们已经学会了它们的解法。 特别是结合换元法,我们还会解形如(x+m) 2=n(n≥0)的方程。 例解方程:(x-3) 2=4 (让学生说出过程)。 解:方程两边开方,得 x-3=±2,移项,得x=3±2。

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