浅谈二分策略的应用
华东师大二附中杨俊
【摘要】本文着重讨论三种不同类型的二分问题，意在加深大家对二分的认识。它们所考虑的对象从一般有序序列，到退化了的有序序列，最后到无序序列。事实上它们也正代表了二分策略的三种不同应用。
【关键字】二分、序、应用
【正文】
“二分”，相信这个词大家都再熟悉不过了。二分是一种筛选的法则，它源于一个很简单的想法——在最坏情况下排除尽可能多的干扰，以尽可能快地求得目标。
二分算法的高效，源于它对信息的充分利用，尽可能去除冗余，减少不必要的计算，以极大化算法效率。事实上许多二分问题都可以用判定树或其它一些定理来证明，它达到了问题复杂度的下界。
尽管二分思想本身很简单，但它的扩展性之强、应用面之广，或许仍是我们所未预见的。大家也看到，近年来各类竞赛试题中，二分思想的应用不乏令人眼前一亮的例子。下面是作者归纳的二分思想的三种不同类型的应用，希望能让读者有所收获。
类型一：二分查找——应用于一般有序序列
申明：这里所指的有序序列，并不局限于我们通常所指的，按从小到大或是从大到小排好序的序列。它仅包含两层意思：第一，它是一个序列，一维的；第二，该序列是有序的，即序列中的任意两个元素都是可以比较的。也就是拥有我们平时所说的全序关系。
虽说二分查找大家都再熟悉不过了，但这里还是先简要地回顾一下二分查找的一般实现过程：
（1）确定待查找元素所在范围
（2）选择一个在该范围内的某元素作为基准
（3）将待查找元素的关键字与基准元素的关键字作比较，并确定待查找元素新的更精确的范围
（4）如果新确定的范围足够精确，输出结果；否则转至（2）
让我们看一个经典问题——顺序统计问题
[问题描述]
给定一个由n个不同的数组成的集合S，求其中第i小的元素。
[分析]
相信大家对这个问题都很熟悉，让我们回顾一下二分查找是如何应用于该问题上的。
（1）确定待查找元素在S中
（2）在n个元素中随机
．．取出一个记为x，将x作基准
（3）设S中比元素x小的有p个。
如果i 的元素，求该范围内第i个元素； 如果i>p，表示我们所要寻找的元素比x大，我们就将范围确定为S中比x大 的元素，求该范围内第i-p-1个元素； 如果i=p，表示第i小的元素就是x。 （4）如果找出x，输出；否则转至（2） 因为x是随机选出的，由简单的概率分析，可得算法的复杂度期望值为O(n)。 [小结] 举这个例子，是想提醒大家两点： 第一，不要想当然认为二分查找就一定与logn有关。算法中的第（3）步，即我们通常所说的“分”并不要求每一次都必须在O(1)时间进行，“分”可以是建立在对序列的有效处理之上（比如上面这个例子中使用了类似于快速排序中的集合分割）。 第二，二分算法的“分”并不要求每次都必须平均（因为有时候可能很难做到这一点），只要不是每次都不平均就已经可以产生高效的算法了，这样也给使用随机化算法带来了契机。 近年来由于交互式试题的出现，也给予二分查找更多活力。相当多的二分查找问题都是以交互式试题的形式给出的。比如说，就上面这个例子，摇身一变就成了一道交互式的中等硬度问题（IOI2000）。两个题目如出一辙：你问第i小的，我问第(N+1)/2小的；解法当然也就依样画葫芦：你用随机取出的x，依照与x大小关系分成两段，我就随机取出x,y，依照与x,y大小关系分成三段；你的复杂度期望是O(n)，我的询问次数的期望也是O(N)。（具体细节这里不再展开，有兴趣的同学可以参考前辈的解题报告1） 类型二：二分枚举——应用于退化了的有序序列 二分策略并不总是应用于上述这样显式的有序序列中，它可能借助于问题某种潜在的关联性，用于一些隐含的退化了的有序序列中。与先前介绍的二分查找相比，最大的区别在于这里的二分在判断选择哪一个部分递归调用时没有比较运算。 我们还是先看一个问题——BTP职业网球赛（USACO contest dec02） [问题描述] 有N头奶牛（N是2K），都是网球高手，每头奶牛都有一个BTP排名（恰好为1—N）。下周将要进行一场淘汰赛，N头奶牛分成N/2组，每组两头奶牛比赛，决出N/2位胜者；N/2位胜者继而分成N/4组比赛……直至剩下一头牛是冠军。 比赛既要讲求实力，又要考虑到运气。如果两头奶牛的BTP排名相差大于给定整数K，则排名靠前的奶牛总是赢排名靠后的；否则，双方都有可能获胜。现在观众们想知道，哪头奶牛是所有可能成为冠军的牛中排名最后的，并要求你列举出一个可能的比赛安排使该奶牛获胜。（限制N≤65536） [分析] 由于N很大，我们猜想可以通过贪心方法解决。 我们希望排名靠前的选手总是“爆冷”输给排名靠后的选手。于是我们让1输给K+1、12000-2002集训队论文《中等硬度解题报告》高岳 2输给K+2……每一轮中每一局总是选择未比赛的排名最前的选手，输给一个排名最靠后的选手（如果有的话）。 但我们很容易找到反例，例如：N=8, K=2，由上述贪心方法我们得到对阵方式结果为4，见图BTP-1（其中X →Y 表示X 战胜Y ）。 图BTP-1 图BTP-2 但最优解为6，见图BTP-2。究其原因，因为我们不知道最优解是多少，所以我们是在盲目地贪心。事实上，最优解的6在第一轮就被我们淘汰了，当然就得不到最优解喽！ 要想知道最优解？枚举！同时考虑到一个很显然的结论——如果排名为X 的选手最终获胜，那么排名在X 前的选手也可以获胜。 显然归显然，证明它我们还需要动一点小脑筋。假设排名X 的选手最终获胜，我们通过对该对战方式的局部修改，构造出一种新的对战方式使任意排名Y 因此，我们就可以用二分枚举最终获胜的X ，大大提高了算法效率。 现在的问题是，如果我们知道最终获胜的是X ，我们能否很快构造出一种对战方式或是证明不存在吗？可以，我们仍旧使用贪心，不过因为我们知道最终谁获胜，所以我们采用倒推。 每一轮，我们都让已有选手去战胜一个排名最靠前的还未出现的选手，由该方法产生的对战方式就如图BTP-2所描述那样。至于最靠前的未出现选手如何找，我们可以采用静态排序二叉树实现，这里不再展开，读者可以自己考虑。 可以证明这样贪心是正确的（证明方法同前面的证明类似，这里也不再重复）。整个问题可以在O(Nlog 2N)时间完成。 [小结] 对于这类需要二分枚举的问题，其实算法的根本是在一个隐含的退化了的有序序列中进行二分查找，只是这个序列仅含有0和1两种值。上例中当X 让我们再看一个问题——奖章分发（ACM/ICPC CERC 2004） [问题描述] 有一个环形的围墙，围墙上有一些塔，每个塔中有一个守卫。现在要发给每个守卫一些奖章，第i 个守卫需要P[i]个奖章。每个守卫自己的奖章必须都是不同种类的，而且相邻的两个守卫得到的奖章也不能有任何一个相同。问至少应准备多少种不同的奖章。（限制：2≤n≤10000，1≤P[i]≤100000） [分析] 假如围墙不是环形的，我们很容易用贪心算法解决：每次发给守卫尽可能多的已准备的奖章，如果不够就再新准备若干种以满足需要。但现在围墙是环形的，最后一个守卫与第一个守卫也不能有重复的奖章，这就是问题的难点。 3→1 4→2 7→5 8→6 4→3 8→7 4→8 6→7 5→3 4→8 2→1 6→5 4→2 6→4 于是我们尝试将这一难点引入状态，用动态规划求解（动态规划是求解最优性问题的一种常用方法）。 令a[i,j]表示前i 个守卫已安排妥当，且第i 个守卫有j 个奖章与第一个守卫相同，则除第一个守卫已有的P[1]种奖章外，至少还需要的奖章种数。 如图，假设第i-1个守卫有k 个奖章与第一个守卫相同，由于这k 个奖章与第i 个守卫的j 个奖章必须互不相同，易知j+k≤P[1]；又由于第i-1个守卫的另外P[i-1]-k 个奖章必须与第i 个守卫的另外P[i]-j 个奖章不同，设需要增加X 种奖章，则 a[i-1,k]+X ≥ (P[i]-j)+(P[i-1]-k) 得到X ≥ (P[i]-j)+(P[i-1]-k) - a[i-1,k] 于是我们有 }k}j 1]P[i P[i]k],1,max{a[i {min }k]}1,a[i k)1](P[i j)(P[i]max{0,k]1,a[i {min j]a[i,j P[1]k 1],P[i k 0j P[1]k 1],P[i k 0---+-=----+-+-= -≤-≤≤-≤-≤≤ 显然就这样做复杂度高达O(n*Pmax 2)。即使使用了优化，也很难得到令人满意的结果，我们只得另辟蹊径。 考虑到如果有P[1]+X 种奖章，存在一种分发方案满足要求，那么如果我们有P[1]+X+1种奖章，也一定存在可行方案（大不了其中一种我们不用）。这个性质非常重要，因为由此，我们可以就用二分枚举X ，再逐个判断是否有可行方案的方法求得结果。 所以原先问题就转化为——如果我们已经知道共有P[1]+X 种奖章，我们能否很快判断是否存在满足要求的分发方案呢？答案是肯定的。 方法仍旧是动态规划2，状态表示也类似，a[i,j]表示共有P[1]+X 种奖章，前i 个守卫已安排妥当，且第i 个守卫有j 个奖章与第一个守卫相同是否可能。 则状态转移变为： ])k ,1i [a (or ]j ,i [a X j ]i [P k ]1i [P ],1[P j k ],1i [P k 0-=≤-+--≤+-≤≤ 表面上看状态转移仍旧很繁琐，k 的取值有很多限制。但我们仔细观察，第二、三条合起来是P[i-1]+P[i]-X-j ≤ k ≤ P[1]-j 。 对于确定的i ，k 的取值范围在数轴上的表示是一条长度确定的线段，且线段的位置由j 确定。原先第一条限制只不过是再给线段限定一个范围，去除多余无意义的部分（如图）。 2 准确地说应该是递推 k P[i-1]-k j P[i]-j 第i-1个守卫 第i 个守卫 与第一个守 卫相同的奖 章数目 与第一个守卫不同的奖章数目 初始状态a[1]中只有a[1,0]=true ，其余均为false 。由归纳法很容易证明对任意i ，a[i,j]中为true 的j 一定是连续的一段。由此对每个i ，所有状态a[i,j]可仅用两个端点表示，即a[i].x1、a[i].x2。 考虑要使a[i,j]=true ，当且仅当k 的取值范围与线段[a[i-1].x1,a[i-1].x2]有交集，即满足 P[1]-j ≥ a[i -1].x1 and P[i-1]+P[i]-X-j ≤ a[i -1].x2 即 P[i-1]+P[i]-X-a[i-1].x2 ≤ j ≤ P[1]-a[i-1].x2 由此，状态转移方程变为： a[i].x1=max( 0 , P[i-1]+P[i]-X-a[i-1].x2 ) a[i].x2=min( P[i] , P[1]-a[i-1].x1 ) 初始状态a[1].x1=a[1].x2=P[1]，状态总数O(n)，状态转移O(1)，可以说是高效的。 有了此方法，鉴于先前的分析，我们采用二分枚举X ，并利用高效的测试方法，即可在O(n*logPmax)的时间解决整个问题。 [小结] 上面这个问题，看似难点仍旧在于动态规划，二分枚举只不过充当了一个附加手段。但实际上事先枚举的X ，极大地简便了动态规划的方程，才使得问题得以解决。应用这类二分枚举思想的最优性问题近来很是热门，而且这类试题很容易诱导选手直接采用动态规划或是贪心算法，而走入死胡同。 所以，今后我们在考虑最优性问题时，应注意问题是否隐含了一个有序的01序列，它是否可以用二分枚举的方法将最优性问题转化为可行性问题。切记！“退一步海阔天空”。 类型三：二分搜索——应用于无序序列 如果你认为只有在有序序列中才可以二分，那你就大错特错了，无序序列照样可以进行二分搜索。请看下面这个交互式问题——推销员的旅行（JSOI ） [问题描述] 作为一名推销员，Mirko 必须坐飞机访问N 个城市一次仅一次。已知每两座城市间都有且仅有一条航线，总在整点起飞，途中花费1小时。每个航线的飞机总是不停地往返于两座城市，即如果有一架飞机在5点整从A 市飞往B 市，则6点整到达，且马上又起飞，7点整回到A 市……为了保证效率，Mirko 想把N 个城市排成一个序列A 1,A 2,…,A N ，对于每个i （1 P[i-1]+P[i]-X-j P[1]-j k 的取值范围 多余的无意义部分 0 a[i-1].x1a[i-1].x1 a[i-1].x2 a[i-1].x2 P[i-1]+P[i]-X-j P[i-1]+P[i]-X-j P[1]-j P[1]-j k 的取值范围 k 的取值范围 可惜Mirko 没有飞机的时刻表，所以他不得不打电话问航空公司。每通电话，他可以询问A 、B 两市之间的航线在正午12点从A 飞往B 还是从B 飞往A 。由于Mirko 不想在打电话上花太多钱，请你帮助他，用尽可能少的电话确定一条旅行线路。注意，交互库可能根据你的询问调整线路使你打电话的次数最多。 [分析] 问题比较长，让我们先分析一下它到底要我们做什么。 假设我们在正午12点从A 1市飞往A 2市，1点整到达，又做了一小时广告，2点整从A 2市出发前往A 3市……显然，我们总是在偶数整点时出发从一个城市前往另一个城市。 因为飞机往返时间恰为2小时，中间又没有停顿，所以如果正午12点的飞机是从A 飞往B ，则任意偶数整点的飞机也一定是从A 飞往B 的。 由此，我们可以将先前的问题转化（注意：是转化而不是等价）为在一个竞赛图3中寻找一条哈密尔顿路的问题，我们的目标就是尽可能少地进行询问。 为了避免询问的盲目性，我们尝试使用增量法逐步扩展序列。 我们先任意询问两座城市，方便起见就选择城市1和城市2。不妨设1到2有边，我们就得到一条长度为1的线路1→2。 假设我们已设计了一条含有前i 座城市、长度为i-1的线路A 1→A 2→…→A i ，我们希望再加入一座城市i+1，变成长度为i 的线路。 如图，我们可先询问i+1到A 1是否有边。如果有，我们就将线路改作i+1→A 1→A 2→…→A i ；否则，我们再询问A i 到i+1是否有边，如果有，我们将线路改作A 1→A 2→…→A i →i+1。如果还没有，就表示两端不能插入，i+1只能插在中间。 注意到i+1与A 1间的边是从A 1到i+1。如果i+1有边到A 2，我们就可以把i+1插在A 1与A 2间；如果i+1仍没有边到达A 2，就表示A 2有边到A i+1，我们可再询问A 3…… 这样的询问会不会问到底也没法插入i+1？不会，因为i+1有边到A i 。 由此，我们得到了一种询问方法，但最坏情况下总的询问次数可能是O(N 2)的。 由于对每个点A k (1≤k≤i)，要么A k 有边到i+1，要么i+1有边到A k 。且A 1有边到i+1，i+1有边到A i 。于是，我们可以用二分搜索寻找A k ，使i+1可以插入A k 与A k+1之间。 假设我们已知i+1可以插入A p 与A r 之间，我们询问i+1与A (p+r)/2间边的方式。 如果i+1有边到A (p+r)/2，则表示A p 到A (p+r)/2间可以插入i+1；否则表示A (p+r)/2到A r 间可以插入i+1。不断二分，直至p+1=r 。 这样，我们所需要的询问次数仅为O(nlogn)。 [小结] 对于这类二分搜索问题，其实从根本上讲我们是在一个无序的01序列中进行查找，查找的对象是一个特殊的子串‘01’。有了这个子串，再利用构造法，就可以将结果转化为原先问题的一组可行解了。 当我们询问i+1到A (p+r)/2之间的边，如果i+1有边到A (p+r)/2，我们就设法将i+1插入A p 与A (p+r)/2之间。其实，这并不表示i+1就一定不能插入到A (p+r)/2与A r 之间，只是不一定能。而i+1一定能插入到A p 与A (p+r)/2之间。由此可见，这样的二分搜索方法往往应用于那些可行解很多，但需要高效地构造一组可行解的问题。 3 即有N 个顶点，两两之间恰只有一条边的有向图 A 1 A 2 A 3 A i i+1 i+1 i+1 i+1 有了上述思想，我们再看一个例子——非与门电路（ACM/ICPC CERC 2001） [问题描述] 有一种门电路叫做非与门（NAND），每个NAND有两个输入端，输出为两个输入端非与运算的结果，即not(A and B)。给出一个由N个NAND组成的无环电路（这一点对于一个逻辑电路来说很重要），电路的M个输入全部连接到一个相同的输入x，如图NAND-1所示。请把其中一些输入设置为常数，用最少的x完成相同功能。图NAND-2是一个只用一个x输入但可以得到同样结果的电路。 图NAND-1 图NAND-2 [分析] 首先想到的是使用表达式，将各个门电路的输出表示成输入的某个函数运算结果，以此连接整个电路的输入和输出。但由于NAND运算不满足结合律，也就无法进行表达式的运算。我们只得另辟蹊径。 事实上，我们很容易算出x分别为0和1时电路的输出结果ans0、ans1。如果ans0=ans1，显然我们一个x都不需要，将所有输入均设为0或1即可满足要求；如果ans0≠ans1呢？一个都不用是不可能的了，那么只用一个呢？ 考虑到，即使只有一个x，我们能够选择的输入序列仍非常多，只要有一个满足要求即可。因此，我们尽可大胆猜想，最多只要一个未知输入x，即可满足要求。 只用一个x，这表示当这个x=0时，电路输出恰好为ans0；当这个x=1时，电路输出恰好为ans1。我们只改变了一个输入端口的值，而且是从0改为1。 由此，我们假想一个全为0的输入序列，经过若干次这样的修改后，最终将变为一个全为1的输入序列；另一方面，开始时电路输出ans0，而最后电路输出ans1。所以，必定存在某个时刻，当一个输入由0变为1时，输出恰从ans0变为ans1。 因此这就证明了我们刚才的最多只用一个x的猜想是正确的。同时，算法也浮出水面：假想我们构造了如下M+1个不同的输入： 0: 0 0 0 0 0 0 0 1: 1 0 0 0 0 0 0 2: 1 1 0 0 0 0 0 … … M: 1 1 1 1 1 1 (1) 要求我们找出相邻两组输入，前一个输出ans0，后一个输出ans1。 我们仍旧可以由二分搜索高效完成：已知第p组输出ans0、第r组输出ans1，我们计算第(p+r)/2组输出ans’。如果ans’=ans0，取r=(p+r)/2；否则p=(p+r)/2，直至p+1=r。 于是问题在O(NlogM)时间被很好地解决。 [小结] 可以看出，这类二分搜索问题的难点在于构造。如何将一个完全不相干的问题引入二分搜索的应用范围，利用一个不起眼的0到1的改变构造出原问题的一个解决方案。构造法没有统一的格式或者规律可循，只能具体问题具体分析。我们所能做的，就是在平时多接触、多思考、多积累。 【总结】 本文这里仅简单地介绍了几个例子，要涵盖二分策略的所有应用甚至是大部分应用都是困难的。我想指出的是二分思想虽然简单，但是它的内容还是非常丰富的。我们不能让二分思想仅仅停留在一般有序数组上的最基本的二分查找，而应该扩展到更广泛的应用上。 二分策略常与其它一些算法相结合，并借以隐蔽自己，以逃离我们的视线。这就要求我们能有扎实的基本功、丰富的解题经验、大胆合理的猜测以及活跃的创造思维，方可“以不变应万变”。 【参考文献】 《实用算法的分析与程序设计》吴文虎王建德 《算法艺术与信息学竞赛》刘汝佳黄亮 加法的神奇速算法 一、加大减差法 1、口诀 前面加数加上后面加数的整数，减去后面加数与整数的差等于和。 2、例题 1376+98=1474 计算方法：1376+100-2 3586+898=4484 计算方法：3586+1000-102 5768+9897=15665 计算方法：5768+10000-103 二、求只是数字位置颠倒两个两位数的和 1、口诀 一个数的十位数加上它的个位数乘以11等于和 2、例题 47+74=121 计算方法：（4+7）×11=121 68+86=154 计算方法：（6+8）× 11=154 58+85=143 计算方法：（5+8）× 11=143 三、一目三行加法 1、口诀 提前虚进一，中间弃9，末位弃10 2、例题 365427158 644785963 +742334452 ——————— 1752547573 方法：从左到右，提前虚进1；第1列：中间弃9（3和6）直接写7；第2列：6+4-9+4=5 以此类推...最后1列：末位弃10（8和2）直接写3。 注意：中间不够9的用分段法，直接相加，并要提前虚进1；中间数字和大于19的，弃19，前边多进1，末位数字和大于19的，弃20，前边多进1。 减法的神奇速算法 一、减大加差法 1、例题 321-98=223 计算方法：321-100+2（减100，加2） 8135-878=7257 计算方法：8135-1000+122（减1000，加122） 91321-8987= 82334 计算方法：91321-10000+1013(减10000，加1013) 2、总结 被减数减去减数的整数，再加上减数与整数的差，等于差。 二、求只是数字位置颠倒两个两位数的差 1、例题 74-47=27 1 建设物流实训室的必要性 在社会需求的推动下，20xx年起，全国部分学校开始试办“物流管理”等相关专业，为企业培养和输送物流专业人才。这在一定程度上对物流知识和思想的传播起到了很好的作用，也的确培养了一些物流人才。他们在相关的物流岗位上发挥了作用，有效地促进了企业物流运作的变革和进步。 但是，其中反映出的问题也不少，主要体现在以下几个方面： 1.1 偏重理论培训，缺少实践环节 目前在各种认证体系中，基本上以知识性学习为主，只有少量的实际操作环节。 现代物流业很注重实际操作经验，仅有理论知识难以解决企业的实际业务问题，物流培训也必须以此为重要原则，加强实训功能，注重对实际业务的理解和对实际操作技能的掌握，才能培养出符合企业需求的人才。 1.2 教学手段单一，感性认识与理性认识不能有机结合 目前无论是高校的物流学历教育还是职业培训，普遍存在一个问题，就是教学主要以教师分散授课为主，辅以少量甚至没有参观。学员们无法全面系统地了解物流运作的整个过程，除少量悟性较高的学员外，大多数学员的物流知识结构比较凌乱。 1.3 传统实训方式已不能满足学生和企业的需要 学生实训要求在类似企业实际的环境下，并且实训的设备、软件必须是企业实际应用的，或在企业实际应用基础上改造过来。 随着国内教育教学改革的深入，实训方式创新层出不穷，旧有的实训方式尤其是模拟仿真远远不能满足现有教学的需要。 2 物流实训室设计理念 通过实训室对各节点模拟，从而展现货物的入库、仓储、流通加工、配送、出库等第三方物流企业的供应链流程。在此模拟的供应链上，配备一系列模块化的现代物流设施，如：全自动立体仓库、电子标签辅助拣货系统、电子看板，RF手持设备等，它们各自独立，又互为联系，充分体现了传统的物流运行过程通过信息化实现其战略决策系统化，管理现代化和作业自动化这一现代物流的时代特征，从而在学校实训室内营造了一个类似真实的集物资流和信息流于一体的实训教学环境。 3 实训室方案规划设计 物流实训室平面布局 主要组成部分： 全自动立体仓库及自动分拣：立体货架、全自动堆垛机及输送装置等； 普通仓储货架：重型及轻型货架； 电子标签拣货系统：重力式货架、电子标签分拣系统及拣货台等； 打包封装：多种款式的打包设备； 条码及射频系统：RF手持终端、条码打印机及多种条码阅读设备； 管理岗位：物流软件、PC及桌椅。 4 实训系统功能 之所以要在学校实训室条件下，构建一个类似真实的以第三方物流服务单元为核心的供应链仿真系统，其真实目的是想以此为学校进行现代供应链物流运作管理等相关课程的课堂理论教学提供一个有效的辅助教学手段，并为学生掌握各种现代化，自动化的物流设施设备的操作技能，提供一个实实在在的实训平台。 所以从这个意义上说，我们这套实训系统应具有以下教学实训功能： 4.1 了解和学习物流管理的内容和技术 1、仓储管理系统的操作训练 深入探究多项式乘法的快速算法 焦作市第一中学 闵梓轩 一、 高精度、多项式与生成函数 1.1 高精度 在OI 中我们有时会碰到一些问题的必要数值超出64位整形的范围，这个时候我们就需要用到高精度方式存储。而高精度数的思想是进制思想的一个具体体现，出于正常人类的习惯，我们所使用的高精度数都采用10进制，即每一位都表示十进制上的一个数，从0~9，更进一步，为了优化高精度数运算所花费的时间与空间，我们采用了万进制，即每一位存0~9999的数，这样同时优化了程序效率，同时在输出上也没有什么太大的问题（每一位不足1000补0即可）。 当然，我们也可以用三进制、五进制、450进制，8964进制的高精度数，虽然因为在输出时会变得非常麻烦而没有人去用，但是它们的可行性正对应了进制的一种思想，比如一个十进制数12450，它的算数含义是0123410*010*510*410*210*1++++二进制数10010，它的算数含义是1 42*12*1+（把为0的位忽略），这样形如 ),0(*0N a x a x a i i n i i i ∈<≤∑=的每一位上的数字在数值表示上都乘上了某个数的一个幂的数正是进制思想的基础。在编程实现上这样的一个数我们通常用整形数组来表示，a[i]表示i 次项的系数，如果数组长度为n ，那么学过高精度的人都知道两个数相加的时间复杂度是θ(n)，两个数相乘的时间复杂度是O(n^2)，在信息学竞赛中，这样的时间复杂度足以满足大部分题目的需求，因为一般来说我们的数值都不会达到10^100000次方这么大。 1.2多项式 熟悉数学的我们能够发现上面这样的一个式子，如果忽略了括号中的内容的限制，那么 我们可以发现这样的式子其实就是我们所学的n 次多项式∑∞==0*)(i i i x a x A ， 比如十进制数12450就是05421234++++x x x x 当x=10的时候的数值嘛。所以，当一个值b 代入多项式A(x)时，这个式子也就变成了一个值A(b)。但是要注意的是多项式的系数是没有限制的，所以多项式可以用浮点数组表示，而且我们可以惊奇地发现多项式的加法和乘法在代码上除了不需要进位之外和高精度是一样的。所以说，我们所见的b 进制数值，就是一个当x=b 的多项式的取值而已。但是在多项式中，x 的意义仅仅是一个符号而已，ai*x^i 你可以理解为ai 在数组的第i 个位置。 我们需要注意的是，n 次多项式的数组表示需要用到n+1个数，为什么？因为有n 个含x 的项和一个常数项，所以我们一般把多项式A(x)的最高次项的次数+1称作为这个多项式的次数界（次数界的真正意义是系数不为零的最高次项的次数+1，下文中提到的“次数界“为 左偏树的特点及其应用 广东省中山市第一中学黄源河 【摘要】 本文较详细地介绍了左偏树的特点以及它的各种操作。 第一部分提出可并堆的概念，指出二叉堆的不足，并引出左偏树。第二部分主要介绍了左偏树的定义和性质。第三部分详细地介绍了左偏树的各种操作，并给出时间复杂度分析。第四部分通过一道例题，说明左偏树在当今信息学竞赛中的应用。第五部分对各种可并堆作了一番比较。最后总结出左偏树的特点以及应用前景。 【关键字】左偏树可并堆优先队列 【目录】 一、引言 (2) 二、左偏树的定义和性质 (2) 2.1 优先队列，可并堆 (2) 2.1.1 优先队列的定义 (2) 2.1.2 可并堆的定义 (2) 2.2 左偏树的定义 (3) 2.3 左偏树的性质 (4) 三、左偏树的操作 (6) 3.1 左偏树的合并 (6) 3.2 插入新节点 (8) 3.3 删除最小节点 (9) 3.4 左偏树的构建 (9) 3.5 删除任意已知节点 (10) 3.6 小结 (13) 四、左偏树的应用 (15) 4.1 例——数字序列（Baltic 2004） (15) 五、左偏树与各种可并堆的比较 (18) 5.1 左偏树的变种——斜堆 (18) 5.2 左偏树与二叉堆的比较 (19) 5.3 左偏树与其他可并堆的比较 (19) 六、总结 (22) 在线代理|网页代理|代理网页|https://www.doczj.com/doc/0313964204.html, 【正文】 一、引言 优先队列在信息学竞赛中十分常见，在统计问题、最值问题、模拟问题和贪心问题等等类型的题目中，优先队列都有着广泛的应用。二叉堆是一种常用的优先队列，它编程简单，效率高，但如果问题需要对两个优先队列进行合并，二叉堆的效率就无法令人满意了。本文介绍的左偏树，可以很好地解决这类问题。 二、左偏树的定义和性质 在介绍左偏树之前，我们先来明确一下优先队列和可并堆的概念。 2.1优先队列，可并堆 2.1.1优先队列的定义 优先队列(Priority Queue)是一种抽象数据类型(ADT)，它是一种容器，里面有一些元素，这些元素也称为队列中的节点(node)。优先队列的节点至少要包含一种性质：有序性，也就是说任意两个节点可以比较大小。为了具体起见我们假设这些节点中都包含一个键值(key)，节点的大小通过比较它们的键值而定。优先队列有三个基本的操作：插入节点(Insert)，取得最小节点(Minimum) 和删除最小节点(Delete-Min)。 2.1.2可并堆的定义 可并堆(Mergeable Heap)也是一种抽象数据类型，它除了支持优先队列的三个基本操作(Insert, Minimum, Delete-Min)，还支持一个额外的操作——合并操作： H ← Merge(H1,H2) Merge( ) 构造并返回一个包含H1和H2所有元素的新堆H。 前面已经说过，如果我们不需要合并操作，则二叉堆是理想的选择。可惜合并二叉堆的时间复杂度为O(n)，用它来实现可并堆，则合并操作必然成为算法的瓶颈。左偏树(Leftist Tree)、二项堆(Binomial Heap) 和Fibonacci堆(Fibonacci Heap) 都是十分优秀的可并堆。本文讨论的是左偏树，在后面我们将看到各种可并堆的比较。 在线代理|网页代理|代理网页|https://www.doczj.com/doc/0313964204.html, 小学数学加减法速算技巧_小学数学加减法速算方 法 (2)买一台电冰箱和一台洗衣机需要多少钱? (3)如果有200元钱买一只书包还剩多少钱? 他们调动了自己的经验和原有的知识结构去探究这个情境中所蕴涵的数学问题，并积极地从多角度去思考问题，发现问题，达到了 很好的教学效果。 我们知道，数学本来就是从客观世界的数量关系与空间形式中抽象、概括出来的。当学生从问题情境中，体会出一些数学思想时， 教师应以引导者、鉴赏者的身份，即教师只是提供一些建议或信息，而不是代替学生做出判断，同时鼓励学生有创造的想法，使学生在 最大的空间去学习、去思考、去探索。在教学加法时，可以分成了 两个步骤： 1、独立探索阶段 教师提出问题：“营业员很快地算出买一套运动服(113元)和一 个书包(59元)共需要172元，你们知道这是为什么吗?”学生想出 了很多计算方法： 113+59=113+60-1=172。 113+59=113+50+9=172。 113+59=112+(1+59)=172。 2、合作探讨阶段 ①每一种方法为什么这样做?请讲讲你的道理? ②这几种方法哪一种比较简便?为什么? 通过合作交流，学生各抒己见，这样既达到了增强学生合作意识地目的，又培养了学生的主体意识。从而归纳出多加几，减去几;先 凑整，再相加这两种方法。 在教孩子学减法时，可以让学生运用原型来揭示算理，探究规律。小学数学的内容大都可以直接在客观世界中找到它的原型。减数接 近整十、整百、整千数时，把它看作整十、整百、整千数，多减几，加上几这个数学知识我们可以在生活中找到一个合适的原型——收 付钱款时常常发生地“付整找零”的活动，并且在课堂中展示这个 活动：妈妈带了165元，其中有一张百元纸币，到商店买钱包花了 97元，妈妈怎样给钱呢?由老师扮妈妈，一名学生扮售货员，妈妈 拿出一百元钱给售货员，售货员找给妈妈3元。这里的道理明明白白，是学生所熟悉的常识。这个活动是原始的、最低层次的减法速 算法，是学习数学的原型。再引导学生摆这个过程用算式表示出来：165-100+3，从而概括出速算的方法。这样，由常识上升到了数学， 学生的学习由低层次上升到了高层次。 多种速算方法的学习使我们的速算更加完美无瑕。 1、运用数的特征“凑整” 我们认识物体都要抓住物体的特征，特征是它与别人不一样的地方，数字在数学王国中也有自己的一些特征，今天我们说的特征是 指这些数字都接近整十、整百、整千，像98、1002等等，在计算时 只要把这些数看成整十、整百、整千数，就能使计算简便。 2、移位“凑整” 3、定律：“凑整” 像乘法口诀一样，定律、规律、法则都是前人给我们创造和积累的财富，我们可以直接拿来使用，这样可以节省我们很多的时间。 定律“凑整”指在计算中运用我们平时学过的一些定律、规律和法 则进行“凑整”。 例：计算364+72+46+128378-57-43482-(39+82) 设计方案范文合集八篇 设计方案范文合集八篇 为了确保事情或工作有序有力开展，常常需要预先准备方案，方案属于计划类文书的一种。方案应该怎么制定呢？以下是收集整理的设计方案8篇，仅供参考，希望能够帮助到大家。 设计方案篇1 一、活动目的 1、培养学生合作探究的精神与分析问题、解决问题的能力。 2、培养和增强学生的地理学习兴趣，关注身边的地理知识。 3、懂得多渠道收集课外资料。 二、活动时间及地点 三、活动方式 根据课室座位安排情况，以小组为单位，每两排组成一组，共分为四大组。以“野外考察员的困难”为主要内容，展开几个阶段的小组间的地理知识竞赛。 四、参与人员 全体同学 五、活动流程 活动刚开始，教师以一名“地理野外考察员”的身份登场，讲述他一天所遇到的困难。困难一：迷失了方向 1、活动准备 在活动前的地理课，向学生提出“当你迷失野外，你该如何来辨别方向”这一问题，让学生课后根据自己的生活经验或向有经验的长辈请教等各类方式收集有关方法，并以作业形式上交。 2、活动过程 学生以小组为单位，全组成员上交一份解决方法，教师当场逐一宣读，答对1个得1分，答错不得分。 3、活动小结 教师讲解野外辨别方向常用的几种方法。 附： 1）平时参考地图和指南针，同时积极观察周围的地形以及身边的植物来判断正确位置。 2）利用太阳 ①冬季日出位置是东偏南，日落位置是西偏南；夏季日出位置是东偏北，日落位置是西偏北；春分、秋分前后，日出正东，日落正西。 ②只要有太阳，就可以使用手表来辨别方向。按24小时制读出当时的时刻，将小时数除以二，将得到一个小时数。把手表水平放在手上或者地上，让手表的这个时刻对准太阳所在的方位，这时手表表面12点所指的方向是北方，6点所指的方向是南方。 设计方案篇2 1、幼儿园的功能组成 包括幼儿生活用房、服务用房、和供应用房三部分。 2、幼儿园的功能分析 计划方案合集10篇 计划方案合集10篇 为了确保我们的努力取得实效，通常会被要求事先制定方案，方案是在案前得出的方法计划。那么什么样的方案才是好的呢？下面是小编帮大家整理的计划方案10篇，仅供参考，大家一起来看看吧。计划方案篇1 各林场(所)：为进一步深入贯彻《甘肃省自然保护区条例》及《XX市人民政府关于进一步加强封山禁牧工作的通知》和《XX林业总场封山禁牧管理暂行办法》精神，巩固XX林区近年来的封山禁牧成果，加快生态环境建设步伐，现就我场XX年封山禁牧工作安排如下：一、明确指导思想我场的封山禁牧工作，坚持统筹规划，以封为主，禁牧与圈养、恢复生态和保护林农利益相结合的指导思想，按照《森林法》、《森林法实施条例》及市局、总场关于封山禁牧工作的总体部署和要求，坚持把加强封山禁牧工作作为恢复植被、改善生态、提高林木尽快成林的重要措施，作为改善人居环境，促进人与自然和谐相处，构建和谐林区的重要保障。各林场（所）要从促进林区经济社会可持续发展的大局出发，切实增强责任感和紧迫感，采取切实有效的措施，加大工作力度，真正把封山禁牧工作抓紧抓好，确保取得实效。二、细化工作任务一要提高认识，统筹安排，强化责任，分解任务。各林场（所）主要领导要切实提高认识，将封禁工作放在同林业生产同等重要的位置上，同安排同部署，并根据市局、总场封禁工作会议精神，延伸签订封禁工作目标管理责任书，确保封禁工作责任分解到站，细化到人。二要广泛宣传动员，营造良好舆论氛围。各林场（所）要采取召开干部会、群众大会、养殖户专题会、管护人员工作会、发放宣传资料、刷写宣传标语、悬挂横幅、制做固定宣传碑等多种形式，广泛宣传《森林法》、《森林法实施条例》、《XX 市人民政府关于进一步加强封山禁牧工作的通知》《XX、林业总场封山禁牧管理暂行办法》等有关政策法规文件，教育林区群众充分认识封山禁牧的重大意义，明确封山禁牧的范围、措施和责任，引导群众正确处理长远利益与当前利益、整体利益与局部利益、封山禁牧与畜牧养殖的关系，真正把封山禁牧工作变为广大群众的自觉行动，为封山禁牧创造良好的舆论氛围。三要详细调查摸底，掌握 3.3 多项式的乘法 一．选择题（共4小题） 1．已知（x﹣m）（x+n）=x2﹣3x﹣4，则m﹣n的值为（） A．1 B．﹣3 C．﹣2 D．3 2．（x2+ax+8）（x2﹣3x+b）展开式中不含x3和x2项，则a、b的值分别为（）A．a=3，b=1 B．a=﹣3，b=1 C．a=0，b=0 D．a=3，b=8 3．若2x3﹣ax2﹣5x+5=（2x2+ax﹣1）（x﹣b）+3，其中a、b为整数，则a+b之值为何？（）A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．4 4．下列计算错误的是（） A．（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab B．（x+a）（x﹣b）=x2+（a+b）x+ab C．（x﹣a）（x+b）=x2+（b﹣a）x+（﹣ab） D．（x﹣a）（x﹣b）=x2﹣（a+b）x+ab 二．填空题（共8小题） 5．若（x+1）（x+a）展开是一个二次二项式，则a= 6．定义运算：a⊕b=（a+b）（b﹣2），下面给出这种运算的四个结论：①3⊕4=14；②a⊕b=b⊕a； ③若a⊕b=0，则a+b=0；④若a+b=0，则a⊕b=0．其中正确的结论序号为．（把 所有正确结论的序号都填在横线上） 7．已知m+n=3，mn=﹣6，则（1﹣m）（1﹣n）= ． 8．已知（3x﹣p）（5x+3）=15x2﹣6x+q，则p+q= ． 9．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为（a+3b），宽为（2a+b）的长方形，则需要C类卡片张． （第9题图） 10．一个三角形的底边长为（2a+6b），高是（3a﹣5b），则这个三角形的面积是．11．计算下列各式，然后回答问题． （a+4）（a+3）= ；（a+4）（a﹣3）= ； （a﹣4）（a+3）= ；（a﹣4）（a﹣3）= ． 几种简单的数学速算技巧 一、一种做多位乘法不用竖式的方法。我们都可以口算1X1 10X1,但是,11X12 12X13 12X14呢？ 这时候,大家一般都会用竖式，通过竖式计算,得数是132、156、168。其中有趣的规律：积个位上的 数字正好是两个因数个位数字的积。十位上的数字是两个数字个位上的和。百位上的数字是两个因数十 位数字的积。例如： 12X14=168 1=1X1 6=2+4 8=2X4 如果有进位怎么办呢？这个定律对有进位的情况同样适用，在竖式时只要~满几时，就向下一位进几。 ~例如： 14X16=224 4=4X6的个位 2=2+4+6 2=1+1X1 试着做做看下面的题： 12X15= 11X13= 15X18= 17X19= 二、几十一乘以几十一的速算方法 例如：21×61＝41×91＝41×91= 51×61= 81×91= 41×51= 41×81= 71×81= 这些算式有什么特点呢？是“几十一乘以几十一”的乘法算式，我们可以用：先写十位积，再写十位 和（和满10 进1），后写个位积。“先写十位积，再写十位和（和满10 进1），后写个位积”就是一见到 几十一乘以几十一的乘法算式，如果十位数的和是一位数，我们先直接写十位数的积，再接着写十位数的 和，最后写上1 就一定正确；如果十位数的和是两位数，我们先直接写十位数的积加1 的和，再接着写十 位数的和的个位数，最后写一个1 就一定正确。 我们来看两个算式： 21×61＝ 41×91＝ 用“先写十位积，再写十位和（和满10 进1），后写个位积”这种速算方法直接写得数时的思维过程。 第一个算式，21×61＝？思维过程是：2×6＝12，2＋6＝8，21×61 就等于1281。 第二个算式，41×91＝？思维过程是：4×9＝36，4＋9＝13，36＋1＝37，41×91 就等于3731。 试试上面题目吧！然后再看看下面几题 61×91＝81×81＝31×71＝51×41＝ 一、10-20的两位数乘法及乘方速算 方法：尾数相乘，被乘数加上乘数的尾数（满十进位） 【例1】 1 2 X 1 3 ---------- 1 5 6 (1)尾数相乘2X3=6 (2)被乘数加上乘数的尾数12+3=15 (3)把两计算结果相连即为所求结果 【例2】 1 5 X 1 5 ------------ 2 2 5 (1)尾数相乘5X5=25（满十进位） (2)被乘数加上乘数的尾数15+5=20，再加上个位进上的2即20+2=22 (3)把两计算结果相连即为所求结果 二、两位数、三位数乘法及乘方速算 精选方案策划合集5篇 方案策划篇1 一、日本寿司店的总体目标 2. 产品定价及收入目标 产品定价寿司：甜鸡蛋寿司 12元加州反卷寿司12元烤鳗鱼寿司 12元樱花反卷寿司12元香辣牛肉寿司12元鱼松蟹棒寿司12元鱼松火腿寿司12元金枪鱼寿司8元球生菜寿司8元紫薯红薯寿司8元鱼松寿司 8元红心蛋黄寿司 8元飞鱼子寿司8元什锦色拉寿司 7元水果寿司 7元果冻寿司 6元火腿寿司 6元手卷：黄瓜手卷 5元／2个鱼松手卷 7元／2个金枪鱼手卷7元／2个色拉手卷 7元／2个烤鳗鱼手卷7元／2个饭团：红心蛋黄饭团 5元／2个紫薯饭团 5元／2个鱼松饭团 7元／2个金枪鱼饭团7元／2个火腿饭团 7元／2个预计每日将会有50份订单，每份订单平均10元，平均每份订单成本3元利润7元。每日将获得利润10x50=500元每日将获纯利润7x50=350元 收入目标 月收入：20190.00元年收入：240000.00元 员工工资以及支出经费：40000.00元年净收入：201900.00元 3. 发展目标 将日本寿司店发展成特色小资情调的店子。主要顾客为情侣、中 高消费水平学生、喜爱日韩的女生等。 本店以优雅的环境，日本特色的风味为主打。在提供就餐的同时能享受到不一样的优质服务。且寿司分为中高档，既能满足高消费水平学生的消费欲望，同时满足一般学生的购买能力。 立志将日本寿司店在我校附近立足，并以优质传统的特色服务收揽各新老顾客。 二、市场状况分析 1. 市场需求 自然生长的稻米和最新鲜的鱼生，用极致简单又饶有趣味的生食方式组合在一起，寿司已经迅速发展成为全世界都无法抗拒的美味新宠。寿司风潮正全面来袭。走进店堂，就可以看到一碟碟的寿司由传送带传送着，从眼前回转而过。自己伸手从传送带上取下自己爱吃的寿司，最后根据所吃的碟数来结账，这就是寿司。因其价格低廉、轻松随意，已经越来越受到普通消费者的欢迎。 作为全世界正越来越风行的日本寿司，正被越来越多追求品位和健康的人所钟爱。纽约、巴黎、伦敦、悉尼、香港，时髦都市中的寿司店，门前永远不缺时髦男女耐心排长队。寿司经营店也在中国不断增长。什么原因呢？它的魅力在于：第一、口味鲜美, 而且丰富多样的品种满足了不同口味、不同喜好的人们。寿司的制作原料可谓包罗万象, 不拘一格，从鱼类、贝类到牛肉、禽蛋甚至蔬菜、瓜果都可以制成风味各异的寿司。 第二、寿司符合人们健康饮食的标准。日本饮食在养生方面具有 多项式的乘法 多项式的乘法的法则： 一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项。然后把所得的积相加。 整式的乘法运算与化简 多项式的乘法 转化为单项式 与多项式相乘 代数式的化简求值 典型例题 一．整式的计算 1.)1-n -m )(n 3m (+ 2.若c bx ax x x ++=+-2 )3)(12(，求c b a ,,的值. 二．确定多项式中字母的值 1.多项式)32)(8x mx -+（中不含有x 的一次项，求m 的值？ 2.若))(23(22q px x x x +++-展开后不含3x 和2x 项，求q p ,的值。 三．与方程相结合 解方程：8)2)(2(32-=-+x x x x 四．化简求值： 化简并求值：)3(2)42)(2(2 2--++-m m m m m ，其中2=m 五．图形应用 1．有若干张如图所示的正方形A 类、B 类卡片和长方形C 类卡片，如果要拼成一个长为（2a +b ），宽为（a +2b ）的大长方形，则需要C 类卡片 张． 2.如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个长为（a+3b ），宽为（2a+b ）的矩形，需要这三类卡片共________ 张． 3．如图，在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形，把余下的部分剪成两个直角梯形后，再拼成一个长方形，通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，这个等式是( ) A ．a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b ) B ．(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2 C ．(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2 D ．a 2－ab ＝a (a －b ) 【实用】工作计划合集六篇 工作计划篇1 为了贯彻落实“安全第一，预防为主，综合治理”的方针，强化安全生产目标管理。结合工厂实际，特制定20xx年安全生产工作计划，将安全生产工作纳入重要议事日程，警钟长鸣，常抓不懈。 一、下半年目标 实现下半年无死亡、无重伤、无重大生产设备事故，无重大事故隐患，工伤事故发生率低于厂规定指标，综合粉尘浓度合格率达80%以上（如下表）。 二、指导思想 要以公司对20xx年安全生产目标管理责任为指导，以工厂安全工作管理制度为标准，以安全工作总方针“安全第一，预防为主。”为原则，以车间、班组安全管理为基础，以预防重点单位、重点岗位重大事故为重点，以纠正岗位违章指挥，违章操作和员工劳动保护穿戴为突破口，落实各项规章制度，开创安全工作新局面，实现安全生产根本好转。 三、牢固树立“安全第一”的思想意识 各单位部门要高度重视安全生产工作，把安全生产工作作为重要的工作来抓，认真贯彻“安全第一，预防为主”的方针，进一步增强安全生产意识，出实招、使真劲，把“安全第一”的方 针真正落到实处，通过进一步完善安全生产责任制，首先解决领导意识问题，真正把安全生产工作列入重要议事日程，摆到“第一”的位置上，只有从思想上重视安全，责任意识才能到位，才能管到位、抓到位，才能深入落实安全责任，整改事故隐患，严格执行“谁主管，谁负责”和“管生产必须管安全”的原则，力保安全生产。 四、深入开展好安全生产专项整治工作 根据工厂现状，确定出20xx年安全生产工作的重点单位、重点部位，完善各事故处理应急预案，加大重大隐患的监控和整改力度，认真开展厂级月度安全检查和专项安全检查，车间每周进行一次安全检查，班组坚持班中的三次安全检查，并要求生产科、车间领导及管理人员加强日常安全检查，对查出的事故隐患，要按照“三定四不推”原则，及时组织整改，暂不能整改的，要做好安全防范措施，尤其要突出对煤气炉、锅炉、硫酸罐、液氨罐等重要部位的安全防范，做好专项整治工作，加强对易燃易爆、有毒有害等危险化学品的管理工作，要严格按照《安全生产法》、《危险化学品安全管理条例》强化专项整治，加强对岗位现场的安全管理，及时查处违章指挥，违章操作等现象，限度降低各类事故的发生，确保工厂生产工作正常运行。 五、继续加强做好员工安全教育培训和宣传工作 工厂采取办班、班前班后会、墙报、简报等形式，对员工进行安全生产教育，提高员工的安全生产知识和操作技能，定期或 实习报告 一、实习题： 请写出计算两个以单链接表表示的多项式相乘的程序。 1．需求分析和说明 两个多项式相乘，可以利用两个多项式的加法来实现，因为乘法运算可以分 解为一系列的加法运算：C(x)=A(x)*B(x)=A(x)*(b1x+b2x2+…+b n x n)=∑ = n i i i x b x A 1 ) ( 先用其中一个多项式去乘以另一个多项式的每一项，得出的若干个多项式按照一定的顺序相加，即幂不同的按照升幂排列，幂相同的将系数相加。 例如： 对于(X->1+2X->2)*(2X->2+4X->3). X->1*(2X->2+4X->3)=2X->3+4X->4; 2X->2*(2X->2+4X->3)=4X->4+8X->5; 排列结果：2X->3+8X-4+8X->5 2．设计 用两个单链表的存储两个多项式，每个结点包含单项式的系数，幂和指向下一个元素地址的指针。用其中的一个多项式乘以另一个多项式的每一项，随后将所得结果按照升幂顺序排列，最后得到结果。 存储结构： //单项式结构 struct Term { float coef; // 系数。 int exp; // 幂指数。 Term( float c, int e) { coef = c; exp = e;} Term( ) { } friend int operator == (const Term & L, const Term & T ) { return L.exp == T.exp; } friend int operator > (const Term & L, const Term & T ) { return L.exp > T.exp; } friend int operator < (const Term & L, const Term & T ) { return L.exp < T.exp; } friend Term & operator += ( Term & L, const Term & T ) { L.coef += T.coef; return L; } //幂指数相同，则系数相加。 friend Term & operator *=(Term &L, const Term &T){ //实现单项式乘法 L.coef*=T.coef; L.exp+=T.exp; 【精选】计划方案合集9篇 计划方案合集9篇 为有力保证事情或工作开展的水平质量，时常需要预先制定一份周密的方案，方案是从目的、要求、方式、方法、进度等方面进行安排的书面计划。那么大家知道方案怎么写才规范吗？以下是小编为大家收集的计划方案9篇，仅供参考，大家一起来看看吧。计划方案篇1 一指导思想深入学习《幼儿园教育指导纲要》，深刻把握《纲要》精髓，高举素质教育的旗帜，扮演好教师的多重角色，充分认知和尊重幼儿生命特性，遵循幼儿身心发展规律和学习特点，自觉创造与生命相和谐、与个体生命相一致的教育；在“存精、吸纳、创新”的课程研究总原则下，突显语言特色，坚持课程与课题研究整合相融求效益，不断深化园本课程建设，推动教育科研向纵深发展。 二、工作目标 1、立足实际，深入课改，把《纲要》精神转化为实际的、科学的教育实践能力，促进教师专业化成长。 2、突显我园语言教育特色，向全市展示教育成果。 3、开拓教育资源，在有目的、有准备的生活实践中提高幼儿语言交往能力。三、具体内容及措施（一）立足实际，在课改中促进教师的专业化成长以本园实际为基点的课程改革和课程实施是最具说服力和生命力的，脚踏实地研究课程的过程本身就是一个促进教师专业化成长的过程。 1、咀嚼消化有关理论，厚实实践基础随着终身教育的提出和学习化社会的到来，基础教育的功能正在被重新定义。我们必须根据新的基础教育理念来调整幼儿教育的价值取向，在社会和教育的整体结构中，正确而清醒地把握幼教的实践方向。要求教师根据新的基础教育理念来审视和反思自己的工作，自觉地规范自己的教育行为，理性地构建自己的教育观念。学习重点：《从理念到行为——幼儿园教育指导纲要行动指南》、《儿童的一百种语言解读》、有关幼儿语言教育的最新理论等。学习形式：自学——小组研讨——园部主题性“头脑风暴”——教育实例 2、反思总结，创造性实施课程以主题形式组织、实施课程是课程实践的主要形式。我园一直使用南师大与信谊基金出版社共同出版的《幼儿园活动整合课程》，这一课程是帮助我们更好落实新《纲要》精神、将先进教育观念落实到教育行为中去 #include 小学数学速算与巧算方法例解【转】 速算与巧算 在小学数学中，关于整数、小数、分数的四则运算，怎么样才能算得既快又准确呢？这就需要我们熟练地掌握计算法则和运算顺序，根据题目本身的特点，综合应用各种运算定律和性质，或利用和、差、积、商变化规律及有关运算公式，选用合理、灵活的计算方法。速算和巧算不仅能简便运算过程，化繁为简，化难为易，同时又会算得又快又准确。 一、“凑整”先算 1.计算：（1）24+44+56 （2）53+36+47 解：（1）24+44+56=24+（44+56） =24+100=124 这样想：因为44+56=100是个整百的数，所以先把它们的和算出来. （2）53+36+47=53+47+36 =（53+47）+36=100+36=136 这样想：因为53+47=100是个整百的数，所以先把+47带着符号搬家，搬到+36前面；然后再把53+47的和算出来. 2.计算：（1）96+15 （2）52+69 解：（1）96+15=96+（4+11） =（96+4）+11=100+11=111 这样想：把15分拆成15=4+11，这是因为96+4=100，可凑整先算. （2）52+69=（21+31）+69 =21+（31+69）=21+100=121 这样想：因为69+31=100，所以把52分拆成21与31之和，再把31+69=100凑整先算. 3.计算：（1）63+18+19 （2）28+28+28 解：（1）63+18+19 =60+2+1+18+19 =60+（2+18）+（1+19） =60+20+20=100 这样想：将63分拆成63=60+2+1就是因为2+18和1+19可以凑整先算. （2）28+28+28 =（28+2）+（28+2）+（28+2）-6 =30+30+30-6=90-6=84 这样想：因为28+2=30可凑整，但最后要把多加的三个2减去. 二、改变运算顺序：在只有“+”、“-”号的混合算式中，运算顺序可改变 计算：（1）45-18+19 （2）45+18-19 解：（1）45-18+19=45+19-18 =45+（19-18）=45+1=46 这样想：把+19带着符号搬家，搬到-18的前面.然后先算19-18=1. （2）45+18-19=45+（18-19） 办公室工作计划和思路合集7篇 办公室工作计划篇1 秋风习习，满怀美好的憧憬，我们迎来了崭新的学年。在新的学年里，在学院老师的正确指导下，我自律委员会办公室将继续发扬“脚踏实地，在平凡中追求进步”的精神，始终秉着“为同学服务”的宗旨，以高度的工作热情和认真负责的工作态度，团结合作、锐意进取，做好办公室的本职工作，同时进行工作上的创新，以迎接新一学年的工作。本学期的工作计划如下： 一、坚持不懈，继续稳步推进各项常规工作我部门的工作主要可以分为两类：对内工作和对外工作A．对外工作——做好自律委的宣传工作及纳新工作（1）制作迎接新生需要的宣传海报，摆放在各寝室楼下和文楼大厅处。更换文楼四楼的橱窗内容，将其更换为新生军训常识，为10届新生提供参考。 （2）制作红榜，公布我自律委换届改选结果，将其张贴在文楼四楼宣传栏处。 （3）在今年国庆十一放假之前，制作有关“十一假期”的安全海报，提醒大家注意各方面的问题，并张贴在文楼一楼大厅展板处。 （4）根据自律委其他四个部门本学年要举办的活动，对活动进行活动前的宣传以及活动后的总结，以及负责活动会场的布置。对于我自律委举办的每一次活动，做到活动前一张宣[本文来自]传海报，活动后一期橱窗总结。在活动举办期间，我办公室还负责会场布置，人员位置安排等，协助各部门把活动办好。 （5）根据生活部对教室的卫生检查情况，及时更替检查结果公布。 （6）根据舍务部对寝室的检查结果，每月制作两张白榜，公布本月优秀寝室和不达标寝室。 （7）对自律委办公室每部的墙面进行重新装饰。 （8）纳新前，制作海报，对我组织进行宣传，并组织有意愿加入我组织的同学进行报名以及面试。 B．对内工作——做好自律委内部事务管理工作（1）根据换届改选结果，统计每个人的联系方式，建立内部成员新档案。 （2）为我自律委全体例会找好会议地点，并进行通知。 （3）每次例会，做好会议记录，记录人员出勤情况。 （4）随时及时的传达我自律委内部的各项通知。 二、以服务同学为依托，开展特色活动（1）初定于11月份，举办一次手工艺品大赛。 （2）做自律委发展历程的总结书。搜集自律委成立以来的文字资料以及照片，形成文字版的自律委发展历程总结书。 新学期里，我部门将始终以饱满的工作热情和认真负责的态度完成各项工作，团结一致，开拓创新，力求做到更好。我们始终坚信，在大家的共同努力下，我们的学生工作一定能交上一份满意的答卷。 办公室工作计划篇2 根据学校新学期的工作思路，发扬团结协作、敬业奉献精神，以促进学生发展、教师发展、学校发展为根本，加强信息工作，加强制度建设，提高工作效率，推进学校各项工 在线代理|网页代理|代理网页|https://www.doczj.com/doc/0313964204.html, 1 对块状链表的一点研究 山西大学附中 苏煜 【摘要】 本文主要介绍了块状链表的概念，如何扩展块状链表,讨论了块状链表的性能以及在信息学竞赛中应用块状链表的利与弊，最后简要介绍了块状链表思想在实际生活中的应用。 【关键词】 块状链表 分块大小 性能 块状链表的扩展 模拟 骗分 一、什么是块状链表 我们先从题目入手，看看什么是块状链表： NOI2003 editor 【题目大意】 一些定义： 文本：由0个或多个ASCII 码在闭区间[32, 126]内的字符（即空格和可见字符）构成的序列。 光标：在一段文本中用于指示位置的标记，可以位于文本首部，文本尾部或文本的某两个字符之间。 文本编辑器：为一个包含一段文本和该文本中的一个光标的，并可以对其进行如下六条操作的程序。如果这段文本为空，我们就说这个文本编辑器是空的。 操作名称 输入文件中的格式 功能 MOVE(k) Move k 将光标移动到第k 个字符之后，如果k =0，将光标移 到文本开头 INSERT(n, s) Insert n ? S 在光标处插入长度为n 的字符串s ，光标位置不变，n ≥ 1 DELETE(n) Delete n 删除光标后的n 个字符，光标位置不变，n ≥ 1 GET(n) Get n 输出光标后的n 个字符，光标位置不变，n ≥ 1 PREV() Prev 光标前移一个字符 NEXT() Next 光标后移一个字符 比如一个空的文本编辑器依次执行操作INSERT(13, “Balanced tree ”)，MOVE(2)，DELETE(5)，NEXT()，INSERT(7, “ editor ”)，MOVE(0)，GET(16)后，会输出“Bad editor tree ”。 多项式乘以多项式及乘法公式 副标题 题号一二三总分 得分 一、选择题(本大题共12小题，共36.0分) 1.若（x-1）（x+3）=x2+mx+n，则m+n=（） A.-1 B.-2 C.-3 D.2 2.若，则p、q的值为（） A.p=-3，q=-10 B.p=-3， q=10 C.p=7，q=-10 D.p=7，q=10 3.若代数式的结果中不含字母x的一次项，那么a的值是 A.0 B.2 C. D.－ 4.（x-2）（x+3）的运算的结果是（） A.x2-6 B.x2+6 C.x2-5x-6 D.x2+x-6 5. 如果（x+1）（x2-5ax+a）的乘积中不含x2项，则a为（） A. B. - C. -5 D. 5 6.若代数式x2+kxy+9y2是完全平方式，则k的值是（） A.3 B.±3 C.6 D.±6 7.9x2-mxy+16y2是一个完全平方式，那么m的值是（） A.12 B.-12 C.±12 D.±24 8.下列多项式乘法，能用平方差公式计算的是（） A.（-3x-2）（3x+2） B.（-a-b）（-b+a） C.（-3x+2）（2-3x） D.（3x+2）（2x-3） 9.若x2-nx+16是一个完全平方式，则n等于( ) A.4 B.±4 C.8 D.±8 10. 若 -ax+x2是一个完全平方式，则常数a的值为（） A. B. C. 1 D. ±1 11. 已知，，则的值为（） A.7 B.5 C.3 D.1 12. 下列各式能用平方差公式计算的是（） ①② ③④ A.①② B.②③ C.①③ D.③④ 二、填空题(本大题共7小题，共21.0分) 13.若（x-5）（x+20）=x2+mx+n，则m= ______ ，n= ______ ． 14.已知（x-1）（x+3）=ax2+bx+c，则代数式9a-3b+c的值为 ______ ． 15.在x+p与x2﹣2x+1的积中不含x，则p的值为． 16.多项式x2-6x+9因式分解的结果为________． 17.（2a-b）（-2a-b）= ______ ；（3x+5y）（ ______ ）=25y2-9x2． 18.已知，那么． 19.若是一个完全平方式，则▲ ． 三、计算题(本大题共7小题，共42.0分) 20.若（x2+mx-8）（x2-3x+n）的展开式中不含x2和x3项，求m和n的值． 21.小学数学速算技巧汇总
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