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【名师解析】四川省南充市2015届高三第一次高考适应性考试数学(文)试题

【名师解析】四川省南充市2015届高三第一次高考适应性考试数学（文）试题【试卷综述】本试卷试题主要注重基本知识、基本能力、基本方法等当面的考察，覆盖面广，注重数学思想方法的简单应用，试题有新意，符合课改和教改方向，能有效地测评学生，有利于学生自我评价，有利于指导学生的学习，既重视双基能力培养，侧重学生自主探究能力，分析问题和解决问题的能力，突出应用，同时对观察与猜想、阅读与思考等方面的考查。

【题文】第I 卷

选择题(满分50分)

【题文】一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的.

【题文】1.设全集{}12345U =，，，，，集合{}135A =，，，集合{}34B =，，则()

U A B =I e A.{}3

B.{}4

C.{}34，

D.{}234，，

【知识点】交集、补集的运算.A1

【答案】【解析】B 解析：因为全集{}12345U =，，，，，集合{}135A =，，，所以{}2,4U A =e，又因为集合{}34B =，，所以()

U A B =I e{}4，故选B 。【思路点拨】先解出A 的补集，再求出结果即可。

【题文】2.已知复数1

z =-，则z 的共轭复数为

12 B.12+ C.12- D.12-

【知识点】共轭复数的概念.L4

【答案】【解析】C 解析：因为1

z =

-，所以z 的共轭复数为12-，故选C 。【思路点拨】根据共轭复数的定义即可。【题文】3.已知a R ∈，则“2

2a a <”是“2a <”的 A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【知识点】充要条件.A2

【答案】【解析】A 解析：因为2

2a a <，所以02a <<，则“2

2a a <”是“2a <”的充分而不必要条件。

【思路点拨】先解出2

2a a <，再进行判断即可。

【题文】4.函数2()2(1)2f x x a x =-+-+在(),4-∞上是增函数，则实数a 的范围是

A.3a ≤

B.5a ≤

C.3a ≥

D.5a ≥

【知识点】二次函数的性质.B5

【答案】【解析】D 解析：因为函数2()2(1)2f x x a x =-+-+在(),4-∞上是增函数，所

以()21412

a --?-?，即5a ≥，故选D. 【思路点拨】结合二次函数的性质做出判断即可。

【题文】5.对于平面αβγ，，和直线,,,a b m n ，下列命题中真命题是 A.若//=,,a b αβαγβγ= ，则a ∥b ； B.若a ∥b ，,b α?则//a α；

C.若,,//,//a b a b ββαα??，则//βα；

D.若a ⊥m ，a ⊥n ，,m n αα??，则a α⊥；【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；命题的真假判断与应用；空间图形的公理．G4 G5

【答案】【解析】A 解析：由面面平行的性质定理：若两平面平行，第三个平面与他们都相交，则交线平行，可判断若//=,,a b αβαγβγ= ，则a ∥b 为真命题，A 正确; 若a ∥b ，,b α?，此时由线面平行的判定定理可知，只有当a 在平面α外时，才有//a α，故B 错误；

若,,//,//a b a b ββαα??，此时由面面平行的判定定理可知，只有当a 、b 为相交线时，才有//βα故C 错误；

若a ⊥m ，a ⊥n ，,m n αα??，由线面垂直的判定定理知，只有当m 和n 为相交线时，才有a α⊥，D 错误；故选A.

【思路点拨】由线面垂直的判定定理、线面平行的判定定理、面面平行的判定定理、面面平行的性质定理以此判断即可。

【典例剖析】本题主要考查了对线面垂直的判定定理、线面平行的判定定理、面面平行的判定定理、面面平行的性质定理内容的理解和它们的字母符号表达形式，熟记公式推理严密是解决本题的关键。

【题文】6.在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若内角A 、B 、C 依次成等差数列，且a 和c 是2

68=0x x -+-的两根，则S △ABC =

A. B. C. 【知识点】等差数列的性质．D2

【答案】【解析】C 解析：∵内角A 、B 、C 依次成等差数列，∴0

60B =， ∵a 和c 是2

68=0x x -+-的两根，∴2,4a c ==，

∴11sin 24222

ABC S ac B =

=创?V C ．

【思路点拨】利用等差数列的性质，可得0

60B =，由a 和c 是2

68=0x x -+-的两根，求出a ，c ，再利用三角形面积公式，可得结论．【题文】7.已知角α的终边经过点(2,1)P -，则sin cos sin cos αα

αα

-=+

A.3

C.13

D.3-

【知识点】同角三角函数的基本关系式.C2

【答案】【解析】D 解析：因为角α的终边经过点(2,1)P -，所以1

tan 2

α=-

，则sin cos sin cos αααα-=+11

tan 1

231tan 1

αα---==-+-+，故选D.

【思路点拨】先根据已知条件得到tan α，再化简sin cos sin cos αα

αα-+代入即可得到结果。

【题文】8.已知抛物线2

4y x =的准线过椭圆22221(0)x y a b a b

+=>>的左焦点，且准线与椭

圆交于A 、B 两点，O 为坐标原点，△AOB 的面积为3

，则椭圆的离心率为

A.23

B.12

C.13

D.14

【知识点】椭圆的标准方程．H5

【答案】【解析】B 解析：∵抛物线24y x =的准线方程为1x =-，

抛物线2

4y x =的准线过椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左焦点且与椭圆交于A 、B 两点，

∴椭圆的左焦点()

10F ﹣，，∴1c =，

∵O 为坐标原点，△AOB 的面积为32，∴2123

122

b a 创

=， ∴2213

b a a a -==，整理，得22320a a --=，解得2a =，或12a =-（舍），

∴1

c e a =

=．故选：B ．

【思路点拨】由题设条件，利用椭圆和抛物线的性质推导出1c =，

b a =，由此能求出椭圆的离心率．

【题文】9.若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>满足约束条件260

20x y x y --≤??-+≥?

且最大值为

40，则51

a b +的最小值为

A.256

B.94

C.1

D.4

【知识点】简单线性规划的应用．E5

【答案】【解析】B 解析：不等式表示的平面区域阴影部分，

当直线(0,0)z ax by a b =+>>过直线20x y -+=与直线260x y --=的交点()

8,10时，目标函数(0,0)z ax by a b =+>>取得最大40，即81040a b +=，即4520a b +=，而

5151455559

12044544

a b b a a b a b a b 骣骣+琪琪+=+=++?=琪琪

桫桫．故选B ．

【思路点拨】先根据条件画出可行域，设(0,0)z ax by a b =+>>，再利用几何意义求最值，将最大值转化为y 轴上的截距，只需求出直线(0,0)z ax by a b =+>>，过可行域内的点（4，6）时取得最大值，从而得到一个关于a ，b 的等式，最后利用基本不等式求最小值即可．【典例剖析】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用、简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．

【题文】10.

已知函数(](]

1,1()12,1,3x f x x x ?∈-?=?--∈??，其中0m >，且函数()f x 满足

(4)()f x f x +=.若()3()F x f x x =-恰有5个零点，则实数m 的取值范围是

A.3? ?

B.833??

? ???， C.433? ??

， D.4833??

???

，

【知识点】函数的周期性；根的存在性及根的个数判断．B4B9

【答案】【解析】A 解析：∵当x ∈（﹣1，1]时，将函数化为方程()2

10y x y m

+=?， ∴实质上为一个半椭圆，其图象如图所示，

同时在坐标系中作出当x ∈（1，3]得图象，再根据周期性作出函数其它部分的图象，

由图易知直线3x y =与第二个椭圆()()22

410y x y m

=?相交，而与第三个半椭圆()()2

810y x y m

-+=?无公共点时，方程恰有5个实数解，将3x y =代入()()22410y x y m

-+=?得，（9m 2+1）x 2﹣72m 2x+135m 2=0，令t=9m 2

（t ＞0），

则（t+1）x 2

﹣8tx+15t=0，由△=（8t ）2

﹣4×15t （t+1）＞0，得t ＞15，由9m 2

＞15，且m ＞0得

同样由3x y =与第三个椭圆()()22

810y x y m

=?由△＜0可计算得 m

综上可知m

∈3?

?,故选A ．【思路点拨】根据对函数的解析式进行变形后发现当x ∈（﹣1，1]，[3，5]，[7，9]上时，f （x ）的图象为半个椭圆．根据图象推断要使方程恰有5个实数解，则需直线3

y =

与第二

个椭圆相交，而与第三个椭圆不公共点．把直线分别代入椭圆方程，根据△可求得m 的范围．

【题文】第II 卷（非选择题，满分100分）

注意事项：

必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡题目所指示的答题区域作答。作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷、草稿纸上无效。【题文】二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 【题文】11.已知向量(1,2),(2,1)a x b =-=

，且a b ⊥ ，则x =____________. 【知识点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．F3

【答案】【解析】0 解析：∵(1,2),(2,1)a x b =-=

，且a b ⊥ ，

∴()2120a b x ?-+=r r

，解之可得x=0．故答案为0. 【思路点拨】由题意可得()2120a b x ?-+=r r

，解之即可．

【题文】12.执行下图的程序框图，如果输入的N 的值是6，那么输出的P 的值是_____.

【知识点】程序框图.L1

【答案】【解析】105 解析：k,p 的起始值为k=1,p=1,根据流程图的指向，第二次循环时k=3,p=1; 第三次循环时k=5,p=3;第四次循环时k=7,p=15;此时输出p=105;故答案为105. 【思路点拨】根据流程图的指向依次计算直到满足条件为止。

【题文】13.命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是：__________. 【知识点】特称命题；命题的否定．A3

【答案】【解析】任意一个无理数，它的平方不是有理数解析：因为特称命题的否定是全称命题，

所以命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是：任意一个无理数，它的平方不是有理数．故答案为：任意一个无理数，它的平方不是有理数．

【思路点拨】特称命题的否定是全称命题，直接考查它对应的全称命题即可．

【题文】14.已知直线0x y m -+=与圆2

4x y +=交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点.若圆周上存在一点C ，使得△ABC 为等边三角形，则实数m 的值为__________. 【知识点】直线与圆的位置关系.H4

【答案】【解析】解析：根据题意画出图形，连接OA,OB,作OD 垂直于AB 于D 点，

因为△ABC 为等边三角形，所以0

120AOB ?,

由余弦定理知：

2220

2cos120AB OA OB OA OB =+-?

故BD 所以1OD =,所以O （0,0）到

直线AB

，解得m =?

，故答案为【思路点拨】先由圆心角与圆周角的关系得到0

120AOB ?，再利用余弦定理得到BD,最后借助于点到直线的距离公式可解得m 即可。

【题文】15.如果对定义在R 上的函数()f x ，对任意两个不相等的实数12x x ，，都有

11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+ ，则称函数()f x 为“H 函数”.

给出下列函数：①2

y x =；②1x

y e =+；③2sin y x x =-；④ln ,0()1,0

x x f x x ?≠?=?=??.

以上函数是“H 函数”的所有序号为_________.

【知识点】函数单调性的性质．B3

【答案】【解析】②③ 解析：∵对于任意给定的不等实数x 1，x 2，不等式

11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+ 恒成立，

∴不等式等价为()()()

1212[]0x x f x f x -->恒成立，即函数f （x ）是定义在R 上的增函数．

①函数2

y x =在定义域上不单调．不满足条件． ②1x

y e =+为增函数，满足条件．

③2sin y x x =-，2cos 0y x ?->，函数单调递增，满足条件． ④ln ,0

()1,0

x x f x x ?≠?=?

=??当x ＞0时，函数单调递增，当x ＜0时，函数单调递减，不满足条

件．

综上满足“H 函数”的函数为②③，故答案为：②③．

【思路点拨】不等式11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+ 等价为

()()()1

[]0x x f x f x -->，即满足条件的函数为单调递增函数，判断函数的单调性即

可得到结论．

【题文】三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

【题文】16.（本小题满分12分）

已知向量(cos sin ,2sin ),(cos sin ,cos )a x x x b x x x =+=-- .令()f x a b =

，（1）求()f x 的最小正周期；

（2）当3,44x ππ??

∈????

时，求()f x 的最小值以及取得最小值时x 的值. 【知识点】()sin y A x ω?=+的图像及性质.C4

【答案】【解析】（1）π=T ;（2）当8

3π

x 时，函数)(x f 取得最小值2-. 解析：)cos (sin 2)sin )(cos sin (cos )(x x x x x x x f -+-+=………………………2分 x x x x x x 2sin 2cos cos sin 2sin cos 2

-=--= )4

2sin(2π

-=x …………………………………………………………5分

（1）由最小正周期公式得：π=T ………………………………………………6分

（2）]43,

π∈x ，则]45,4[42πππ

∈-

令242ππ=-x ，则8

3π

=x ，

从而)(x f 在]83,4[ππ单调递减，在]43,83[π

π单调递增 ………………10分即当8

3π

=x 时，函数)(x f 取得最小值2- ……………………………12分

【思路点拨】先利用平方差公式把原式展开，再利用辅助角公式进行化简，（1）由最小正周期公式得结果；（2）借助于三角函数的单调性求出单调区间，同时求出最大值。【题文】17.（本小题满分12分）

城市公交车的数量若太多则容易造成资的浪费；若太少又难以满足乘客需求.南充市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如下表所示（单位：分钟）：

（1）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；

（2）若从上表第三、四组的6人中任选2人作进一步的调查，求抽到的两人恰好自不同组的概率．

【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；古典概型及其概率计算公式．K2 【答案】【解析】（1）32；（2）

解析：（1）候车时间少于10分钟的概率为

268

1515

+=, 所以候车时间少于10分钟的人数为8

603215

?=人. ………………………6分 (2)将第三组乘客编号为1,234,,a a a a ，第四组乘客编号为1,2b b .从6人中任选两人包含一下基本事件：12(,)a a ，13(,)a a ，14(,)a a ，11(,)a b ，12(,)a b ，23(,)a a ，24(,)a a ，21(,)a b ，

22(,)a b ，34(,)a a ，31(,)a b ，32(,)a b ，41(,)a b ，42(,)a b ，12(,)b b

其中恰好自不同组包含8个基本事件，所以，所求概率为

………………………12分【思路点拨】（1）候车时间少于10分钟的人数所占的比例为268

1515

+=，用60乘以此比例，即得所求．（2）从这6人中选2人作进一步的问卷调查，用列举法列出上述所有可能情况共

有15种，用列举法求得抽到的两人恰好自不同组的情况共计8种，由此求得抽到的两人恰好自不同组的概率．

【题文】18.（本小题满分12分）

已知某几何体的直观图和三视图如下如所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形.

（I ）证明：BN ⊥平面C 1B 1N ;（II ）求三棱锥C 1—CNB 1的体积.

【知识点】线面垂直的判定定理；棱锥的体积.G5 G7

【答案】【解析】（1）见解析；(2)

解析：（1）证明：由题意：该几何体的正视图其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.

则N ABB C B 111面⊥,且在面N ABB 1内，易证1BNB ∠为直角。 N ABB BN N ABB C B 1111面，且面?⊥ ,BN C B ⊥∴11 111

11,B N B N

B N B

C B

⊥= 又且,11NC B BN 面⊥∴ ………………6分 (2) 由等体积法,11111111164

(844)2233

C CNB N CB C N CBB C V V V ---==

=????=…12分【思路点拨】（1）先由题意判断出该几何体的直观图，再利用线面垂直的判定定理即可；(2) 先利用等体积法可求1C 到面1CB N 的距离。【题文】19.（本小题满分12分）

已知递增等差数列{}n a 中的25,a a 是函数2()710f x x x =-+的两个零点.数列{}n b 满足，点(,)n n b S 在直线1y x =-+上，其中n S 是数列{}n b 的前n 项和. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；

（2）令n n n c a b =?，求数列{}n c 的前n 项和n T .

【知识点】等差、等比数列的通项公式；错位相减法求数列的和.D2 D3 D4

【答案】【解析】（1）*,N n n a n ∈=，*

,)2

(N n b n n ∈=（2）*

12(2)(),2

n n T n n N =-+∈ 解析：（1）因为2a ，5a 是函数2

()710f x x x =-+的两个零点，则

???=?=+1075

252a a a a ，解得：???==5252a a 或???==2552a a .

又等差数列}{n a 递增，则??

?==5

52a a ，所以*,N n n a n ∈= …………………………3分

因为点）（n n S b ,在直线1+-=x y 上，则1+-=n n b S 。当1=n 时，1111+-==b S b ，即2

b . 当2≥n 时， )1()1(11+--+-=-=--n n n n n b b S S b ，即12

-=n n b b . 所以数列}{n b 为首项为

21，公比为21的等比数列，即*

,)2

1(N n b n n ∈=.……………6分 (2)由（1）知：*,N n n a n ∈=且*

,)2

1(N n b n n ∈=，

则*,)2

1(N n n b a c n n n n ∈?=?=

所以n

n n T )2

1()21(3)21(221132?++?+?+?= ①

132)2

()21()1()21(2)21(121+?+?-++?+?=

n n n n n T ②. ①-②得：1

132)2

1)(2(1)21()21()21()21(2121+++-=?-++++=n n n n n n T .

所以*

,)2

1)(2(2N n n T n n ∈+-=. ……………………………………………………12分

【思路点拨】（1）先解出两个零点，再利用等差、等比数列的通项公式即可；（2）直接使用错位相减法求之即可。

【题文】20.（本小题满分13分）

已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x

轴上且过点1

)2P ,

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）直线l 过(1,0)E -且与椭圆C 交于A ，B 两点，若2EA EB =,求直线l 的方程. 【知识点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．H5 H8

【答案】【解析】（1）1422=+y x ；(2) )1(615+±=x y 解析：（1）设椭圆C 的标准方程)0(122

22>>=+b a b

y a x

由已知可得???

??+==+==2222

21413

c b a b a a c e 解得1,422==b a .

故椭圆C 的标准方程14

=+y x 。 …………………………………………5分（2）由已知，若直线l 的斜率不存在，则过)0,1(-E 的直线l 的方程为1-=x ，此时||||EB EA =，所以直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为)1(+=x k y 。

联立方程，得??

???+==+)1(1422

x k y y x ，整理得：0448)14(2

222=-+++k x k x k

01648)44)(14(4)8(22222>+=-+-=?k k k k 设),(11y x A ，),(22y x B

则1482221+-=+k k x x ，1

221+-=?k k x x ① 由||2||EB EA =，得3221-=+x x ② 联立①②解得6

=k . 所以直线l 的方程为)1(6

+±

=x y 。…………………………………………13分【思路点拨】（1）设椭圆C 的方程为)0(122

22>>=+b a b

y a x ，利用所给条件列出方程

组，解出即可；（2）易判断直线l 不存在斜率时不合题意，当直线存在斜率时，设直线l 的方程为)1(+=x k y ，与椭圆方程联立方程组消掉y 得关于x 的一元二次方程，设),(11y x A ，),(22y x B 由||2||EB EA =可得关于x 1，x 2的方程，连同韦达定理联立方程组即可求得k 值。【题文】21.（本小题满分14分）已知函数2()ln(1)f x ax x =++.

（1）当1

a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）当[)0,x ∈+∞时，不等式()f x x ≤恒成立，求实数a 的取值范围；

（3）求证：1111(1)(1)(1)...(1)122334(1)

e n n +

+++

【知识点】利用导数研究函数的单调性；不等式恒成立问题；不等式的证明.B12 【答案】【解析】（1）函数)(x f 的单调递增区间为)1,1(-，单调递减区间为),1(+∞.（2）

]0,(-∞；（3）见解析.

解析：（1）当41-

=a 时，)1)(1ln(4

1)(2

->++-=x x x x f )1()

1(2)1)(2(1121)(->+-+-=++-