(时间：120分钟；满分：
160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填在题中横线上) 1．已知命题p ：若实数x ，y 满足x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为0；命题q ：若a >b ，则1a <1
b
.
给出下列4个复合命题：
①p ∧q ；②p ∨q ；③ p ；④ q . 其中真命题的序号是__________．
解析：∵x 2＋y 2＝0
，∴x ＝y ＝0，∴p 真；∵a >b 1a <1b ，当a >0>b 时，1a >0，1b <0，∴1a >1
b ，
∴q 假．∴①③假，②④真．
答案：②④
2．已知命题p ：?x 0∈R ，sin x 0≤1，则 p 为__________． 解析：存在性命题的否定是全称命题． 答案：?x ∈R ，sin x >1
3．双曲线的渐近线为y ＝±2
2x ，且过点M (2，－1)，则双曲线的方程为__________．
解析：依题设双曲线为x 22
－y 2
＝λ(λ≠0)，将点M 代入，得λ＝1.
答案：x
22
－y 2＝1
4．下列命题的否定是真命题的有__________个．
①p ：?x ∈R ，x 2＋x ＋1
4
≥0；
②q ：所有的正方形都是菱形； ③r ：?x 0∈R ，x 20－2x 0＋2≤0；
④s ：至少有一个实数x ，使x 2＋1＝0.
解析：因为p 、q 均为真命题，所以 p
、 q 都是假命题．又因为r 、s 均为假命题，所以 r 、 s 都是真命题．
答案：2
5．如图所示，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，M 是AB 的中点，则sin 〈DB ′→，CM →
〉的值是__________．
解析：以D 为原点，DA ，DC ，DD ′所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐
标系(图略)，设正方体的棱长为1，B ′(1,1,1)，C (0,1,0)，M (1，1
2
，0)，
所以DB ′→＝(1,1,1)，CM →
＝(1，－12
，0)．
故cos 〈DB ′→，CM →
〉
＝1×1＋1×(－1
2)＋1×0
12＋12＋12·12＋(－1
2)2＋02
＝15
15，
则sin 〈DB ′→，CM →
〉＝21015
.
答案：210
15
6．已知M 是抛物线x 2＝8y 上一点，若以M 为圆心且与抛物线准线相切的圆恰好过抛物线顶点，则该圆的周长是__________．
解析：由抛物线定义可知，圆M 过焦点F (0,2)，故其圆心M 又在直线y ＝1上，所以圆心坐标为M (±22，1)，半径r ＝3，圆M 的周长为6π.
答案：6π
7．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1的离心率为__________．
解析：椭圆的离心率e 1＝ 1－b 2a 2＝32，所以b 2a 2＝14，故双曲线的离心率e 2＝ 1＋b 2
a
2
＝52
. 答案：5
2
8．已知正四棱锥P －ABCD 的体积为12，底面边长为23，则侧面与底面所成二面角的大小为__________．
解析：设正四棱锥底面中心为O ，取AB 的中点E ，连结OE 、PE 、PO (图略)，则∠PEO
为所求二面角的平面角，由已知可得PO ＝3，OE ＝3，tan ∠PEO ＝PO
OE
＝3，∴∠PEO ＝60°.
答案：60°
9．已知点A (4,1,3)，B (2,3,1)，C (3,7，－5)，若P (x ，－1,3)在平面ABC 内，则x 的值为__________．
解析：由已知设OP →＝a OA →＋b OB →＋c OC →
，
故有????? 4a ＋2b ＋3c ＝x
a ＋3
b ＋7
c ＝－13a ＋b －5c ＝3
a ＋
b ＋
c ＝1
，解得?????
a ＝4
b ＝－4
c ＝1
x ＝11
.
答案：11
10．给出以下结论：
①“x ≠0或y ≠0”是“x 2＋y 2≠0”的充要条件； ②q ∨p 为真命题是“p ∧q ”为真命题的必要条件；
③命题“a 、b 都是偶数，则a ＋b 是偶数”的否命题是“a 、b 都是偶数，则a ＋b 不是偶数”．
其中正确结论的序号是__________． 答案：①②
11．已知抛物线y 2＝ax 与直线y ＝1－x 有惟一公共点，则该抛物线的焦点到准线的距离为__________．
解析：将x ＝1－y 代入抛物线方程，得y 2＋ay －a ＝0，依题意有Δ＝a 2＋4a ＝0，所以a ＝－4，抛物线方程为y 2＝－4x .故焦点到准线距离为：p ＝2.
答案：2
12．已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)．若椭圆上存在
点P 使a sin ∠PF 1F 2＝c
sin ∠PF 2F 1
，则该椭圆的离心率的取值范围为__________．
解析：由a sin ∠PF 1F 2＝c
sin ∠PF 2F 1?sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1＝a c ＝|PF 2||PF 1|>1，又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，
∴|PF 1|＝2ac a ＋c ，|PF 2|＝2a 2
a ＋c .
又∵|PF 2|－|PF 1|<|F 1F 2|， 即2a 2a ＋c －2ac a ＋c <2c ， ∴c 2＋2ac －a 2>0， ∴e 2＋2e －1>0， ∴2－1 如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各条棱长都相等，M 是侧棱CC 1的中点，则异面直线AB 1和BM 所成角的大小是__________． 解析：建立如图所示的坐标系， O 为BC 中点，设三棱柱的棱长为2a ， 则点A (3a,0,0)，B (0，a,0)，B 1(0，a,2a )，M (0，－a ，a ) 则AB 1→＝(－3a ，a,2a )，BM → ＝(0，－2a ，a ) AB 1→·BM →＝0－2a 2＋2a 2＝0， 所以异面直线AB 1与BM 所成的角为90°. 答案：90° 14．在四边形ABCD 中，AB →＝DC → ＝(1,1)，BA →|BA →|＋BC →|BC →|＝3|BD →| BD →，则四边形ABCD 的面 积为__________． 解析：由已知AB →＝DC → ＝(1,1)，得四边形ABCD 为平行四边形，且平行四边形ABCD 为菱形，其中锐角为60°，边长为2，所以四边形ABCD 的面积为2·2sin60°＝ 3. 答案： 3 二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，化简下列向量表达式． (1)AB →＋DD 1→＋B 1C 1→； (2)AA 1→＋BC →； (3)AB →＋12 (CC 1→＋A 1D 1→＋CD →)． 解：(1)AB →＋DD 1→＋B 1C 1→＝AB →＋BB 1→＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→ . (2)AA 1→＋BC →＝AA 1→＋A 1D 1→＝AD 1→. (3)AB →＋12(CC 1→＋A 1D 1→＋CD →)＝AB →＋12(BB 1→＋B 1C 1→＋C 1D 1→)＝AB →＋12BD 1→＝AO → (O 为正方体中 心)． 16．(本小题满分14分)已知A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)是抛物线y ＝2x 2上两个不同点，若x 1x 2 ＝－1 2 ，且A 、B 两点关于直线y ＝x ＋m 对称，试求m 的值． 解：由已知得k AB ＝－1，且AB 的中点C (x 0，y 0)在直线y ＝x ＋m 上，设直线AB 的方程 为y ＝－x ＋n ，联立? ???? y ＝－x ＋n y ＝2x 2，消去y 并整理得2x 2＋x －n ＝0， 依题意得????? Δ＝1＋8n >0 x 1x 2＝－n 2＝－12 ， ∴n ＝1. 又x 1＋x 2＝－1 2， ∴x 0＝－14，y 0＝－x 0＋1＝5 4 . ∵C (x 0，y 0)在直线y ＝x ＋m 上， ∴54＝－14＋m ，∴m ＝32. 17．(本小题满分14分)已知命题p ：函数f (x )＝log 2m (x ＋1)是定义域上的增函数，命题q ：?x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0. (1)写出命题q 的否定 q ；并求出m 的取值范围，使得命题 q 为真命题； (2)如果“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求实数m 的取值范围． 解：(1)由已知得 q ：?x 0∈R ，x 2＋mx ＋1<0. 若 q 为真命题，则Δ＝m 2－4>0， ∴m <－2或m >2. 即m 的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)． (2)由已知得，p 为真命题时， m >12，即A ＝{m |m >12}． q 为真命题时，Δ＝m 2－4≤0， ∴－2≤m ≤2，即B ＝{m |－2≤m ≤2}． 若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题， 则p 与q 一真一假． ∴m ∈A ∩?R B ＝{m |m >2} 或m ∈B ∩?R A ＝{m |－2≤m ≤12}． 故m 的取值范围是[－2，1 2 ]∪(2，＋∞)． 18．(本小题满分16分) 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝CC 1＝2，AC ⊥BC ，点D 是AB 的中点． (1)求证：AC 1∥平面CDB 1； (2)求点B 到平面CDB 1的距离； (3)求二面角B －B 1C －D 的余弦值． 解：(1)证明：如图，建立空间直角坐标系， 则A (2,0,0)，B (0,2,0)，C (0,0,0)，B 1(0,2,2)，C 1(0,0,2)，D (1,1,0)． 设平面CDB 1的法向量为n ＝(x ，y ，z ) 由????? n ⊥CD →n ⊥CB 1 →， 得????? (x ，y ，z )· (1，1，0)＝x ＋y ＝0(x ，y ，z )· (0，2，2)＝2y ＋2z ＝0. 取z ＝1，得n ＝(1，－1,1)． 又AC 1→ ＝(－2,0,2)， ∴AC 1→·n ＝－2＋0＋2＝0， ∴AC 1→ ⊥n . ∵AC 1?平面CDB 1，∴AC 1∥平面CDB 1. (2)设B 到平面CDB 1的距离为h ，则 h ＝|n ·CB →||n |＝23 ＝233. (3)显然平面BCB 1的一个法向量为CA → ＝(2,0,0)， ∴cos 〈n ，CA → 〉＝n ·CA →|n ||CA →| ＝23×2＝33， ∴二面角B －B 1C －D 的余弦值为3 3 . 19．(本小题满分16分)在△ABC 中，已知B (－3,0)，C (3,0)，D 为直线BC 上的一个点，AD →·BC →＝0，△ABC 的垂心为H ，且AH →＝3HD →. (1)求点H 的轨迹M 的方程； (2)若过点C 且斜率为－1 2 的直线与轨迹M 交于点P ，设Q (t,0)点是x 轴上任意一点，求 当△CPQ 为锐角三角形时t 的取值范围． 解：(1)设H (x ，y )是曲线上任意一点． ∵AD →·BC →＝0，∴AD ⊥BC . ∴点H 在线段AD 上， 又∵AH →＝3 HD →， AD →＝4 HD → ，∴A 点的坐标为(x,4y )． ∵H 为△ABC 的垂心，所以AC →⊥BH →，AC →·BH → ＝0. AC →＝(3－x ，－4y )，BH → ＝(x ＋3，y )， ∴(3－x ，－4y )·(x ＋3，y )＝0. 化简整理得x 29＋4y 2 9 ＝1. 所以H 点的轨迹方程为x 29＋4y 2 9＝1(y ≠0)． (2)过点C 且斜率为－12的直线方程为y ＝－1 2 (x －3)， 由? ?? y ＝－1 2(x －3) x 29＋4y 2 9 ＝1(y ≠0)，得P (0，3 2)． 要使△CPQ 为锐角三角形，则三个内角均为锐角，所以PQ →·PC →>0，QP →·QC →>0，CP →·CQ → >0三式同时成立． ∴????? (t ，－32)·(3，－32)＝3t ＋9 4 >0 (－t ，3 2)·(3－t ，0)＝t 2 －3t >0(－3，32)·(t －3，0)＝9－3t >0 ， 解得t 的取值范围为(－3 4 ，0)． 20．(本小题满分16分)已知椭圆E 的方程是x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)，其左顶点为(－2,0)，离 心率e ＝1 2 . (1)求椭圆E 的方程； (2)已知倾斜角为45°且过右焦点的直线l 交椭圆E 于A 、B 两点，若椭圆上存在一点P ，使OP →＝λ(OA →＋OB → )，试求λ的值． 解：(1)由已知得a ＝2， e ＝c a ＝1 2 ，∴c ＝1，b ＝3， 故椭圆E 的方程为x 24＋y 2 3＝1. (2)由(1)得右焦点F (1,0)， 因此直线l 的方程为y ＝x －1. 代入椭圆方程并整理得7x 2－8x －8＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2) 则x 1＋x 2＝8 7， ∴y 1＋y 2＝(x 1－1)＋(x 2－1) ＝(x 1＋x 2)－2＝－6 7 . ∴OP →＝λ(OA →＋OB →) ＝λ(x 1＋x 2，y 1＋y 2) ＝λ(87，－67 )， ∴P 点坐标为(8λ7，－6λ 7)， 代入椭圆方程得： 14×64λ249＋13×36λ249＝1. ∴λ2＝74，∴λ＝±72.
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