课题：因式分解(复习)导学案
学习目标：理解因式分解的概念；掌握提取公因式法、公式法分解因式；初步会综合运用因式分解知识解决一些简单的数学问题。
重点难点：会综合运用因式分解知识解决数学问题。
课前复习
学习程序：先独立复习教材42-45页，并在书上重要的地方再次圈点，有疑惑的地方作上问号，时间3分钟；完成导学案上基础部分填空及圈点，时间5分钟；同桌交流并做好发言准备，
时间约5分钟。合计时间：13分钟。
知识储备1 因式分解的概念
把一个多项式化成的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。如：
（）
X2-4 (X+2)(X-2)
（）
知识储备2 因式分解的方法
一、提公因式法
多项式ma+mb+mc中的各项都有一个公共的因式 ,我们把这个因式叫做这个多项式的公因式.对ma+mb+mc因式分解就是把ma+mb+mc分解成两个整式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式就是ma+mb+mc除以m所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法。
即： ma+mb+mc=
提公因式法的关键就是确定公因式，其方法是：各项系数的最大公约数；各项相同字母的最低次幂。
注意：某项与公因式相同时，该项保留的因式为1；第一项有负号，应把负号作为公因式的符号；
例如：-8a2b-4ab+2a = 。
二、公式法
（一）平方差公式：a2-b2= 。
1．能用平方差公式分解因式的多项式的特点：
（1）两项（或看作两项的两部分：可以是单项式，也可以是多项式）；
（2）每项都是完全平方式；
（3）两部分符号相反；
例如：4x2-9=( )2-（）2=( )( ).
（二）完全平方公式：a 2±2ab+b 2
= 。
2．能用完全平方公式分解因式的多项式的特点：
（1）三项（或三部分：可以是单项式，也可以是多项式）；
（2）其中两项是两数的平方和（每项都是完全平方）；
（3）另外一项是这两数积的两倍，可以为正，也可以为负．
例如：4x 2-12xy+9y 2=（ ）2
3. 因式分解的方法一般顺序：提公因式法——公式法，并在有理数范围内分解到不能分解为止。
例如：x 3–25x
4x 4–4x 3+ x 2
课中答疑
学习程序：快速独立完成练一练。，时间约7分钟；学生发言，教师点评，时间约10分钟。合
计约时间：17分钟。
1．下列由左到右的变形哪些是因式分解，哪些不是（是的打“∨”，?不是的打“×”）：
（1）（x+3）（x-3）=x 2-9； （ ）; （2）x 2+2x+2=（x+1）2+1； （ ）
（3）x 2-16+=（x+4）（x-4）； （ ）; （4）x 2+3xy+2xy 2=x(x+3y+2y 2）； （ ）
（5）1-21x =（1+1x ）（1-1x ）； （ ）; （6）m 2+1m +2=（m+1m
）2； （ ） 2.快速判断，以下各式能不能因式分解,说明理由；如果能因式分解，请分解。
（1）- x 2- y 2 （2）1-16a 2 （3）–3m 2n+6mn –6n
（4）x 4-9 （5）x 2+2xy-y 2 （6）-x 2+2xy-y 2
3.快速辨析，看看在因式分解过程中自己是不是经常犯以下类似错误。
（1）- x 2+y 2=（-x+y ）（-x-y ） （2）ab ab b a 26422+-=2ab （2a –3b ） 正解: 正解:
（3）–3m 2n+6mn –3n=3n(–m 2+2m –1) （4）4a 2–b 2 =(4a+b)(4a-b).
正解: 正解:
(5)936362+-x x =（6x –3）2
(6) x 2- y 2=（x-y ）2
正解: 正解:
（7）-6a 2b 2-15a 2b 3+3a 2b=-3a 2b （-2b-5b 2+1）
正解:
课堂测试
学习程序：独立完成下列各题，要求又快又准，时间约7分钟
一、把下列各式因式分解（1-6，每题10分；带※每题4分）
1．6x 2y 2 - 2x 2y – xy =_ ；
2.- 6x 2 +8xy - 12xz=____________________；
3. - 4b 2+9a 2 = ；
4.m 2 - 4m + 4=_____________ _____；
5. a 4-81=______ __________；
6.ax 2 - 2axy + ay 2=_______ ____ ；
※7. m(a-3)+2(3-a)=________________ ；
※8. 4(m - n) 2–（m + n ）2=__________________；
※9．(a + b)2 + 2(a + b) + 1= 。
二、填空（1-4，每题10分；带※每题4分）
1．+-x x 2 = （ ）2；
2．4++22y x =（ ）2； 3．若4)3(2+-+x m x 是完全平方式，则数m 的值是 ；
4.已知x+y=2,xy=7,则x 2y+xy 2=____ 。
※5.已知8a 2+ma-n 因式分解的结果为（4a-3）(2a+3),那么m= ,n=
总结提炼
学习程序:组织巩固复习、补充。时间约3分钟。
课后作业布置：书P49：9；14（2）（4）（6）
因式分解法(提公因式 法、公式法) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
【知识要点】 1、提取公因式：型如()ma mb mc m a b c ++=++，把多项式中的公共部分提取出来。 ☆提公因式分解因式要特别注意： （1）如果多项式的首项系数是负的，提公因式时要将负号提出，使括号内第一项的系数是 正的，并且注意括号内其它各项要变号。 （2）如果公因式是多项式时，只要把这个多项式整体看成一个字母，按照提字母公因式的办法提出。 （3）有时要对多项式的项进行适当的恒等变形之后（如将a+b-c 变成-（c-a-b ）才能提公 因式，这时要特别注意各项的符号）。 （4）提公因式后，剩下的另一因式须加以整理，不能在括号中还含有括号，并且有公因式的还应继续提。 （5）分解因式时，单项式因式应写在多项式因式的前面。 2、运用公式法：把我们学过的几个乘法公式反过来写就变成了因式分解的形式： ()()22a b a b a b -=+-； ()2 222a ab b a b ±+=±。 平方差公式的特点是：(1) 左侧为两项；(2) 两项都是平方项；(3) 两项的符号相反。 完全平方公式特点是: (1) 左侧为三项；(2) 首、末两项是平方项，并且首末两项的符号相同； (3) 中间项是首末两项的底数的积的2倍。 ☆运用公式法分解因式，需要掌握下列要领： （1）我们学过的三个乘法公式都可用于因式分解。具体使用时可先判断能否用公式分解，然后再选择适当公式。（2）各个乘法公式中的字母可以是数，单项式或多项式。 （3）具体操作时，应先考虑是否可提公因式，有公因式的要先提公因式再运用公式。 （4）因式分解一定要分解到不能继续分解为止，分解之后一定要将同类项合并。 【典例分析】 例1.分解下列因式： （1）2 2321084y x y x y x -+ （2）233272114a b c ab c abc --+
因式分解之套公式法 【知识精读】 1.把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。 常用公式有：平方差公式 a b a b a b 2 2 -=+-()() 完全平方公式 a ab b a b 2 2 2 2±+=±() 立方和、立方差公式 a b a b a ab b 3 3 2 2 ±=±?+()()μ 2. 补充：欧拉公式： a b c abc a b c a b c ab bc ca 3 3 3 2 2 2 3++-=++++---()() = ++-+-+-1 2 222()[()()()]a b c a b b c c a 特别地：（1）当a b c ++=0时，有a b c abc 3333++= （2）当c =0时，欧拉公式变为两数立方和公式。 【典例精析】 （一）运用公式分解因式 1. 把a a b b 22 22+--分解因式的结果是（ ） A. ()()()a b a b -++22 B. ()()a b a b -++2 C. ()()a b a b -++2 D. ()()a b b a 2 2 22-- 分析：a a b b a a b b a b 2 2 2 2 2 2 22212111+--=++---=+-+()()。 再利用平方差公式进行分解，最后得到()()a b a b -++2，故选择B 。 说明：解这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的形式。同时 要注意分解一定要彻底。 2.因式分解：x xy 3 2 4-=________。 解：x xy x x y x x y x y 3 2 2 2 4422-=-=+-()()()
第十五章整式乘除与因式分解 §15.1 整式的乘法 第 同底数幂乘法 学习目标 ⒈在推理判断中得出同底数冪乘法的运算法则，并掌握“法则”的应用. ⒉经历探索同底数幂的乘法运算性质的过程，感受幂的意义，发展推理能力和表达能力，提高计算能力. ⒊在组合作交流中，培养协作精神,探究精神，增强学习信心. 学习重点：同底数冪乘法运算性质的推导和应用. 学习难点：同底数冪的乘法的法则的应用. 学习过程： 一、预习与新知： ⒈⑴ 阅读课本P 141-142 （2）3 2 表示几个2相乘？2 3表示什么？ 5a 表示什么？m a 呢？ （3）把22222????表示成n a 的形式. ⒉请同学们通过计算探索规律. （1）()()) (2 2222222224 3 =?????=? (2)35 ?45= )(5= （3） 7)3(-?6 )3(-= ())(3-= （4）) (? ? ? ??=??? ?????? ??1011011013 （5）3 a ?4 a = =() a ⒊计算（1）3 2?4 2和72 ； （2）5233?和73 （3）3a ?4a 和7a (代数式表示)；观察计算结果，你能猜想出m a ?n a 的结果吗？ 问题：（1）这几道题目有什么共同特点？ （2）请同学们看一看自己的计算结果，想一想这个结果有什么规律？
⒋请同学们推算一下m a ?n a 的结果？ 同底数幂的乘法法则： 二、课堂展示： （1）计算 ①310?410 ②3a a ? ③53a a a ?? ④x x x x ?+?2 2 （2）计算 ①1 1010+?m n ②57x x ? ③9 7m m m ?? ④-4 444? ⑤()3 9 22-? ⑥12222 +?n n ⑦ y y y y ???425 ⑧5 32333?? 三、随堂练习：（1）课本P 142页练习题 （2）课本P 148页15.1第1①②，2① C 组 1.计算：①10 432b b b b ??? ②()()8 7 6 x x x -?- ③()()()5 6 2 x y y ---- ④()()()3 6 4 5 p p p p ?-+-?- 2.把下列各式化成()n y x +或()n y x -的形式. ① ()()4 3 y x y x ++ ②()()()x y y x y x ---2 3 ③() ()12+++m m y x y x 3.已知9x x x n m n m =?-+求m 的值. 四．小结与反思
设计思路： 教师是学习活动的引导者和组织者，学生是课堂的主人。教师在教学中要充分体现教师的导向作用，尊重学生的个体差异，选择适合自己的学习方式，鼓励学生自主探索与合作交流，让学生经历数学知识的形成与应用过程，鼓励学生的直觉并且运用基本方法进行相关的验证，指导学生注重数学知识之间的联系，不断提高解决问题的能力。 教学过程： 师生问好，组织上课。 师：我们在初一第二学期就已经学习了乘法完全平方公式,请一位同学用文字语言来描述一下这个公式的内容？ 生1：（答略） 师：你能用符号语言来表示这个公式吗？ 生1：（a＋b）2=a2＋2ab＋b2（a－b）2=a2－2ab＋b2 师：不错，请坐。由此我们可以看出完全平方公式其实包含几个公式？ 生齐答：两个。 师：接下来有两道填空题，我们该怎么进行填空？ a2＋＋1=(a＋1)24a2－4ab＋=(2a－b)2 生2：（答略） 师：你能否告诉大家，你是根据什么来进行填空的吗？ 生2：根据完全平方公式，将等号右边的展开。 师：很好。（将四个式子分别标上○1○2○3○4） 问题：○1、○2两个式子由左往右是什么变形？ ○3、○4两个式子由左往右是什么变形？ 生3：（答略） 师：刚才的○1和○2是我们以前学过的完全平方公式，那么将这两个公式反过来就有：
a2＋2ab＋b2=（a＋b）2a2－2ab＋b2=（a－b）2（板书） 问题：这两个式子由左到右的变形又是什么呢？ 生齐答：因式分解。 师：可以看出，我们已将左边多项式写成完全平方的形式，即将左边的多项式分解因式了。 这两个公式我们也将它们称之为完全平方公式，也是我们今天来共同学习的知识（板书课题） 师：既然这两个是公式，那么我们以后遇到形如这种类型的多项式可以直接运用这个公式进行分解。这个公式到底有哪些特征呢？请同学们仔细观察思考一下，同座的或前后的同学可以讨论一下。 （经过讨论之后） 生4：左边是三项，右边是完全平方的形式。 生5：左边有两项能够写成平方和的形式。 师：说得很好，其他同学有没有补充的？ 生6：还有一项是两个数的乘积的2倍。 师：这“两个数的乘积”中“两个数”是不是任意的？ 生6：不是，而是刚才两项的底数。 师：刚才三位同学都回答得不错，每人都找出了一些特征。再请一位同学来综合一下。 生7：左边的多项式要有三项，有两项是平方和的形式，还有一项是这两个数的积的2倍。右边是两个数的和或差的平方。 教师在学生回答的基础上总结： 1)多项式是三项式 2)有两项都为正且能够写成平方的形式 3)另一项是刚才写成平方项两底数乘积的2倍，但这一项可以是正，也可以是负 4)等号右边为两平方项底数和或差的平方。
因式分解（一） ——提取公因式与运用公式法 【学习目标】（1）让学生了解什么是因式分解； （2）因式分解与整式的区别； （3）提公因式与公式法的技巧。 【知识要点】 1、提取公因式：型如()ma mb mc m a b c ++=++，把多项式中的公共部分提取出来。 ☆提公因式分解因式要特别注意： （1）如果多项式的首项系数是负的，提公因式时要将负号提出，使括号内第一项的系数是正的， 并且注意括号内其它各项要变号。 （2）如果公因式是多项式时，只要把这个多项式整体看成一个字母，按照提字母公因式的办法提出。 （3）有时要对多项式的项进行适当的恒等变形之后（如将a+b-c 变成-（c-a-b ）才能提公因式， 这时要特别注意各项的符号）。 （4）提公因式后，剩下的另一因式须加以整理，不能在括号中还含有括号，并且有公因式的还应继续提。 （5）分解因式时，单项式因式应写在多项式因式的前面。 2、运用公式法：把我们学过的几个乘法公式反过来写就变成了因式分解的形式： ()()22a b a b a b -=+-； ()2 222a ab b a b ±+=±。 平方差公式的特点是：(1) 左侧为两项；(2) 两项都是平方项；(3) 两项的符号相反。 完全平方公式特点是: (1) 左侧为三项；(2) 首、末两项是平方项，并且首末两项的符号相同； (3) 中间项是首末两项的底数的积的2倍。 ☆运用公式法分解因式，需要掌握下列要领： （1）我们学过的三个乘法公式都可用于因式分解。具体使用时可先判断能否用公式分解，然后再选择适当公式。（2）各个乘法公式中的字母可以是数，单项式或多项式。 （3）具体操作时，应先考虑是否可提公因式，有公因式的要先提公因式再运用公式。 （4）因式分解一定要分解到不能继续分解为止，分解之后一定要将同类项合并。 【经典例题】 例1、找出下列中的公因式： (1) a 2b ，5ab ，9b 的公因式 。 (2) －5a 2，10ab ，15ac 的公因式 。 (3) x 2y(x －y)，2xy(y －x) 的公因式 。
《公式法因式分解》教学设计 永年县第八中学——胡平亮 一、教学内容：冀教版七年级数学第十一章公式法分解因式 二、教学目标： 知识与技能 1、经历逆用平方差公式的过程． 2、会运用平方差公式，并能运用公式进行简单的分解因式． 过程与方法 1、在逆用平方差公式的过程中，培养符号感和推理能力． 2、培养学生观察、归纳、概括的能力． 情感与价值观要求： 在分解过程中发现规律，并能用符号表示，从而体会数学的简捷美；让学生在合作探究的学习过程中体验成功的喜悦；培养学生敢于挑战；勇于探索的精神和善于观察、大胆创新的思维品质。 三、教学重点： 利用平方差公式进行分解因式 四、教学难点： 领会因式分解的解题步骤和分解因式的彻底性。 五、教学准备： 深研课标和教材，分析学情，制作课件 六、教学过程； 一、知识回顾 1、根据因式分解的概念，判断下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？ （1）、(2x-1)2=4x2-4x+1 否 （2）、 3x2＋9xy－3x＝3x(x＋3y－1) 是 （3）、4x2-1-4xy+y2=(2x+1)(2x-1)-y(4x-y) 否 2、把下列各式进行因式分解
（1）. a3b3-a2b-ab （2）(3x+y)(3x-y) （3）、（x+5)(x-5) 利用一组整式的乘法运算复习平方差公式，为探究运用平方差公式进行分解因式打下基础。 二、导入新课： 你能把多项式：x2 -25、9x2 -y2分解因式吗？ 利用一组运用平方差公式分解因式的习题，引导学生利用逆向思维去探究如何分解 a2- b2类的二次二项式。学生从对比整式的乘法去探索分解因式方法，可以感受到这种互逆变形以及它们之间的联系。 三、探究与交流 a2- b2=(a+b)(a-b) （1）用语言怎样叙述公式？ （2）公式有什么结构特征？ （3）公式中的字母a、b可以表示什么？引导学生观察平方差公式的结构特征， 学生在互动交流中，既形成了对知识的全面认识，又培养了观察、分析能力以及合作交流的能力。 判断：下列多项式能不能运用平方差公式分解因式？ (1) m2－1 (2)4m2－9 （3）(3)4m2+9 （4）(4)x2－25y + (5) －x2－25y2 (6) －x2－25y2 通过这一组判断，使学生加深理解和掌握平方差公式的结构特征，既突出了重点，也培养了学生的应用意识。 四、体验新知： （A）通过自学例1: 分解因式(1)25-16x2 (2)9a2 -1/4b2 引导学生得出分解因式的一般步骤，向学生渗透“化归”思想。 要让学生明确： （1）要先确定公式中的a和b； （2）学习规范的步骤书写。 （B）例2、分解因式9(m+n)2-(m-n)2
【学习重点与难点】：因式分解的方法和运用 【导学过程】 一、知识再现:（阅读教材，理解记忆） 1、因式分解： 2、用提公因式法分解因式 （1）基本方法，（2）找公因式的方法， 3、因式分解中运用的公式 （1）=-22b a ，（2）=+±222b ab a ， 4、因式分解的应用． 二、典例分析 1、提公因式法分解因式 例1 因式分解：b a ab 223+= 变式1、因式分解：x x 52- = 变式2、因式分解： 2263ab b a += 2、公式法分解因式 例2、因式分解：3212123a a a ++= 变式3、因式分解：296ab ab a +-= 变式4、因式分解：23ab a -=
3、因式分解的应用 例3 解方程的值求代数式224320042200452y x x y y x -?? ???=-=+ 变式5、若622=-n m 且2=-n m 则=+n m 三、巩固提高 1. 下列分解因式正确的是 （ ） A 、﹣a +a 3=﹣a （1+a 2） B 、2a ﹣4b +2=2（a ﹣2b ） C 、a 2﹣4=（a ﹣2）2 D 、a 2﹣2a +1=（a ﹣1）2 2．分解因式：321025=a a a -+ 3、因式分解：a 2 ﹣6a+9= 4、分解因式：3222b ab b a +-= 5、分解因式：8（x 2﹣2y 2）﹣x （7x+y ）+xy ．
【课堂反馈】 1、下列式子变形是因式分解的是【 】 A ．x 2－5x ＋6＝x (x －5)＋6 B ．x 2 －5x ＋6＝(x －2)(x －3) C ． (x －2)(x －3)＝x 2－5x ＋6 D ．x 2－5x ＋6＝(x ＋2)(x ＋3) 2、若实数x 、y 、z 满足2()4()()0x z x y y z ----=．则下列式子一定成立的是（ ） (A)0x y z ++= (B) 20x y z +-= (C) 20y z x +-= (D) 2=0x z y +- 3、分解因式：3269x x x -+= 4、分解因式：=+-+)(3)(2y x y x 5、已知1=-b a ，则b b a 222--的值
题目：用因式分解法求解一元二次方程 学习目标： 会用分解因式（提公因式法、公式法）解某些简单的数字系数的一元二次方程，通过“降次”把一元二次方程转化为两个一元一次方程，体会转化思想。 学习重点： 正确、熟练地用因式分解法解一元二次方程． 学习难点： 正确、熟练地用因式分解法解一元二次方程. 学习过程： 一、导入新课： 1、如何对一个多项式进行因式分解？有哪些方法？ 2、如果两个数a、b,且满足ab=0,你能得到哪些结论？ 二、自学指导： 1、自主学习 认真阅读P46～47页内容： ⑴、分解因式法：利用分解因式来解一元二次方程的方法叫分解因式法。 ⑵、因式分解法的理论根据是： 如果ab=0,则a=0或b=0。 ⑶、自学例1，注意看清楚每一步是如何变形的？其目的是什么？ 2、合作交流：
（1）你能例题中的思路解一元二次方程 x 2-4=0吗？你是怎么想的？（2）对于一元二次方程（x+1）2-25＝0可以怎样求解？ 三、例题解析 例. 用因式分解法解下列方程： （1）（x+2）(x+4)＝0 （2）4x(2x+1) =3(2x+1) （3）5(x 2-x) = 3(x 2+x) 解：(2)：原方程可变形为 4x(2x+1) -3(2x+1) = 0 （2x+1）（4x-3） = 0 2x-1=0，或4x-3=0 ∴ X 1 = 21 X 2 =4 3 （3）：原方程可变形为 5x 2-5x = 3x 2+3x 5x 2-3x 2-5x-3x = 0 2x 2-8x = 0 2x(x-4)= 0 2x=0, 或x-4=0 ∴ X 1 = 0 ， X 2 =4 四、当堂训练 1. 用因式分解法解下列方程： (1)（4x-1）（5x-7）= 0 （2） 3x(x-1）= 2-2x （3）(2x+3)2=4(2x+3) （4）2(x-3)2=x 2 -9
公式法因式分解知识点讲解及练习 1．平 方 差公式： )b a )(b a (b a 22-+=- 因式分解 22)b a )(b a (b a -=-+ 整式乘法 2、分解因式的一般步骤为： （1）若多项式各项有公因式，则先提取公因式。 （2）若多项式各项没有公因式，则根据多项式特点，选用平方差公式或完全平方公式。 （3）每一个多项式都要分解到不能再分解为止。 3、分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如22a b a b -+-没有公因式，又不能直接利用分式法分 解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。再提公因式，即可达到分解因式的目 的。例如：22a b a b -+-= 22()()()()()()(1)a b a b a b a b a b a b a b -+-=-++-=-++， 这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。 4、原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解。 5、有些多项式用分组分解法时，分解方法并不唯一，无论怎样分组，只要能将多项式正确分解即可。 题型一 公式法因式分解 例 1将下列各式因式分解 225-36x 22916b a - 点评：：能用平方差公式因式分解的多项式的特征：（1）有且只有两个平方项： （2）两个平方项异号。 知识梳理
巩 固1、计算 （1）22758258- （2）22429171- （3）223.59 2.54?-? 2、已知0001.03,100003=-=+b a b a ，求229a b -的值。 3、把多项式()()2 249b a b a --+分解因式 * 平方差公式中字母b a 、不仅可以表示数，而且也可以表示其他代数式。 例2判断下列各式是不是完全平方式 （1） 222y xy x ++ （2）2244y xy x ++ （3）226b ab a +- （5）222y x xy ++- （6）2242b ab a ++ （4） 412++x x
沧港中心学校导学案课题多项式的因式分解 学生姓名评卷情况 主备人杨玲审核人 科目七年级数学备课时间20XX年3月27日 方程、简化计算等方面都常用因式分解。3、理解因式分解是多项式乘法的逆变形。 学习重点: 因式分解的概念。 学习难点: 理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。 一、复习回顾: 问题一整式乘法有几种形式? 问题二乘法公式有哪些? (1)单项式乘以单项式(1)平方差公式:： (2)单项式乘以多项式：a(m+n)= (2)完全平方公式： (3)多项式乘以多项式：(a+b)(m+n)= 二、自主学习: 1、计算： （1）23= ?（2）（m+4）（m－4）=__________； （3）（y－3）2=__________；（4）3x（x－1）=__________； （5）m（a+b+c）=__________；（6）a（a+1）（a－1）=__________。 2、若a=101,b=99,则22 a b -=___________；若a=99,b=-1,则22 2 a a b b -+=_______； 若x=-3,则2 2060 x x += 小结：一般地，把一个含字母的表示成若干个多项式的的形式，称把这个多项式因式分解。 思考：由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算? 由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与上面的变形有什么不同? 因式分解与整式的乘法有什么区别和联系？ 三、合作探究:
四、课堂检测 1、下列代数式变形中，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？ (1) 2x-3x+1=x(x-3)+1 ；(2) (m＋n)(a＋b)＋(m＋n)(x＋y)＝(m＋n)(a＋b＋x＋y)； (3) 2m(m-n)=22m-2mn；(4) 42x-4x+1= ()2 21 x-； (5) 32a+6a=3a（a+2）；（6） ()() 243223 x x x x x -+=-++ (7) 2 2 2 11 2 k k k k ?? ++=+ ? ??；(8) 3 18a bc=32a b·6ac。 3、下列说法不正确的是( ) A. a b -是22 a b -的一个因式 B. xy是2 23 x y xy -的一个因式C.22 2 x xy y -+的因式是x y +和x y - D. 22 2 a a b b ++的一个因式是a b + 4、计算：(1) 2 87+87×13 (2) 22 10199 - 5、若 x2+mx-n能分解成(x-2)(x-5),则m= ,n= 家长签字：
14．3．2公式法导学案（第1课时） 备课时间： 主备：张洪波 高永爱 审核：高永爱 使用时间： 【学习目标】 1.运用平方差公式分解因式，能说出平方差公式的特点. 2.会用提公因式法与平方差公式法分解因式． 3.会两次运用平方差公式分解因式，知道因式分解必须进行到不能分解为止. 【学习重难点】 学习重点:用平方差公式法进行因式分解. 学习难点:把多项式进行必要变形，灵活运用平方差公式分解因式 【自主学习】 1、对于等式x 2+x = x (x+1)： 1) 如果从左到右看，是一种什么变形？ 2) 什么叫因式分解？这种因式分解的方法叫什么？ 3) 如果从右到左看，是一种什么变形？ 4) 因式分解和整式乘法是两种互为_______的变形. 【合作探究】 探究一： 1.计算：（1）（x-1）(x+1)=_________;(2)(y+4)(y-4)=_______ 2.根据1题的结果分解因式：（1）21_____x -=;(2)216________y -= 3.你能将22a b -进行因式分解吗？你是如何思考的？ 分析：要将22a b -进行因式分解，可以发现它_________公因式，不能用提公因式法分解因式，但我们还可以发现这个多项式是两个数的 ____________ 形式，所以用平方差公式可以写成如下 形式：
结论：多项式的乘法公式的逆向应用，就是多项式的因式分解公式，如果被分解的多项式符合公式的条件，就可以直接写出因式分解的结果，这种分解因式的方法称为运用公式法。 拓展延伸： 1．把一个单项式写成平方的形式： （1）24a =（ ）2；（2）40.16a =（ ）2；（3）221.21a b =（ ）2； 例1：分解因式：（１）；249x -； （２）22()()x p x q +-+ （３）．22221.1b b a - 结论：（1）中的_______（2）中的________和（３）中的________相当于平方差公式中的a ；（1）中的______（2）中的_________和（３）中的__________相当于平方差公式中的b ，这说明公式中的a 和b 可以表示一个数，也可以表示一个单项式，或是多项式，只要符合公式的特点( )()22-，就可以运用公式分解因式． 总结平方差公式的特点： ①左边是二项式，每项都是 的形式，两项的符号 . ②右边是两个多项式的 ，一个因式是两数的 ，另一个因式是这两数的 . 例2：因式分解：（1）44x y - ； （2）3a b ab -； 【尝试应用】 1．口答：①24x -=_________ ②29t -= ③21649____m -= ④2254______x -+= 2．因式分解： （1）22125 a b -； （2）2294a b -； （3）24x y y -；
初三代数教案 第十二章：一元二次方程 第12课时：二次三项式的因式分解（用公式法）（一） 教学目标： 1、使学生理解二次三项式的意义； 2、了解二次三项式的因式分解与解一元二次方程的关系； 3、使学生会利用一元二次方程的求根公式在实数范围内将二次三项式分解因式； 4、通过本节课的教学，提高学生研究问题的能力。 教学重点： 用公式法将二次三项式因式分解． 教学难点： 一元二次方程的根与二次三项式因式分解的关系． 教学过程： 二次三项式的因式分解常用的方法是公式法、十字相乘法等．但对有些二次三项式，用这两种方法比较困难，如将二次三项式4x2+8x-1因式分解．在学习了一元二次方程的解法后，我们知道，任何一个有实根的一元二次方程，用求根公式都可以求出．那么一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根与二次三项式ax2+bx+c的因式分解有无关系呢？这就是我们本节课研究的问题，也就是研究和探索二次三项式因式分解的又一种方法——用公式法． 一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0），观察方程的特点：左边是一个二次三项式，曾经借助于将左边二次三项式因式分解来解一元二次方程．反之，我们还可以利用方程的根，来将二次三项式因式分解．即在分解二次三项式ax2+bx+c的因式时，可先用公式求出方程ax2+bx+c=0的两个根x1，x2，然后写成ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）．通过知识之间的相互联系、相互作用和相互促进，对学生进行辩证唯物主义思想教育．公式ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）的得出的依据是根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系为公式ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）的得出奠定了基础．通过因式分解新方法的导出，不仅使学生学习了一个新方法，还能进一步启发学生学习的兴趣，提高他们研究问题的能力． 一、新课引入： （1）写出关于x的二次三项式？ （2）将下列二次三项式在实数范围因式分解． ①x2-2x+1；②x2-5x+6；③6x2+x-2；④4x2+8x-1． 由④感觉比较困难，引出本节课所要解决的问题． 二、新课讲解： ．①由新课引入观察上式①，②，③方程的两个根与方程左边的二次三项式的因式分解之关系． ①x2-2x+1=0； 解：原式变形为（x-1）（x-1）=0． ∴ x1=x2=1， ②x2-5x+6=0； 解原方程可变为
分解因式法解一元二次方程教案（公开课教案） 一、教学内容分析 本节课选自九年级上册《一元二次方程的的解法》一章，在初中数学新课程标准中，关于一元二次方程的要求是：理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程。课本重点讲配方法，因为它是初中需要掌握的三种重要的数学方法之一。对九年级的学生来说，部分学生会进入高中继续学习，但高中数学对学生的要求会更高，教材中许多题目用因式分解法比较简单，虽然都可以用万能法—公式法解。作为老师也比较矛盾，一方面不能增加学生的负担，另一方面还要为学生的进一步发展考虑，于是，我和王爱武老师沟通并合作设计了这节课，不到之处敬请批评指正。 二、学情分析与学法指导 对于一元二次方程的解法学生基本掌握。大多数学生喜欢用求根公式，但存在的问题是部分学生根式的化简不熟练导致方程的求解不彻底。在本节初三复习课中，结合学生的实际，让学生通过复习教材，完成课前导学知识，逐步启发、引导学生课前自主预习、小组合作学习.。 三、设计意图 1．设计课前导学旨在引导学生逐步养成自主预习的学习习惯，有针对性的学习课本；2．设计答疑解惑环节旨在结合学生自主预习中找出的疑惑点，更有针对性的解答学生的疑惑； 3．设计回顾反思环节旨在逐步引导学生及时总结规律方法，逐步养成解题后反思的学习习惯。 4．设计补充十字相乘法旨在渗透初高中衔接的相关内容。 教学目标： 1、知识与技能目标： (1)、会应用分解因式的方法求一元二次方程的解。 (2)、能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择一元二次方程的解法。 2、过程与方法目标： (1)、理解分解因式法的思想，掌握用因式分解法解一元二次方程; (2)、能利用方程解决实际问题，并增强学生的数学应用意识和能力。通过利用因式分解法将一元二次方程变形的过程，体会“等价转化”“降次”的数学思想方法。 3、情感与态度目标： 通过学生探讨一元二次方程的解法，使他们知道分解因式法是一元二次方程解法中应用较为广泛的简便方法，它避免了复杂的计算，提高了解题速度和准确程度。再之，体会“降次”化归的思想。从 而培养学生主动探究的精神与积极参与的意识。 教学重点与难点： 教学重点：运用分解因式法解一些能分解因式的一元二次方程。 教学难点：发现与理解分解因式的方法。 一、教学过程：
14.3.2 公式法(平方差公式) 授课时间： 教学目标： 1．知识与技能：会应用平方差公式进行因式分解，发展学生推理能力。 2．过程与方法：经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，感受数学知识的完整性。 3．情感、态度与价值观： 培养学生良好的互动交流的习惯，体会数学在实际问题中的应用价值。 教学重点：掌握平方差公式的特点及运用平方差公式进行因式分解的方法。 教学难点：提取公因式与平方差公式结合进行因式分解的思路和方法。 教学过程： (一) 复习提问： 1. 讲评上节课作业，复习用提取公因式法分解因式。 2. 计算：（1）))((b a b a -+； （2）)3)(3(-+a a ； （3）)35)(35(y x y x -+； （4）)43 1)(431(n m n m +-。 （设计意图：通过以上练习，复习用平方差公式进行整式的乘法计算，进一步引导学生理解整式的乘法与因式分解的关系） （二）讲解新课： 我们知道，整式乘法与因式分解相反，因此，利用这种关系，可以得到因式分解的方法，如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式， 这种分解因式的方法叫做运用公式法，今天我们学习公式中的一种。 板书“平方差公式”。 把乘法公式22))((b a b a b a -=-+，反过来，就得到))((22b a b a b a -+=-， 这就是说，两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。 公式特征：二项式、差的形式、两项分别是平方数或平方式，符合此特征的二项式可用平方差公式进行因式分解，分解为这两个底数的和与这两个底数的差的积。解题的关键在于找出这两项的底数，相当于公式中的a 、b 。 如：把22925y x -进行因式分解，因为22)5(25x x =，22)3(9y y =，底数分别为x 5、y 3，则22925y x -分解为)35)(35(y x y x -+。 下面我们举例说明，如何利用平方差公式分解因式：
第二章 《因式分解》 §2.1 分解因式 学习重点： 1．理解因式分解的意义. 2．识别分解因式与整式乘法的关系. 学习难点：通过观察，归纳分解因式与整式乘法的关系. 一、自主复习：【填空】 公式类：()()a b a b +-=2 ()a b += 2()a b -= （1）单?单：3a×4ab= （2）单?多：(35)a a b -= （3）多?多：(3)(2)x y x y -+= （4）混合乘：x （x-1）（x+1）= 二、独立探究问题：分解因式的概念 1．自主学习教材p43-p44，其中p44做一做的前（1）—（5）是什么运算？做一做的后（1）—（5）与前（1）—（5）的关系是什么？ 2．分解因式的概念：把一个多项式化成的形式，这种变形叫做把这个多项式 3．掌握分解因式概念应注意： （1）被分解对象是 （2）分解因式的结果必须是几个的形式. （3）分解因式要一直分解到每个因式不能再为止. 4．及时反馈：完成书p45随堂练习 三、小组合作探究：分解因式与整式乘法的关系 1．议一议 （1）由(1)(1)a a a +-=3 a a -的变形是运算. （2）由3a a -=(1)(1)a a a +-的变形与（1）有什么不同？ 2．想一想 分解因式与整式乘法有什么关系？ ()ma mb mc m a b c ++++因式分解整式乘法 .因式分解与整式乘法是的变形. 四、知识的运用 例：下列从左到右的变形中，哪些是分解因式？哪些不是分解因式？为什么？ （1）x +1=x （1+ x 1）（2）()222424ab ac a b c +=+ （3）2 4814(2)1x x x x --=--（4）222()ax ay a x y -=- （5）2 2 2 4(2)a ab b a b -+=-（6）2 (3)(3)9x x x +-=- 五、课堂小结 1．分解因式的概念： 2．分解因式应注意： 3．分解因式与整式乘法的关系 六、课堂过关 1．下列从左到右的变形，是分解因式的为（） A ．x 2－x =x （x －1） B ．a （a －b ）=a 2－ab C ．（a +3）（a －3）=a 2－9 D ．x 2－2x +1=x （x －2）+1 2．下列各式分解因式正确的是（） A. 2 2 3633(2)a x bx x x a b -+=- B. ()2 2 xy x y xy x y +=+ C. 2 ()a ab ac a a b c -+-=-+- D. 2 2 963(32)abc a b abc ab -=- 3.（1）2 2 ()()a b a b a b +-=-的运算是 （2）3 2 2 2(2)x x x x -=-的运算是 4．计算下列各式： （1）（a +b ）（a －b ）=________. （2）（a +b ）2=________. （3）8y （y +1）=________. （4）a （x +y +1）=________. 根据上面的算式填空： （5）ax +ay +a =（）（）（6）a 2－b 2=（）（） （7）a 2+2ab +b 2=（）（）（8）8y 2+8y =（）（）
运用公式法分解因式 思维导航：运用公式法是分解因式的常用方法，运用公式法分解因式的思路主要有以下几种情况： 一、直接用公式:当所给的多项式是平方差或完全平方式时，可以直接利用公式法分解因式。 例1、 分解因式：（1）x 2-9； （2）9x 2-6x+1。 二、提公因式后用公式:当所给的多项式中有公因式时，一般要先提公因式，然后再看是否能利用公式法。 例2、 分解因式：（1）x 5y 3-x 3y 5； （2）4x 3y+4x 2y 2+xy 3。 三、系数变换后用公式:当所给的多项式不能直接利用公式法分解因式,往往需要调整系数,转换为符合公式的形式,然后再利用公式法分解. 例3、 分解因式：(1)4x 2-25y 2; (2)4x 2-12xy 2+9y 4. 四、指数变换后用公式:通过指数的变换将多项式转换为平方差或完全平方式的形式,然后利公式法分解因式,应注意分解到每个因式都不能再分解为止. 例4、 分解因式:(1)x 4-81y 4; (2)16x 4-72x 2y 2+81y 4. 五、重新排列后用公式:当所给的多项式不能直接看出是否可用公式法分解时，可以将所给多项式交换位置，重新排列，然后再利用公式。 例5、 分解因式：（1）-x 2+(2x-3)2; (2)(x+y)2+4-4(x+y). 六、整理后用公式:当所给的多项式不能直接利用公式法分解时，可以先将其中的项去括号整理，然后再利用公式法分解。 例6 、分解因式： (x-y)2-4(x-y-1). 七、连续用公式:当一次利用公式分解后，还能利用公式再继续分解时，则需要用公式法再进行分解，到每个因式都不能再分解为止。 例7、 分解因式：(x 2+4)2-16x 2. 练习： 1、多项式2244x xy y -+-分解因式的结果是（ ） (A)2(2)x y - (B)2(2)x y -- (C)2(2)x y -- (D)2()x y + 2、 41x -的结果为（ ） Ａ．22(1)(1)x x -+ Ｂ．22(1)(1)x x +- Ｃ．2(1)(1)(1)x x x -++ Ｄ．3(1)(1)x x -+ 3、222516a kab a ++是一个完全平方式，那么k 值为（ ）
当我们在日常办公时，经常会遇到一些不太好编辑和制作的资料。这些资料因为用的比较少，所以在全网范围内，都不易被找到。您看到的资料，制作于2021年，是根据最新版课本编辑而成。我们集合了衡中、洋思、毛毯厂等知名学校的多位名师，进行集体创作，将日常教学中的一些珍贵资料，融合以后进行再制作，形成了本套作品。 本套作品是集合了多位教学大咖的创作经验，经过创作、审核、优化、发布等环节，最终形成了本作品。本作品为珍贵资源，如果您现在不用，请您收藏一下吧。因为下次再搜索到我的机会不多哦！ 9.5多项式的因式分解（4） 教学重点：知道因式分解的步骤和因式分解的结果的要求，能综合运用提公因式法，运用公式法分解因式． 教学难点：能综合运用提公因式法、公式法分解因式． 【情景创设】 探索新知 提取公因式法、运用公式法，并说明公因式的确定方法及公式的特征． （2）整理知识结构图． 提公因式法：关键是确定公因式 因式分解平方差公式： 运用公式法a2－b2＝（a＋b）（a－b） 完全平方公式： a2±2ab＋b2＝（a±b）2 说明：公式中a、b可以是具体的数，也可以是任意的单项式和多项式． 提公因 式法 ab+ac+ad=a(b+c+d) 单项式乘 多项式 运用公 式法 a2-b2=(a+b)(a-b) a2±2ab+b2=(a±b)2 乘法公式 因 式 分 解 整 式 乘 法
【展示交流】 例1 把下列各式分解因式． （1）18a2－50； （2）2x2y－8xy＋8y； （3）a2（x－y）－b2（x－y）． 例2 把下列各式分解因式． （1）a4－16； （2）81x4－72x2y2＋16y4． 例3 分解因式． （1）（a2＋b2）2－4a2b2； （2）（x2－2x）2＋2（x2－2x）＋1． 练习：课本P87练一练第1、2两题． 【盘点收获】 说说如何把多项式进行因式分解． 如果多项式各项有公因式，应先提公因式，再进一步分解． 分解因式必须分解到每个多项式的因式都不能再分解为止． 因式分解的结果必须是几个整式的积的形式． 即：“一提”“二套”“三查”特别强调“三查”，检查多项式的每一个因式是否还能继续分解因式，还可以用整式乘法检查因式分解的结果是否正确． 【课后作业】 补充习题和同步练习 本课教学反思 本节课主要采用过程教案法训练学生的听说读写。过程教案法的理论基础是交际理论，认为写作的过程实质上是一种群体间的交际活动，而不是写作者的个人行为。它包括写前阶段，写作阶段和写后修改编辑阶段。在此过程中，教师是教练，及时给予学生指导，更正其错误，帮助学生完成写作各阶段任务。课堂是写作车间, 学生与教师, 学生与学生彼此交流, 提出反
第四章因式分解 第一节因式分解 (1)计算下列各式： ①(m+4)(m-4)=__________;②(y-3)2=__________; ③3x(x-1)=__________;④m(a+b+c)=__________; ⑤a(a+1)(a-1)=__________. (2)根据上面的算式填空： ①3x2-3x=( )( );②m2-16=( )( ); ③ma+mb+mc=( )( );④y2-6y+9=( )2 ⑤a3-a=( )( ) 在(1)中我们知道从左边推右边是整式乘法;那么在(2)中由多项式推出整式乘积的形式是因式分解。因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系。 一、因式分解的定义：把一个多项式化成的形式，这种变形叫做把这个多项式。也可以叫做分解因式。 定义解析：（1）等式左边必须是 （2）分解因式的结果必须是以的形式表示； （3）分解因式必须分解到每个因式都有不能分解 为止。 二、合作探究 探究一：下列从左到右的变形中，哪些是分解因式？哪些不
是分解因式？为什么？ （1）22 111x x x x x x ????- =+- ???? ??? （2）()22 2424ab ac a b c +=+ （3）24814(2)1x x x x --=-- （4）222()ax ay a x y -=- （5）2224(2)a ab b a b -+=- （6）2(3)(3)9x x x +-=- 解: （7）下列从左边到右边的变形，是因式分解的是 A 、29)3)(3(x x x -=+- B 、))((2233n mn m n m n m ++-=- C 、)1)(3()3)(1(+--=-+y y y y D 、z yz z y z z y yz +-=+-)2(2242 探究二：连一连： 9x 2 －4y 2 a （a ＋1）2 4a 2－8ab ＋4 b 2 －3a （a ＋2） －3a 2 －6a 4（a －b ）2 a 3 ＋2a 2＋a （3x ＋2y ）（3x －2y ） 三、提升训练 1． 下列各式从左到右的变形是分解因式的是（ ）. A ．a （a －b ）＝a 2 －ab ； B ．a 2 －2a ＋1＝a （a －2）＋1 C ．x 2 －x ＝x （x －1）； D ．x 2 －y y ?1 ＝（x ＋y 1）（x －y 1） 2.连一连： a 2－1 (a +1)(a －1) a 2+6a +9 (3a +1)(3a －1) a 2－4a +4 a (a － b )