高中数学各章节编拟和引入应用问题的研
究
成都七中曹杨可王希平张世永刘正平
数学“应用问题”源于实际．它具有社会、科技、经济、生活等实际背景，所用到的数学基础知识符合教学大纲的要求，是学生经过努力能够解决的一种问题．这种问题比较贴近学生的生活，溶科学性、思想性、典型性、趣味性于一体，能提高学生学习数学的兴趣，促进他们形成科学解题的思想方法．但我们现行教材存在着忽视应用的缺点，教材中现有的应用题数量较少，内容陈旧，背景材料简单，基本上与现实生活无关，不能体现数学在现代生活诸方面的广泛应用，给应用问题的教学带来了实际困难，教师只得在高三数学总复习中对应用问题进行强化训练，结果是事倍功半，未从根本上形成数学应用的能力．在高考数学试卷中已经连续8年考查了应用问题，1993年和1994年是以选择题和填空题的形式出现的，1995年——2000年均以解答题的形式出现。而从这几年高考应用问题得分统计来看，虽应用问题在考题中只相当于中档试题，但考生完成得不好，得分率低，这和我们的教材内容和课内训练不够密切相关。
怎样才能使应用问题的教学步入正确的轨道，切实培养和提高学生应用数学的能力和意识呢?我们根据日常的教学内容，作了各章节选编和引入应用问题教学的研究尝试。
一．选编应用问题
1．以教材为来源
在现行高中教材中．每章都有内容、习题涉及到数学的应用：《代数》上册(必修本)中：水池(渠)、寄信邮资、细胞分裂、弹簧振动、钢板下料、飞机机冀曲边等应用问题．《代数》下册(必修本)中：利用不等式求实际问题最值、堆放钢管(铅笔)、升价降价、增长率问题，浓度问题，排列组合问题等等．《立体几何》中，也有大量插图或以此作为背景的许多联系实际的问题．《解析几何》中，拱桥、天体运行轨道、平抛运动、双曲线通风塔、探照灯反射面、弹道曲线等等．
虽然这些问题大多比较简单，但它们仍然为将实际问题‘数学
化”提供了丰富的材料和最基本的实例．不管对学生或教师都起着抛
砖引玉的作用。应予以充分重视，切莫贪多求全、求深，忽视教材中
最基本的应用问题。忽视实例引入．应充分挖掘现行教材中有关实际
应用问题的潜力，从中体味其中所用数学知识、方法和思想，使学生在头脑中储存一定数量的“基本模式”，只有这样，搞好应用题的教学才有保证．
（1）以新换旧
数学教材中原有的一些应用题从内容看显得有些陈旧，但如能换上恰当的带有时代气息的实际内容，就能使它们成为以新面貌出现的“应用问题”，从而对学生产生现实的智育和德育作用．
例1 墙壁上所挂画幅的高AB＝5尺，画幅的底边离地面8尺．身高为5．5尺的人看画时离墙壁多远才能看得最清楚?
这是以往数学教材和课外读物上出现过的所谓“看画问题”．它对训练学生的分析、解题能力有一定作用．我们对这道“旧题”赋以新的内容，改编成下题：
仪表和工业电视是现代企业的眼睛，发电厂主控室值班员主要是根据仪表的数据变化来加以操作的．若仪表的高AB＝m米，仪表的底边离地面的距离为BC=n米(如图)，值班员坐在椅子上时眼睛离地面的高度DE＝1．2米，那么值班员坐在什么位置看仪表最清楚?
“旧题”经这样改编后，就具有了现实意义．在现代企业生产的情境下，让学生应用相应的数学知识和解题方法，以值班员的视角ADB最大为目标，求出EC＝
米．这样的题目对学生来说显得新鲜，更具有实用性和启发性，其教育价值也就更大．
（2）推陈出新
数学教材中有一些历年使用过的带有代表性的应用题，虽是“陈题”，但根据当今数学教学的要求发展其内涵，就能使它们体现出新的“应用问题”的教育价值．
例2从一块边长为a厘米的正方形铁片的四个角处各截去一个小正方形(如图①)，把剩下的部分做成一个正四棱柱形无盖盒子．当盒子底边长为多少时它的容积最大?最大值是多少?
这是多年来出现于数学教材中的一道求极值的传统应用题．我们从两方面考虑改编这一“陈题”，获得两道新题：
(1) 将原题中的“正方形”改为“矩形”(设其长为a厘米，宽为b厘米，且a＞b)，从它的四个角处各截去一个小正方形(如图②)，把剩下的部分做成一个长方体无盖盒子．当截去的小正方形边长为多少时它的容积最大?最大值是多少?
(2) 将原题中的“正方形”改为“正6边形”(设其边长为a厘米)，从它的6个角处各截去一个小四边形(如图(3))，把剩下的部分做成一个正六棱柱形无盖盒子．当盒子底边为多少时它的容积最大?最大值是多少?
这里将“陈题”条件中的“正方形”在边数不变时改为矩形，或在边长不变时改为正6边形(一般地，可改为正n边形，n＞4)，就起到了推陈出新的作用．改编后所得的“应用问题”在对学生训练思维、培养能力方面比原题的教育价值更大．
(3) 借题发挥
数学教材中有一些“成题”，它们在教学中对训练学生的解题能力仍具有典型性，但题意比较单一．如能以此为基础，对它们作进一步的引伸和拓展．往往能派生出一些富有实际意义的“应用问题”来．
例3 工厂A、B位于铁路L的同侧．现要在L上建一个货场C(如图1)．使A、B两厂到货场C的距离之和为最小．C应选在何处?
这是平面几何教材上带有典型性的一道“成题”．我们以原题为基础．采用引伸、联想等手段，编制出如下两题：
(1) 在城市A的南边和西边各有一条铁路L
1和L
2
，L
1
与L
2
的夹角为，市中心到L
1
和L
2的距离分别为a和b (如图2)．现要在L
1
和L
2
上各建一座车站，并计划修建一条环形
公路连接两车站和市中心，如何确定两车站的最佳位置?并求出此时环形公路的总长．
(2) 相距1公里的两村庄A、B位于公路L的同侧．它们到公路的距离分别为和
公里(如图3)．现要在L上设置一拍摄点P，能拍摄到同时含两村庄的照片，P点应选在什么位置?
当 (1) 在不考虑其它因素的情况下，应以环形公路的总长最小时车站的位置为最
佳，这样，问题就转化为：在L
1和L
2
上分别确定车站B
l
和B
2
使AB
1
B
2
的周长为最小．
在 (2) 中，要使两村庄A、B都能摄入镜头，必须使拍摄点P对A、B的视角为最大．这样，问题就转化为：以AB为一弦作圆，求此圆与直线L的切点P
这样借“成题”作发挥而编制出来的“应用问题”．会给学生以新鲜感，从而激发他们解决数学“应用问题”的兴趣和提高他们举一反三的解题能力．
2．以科技成果为背景
在世纪之交的今天，数学科学广泛深入地向其它科技领域渗透，成为整个科技发展水平的带动因素．在高新科技的不断涌现之中，不乏体现数学巨大作用的典型事例．只要
我们经常关注国内外科技信息，并
善于筛选积累合适的资料，以此为
背景，编制出一些适宜的数学“应
用问题”，就能激励学生认真学好数学，将来攀登科技高峰．
例4 设三城市A、B、 C位于一个等边三角形的三个顶点，今要在三城市间敷设通讯电缆，分别用以下三种方法联线时，哪种方法的联线为最短?最短值是多少?
(1) 联接BA、BC (如图(1))；
(2) 联接BC，再从A向BC作垂线 (如图(2)；
(3) 找出ABC的中心O，联接0A、OB、OC (如图(3))
分析设等边三角形ABC的边长为1．由直接计算知：(1)的连线长为2；(2)的连线长为1+ ；(3)的连线长为．
所以．以(3)的连线为最短．其值是A、 B连线长的倍.
3. 以市场经济活动为背景
随着市场经济体制的运行，数学知识的应用越来越被社会所重视．计算产品成本、利润、以及揭示它们与价格之间的关系，对投资、消费的决策等，都离不开相应的数学知识．以这些经济活动为背景，编制一些数学“应用问题”，对培养学生的经济头脑和决策能力将会起到促进作用．
例5 某商场以每台2500元进了一批彩电，如果以每台2700元为定价，可卖出400台．以100元为一个价格等级，若每台提高一个价格等级．则会少卖50台．那么，每台彩电定价为多少时，该商场可获得最大利润?其值是多少?
分析设每台彩电提高n个价格等级，则每台的定价为(2700十100n)元．此时可卖出(400一50n)台，获利润为M元．所以
M＝(2700十100n)(400—50n) 一2500(400 — 50n)，
即M＝一5000(n一3)2十125000．
＝125000．
当n=3时，M
max
即每台彩电以定价为3000元卖出，该商场可获得最大利润125000元．
说明本题实质为求二次函数的最大值．现以商品贸易为问题背景，使函数知识更富有实用性和趣味性．通过解题，学生就会意识到数学知识在市场经济中有重要的应用价值．
4. 以身边的事例为背景
人们在日常生活中经常接触到的是一些平凡的事物．如果我们能以数学的眼光对这些看似平凡的事物进行审视，就可能发现一些有趣的规律性的东西．有的学生确定了讨论十字路口红绿灯时间是否合理这一课题，自己在十字路口测试了几天车流量、行人、过街的时间等等数据；有的学生为讨论成都火车站春运的车辆调配问题，专门去成都火车站收集近五年客流量的数据；有的学生讨论抗洪中运沙袋采用传递好，还是个人背运好，就自己在家中以米袋为工具进行简单测算。以此为背景，编制出一些富有启发性的数学“应用问题”，就能促使学生体会到“处处留心皆学问”的道理．
例6常用的书本封面的长与宽的比是多少?为什么?
为解决这一问题，我们先让学生用一张8开白纸，沿长边对折成16开的纸；再将16开的纸对折成32开的纸．通过测量和计算，要学生回答下列问题：
(1)8开纸和16开纸的形状相似吗?16开纸和32开纸的形状相似吗?
如果将“纸的对折”继续进行下去，那么得到的16开，32开，64开，…，(n N)开的纸的形状都相似吗?
(2)如果要使一张矩形纸沿长边对折后仍与原来纸的形状相
似，那么该纸的长和宽的比应是多少?
(3)翻开你的数学课本的最后一页(或第一页)，找出纸张的开
本数，计算出纸的长和宽的比．这个比是否与1．414接近呢?
分析：通过测量，可知8开，16开，32开，…，(n N)开纸的长与宽之比均约为：1，
所以这些纸的形状都相似．
我们希望，各种书本的纸张虽然大小可以不一样，但形状相似．这就要求一张纸对折之后所得的小矩形与原矩形相似．
设大矩形的长、宽分别为，则小矩形的长、宽就分别为(如图)．所以＝，即
从而＝1．414
说明: 关于书的开本问题，可以说是常人不以为然的一件事．但是，我们通过对这一日常生活中的平凡素材的巧妙发掘，不仅可使学生巩固已学的相似形的概念和判定定理，而且更主要地能激发学生对数学的亲切感，懂得数学是有用的，数学就在我们身边，从而增强他们学好数学的信心．
二、解答数学应用问题的核心是建立数学模型
应用问题来源于生活和生产，不但题型变化较大，而且对每个应用问题而言，一般所给条件都较多，不易发现条件与条件，条件与所要解决的问题之间的内在联系，学生难于构造出理想的数学模型，实现实际问题向数学问题的转化。
中学数学中常见的建模类型一般有：
（1）函数建模（2）数列建模（3）几何建模（4）最佳方案建模
如何建立数学模型：
1．认真审题，准确理解题意。建立数学模型首先要认真审题。应用问题的题目一般都较长，涉及的名词、概念较多，因此要耐心细致地读题。在读题的过程中，弄清每一个名词、概念。分析已知条件和要求结论的数学意义，挖掘实际问题对所求的结论的限制等隐含条件。准确理解题意，应达到如下要求：
①明确问题属于哪类应用问题（生产应用问题，或生活应用问题，或科技应用问题）；
②弄清题目中的主要已知事项；
③明确所求的结论是什么。
2．抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量或适当建立坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达。由于应用问题中数量关系分散，已知与所求之间的联系没有纯数学问题那样明了，因此在理解题意的基础上，把有关的数量关系找出来，联想与题意有关的数学知识和方法，恰当引入变量或适当建立坐标系，将已知事项中的数量关系翻译成数学语言或数学表达式.
3．将实际问题抽象为数学问题。在前两步的基础上，将已知与所求联系起来，据题意列出满足题意的数学关系式（如函数关系、或方程、或不等式），或作出满足题意的几何图形，将实际问题转化、抽象为数学问题。
三、针对教学内容引入应用问题
针对现行教材习题中应用问题偏少的情况．根据高中教材章节内容引入的应用问题1．现有直径为d的圆木，要把它锯成横断面是矩形的墚。从材料力学知横断面是矩形
的墚的强度K是常数），若要强度最大，则
。
2．降水量是指水平地面上单位面积的降雨水的深度，用上口直径为38cm，底面直径为24cm，深为35cm的圆台形水桶来测量降水量，如果在一次降雨过程中，用此桶盛得的雨水正好是桶深的，则此次下雨的降水量是（精确到1cm）。
3．有一隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和抛物线构成，尺寸如图，为保证行车安全，要求车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要0.5米，若行车道总宽AB为6米，车辆过此隧道限高为（精确到0.1cm）。
4．某罐装饮料厂生产的某种饮料筒为正圆柱体（视上、下底为平面），上、下底半径r，高h，体积为V，上下底厚度分别是侧面厚度的2倍，问r与h比是多少时，用料最省。
5．某房产公司，有一“缺角矩形”地ABCD尺寸如图，要在此建地基为长方形东西走向的公寓，求地基最大面积。
6．生物体内都含有一定量的放射性碳C—14，它的半衰期为5570年，科学研究表明，生物死亡后C—14的含量与a的原始含量a随时间变化有以下关系（K是常数）我国出土的长沙马王堆一号古墓杉木盖板，经测量与现代杉木内含量比为76.7%，这个古墓建造的年代大约是年以前。
7．一桥洞呈抛物线形（如图），桥下水面宽16米，当水面上涨2米后，水面宽度为12米，此时桥洞顶部距水面高度为米（精确0.1米）。
米/秒，一个匀速行进的车队有10辆车，每车长L米，8．某隧道长a米，最高限速为V
相邻两车之间距离M米与车速V的平方成正比，比例系数K，自第一辆车头进隧道至第10辆车车尾离开隧道所用时间为t秒：
（1）求出的解析式，并求定义域
（2）求t的最小值，并求出t取最小值时V的大小
9．甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过C千米/小时。已知汽车每小时运输成本由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度V的平方成正比，且比例系数为b，固定部分为a，
（1）把全程运输成本y表示为速度V的函数，并求函数定义域
（2）为使全程运输成本y最小，汽车应以多大速度行驶。
10．某商场一年内进彩电5000台，彩电价格每台4000元，每次进货费用1600元，保管费率10%
（），问每次进货多少台，进货费域保管费之和最少。
11．甲工厂去年上交利税40万元，今后5年内计划每年平均增长10%，乙工厂去年上交利税比甲工厂少，今后5年内计划平均每年增长20%，这样从今年起，第二年乙工厂上交利税能超过甲工厂，但是要到第三年末，才能使从今年开始的三年内上交的总利税不少于甲工厂，问乙工厂去年上交利税多少万元（只取整数万元）。
12．某工厂今年1月、2月、3月年产某产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份数x的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数（其中a、b、c为常数）。已知四月份产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，说明理由。
13．某公司欲将一批不易存放的蔬菜，从A地运往B地，有汽车、火车、直升飞机三种运输工具可供选择，三种运输工具的主要参考数据如下：
途中速度（千米/小时）
途中费用
（元/千米）
装卸时间
（小时）
装卸费用
（元）
汽车50 8 2 1000
火车100 4 4 2000
飞机200 16 2 1000 若这批蔬菜在运输过程（包含装卸时间）中的损耗300元/小时，问采用哪种运输工具比较好，即运输过程中费用与损耗之和最小。
14．某游泳馆出售冬季学生游泳卡，每张240元，使用规定不记名，每卡每次只限1人，每天1次，某班有48名同学，老师组织集体游泳，除需买卡外，每次包一辆汽车，包车费40元，若使每个同学游8次，那么买几张卡最合算，每人最少交多少钱。
15．某工厂生产某种产品共m件，分若干批生产，每生产一批产品需用原料费为15000万元，每批生产需直接消耗管理费与该批生产产品的件数的立方成正比，当生产一批产品为5件时，需消耗管理费1000万元：
（1）求每批生产需直接消耗管理费与该批生产产品件数的函数式
（2）每批生产多少件时，一年生产的总费用最低
（精确到1件，）
16．“依法纳税是每个公民应尽的义务”国家征收个人工资、薪金所得税是分段计算，总收入不超过800元，免征个人工资，薪金所得税，超过800元部分需征税，设全月纳税所得额为x，x=全月总收入—800，税率见下表：
级数全月应纳税所得额x 税率
1 不超过500元部分5%
2 超过500元至2000元部分10%
3 超过2000元至5000元部分15%
………………
9 超过1000000元部分45%
17．建造一个容积为V 的无盖长方体蓄水池，若池深h米，池底一边长x米（由于地形条件限制，该边长不能超过K米，另一边长度不限），池座造价，池底造价：
（1）把总造价y（元）表示为x的函数，并指出该函数的定义域
（2）为使造价y最小，池底边长应为多少米？
18．某公司从2000年起，实行工资改革，每人工资由以下三部分组成
项目金额（元/人.年）计算方法
基础工资10000元从2000年起,每年递增10%(与工龄无关)
房屋补贴400元按职工到公司年限计算,每年每人递增400元
医疗费1600元固定不变
该公司今年有5位职工,计划从明年起每年新召5名职工
(1)若今年(2000年)算第一年,求第几年公司付给职工的工资总额
(2)判断发给职工的工资总额中,房屋补贴和医疗费总和,能否超过基础工资总额的20%。
19．某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共1150万元，购买当天当天付款150万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利息为1%：（1）若交款150万后第一个月开始计算付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少钱。
（2）全部付清后，买过40套住房实际花了多少钱。
20．某人年初向银行贷款10万元，用于购房：
（1）向建行贷款，年利息5%，这笔借款分10次等额归还（不计复利），每年一次，问每年应还多少万元（精确到元）
（2）向工行贷款，年利息4%计复利，分10次等额归还，每年一次每年应还多少元（精确到元）
21．某外国银行A提供每月支付一次，年利息7%的复利存款业务，B银行提供每天支付一次，年利息为6.9%的复利存款业务分析哪种银行存款效益好（）。
22．某乡企业有一蔬菜生产基地，共有3位工人，过去每人年薪1万元，从今年起，计划每人每年的工资比上一年增加10%，并每年新招3位工人，每位新工人第一年年薪8千元，第二年起与老工人一样数额的年薪：
（1）若今年算第一年，试把第n年基地工人的工资总额y（万元）表示成n的函数，
（2）企业从今年起向每位工人收90元作为住房基金，并且今后每年向每位工人收取的住房基金都比上一年增加10元，试证工人的住房基金总额不会超过工资总额10%。
23．有一小自来水厂，蓄水池中有水450吨，水厂每小时可向蓄水池中注水80吨，同时蓄水池又向居民小区供水，t小时内供水总量吨，现在开始向池中注水并同时向居民小区供水：
（1）多少小时后池中水量最少
（2）若蓄水池中水量少于150吨时，就会出现供水紧张现象，问有几小时供水紧张。
24．有两个容量为400ml的容器，各装300ml的溶液，A容器中溶液浓度为80%，B容器中溶液浓度为40%，将A中溶液100ml倒入B中，搅均匀后，再将B中溶液倒回A中100ml，这样称为一次操作，如果不计损耗，问：
（1）操作一次后A容器溶液浓度是多少？
（2）操作多少次后，A、B两容器中溶液的浓度小于1%。
25．如图，某农场要修建3个形状相同的矩形养鱼塘，每个面积，鱼塘前留4m宽运料通道，其余各边为2米宽的提埂，问每个鱼塘长、宽各多少时，占地总面积最少。
26．某种汽车（A）购买时费用10万元，（B）每年应交保险费、养路费、油费合计为0.9万元，（C）汽车维修费平均为第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元依等差数列逐年递增，问这种汽车使用多少年报废最合算（即使用多少年平均费用最少）？并分析A、B、C三种费用对使用时间的影响。
27．某企业现生产的甲种产品使企业1999年盈利a万元，预计从2000年起，20年内甲种产品盈利每年比上一年减少，同时开发乙种产品2000年投放市场，乙种产品第一年
盈利b万元，在今后20年内，每年盈利都比上一年增加，若问该企业今后20年内，那一年盈利最少是多少万元。
28．某地区1998年底现有居民住房的总面积，其中危旧住房占，新型单元住房占，该地区为了加快住房改造，计划在5年内全部拆除危旧住房（每年拆除数量相同）并对现有的新型单元住房以21%的年增长率加快建设，用表示第n年底该地区的居民住房总面积：
（1）分别求出、、，并归纳计算公式
（2）危旧住房全部拆除后，至少再过多少年，才能使居民住房总面积年平均增长率超过10%。
29．某产品的制造过程中，次品率P依赖于日产量x，x为正整数，每生产一件正品盈利A元，生产一件次品损失元：
（1）将日盈利额T元表示为日产量x个的函数，并求出函数定义域，
（2）为获最大盈利，该厂日产量应定为多少。
30．在一容器内装有浓度为r%的溶液a升，注入浓度为P%的溶液升，搅匀后再倒出溶液升，这叫一次操作：
（1）设第n次操作后容器内溶液浓度，计算。
（2）设，且，要使容器内溶液浓度不小于问至少要进行多少次操作（）。
31．某工厂生产容器，生产无盖圆柱形容器，体积，容器底面半径为r，每平方米造价30元，容器壁每平方米20元，厚度不计：
（1）制造容器成本y元表示为r的函数
（2）要求米，问如何设计尺寸成本最低。
32．某地山区有一座水库，设计最大容量，雨季时水库的来水量与天数关系，水库原有水量，水闸池水每天，若在雨季时，大鱼的第一天就开闸泄洪，问一周内（7天）会发生危险吗？
33．某家庭为准备孩子上大学的经费，每年6月30日都在银行中存入2000元连续存五年，有如下存款方式：如果按五年期零存整取，每存入a元，按计本利（n 为年数）；按每年转存a元按计本利（n为年数），问哪种存款方式到第六年7月1日取出后全部本利最多，是多少（）。
34．有六个相同电池，每个电池的电动势都是，内阻都是r，将它们按图中（a）、（b）、（c）三种方式连接对R供电，要使R ？的功率（a）方式比另两种都大，R的阻值应在什么范围内。
参考解答
1．，
2．22mm
3．3.2m
4．，（b为厚度）
5．
6．2130，，，又，
7．2.6米
8．（1），
（2）当，时，
当，时，
9．（1）（）
（3）当，，
当，，
10．，x=200时，y最小
=f(x)=-0.05x2+0.35x+0.7
12、用待定系数 y
1
=f(x)=-0.8×0.5x+1.4
y
2
模拟较好
f(4)=1.3f(4)=1.35 故用y
2
13、设A、B相距S千米，途中及装卸费用+途中时间×300为总费用
15、（1）S=8x3（x∈N）
（2）205元
19、分20次付清
总付：1255万元
20、(1)105(1+10×5%)=x(1+9×5%)+x(1+8×5%)+…+x
x=12245(元)
(2) 105(1+4%)10=a(1+4%)9+a(1+4%)8+…+a
a=12330(元)
22、（1）y=3n(1.1)n+2.4 (n∈N)
（2）住房基金总额(3n+3)(10n+80),∴需证
1%[3n(1.1)n+2.4]×10000>(3n+3)(10n+80)
即证：10×(1.1)n>n+9
24、（1）0.7
(A)越高，使用时间越长（B）不影响使用时间（C）递增越快，使用时间越短
32.160000+Sn-8000n>256000,n>8，一月内不会有危险
33．
《浅谈高中数学应用问题的教学》小课题结题报告海南华侨中学吴维宝 一，课题研究的起因: 培养和提高中学生的数学应用意识，使学生掌握提出、分析和解决带有实际意义的或在相关学科，生产、生活中的数学问题，准确而灵活地运用数学语言研究和表述问题，是中学数学教育教学的迫切要求，在中学数学教学过程的始终都应注重学生应用意识的培养，加大应用问题的教学力度。 二，课题研究的实施 传统教材对知识的来龙去脉和数学的应用重视不够，不重视引导学生运用所学知识解决日常生活、生产中遇到的实际问题，学生学数学用数学的意识不够，解决实际问题的能力脆弱。新教材对此做了大的调整，增加了具有广泛应用性、实践性的教学内容，重视数学知识的运用，增强数学应用意识，提高学生分析问题，解决问题的能力，把培养学生运用数学的意识贯穿在教材的各个方面。 1 、每一章的序言，都编排了一个现实中的应用问题，引入该章的知识内容，以突出知识的实际背景。如在第三章《数列》以趣味话题:“国王对国际象棋棋盘发明者奖励的麦粒数”的计算作为章头序言，激发学习欲望，增加教材内容的趣味性。 2 、在研究“具体问题”时以实际例子引入课题 高中数学的十章内容中，分别就概念引入、实例说明、数学表示等方面有三十一处都恰当的运用了实际问题和具体情景。如用“不同重量信件的邮资问题”表示分段函数，用功和位移的关系引入向量数 量积的概念等。实例引入增强了问题的实际背景，为顺利解决问题作了铺垫。 3 、例题中的应用问题
例题中安排应用问题，一方面可以培养学生阅读能力、分析问题、解决问题的能力，培养学生的应用意识，而且通过范例讲解，使学生掌握解决应用问题的一般思想和方法。新教材的十章内容中共有 41 个例题是涉及数学应用的，占例题总数的 14.6% ，它们都非常接近学生的生活实际和所学知识，难易适中，示范性强。 4 、练习、习题、复习题中增加了应用问题的分量 为使学生巩固所学知识，逐步提高分析问题、解决问题的能力，新教材在练习题，习题，复习题中增加了大量的应用问题。分别涉及增长率、行程问题、物理、化学、生物问题，储蓄等各个方面，量大面宽，情景新颖，融知识性，趣味性，自主实践性于一体。 5 、阅读材料 问题生动有趣，贴近学生生活，扩大学生阅读面的阅读材料，新教材中共安排了 15 个，其中: ( 1 )历史故事方面的，如第二章《函数》的“对数和指数发展简史”，第五章《平面向量》中的“人们早期是怎么样测量地球的半径的,” ( 2 )介绍数学应用方面，如第八章《圆锥曲线的光学性质及应用》，第十章《抽签有先后，对各人公平吗,》。 ( 3 )扩充知识方面，有第五章《平面向量》中的“向量的三种类型”等。 6 、新增了“实习作业”和“研究性课题”。 为了使学生亲自体验数学知识的应用，灵活运用数学知识解决实际问题，加强学生学习的自主活动性，培养综合运用知识的能力。新教材安排了三次实习作业，一是“函数关系的实习作业”，让学生调查研究附近商店、工厂、学校潜在的函数问题;二是利用“平面向量”知识解决不能直接测量的距离、方向问题。三是“线性规划的实际应用”。
高中数学模拟考试试卷 选择题（每小题5分，共40分） 1．已知全集U ={1,2,3,4,5}，集合M ＝{1,2,3}，N ＝{3,4,5}，则M ∩(U N )＝（ ）eA. {1,2} B.｛4,5｝ C.｛3｝ D.｛1,2,3,4,5｝ 2. 复数z=i 2(1+i)的虚部为（ ） A. 1 B. i C. -1 D. - i 3．正项数列{a n }成等比，a 1+a 2=3，a 3+a 4=12,则a 4+a 5的值是（ ）A. -24 B. 21 C. 24 D. 484．一组合体三视图如右，正视图中正方形 边长为2，俯视图为正三角形及内切圆， 则该组合体体积为（ ） A. B. 43 π C. + 43 π 5．双曲线以一正方形两顶点为焦点，另两顶点在双曲线上，则其离心率为（ ）A. +1 C. D. 16．在四边形ABCD 中，“=2”是“四边形ABCD 为梯形”的（ ）AB DC A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7．设P 在[0,5]上随机地取值，求方程x 2+px +1=0有实根的概率为（ ）A. 0.2 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.68．已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)(x ∈R ,A >0,ω>0,|φ|<)2π的图象（部分）如图所示，则f (x )的解析式是（ ）A ．f (x )=5sin(x +) Ｂ．f (x )=5sin(x -)6π6π6π6πＣ．f (x )=5sin(x +) Ｄ．f (x )=5sin(x -) 3π6π3π6π二、填空题：（每小题5分，共30分）9.直线y =kx +1与A （1,0），B （1,1）对应线段有公共点，则k 的取值范围是_______. 10．记的展开式中第m 项的系数为，若，则=__________.n x x 12(+m b 432b b =n 11．设函数的四个零点分别为，则 31()12 x f x x -=--1234x x x x 、、、1234()f x x x x =+++；12、设向量，若向量与向量共线，则 (12)(23)==，，，a b λ+a b (47)=--，c =λ11..211lim ______34 x x x x →-=+-14. 对任意实数x 、y ，定义运算x *y =ax +by +cxy ，其中
浅析如何学好高中数学之策略 发表时间：2015-06-17T14:55:23.023Z 来源：《少年智力开发报》2014-2015学年第14期供稿作者：刘代庆 [导读] 要认真把握好思维逻辑，分析问题的思路和解决问题的思想方法，坚持下去，就一定能举一反三，提高思维和解决问题的能力。重庆市璧山来凤中学校刘代庆 高中数学知识理论性强，内容多而抽象，因此不少同学进入高中之后很不适应，首先遇到的是理论性很强的函数，再加上繁杂的解析几何，空间想象能力要求很高的立体几何，使一些初中数学学得还不错的同学也不能很快地适应而感到困难，以下就怎样学好高中数学谈几点意见和建议。 一、学好数学关键在于提高听课效率 课堂时间是学生学习的主要时间，因此提高课堂听课效率，是提高学习质量的关键。提高听课效率应注意以下几个方面： 1、课前预习能提高听课的针对性：预习中发现的难点，就是听课的重点；对预习中遇到的没有掌握好的有关的旧知识，可进行补缺，以减少听课过程中的困难；有助于提高思维能力，预习后把自己理解了的东西与老师的讲解进行比较、分析即可提高自己思维水平；预习还可以培养自己的自学能力。 2、听课过程中的科学：首先应做好课前的物质准备和精神准备，以使得上课时不至于出现书、本等物丢三落四的现象；上课前也不应做过于激烈的体育运动或看小书、下棋、打牌、激烈争论等。以免上课后还喘嘘嘘，或不能平静下来。其次就是听课要全神贯注，做到上“五到”耳到、眼到、心到、口到、手到。耳到：就是专心听讲，听老师如何讲课，如何分析，如何归纳总结，另外，还要听同学们的答问，看是否对自己有所启发。眼到：就是在听讲的同时看课本和板书，看老师讲课的表情，手势和演示实验的动作，生动而深刻的接受老师所要表达的思想。心到：就是用心思考，跟上老师的数学思路，分析老师是如何抓住重点，解决疑难的。口到：就是在老师的指导下，主动回答问题或参加讨论。手到：就是在听、看、想、说的基础上划出课文的重点，记下讲课的要点以及自己的感受或有创新思维的见解。 3、特别注意老师讲课的开头和结尾：老师讲课开头，一般是概括前节课的要点指出本节课要讲的内容，是把旧知识和新知识联系起来的环节，结尾常常是对一节课所讲知识的归纳总结，具有高度的概括性，是在理解的基础上掌握本节知识方法的纲要。 4、要认真把握好思维逻辑，分析问题的思路和解决问题的思想方法，坚持下去，就一定能举一反三，提高思维和解决问题的能力。 此外还要特别注意老师讲课中的提示。老师讲课中常常对一些重点难点会作出某些语言、语气、甚至是某种动作的提示。最后一点就是作好笔记，笔记不是记录而是将上述听课中的要点，思维方法等作出简单扼要的记录，以便复习，消化，思考。 二、学好数学核心在于多思考，多研究 1、思考当天老师上课讲的内容，例题，研究问题的思路、方法等。然后打开笔记与书本，对照一下还有哪些没记清的，把它补起来，就使得当天上课内容巩固下来，同时也就检查了当天课堂听课的效果如何，也为改进听课方法及提高听课效果提出必要的改进措施。 2.思考研究本单元的知识网络、基本思想与方法（应以典型例题形式将其表达出来）； 3. 对数学学习自我评价：对本章内，自己做错的典型问题应有记载，分析其原因及正确答案，应记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上. 三、学好数学重在多做精典习题 1.数学的实验就是习题:中科院陈希孺院士说,如果学好数学有什么经验，那么多做精典习题就是最重要的一条。习题大体分为两类：一类属于基础型精典题，其目的是帮助温习教材内容。另一类称之为“研究”型精典题,参考书中较多,解决这类问题，除要求对教材内容有切实的掌握外，还要求能灵活运用，甚至有别出心裁的解法。 2.要学好数学，必须经历大量的第二类习题的训练，才能收到登堂入室的功效。数学大师苏步青院士,抗战时他在重庆，敌机常来轰炸。为了避免躲防空洞浪费时间，就利用这时间作习题。几年下来，做了上万道题。华罗庚院士早年学习数学时，不是把一本书的定理公式都看懂了就算完事，而是要自己亲自“做”一遍。中科院陈希孺院士在中学时代，生性偏好逻辑思维,课余的大量时间都花在做题上，获益匪浅,因此陈希孺院士的数学成绩在中学时代一直名列前茅。 3.做习题贵在坚持。一是有足够的时间。这需要养成爱惜光阴的习惯，不把时间浪费在一些无益的事情上；二是不断增进对这个问题的认识，把做习题由一种负担转变为一种乐趣。正如古人所说：知之者不如好之者，好之者不如乐之者。当然，这个境界的达到，也是从实际的努力中得来的。另外，做习题和阅读参考书，二者不可偏废，实际上，大多数好的习题多来自各种参考书。好的参考书对教材中因时间关系没有讲透的方法，通过例子加以介绍，很有启发性，多读这类好书，对提高自己解题的能力大有帮助。 4.做课外习题是一种课外自我提高的形式，不能急于求成，要有“细水长流”的打算。有的难题，一时做不出来，不要轻易放弃，但也不要固着在这一点上。做一个题，一时做不出，放下来过一段时间再从另外途径想一想，几经周折，一旦解决了，感觉成就了一件大事，大大提高学习的兴趣。 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。人在一定的程度上，也需要冲击、磨擦、锻炼，高中数学学习是我们成长道路上一次大的考验，经受住了这次考验，你将像珊瑚虫一样光彩照人。
-- -- 集 合 1．集合概念 元素:互异性、无序性、确定性 2.集合运算 全集Ｕ：如U ＝Ｒ 交集:}{B x A x x B A ∈∈=且 并集:}{B x A x x B A ∈∈=?或 补集:}{A x U x x A C U ?∈=且 ３.集合关系 空集A ?φ 子集B A ?：任意B x A x ∈?∈ B A B B A B A A B A ??=??= 注：数形结合-－-文氏图（即韦恩图、Ve ｎn 图）、数轴 典型例题 1. 集合(){}0,=+=y x y x A ,(){}2,=-=y x y x B ,则=B A ２. 已知集合{}R x x y y P ∈+-==,22，{}R x x y x Q ∈+-==,2,那么Q P 等于 3. 设(){}R b b x b x x A ∈=++++=,0122,求A 中所有元素之和. 4. 已知集合{}24,3,22++=a a A ,{}a a a B --+=2,24,7,02，且{}7,3=B A ,求a 的值. 5. 已知(){}011=+-=x m x A ,{}0322=--=x x x B ，若B A ?，则m 的值为 6. 已知{}121-≤≤+=m x m x A ，{}52≤≤-=x x B ，若B A ?,求实数m 的取值范围． 7. 设全集{}32,3,22-+=a a S ，{}2,12-=a A ,{}5=A C S ，求a 的值. 8． 若{}Z n n x x A ∈==,2,{}Z n n x x B ∈-==,22，试问B A ,是否相等. 9. 已知(){}a x y y x M +==,,(){}2,22=+=y x y x N ,求使得φ=N M 成立的实数a 的取值范围. １0. 设集合{}R x x x x A ∈=+=,042,(){}R x R a a x a x x B ∈∈=-+++=,,011222,若A B ?，求实数a 的取值范围. １１． 设R U =,集合{}R x a ax x x A ∈=+-+=,03442，(){}R x a x a x x B ∈=+--=,0122，{}R x a ax x x C ∈=-+=,0222,若C B A ,,中至少一个不是空集，求实数a 的取值范围. 12. 设集合(){}01,2=--=x y y x A ,(){} 05224,2=+-+=y x x y x B ,(){==y y x C ,}b kx +，是否存在N b k ∈,,使得()φ=C B A ?若存在,请求出b k ,的值;若不存在,请说明理由.
浅谈高中数学在生活中的应用 摘要：数学是数与形的结合，即数字与图形化的语 言去描述生活中的问题，学习好数学就是为了能够更好地应 用于生活。新课标课程改革的目标就是让数学知识更好的融 入生活，在高中数学学习的过程中，如何将数学知识与实际生活相联系成为当前的焦点话题。本文将从生活中常见的 运用数学去解决实际问题出发，分析案例的形式阐述数学与 生活息息相关的关系。本文的目标是提高同学们学习数学的 热情，从而提高数学成绩，使数学的学习能够学以致用。 关键词：数学生活问题应用 中图分类号：G633.6 文献标识码： A 文章编号：1003-9082（2017）10-0-01 一、引言 在我们的生活中，处处存在数学知识。只要你留意，就 能发现。比如：增长率、企业成本与利润的核算、市场调查 与分析、比赛?龃伟才诺鹊龋辉偃缭谖颐侨粘Ｊ导噬?活中的存款、贷款、购物（房、车）、分期付款等几乎所有经济问题都可以归结为数列问题，它们都可以用等差数列和等比 数列函数来刻画。这些常见问题都可以感受到数学应用的广 泛性，并明确数学可以帮助他们更好地认识自然和人类社
会，更好地适应生活，有效进行表达和交流。在人们的日常实际生活中，等差数列、等比数列是表现日常经济生活有关规律的基本数学事例。掌握这些模型，对于解决运用问题、发展运用意识是非常重要的。高中生应该大胆去发现，善于提出生活中的问题，从而使自我乐于学数学，会学数学。 二、生活中常见的数学问题 1.数学与建筑物 雄伟壮丽的建筑物只有在数与形结合的情况下，才更具有神韵，更加给人艺术美感。你行走在长江大桥上时，其实在不知不觉中惊叹大桥的静定多跨结构中包含的数学和自然融合美的成分。自古以来，数学已成为设计和构图的无价工具，它既是建筑设计的智力资源，也是减少试验、消除技术差错的手段。比例、与比例相关的均衡、尺度、布局的序列都是构成建筑美感的核心要素。和谐的比例和尺度是建筑结构呈现自然美的基本条件，尤其是黄金分割比例的运用使得建筑物的艺术感达到极致。比例的均称与平衡，圆形的对称和和谐，曲面的柔软与变幻，总能不断地启发建筑师创造出更具和谐美和雅致美的建筑。事实上被人熟知的东方明珠电视广播的几何组成上是十分单调的，大多数的建筑物中常常避讳完整的圆型或球形，因为其在整体的建筑物中显得抢眼而又单调。但是东方明珠在设计师在其中多处运用了黄金分割的比例，使其协调美观，堪称是完美的建筑。此外，建
数 学 试 题 卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知集合{|(2)(3)0}A x x x =+-<，{1,0,1,2,3}B =-，则A B = （A ）{0,1} （B ）{0,1,2} （C ）{1,0,1}- （D ）{1,0,1,2}- （2）设a ＝(2,)k k +，b ＝(3,1)，若a ⊥b ，则实数k 的值等于 （A ）－32 （B ）－53 （C ）53 （D ）32 （3）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 5＋a 14＝10，则S 18等于 （A ）20 （B ）60 （C ）90 （D ）100 （4）圆与圆的位置关系为 （A ）内切 （B ）相交 （C ）外切 （D ）相离 （5）已知变量x ，y 满足约束条件?? ???≤-≥+≤112y x y x y ，则z =3x +y 的最大值为 （A ）12 （B ）11 （C ）3 （D ）－1 （6）已知等比数列{a n }中，a 1＝1，q ＝2，则T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3 ＋…＋1a n a n ＋1的结果可化为 （A ）1－14n （B ）1－12n （C ）23(1－14n ) （D ）23(1－12n ) （7）“m =1”是“直线20mx y +-=与直线10x my m ++-=平行”的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件
（8）阅读右面的程序框图，运行相应的程序， 输出S 的值为 （A ）15 （B ）105 （C ）245 （D ）945 第II 卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 （13）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334::，现用分层抽样的方法 从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高一年级抽取 名学生． （14）在ABC ?中，角所对边长分别为， 若3,,c o s 6 a B A π=== 则 b =___________． （15）已知点P ，Q 为圆C ：x 2＋y 2＝25上的任意两点，且|PQ |<6，若PQ 中点 组成的区域为M ，在圆C 内任取一点，则该点落在区域M 上的概率为 __________ ． （16）点C 是线段．．AB 上任意一点，O 是直线AB 外一点，OC xOA yOB =+， 不等式22(1)(2)(2)(1)x y y x k x y +++>++对满足条件的x ，y 恒成立， 则实数k 的取值范围＿＿＿＿＿＿＿． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 已知的面积是3，角所对边长分别为，4cos 5 A = ． (Ⅰ)求AB AC ； (Ⅱ)若2b =，求的值． ,,A B C ,,a b c ABC ?,,A B C ,,a b c a
浅谈如何学好高中数学 进入高中以后,有不少同学不能适应数学学习,进而影响到学习的积极性,甚至成绩一落千丈。而高一又是数学学习的一个关键时期,许多小学、初中数学学习的佼佼者,进入高中阶段,第一个跟斗就栽在数学上。对众多初中数学学习的成功者,进入高中后数学成绩却不理想,数学学习屡受挫折这一现状,我进行了深入的思考。下面我就怎样学好高中数学谈几点建议，供参考: 一、高中数学与初中数学的不同 1.数学语言的突变 不少学生反映,集合、映射等概念难以理解,觉得离生活很远。确实,初、高中的数学语言有着显著的区别,初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达;而高中数学一下子就触及抽象的集合语言、逻辑运算语言以及以后要学习到的函数语言、空间立体几何等。 2.思维方法的跃迁 高一学生产生数学学习障碍的另一个原因是高中数学思维方法与初中阶段大不相同。初中阶段,很多老师为学生将各种题建立了统一的思维模式,即使是思维非常灵活的平面几何问题,也对线段相等、角相等分别确定了各自的思维套路。因此,初中学习中习惯于这种机械的、便于操作的定势方式,而高中数学在思维形式上产生了很大的变化,正如上节所述,数学语言的抽象化对思维能力提出了更高的要求。当然,能力的发展是渐进的,不是一朝一夕的事,这种能力要求的突变使很多高一新生感到不适应,故而导致成绩下降。高一新生一定要能从经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡,最后还需初步形成辩证型思维。 3.知识内容上量的剧增 高中数学与初中数学又一个明显的不同是知识内容的“量”上急剧增加了,单位时间内接受知识信息的量与初中相比增加了许多,辅助练习和消化的课时相应的减少了。这就要求:(1)要做好课后的复习工作,记牢大量的知识;(2)要理解掌握好新旧知识的内在联系,使新知识顺利地同化于原有知识结构之中;(3)因知识教学多以零星积累的方式进行,当知识信息量过大时,其记忆效果不会很好。因此要学会对知识结构进行梳理,形成板块结构,如表格化,使知识结构一目了然;类化,由一例到一类,由一类到多类,由多类到统一;使几类问题同构于同一知识方法;(4)要多做总结、归类,建立知识结构网络。 二、如何学好高中数学 1.转变旧观念培养数学悟性 初中阶段，弄清课本例题，通过大量练习，就可使同学们的成绩有显著的提高。这是因为初中数学内容少，相对浅显，易于掌握，而高中数学，知识点广泛，内容繁多，系统性强，节奏又快，许多同学仍照搬初中的一套学习方法，结果成绩不升反降。所以同学们必须
高中数学必修1复习测试题（难题版） 1.设5log 3 1=a ，5 13=b ，3 .051??? ??=c ，则有（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．c a b << D ．b c a << 2.已知定义域为R 的函数)(x f 在),4(∞+上为减函数，且函数()y f x =的对称轴为4x =，则（ ） A ．)3()2(f f > B ．)5()2(f f > C ．)5()3(f f > D ．)6()3(f f > 3.函数lg y x = 的图象是（ ）
4.下列等式能够成立的是（ ） A ．ππ-=-3)3(66 B = C =34 ()x y =+ 5.若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ） A ．)2()1()23(f f f <-<- B ．)1()2 3 ()2(-<- 6.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()2f x x x =-,则()y f x =在R 上的解析式为 A ． ()(2)f x x x =-+ B ．()||(2)f x x x =- C ．()(||2)f x x x =- D. ()||(||2)f x x x =- 7.已知函数log (2)a y ax =-在区间[0,1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(0,2) D ．(2,)+∞ 高中数学经典例题、错 题详解 【例1】设M=｛1、2、3｝，N=｛e、g、h｝，从M至N的四种对应方式，其中是从M到N的映射是（） M N A M N B M N C M N D 映射的概念:设A、B是两个集合，如果按照某一个确定的对应关系f，是对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有一个确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射。 函数的概念：一般的设A、B是两个非空数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，这样的对应叫集合A到集合B的一个函数。（函数的本质是建立在两个非空数集上的特殊对应） 映射与函数的区别与联系： 函数是建立在两个非空数集上的特殊对应；而映射是建立在两个任意集合上的特殊对应；函数是特殊的映射，是数集到数集的映射，映射是函数概念的扩展，映射不一定是函数，映射与函数都是特殊的对应。 映射与函数（特殊对应）的共同特点：○1可以是“一对一”；○2可以是“多对一”；○3不能“一对多”；○4A中不能有剩余元素；○5B中可以有剩余元素。 映射的特点：（1）多元性：映射中的两个非空集合A、B，可以是点集、数集或由图形组成的集合等；（2）方向性：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；（3）映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象，不要求B中的每一个元素都有原象；（4）唯一性：映射中集合A中的任一元素在集合B中的象都是唯一的；（5）一一映射是一种特殊的映射方向性 上题答案应选 C 【分析】根据映射的特点○3不能“一对多”，所以A、B、D都错误；只有C完全满足映射与函数（特殊对应）的全部5个特点。 本题是考查映射的概念和特点，应在完全掌握概念的基础上，灵活掌握变型题。 【例2】已知集合A=R，B={(x、y)︱x、y∈R},f是从A到B的映射fx：→（x+1、x2）,（1）求2在B 中的对应元素；（2）（2、1）在A中的对应元素 【分析】（1）将x=2代入对应关系，可得其在B中的对应元素为（2+1、1）；（2）由题意得：x+1=2,x2=1 得出x=1，即（2、1）在A中的对应元素为1 【例3】设集合A={a、b}，B={c、d、e}，求：（1）可建立从A到B的映射个数（）；（2）可建立从B到A的映射个数（） 【分析】如果集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则集合A到集合B的映射共有n m 个；集合B到集合A的映射共有m n个，所以答案为23=9；32=8 【例4】若函数f(x)为奇函数，且当x﹥0时，f(x)=x-1,则当x﹤0时，有（） A、f(x) ﹥0 B、f(x) ﹤0 C、f(x)·f(-x)≤0 D、f(x)-f(-x) ﹥0 奇函数性质： 1、图象关于原点对称；? 2、满足f(-x) = - f(x)?； 3、关于原点对称的区间上单调性一致；? 4、如果奇函数在x=0上有定义,那么有f(0)=0；? 5、定义域关于原点对称（奇偶函数共有的） 浅谈高中数学分析和解决问题的能力 发表时间：2012-10-17T10:01:51.390Z 来源：《少年智力开发报》2012年第47期供稿作者：李国平 [导读] 由于高考数学科的命题原则是在考查基础知识的基础上，注重对数学思想和方法的考查，注重数学能力的考查，强调了综合性．江西省乐安县第二中学李国平 分析和解决问题的能力是指能阅读、理解对问题进行陈述的材料；能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中的数学问题，并能用数学语言正确地加以表述．它是逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力等基本数学能力的综合体现．由于高考数学科的命题原则是在考查基础知识的基础上，注重对数学思想和方法的考查，注重数学能力的考查，强调了综合性．这就对考生分析和解决问题的能力提出了更高的要求，也使试卷的题型更新，更具有开放性．纵观近几年的高考，学生在这一方面失分的普遍存在。笔者就分析和解决问题能力的组成及培养谈几点看法。 一、分析和解决问题能力的组成 1．审题能力 审题是对条件和问题进行全面认识，对与条件和问题有关的全部情况进行分析研究，它是如何分析和解决问题的前提．审题能力主要是指充分理解题意，把握住题目本质的能力；分析、发现隐含条件以及化简、转化已知和所求的能力．要快捷、准确在解决问题，掌握题目的数形特点、能对条件或所求进行转化和发现隐含条件是至关重要的． 从刚才的解答过程中可以看出，解决此题的关键在于挖掘所求和条件之间的联系，这需要一定的审题能力．由此可见，审题能力应是分析和解决问题能力的一个基本组成部分． 2．合理应用知识、思想、方法解决问题的能力 高中数学知识包括函数、不等式、数列、三角函数、复数、立体几何、解析几何等内容；数学思想包括数形结合、函数与方程思想、分类与讨论和等价转化等；数学方法包括待定系数法、换元法、数学归纳法、反证法、配方法等基本方法．只有理解和掌握数学基本知识、思想、方法，才能解决高中数学中的一些基本问题，而合理选择和应用知识、思想、方法可以使问题解决得更迅速、顺畅． 二、培养和提高分析和解决问题能力的策略 1．重视通性通法教学,引导学生概括、领悟常见的数学思想与方法 数学思想较之数学基础知识，有更高的层次和地位．它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中，它是一种数学意识，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决．数学方法是数学思想的具体体现，具有模式化与可操作性的特征，可以作为解题的具体手段．只有对数学思想与方法概括了，才能在分析和解决问题时得心应手；只有领悟了数学思想与方法，书本的、别人的知识技巧才会变成自已的能力． 每一种数学思想与方法都有它们适用的特定环境和依据的基本理论，如分类讨论思想可以分成：（1）由于概念本身需要分类的，象等比数列的求和公式中对公比的分类和直线方程中对斜率的分类等；（2）同解变形中需要分类的，如含参问题中对参数的讨论、解不等式组中解集的讨论等．又如数学方法的选择，二次函数问题常用配方法，含参问题常用待定系数法等．因此，在数学课堂教学中应重视通性通法，淡化特殊技巧，使学生认识一种“思想”或“方法”的个性，即认识一种数学思想或方法对于解决什么样的问题有效．从而培养和提高学生合理、正确地应用数学思想与方法分析和解决问题的能力． 2．加强应用题的教学，提高学生的模式识别能力 高考是注重能力的考试，特别是学生运用数学知识和方法分析问题和解决问题的能力，更是考查的重点，而高考中的应用题就着重考查这方面的能力，这从新课程版的《考试说明》与原来的《考试说明》中对能力的要求的区别可见一斑．（新课程版将“分析和解决问题的能力”改为“解决实际问题的能力”） 3．适当进行开放题和新型题的训练，拓宽学生的知识面 要分析和解决问题，必先理解题意，才能进一步运用数学思想和方法解决问题．近年来，随着新技术革命的飞速发展，要求数学教育培养出更高数学素质、具有更强的创造能力的人才，这一点体现在高考上就是一些新背景题、开放题的出现，更加注重了能力的考查．由 高中数学测试卷 一．选择题 1．已知随机变量X 服从正态分布N （2，2σ），8.0)4(=≤X P ，则=≤)0(X P （ ） A 、 0.4 B 、0.2 C 、0.6 D 、0.8 2. 一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，由此建立的身高与年龄的回归模型为 y=7.19x+73.93用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是（ ） A.身高一定是145.83cm; B.身高在145.83cm 以上; C.身高在145.83cm 以下; D.身高在145.83cm 左右. 3．已知随机变量ξ服从正态分布2 (0,)N σ，且(2)0.8P ξ<=，则(02)P ξ<<=（ ） A ．0.6 B ．0.4 C ．0.3 D ．0.2 4．已知：),,(~2 δμN X 且,5=X E ,4=X D 则≈≤<)73(x P （ ） A ．0．0456 B ．0．50 C ．0．6827 D ．0．9545 5．已知随机变量X 服从正态分布(5,4)N ，且()4P X k P X k ><-（）＝， 则k 的值为（ ） A.6 B.7 C.8 D.9 6．某产品的广告费用x 与销售额y 的不完整统计数据如下表： 若已知回归直线方程为69?-=x y ,则表中m 的值为 A ．40 B ．39 C ．38 D ．37 7．工人工资（元）依劳动生产率（千元）变化的回归方程为5080y x =+，下列判断中正确的是（ ） A ．劳动生产率为1000元时，工资为130元 B ．劳动生产率平均提高1000元时，工资平均提高80元 C ．劳动生产率平均提高1000元时，工资平均提高130元 D ．当工资为250元时，劳动生产率为2000元 8．以下四个命题中： [学习方法]谈谈怎样学好高中数学 和初中数学相比，高中数学的内容多，抽象性、理论性强，因为不少同学进入高中之后很不适应,特别是高一年级，进校后，代数里首先遇到的是理论性很强的函数，再加上立体几何，空间概念、空间想象能力又不可能一下子就建立起来，这就使一些初中数学学得还不错的同学不能很快地适应而感到困难，以下就怎样学好高中数学谈几点意见和建议。 一、首先要改变观念。 初中阶段，特别是初中三年级，通过大量的练习，可使你的成绩有明显的提高，这是因为初中数学知识相对比较浅显，更易于掌握，通过反复练习，提高了熟练程度，即可提高成绩，既使是这样，对有些问题理解得不够深刻甚至是不理解的。例如在初中问|a|=2时，a等于什么，在中考中错的人极少，然而进入高中后，老师问，如果|a|＝2,且a＜0，那么a等于什么，既使是重点学校的学生也会有一些同学毫不思索地回答：a=2。就是以说明了这个问题。 又如，前几年北京四中高一年级的一个同学在高一上学期期中考试以后，曾向老师提出“抗议”说：“你们平时的作业也不多，测验也很少，我不会学”，这也正说明了改变观念的重要性。 高中数学的理论性、抽象性强，就需要在对知识的理解上下功夫，要多思考，多研究。 二、提高听课的效率是关键。 学生学习期间，在课堂的时间占了一大部分。因此听课的效率如何，决定着学习的基本状况，提高听课效率应注意以下几个方面： 1、课前预习能提高听课的针对性。 预习中发现的难点，就是听课的重点；对预习中遇到的没有掌握好的有关的旧知识，可进行补缺，以减少听课过程中的困难；有助于提高思维能力，预习后把自己理解了的东西与老师的讲解进行比较、分析即可提高自己思维水平；预习还可以培养自己的自学能力。 2、听课过程中的科学。 首先应做好课前的物质准备和精神准备，以使得上课时不至于出现书、本等物丢三落四的现象；上课前也不应做过于激烈的体育运动或看小书、下棋、打牌、激烈争论等。以免上课后还喘嘘嘘，或不能平静下来。 其次就是听课要全神贯注。 全神贯注就是全身心地投入课堂学习，耳到、眼到、心到、口到、手到。 耳到：就是专心听讲，听老师如何讲课，如何分析，如何归纳总结，另外，还要听同学们的答问，看是否对自己有所启发。 眼到：就是在听讲的同时看课本和板书，看老师讲课的表情，手势和演示实验的动作，生动而深刻的接受老师所要表达的思想。 心到：就是用心思考，跟上老师的数学思路，分析老师是如何抓住重点，解决疑难的。 口到：就是在老师的指导下，主动回答问题或参加讨论。 手到：就是在听、看、想、说的基础上划出课文的重点，记下讲课的要点以及自己的感受或有创新思维的见解。 强力推荐人教版数学高中必修5习题 第二章 数列 1．{a n }是首项a 1＝1，公差为d ＝3的等差数列，如果a n ＝2 005，则序号n 等于( )． A ．667 B ．668 C ．669 D ．670 2．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝( )． A ．33 B ．72 C ．84 D ．189 3．如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，则( )． A ．a 1a 8＞a 4a 5 B ．a 1a 8＜a 4a 5 C ．a 1＋a 8＜a 4＋a 5 D ．a 1a 8＝a 4a 5 4．已知方程(x 2 －2x ＋m )(x 2 －2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为4 1 的等差数列，则 ｜m －n ｜等于( )． A ．1 B ． 4 3 C ． 2 1 D ． 8 3 5．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( ). A ．81 B ．120 C ．168 D ．192 6．若数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是( )． A ．4 005 B ．4 006 C ．4 007 D ．4 008 7．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列, 则a 2＝( )． A ．－4 B ．－6 C ．－8 D ． －10 8．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若35a a ＝9 5 ，则59S S ＝( )． A ．1 B ．－1 C ．2 D ． 2 1 9．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则2 1 2b a a 的值是( )． A ． 2 1 B ．－ 2 1 C ．－ 21或2 1 D ． 4 1 10．在等差数列{a n }中，a n ≠0，a n －1－2 n a ＋a n ＋1＝0(n ≥2)，若S 2n －1＝38，则n ＝( )． A ．38 B ．20 C ．10 D ．9 高中数学习题库（50道题另附答案） 1.求下列函数的值域： 解法2 令t＝sin x，则f(t)＝－t2＋t＋1，∵|sin x|≤1, ∴|t|≤1.问题转化为求关于t的二次函数f(t)在闭区间[－1,1]上的最值． 本例题(2)解法2通过换元，将求三角函数的最值问题转化为求二次函数在闭区间上的最值问题，从而达到解决问题的目的，这就是转换的思想．善于从不同角度去观察问题，沟通数学各学科之间的内在联系，是实现转换的关键，转换的目的是将数学问题由陌生化熟悉，由复杂化简单，一句话：由难化易．可见化归是转换的目的，而转换是实现化归段手段。 2. 设有一颗慧星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道 的焦点处，当此慧星离地球相距m 万千米和m 3 4 万千米时，经过地球和慧星的直线与椭圆的长轴夹角分别为32 π π和，求该慧星与地球 的最近距离。 解：建立如下图所示直角坐标系，设地球位于焦点)0,(c F -处，椭圆的 方程为122 22=+b y a x （图见教材P132页例1）。 当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为3π 时，由椭圆的几何 意义可知，彗星A 只能满足)3 (3/π π=∠=∠xFA xFA 或。作 m FA FB Ox AB 3 2 21B ==⊥，则于 故由椭圆第二定义可知得????? ??+-=-=)32(34)(2 2 m c c a a c m c c a a c m 两式相减得,2 3)4(21.2,3 2 31 c c c m c a m a c m =-==∴?=代入第一式得 .3 2.32m c c a m c ==-∴=∴ 答：彗星与地球的最近距离为m 3 2 万千米。 说明：（1）在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆，而恒星正是它的一个焦点，该椭圆的两个焦点，一个是近地点，另一个则是远地点，这两点到恒星的距离一个是c a -，另一个是.c a + （2）以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想。另外，数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题，善于挖掘隐含条件，有意识 高一数学第一次月考测试 (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题(本题共12小题，每小题5分，满分60分) 1．算法共有三种逻辑结构，即顺序结构、条件结构、循环结构，下列说法正确的是() A．一个算法只能含有一种逻辑结构 B．一个算法最多可以包含两种逻辑结构 C．一个算法必须含有上述三种逻辑结构 D．一个算法可能含有上述三种逻辑结构 2．下列赋值语句正确的是() A．M＝a＋1B．a＋1＝M C．M－1＝a D．M－a＝1 3．学了算法你的收获有两点，一方面了解我国古代数学家的杰出成就，另一方面，数学的机械化，能做许多我们用笔和纸不敢做的有很大计算量的问题，这主要归功于算法语句的() A．输出语句B．赋值语句 C．条件语句D．循环语句 4.如右图 其中输入甲中i＝1，乙中i＝1000，输出结果判断正确的是() A．程序不同，结果不同 B．程序不同，结果相同 C．程序相同，结果不同 D．程序相同，结果相同 5．程序框图(如图所示)能判断任意输入的数x的奇偶性，其中判断框内的条件是() A．m＝0? B．x＝0? C．x＝1? D．m＝1? 6．228和1995的最大公约数是() A．84 B．57 C．19 D．28 7．下列说法错误的是（） A．在统计里，把所需考察的对象的全体叫做总体 B．一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据 C．平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势 D．一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大 8．1001101(2)与下列哪个值相等() A．115(8)B．113(8) C．114(8)D．116(8) 9．下面程序输出的结果为() 如何学好高中数学的方法之我见 发表时间：2011-07-05T08:25:27.680Z 来源：《现代教育科研论坛》2011年第5期供稿作者：郝勇来 [导读] 良好的心理素养、近乎痴迷的兴趣是高效率学习数学的前提，也是在最后的考试中取胜的必要条件。 郝勇来（安新县第二中学河北安新 071600） 1.良好的心理素养、痴迷的学习兴趣——学好数学的前提 良好的心理素养、近乎痴迷的兴趣是高效率学习数学的前提，也是在最后的考试中取胜的必要条件。大多数同学都会觉得繁重的数学学习几乎让人喘不过气来，遇到一道难解的题，或者期末考试考砸了，更是郁闷至极；也许，此时的我们，都会有一种很不舒服的压抑感——这是由繁重的学习任务，紧张的竞争氛围，沉重的学习压力造成的；可是，我们能逃避吗？难道就这样被动的忍受吗？不，既然不能逃避，那唯一的办法，就是去正视他，化解它！心情不愉快的时候总会有的，怎么办呢？是继续硬着头皮学习吗？不是，而是要迅速让自己摆脱不愉快，达到最佳的学习状态。遇到这种情形，可以找一个自己信任的人，把自己的不快倾诉出来，寻求他人的理解，这样，就能 很快收回烦恼的心，专心学习，也才能保证学习的效率。怎么样？试试看就知道了！此外，由于学习太紧张，再加上学习中难免会有这样那样的不顺心的事情，我建议，我们每天都要找一个时间，最好是在傍晚的时候，走出教室、走出家门，在安静的地方走一走，放松一下，回顾一下一天的学习和生活，表面上看起来这样做耽误了一些时间，但实际上有了一个轻松愉快的心境，就会提高学习效率。 除此之外，对自己还要有十足的自信，自信的学习，自信的走入考场，就能自信的取得成功，如果做不到这一点，精神太紧张，特别是在考试的时候，就很难将自己的水平发挥出来，更不要说超水平发挥了。 那么，数学学习中、考场上，什么是心理的最高境界呢？一句话，“宠辱不惊”！也就是说，不管遇到什么样的情况，都能兴趣不减，心静如水，沉稳对付；如果感到题目比较难，不好对付，能做到既不紧张也不失望，依然我行我素，全力以赴；反之，如果感到题目比较容易，也能做到不喜形于色，以至于放松了警惕，漏洞百出。也许，你已经有了这方面的感触，比如有的时候感到题目非常容易，却并没有取得一个意料中的好成绩；而有的时候，感到题目非常难，结果也没有考的一塌糊涂！原因很简单，不管平时的习题或考试题目怎么样，都是大家来承受，决定你成绩如何的不是题目的难易，也不是你的绝对成绩，而是你在全体同学或考生中的位置，而是你是否发挥出了自己的水平。因而，不管遇到什么样的情形，都要不受其影响，按照预定的计划和步骤学习和考试，发挥出自己的最好水平。当然，真能做到这一点，也非常不易，但是，只要我们有意识的去锻炼，去努力，就一定会有收获！对我们学生而言，学习占据了生活的大部分内容，那么，我们就把学习、考试作为演练场，有意识的去提高自己数学的心理素养，培养自己的兴趣，从而成为保持最佳的心理状态，成为最终的胜利者。 2.持之以恒、百折不挠的毅力——学好数学的保障 学习是要吃苦的，是要能忍得住板凳上、台灯前的寂寞。学习就是学习，学习不是娱乐，没有哪一种学习方法能让你象看美国大片似的学到博士。这是自然规律。 3.事半功倍的方法——学好数学的手段 3.1做一个个人错题集。我给同学们一个公式：少错=多对。如果做错了题目，不管发现什么错误，不管是多么简单的错误，都收录进来；我相信，一旦你真的做起来，你就会吃惊的发现，你的错误并不是更正一次就可以改掉的，相反，有很多错误都是第二次、第三次犯了，甚至于更多次！看着自己的错体集，哎呀，太触目惊心了。这真是一个自我反省的好地方，更是一个提高成绩的好方法。复习越往后，在知识上取得突破的可能性就越小，而能纠正自己的错误，实在是一个不小的增长空间。如果你还没有这个习惯，那么，就去准备一个吧，收集自己的错误，分门别类，然后没事的时候就翻一翻，看一看，自警一番，肯定会有很大的收获。 3.2参考书有一本足矣。我想说，不要迷信参考书，参考书不要很多，有一本主要的就足够了。我发现了一个很奇怪的现象，现在市场上很多参考书卖得很好，都挂着某某名校名师的牌子，鼓吹的有多么多么好，结果，不少同学在眼花缭乱中拿了一本又一本。其实，我们在学习、复习中时间很有限，可供自己支配的时间更有限，在这些有限的时间，朝三暮四，一会儿看这一本参考书，一会儿看那一本参考书，还不如不看。把课本的知识结构知识要点烂熟于心，能够在很少的时间里把一科知识全部回顾一遍。能做到这点，要比看一些所谓“金钥匙银钥匙”的参考书要重要的多。总之，一句话，抓住最根本，最主要的，不要盲目的看参考书，特别是不要看很多参考书。 3.3遇到疑难该怎么办呢？首先是要尽可能的通过自己的努力去解决，如果不能解决，也要弄明白自己不会的原因是什么，问题出在那里。我经常说的一句话是：决不奢望不遇到难题，但是，也决不允许自己不明白难题难在那里。自己不能解决的时候，就可以采取讨论以及向老师请教等方式，最终解决那些难题；解决绝不是你原来不会做的通过别人的帮助会作了，而是，在会作之后，回过头来比较一下原来不会的原因是什么，一定要把这个原因找出来，否则，就失去了一次提高的机会，作题也失去了意义。 3.4怎么跳出题海？我想大家一定非常关心这个题目，因为物理难懂、化学难记、数学有做不完的题。但题目是数学的心脏，不做题是万万不行的。而摆在我们面前的题目太多了，好像永远也做不完。试试下面的方法，第一，在完成作业的基础上分析一下每到题目都是怎么考察的，考察了什么知识点，这个知识点的考察还有没有其他的方式。第二，继续做题时，完全不必要每道题目都详细的解出来了，只要看过之后，可以归入我们上面分析过的题型，知道解题思路就可以跳过去了！这样，对每个知识点，都能把握其考试方式，这才是真正的提高。如果意识不到这一点，做一道题只是做了一道题，“就题论题”，不能跳出题外，看到本质，遇到新的题目，稍有一些不同就没有办法了，还谈什么提高呢？又怎能摆脱让你烦恼的题海呢？ 总之，在学习中要有埋头苦干的精神，但决不能只是一味的埋头苦干，要能善于钻研，善于归纳，这样，才能取得事半功倍的效果。收稿日期：2011-05-09高中数学经典例题错题详解
浅谈高中数学分析和解决问题的能力
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