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9、课时无穷小与无穷大

9、课时无穷小与无穷大
9、课时无穷小与无穷大

教材分析

一、无穷小在微积分学中的地位

极限概念是微积分理论的重要基石,极限思想贯穿于整个微积分学;无穷小是极限的灵魂与内核。在高等数学课程中,无穷小主要起运算工具的作用,它不仅被用以计算极限,而且还被用以证明极限的性质和运算法则。因此,在微积分学中,整个极限理论就是无穷小的分析与应用的理论。

二、“无穷小的比较”在高等数学中的地位和作用

在高等数学中,“无穷小的比较”是研究极限理论和计算极限的重要工具。其中,以等价代换原理为核心的等价无穷小理论尤为重要。略去高阶无穷小不计的等价代换原理,不仅是处理微积分问题的重要思想,而且是简化极限运算的有效方法。

三、“无穷小的比较”与教材中前后知识的联系

在高等数学与微积分教材中,“无穷小的比较”一般是以函数的极限、极限运算法则、无穷小与无穷大的概念、以及无穷小的性质等为基础;同时,它又是微积分后继内容的理论基础和思想工具。如在极限计算中,配合使用等价代换方法与洛必达法则,可使运算简化;在判断级数收敛性时,将通项进行等价替换,也可使得运算大为简化。

学情分析

09级理科班作为毕业班面临着就业及“5+2”专转本升学考试的双重压力。而由于前面已经学习过了数列和函数的极限,大部分学生已经能够熟练掌握常见的极限的计算方法,对于常见以0或∞为极限的函数<数列)极限问题较为熟悉,这为本课讨论“无穷小与无穷大”打下了基础。

本课将在给出无穷小的概念,与学生一起探究无穷小的性质及其无穷小阶的比较的基础上,第二节课将无穷大放手给学生自由讨论、研究,最终与学生一起研究无穷小与无穷大的关系,从而突出重点,突破难点。

第一课时

复习引入

通过前面的学习,相信大家对极限的计算能够有一定程度的掌握。 首先我们简单的检查一下大家的学习成果: 练习:计算下列极限 <1);<2); <3);<4)

<5); <6)

1、快速口答上述极限的结果;

2、结合上述六个极限,你能发现那些规律? 通过对上述极限特点总结,给出无穷小的定义:

新课讲授

若函数当

<

)时的极限为0,则称函数

<或)时的无穷小量,简称无穷小。

例1 下列变量在给定的变化过程中,哪些是无穷小? <1)<

) <2)<)

<3)<

) <4)

<

<5)<) <6)<)

<7)

<) <8)

<) 注:无穷小与自变量的变化趋势有关,在叙述的时候应叙述清楚是何种变化

过程中的无穷小。

例2 结合极限的四则运算性质,思考:

<1)同一变化趋势下的任意两个无穷小的和、差、积有什么特点?能否扩展到无限多个?试举例说明。

小;

<2)任一无穷小与有界量的积呢?

<3)同一变化趋势下的任意两个无穷小的比呢?讨论无穷小、

的特点,观察它们的不同之处。

设与

都是

时的无穷小,且,记

<1)若,则称

当时,是比高阶的无穷小,记作

<

);

<2),则称当

时,与是同阶无穷小;

特别地,若,则称当时,与是等价无穷小,记作

<

例 3 当

时,下列函数与相比,哪些是高阶无穷小,哪些是同阶但不

等价无穷小,哪些是等价无穷小?

,,,,,

4<1)<07、10年真题)当时,无穷小量

是的< )

A 高阶无穷小

B 等价无穷小

C 低阶无穷小

D 同阶但不等价无穷小 <2)<08年真题)当

时,

是__________无穷小<高

阶、等价、同阶).

<3)<09年真题)2、当

时,

相比较是< )

A 高阶无穷小

B 等价无穷小

C 低阶无穷小

D 同阶但不等价无穷小 例5 设

时,

为等价无穷小,求的值。

课堂小结

通过本节课的学习,我们在掌握了无穷小的定义的基础之上,掌握了无穷小的性质,并学会了无穷小的比较。回顾课初,我们提到的函数极限,思考:

如果把这些函数取倒数,在相同的变化趋势下极限如何呢?

稍微休息一下,下节课请同学们自行结合无穷小的讨论方法探讨极限的另外

第二课时

新课讲

结合下列计算极限的特点,试着说一说无穷大的定义: <1); <2); <3); <4)

<5); <6

任给,当变化一定以后,总有

,则称

为无穷大。

记作:

试着举几个无穷大量的例子,同位之间相互验证一下。

讨论:谈一谈你对无穷小与无穷大的关系的认识。

<1)与; <2

);

<3)与; <4)与;

<5)与; <6)与

思考:<1)考虑常函数;

<2)考虑函数。

在的同一个变化过程中,若为无穷大,则为无穷小;

若为无穷小,且<恒不为),则为无穷大。

注:正因为无穷小与无穷大存在了这种特殊关系,因此对无穷大的研究往往可归结为对无穷小的讨论。

课堂小结

通过本次课的学习,相信大家对无穷小与无穷大有了更为深刻的认识,那么在我们高等数学课程中,无穷小主要起运算工具的作用,它不仅被用以计算极限,而且还通常被用以证明极限的性质和运算法则。尤其是对于无穷小的比较,在历年的专转本考试中都有所涉及,希望同学们能够予以足够的重视。

作业布置

课堂作业:完成教材48页习题1.4 第1、2题。

课外作业:阅读课外资料,找一找无穷小在数学发展史上的重要地位和作用。

板书设计

1.5无穷小与无穷大

一、无穷小的定义例题与练习

二、无穷小的性质略

三、无穷小的比较

四、

无穷大的定义

五、无穷小与无穷大的关系

阅读材料

对无穷小的模糊认识与危机的产生

其实在历史上众多的数学家对无穷小也有过模糊的描述。这些描述与我们对无穷小最初的认识有些相似。古希腊的德谟克利特将“原子论”应用于数学,认为线、面和立体等分别由有限多个原子组成,计算立体的体积就等于将构成该立体的有限多个原子的体积加起来,用此方法他第一个提出了圆锥体积是等底等高圆柱体积的三分之一。可以说这是无穷小和积分思想的先声。17世纪的意大利数学家卡瓦利列在《不可分量几何》中将面和立体看成不可分量“流动”所生成,在他看来不可分量就是无穷小。

古希腊的一篇极重要的文献《阿基M德方法》中阿基M德运用穷竭法来解决二次曲线曲面的一些问题。阿基M德的穷竭法蕴涵了极限的思想,但他极力避开无穷小这一概念,以保证推理的严密性。因为他认为无穷小概念存在着说不清的矛盾。最具代表性的就是芝诺悖论。古希腊哲学家芝诺提出了阿基里斯追乌龟说来否定时空的无限可分,又提出了飞矢不动说来否定时空的有限可分。若从此时算起,无穷小是否存在困扰了数学家们2000多年。

17世纪中叶,牛顿和莱布尼茨对微积分的创立做出了决定性的贡献。但是他们都没能用一个严密的方法来定义无穷小,存在不少自己也说不清道不明的论述。牛顿在《求积法》中说:“让增量迅速消失”;莱布尼茨说“一个永远疾驰和变化的量直到消失为零”;“愿要多小就有多小的量”;“无穷小不是简单的零,而是相对的零,就是说它是消失的量,但仍保持着它那正在消失的特征。”但他又说“我不太相信度量中真正有无穷小”。我们可以看出这些描述是模糊的动态的,仅凭借直觉和经验来理解问题。但是这样模糊描述而没有精确的数学定义会使许多微积分问题无法进一步研究,甚至出现许多错误,例如莱布尼茨去讨论级数。

当时这些对无穷小的描述遭到了大量的怀疑批评甚至是指责和攻击。18世纪的英国大主教贝克莱讥讽牛顿的无穷小量是“逝去的鬼魂”<龚升,林立军,简明微积分发展史[M],长沙:湖南教育出版社,2005)。

无穷小存在吗,是什么,为什么会出现很多的矛盾或悖论?作为微积分的基础,对无穷小的理解便引发了激烈的争论,这就导致了数学史称之为的第二次数学危机。

其实从古希腊的安提丰、阿基M德等的穷竭法到17世纪意大利的卡瓦列里的不可分几何,几何方法一直是微积分研究的主要方法,甚至认为微积分与几何不可分割,只能是几何的一部分。17世纪费马等人运用算术解读方法来研究微积分,却受到广泛强烈地批评,例如沃利斯的《无限算术》被指为“卑劣的书”、“符号的疮疤”

到了18世纪瑞士数学家欧拉将以函数形式来研究微积分,完全走出了几何学的禁锢,不需要把微积分问题都归为图形来研究。在19世纪柯西和魏尔斯特

拉斯最终用算术运算来定义极限,极大促进了微积分的发展。经过达朗贝尔、波尔查诺、柯西、魏尔斯特拉斯等数学家200多年的努力,直到19世纪ε-δ语言才成为严格精确定义极限和无穷小的方法。

无穷大量与无穷小量极限的运算法则

第五讲 Ⅰ 授课题目: §2.4无穷大量与无穷小量;§2.5极限的运算法则。 Ⅱ 教学目的与要求: 1、理解无穷大与无穷小的概念,弄清无穷大与无穷小的关系; 2、掌握极限的运算法则。 Ⅲ 教学重点与难点: 1、无穷大与无穷小的概念、相互关系; 2、用极限的运算法则求极限。 Ⅳ 讲授内容: §2.4无穷大量与无穷小量 一、无穷大的概念: 引例:讨论函数 1 1 )(-==x x f y ,当 1→x 时的变化趋势。 当 1→x 时, 1 1 -x 越来越大(任意大),即:+∈?R E ,要 E x >-11?E x 1 1<-, 也即:+∈?R E ,01>?E ,当 E x 1 1<-时,有: E x >-11。 定义2.9:+∈?R E ,变量y 在其变化过程中,总有一时刻,在那个时刻以后,E y >成立,则称变量y 是无穷大量,或称变量y 趋于无穷大,记:∞=y lim 。 如:∞=-→11 lim 1 x x ,-∞=+→x x lg lim 0,+∞=-→ tgx x 2 lim π。 注 1. 若:∞=y lim ,则习惯地称此时)(x f y =的极限为无穷(大); 2.无穷大不能与很大的数混淆; 3.无穷大与无界变量的区别; 例如:x x f y sin 1 )(= = 当)2,1,0(,ΛΛ±±==k k x π时,∞→)(x f ,无界,但非无穷大,πk x ≠Θ时,)(x f 为有限数。 例1 函数 ?),(cos 内是否有界在+∞-∞=x x y 又当 +∞→x 时,此函数是否为无穷大?为什么? 解 用反证法

若:当+∞→x 时,x x y cos =非无穷大, )1(,cos ,,0,0M x x X x X M >>>?>?有时当则,取2 2π π+ =n x n ,当n 充分大时 必有X x n >,而 0cos =n n x x 与(1)式矛盾。 ∴ +∞→x 时,x x y cos =,非无穷大。 4.无穷大运算的结论: (1)有界变量与无穷大量之和是无穷大量; (2)两个无穷大量之积是无穷大量; (3)有限个无穷大量之积是无穷大量。 二、无穷小量: 1.概念: 定义2.10 以零为极限的变量称为无穷小量。 例如:021lim =∞→n n ,则称 ∞→n 时,变量 n n y 21 =是无穷小量。 注 无穷小量非很小的数,但零是可作为无穷小量的唯一的数。 2.两个重要结论: 结论1 定理2.9 A y =lim ,?α+=A y ,0lim =α。 例如: ?56lim =+∞→x x x ,Θx x x 5656+=+,而:05lim =∞→x x ,∴65 6lim =+∞→x x x 。 结论2 定理2.10 若:0lim =α,且:0,>≤M M y ,?0lim =y α 推论 若:C 为常数,0lim =α?0lim =αC 。 例如:?1 sin lim 0=→x x x 0lim 0=→x x Θ,11sin ≤x ,∴01 sin lim 0=→x x x 。 三、无穷大量与无穷小量的关系: 定理2.11 若:∞=y lim ,? 01lim =y ;若:)0(,0lim ≠=αα?∞=α 1 lim 。 例如:∞=+∞ →x x e lim ,? 01 lim =+∞→x x e 。 注 无穷大、无穷小与极限过程有关。 四、无穷小的阶(无穷小的比较): 1.概念: 定义2.11 设βα,是关于同一过程的无穷小,α β lim 也是关于同一过程的极限, 若:0lim =α β ,则称β是比α较高阶的无穷小,记:)(αβο=;

(完整版)无穷小量与无穷大量

第周第学时教案授课教师:贾其鑫

第周第学时教案授课教师:贾其鑫

第 周第 学时教案 授课教师:贾其鑫 1.3.2 无穷大量 定义:1.13 如果在x 的某一变化过程中,1() y f x =是无穷小量,则在该变化过程中,()f x 为无穷大量,简称无穷大,记作:lim ()f x =∞ 如果在x 的某一变化过程中,对应的函数值的绝对值|f (x )|无限增大(函数), 就称函数 f (x )为当x →x 0(或x →∞)时的无穷大. 记为 ∞=→)(lim 0x f x x (或∞=∞ →)(lim x f x ). 应注意的问题: 当x →x 0(或x →∞)时为无穷大的函数f (x ), 按函 数极限定义来说, 极限是不存在的. 但为了便于叙述函数的这一性态, 我们也说“函数的极限是无穷大”, 并记作 ∞=→)(lim 0x f x x (或∞=∞ →)(lim x f x ). 讨论: 无穷大的精确定义如何叙述?很大很大的数是否是无穷大? 提示: ∞=→)(lim 0x f x x ??M >0, ?δ>0, 当0<|x -0x |<δ时, 有 |f (x )|>M . 正无穷大与负无穷大: +∞=∞→→)(lim )( 0x f x x x , -∞=∞→→)(lim ) ( 0x f x x x . 例2 证明∞=-→1 1lim 1x x . 证 因为?M >0, ?M 1= δ, 当0<|x -1|<δ 时, 有 M x >-|11| , 所以∞=-→1 1lim 1x x . 提示: 要使M x x >-=-| 1|1|11| , 只要M x 1|1|<-.

求极限的方法及例题总结

1.定义: 说明:(1)一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以观察得到)都可以用上面的极限严格定义证明,例如:;5 )13(lim 2 =-→x x (2)在后面求极限时,(1)中提到的简单极限作为已知结果直接运用,而不需再用极限严格定义证明。 利用导数的定义求极限 这种方法要求熟练的掌握导数的定义。 2.极限运算法则 定理1 已知)(lim x f ,)(lim x g 都存在,极限值分别为A ,B ,则下面极限都存在,且有(1)B A x g x f ±=±)]()(lim[ (2)B A x g x f ?=?)()(lim (3) )0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明:极限号下面的极限过程是一致的;同时注意法则成立的条件,当条件不满足时,不能用。

. 利用极限的四则运算法求极限 这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下,要使用这些法则,往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。 8.用初等方法变形后,再利用极限运算法则求极限 例1 1213lim 1 --+→x x x 解:原式=4 3)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。 注:本题也可以用洛比达法则。 例2 ) 12(lim --+∞ →n n n n 解:原式= 2 3 11213lim 1 2)]1()2[(lim = -++ = -++--+∞ →∞ →n n n n n n n n n n 分子分母同除以 。 例3 n n n n n 323)1(lim ++-∞→

无穷小量与无穷大量之间关系的应用

无穷小量与无穷大量之间关系的应用 【摘要】结合教学中的体会,从无穷小量与无穷大量之间的相互关系入手,进一步认识无穷小量与无穷大量.学会利用二者之间的关系,解决一些实际问题,达到提高教学质量的目的. 【关键词】无穷大量;无穷小量 【基金项目】中国矿业大学2012年青年教师校级教学改革资助项目(2001245). 一、前言 不论是在《高等数学》还是在《数学分析》中,都把无穷小量与无穷大量当作重点内容介绍,这是因为此部分内容为后续课程的学习提供了基础,例如用等价无穷小替换求极限、判定级数的收敛性等.从教材的编排上看,《高等数学》和《数学分析》中都是先讲无穷小量,后讲无穷大量.但是对无穷的概念的认识过程看,人类是先认识无穷大,后认识无穷小.所以在文献[1]中,作者按照人们认识无穷的进程,提出了自己的观点,认为先认识清楚无穷大,再认识无穷小.教材中这样安排,主要都是考虑教学的目的. 相对于无穷小与无穷大的比较,一般的教材中都讲无穷小的比较,在求极限时可以用等价无穷小代替等.在文献[2]

中,作者给出了无穷大的比较.在求极限的过程中,同样可以用等价无穷大相互之间替换求函数的极限.在文献[3]中,作者阐述了无穷小的哲学问题,指出了人们对无穷小认识的一些错误,提出了正确的观点,证明了认识无穷小的过程是符合实践――认识――再实践――再认识的自然辩证法. 从教科书和一些文献中,我们能很清楚地认识无穷大量和无穷小量及其性质,也能解决一些实际问题.但我们不能把二者割裂开来独立地去认识.现有的教材中只轻描淡写地说无穷大量和无穷小量符合倒数关系,先讲无穷小量,无穷大量的所有结论利用二者之间的倒数关系可以得到.这就使得学生产生一种误解,认为认识了无穷小量,就等于认识了无穷大量,而不会利用二者之间的关系灵活解决实际问题.本论文正是从解决上述问题出发,利用无穷大量和无穷小量之间的关系进一步认识二者,从而能更好地解决在实际应用中的一些问题.目的是改正教学过程中出现的错误和打消学生的疑惑,提高教学质量,这也符合人们认识自然的实践、认识、再实践、再认识的自然辩证法.

无穷小与无穷大教学设计

陕西国际商贸学院 教学设计 课程名称:经济应用数学.A 授课教师:_____________ 授课班级:_____________ 基础课部大学数学教研室 2017至2018学年第 1 学期

课题:无穷小与无穷大 课程:经济应用数学A教学对象:课时:2课时 任课教师:教材:《高等数学(经管类)》吴玉梅,古佳,康敏,科学出版社 一、教材分析 选用的是《高等数学(经管类)》,教材,教材适用于经济,金融和管理类的学生。本节课的主要介绍的是无穷小与无穷大,从无穷小与无穷大的定义到运算性质,让学生对无穷小与无穷大有一个整体的认识,之后对无穷小的比较做进一步学习。 1、以教材作为出发点,依据《课程标准》,引导学生体会、参与科学探究过程。首先复习数列的极限函数的极限,通过对极限概念的进一步分析和总结,让学生自主、独立的发现问题,对可能的答案做出假设与猜想,并通过多次的检验,得出正确的结论。学生通过收集和处理信息、表达与交流等活动,获得知识、技能、方法、态度特别是创新精神和实践能力等方面的发展。2、用标准的数学语言得出结论,使学生感受科学的严谨,启迪学习态度和方法,不仅要保证数学知识的完整性,也要提升学生运用数学的思想和应用数学知识解决实际问题的方法。 二、教学目标与内容 1.教学目标 知识与技能 通过对本节的学习,理解无穷小与无穷大的概念及它们的关系,掌握无穷小的运算性质,熟记常用的等价无穷小量,会用等价无穷小替换定理求极限。 过程与方法 通过对本节的学习,使同学理解无限与有限的相对性,学会在无限的范围考虑问题,在此过程中,要培养学生将实际问题转化为数学问题的能力,培养学生提出、分析、理解问题的能力,进而发展整合所学知识解决实际问题的能力。 情感态度与价值观 通过对本节的学习,使同学理解无限与有限的相对性,学会在无限的范围考虑问题让学生体验数学在实际生活中的运用,激发学生自主学习的兴趣,也培养了学生的创新意识和探索精神。 2.教学重难点 教学重点: 1.无穷小与无穷大的定义 2.无穷小的运算性质 3.无穷小的比较

无穷大与无穷小,极限的四则运算

第 4 次课 2 学时

§1.5 无穷小与无穷大 一、无穷小 若)(x f 当0x x →(或x →∞)时的极限为零,就称)(x f 为当0x x →(或x →∞)时的无穷小,即有 定义1:对,0>?ε若)0(0>>?X δ,使得当00()x x x X δ<-<>时,有ε<)(x f 成立,就称)(x f 为当0()x x x →→∞时的无穷小,记为0 lim ()0(lim ()0)x x x f x f x →→∞ ==,。 注⑴:除上两种之外,还有0,0,,00+→-→+∞→-∞→x x x x x x 的情形。 ⑵:无穷小不是一个数,而是一个特殊的函数(极限为0),不要将其与一个绝对值非常小的数混淆,因为任一常数不可能任意地小,除非是0,即0是唯一可作为无穷小的常数。 【例1】 因为0422)42(lim 2 =-?=-→x x ,所以42-x 当2→x 时为无穷小; 同理:0sin lim =∞→x x x ,所以 x x sin 当∞→x 时为无穷小, 定理1:当自变量在同一变化过程0x x →(或∞→x )中, (i )具有极限的函数等于其极限值与一个无穷小之和,即:A 为)(x f 的极限()()0(),0,()f x A x x x x x αα?=+→→→∞其中或。 (ii )若一函数可表示为一常数与无穷小之和,那么该常数就是其极限。 ()()()()()0 0000lim (),0,0,(). (),)().().(),()0())lim (). . x x x x f x A x x f x A f x A x x x f x A f x A x f x A x x x x f x A x x x f x A εδδεααεαααααεδ→→=?>?>-<-<=-→=-<→=+=+→→-=<-<=0证明:若则对使得当 0<时有令x 显然当时,(故当x x 时,x 为无穷小,且 反之,设 , 则可使(在0<时成立,故二、无穷大 若当0x x →或∞→x 时∞→)(x f ,就称)(x f 为当0x x →或∞→x 时的无穷大。 定义2:若对)0(0,0>>?>?X M δ,使得当)(00X x x x ><-<δ时,有 M x f >)(,就 称 ) (x f 当 ) (0∞→→x x x 时的无穷大,记 作:))(lim ()(lim 0 ∞=∞=∞ →→x f x f x x x 。 注⑴:同理还有+∞→-∞→)(,)(x f x f 时的定义。 ⑵:无穷大也不是一个数,不要将其与非常大的数混淆。

无穷小与无穷大培训资料

无穷小与无穷大

仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除 谢谢2 1.4 无穷小与无穷大 1.4.1 无穷小 1.无穷小量的定义 定义:如果x → x 0 (或x → ∞ )时, 函数f (x ) 的极限为零 ,那么把f (x ) 叫做当x → x 0(或x → ∞ )时的无穷小量,简称无穷小。 例如:因为0)1(lim 1 =-→x x ,所以函数x-1是x →1时的无穷小。 因为01lim =∞ →x x ,所以函数x 1是当x →1时的无穷小。 因为011lim =--∞ →x x ,所以函数x -11是当x →-∞时的无穷小。 以零为极限的数列{x n },称为当n →∞时的无穷小, n 1,n 3 2 都是n →∞时的无穷小。 注:⑴不能笼统的说某函数是无穷小,说一个函数f(x)是无穷小,必须指明自变量的变化趋向。 ⑵不要把绝对值很小的常数说成是无穷小,因为这个常数在x →x 0(或x →∞)时,极限仍为常数本身,并不是零。 ⑶常数中只有零可以看作是无穷小,因为零在x →x 0(或x →∞)时,极限是零。 2.无穷小的性质

仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除 谢谢3 在自变量的同一变化过程中,无穷小有以下性质: ⑴有限个无穷小的代数和仍是无穷小(无穷多个无穷小之和不一定是无穷小)。 ⑵有限个无穷小的乘积仍是无穷小。 ⑶有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。(常数与无穷小的乘积仍是无穷小)。 ⑷无穷小除以具有非零极限的函数所得的商仍为无穷小。 例1.求x x x sin lim ∞→ 解:∵1sin ≤x ,是有界函数, 而01lim =∞→x x ∵有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。 ∴x x x sin lim ∞→=0 3.函数极限与无穷小的关系 定理:具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和;反之,如果函数可表示为常数与无穷小之和,那么该常数就是该函数的极限。 4.无穷小的比较 例:当x →0时,x, 3x , x 2, sinx, x x 1sin 2都是无穷小。

求极限的方法和例题总结

8.用初等方法变形后,再利用极限运算法则求极限 例1 1213lim 1 --+→x x x 解:原式=4 3)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。 注:本题也可以用洛比达法则。 例2 ) 12(lim --+∞ →n n n n 解:原式= 2 3 11213lim 1 2)]1()2[(lim = -++ = -++--+∞ →∞ →n n n n n n n n n n 分子分母同除以 。 例3 n n n n n 323)1(lim ++-∞→解:原式 11)32(1)31 (lim 3 =++-= ∞→n n n n 上下同除以 。

3.两个重要极限 (1) 1 sin lim 0=→x x x (2) e x x x =+→1 )1(lim ; e x x x =+∞→)11(lim 说明:不仅要能够运用这两个重要极限本身,还应能够熟练运用它们的变形形式, 例如:133sin lim 0=→x x x ,e x x x =--→210 ) 21(lim ,e x x x =+∞ →3 )31(lim ;等等。 利用两个重要极限求极限 例5 2 03cos 1lim x x x -→解:原式= 61 )2(122sin 2lim 32sin 2lim 2 2 02 2 0=?=→→x x x x x x 。 注:本题也可以用洛比达法则。 例 6 x x x 2 ) sin 31(lim -→=6 sin 6sin 31 sin 6sin 310 ] ) sin 31[(lim ) sin 31(lim ---→-? -→=-=-e x x x x x x x x x x 例7 n n n n )12(lim +-∞→= 31 331 1 331])131[(lim )131(lim -+--+∞→+-?-+∞→=+-+=+-+ e n n n n n n n n n n 。 4.等价无穷小 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小(即极限是0)。 定理3 当0→x 时,下列函数都是无穷小(即极限是0),且相互等价,即有: x ~x sin ~x tan ~x arcsin ~x arctan ~)1ln(x +~1-x e 。 说明:当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时(0)(→x g ),仍有上面的等价 关系成立,例如:当0→x 时, 13-x e ~ x 3 ;)1ln(2 x - ~ 2x -。 定理4 如果函数)(),(),(),(11x g x f x g x f 都是0 x x →时的无穷小,且)(x f ~ )(1x f ,)(x g ~)(1x g ,则当 ) () (lim 110 x g x f x x →存在时, )() (lim x g x f x x →也存在且等于 ) (x f ) ()(lim 110 x g x f x x →,即 )() (lim x g x f x x →=)()(lim 11 0x g x f x x →。

大一高数学习知识重点与例题讲解

大一高数 函数与极限 第一节 函数 ○函数基础(高中函数部分相关知识)(★★★) ○邻域(去心邻域)(★) (){},|U a x x a δδ=-< (){},|0U a x x a δδ=<-, ∴()N g ε=???? 2.即对0>?ε,()N g ε?=????,当N n >时,始终有不等式n x a ε-<成立, ∴{}a x n x =∞ →lim 第三节 函数的极限 ○0x x →时函数极限的证明(★) 【题型示例】已知函数()x f ,证明()A x f x x =→0 lim 【证明示例】δε-语言 1.由()f x A ε-<化简得()00x x g ε<-<, ∴()εδg = 2.即对0>?ε,()εδg =?,当00x x δ<-<时,始终有不等式()f x A ε-<成立, ∴()A x f x x =→0 lim ○∞→x 时函数极限的证明(★) 【题型示例】已知函数()x f ,证明()A x f x =∞ →lim 【证明示例】X -ε语言 1.由()f x A ε-<化简得()x g ε>, ∴()εg X = 2.即对0>?ε,()εg X =?,当X x >时,始终有不等式()f x A ε-<成立, ∴()A x f x =∞ →lim 第四节 无穷小与无穷大 ○无穷小与无穷大的本质(★) 函数()x f 无穷小?()0lim =x f 函数()x f 无穷大?()∞=x f lim ○无穷小与无穷大的相关定理与推论(★★) (定理三)假设()x f 为有界函数,()x g 为无穷小,则()()lim 0f x g x ?=???? (定理四)在自变量的某个变化过程中,若()x f 为无穷大,则()1 f x -为无穷小;反之,若()x f 为无穷小,且

无穷小与无穷大

1.4 无穷小与无穷大 1.4.1 无穷小 1.无穷小量的定义 定义:如果x → x 0 (或x → ∞ )时, 函数f (x ) 的极限为零 ,那么把f (x ) 叫做当x → x 0(或x → ∞ )时的无穷小量,简称无穷小。 例如:因为 0)1(lim 1 =-→x x ,所以函数x-1是x →1时的无穷小。 因为 01 lim =∞ →x x ,所以函数x 1是当x →1时的无穷小。 因为 011lim =--∞ →x x ,所以函数x -11 是当x →-∞时的无穷小。 以零为极限的数列{x n },称为当n →∞时的无穷小, n 1,n 3 2 都是n →∞时的无穷小。 注:⑴不能笼统的说某函数是无穷小,说一个函数f(x)是无穷小,必须指明自变量的变化趋向。 ⑵不要把绝对值很小的常数说成是无穷小,因为这个常数在x →x 0(或x →∞)时,极限仍为常数本身,并不是零。 ⑶常数中只有零可以看作是无穷小,因为零在x →x 0(或x →∞)时,极限是零。 2.无穷小的性质 在自变量的同一变化过程中,无穷小有以下性质: ⑴有限个无穷小的代数和仍是无穷小(无穷多个无穷小之和不一定是无穷小)。 ⑵有限个无穷小的乘积仍是无穷小。 ⑶有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。(常数与无穷小的乘积仍是无穷小)。 ⑷无穷小除以具有非零极限的函数所得的商仍为无穷小。 例1.求 x x x sin lim ∞ → 解:∵1sin ≤x ,是有界函数, 而 01 lim =∞ →x x ∵有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。

∴ x x x sin lim ∞ →=0 3.函数极限与无穷小的关系 定理:具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和;反之,如果函数可表示为常数与无穷小之和,那么该常数就是该函数的极限。 4.无穷小的比较 例:当x →0时,x, 3x , x 2, sinx, x x 1 sin 2 都是无穷小。 观察各极限: 032 lim =→x x x x 2比3x 要快得多 1sin lim =→x x x sinx 与x 大致相同 ∞=?=→→x x x x x x x sin 1sin lim lim 020 sinx 比x 2慢的多 x x x x x x 1sin 1 sin lim lim 220 →→= 不存在 不可比 极限不同,反映了无穷小趋于0的“速度”是多样的。 得到以下结论:设α和β都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小 ⑴如果αβlim =0,则称β是比α高阶的无穷小 ⑵如果αβ lim =∞,则称β是比α低阶的无穷小 ⑶如果αβ lim =k (k ≠0),则称β与α是同阶的无穷小 ⑷如果α β lim =1,则称β与α是等价无穷小,记为α~β。 例2.比较当x →0时,无穷小 x x ---111 与x 2阶数的高低。

无穷大量与无穷小量&极限的运算法则

第五讲 Ⅰ 授课题目: §2.4无穷大量与无穷小量;§2.5极限的运算法则。 Ⅱ 教学目的与要求: 1、理解无穷大与无穷小的概念,弄清无穷大与无穷小的关系; 2、掌握极限的运算法则。 Ⅲ 教学重点与难点: 1、无穷大与无穷小的概念、相互关系; 2、用极限的运算法则求极限。 Ⅳ 讲授内容: §2.4无穷大量与无穷小量 一、无穷大的概念: 引例:讨论函数 1 1 )(-==x x f y ,当 1→x 时的变化趋势。 当 1→x 时, 1 1 -x 越来越大(任意大),即:+∈?R E ,要 E x >-11?E x 11<-, 也即:+∈?R E ,01>?E ,当 E x 11<-时,有:E x >-1 1 。 定义2.9:+∈?R E ,变量y 在其变化过程中,总有一时刻,在那个时刻以后,E y >成立,则称变量y 是无穷大量,或称变量y 趋于无穷大,记:∞=y lim 。 如:∞=-→11 lim 1 x x ,-∞=+ →x x lg lim 0,+∞=-→ tgx x 2 lim π。 注 1. 若:∞=y lim ,则习惯地称此时)(x f y =的极限为无穷(大); 2.无穷大不能与很大的数混淆; 3.无穷大与无界变量的区别; 例如:x x f y sin 1 )(= = 当)2,1,0(, ±±==k k x π时,∞→)(x f ,无界,但非无穷大,πk x ≠ 时,)(x f 为有限数。 例1 函数 ?),(cos 内是否有界在+∞-∞=x x y 又当 +∞→x 时,此函数是否为无穷大?为什么? 解 用反证法 若:当+∞→x 时,x x y cos =非无穷大, )1(,cos ,,0,0M x x X x X M >>>?>?有时当则,取2 2π π+ =n x n ,当n 充分大时

数学分析答案无穷小量与无穷大量的阶)

习 题 3.3 无穷小量与无穷大量的阶 1. 确定a 与α,使下列各无穷小量或无穷大量等价于(~) a x α: (1) u (x ) = x x x 543 32-+, (x →0,x →∞); (2) u (x ) = x x x x 524 3 23+- (x →0,x →∞); (3) u (x ) = x 3 + x 2 3 (x →0+,x →+∞); (4) u (x ) = x x x ++ (x →0+,x →+∞); (5) u (x ) = 13+x - 123 +x (x →0,x →+∞); (6) u (x ) = x 2 1+ - x (x →+∞); (7) u (x ) = - 3 2 x (x →0+); (8) u (x ) = 1+x x - e 2x (x →0+); (9) u (x ) = ln cos x - arc tan x 2 (x →0); (10) u (x ) = x tan 1+ - 1-sin x (x →0)。 解(1))(x u ~)0(23→x x ;)(x u ~)(5∞→x x 。 (2))(x u ~)0(21→--x x ;)(x u ~ ) (3 1∞→x x 。 (3))(x u ~)0(3 2 +→x x ;)(x u ~)(2 3 +∞→x x 。 (4))(x u ~)0(81 +→x x ;) (x u ~)(21 +∞→x x 。 (5))(x u ~)0(65→x x ;)(x u ~ )(321 +∞→x x 。 (6))(x u ~ )(2 11 +∞→-x x 。 (7))(x u ~)0(21 +→x x 。 (8))(x u ~)0(2+→-x x 。

关于高等数学等价无穷小替换极限的计算

关于高等数学等价无穷小替换极限的计算 Company number:【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

讲义 无穷小 极限的简单计算 【教学目的】 1、理解无穷小与无穷大的概念; 2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限; 3、不同类型的未定式的不同解法。 【教学内容】 1、无穷小与无穷大; 2、无穷小的比较; 3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换; 4、求极限的方法。 【重点难点】 重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限。 难点是未定式的极限的求法。 【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质(30分钟),在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法(20分钟)。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧(25分钟),课堂练习(15分钟)。 【授课内容】 一、无穷小与无穷大 1.定义 前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x (+∞→x 、+∞→x )函数()x f 的极 限、0x x →(+→0x x 、- →0x x )函数()f x 的极限这七种趋近方式。下面我们用

→x *表示上述七种的某一种趋近方式,即 *{ } - + →→→-∞→+∞→∞→∞→∈00 x x x x x x x x x n 定义:当在给定的→x *下,()f x 以零为极限,则称()f x 是→x *下的无穷小,即()0lim =→x f x * 。 例如, ,0sin lim 0 =→x x .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆;零是可以作为无穷小的唯一的数,任何非零常量都不是无穷小。 定义: 当在给定的→x *下,()x f 无限增大,则称()x f 是→x *下的无穷大,即 ()∞=→x f x * lim 。显然,∞→n 时, 、 、、32n n n 都是无穷大量, 【注意】不能把无穷大与很大的数混淆;无穷大是极限不存在的情形之一。无穷小与无穷大是相对的,在不同的极限形式下,同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大,如 0lim =-∞ →x x e , +∞=+∞ →x x e lim , 所以x e 当-∞→x 时为无穷小,当+∞→x 时为无穷大。 2.无穷小与无穷大的关系:在自变量的同一变化过程中,如果()x f 为无穷大, 则 ()x f 1为无穷小;反之,如果()x f 为无穷小,且()0≠x f ,则() x f 1 为无穷大。 小结:无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势,因此任何常量都不是无穷大量,任何非零常量都不是无穷小,谈及无穷大量、无穷小量之时,首先应给出自变量的变化趋势。 3.无穷小与函数极限的关系: 定理1 0 lim () () (),x x x f x A f x A x α其中)(x α是自变量在同一变化过程0 x x →(或∞→x )中的无穷小. 证:(必要性)设0 lim () ,x x f x A 令()(),x f x A α则有0 lim () 0,x x x α (充分性)设() (),f x A x α其中()x α是当0x x 时的无穷小,则 【意义】 (1)将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);

无穷小与极限

重要极限与无穷小 一、内容提要 1、两个重要极限公式 (Ⅰ) 0sin lim 1x x x →=; (Ⅱ) 1lim(1x x e x →∞+=或 1 0lim(1)t t t e →+= 2、拓展定理: 设0 lim ()0,lim ()x x x x u x a v x b →→=>=,则0 lim () () lim () [lim ()] x x v x v x b x x x x u x a u x →→→==. 3、整体效应技巧:0sin lim 1→=,,, ; 1lim(1e →∞+=, ,,或1 0lim(1)e →+=+++ 4、常用公式 (1) 0tan lim 1x x x →= ; (2) 0ln(1)lim 1x x x →+=; (3)01 lim 1x x e x →?=; (4)01lim ln (0)x x a a a x →?=>; (5)201cos 1 lim 2x x x →?= (6) 0arcsin lim 1x x x →=; (7)0arctan lim 1x x x →= 5、无穷小量、无穷大量的定义 (1) 若,0)(lim ) (0 =∞→→x f x x x 则称)(x f 为当)(0∞→→x x x 时的无穷小量(简称为无 穷小) (2) 若时,或当或)(0),0(0,00X x x x X M >>?>?δδ有M x f >)(则称函数)(x f 当)(0∞→→x x x 或时为无穷大量(简称为无穷大),记为 ∞=∞→→)(lim ) (0 x f x x x .

6、无穷小量的性质: (1) 有限个无穷小量之和(或积)仍为无穷小量; (2) 有界函数与无穷小量之积仍为无穷小量; (3) 若∞=?=≠) (1 lim 0)(lim ,0)(x f x f x f 7、函数极限与无穷小量的关系 0)(lim ),()()(lim =+=?=x x A x f A x f αα其中 8、无穷小量的比较 设(),()x x αβ都是对应于某同一极限过程的无穷小量. 若() lim 0() x c x αβ=≠,则()x α与()x β是同阶无穷小. 若() lim 0() x x αβ=,则 ()x α是()x β的高阶无穷小,记为 ()αοβ= 特别 () lim 1() x x αβ=,则()x α的()x β是等价无穷小,记为 ~αβ. 9、等价无穷小量的性质 ⑴无穷小代换定理:设1212~,~ααββ且 22lim βα存在,则 22 lim lim ββ αα= ⑵lim ()βαβαοα=?=+ 10、当 0x →时,常见的等价无穷小 ~sin ~tan ~arcsin x x x x ; 121 11cos ~, (1)1~ 2 n x x x x n ?+? 二、答疑解惑

作业(无穷大与无穷小、极限四则运算)(答案)

一、在下列各题中,指出哪些变量是无穷小量,哪些变量是无穷大量? 1.当∞→x 时,变量 x 2是无穷小量; 【0 2lim =∞ →x x 】 2.当-∞→x 时,变量x -2是无穷大量; 【 +∞ =--∞ →x x 2 lim 】 3.当0→x 时,变量x sin 是无穷小量; 【0sin lim 0 =→x x 】 4.当+→0x 时,变量x ln 无穷大量. 【-∞=+→x x ln lim 0 】 二、利用无穷小与有界变量的关系,计算下列极限 1. x x x sin lim ∞ → 2.x x x 1sin lim 2 → 解:由0 1lim =∞ →x x ,且1sin ≤x , 解:由0lim 2 =→x x ,且11sin ≤x , 故0 sin lim =∞ →x x x . 故0 1sin lim 2 =→x x x . 3.)21(cos lim +→x x x 4.x x x 1sin lim 2 +∞ → 解:由0lim 0 =→x x ,且 3 21cos ≤+x , 解:由0 1lim =∞ →x x ,且11sin 2 ≤+x , 故0 )21(cos lim =+→x x x . 故0 1 sin lim 2 =+∞ →x x x . 三、求下列极限 1.)158(lim 2 5 +-→x x x 176 155582 =+?-?=. 2. 1 1lim 2 1 ---→x x x 0111)1(2 =----= . 3.59lim 2 3 -+→x x x 3 5 3 932 =-+=. 强行代入 4.x x x -+→13lim 1 ∞=. 无穷小的倒数是无穷大 5.1 1 lim 2 1 --→x x x 1 ) 1)(1(lim 1 --+=→x x x x 2 11)1(lim 1 =+=+=→x x . 分解约分

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