Student’s Name: Cai Jing
Student’s ID No.: SX1401111
College Name: College of Aerospace Engineering
Equivalence Relations
Abstract: In higher algebra, there are many concepts are equivalence relations, such as similarity relation, contract relationship, matrix equivalent. In modern algebra, equivalence relations are more general and abstract, which plays an important role. By applying the general concept in group theory, we can obtained the concept of factor group and coset. And the natural homomorphism is also obtained from the equivalence relation classification. Therefore, equivalence relations have an important meaning in modern algebra, and have a wide range of applications.This project will discuss the following five equivalence relations.
Key word: higher algebra; equivalence relation; similarity; contract
1. Introduction
1.1 Relative Definitions of Equivalence relations
Mapping is one way to establish the contact between the two sets, using this link to compare to the two sets. Through the comparison, we can extrapolate properties of another set. In addition, sometimes we need to make a set to divide into several subsets, which are discussed. And the discussion is beneficial to the study of the original collection. There will be introduce the classification of the set and general principles of categorizing collections - equivalence relations.
A given binary relation ~ on a set S is said to be an equivalence relation if and only if it is reflexive, symmetric and transitive. Or equivalently, for all a, b and c in S:
(1) a ~ a. (Reflexivity)
(2) if a ~ b then b ~ a. (Symmetry)
(3) if a ~ b and b ~ c then a ~ c. (Transitivity)
The equivalence class of a under ~, denoted [a], is defined as
=∈.
a b S b a
[]{|~}
An equivalence relation on a set S divides S into equivalence classes. Equivalence classes are pairwise disjoint subsets of S. a ~ b if and only if a and b are in the same equivalence class.
1.2 Salient examples
Equivalence relations permeate mathematics with several salient examples readily
available:
1. Residue classes [a]N consist of all numbers congruent (equivalent) modulo N.
2. A negative number is a set of all equivalent pairs (a, b) of integers with a < b,where two pairs (a, b) and (c, d) belong to the same set (equivalence class) if and only if a+d=b+c.
3. A rational number is a set of all equivalent pairs (a, b) of integers, where two pairs (a, b) and (c, d) are equivalent if and only if ad = bc.
4. An irrational number is an equivalence class of sequences r1, r2, r3, ... of rational numbers, where two sequences {ri} and {si} are equivalent if and only if they there difference converges {ri - si} to 0 as i→∞.
2. Several representative equivalence relations
2.1 Row equivalence under elementary row operations
In this part, there are five equivalence relations which will be profoundly discussed. Let S be the set of m n ? real matrices. Matrix S A ∈ is said to be row equivalent to matrix S B ∈ (denoted by ~A B ) if B can be obtained from A by performing elementary row operations on A.
2.1.1Proof of equivalence relation
First, we prove ~ is an equivalence relation on S.
Proof :
Reflexivity: for the matrix S A ∈, there is E (unit matrix) which EA=A. So reflexivity is satisfied.
Symmetry: supposed that P is the product of elementary matrix. Then PA=B, where S A ∈,S B ∈. Because elementary matrix is reversible and the inverse matrix of elementary matrix also is elementary matrix, A=P-1B is obtained. Namely that matrix
A can be obtained from
B by performing elementary row operations on B. So symmetry is satisfied.
Transitivity:for matrix A,B,C ∈S , then PA=B, QB=C, where P and Q are elementary matrix . Because the product of two elementary matrix also is an elementary matrix, we have
QB=QPA=C, where QP is an elementary matrix.
So transitivity is satisfied.
Hence ~ is an equivalence relation on S.
Then, we can see that the property that is shared by all the elements in the same equivalence class is that the elements are equivalent to each other.
The properties that are shared by all the elementsin the same equivalence classare listed as follows ：
·All the elements in the same equivalence class have the same row space. That is to say, the dimensions of the column spaces of all the elements under the same equivalence class are the same.
·The dimensions of the column spaces of all the elements under the same equivalence class are the same. That is to say, take A, B as any two matrices under this equivalence class, the column vectors of A are linearly independent if and only if the corresponding column vectors of Bare linearly independent.
2.1.3 Representative elements
If S is the set of 22?real matrices, S can be divided into 3 equivalence class, the rank of each row space is 0, 1, 2. Thus, a representative element for each equivalence class:
123001011,,000001??????=== ? ? ???????
C C C 2.2Matrix equivalenceunder elementary operations
Let S be the set of m n ? real matrices. Matrix S A ∈ is said to be equivalent to matrix S B ∈ (denoted by ~A B ) if B is can be obtained from A by performing elementary operations.
2.2.1Proof of equivalence relation
First, we prove ~ is an equivalence relation on S.
Proof :
Reflexivity: for the matrix S A ∈, there is E (unit matrix) which EAE=A. So reflexivity is satisfied.
Symmetry: supposed that P and Q are the product of elementary matrix. Then PAQ=B, where S A ∈,S B ∈. Because elementary matrix is reversible and the inverse matrix of elementary matrix also is elementary matrix, A=P-1BQ-1 is obtained. Namely that matrix A can be obtained from B by performing elementary operations on
B. So symmetry is satisfied.
Transitivity:for matrix A,B,C ∈S , then PAR=B, QBT=C, where P, R, Q and T are elementary matrix . Because the product of two elementary matrix also is an elementary matrix, we have
QBT=QPART=C, where QP and RT are elementary matrix.
So transitivity is satisfied.
Hence ~ is an equivalence relation on S.
The properties that are shared by all the elements in the sameequivalence classare listed as follows ：
·All the elements underthe same equivalence class have the same rank.
·All the elements underthe same equivalence class the same invariant divisors or determinant divisors.
2.2.3 Representative elements
If S is the set of real matrices, S can be divided into 3 equivalence class, the rank of each class is0, 1, 2. Thus, a representative element for each equivalence class:
123001011,,000001??????=== ? ? ???????
C C C 2.3Equivalencerelations of matrix similarity
Let S be the set of m m ? real matrices. ~A B means that matrix S A ∈ is similar to S B ∈.
2.3.1Proof of equivalence relation
Proof :
Reflexivity: for the matrix S A ∈, there is E (unit matrix) which EAE-1=A. So reflexivity is satisfied.
Symmetry: supposed that P is nonsingular matrix. Then PAP-1=B, where S A ∈,S B ∈. Therefore A=P-1BP is obtained. So symmetry is satisfied.
Transitivity:for matrix A,B,C ∈S , then PAP-1=B, QBQ-1=C, where P and Q are nonsingular matrix. Because the product of two elementary matrix also is an nonsingular matrix, we have
QBQ-1=QPA P-1 Q-1=C.
So transitivity is satisfied.
Hence ~ is an equivalence relation on S.
2.3.2Properties shared
The properties that are shared by all the elements in the same equivalence class are listed as follows ：
·The dimensions of all the matrices under the above equivalence class are the same. ·The determinants of all the matrices under the above equivalence class are the same. ·The traces of all the matrices under the above equivalence class are the same.
·All the matrices under the above equivalence class have the same eigenvalues. Thus,
they have the same characteristic polynomial, and the same primary factors. 2.3.3 Representative elements
ence
class:.
100a b ??= ???
C (a, b can be real numbers) 2.4Equivalencerelations of matrixorthogonalsimilarity
Let S be the set of m m ? real symmetric matrices. ~A B means that matrix S A ∈ is orthogonally similar to S B ∈.
2.4.1Proof of equivalence relation
Proof :
Reflexivity: for the matrix S A ∈, there is E (unit matrix) which EAET=A. So reflexivity is satisfied.
Symmetry: supposed that P is an orthogonal matrix. Then PAPT=B, where S A ∈,S B ∈. Because PT=P-1, A=PTBP is obtained. So symmetry is satisfied.
Transitivity:for matrix A,B,C ∈S , then PAPT=B, QBQT=C, where P and Q are orthogonal matrix. Because the product of two elementary matrix also is an orthogonal matrix, we have
QBQT=QPAPTQT=C, where QP is an orthogonal matrix.
So transitivity is satisfied.
Hence ~ is an equivalence relation on S.
2.4.2Properties shared
The properties that are shared by all the elements in the same equivalence class are listed as follows ：
·The dimensions of all the matrices under the above equivalence class are the same. ·The determinants of all the matrices under the above equivalence class are the same. ·The traces of all the matrices under the above equivalence class are the same.
·All the matrices under the above equivalence class have the same eigenvalues. Thus, they have the same characteristic polynomial, and the same primary factors.
2.4.3 Representative elements
If S is the set of 22? real symmetric matrices, the matrices cannot change
eigenvalues under orthogonal transformations, thus the eigenvalues a, b remain
thesame. Arepresentative element for eachequivalence class:
100a b ??= ???
C (a, b can be real numbers) 2.5 Equivalence relations of isomorphism
Let S be the set of vector spaces over the field R. 12~V V means that 1V is isomorphic to 2V .
Let V and W be two vector spaces over the same field F, and let σ：V →W be a linear mapping (also called a homomorphism). σ is called an isomorphism if it is one-to-one. V is said to be isomorphic to W if there exists an isomorphism from V onto W.
2.5.1Proof of equivalence relation
·Reflexivity: Obviously, 12~V V , since if σ is an orthogonal one-to-one linear mapping ,then 1(V)V σ=,12~V V .
·Symmetry: If 12~V V , then there exists an isomorphism σfrom 1V onto 2V ,let 122,y y V ∈,then there exist 121,x x V ∈ ,such that 1122(x )y ,(x )y σσ== ,then:
111212(kx )y ,y y (x )k x σσ=+=+, thus:
111121212()x x ()()y y y y σσσ---+=+=+
11111(k )x ()y k k y σσ--==
1σ-is an isomorphism from 2V onto 12,V V is isomorphic to 1V . Hence ,12,V V . ·Transitivity:
If 12~V V , 23~V V , then there exists an isomorphism σfrom 1V onto 2V ,and an Isomorphism from 2V onto 3V .Let 122,y y V ∈,then there exist 121,x x V ∈,such that 1122(x )y ,(x )y σσ==. And according to Symmetry, there exist 123,z z V ∈ , such that 1122(),()y z y z ττ==.Thus:
12121212(y )(y )(()())()()()()
z z x x x x τττσστστσ+=+=+=+
1111(ky )((k ))()()kz x x ττστσ===
τσ is an isomorphism from 1V onto 3V ,thus 1V is isomorphic to 3V . Hence,
13~V V .
2.5.2Properties shared
The properties that are shared by all the elements in the same equivalence class are listed as follows ：
·Vector spaces under the above equivalence class have the same rank.
·Vector spaces under the above equivalence class, take 1V ，2V as two examples ,then there exists an isomorphism from 1V onto 2V ,let 12,n ξξξ be a basis for 1V ,then 12(),()()n σξσξσξmust be a basis for 2V .
2.5.3 Representative elements
A representative vector space for each equivalence class:
For m n R ?
1231000100010000
00001000100,,000000000010000000000000000m n m n m n
????????? ? ? ? ? ? ? ? ? ?=== ? ? ? ? ? ? ? ? ??????
?C C C (C )i(1i min(m,n)).i rank =≤≤ Conclusion and acknowledgements
Equivalence relations are mainly focusedin this article. Five representative equivalence relationsare discussedthrough the proof of their equivalence relations,finding theproperties that are shared by all the elements in the same equivalence classand a representative element for eachequivalence class.By discussing representativeexamples, we can furtherunderstand the equivalence relations.
Thanks for the help of the authors of the references and the help of Mr Cao, our matrix teacher.
References
[1] Cao Rongmei. Lecture Notes On Matrix Theory.Nanjing:Nanjing University of Aeronautics and Astronautics,2012.
[2] Dai Zhenhua.Lecture Notes On Matrix Theory: Sciencep,2000.
华北水利水电大学 线性代数发展简史 课程名称：线性代数 专业班级： 成员组成：姓名 学号 联系方式： 年月日
摘要：一次方程也叫线性方程，讨论线性方程及线性运算的代数就是线性代数，它是高等代数的一大分支，同时也是大学数学教育中一门主要基础课程。线性代数的主要内容有行列式、矩阵、向量、线性方程组、线性空间、线性变换、欧式空间和二次型等。 关键词：线性代数行列式矩阵向量线性方程组二次型群论 正文： 1.引言：线性代数是大学数学教育中一门主要基础课程，对于培养面向21世纪人才起着重要作用。通过了解线性代数的发展简史可以让我们更好地理解数学，从而更好地学习并应用它。 2.1 行列式 我们知道，在线性代数中最重要的内容之一就是行列式，它不仅是一种语言和速记，而且他的大多数生动的概念能对新的思想领域提供钥匙，同时人们已经证明了这个概念是数学、物理中非常有用的工具。 行列式出现于线性方程组的求解，它的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和在其著作《解伏题之法》中提出的。他于1683年写
了这本书，书里对行列式的概念和它的算法进行了清除的叙述。同时代的德国数学家莱布尼茨是欧洲提出行列式的第一人，也是微积分学的奠基人之一，他于1693年4月在写给洛比达的一封信中使用并给出了行列式，而且给出方程组的系数行列式为零的条件。 1750年，瑞士数学家克莱姆在其著作《线性带分析导引》中，比较完整、明确地阐述了行列式的定义与展开法，并且发表了求解线性系统方程的重要公式，即我们现在所称的解线性方程组的克莱姆法则。 1764年，数学家贝祖将确定行列式每一项符号的方法进行了系统化，利用系数行列式等于零这一条件判断对给定了含n个未知量的n 个齐次线性方程是否有非零解。 尽管上述几位数学家对行列式的提出与应用做出了很大的贡献，但仍在很长一段时间内，行列式只是作为解线性方程组的一种工具使用，并没有人意识到它可以独立于线性方程组之外，单独形成一门理论加以研究。 可喜的是，法国数学家范德蒙给出了一条法则，用二阶余子式和它们的余子式来展开行列式，从而把行列式理论与线性方程组求解相分离，他也因此成为了第一个对行列式理论做出连贯的系统的阐述的人。范德蒙自幼在父亲的指导下学习音乐，但他对数学却有浓厚的兴趣，后来终于成为了法兰西科学院院士，就对行列式本身这一点来说，他是这门理论的奠基人。 1772年，拉普拉斯在论文《对积分和世界体系的探讨》中证明了范德蒙的一些规则，并推广了他的展开行列式的方法。
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矩阵分析的应用 摘要：本文主要通简单的实例，进行浅显地说明矩阵在求解方程过程中的应用：第一，通过矩阵进行相容方程的求解；第二，通过矩阵进行不相容方程的求解；其中，在不相容方程的求解过程中，会涉及到广义逆矩阵、伪逆矩阵以及矩阵的满秩分解。在具有实际物理背景下的有关方程组能够通过矩阵的理论知识，得到、高效地求解。 关键字：矩阵方程求解相容方程 不相容方程 最小二乘解 满秩分解 一、 矩阵在相容方程求解中的应用 已知n 元线性方程组如下表示： 11112211 21122222 1122...............n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=?? ??+++=? 其矩阵的表达形式如下： 111112********* 2 n n n n nn n n x b a a a a a a x b a a a x b ???? ???????????? ??=?????????? ???????? 矩阵A 可记为 1112121 2221 2 n n n n nn a a a a a a A a a a ?????? =???? ?? 如果矩阵A 满秩，且非矛盾方程，则可以通过消元法计算出每个未知量。见如下示例： 例1设桥式电路中闭合回路的电流分别为 3 21I I I 、、，如图2所示：
图2 已知14 ,1,2,1,1,254321======E R R R R R ，计算流过中央支路AB 的电 流AB I . 解：由基尔霍夫第二定律（电压定律）得如下方程组： ??? ??=-+-=-+-+=-+-+E I I R I I R I I R I I R I R I I R I I R I R )()(0)()(0)()(2341321253242331221511 即 ??? ??=+--=-+-=--14 3202404321 321321I I I I I I I I I 同样计算如下几个行列式 2132124 1 114=------=A 84321424 110 1=----=D 1263 14120 1 1042=----=D 210 14 2104 1 014 3=----=D 所以 10,6,4332211====== A D I A D I A D I 从而，流过中央支路AB 的电流为221-=-=I I I AB . 即电流是从B 流向A 的.
矩阵分析在电路中的应用 本人主要通简单的实例，进行浅显地说明矩阵在求解方程过程中的应用：第一，通过矩阵进行相容方程的求解；第二，通过矩阵进行不相容方程的求解；其中，在不相容方程的求解过程中，会涉及到广义逆矩阵、伪逆矩阵以及矩阵的满秩分解。在具有实际物理背景下的有关方程组能够通过矩阵的理论知识，得到、高效地求解。 一、 矩阵在相容方程求解中的应用 已知n 元线性方程组如下表示： 11112211 21122222 1122...............n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=?? ??+++=? 其矩阵的表达形式如下： 111112********* 2n n n n nn n n x b a a a a a a x b a a a x b ???? ??????????????=?????????????????? 矩阵A 可记为 1112121 2221 2 n n n n nn a a a a a a A a a a ??????=?????? 如果矩阵A 满秩，且非矛盾方程，则可以通过消元法计算出每个未知量。见如下示例： 例1设桥式电路中闭合回路的电流分别为 3 21I I I 、、，如图2所示：
图2 已知14 ,1,2,1,1,254321======E R R R R R ，计算流过中央支路AB 的电 流AB I . 解：由基尔霍夫第二定律（电压定律）得如下方程组： ?? ? ??=-+-=-+-+=-+-+E I I R I I R I I R I I R I R I I R I I R I R )()(0)()(0 )()(2341321253242331221511 即 ??? ??=+--=-+-=--14 3202404321 321321I I I I I I I I I 同样计算如下几个行列式 2132124 1 114=------=A 8432 1424 1101=----=D 1263 14120 11042=----=D 210 14 2104 1 0143=----=D 所以 10,6,4332211====== A D I A D I A D I 从而，流过中央支路AB 的电流为221-=-=I I I AB . 即电流是从B 流向A 的.
机电162邓爽160607237项目管理作业 软饮料经生产后推向市场是一个十分直接的过程。饮料的原料浓缩原汁由原生产厂生产。浓缩原汁运到各包装厂，添加一些其他成分后就完成了最终饮料的生产。接着将最终的产品瓶装，灌装后运往分销中心，最后到零售网点销售。这一供应链直到饮料最终客户为止，其中有许多客户和供应商关系。在每一个这样的关系过程中，都必须满足客户的期望才能把握得当。客户的期望包括准时交货，饮料供应量充足以及饮料的价格和质量等。为了更清楚的观察之一供应链怎样运作，同时找到一个能够适用于有较大地域差异的各地区普遍的客户服务经验，许多公司都试图集中一般被称为CRM 的客户关系管理。 本项目是一个建立集中的客户部门，将选中的客户服务信息系统和各地区公司及总公司连接并网。 2、请为管理和实施该项目设计一个合理的组织方式； 项目组织型
3、拟定该项目的重大里程碑计划； 4、借助WBS 确定项目范围，要求分解后的项目工作数目大约15个左右； 5、确定该项目的责任矩阵； 参与项目各方的责任一般通过责任分配矩阵的形式进行表达，直观地将项目责任方的 里程碑事件 6月 7月 8月 9月 10月 11月 上 中 下 上 中 下 上 中 下 上 中 下 上 中 下 上 中 下 方案完成 设计完成 单元完成 总装完成 测试完成 原料浓缩原汁 原汁生产商 添加配方 饮料加工厂 成品 包装厂 分销中心 分销中心 分销中心 零售网点 零售网点 零售网点 .... ....客户 关系 供应商 关系 客户 关系 供应商 关系 客户关系 供应商关系
责任和权利完整地表达了出来，便于项目各方进行有效的协调，对项目的成功实施非常关键。
正交矩阵与酉矩阵的性质与应用 摘要 本文中提到在探讨性质之前，先得了解正交矩阵的出处，正交矩阵来自于正交变换的定义，设A R End ∈(V)是欧几里得空间的线性变换，如果A 保持内积不变，也就是说，对任意的V ∈βα,，有(A(α),A(β))＝(βα,).正交变换是保内积的，也即保长度和夹角，则变换前后的图形全等. 矩阵是线性代数中的核心内容 ,而正交矩阵是一种较常用的矩阵 ,它在正交变换理论中起着十分重要的作用 . 先介绍正交变换、正交矩阵等相关概念，研究线性变换为正交变换的等价条件；正交矩阵的构造以及定义的等价条件.从矩阵理论的角度，本文对正交矩阵进行了较为深入的研究 ,得到了正交矩阵的一系列常用性质 ,相关性质的概括、改进和推广 ,以及正交矩阵和酉矩阵的应用.对矩阵的理论研究有重要的意义 . . 关键词：正交矩阵，酉矩阵，运算关系
ABSTRACT This paper discusses the nature of mentioned before, you have to understand the origin of orthogonal matrix, orthogonal matrix from orthogonal transform, A definition of A (V) is Euclidean space linear transformation, if A keep inner product unchanged, that is to say, the arbitrary, there is (A), A ()) = (.) orthogonal transformation is the inner product, namely the length and Angle, the transformation and graphics congruent. Matrix is the core content in linear algebra, and orthogonal matrix is a kind of more common matrix, it in the orthogonal transformation theory plays a very important role. First introduces orthogonal transformation, orthogonal matrix and other related concepts, the linear transformation for orthogonal transformation equivalent conditions; Orthogonal matrix structure and definition of the equivalent conditions. From the point of view of the matrix theory, in this paper, the orthogonal matrix for a more in-depth research, obtained the orthogonal matrix of a series of common properties, the relevant properties of the summary and improvement and promotion, and orthogonal matrix and unitary matrix application. For the study of the theory of the matrix has an important significance. Key words: Orthogonal matrix, unitary matrix, operation relations
浅谈正交矩阵与酉矩阵 矩阵是数学中重要的基本概念,是高等代数的重要研究对象之一,也是数学与其它领域研究与应用的一个重要工具.矩阵是线性代数中的核心内容 ,而正交矩阵是一种较常用的矩阵 ,正交矩阵在矩阵论中占有重要地位，有着广泛的应用.对其本身的研究来说是富有创造性的领域.正交矩阵不仅在线性代数中，而且在理工各学科领域的数学方法中，如优化理论、计算方法、信息分析中都有着举足轻重的位置。对矩阵性质的概括、改进和推广，以及对正交矩阵在数值分析中、矩阵分解中和对方程求解、数理统计中的应用的研究，对矩阵的理论研究有重要意义。本文列举了正交矩阵与酉矩阵的一些常见的性质与定理，并对其应用进行了一些列举。 首先认识什么是正交矩阵，什么是酉矩阵。 酉矩阵的定义：n 阶复方阵U 的n 个列向量是U 空间的一个标准正交基，则U 是酉矩阵(Unitary Matrix)。即若n 阶复矩阵A 满足条件：E A A AA H H ==(E 为单位矩阵，H A 表示“矩阵A 的共轭转置矩阵，即T H A A =”)，则此时矩阵A 称为酉矩阵。此时，容易验证，当矩阵 A 、 B 为酉矩阵时，则有如下的结论成立： （1）H A A = -1也为酉矩阵 （2）1det =A （3）n n T U A ?∈,即T A 为酉矩阵 （4）AB,BA 也均为酉矩阵 正交矩阵的定义：正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵。如果实数矩
阵A 满足E A A AA T T ==（E 为单位矩阵，T A 表示“矩阵A 的转置矩阵”），则n 阶实矩阵 A 称为正交矩阵。此时，容易验证，当A 、B 为正交矩阵时，则有如下结论成立： （1）n n T E A A ?-∈= 1，即1-A 、T A 均为正交矩阵 （2）1det ±=A （3）AB,BA 也均为正交矩阵 正交变换的定义：设A 是欧氏空间V 的一个线性变换,若A 保持向量的内积不变，即对于任意的α，β∈V 都有(A α，A β) = (α，β)，则称A 为V 的正交变换。正交变换关于标准正交基的矩阵为正交矩阵。正交矩阵蕴涵了正交变换。 正交基的定义：在线性代数中，一个内积空间的正交基（orthogonal basis ）是元素两两正交的基.称基中的元素为基向量.假若，一个正交基的基向量的模长都是单位长度1，则称这正交基为标准正交基。 对于酉矩阵来说，有如下定理： 设n n C A ?∈，则A 是酉矩阵（正交矩阵）的充要条件是A 的n 个列（或行）向量是标准正交向量组，以及标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是酉矩阵。 此外，也有以下几个结论成立： （1）),2,1,(,0,111n j i j i j i a a a a kj n k ki jk n k ik ，当当?=???≠===∑∑ == （2）设A ，B 都是正交矩阵，则AB ，m A (m 为自然数),A T B ，AB T ，A -1B ，AB -1，A -1BA 等都是正交矩阵。 （3）设A ，B 为正交矩阵，且|A|=-|B|，则A+B 必不可逆；设为A ，
研究生课程论文/研究报告 课程名称：矩阵论 任课教师： 论文/研究报告题目：矩阵论的应用—线性定常系统建模和线性定常系统状态方程求解完成日期：年月日 学科： 学号： 姓名： 成绩：
矩阵论的应用—线性定常系统建模和线性定常系统状 态方程求解 摘要 我们知道在进行系统的分析和设计时，首先要建立数学模型然后再进行求解分析。根据系统分析、设计所用方法不同，或所要解决的问题不同，描述同一系统的数学模型亦有所不同。本文先介绍描述系统内部特性和端部特性的状态空间表达式及其在s 域分析得到传递函数，然后再利用系统状态转移矩阵求线性定常系统状态方程的解。 关键词：数学模型、状态空间表达式、传递函数、线性定常系统状态方程的解 一、线性定常系统的状态空间表达式及其传递函数 如下图1所示电路图，电压u(t)为电路的输入量，电容上的电压uc(t)为电路的输出量。R 、L 、C 分别为电路的电阻、电感、电容。由电路知识可知，回路中的电流i(t)和电容上电压uc(t)的变化规律满足如下方程： ()()()()di t L Ri t uc t u t dt ++= 1 ()()i t dt uc t C =? 其中i(t)和uc(t)为该电路系统的状态变量（状态变量就是确定系统状态的最小一组变量）。 状态空间：以选择的一组状态变量为坐标轴而构成的正交空间，成为正交空间。系统在任意时刻的状态可以用状态空间中的一个点来表示。 图1 将上式方程组改写成状态空间表达式为： ()11()()1 ()()00di t R i t dt L L u t L duc t uc t C dt --???? ?? ???????=+ ????? ?? ????? ??????? ??① 如将电容上的电压uc 作为电路的输出量，则 []()()01()i t uc t uc t ?? =?? ?? ②
《生存分析结课论文》 ——关于乳腺癌术后生存情况与患者年龄的研究 班级： 姓名： 学号： 2016年5月7日
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摘要 本文讨论45岁以上乳腺癌患者的术后生存状况。对44名45岁以上的乳腺癌患者的资料进行回顾性分析，按年龄分为两组，其中A组（<50岁,25例），B组（≥50岁，19例），探讨乳腺癌患者术后生存情况与患者年龄间的关系。结果有统计学意义(P<0．01)。年龄是乳腺癌的一个独立预后变量，但乳腺癌的其他影响患者生存状况因素如：临床分期、淋巴结转移、病理类型、手术方式对乳腺癌患者的影响也是不容忽视的。 关键词生存分析乳腺癌年龄Kaplan-Meier估计 Nelson-Aalen估计 Cox模型
1.问题的提出 乳腺癌是女性最常见的恶性肿瘤之一。且发病率呈逐年上升的趋势，在欧美国家，乳腺癌占女性恶性肿瘤的25%-30%.乳腺癌常发病于停经妇女，我国则常见于绝经前妇女，45—50岁发病率较高。中老年妇女是乳腺癌发病的主要对象。发病年龄较欧美国家年轻10岁左右。由文献报道年龄是一个对复发率有影响的独立因素，年龄在45-50岁的患者复发率增加，为比较不同年龄乳腺癌术后生存状况的差别。本文从生存状况变化的角度做生存性分析，探讨乳腺癌术后生存情况与患者间年龄关系。 2.数据的来源 选取患乳腺癌的44名妇女，初治均为手术治疗，分为两组。A 组为年龄在45岁到50岁的患者，B组为年龄在 50岁以上的患者。5年后得到下列复发时间。时间（月） 数据来源于《生存数据分析的统计方法》 A组 4 5 9 16 12 13 10 23 28 29 31 32 47 41 41 57 62 74 100 139 20+ 258+ 269+ B组 8 10 10 12 14 20 48 70 75 99 105 162 169 195 220 161+ 199+ 217+ 245+
矩阵分析 姓名：秦梦瑶 学号： 20135035020 【摘要】 矩阵理论是工科线性代数中的一个重要内容,而逆矩阵是其非常重要并且是较难理解的一部分内容,然而在许多线性代数教科书中逆矩阵相关知识点的应用几乎未涉及到,以至于 很多学习矩阵论的人错误地认为所学东西没有多大用处。为了使学习的人对所学逆矩阵有具体地,形象地认识,而不只是停留在抽象的概念,结论的机械记忆上,为了能使逆矩阵的本质 掌握起来更简单。 本文介绍可逆矩阵在保密通信中应用。 【关键词】矩阵信息安全应用 一．信息安全简介 1信息安全，简称信安，意为保护信息及信息系统免受未经授权的进入、使用、披露、破坏、修改、检视、记录及销毁。政府、军队、公司、金融机构、医院、私人企业积累了大量的有关他们的雇员、顾客、产品、研究、金融数据的机密信息。绝大多数此类的信息现在被收集、产生、存储在电子计算机内，并通过网络传送到别的计算机。 万一诸如一家企业的顾客、财政状况、新产品线的机密信息落入了其竞争对手的掌握，这种安全性的丧失可能会导致经济上的损失、法律诉讼甚至该企业的破产。保护机密的信息是商业上的需求，并且在许多情况中也是道德和法律上的需求。对于个人来说，信息安全对于其个人隐私具有重大的影响，但这在不同的文化中的看法差异相当大。 信息安全的领域在最近这些年经历了巨大的成长和进化。有很多方式进入这一领域，并将之作为一项事业。它提供了许多专门的研究领域，包括：安全的网络和公共基础设施、安全的应用软件和数据库、安全测试、信息系统评估、企业安全规划以及数字取证技术等等。 自从人类有了书写文字之后，国家首脑和军队指挥官就已经明白，使用一些技巧来保证通信的机密以及获知其是否被篡改是非常有必要的。 恺撒被认为在公元前50年发明了凯撒密码，它被用来防止秘密的消息落入错误的人手中时被读取。 第二次世界大战使得信息安全研究取得了许多进展，并且标志着其开始成为一门专业的学问。 20世纪末以及21世纪初见证了通信、计算机硬件和软件以及数据加密领域的巨大发展。小巧、功能强大、价格低廉的计算设备使得对电子数据的加工处理能为小公司和家庭用户所负担和掌握。这些计算机很快被通常称为因特网或者万维网的网络连接起来。 在因特网上快速增长的电子数据处理和电子商务应用，以及不断出现的国际恐怖主义事件，增加了对更好地保护计算机及其存储、加工和传输的信息的需求。计算机安全、信息安全、以及信息保障等学科，是和许多专业的组织一起出现的。他们都持有共同的目标，即确保信息系统的安全和可靠。 二．信息安全的重要性 信息作为一种资源，它的普遍性、共享性、增值性、可处理性和多效用性，使其对于人
《矩阵分析》教学大纲 (Matrix Analysis, 14xs20012) 一、前言 1、课程概述 本课程内容包括线性空间与线性变换，矩阵的Jordan标准型，内积空间，正规矩阵，Hermite矩阵，二次型，矩阵分解，特征值的估计与计算，矩阵的扰动问题，向量范数与矩阵范数，矩阵序列和级数，广义逆矩阵，矩阵函数等内容。《矩阵分析》的特点之一是在介绍矩阵论有关基础理论的同时，引入用MATLAB进行计算的相关内容，使读者能将理论与实践相结合，在培养学生理论水平、演绎推理能力的同时还培养了学生的实际动手能力。实践内容包括MATLAB软件的讲解和实际动手操作。 2、课程性质 专业基础课 3、学分与学时 本课程总学分：6学分，总学时：48学时。其中理论课40学时；实践：8学时。 本课程针对计算机应用技术专业研究牛的知识结构背景，在其本科阶段所学的《线性代数》的基础之上，进一步深化和提高矩阵理论的相关知识，并着重培养学生运用矩阵分析的知识和方法解决计算机应用领域相关问题的能力。通过本课程的学习，使学生掌握矩阵理论的基本概念，基本理论和基本方法，全面了解和掌握矩阵的标准形、特征值与特征向量、矩阵分解、范数与矩阵函数等重点内容，了解近代矩阵理论中十分活跃的若 干分支，为今后的进一步学习和研究打下扎实的基础。 5、使用对象 计算机应用技术专业一年级学历硕士研究生 6、知识背景要求 线性代数，程序设计 二、讲授提纲
第1章线性空间与线性变换 （-）本章概述 本章首先从线性空间的基本概念讲起，逐步介绍基与坐标、坐标变换，线性子空间, 线性映射，线性映射的值域、核，线性变换的矩阵与线性变换的运算，门维线性空间的结构，线性变换的特征值与特征向量，线性变换的不变子空间，矩阵的相似形等重要概念和方法，同时还要对线性方程组解的结构定理进行复习。实践环节讲解用MATLAB求解线性方程组的方法和技巧。 （二）教学目标 介绍教材及全课程内容，使学生对本课有一个总体的印象，对进一步的学习起到提纲挈领的作用。 （三）教学方法 理论+实例+实践；一般与具体相结合，动脑与动手相结合。 （四）教学内容 1. 1线性空间 1.2基与坐标、坐标变换 1.3线性子空间 线性方程组解的结构定理复习 用MATLAB求解线性方程组 1.4线性映射 1.5线性映射的值域、核 1.6线性变换的矩阵与线性变换的运算 1.7 n维线性空间的结构 1.8线性变换的特征值与特征向量 1.9线性变换的不变子空间 1.10矩阵的相似形 用MATLAB求解特征值与特征向量 （五）重点 线性空间的概念、线性变换的特征值与特征向量，线性变换的不变子空间。 （六）难点
矩阵函数在控制系统状态空间分析中的应用 矩阵函数是矩阵理论的重要内容，它在力学、控制理论、信号处理等学科中具有重要作用。矩阵函数中最简单的是矩阵多项式，矩阵多项式是研究其他矩阵函数的基础，一般矩阵函数都是由矩阵多项式定义和计算的。 在控制工程专业中，设计一个合适的控制系统是很重要的，自动控制原理是设计系统的基础。在控制原理中，无论是经典控制理论，还是现代控制原理，都经常会面临着线性微分方程组及矩阵方程的求解。矩阵函数，特别是简单而又一般的矩阵多项式在这些问题的求解过程中起到了重要的作用。 第一章 矩阵函数 1.1 矩阵级数 定义1 设(){}k A 是m n C ?的矩阵序列，其中()()()k k m n ij A a C ?=∈，无穷和 (1)(2)(3)()k A A A A ++++ 称为矩阵级数，记为() 1 k k A ∞ =∑。对正整数1k ≥，记() ()1 k k i i S A ==∑称()k S 为矩阵 级数()1 k k A ∞ =∑的部分和，如果矩阵序列(){}k S 收敛，且有极限S ，即()lim k k S S →∞ =， 则称矩阵级数() 1 k k A ∞ =∑收敛，并称S 为矩阵级数() 1 k k A ∞ =∑的和，记为()1 k k A S ∞ ==∑不收 敛的矩阵级数称为发散的。 由此定义可知，矩阵级数()1k k A ∞ =∑收敛的充分必要条件是mn 个数项级数 () 1 (1,2,;1,2,,)k ij k a i m j n ∞ ===∑ 都收敛。 定义2 设()1 k k A ∞ =∑是矩阵级数，其中()()()k k m n ij A a C ?=∈，如果mn 个数项级数 () 1 k ij k a ∞ =∑(1,2,;1,2,,)i m j n == 都绝对收敛，则称矩阵级数()1 k k A ∞ =∑绝对收敛。 定义3 设n n A C ?∈，形如
矩阵分析在同步捕获性能研究方面的应用 摘要：本文提出了一种利用概率转移矩阵计算捕获传输函数的方法，通过将以往分析方法中的流程图转换为概率转移矩阵，仅需知道一步转移概率矩阵，利用现代计算机编程语言的符号运算功能，即可得到捕获系统的传输函数：通过对传输函数求导，可计算平均捕获时间。矩阵分析方法可完整地计算出捕获系统的传输函数，可弥补流程图方法在分析传统连续搜索捕获方案的传输函数时所忽略的项；可纠正流程图方法在分析非连续搜索捕获方案的传输函数时所引起的误差。 关键词：CDMA；矩阵分析；传输函数；流程图；捕获 Abstract：A novel acquisition performance analysis approach is proposed based on matrix analysis．Given the first step transition probability matrix，the transfer function of acquisition system can be obtained by utilizing the symbol operation function of computer programming，and the mean acquisition time can be computed by differentiating the transfer function．The transfer function of acquisition system can be computed perfectly by matrix analysis，it not only complements the items neglected in that of conventional serial acquisition scheme but also corrects the error items in that of nonconsecutive acquisition scheme． Key words：CDMA；Matrix analysis ；Transfer function；Flow diagram ；Acquisition
上饶师范学院数学与计算机科学学院本科毕业论文 论文题目：矩阵可对角化的充分必要条件 专业：数学与应用数学 班级：09数（3） 学号：09010313 学生姓名：姜曼 指导教师姓名：龚和林
上饶师范学院数学与计算机科学学院 2013年04 月 摘要 在高等代数中，方阵A可对角化当且仅当它可相似于对角矩阵，即存在一个可逆矩阵P,使AP P1 是对角矩阵。因为对角矩阵的特征值与特征向量是已知的，从而，对矩阵的对角化有积极的意义。本文给出了矩阵四种可对角化的充分必要条件和相应的证明。 关键词 方阵；特征值；特征向量；对角化 2
目录 绪论................................... 错误！未定义书签。 1 矩阵可对角化的概念 (5) 1.1特征值、特征向量的概念 (5) 1.2矩阵可对角化的概念 (6) 2 矩阵可对角化的充分必要条件 (3) 2.1利用特征向量判断矩阵可否对角化 (3) 2.2 利用特征根的性质判断矩阵可否对角化 (4) 2.3利用最小多项式判定矩阵可否对角化 (5) 2.4 利用线性变换相关知识判断矩阵可否对角化 (5) 3 矩阵可对角化的应用 (7) 结论 (16) 参考文献 (16) 致谢 (17) 3
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绪论 矩阵是高等代数中的重要组成部分，是许多数学分支研究的重要工具。而对角矩阵作为矩阵中比较特殊的一类，其形式简单，研究起来也非常方便。研究矩阵的对角化及其理论意义也很明显，矩阵相似是一种等价关系，对角化相当于对一类矩阵在相似意义下给出了一种简单的等价形式，这对理论分析是方便的。相似的矩阵拥有很多相同的性质，比如特征多项式、特征根、行列式…… 线性代数中矩阵是否可以对角化,是矩阵的一条很重要的性质。矩阵对角化也是《高等代数》和《线性代数》中矩阵理论这一部分的主要内容。人们对此研究得出了很多有用的结论。诸如一些充要条件：n 阶方阵A 可以对角化的充要条件是它有n 个线性无关的特征向量；方阵A 可以对角化的充要条件是它的最小多项式没有重根；还有复方阵A 可以酉相似于对角形矩阵的充要条件是它为正规矩阵，此外,还有一些充分条件。 在本课题中通过阅读参考文献、查阅相关资料，初步总结出了矩阵可对角化的若干充分必要条件，并给予了相应的证明过程。 1 矩阵可对角化的概念 1.1 特征值、特征向量的概念 定义1]1[：设A 是数域P 上线性空间V 的一个线性变换, 如果对于数域P 中的一个数0λ存在一个非零向量ε使得ελε0=A ,那么0λ称为A 的一个特征值，而ε 称为A 的属于特征值0λ的一个特征向量。
《应用回归分析结课论文》 影响财政收入的相关因素的分析 班级： 姓名： 学号：
目录 1.问题的提出 (4) 2.数据来源 (4) 3.回归分析的模型方法介绍和总结 (5) 3.1多元线性回归模型 (5) 3.1.1多元线性回归模型的一般形式 (5) 3.1.2多元线性回归模型的基本假定 (6) 3.2.多元线性回归参数的最小二乘估计 (7) 4.SAS程序及结果输出 (8) 4.1.建立数据集，进行相关分析 (8) 4.2.将数据做标准化处理，建立回归方程 (10) 4.3.异方差检验 (11) 4.4自相关检验 (13) 4.5. 多重共线性检验 (13) 4.5.1方差扩大因子法 (13) 4.5.2特征根判定法 (14) 4.6消除多重共线性 (15) 4.6.1后退法 (15) 4.6.2.逐步回归 (19) 4.7最佳子集回归 (21) 4.8岭回归 (22) 4.9主成分回归 (25) 4.10偏最小二乘回归 (25) 5.结论 (26) 参考文献 (28)
摘要 本文选1985-2003年的农业增加值，工业增加值，建筑业增加值，社会消费总额，人口数，受灾面积六个因素通过多元线性回归分析和岭回归对国家财政收入行分析，主要分析分析影响财政收入的主要原因，并联系实际进行分析，以供参考。 关键词：财政收入多元线性回归多重共线性岭回归
1.问题的提出 财政参与分配社会产品，在一国经济发展和分配体系中占有重要地位和作用。可以有力地促进经济的发展促进科学、教育、文化、卫生事业的发展，促进人民生活水平的提高，为巩固国防提供可靠的物质保障。且可调节资源配置，促进社会公平，改善人民生活。促进经济机构的优化和经济发展方式的转变。 在我国，财政收入的主体是税收收入，因此在税收体制及政策不变的条件下，财政收入会随着经济繁荣而增加，随着经济衰退而下降。本文利用回归分析，确定影响我国财政收入主要因素。 2.数据来源 在研究国家收入时，我们把财政收入按形式分为：各项税收收入，企业收入，债务收入，国家能源交通重点建设基金收入，基本建设贷款归还收入，国家调节基金收入，其他收入等。 为了建立国家财政收入回归模型，我们以财政收入y(亿元)为因变量，自变量如下：x1为农业增加值(亿元)；x2为工业增加值(亿元)；x3为建筑业增加值(亿元)；x4为人口数（万人）;X5为社会消费总额(亿元);x6为受灾面积(万公顷)。根据中国统计年鉴，得到1985-2003年数据，如图：