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山东省2014届理科数学一轮复习试题选编6:方程的解与函数的零点及二分法(教师版)

山东省2014届理科数学一轮复习试题选编6:方程的解与函数的零点及二分法(教师版)
山东省2014届理科数学一轮复习试题选编6:方程的解与函数的零点及二分法(教师版)

山东省2014届理科数学一轮复习试题选编6:方程的解与函数的零点及二分法

一、选择题

1 .(山东省枣庄市2013届高三3月模拟考试数学(理)试题)设函数4

()(0)f x x ax a =->的零点都在区间

[0,5]上,则函数1

()g x x

=与函数3()h x x a =- 的图象的交点的横坐标为正整数时实数a 的取值个数为

( )

A .3

B .4

C .5

D .无穷个

【答案】B

43()()0f x x ax x x a =-=-=,解得0x =

或x =即函数的零点有两个,要使零点都在区间[0,5]

上,

则有05<≤,解得0125a <≤.由()()h x g x =得31

x a x

-=,即41x ax -=有正整数解.设

4

()m x x ax =-,当1x =时,(1)11m a =-=,解得0a =,不成立.当2

x =时,4

(2)221621m a a =-=-=,解得151252

a =<成立.当3x =时,4(3)338131m a a =-=-=,解

得2551254a =<成立.当5x =时,4(5)5562551m a a =-=-=,解得6241255

a =<成立.当6

x =时,4

(6)66129661m a a =-=-=,解得12951256

a =>,不成立.所以满足条件的实数a 的取值为

2,3,4,5,共有4个.选

B .

2 .(山东省德州市乐陵一中2013届高三十月月考数学(理)试题)设函数)0(ln 3

1

)(>-=

x x x x f ,则)(x f y =

( )

A .在区间),1(),1,1(e e 内均有零点

B .在区间),1(),1,1

(e e 内均无零点

C .在区间)1,1

(e 内有零点,在区间),1(e 内无零点

D .在区间)1,1

(e

内无零点,在区间),1(e 内有零点

【答案】D 【解析】111

()10(1)=0()10

333e f e f f e e =->>=+>,,,根据根的存在定理可知,选

D .

3 .(山东省莱芜市第一中学2013届高三12月阶段性测试数学(理)试题)已知函数

21(0)

(),()(1)(0)x x f x f x x a f x x -?-≤==+?->?

若方程有且只有两个不相等的实数根,则实数a 的取值范围为

( )

A .(,0]-∞

B .[0,1)

C .(,1)-∞

D .[0,)+∞

【答案】C 【解析】做出函数)(x f 的图象如图,,由图象可知当直线为1+=x y 时,直线与函数)

(x f 只要一个交点,要使直线与函数有两个交点,则需要把直线1+=x y 向下平移,此时直线恒和函数)(x f 有两个交点,所以1

C .

4 .(山东省青岛市2013届高三第一次模拟考试理科数学)已知函数

2, 0

(), 0

x x f x x x x ≤?=?->?,若函数

()()g x f x m =-有三个不同的零点,则实数m 的取值范围为

( )

A .1[,1]2-

B .1[,1)2-

C .1(,0)4-

D .1(,0]4

-

【答案】 C 由()()=0g x f x m =-得()f x m =,作出函数()y f x =的图

象,

,当0x >时,2211

()()024

f x x x x =-=--

≥,所以要使函数()()g x f x m =-有三个不同的零点,则

104m <<,即1

(,0)4

-,选 C .

5 .(山东省济南市2012届高三3月高考模拟题理科数学(2012济南二模))偶函数f (x )满足f (x -1)=f (x +1),

且在x ∈[0,1]时,f (x )=x ,则关于x 的方程f (x )= 110x

??

???

,在x ∈[0,4]上解的个数是

( )

A .1

B .2

C .3

D .4

【答案】D

【解析】由)1()1(+=-x f x f ,知)()2(x f x f =+,周期为2,又函数为偶函数,所以

)1()1()1(x f x f x f -=+=-,函数关于1=x 对称,在同一坐标内做出函数x y x f y )10

1

(),(==的图

象,由图象知在]4,0[内交点个数为个.选 D .

6 .(山东省曲阜市2013届高三11月月考数学(理)试题)如果若干个函数图象经过平移后能够重合,则称这

些函数为“同族函数”.给出下列函数:

①()sin cos f x x x =; ②()2sin 4f x x π?

?=+ ??

?;

③()sin f x x x =; ④()21f x x =+

其中“同族函数”的是 ( )

A .①②

B .①④

C .②③

D .③④

【答案】C 7 .(山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试理科数学)函数x x x f ln )1()(+=的零点有 ( )

A .0个

B .1个

C .2个

D .3个

【答案】B 【解析】由()(1)ln 0f x x x =+=得

1ln 1x x =

+,做出函数1

ln ,1y x y x ==

+的图象,如图

由图象中可知交点个数为1个,即函数的零点个数为1个,选 B .

8 .(2013年山东临沂市高三教学质量检测考试理科数学)函数1

f (x )l

g x x

=-

的零点所在的区间是

( )

A .(3,4)

B .(2,3)

C .(1,2)

D .(0,1)

【答案】B 因为1(2)lg 202f =-

<,1

(3)lg 303

f =->, 所以函数的零点在区间(2,3)上,选 B . 9 .(山东省烟台市2013届高三上学期期末考试数学(理)试题)设()338x

f x x =+-,用二分法求方程

3380x x +-=在(1,2)x ∈内近似解的过程中得(1)0,(1.5)0,(1.25)0f f f <><,则方程的根落在区

间 ( ) A .(1,1.25) B .(1.25,1.5) C .(1.5,2) D .不能确定 【答案】B

【解析】因为(1.5)0,(1.25)0f f ><,所以根据根的存在定理可知方程的根落在区间(1.25,1.5)上,所以选 B .

10.(山东省寿光市2013届高三10月阶段性检测数学(理)试题)函数223,0()2ln ,0

x x x f x x x ?+-≤=?-+? 的零点个

数为 ( )

A .3

B .2

C .1

D .0

【答案】B 11.(山东省凤城高中2013届高三4月模拟检测数学理试题 )若定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=,

且当[0,1]x ∈时,()f x x =,则方程3()log ||f x x =的解个数是

( )

A .0个

B .2个

C .4个

D .6个 【答案】C 12.(山东济南外国语学校2012—2013学年度第一学期高三质量检测数学试题(理科))函数2

3)(3

+-=x x x f 的零点为 ( )

A .1,2

B .±1,-2

C .1,-2

D .±1, 2

【答案】C 【解析】由3

()320f x x x =-+=得3

(22)0x x x ---=,即2

(1)(2)0x x -+=,解得1

x =或2x =-,选

C .

13.(山东省青岛市2013届高三上学期期中考试数学(理)试题)若函数a ax x f 213)(-+=在区间)1,1(-上

存在一个零点,则a 的取值范围是 ( )

A .5

1

>

a B .51>

a 或1-

11<<-a D .1a <-

【答案】B

14.(山东省曲阜市2013届高三11月月考数学(理)试题)函数223,0

()2ln ,0x x x f x x x ?+-≤=?-+>?

的零点个数是

( )

A .0

B .1

C .2

D .3

【答案】C 15.(山东省滨州市2013届高三第一次(3月)模拟考试数学(理)试题)定义在R 上的奇函数()f x ,当x ≥0

时, ))12

log (1),0,1,()1|3|,1,,x x f x x x ?+∈???=??--∈+∞???

则关于x 的函数()()F x f x a =-(0

( )

A .1-2a

B .21a

-

C .12

a

--

D .2

1a

--

【答案】A

当01x ≤<时,()0f x ≤.当1x ≥时,函数()1|3|f x x =--,关于3x =对称,当1x ≤-时,函数关于

3x =-对称,由()()0F x f x a =-=,得(),y f x y a ==.所以函数()()F x f x a =-有5个零点.当10x -≤<,时,01x <-≤,所以122

()log (1)log (1)f x x x -=-+=--,即

2()log (1)f x x =-,10x -≤<.由2()log (1)f x x a =-=,解得12a x =-,因为函数()f x 为奇函数,所

以函数()()F x f x a =-(0

A .

16.(山东省潍坊市2013届高三上学期期末考试数学理

( )

A .)已知函数?

??>≤+=0,10

,2)(x nx x kx x f ()k R ∈,若函数()y f x k =+有三个零点,则实数k 的取值范围是

( )

A .2k ≤

B .10k -<<

C .21k -≤<-

D .2k ≤-

【答案】D

【解析】由()0y f x k =+=,得()f x k =-,所以0k ≤.做出函数()y f x =的图象如图

,要使函数()y f x k =+有三个零点,则由2k -≥,即2k ≤-,

D .

17.(山东省菏泽市2013届高三5月份模拟考试数学(理)试题)已知定义在R 上的函数()f x 的对称轴为3x =-,

且当3x ≥-时,()23x

f x =-,若函数()f x 在区间(1,)()k k k Z -∈上有零点,则K 的值为 ( )

A .2或-7

B .2或-8

C .1或-7

D .1或-8 【答案】A

18.(山东省日照市2013届高三12月份阶段训练数学(理)试题)设函数

()f x 的零点为1x ,函数

()422x g x x =+-的零点为2x ,若121

4

x x ->

,则()f x 可以是 ( )

A .()122f x x =-

B .()214f x x x =-+- C

()110x

f x =-

D .()()ln 82f x x =-

【答案】C 【解析】113()204

22g =

+

-=-<,1()212102g =+-=>,则11

()()024

g g ?<,所

211

42

x <<.若为

( ) A .()122f x x =-,则()122f x x =-的零点为114x =,所以211044x <-<,所以121

||4

x x -<,不满足

题意.如为 B .()214f x x x =-+-的零点为112x =,211024x <-<,所以121

||4

x x -<,不满

足题意.若为 C .()110x

f x =-的零点为10x =,所以211042x <-<,所以满足121||4

x x ->.

若为 D .()()ln 82f x x =-的零点为13

8

x =,23133182884x -<-<-

,即2131888x -<-<,所以121

||8

x x -<,不满足题意,所以选

C . 19.(山东省潍坊市四县一校2013届高三11月期中联考(数学理))已知0x 是x

x f x 1

)21()(+=的一个零

点,)0,(),,(0201x x x x ∈-∞∈,则 ( )

A .0)(,0)(21<

B .0)(,0)(21>>x f x f

C .0)(,0)(21<>x f x f

D .0)(,0)(21>

【答案】C 【解析】在同一坐标系下做出函数1

1

()(),()2

x

f x f x x

==-

的图象由图象可知当0(,)x x ∈-∞时,11()2x x >-,0(,0)x x ∈时,11

()2x x

<-,所以当)0,(),,(0201x x x x ∈-∞∈,有0)(,0)(21<>x f x f ,选C

20.(山东省临沂市2013届高三5月高考模拟理科数学)已知定义在R 上的函数()y f x =对任意的x 都满足

(1)()f x f x +=-,当11x -≤< 时,3()f x x =,若函数()()log a g x f x x =-至少6个零点,则a 取值

范围是

( )

A .10,5,5

+∞ (]() B .

10,[5,5

+∞ ())

C .11,]5,775 (()

D .11,[5,775

())

【答案】 A 由(1)()f x f x +=-得,(2)()f x f x +=,所以函数的周期是 2. 由

()()log =0a g x f x x =-.得()=log a f x x ,分别作出函数(),()=log a y f x y m x x ==的图象,因为(5)=log 5(5)a m m =-.所以若1a >,由图象可知要使函数()()log a g x f x x =-至少6个零点,则满

足(5)=log 51a m <.此时5a >.若01a <<,由图象可知要使函数()()log a g x f x x =-至少6个零点,则满足(5)=log 51a m -≥-,此时105a <≤.所以a 取值范围是1

0,5,5

+∞ (](),选 ( )

A .

21.(山东省莱芜市莱芜十七中2013届高三4月模拟数学(理)试题)已知()f x 是定义在R 上的奇函数,满足

33()()22f x f x -+=+,当3

(0,)2

x ∈时, 2()ln(1)f x x x =-+,则函数()f x 在区间[0,6]上的零点个

数是 ( )

A .3

B .5

C .7

D .9

【答案】D

22.(山东省莱芜市莱芜十七中2013届高三4月模拟数学(理)试题)已知函数

x x f x 2

1log 2)(-=,且实数

a >

b >

c >0满足0)()()(

能.

成立的是 ( )

A .a x <0

B .a x >0

C .

b x <0 D .

c x <0

【答案】D 二、填空题 23.(山东省文登市2013届高三3月二轮模拟考试数学(理))函数12

()3sin log f x x x π=-的零点的个数是

__________.

【答案】 9

24.(2011年高考(山东理))已知函数()log a f x x x b =+-(0a >,且1a ≠).当234a b <<<<时,函数

()f x 的零点()0,1x n n ∈+,*n N ∈,则n =_________.

【答案】解析:根据(2)log 22log 230a a f b a =+-<+-=,

(3)log 32log 340a a f b a =+->+-=,而函数()f x 在(0,)+∞上连续,单调递增,故函数()f x 的零

点在区间(2,3)内,故2n =.答案应填:2.

25.(2013届山东省高考压轴卷理科数学)给定方程:1

()sin 10

2x x +-=,下列命题中:①该方程没有小于0

的实数解;②该方程有无数个实数解;③该方程在(–∞,0)内有且只有一个实数解;④若0

x 是该方程的

实数解,则0x

>–1.则正确命题是___________. 【答案】②③④

【解析】由1()sin 102x x +-=得

1sin 1()2x x =-,令()f x =sin x ,()g x =11()2x

-,在同一坐标系中画出两函数的图像如右,由图像知:①错,③、④对,而由于()g x =

11()2x

-递增,小于1,且以直线1=y 为渐近线,()f x =sin x 在-1到1之间振荡,故在区间(0,+∞)上,两者图像有无穷多个交点,所以②对,故选

填②③④.

26.(山东省烟台市2013届高三上学期期中考试数学试题(理科))函数2221

()431x x f x x x x -≤?=?-+>?

, , 的图象和

函数()()ln 1g x x =-的图象的交点个数是 ____________.

【答案】2 【解析】画出图象知交点个数为2.

27.(山东省烟台市莱州一中2013届高三第二次质量检测数学(理)试题)若函数

()33f x x x a =-+有三个不

同的零点,则实数a 的取值范围是__________.

【答案】(2,2)- 【解析】函数的导数为

()22'333(1)f x x x =-=-,所以1x =和1x =-是函数的两

个极值,由题意知,极大值为(1)2f a -=+,极小值为(1)2f a =-+,所以要使函数()f x 有三个不同的零点,则有20a +>且20a -+<,解得22a -<<,即实数a 的取值范围是(2,2)-.

28.(山东省济南市2013届高三3月高考模拟理科数学)

()()()()()()()121116()|21|,(),,,n n f x x f x f x f x f f x f x f f x -=-=== .则函数

()4y f x =的零点个数为______________.

【答案】8

由43()(())0f x f f x ==,即32()10f x -=,解得31()2f x =

.又3221

()(())2()12

f x f f x f x ==-=,解得23()4f x =或21()4f x =.当23()4f x =时,2113()(())2()14f x f f x f x ==-=,解得17

()8f x =或

11()8f x =,当21()4f x =时,2111()(())2()14f x f f x f x ==-=,解得15()8f x =或13()8

f x =,由

17()()218f x f x x ==-=,所以1511616x =或.由13()()218f x f x x ==-=,所以115

1616x =或.由

15()()218f x f x x ==-=,所以133

1616x =或.

由13()()218f x f x x ==-=,所以115

1616

x =或.所以共有8个零点.

29.(2009高考(山东理))若函数f(x)=a x

-x-a(a>0且a ≠1)有两个零点,则实数a 的取值范围是 .

【答案】【解析】: 设函数(0,x

y a a =>且1}a ≠和函数y x a =+,则函数f(x)=a x

-x-a(a>0且a ≠1)有两

个零点, 就是函数(0,x

y a a =>且1}a ≠与函数y x a =+有两个交点,由图象可知当10<a 时,因为函数(1)x

y a a =>的图象过点(0,1),而直线y x a =+所过的点一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a 的取值范围是1>a 答案: 1>a

30.(山东省威海市2013届高三上学期期末考试理科数学)已知||

|lg |,0()2

,0

x x x f x x >?=?

≤?,则函数

22()3()1y f x f x =-+的零点的个数为_______个.

【答案】5 由

22()3()10y f x f x =-+=解得()1f x =或1

()2

f x =

.若()1f x =,当0x >时,由lg 1x =,得lg 1x =±,解得10x =或110x =.当0x ≤时,由21x =得0x =.若1

()2

f x =,当0x >时,

由1lg 2x =,得1lg 2x =±,解得x =或x =.当0x ≤时,由122

x

=得1x =-,此时无解.综

上共有5个零点.

31.(山东省寿光市2013届高三10月阶段性检测数学(理)试题)若函数()(01)x

f x a x a a a =--≠ 且有

两个零点,则实数a 的取值范围是________.

a a 【答案】{|1}

新教材高中数学第三章函数3.2函数与方程、不等式之间的关系第1课时函数的零点及其与对应方程、不等式解集之

新教材高中数学第三章函数3.2函数与方程、不等式之间的关系第1课时函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系课 后课时精练新人教B 版必修第一册 A 级:“四基”巩固训练 一、选择题 1.下列说法中正确的有( ) ①f (x )=x +1,x ∈[-2,0]的零点为(-1,0); ②f (x )=x +1,x ∈[-2,0]的零点为-1; ③y =f (x )的零点,即y =f (x )的图像与x 轴的交点; ④y =f (x )的零点,即y =f (x )的图像与x 轴交点的横坐标. A .①③ B .②④ C .①④ D .②③ 答案 B 解析 根据函数零点的定义,f (x )=x +1,x ∈[-2,0]的零点为-1,函数y =f (x )的零点,即y =f (x )的图像与x 轴交点的横坐标.因此,说法②④正确.故选B. 2.函数f (x )=x 2 -x -1的零点有( ) A .0个 B .1个 C .2个 D .无数个 答案 C 解析 Δ=(-1)2 -4×1×(-1)=5>0,所以方程x 2 -x -1=0有两个不相等的实根,故函数f (x )=x 2 -x -1有2个零点. 3.函数f (x )=2x 2 -3x +1的零点是( ) A .-1 2,-1 B.12,1 C.1 2,-1 D .-12 ,1 答案 B 解析 方程2x 2-3x +1=0的两根分别为x 1=1,x 2=12,所以函数f (x )=2x 2 -3x +1的 零点是1 2 ,1. 4.函数y =x 2 -bx +1有一个零点,则b 的值为( )

A .2 B .-2 C .±2 D .3 答案 C 解析 因为函数有一个零点,所以Δ=b 2 -4=0,所以b =±2. 5.设a <-1,则关于x 的不等式a (x -a )? ?? ??x -1a <0的解集为( ) A .(-∞,a )∪? ?? ??1a ,+∞ B .(a ,+∞) C.? ????-∞,1a ∪(a ,+∞) D.? ?? ??-∞,1a 答案 A 解析 ∵a <-1,∴a (x -a )? ????x -1a <0?(x -a )? ?? ??x -1a >0.又a <-1,∴1a >a ,由函数f (x ) =(x -a )·? ?? ??x -1a 的图像可得所求不等式的解集为(-∞,a )∪? ?? ??1a ,+∞. 二、填空题 6.函数f (x )=? ???? 2x -4,x ∈[0,+∞, 2x 2 -3x -2,x ∈-∞,0的零点为________. 答案 2,-1 2 解析 当x ≥0时,由2x -4=0,得x =2;当x <0时,由2x 2 -3x -2=0,得x =-12或 2(舍去).故函数f (x )的零点是2,-1 2 . 7.已知函数f (x )=ax 2 -5x +2a +3的一个零点为0,则f (x )的单调递增区间为________. 答案 ? ????-∞,-53 解析 由已知,得f (0)=2a +3=0,∴a =-32,∴f (x )=-32x 2 -5x ,∴f (x )的单调递 增区间为? ????-∞,-53. 8.已知a 为常数,则函数f (x )=|x 2 -9|-a -2的零点个数最多为________. 答案 4 解析 令g (x )=|x 2 -9|,h (x )=a +2,在同一平面直角坐标系内画出两个函数的图像,如图所示.

函数与方程零点问题考点例题讲解

函数与方程 考纲解读 1.求常见函数的零点;2.判断基本初等函数零点所在区间;3.判断二次函数零点个数及分布;4.根据函数零点与方程根的关系求参数范围;5.根据具体函数的图象,能够用二分法求相应方程的近似解. [基础梳理] 1.函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y =f (x ),把使f (x )=0的实数x 叫作函数y =f (x )的零点. (2)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y =f (x )在区间[a ,b ]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f (a )·f (b )<0,那么,函数y =f (x )在区间(a ,b )内有零点,即存在c ∈(a ,b ),使得f (c )=0,这个c 也就是方程f (x )=0的根. 2.二次函数y =ax 2+bx +c (a >0)的图象与零点的关系 (x 0),(x 0) (x 0) 无交点 1.函数f (x )=lg x +x -3的零点个数为( ) A .0 B .1 C .2 D .3 答案:B 2.函数f (x )=e x - 1+4x -4的零点所在区间为( ) A .(-1,0) B .(0,1) C .(1,2) D .(2,3) 答案:B 3.函数f (x )=ln x -2 x 的零点所在的大致范围是( ) A .(1,2) B .(2,3) C.????1e ,1和(3,4) D .(4,+∞) 答案:B

4.用二分法求f (x )=2x +3x -7的零点的近似解,若第一次零点区间为(1,2),则第二次的零点区间为________. 答案:(1,1.5) 5.(2017·高考全国卷Ⅰ改编)函数y =x 2+1 x 的零点为__________. 答案:-1 [考点例题] 考点一 判定函数零点区间|方法突破 [例1] (1)函数f (x )=2x +ln 1 x -1的零点所在的大致区间是( ) A .(1,2) B .(2,3) C .(3,4) D .(1,2)与(2,3) [解析] f (x )=2x +ln 1x -1=2x -ln(x -1),当1<x <2时,ln(x -1)<0,2 x >0,所以f (x )> 0,故函数f (x )在(1,2)上没有零点.f (2)=1-ln 1=1,f (3)=2 3-ln 2=2-3ln 23=2-ln 83.∵8= 22≈2.828>e ,∴8>e 2,即ln 8>2,即f (3)<0.又f (4)=1 2-ln 3<0,∴f (x )在(2,3)内存在 一个零点. [答案] B (2)已知函数f (x )=2x +x ,g (x )=log 3x +x ,h (x )=x -1 x 的零点依次为a ,b ,c ,则( ) A .a <b <c B .c <b <a C .c <a <b D .b <a <c [解析] 在同一坐标系下分别画出函数y =2x ,y =log 3x ,y =-1 x 的图象,如图,观察它们与y =-x 的交点可知a

函数与方程的含参零点问题

函数与方程的含参零点问题 ?方法导读 函数与方程问题常以基本初等函数或分段函数为载体,考查函数零点的存在区间、确定零点的个数、参数的取值范围、方程的根或函数图象的交点等问题.函数与方程不仅考查考生计算、画图等方面的能力,还考查考生函数与方程、数形结合及转化化归等数学思想的综合应用.在解决函数零点问题时,既要注意利用函数的图象,也要注意根据函数的零点存在性定理、函数的性质等进行相关的计算,把数与形紧密结合起来. ?高考真题 【·天津卷理·】已知,函数,若关于的方程 恰有个互异的实数解,则的取值范围是______. ?解题策略 本题属于分段函数的零点问题,所以需要分类讨论: 当时,由,推出, 当时,由,推出, 再分别画出它们的图象,由图象可知, 当直线和的图象有两个不同的交点,而直线和 的图象无交点时满足条件. ?解题过程 当时,由,得, 当时,由,得,

令,作出直线,函数的图象如图所示, 的最大值为,由图象可知,若恰有个互异的实数解,则 ,得. ?解题分析 1.求函数零点问题,是高考试卷中的热点问题,这类问题要通过学生的直观想 象能力,画出函数图象求解比较直观、易理解; 2.本题由求解问题,通过变形转化为求和 的问题,然后通过图象可以顺利求解; 3.分类讨论思想贯穿整个高中阶段的数学学习中,在每年的高考试卷做题中都 会出现,尤其是解决综合题型时,很多学生不知道该如何分类讨论,所以学生在 平时的训练中要有意识的加以培养和应用. ?拓展推广 1.判断函数零点个数的常见方法 (1)直接法:解方程,方程有几个解,函数就有几个零点;

(2)图象法:画出函数的图象,函数的图象与轴的交点个数即为函数的零点个数; (3)将函数拆成两个常见函数和的差,从而 ,则函数的零点个数即为函数与函数 的图象的交点个数; (4)二次函数的零点问题,通过相应的二次方程的判别式来判断. 2.判断函数在某个区间上是否存在零点的方法 (1)解方程,当对应方程易解时,可通过解方程,看方程是否有根落在给定区间 上; (2)利用零点存在性定理进行判断; (3)画出函数图象,通过观察图象与轴在给定区间上是否有交点来判断. 3.已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法 (1)把函数零点问题转化为方程根的问题 利用函数的零点方程的根,把求函数零点的相关问题转化为求方程根的问题,通过方程的根所满足的条件建立不等式来解决问题. (2)把函数零点问题转化为函数图象与坐标轴的交点问题 利用函数的零点函数的图象与轴的交点,把函数零点的相关问题转化为图象与坐标轴的交点问题,再利用数形结合的思想方法来解决问题. (3)把零点问题分离变量后转化为函数值域问题 将函数零点问题先转化为方程根的问题,然后进行变量分离,将参数分离出来转化为求函数值域问题,这种方法思路简洁,学生容易想到. (4)把函数零点问题转化为两个函数图象的交点问题

方程的解与函数的零点 答案

方程的解与函数的零点 一、选择题 1 .已知函数f(x)是R 上的偶函数,且f(1-x)=f(1+x),当x ∈[0,1]时,f(x)=x 2,则函数 y=f(x)-log 5x 的零点个数是 ( ) A .3 B .4 C .5 D .6 【答案】B 2 .已知函数???>-≤-=0 ,120 ,2)(x x x a x f x (R a ∈),若函数)(x f 在R 上有两个零点,则a 的取值范围是 ( ) A .)1,(--∞ B .]1,(-∞ C .)0,1[- D .]1,0( 【答案】D 3 .设函数f (x )=x |x |+bx +c ,给出下列四个命题: ①c =0时,f (x )是奇函数 ②b =0,c >0时,方程f (x )=0只有一个实根 ③f (x )的图象关于(0,c )对称 ④方程f (x )=0至多两个实根 其中正确的命题是 ( ) A .①④ B .①③ C .①②③ D .①②④ 【答案】C 4 .已知函数()ln 38f x x x =+-的零点0[,]x a b ∈,且1(,)b a a b N +-=∈,则a b += ( ) A .5 B .4 C .3 D .2 【答案】A 5 .函数21 f ()lo g 22 x x x =- +的零点个数为 ( ) ( ) A .0 B .1 C .3 D . 2 【答案】D 6 .函数 ()22x f x x =-零点的个数为 ( ) A .1 B .2 C .3 D .4 【答案】C 7 .函数12ln )(-+=x x x f 的零点的个数是 ( ) A .0 B .1 C .2 D .3 【答案】B 8 .奇函数()f x ,偶函数()g x 的图像分别如图1、2所示,方程(())0,(())0f g x g f x ==的实根个数分别 为,a b ,则a b +=

函数的零点与方程的解教学讲义

函数的零点与方程的解教学讲义 必备知识·探新知 基础知识 知识点1 函数的零点 (1)函数f (x )的零点是使f (x )=0的__实数x __. (2)函数的零点、函数的图象、方程的根的关系. 思考1:(1)函数的零点是点吗? (2)函数的零点个数、函数的图象与x 轴的交点个数、方程f (x )=0根的个数有什么关系? 提示:(1)不是,是使f (x )=0的实数x ,是方程f (x )=0的根. (2)相等. 知识点2 函数的零点存在定理 (1)条件:函数y =f (x )在区间[a ,b ]上的图象是__连续不断的曲线__,f (a )f (b )<0; (2)函数y =f (x )在区间(a ,b )上有零点,即存在c ∈(a ,b )使f (c )=0,这个c 也就是f (x )=0的根. 思考2:(1)函数y =f (x )在区间[a ,b ]上的图象是连续不断的一条曲线,f (a )f (b )<0时,能否判断函数在区间(a ,b )上的零点个数? (2)函数y =f (x )在区间(a ,b )上有零点,是不是一定有f (a )f (b )<0? 提示:(1)只能判断有无零点,不能判断零点的个数. (2)不一定,如f (x )=x 2在区间(-1,1)上有零点0,但是f (-1)f (1)=1×1=1>0. 基础自测 1.函数f (x )=4x -6的零点是( C ) A .2 3 B .(3 2,0) C .3 2 D .-32 [解析] 令4x -6=0,得x =32,∴函数f (x )=4x -6的零点是3 2 . 2.(2020·广州荔湾区高一期末测试)函数f (x )=x -2+log 2x ,则f (x )的零点所在区间为( B )

函数与方程、零点

函数与方程 一、考点聚焦 1.函数零点的概念 对于函数))((D x x f y ∈=,我们把使0)(=x f 的实数x 叫做函数)(x f y =的零点,注意以下几点: (1)函数的零点是一个实数,当函数的自变量取这个实数时,其函数值等于零。 (2)函数的零点也就是函数)(x f y =的图象与x 轴的交点的横坐标。 (3)一般我们只讨论函数的实数零点。 (4)求零点就是求方程0)(=x f 的实数根。 2、函数零点的判断 如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的曲线,并且有0)()(

高中数学《方程的根与函数的零点》公开课优秀教学设计一

2016年全国高中青年数学教师优秀课展示与培训活动交流课案 课 题:3.1.1 方程的根与函数的零点 教 材:人教A 版高中数学·必修1 【教材分析】 本节课的内容是人教版教材必修1第三章第一节,属于概念定理课。“函数与方程”这个单元分为两节,第一节:“方程的根与函数的零点”,第二节:“用二分法求方程的近似解”。 第一节的主要内容有三个:一是通过学生已学过的一元二次方程、二次函数知识,引出零点概念;二是进一步让学生理解:“函数()y f x =零点就是方程()0f x =的实数根,即函数 ()y f x =的图象与x 轴的交点的横坐标”;三是引导学生发现连续函数在某个区间上存在零 点的判定方法:如果函数()y f x =在区间[],a b 上图象是连续不断的一条曲线,并且有 ()()0f a f b ?<,那么,函数()y f x =在区间(),a b 内有零点,即存在(),c a b ∈,使得()0f c =,这个c 也就是方程()0f x =的根。这些内容是求方程近似解的基础。本节课的 教学主要是围绕如何用函数的思想解决方程的相关问题展开,从而使之函数与方程紧密联系在一起。为后续学习二分法求方程的近似解奠定基础,本节内容起着承上启下的作用,承接以前学过的方程知识,启下为下节内容学习二分法打基础。 【教学目标】 1.理解函数零点的概念;掌握零点存在性定理,会求简单函数的零点。 2.通过体验零点概念的形成过程、探究零点存在的判定方法,提高学生善于应用所学知识研究新问题的能力。 3.通过本节课的学习,学生能从“数”“形”两个层面理解“函数零点”这一概念,进而掌握“数形结合”的方法。 【学情分析】 1.学生具备的知识与能力 (1)初中已经学过一元二次方程的根、一元二次函数的图象与x 轴的交点横坐标之间的关系。 (2)从具体到抽象,从特殊到一般的认知规律。 2. 学生欠缺的知识与能力 (1)超越函数的相关计算及其图象性质. (2)通过对具体实例的探究,归纳概括发现的结论或规律,并将其用准确的数学语言表达出

函数与方程(零点问题)

§2.8 函数与方程 函数零点问题 学习目标;(1)理解函数零点定义,会应用函数零点存在性定理 (2)体会函数与方程的转化思想 一 知识导练 1. (必修1 P43练习3改编) 函数32()2f x x x x =-+的零点是____________. 解析:解方程x3-2x2+x =0得x =0或x =1,所以函数的零点是0或1. 导航:函数零点的求解 2.(必修1 P111复习13改编)已知函数()23x f x x =-,则函数f(x)的零点个数是____. 解析:解法1:令f(x)=0,则2x =3x ,在同一坐标系中分别作出y =2x 和y =3x 的图象,由图知函数y =2x 和y =3x 的图象有2个交点,所以函数f(x)的零点个数为2. 解法2:由f(0)>0,f(1)<0,f(3)<0,f(4)>0,…,所以有2个零点,分别在区间(0,1)和(3,4)内. 导航:函数零点个数的判定 3.给出以下三个结论:(1)0一定是奇函数的一个零点; (2)单调函数有且仅有一个零点; (3)周期函数一定有无穷多个零点. 其中正确的结论共有_____个。 4.(必修1 P97习题8)若关于x 的方程27(13)20x m x m -+--=的一个根在区间(0,1)上,另一个在区间(1,2)上,则实数m 的取值范围为_____________. 解析:设f(x)=7x2-(m +13)x -m -2,则???? ?f (0)>0,f (1)<0,f (2)>0,解得-41. 要点回顾:

方程的根与函数的零点题型及解析

方程的根与函数的零点 题型及解析 标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]

方程的根与函数的零点题型及解析1.求下列函数的零点 (1)f(x)=x3+1;(2)f(x)=;(3)y=﹣x2+3x+4;(4)y=x2+4x+4. 分析:根据函数零点的定义解f(x)=0,即可得到结论. 解:(1)由f(x)=x3+1=0得x=﹣1,即函数的零点为﹣1;(2)由f(x)==0 得x2+2x+1=0得(x+1)2=0,得x=﹣1,即函数的零点为﹣1.(3)由y=﹣x2+3x+4=0,可得(x﹣4)(x+1)=0,所以函数的零点为4,﹣1;(4)y=x2+4x+4,可得(x+2)2=0,所以函数的零点为﹣2. 2.①求函数f(x)=2x+x﹣3的零点的个数;②求函数f(x)=log 2 x﹣x+2的零点的个数;③求函数的零点个数是多少? 分析:①由题意可判断f(x)是定义域上的增函数,从而求零点的个数;②由题意可 得,函数y=log 2 x 的图象和直线y=x﹣2的交点个数,数形结合可得结论.③由函数 y=lnx 的图象与函数y=的图 象只有一个交点,可得函数f(x)=lnx-(1/x)的零点个数. 解:①∵函数f(x)=2x+x﹣3单调递增,又∵f(1)=0,故函数f(x)=2x+x﹣3 有且只有一个零点 ②函数f(x)=log 2x﹣x+2的零点的个数,即函数y=log 2 x 的图象和直线y=x﹣2 的交点个数,如图所示:故函数y=log 2 x 的图象(红色部分)和直线y=x﹣2(蓝 色部分)的交点个数为2,即函数f(x)=log 2 x﹣x+2的零点的个数为2;③函数 f(x)=lnx-(1/x)的零点个数就是函数y=lnx的图象与函数y=1/x的图象 的 交点的个数,由函数y=lnx 的图象与函数y=1/x的图象只有一个交点,如图 所示, 可得函数f(x)=lnx-(1/x)的零点个数是1 3.①已知方程x2﹣3x+a=0在区间(2,3)内有一个零点,求实数a的取值范围 ②已知a是实数,函数f(x)=﹣x2+ax﹣3在区间(0,1)与(2,4)上各有一个 零点,求a的取值. ③已知函数f(x)=x2﹣2ax+4在区间(1,2)上有且只有一个零点,求a的取值范围 分析:①由已知,函数f(x)在区间(2,3)内有一个零点,它的对称轴为x=3/2,得出不等式组,解出即可; ②若函数f(x)=﹣x2+ax﹣3在区间(0,1)与(2,4)上各有一个零点,则f(0)<0,f(1)>0,f(2)>0,f(4)<0,解得答案;③若函数f(x)=x2﹣2ax+4只有一个零点,则△=0,经检验不符合条件;则函数f(x)=x2﹣2ax+4有两个零点,进而f (1)f(2)<0,解得答案 解:①若函数f(x)=﹣x2+ax﹣3在区间(0,1)与(2,4)上各有一个零点,则f (0)<0,f(1)>0,f(2)>0,f(4)<0,即-3<0,a-4>0,2a-7>0,4a-19<0,解得:a∈(4,19/4);②∵令f(x)=x2﹣3x+a,它的对称轴为x=3/2,∴函数f (x)在区间(2,3)单调递增,∵方程x2﹣3x+a=0在区间(2,3)内有一个零点,∴函数f(x)在区间(2,3)内与x轴有一个交点,根据零点存在性定理得出:f(2)<0,f(3)>0,即a-2<0,9-9+a>0,解得0<a<2;③解:若函数f(x)=x2﹣2ax+4只有

函数与方程(零点)

§1-10 函数的应用---根与零点及二分法 【课前预习】阅读教材P86-90完成下面填空 1.方程()0=x f 有实根 ? ? 7.若()y f x =的最小值为1,则()1y f x =-的零点个数为 ( ) A .0 B .1 C .0或l D .不确定

8.已知)(x f 唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、(1,5)内,那么下面命题错误的( ) A .函数)(x f 在(1,2)或[)2,3内有零点 B .函数)(x f 在(3,5)内无零点 C .函数)(x f 在(2,5)内有零点 D .函数)(x f 在(2,4)内不一定有零点 9.若函数()f x 在[],a b 上连续,且有()()0f a f b >.则函数()f x 在[],a b 上 ( ) A .一定没有零点 B .至少有一个零点C .只有一个零点 D .零点情况不确定 10.如果二次函数)3(2 +++=m mx x y 有两个不同的零点,则m 的取值范围是( ) A .()6,2- B .[]6,2- C .{}6,2- D .()(),26,-∞-+∞ 11.方程22lg x x -=的实数根的个数是 ( ) A .1 B .2 C .3 D .无数个 12.二次函数()f x =ax 2 +bx+c 中,ac<0则函数的零点个数是 13.若()f x 的图像关于y 轴对称,且()f x =0有三个零点,则这三个零点之和等于 14.若()f x =???--≤≥--2 1,11 2,12 x x x x x 或则函数g(x)= ()f x -x 的零点为 15.已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x<2时,()f x =x 3 -x,则函数y=()f x 的图像在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为 16.已知函数()f x =4x +m.2x +1仅有一个零点,求m 的取值范围,并求出零点 17.若函数()f x =(m-2)x 2 +mx+(2m+1)的两个零点分别在区间(-1,0)和区间(1,2)内,则的取值范围是( ) A .(-21,41) B.(- 41,21) C.( 41,21) D.[ 41,2 1] 18.数()f x =ax+b(a ≠0)有一个零点是2,那么函数g(x)=bx 2 -ax 的零点是 19.数()f x =x 3 -3x+a 有3个不同的零点,则实数a 的取值范围是( ) A .(-2,2) B. [-2,2] C.(-∞,1) D. (1,+∞) 20.=cosx 在(-∞,+∞)内 ( ) A .没有根 B.有且仅有一个根 C. 有且仅有两个根 D. 有无穷多个根 21.()ln 2f x x x =-+的零点个数为 。 [学后反思]____________________________________________________

方程的根与函数的零点》说课稿

《方程的根与函数的零点》说课稿 1教材分析 1.1地位与作用 本节内容为人教版《普通高中课程标准实验教科书》A版必修1第三章《函数的应用》第一节《函数与方程》的第一课时,主要内容是函数零点概念、函数零点与相应方程根的关系、函数零点存在性定理,是一节概念课. 新课标教材新增了二分法,也因而设置了本节课.所以本节课首先是为“用二分法求方程的近似解”打基础,零点概念与零点存在性定理的是二分法的必备知识. 之前的教材虽然没有设置本节内容,但方程的根与函数的关系从来是重要且无法回避的,所以将本节课直接编入教材很有必要.本节课也就不仅为二分法的学习做准备,而且为方程与函数提供了零点这个连接点,从而揭示了两者之间的本质联系,这种联系正是“函数与方程思想”的理论基础.用函数的观点研究方程,本质上就是将局部的问题放在整体中研究,将静态的结果放在动态的过程中研究,这为今后进一步学习函数与不等式等其它知识的联系奠定了坚实的基础. 从研究方法而言,零点概念的形成和零点存在性定理的发现,符合

从特殊到一般的认识规律,有利于培养学生的概括归纳能力,也为数形结合思想提供了广阔的平台. 1.2教学重点 基于上述分析,确定本节的教学重点是:了解函数零点概念,掌握函数零点存在性定理. 2学情分析 2.1学生具备必要的知识与心理基础. 通过前面的学习,学生己经了解一些基本初等函数的模型,具备一定的看图识图能力,这为本节课利用函数图象,判断方程根的存在性提供了一定的知识基础. 方程是初中数学的重要内容,用所学的函数知识解决方程问题,扩充方程的种类,这是学生乐于接受的,故而学生具备心理与情感基础. 2.2学生缺乏函数与方程联系的观点. 高一学生在函数的学习中,常表现出不适,主要是数形结合与抽象思维尚不能胜任.具体表现为将函数孤立起来,认识不到函数在高中数学中的核心地位. 例如一元二次方程根的分布问题,学生自然会想到韦达定理,而不是看二次函数的图象.函数与方程相联系的观点的建立,函数应用的意识的初步树立,就成

函数与方程(零点)

§1-10 函数的应用---根与零点及二分法 【课前预习】阅读教材P86-90完成下面填空 1.方程()0=x f 有实根 ? ? 2.零点定理:如果函数()x f y =在区间 上的图象是 的一条曲线,并且 有 ,那么,函数()x f y =在区间 内有零点,即存在()b a c ,∈,使得 ,这个c 也就是方程()0=x f 的根. 3.二分法求函数()x f y =零点近似值的步骤: ⑴确定区间 ,验证 ,给定 。 ⑵求 ; ⑶计算 ;①若 ,则 ; ②若 ,则令 ; ③若 ,则令 。 ⑷判断 【课初5分钟】课前完成下列练习,课前5分钟回答下列问题 1.下列函数中有2个零点的是 ( ) A .lg y x = B .2x y = C .2y x = D .1y x =- 2.若函数()f x 在区间[],a b 上为减函数,则()f x 在[],a b 上 ( ) A .至少有一个零点 B .只有一个零点 C .没有零点 D .至多有一个零点 3.函数)(x f =-x 2+5x-6的零点是 4. 函数)(x f =x 21-( 21)x 的零点个数 5.函数)(x f =x 3-x 2-x+1在[0,2]上 零点 6.下列函数图像与x 轴均有交点,但不宜用二分法求函数零点的是( ) A B C D 7.若()y f x =的最小值为1,则()1y f x =-的零点个数为 ( ) A .0 B .1 C .0或l D .不确定 8.已知)(x f 唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、(1,5)内,那么下面命题错误的( ) A .函数)(x f 在(1,2)或[)2,3内有零点 B .函数)(x f 在(3,5)内无零点 C .函数)(x f 在(2,5)内有零点 D .函数)(x f 在(2,4)内不一定有零点 9.若函数()f x 在[],a b 上连续,且有()()0f a f b >.则函数()f x 在[],a b 上 ( )

方程的根与函数的零点练习答案

方程的根与函数零点综合练习题答案 一、选择题 1.下列函数中在区间[1,2]上有零点的是( ) A .f (x )=3x 2-4x +5 B .f (x )=x 3-5x -5 C .f (x )=ln x -3x +6 D .f (x )=e x +3x -6 2.设函数f (x )=1 3 x -lnx (x >0)则y =f (x )( ) A .在区间????1e ,1,(1,e )内均有零点 B .在区间??? ?1 e ,1, (1,e )内均无零点 C .在区间????1e ,1内有零点;在区间(1,e )内无零点D .在区间????1 e ,1内无零点,在区间(1,e )内有零点 3.函数f (x )=e x +x -2的零点所在的一个区间是( ) A .(-2,-1) B .(-1,0) C .(0,1) D .(1,2) 4.函数y =3 x -1x 2的一个零点是( ) A .-1 B .1 C .(-1,0) D .(1,0) 5.若函数f (x )是奇函数,且有三个零点x 1、x 2、x 3,则x 1+x 2+x 3的值为( ) A .-1 B .0 C .3 D .不确定 6.已知f (x )=-x -x 3,x ∈[a ,b ],且f (a )·f (b )<0,则f (x )=0在[a ,b ]内( ) A .至少有一实数根 B .至多有一实数根 C .没有实数根 D .有惟一实数根 7.若函数)(x f y =在区间[a ,b ]上的图象为连续不断的一条曲线,则下列说法正确的是( ) A .若0)()(>b f a f ,不存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ; B .若0)()(b f a f ,有可能存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ; D .若0)()(0,f (2)<0,则f (x )在(1,2)上零点的个数为( ) A .至多有一个 B .有一个或两个 C .有且仅有一个 D .一个也没有 9.函数f (x )=2x -log 12 x 的零点所在的区间为( ) A.??? ?0,1 4 B.????14,12 C.??? ?1 2,1 D .(1,2) 10.根据表格中的数据,可以判定方程e x -x -2=0的一个根所在的区间为( ) A.(-1,0) B 11.若函数f (x )=ax +b 的零点是2,则函数g (x )=bx 2-ax 的零点是( )

函数的零点问题

函数零点问题的求解 【教学目标】 知识与技能: 1.理解函数零点的定义以及函数的零点与方程的根之间的联系,掌握用连续函数 零点定理及函数图像判断函数零点所在的区间与方程的根所在的区间. 2.结合几类基本初等函数的图象特征,掌握判断函数的零点个数和所在区间法. 3.能根据函数零点的情况求参数的取值范围. 过程与方法: 1.函数零点反映了函数和方程的联系,函数零点与方程的根能相互转化,能把方程问题合理 转化为函数问题进行解决. 2.函数的零点问题的解决涉及到分类讨论,数形结合,化归转化等数学思想方法,有效提升了 学生的数学思想方法的应用. 情感、态度与价值观: 1.培养学生认真、耐心、严谨的数学品质; 2.让学生在自我解决问题的过程中,体验成功的喜悦. 【教学重点】 理解函数的零点与方程根的关系,形成用函数观点处理问题的意识. 【教学难点】 根据函数零点所在的区间求参数的取值范围 【教学方法】 发现、合作、讲解、演练相结合. 【教学过程】 一、引例 (1).函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是( ). A.()2,1-- B.()1,0- C.()0,1 D.()1,2 解法一:代数解法 解:(1).因为()0 0e 0210f =+-=-<,()1 1e 12e 10f =+-=->, 所以函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是()0,1.故选C. 二、 基础知识回顾 1.函数零点概念 对于函数()y f x =,把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点. 2. 零点存在性定理:如果函数()y f x =在区间[]a,b 上的图象是连续不断一条曲线,并且有

《方程的根与函数的零点》测试题

《3.1.1 方程的根与函数的零点》测试题 一、选择题 1.(2012天津)函数在区间(0,1)内的零点个数是( ). A.0 B.1 C.2 D.3 考查目的:考查函数零点的概念与零点存在性定理的应用. 答案:B. 解析:∵函数在区间(0,1)上连续且单调递增,又∵,,∴根据零点存在性定理可知,在区间内函数零点的个数有1个,答案选B. 2.(2010浙江)已知是函数的一个零点.若,,则( ). A. B. C. D. 考查目的:考查函数零点的概念、函数的性质和数形结合思想. 答案:B. 解析:(方法1)由得,∴.在同一直角坐标系中,作出函数,的图象,观察图象可知,当时,;当时,,∴,. (方法2)∵函数、在上均为增函数,∴函数在上为增函数,∴由,得,由,得. 3.若是方程的解,则属于区间( ).

A. B. C. D. 考查目的:考查函数零点的存在性定理. 答案:D. 解析:构造函数,由,知,属于区间(1.75,2). 二、填空题 4.若函数的零点位于区间内,则 . 考查目的:考查函数零点的存在性定理. 答案:2. 解析:∵函数在定义域上是增函数,∴函数在区间上只有一个零点. ∵,,,∴函数的零点位于区间内,∴. 5.若函数在区间(-2,0)与(1,2)内各有一个零点,则实数的取值范围. 考查目的:考查函数零点的概念,函数零点的存在性定理和数形结合思想. 答案:. 解析:由题意画出函数的草图,易得,即,解得. 6.已知函数,设函数有两个不同的零点,则实数 的取值范围是. 考查目的:考查函数零点的概念、函数与方程的关系和数形结合思想. 答案:.

解析:函数有两个不同的零点,即方程有两个不同的实数根,画出函数图象与直线,观察图象可得满足题意的实数的取值范围是. 三、解答题 7.利用函数图象判断下列方程有没有根,有几个根? ⑴; ⑵. 考查目的:考查方程有实数根等价于函数的图象与轴交点的情况. 解析:⑴方程可化为,作出函数的图象,与轴有两个交点,故原方程有两个实数根; ⑵方程可化为,作出函数的图象,开口向上,顶点坐标为,与轴没有交点,故原方程没有实数根. 8.求出下列函数零点所在的区间. ⑴;⑵. 考查目的:考查函数零点的存在性定理. 解析:⑴∵函数的定义域为,且在定义域上单调递增,在 上最多只有一个零点.又∵,, ,∴函数的零点所在的区间为. ⑵∵函数的定义域为R,且在定义域上单调递减,∴函数在R上最多只有一个零点,又∵,,,∴函数零点所在的区间为.

函数零点问题(讲解)

函数零点问题 【教学目标】 知识与技能: 1. 理解函数零点的定义以及函数的零点与方程的根之间的联系,掌握用连续函数零点定理及函数图像判断函数零点所在的区间与方程的根所在的区间. 2. 结合几类基本初等函数的图象特征,掌握判断函数的零点个数和所在区间法. 3.能根据函数零点的情况求参数的取值范围. 【教学重点】 理解函数的零点与方程根的关系,形成用 函数观点处理问题的意识. 【教学难点】 根据函数零点所在区间求参数的取值范围 【教学方法】 发现、合作、讲解、演练相结合. 一、引例 (1).函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是( ). < A.()2,1-- B.()1,0- C.()0,1 D.() 1,2 解法一:代数解法 解:(1).因为()0 0e 0210f =+-=-<,()11e 12e 10f =+-=->, 所以函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是()0,1.故选 C. 二、 基础知识回顾

1.函数零点概念 对函数()y f x =,把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点. 2.零点存在性定理:如果函数()y f x =在区间[]a,b 上的图象是连续不断一条曲线,并且有()()0f a f b ?<,那么,函数()y f x =在区间()a,b 内有零点.即存在()c a,b ∈,使得()0f c =,这个c 也就是方程()0f x =的根. 有零点吗 引例除了用零点基本定理,还有其他方法可以确定函数零点所在的区间吗 · 解法二:几何解法 (1). ()e 2x f x x =+- 可化为2x e x =-+. 画出函数x y e =和 2y x =-+的图象,可观察得出C 正确. ) )0=有实数根

方程的根与函数的零点说课稿

《方程的根与函数的零点》说课稿 1 教材分析 1.1 地位与作用 本节内容为人教版《普通高中课程标准实验教科书》A版必修1第三章《函数的应用》第一节《函数与方程》的第一课时,主要内容是函数零点概念、函数零点与相应方程根的关系、函数零点存在性定理,是一节概念课. 新课标教材新增了二分法,也因而设置了本节课.所以本节课首先是为“用二分法求方程的近似解”打基础,零点概念与零点存在性定理的是二分法的必备知识.之前的教材虽然没有设置本节内容,但方程的根与函数的关系从来是重要且无法回避的,所以将本节课直接编入教材很有必要.本节课也就不仅为二分法的学习做准备,而且为方程与函数提供了零点这个连接点,从而揭示了两者之间的本质联系,这种联系正是“函数与方程思想”的理论基础.用函数的观点研究方程,本质上就是将局部的问题放在整体中研究,将静态的结果放在动态的过程中研究,这为今后进一步学习函数与不等式等其它知识的联系奠定了坚实的基础. 从研究方法而言,零点概念的形成和零点存在性定理的发现,符合从特殊到一般的认识规律,有利于培养学生的概括归纳能力,也为数形结合思想提供了广阔的平台. 1.2 教学重点 基于上述分析,确定本节的教学重点是:了解函数零点概念,掌握函数零点存在性定理. 2 学情分析 2.1 学生具备必要的知识与心理基础. 通过前面的学习,学生已经了解一些基本初等函数的模型,具备一定的看图识图能力,这为本节课利用函数图象,判断方程根的存在性提供了一定的知识基础.方程是初中数学的重要内容,用所学的函数知识解决方程问题,扩充方程的种类,这是学生乐于接受的,故而学生具备心理与情感基础. 2.2学生缺乏函数与方程联系的观点. 高一学生在函数的学习中,常表现出不适,主要是数形结合与抽象思维尚不能胜任.具体表现为将函数孤立起来,认识不到函数在高中数学中的核心地位. 例如一元二次方程根的分布问题,学生自然会想到韦达定理,而不是看二次函数的图象.函数与方程相联系的观点的建立,函数应用的意识的初步树立,就成了本节课必须承载的任务. 2.3直观体验与准确理解定理的矛盾. 从方程根的角度理解函数零点,学生并不会觉得困难.而用函数来确定方程根的个数和大致范围,则需要适应.换言之,零点存在性定理的获得与应用,必须让学生从一定量的具体案例中操作感知,通过更多的举例来验证.

函数方程与零点(精)

函数的零点 .【高考考情解读】常考查:1.结合函数与方程的关系,求函数的零点.2.结合根的存在性定理或函数图像,对函数是否存在零点或存在零点的个数进行判断.3.判定函数零点(方程的根)所在的区间.4.利用零点(方程实根)的存在求相关参数的值或取值范围.高考题突出数形结合思想与函数方程思想的考查,以客观题的形式为主. (1)函数与方程的关系:函数f (x )有零点?方程f (x )=0有根?函数f (x )的图象与x 轴有交点?f (x )与g (x )有交点?f (x )=g (x ). 函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根,即函数y =f(x)的图像与函数y =g(x)的图像交点的横坐标. (2)函数f (x )的零点存在性定理:如果函数f (x )在区间[a ,b ]上的图象是连续不断的曲线,并且有f (a )·f (b )<0,那么,函数f (x )在区间(a ,b )内有零点,即存在c ∈(a ,b ),使f (c )=0. 注:①如果函数f (x )在区间[a ,b ]上的图象是连续不断的曲线,并且函数f (x )在区间[a ,b ]上是一个单调函数,那么当f (a )·f (b )<0时,函数f (x )在区间(a ,b )内有唯一的零点,即存在唯一的c ∈(a ,b ),使f (c )=0. ②如果函数f (x )在区间[a ,b ]上的图象是连续不断的曲线,并且有f (a )·f (b )>0,那么,函数f (x )在区间(a ,b )内不一定没有零点. ③如果函数f (x )在区间[a ,b ]上的图象是连续不断的曲线,那么当函数f (x )在区间(a ,b )内有零点时不一定有f (a )·f (b )<0,也可能有f (a )·f (b )>0. (3)判定函数零点的方法:①解方程法;②利用零点存在性定理判定;③数形结合法,尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解. (2013·重庆)若a 0), 2x +1(x ≤0),的零点个数是 ( )

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