高三统一练习（一）
数 学 试 题（理）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。考试时间120分钟，共150分。
考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷 （选择题 共40分）
注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试卷上。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。
1．设集合A ={-1，0，1，2}，B =}13|{<≤-x x ，则A ∩B
（ ）
A ．{-1，0，1}
B ．{-1，0}
C ．}01|{<<-x x
D ．}01|{≤≤-x x 2．抛物线2
4
1x y =的焦点坐标是
（ ）
A ．（
161
，0） B ．（0，
16
1） C ．（0，1）
D ．（1，0） 3．已知3
1
cos sin =-θθ，则sin2θ的值为 （ ）
A ．3
2-
B ．32
C ．9
8-
D ．
9
8
4．若函数()y f x =的图象与函数x y 2
log 1+-=的图象关于y=x 对称，则=-)1(x f
（ ） A ．4x B ．4x+1 C ．2x D ．2x+1
5．已知m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个不重合的平面，α∥β的一个充分条 件是 （ ） A ．m ∥α，m ∥β B ．α ⊥γ，β⊥γ
C ．m ?α，n ?β，m ∥n
D ．m 、n 是异面直线，m ?α，m ∥β，m ?β，n ∥α 6．在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包
括边界），若目标函数ay x z +=取得最小值的最优 解有无数个，则a
x y
-的最大值是 （ ）
A ．32
B ．
52
C ．6
1
D ．4
1
7．直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数()f x 的图象恰好通过 )(*N k k ∈个格点，则称()f x 为k 阶格点函数，下列函数 ①x x f sin )(=； ②3)1()(2+-=x x f π； ③x
x f )3
1()(=；
④x x f 6.0log )(=。 其中是一阶格点函数的有
（ ）
A ．①②
B ．①④
C ．①②④
D ．①②③④
8．已知函数)(x f y =的定义域为R ，当x ＜0时，)(x f ＞1，且对任意的x ，y ∈R ，等式 )()()(y x f y f x f +=?成立。若数列{a n }满足)0(1f a =，且 )()
2(1
)(*1N n a f a f n n ∈--=+，则a 2009的值为
（ ）
A ．4016
B ．4017
C ．4018
D ．4019
第Ⅱ卷 （共110分）
注意事项： 1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。 9．已知z 是复数，i 是虚数单位，若（1-i ）z =2i ，则z = 。
10．极限x
x x x 6
100)1()1(lim +-+→= 。
11．如图，等腰梯形ABCD 中，E ，F 分别是BC 上
三等分点，AD =AE =1，BC =3，若把三角形ABE 和DCF 分别沿AE 和DF 折起，使得B 、C 两点 重合于一点P ，则二面角P —AD —E 的大小为 。
12．设集合D ={平面向量}，定义在D 上的映射f ，满足对任意x ∈D ，均有R x x f ∈=λλ()( )0≠λ且，若|a |=|b|且a 、b 不共线，则[f （a ）-f （b ）]·
（a +b ）= 。
若A （1，2），B （3，6），C （4，8），且f =)(，则λ= 。
13．已知F （C ，0）是椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的右焦点，以坐标原点O 为圆心，A 为半
径作圆P ，过F 垂直于x 轴的直线与圆P 交于A ，B 两点，过点A 作圆P 的切线交x 轴
于点M 。若直线l 过点M 且垂直于x 轴，则直线l 的方程为 ；若|OA |=|A M|， 则椭圆的离心率等于 。
14．对于集合N ={1，2，3，…，N }的每一个非空子集，定义一个“交替和”如下：按照递 减的次序重新排列该子集，然后从最大数开始交替地减、加后继的数。例如集合{1，2， 4，6，9}的交替和是9-6+4-2+1=6，集合{5}的交替和为5，当集合N 中的n =2，集合N={1， 2}的所有非空子集为{1}，{2}，{1，2}，则它的“交替和”的总和S 2=1+2+（2-1）=4， 请你尝试对n =3、n =4的情况，计算它的“交替和”的总和S 3、S 4，并根据其结果猜测 集合N ={1，2，3，…,n }的每一个非空子集的“交替和”的总和S n = 。
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分） 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为A ，B ，C ，已知向量m=（a ，3b -c ），n =（cos A ， cos C ），满足m ∥n 。 （Ⅰ）求cos A 的大小； （Ⅱ）求)4
sin()4sin(22sin 2
π
π+--+A A C B 的值。
16．（本小题满分14分） 在直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB ∥CD ，AB =AD =1，D 1D =CD =2，AB ⊥AD 。 （Ⅰ）求证：BC ⊥D 1DB ；
（Ⅱ）求D 1B 与平面D 1DCC 1所成角的大小；
（Ⅲ）在BB 1上是否存在一点F ，使F 到平面D 1BC 的距离为
3
3
，则指出该点的位置； 若不存在，请说明理由。 17．（本小题满分13分） 高三（1）班和高三（2）班各选出3名学生组成代表队，进行乒乓球对抗赛，比赛规则 是： ① 按“单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛； ② 代表队中每名队员至少参加一盘比赛，但不得参加两盘单打比赛；
③ 先胜两盘的队获胜，比赛结束。已知每盘比赛双方胜出的概率均为
2
1
。 （Ⅰ）根据比赛规则，高三（1）班代表队共可排出多少种不同的出场阵容； （Ⅱ）高三（1）班代表队连胜．．
两盘的概率为多少？
（Ⅲ）设高三（1）班代表队获胜的盘数为ξ，求ξ的分布列和数学期望。 18．（本小题满分13分）
已知函数.0),22()(2≠∈--?=a R a x ax e x f x 且
（Ⅰ）若曲线)(x f y =在点P （1，f （1））处的切线垂直于y 轴，求实数a 的值； （Ⅱ）当a ＞0时，求函数f （|cos x |）的最大值和最小值。 19．（本小题满分14分）
已知动圆P 过点N （5，0）并且与圆M ：16)5(22=++y x 相外切，动圆圆心P
的轨迹为W ，轨迹W 与x 轴的交点为D 。 （Ⅰ）求轨迹W 的方程； （Ⅱ）设直线l 过点（m ，0）（m ＞2）且与轨迹W 有两个不同的交点A ，B ，求直线l 的 斜率k 的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若0=?，证明直线l 过定点，并求出这个定点的坐标。
20．（本小题满分13分） 已知函数R x x x g x x f ∈=+=,2)(,14)(，数列{a n }，{b n }，{c n }满足条件：a 1=1，
]3)(][2
1
)(21[1
),)(()(*1++=
∈==+n g n f c N n b g b f a n n n n
（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；
（Ⅱ）求数列{c n }的前n 项和为T n ，并求使得T n ＞150
m
对任意n ∈N *都成立的最大正整 数m ； （Ⅲ）求证：.3
1
213221->???+++n a a a a a a n n
参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
1．B 2．C 3．D 4．A 5．D 6．B 7．C 8．B 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。 9．-1+i
10．4
11．arctan
2
3 12．0，2
13．2
2
,
2c a x = 14．1
2
-?n n
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）
（Ⅰ）由m ∥n 得a cos C =（3B -C ）cos A ， 1分 由正弦定理得sin A cos C =（3sin B -sin C ）cos A ， 3分 即sin A cos C +sin C cos A =3sin B Cos A ， ∴sin （A +C ）=3sin B cos A ， ∵△ABC 中，A +C =π-B ， ∴sin （π-B ）=sin B cos A ， 即sin B =3sin B cos A ∵B ∈（0，π）， sin B ≠0
∴cos A =3
1
。 6分
（Ⅱ）)4
sin()4sin(22sin
2ππ+--+A A C B =)cos 2
2
sin 22)(cos 22sin 22(
22
sin 2
A A A A A
+---π 9分 =)cos (sin 2cos
222
A A A
--
11分
=
1cos 22cos 12-++A A
=9
11)31(223112-=-++
13分
16．（本小题满分14分）
解法一：
（Ⅰ）证明：∵ABCD —A 1B 1C 1D 1为直四棱柱
∴D 1D ⊥平面ABCD ， ∴BC ⊥D 1D ∵AB ∥CD ，AB ⊥AD 。 ∴四边形ABCD 为直角梯形， 又∵AB =AD =1,CD =2， 可知BC ⊥DB ， ∵D 1D ∩DB =D ∴BC ⊥平面D 1DB 4分
（Ⅱ）取DC 中点E ，连接BE ，D 1E 。 ∵DB =BC ， ∴BE ⊥CD 。 ∵ABCD —A 1B 1C 1D 1为直四棱柱， ∴平面ABCD ⊥平面D 1DCC 1. ∴BE ⊥平面D 1DCC 1. ∴D 1E 为D 1B 在平面D 1DCC 1上的射影， ∴∠BD 1E 为所求角 在Rt △D 1BE 中BE =1，D 1E =5。
tan ∠B 1DE =
.5
5
1=E D BE ∴所求角为arctan
5
5
9分
（Ⅲ）假设B 1B 存在点F ，设BF =X ，
∵BF D C BC D F V V 11--=，BC ⊥平面D 1BF
∴
BC S S BF D BC D ?=???113
13331 ∵在△D 1BC 中BC ⊥D 1B ，D 1B =6，BC =2。 ∴.3262
1
2111=??=?=
?BC B D S BC D
又,2
222121111x x B D BF BF D =??=?=
?
∴
.122
23133331=???=?x x 即存在点F 为B 1B 的中点
14分
解法二：
（Ⅰ）证明：如图建立坐标系D —XYZ ， D （0，0，0），B （1，1，0），C （0，2，0），D 1（0，0，2） ∵=BC （-1，1，0），=1DD （0，0，2） =（1，1，0）
。 ∵,0,01=?=?DD ∴BC ⊥DD 1，BC ⊥DB 。 ∵D 1D ∩DB =D ，
∴BC ⊥平面D 1DB
4分
（Ⅱ）D 1=（1，1，-2），A （1，0，0），=（1，0，0）。 ∵AD ⊥平面D 1DCC 1，
∴平面D 1DCC 1的法向量=（1，0，0）
∵6
6
1
61|,cos |1=
?=
=
> ∴D 1B 与平面D 1DCC 1所成角的大小为6 6arcsin 9分 （Ⅲ）假设B 1B 存在点F ，设BF =a ，则F （1，1，a ）， 设平面D 1BC 的法向量),,(z y x = 由.00 20 01???=+-=-+??????=?=?y x z y x n BC D 令x =1，则y =z =1. ∴=n （1，1，1） ，又=BF （0，0，a ） ∴3 3 |,cos |= = > ∵F 到平面D 1BC 的距离为 3 3， ∴.13 33333|,cos |||=?=??= > 14分 17．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）参加单打的队员有2 3A 种方法，参加双打的队员有12C 种方法。 所以，高三（1）班出场阵容共有?23A 12 C =12（种） 3分 （Ⅱ）高三（1）班代表队连胜两盘，可分为第一盘、第二盘胜或第一盘负，其余两盘胜。 所以，连胜两盘的概率为8 3 2121212121=??+? 7分 （Ⅲ）ξ的取值范围可能为0，1，2. P （ξ=0）=.4 12121=? P （ξ=1）==??+??212121212121.41 P （ξ=2）=.2 1 2121212121212121=??+??+?? ∴ξ的分布列为 ∴E ξ=0×4+1×4+2×2=4 13分 18．（本小题满分13分） 解：)'22()22()'()('2 2 --?+--?=x ax e x ax e x f x x =)22()22(2-?+--?ax e x ax e x x =).2)(2 (+- ?x a x e a x 3分 （Ⅰ）∵曲线)(x f y =在点P （1，f （1））处的切线垂直于y 轴， 由导数的几何意义得0)1('=f ∴.2=a 6分 （Ⅱ）设)10(|cos |≤≤=t t x ，只需求函数)10)((≤≤=t t f y 的最大值和最小值…7分 令0)`(=x f ，解得a x 2 =或2-=x 。 ∵22 ,0->∴ >a a 当x 变化时，'()f x 与)(x f 的变化情况如下表： 函数)(x f 在（-∞，-2）和（a ，+∞）上单调递增；在（-2，a ）上单调递减…9分 ①当 12 ≥a ，即20≤ ②当0＜ a 2 ＜1，即2>a ，函数)(x f 的最小值为[0，1]上的最小值， ∴.2)2 (2 min a e a f y -== 函数)(t f 在[0，1]上的最大值为)0(f 与)1(f 中的较大者。 因为)0(f =-2，.)4()1(e a f -= ∴当e a 2 4->时，)1(f ＞)0(f ，此时;)4()1(max e a f y -== 当e a 2 4 =时，)1(f =)0(f ，此时;2)1()0(max -===f f y 当2< 2 4-时，)1(f ＜)0(f ，此时;2)0(max -==f y 12分 综上，当20≤ 当2≤ 4-时，|)cos (|x f 的最小值为a e 2 2-，最大值为-2； 当e a 2 4->时，|)cos (|x f 的最小值为a e 2 2-，最大值为e a )4(- 13分 19．（本小题满分14分） （Ⅰ）由已知52||4||||=<=-MN PN PM ， ∴点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，且 1,5,2===b c a ∴轨迹W 的方程为).2(14 22 ≥=-x y x 4分 （Ⅱ）设直线l 的方程为).0,2)((≠>-=k m m x k y 由?????=--=14 )(2 2y x m x k y 得)041(0448)41(222222≠-=--+-k m k mx k x k 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则 x 1+x 2= 014822>-k m k ① x 1x 2=01 44 42 22>-+k m k ② △=0)44)(41(4642 2 2 2 2 >+-+m k k m k ③ 由①②③得4k 2＞1 ∴直线l 斜率k 的取值范围是),2 1 ()21,(+∞- --∞ 9分 （Ⅲ）),2(),2(2211y x y x -?-=? =)()(4)(2)2)(2(2121212121m x k m x k x x x x y y x x --+++-=+-- =2 2 212 212 4))(()1(m k x x mk x x x k ++++-+. =222 2 2222241 48)2(14)44)(1(m k k mk mk k m k k ++-+--++ ∵=?DB DA 0 ∴041 48)2(14)44)(1(2 22 222222=++-+--++m k k mk mk k m k k ∴,0)14)(4(8)2()44)(1(22222222=-+++-++k m k mk mk m k k ∴.0316202 2 2 2 =+-m k m k k ∵k ≠0 ∴0201632=+-m m ，解得3 10 =m ，或m =2（舍）。 直线l 的方程为).310(- =x k y 直线l 过定点，定点坐标为（3 10 ，0） 20．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由题意,2,14111+++=+=n n n n b a b a ∴,121+=+n n a a 2分 ∴),1(211+=++n n a a ∵,11=a ∴数列{a n +1}的首项为2，公比为2的等比数列 4分 ∴.2211-?=+n n a ∴12-=n n a 5分 （Ⅱ）∵)3 21 121(21)32)(12(1+-+=++= n n n n c n 7分 ∴)3 2112171515131(21+-++???+-+-= n n T n = .9 6)32(3)32131(21+=+?=+-n n n n n 8分 ∵,115691569615612 21>+++=+?++=+n n n n n n n n T T n n ∴.,*1N n T T n n ∈<+ ∴当n=1时，n T 取得最小值15 1 10分 由题意得 151＞150 m ，得10 131212223121)12(21211212111k k k k k k k k a a ?-≥-+?-=--=--=+++ 12分 k =1，2，3，…，n ∴ .31 2)211(312)212121(312213221->--=???++-≥???+++n n n a a a a a a n n n n ∴ 13221++???++n n a a a a a a )(3 12*N n n ∈-> 14分 高三数学第一次月考试题（文科） 一、选择题（四个选项中只选一项，每小题5分，共60分） 1. 设集合V={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，5}，则A ?（CuB ）= （ ） A. {2} B. {2，3} C. {3} D.{1，3} 2. 已知P 是r 的充分不必要条件，S 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，那么p 是q 成立的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 与曲线11 -=x y 关于位点对称的曲线为 （ ） A.x y +=11 B. x y +-=11 C. x y -=11 D. x y --=11 4. 若x x x f 1 )(-=则方程x x f =)4(的根是 （ ） A. 21 B. 2 1- C. 2 D. 2- 5. 等差数列{n a }中,24321-=++a a a ,78201918=++a a a ，则此数列前20项和等于 （ ） A. 160 B. 180 C. 200 D. 220 6. 若不等式2+ax ＜6的解集为(－1，2)，则实数a 等于 （ ） A. 8 B. 2 C. －4 D.－8 7. 函数y=sin ))(6 ( )3 (R X x COS x ∈++-π π 的最小值等于 （ ） A. 5- B. 3- C. 2- D. 1- 8. 函数)1()1(2-+=x x y 在1=x 处的导数等于 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 5本不同的书，全部分给4名学生，每名学生至少1本不同分法的种数为 （ ） A. 480 B. 240 C. 120 D. 96 10. 椭圆14 22 =+y x 的两个焦点为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P 则||2PF = （ ） A. 2 3 B.3 C. 2 7 D.4 11. 已知点A(1，2)、B （3，1）则线段AB 的垂直平分线的方程是 （ ） A. 524=+y x B. 524=-y x C. 52=+y x D. 52=-y x 12. 四面体ABCD 四个面的重心分别为E 、F 、G 、H ，则四面体EFGH 的表面积与四面体ABCD 的表面积的比值是 （ ） A. 27 1 B. 16 1 C. 9 1 D. 8 1 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. )1()2(210-+x x 的展开式中x 的系数为__________。（用数字作答） 14. 设x 、y 满足约束条件，?????≥≤≤+o y x y y x 1则y x z +=2的最大值是__________。 15. 某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样 2018年九年级第一次模拟考试数学试卷分析及复习备考 一模考试是中考前的适应性训练与平时复习有效结合的载体，它一方面检验了学生在中考第一轮复习后所取得的阶段性成绩，可以从中找到自身的不足，发现存在的问题，并能及时调整第二阶段复习的重点和目标；另一方面也为教师下一步更有针对性的复习提供一些最新的思路和比较有价值的复习方向。从整张试卷反馈的各方面指标来看，具有一定的导向性，它与中考的精神会有多大的一致在这里不敢断言，但至少呈现出以下一些亮点： 一、试卷分析 （一）试卷内容分析 1、试卷结构符合中考要求 试卷满分120分，选择为8小题，填空7小题，且每题为一空，解答题8小题。试卷难度系数稍难，安排有序，层次合理。试卷整体质量比较高，体现了省中考纲要对学生掌握知识和应用能力的要求，同时对第二轮中考复习指明了一些思路和好的策略。 2、准确把握对数学知识与技能的考查 全卷基础知识、基本技能的考查题覆盖面广，基本题如填空、选择部分以及计算、全等形证明、统计等都以常规题型为主，并以基本要求为考查目的，强调知识的直接应用，考查了学生的基本运算能力、数据处理能力、阅读理解能力、分析问题与解决问题的能力。试卷既保证了大多数同学对基础知识的理解和简单运用，让他们有成功的体验；又有一定的区分度，给学有余力的同学创造了展示自我的空间，有助于考生较好地发挥思维水平。 3、重视与实际生活相联系 全卷设置了具有显示情景式的实际问题如7、19、20题，这些试题贴近学生的实际生活，体现了数学与生活的联系。将考查的知识点融入生活中，可以引导学生经历解决实际问题的过程，体验运用数学知识解决实际问题的情感，考查学生从实际问题中抽象数学模型的能力，培养用数学，做数学的意识， 4、注重考查学生的创新意识 试卷以动点题为压轴题，考查学生的综合数学素养和创新能力。22，23 题图形较熟悉，问题设置也较简明，使学生入手容易，但得满分较难，需要较高的数学素养。本题有利于激活学生的创新意识、发展思维品质，堤高数学素养。 （二）答卷情况分析 我校学生一模考试共有特优32人，优秀216人。答题中存在问题，选择题第7、8题，填空题13、14、15题出错率教高，原因是学生对旋转、翻折、与圆有关几何问题掌握及灵活运用能力不足。16、19题规范化上存在问题。22、23题失分严重，原因综合素质差，数型结合意识不强，不能整体感知几何图形，找不到知识之间的联系点，缺乏分类讨论思想。另外答题中也存在没有认真看题，审题不清，在读题、审题环节上的马虎。 二、第二轮复习应该注意的几个问题 1、第二轮复习不再以节、章、单元为单位，而是以专题为单位，专题的划分要合理，选择要准，有代表性，切忌面面俱到；要有针对性，重要处要狠下功夫，不惜“浪费”时间，舍得投入精力 2、注重解题后的反思。解题之合要反思，从六个方面进行 （1）思因果：思考在解题过程中的运用了那些知识点、已知条件及它们之间的关系，还有哪些条件没有用过，结果与题意或实际生活是否相符等。高三数学第一次月考试题(文科)
九年级第一次模拟考试数学试卷分析
高三数学第一次月考数学(理)试题