A B C
D E F
H 如东中学高三数学中档题专题训练三
班级 姓名
1.抛物线2
4y mx =(0)m >的焦点到双曲线
22
1169
x y -=的一条渐近线的距离为3，则此抛物线的方程为 ．
2. 圆柱形容器内盛有高度为3cm 的水，若放入三个相同的珠（球的半么与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是____cm.
3．已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，左、右焦点分别为1F ，2F ，且它们在第一象限的交点为P ，△12PF F 是以1PF 为底边的等腰三角形．若1PF ＝10，双曲线的离心率的取值范围为(1，2)，则该椭圆的离心率的取值范围是 ．
4.如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，AB=2EF=2，EF ∥AB,EF ⊥FB,∠BFC=90°，BF=FC,H 为BC 的中点， (Ⅰ)求证：FH ∥平面EDB; （Ⅱ）求证：AC ⊥平面EDB;
（Ⅲ）求四面体B —DEF 的体积。
5．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l
：－y ＋3
＋＝0和圆1C ：2x ＋2y ＋8x ＋F ＝0．若直线l 被圆1C
截得的弦长为． （1）求圆1C 的方程；
（2）设圆1C 和x 轴相交于A ，B 两点，点P 为圆1C 上不同于A ，B 的任意一点，直线PA ，PB 交y 轴于M ，N 两点．当点P 变化时，以MN 为直径的圆2C 是否经过圆1C 内一定点？请证明你的结论；
（3）若△RST 的顶点R 在直线x ＝－1上，点S ，T 在圆1C 上，且直线RS 过圆心1C ， ∠SRT ＝30?，求点R 的纵坐标的范围．
6．已知圆O 的方程为2
2
16x y +=，圆O 交x 轴于,A B 两点（如图），以AB 为长轴的椭圆E 的右焦点为F ，右准线与x 轴交于点K ，点M 在椭圆E 上，且
1
,2
O M K M
M F O K k k ⊥?
=- （1） 求椭圆E 的方程；
（2） 设Q 是椭圆E 上任意一点（E 的顶点除外），P 是圆
O 上一点，且满足0PQ OA ?=
，过P 的圆O 的切线PT 交x
轴于点T ，求证：OQ TQ k k ?为定值；
B
Y
X
K M
A O
F
7．如图，F 是椭圆()0122
22>>=+b a b
y a x 的一个焦点，B
A ,是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率为
2
1
，点C 在x 轴上，F C B BF BC ,,,⊥三点确定的圆M 恰好与直线
033:1=++y x l 相切．
（1） 求椭圆的方程；
（2） 过点A 的直线2l 与圆M 交与Q P ,两点，且
2-=?，求直线2l 的方程。
8．已知直线220x y -+=经过椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>
的左顶点A 和上顶点D ，椭圆C 的右顶点为B ，点S 为椭 圆C 上位于x 轴上方的动点，直线，,AS BS 与直线10:3
l x = 分别交于,M N 两点。
（I ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）求线段MN 的长度的最小值；
（Ⅲ）当线段MN 的长度最小时，在椭圆C 上是否存在这
样的点T ，使得TSB ?的面积为
1
5
？若存在，确定点T 的个数，若不存在，说明理由
几何证明专题 1、如图，AB是圆O的直径，D,E为圆上位于AB异侧的两点，连结BD并延长至点C，使BD =DC，连结AC,AE,DE . 2、如图，O和e O'相交于A, B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于点，连结DB并延长交eO于点E. 证明：（I）ACeBD二ADUB ； （II）AC=AE C,D两 B
3、选修4 —1几何证明选讲 如图，MBC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E. (I)证明：MBE sA ADC ； "）若MBC的面积S^AD^AE，求Z BAC的大小. 4、如图，D, E分别为MBC的边AB , AC上的点，且不与心ABC的顶点重合.已 知AE的长为m, AC的长为n, AD , AB的长是关于x的方程Mx + mn-o的 两个根. （I）证明：C, B, D , E四点共圆; (II )若N A=9O。，且m=4, n=6,求C B , D , 所在圆的半径. B
全国名校高中数学优质学案、专题汇编（附详解） 参考答案 1 .【答案】证明：连接AD。 ??? AB是圆O的直径，??? NADB=9O0（直径所对的圆周角是直角）。 ? ?? AD丄BD （垂直的定义）。 又??? BD =DC，二AD是线段BC的中垂线（线段 的中垂线定义）。 AB =AC （线段中垂线上的点到线段两端的距 离相等）。 ? Z B=N C （等腰三角形等边对等角的性质）。 又??? D,E为圆上位于AB异侧的两点, ? ?? N B=N E （同弧所对圆周角相等）。 ? ?? N E =N C （等量代换）。 2.【命题意图】本题主要考查几何选讲的基础知识，是简单题. 证明：（1）由AC与eO相切于A，得N CAB二NADB，同理土ACB^DAB ,
2018年安徽中考数学专题复习 几何探究题 类型一 与全等三角形有关的探究 ★1. 如图①，P 是△ABC 的边BC 上的任意一点，M 、N 分别在AB 和AC 边上，且PM ＝PB ，PN ＝PC ，则△PBM 和△PCN 叫做“孪生等腰三角形”． (1)如图②，若△ABC 是等边三角形，△PBM 和△PCN 是“孪生等腰三角形”，证明△PMC ≌△PBN ； (2)如图③，若△ABC 为等腰三角形，AB ＝AC ，△PBM 和△PCN 是“孪生等腰三角形”，证明：BN ＝CM ； (3)如图④，若(2)中P 点在CB 的延长线上，其他条件不变，是否依然有BN ＝CM ，若是，请证明，若不是，请说明理由． 第1题图 (1)证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°， ∵△PBM 和△PCN 是“孪生等腰三角形”， ∴PM ＝PB ，PN ＝PC ， ∴△PBM 和△PCN 是等边三角形， ∴∠BPM ＝∠NPC ＝60°， ∴∠BPM ＋∠MPN ＝∠NPC ＋∠MPN ，即∠BPN ＝∠MPC . 在△PMC 和△PBN 中， ???? ?PM ＝PB ∠MPC ＝∠BPN ，PC ＝PN ∴△PMC ≌△PBN (SAS)； (2)证明：如题图③，∵△ABC 为等腰三角形，AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝∠ACB ， ∵△PBM 和△PCN 是“孪生等腰三角形”， ∴PM ＝PB ，PN ＝PC ， ∴∠PBM ＝∠PMB ，∠PCN ＝∠PNC ， ∴∠BPM ＝∠CPN ， ∴∠BPM ＋∠MPN ＝∠CPN ＋∠MPN ， ∴∠BPN ＝∠MPC ， 在△PMC 和△PBN 中， ???? ?PM ＝PB ∠MPC ＝∠BPN ，PC ＝PN
A B C D E F 1．甲烷分子由一个碳原子和四个氢原子组成,其空间构型为一正四面体,碳原子位于该正四 面体的中心,四个氢原子分别位于该正四面体的四个顶点上.若将碳原子和氢原子均视为一 个点(体积忽略不计),且已知碳原子与每个氢原子间的距离都为a ,则以四个氢原子为顶点 的这个正四面体的体积为( ) A, 3827a B,327a C,313a D,38 9 a 2．夹在两个平行平面之间的球,圆柱,圆锥在这两个平面上的射影都是圆,则它们的体积之 比为( ) A,3:2:1 B,2:3:1 C,3:6:2 D,6:8:3 3．设二面角a αβ--的大小是0 60,P 是二面角内的一点,P 点到,αβ的距离分别为1cm, 2cm,则点P 到棱a 的距离是( ) B,3cm C,2 3 cm 4．如图,E,F 分别是正三棱锥A -BCD 的棱AB,BC 的中点,且DE ⊥EF.若BC=a ,则此正三棱锥的体积是( ) A,324 a B,3 24a C, 312a D,3 12 a 5．棱长为的正八面体的外接球的体积是( ) A, 6 π 6．若线段AB 的两端点到平面α的距离都等于2,则线段AB 所在的直线和平面α 的位置关系是 . 7．若异面直线,a b 所原角为0 60,AB 是公垂线,E,F 分别是异面直线,a b 上到A,B 距离为 2和平共处的两点,当3EF =时,线段AB 的长为 . 8．如图(1),在直四棱柱1111A B C D ABCD -中,当底面四边形ABCD 满足条件 时,有1A C ⊥1B 1D (注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形)
人教版三年级下册数学提高题 姓名： 1.求右图形的面积及周长 长9厘米，宽2厘米 2.求阴影部分面积及周长 厘米 5厘 米 厘米 3.一列火车13:37分发车，开车前5分钟停止检票，小明从家到火车站要20分钟，最晚什么时间出发才能赶上火车？ + 4. 13 菜地中间小路 宽1米， 米 萝卜地 韭菜地 实际种菜面积 是多少？ 39 米 5.2012年有多少周零几天？
6.某零件生产车间从8月25日到9月1日共生产零件328个，平均每天生产多少？ B、小红家离学校1500米，他步行的速度为500米每十分钟，他要最晚什么时间从家里出发？ 8.在（）填上合适的单位名称 钢笔长14（）信封面积是180（）黑板长4（） 床的面积是（）一棵大树高8 （）教室面积50（） 方桌面积100 （）操场的周长是500（）卧佛寺公园面积12（） 9.有三个数，甲、乙的平均数是21，乙、丙的平均数是22，甲、丙的平均数是16，求这三个数各是多少？ 10.填空题
15米＝（ ）分米＝（ ）厘米 7200克＝（ ）千克 1星期=（ ）小时 300克＝（ ）千克 1分40秒=（ ）秒 11.判断题 A.一个正方形边长是4米，他的周长和面积相等。（ ） B.704÷5商的最高位是百位，而且中间有0.（ ） C.李文的生日是2000年2月29 日。（ ） D.所有的小数都比1小。（ ） E.2米5厘米写成小数是2.5米。（ ） 12．右图中长方形周长是正方形周长的（ ）倍， 长方形面积是正方形面积的（ ）倍。 13．填上合适符号 4.2○4.20 0.056○0.12○0.7 80秒○1分20秒 100厘米○1米 1公顷○1000平方米 5天○121小时 14．故事书有580页，每天读35页，小强第13天从哪页开始读？ 15．小刚爸爸的工资是妈妈工资的两倍，小刚爸爸从工资中拿出705元买了东西，用去的钱正好是父母工资总和的一半，求爸爸的工资数。 16．一个正方形果园的周长是400米，这个果园占地面积多少？ 17．妈妈给方桌买来正方形桌布，桌子长10分米，四周都垂下2分米，求桌布面积是多少？合多少平方米？ 18．学校新建微机室地面宽8米，长比宽多3米， A ．微机室面积是多少？ B ．用350块边长5分米的正方形地板砖铺地面，够吗？
如何做几何证明题 知识归纳总结： 1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。 2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法： （1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决； （2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止； （3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。 3. 掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。 一. 证明线段相等或角相等 两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的 系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90°，或利用两
的角平分线AD、CE相交于O。 （补
AE＝BD，连结CE、DE。
求证：BC＝AC＋AD B、C作此射线的垂线BP和CQ。 设M为BC的中点。求证：MP＝MQ
小学三年级数学下册综合提高练习题 一、认真思考，谨慎填空。 1.今年是（）年（填平或闰），二月份有（）天，全年有（）天，再过90年是（）年（填平或闰）。 2.除式6□□8（□表示一个数字）的商是（）位数；251□的末尾最多可能有（）个0。 3. 6平方分米=（）平方厘米 500公顷=（）平方千米 4.在括号里填上合适的小数。 5.中央电视台星光大道节目的开播时间是22：30，也就是晚上（）时（）分。节目全长100分钟，结束时间是晚上（：）。 6.倪笑笑游览动物园的路线如右图。她先从入口向（）走到猴山，然后向（）走到猩猩馆，接着再向（）走到虎岩，最后向（）走到出口离开动物园。 7.用一根长18厘米的铁丝围成一个长方形，这个长方形的面积可能是（）平方厘米。 8. 2米4厘米写成小数是（）米，2元5角写成小数是（）元。 9. 2976的商大约是（）；7248的积大约是（）。 10. ○=□＋□＋□，○＋□＋□=60，则○=（），□=（）。 二、反复比较，对号入座。每题给出的只有一个是正确的， 请将正确的编号填在括号里。 11.（）6=31余4。 A.190
B.186 C.182 12. 135、140、145的平均数是（）。 A.135 B.140 C.145 13.测量一张邮票的面积，一般采用（）作单位。 A.平方厘米 B.平方分米 C.平方米 14.小明从家出发向东走，小军从家出发向西走，途中两人相遇。小军家在小明家的（）边。 A.xx B.xx C.xx D.xx 15.李华7月14日至8月5日参加了夏令营活动，一共去了（）天。 A.21 B.22 C.23 16.一个正方形和一个长方形的周长都是16厘米，则它们的面积（）。
初中几何证明题 经典题（一） 1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO． 求证：CD＝GF．（初二） .如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG, 即△GHF∽△OGE,可得EO GF = GO GH = CO CD ,又CO=EO，所以CD=GF得证。 2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝150． 求证：△PBC是正三角形．（初二） .如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG, 即△GHF∽△OGE,可得EO GF = GO GH = CO CD ,又CO=EO，所以CD=GF得证。 .如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG, 即△GHF∽△OGE,可得EO GF = GO GH = CO CD ,又CO=EO，所以CD=GF得证。 A P C D B A F G C E B O D
3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、 CC 1、DD 1的中点． 求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二） 4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ． 经典题（二） 1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O （1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二） D 2 C 2 B 2 A 2 D 1 C 1 B 1 C B D A A 1 B
2020中考数学几何探究题解析 分析： 第一小题比较简单，一看就知道是个正方形； 第二小题看图的话，感觉像是两个线段相等，那么要证明F是CE'中点，而这个时候要注意FE'是在正方形中的，所以要懂得线段的转换； 第三小题只有两个线段长度，咋一看感觉应该有难度吧，但是如果善于发现，就很容易找到突破口了。
解答： （1）正方形 理由：BE=BE'， ∠EBE'=∠BE'F=90° 所以BE//FE' 同时可得EF//BE' 所以四边形FEBE'是矩形， 同时又邻边相等 所以正方形成立； （2）分析的时候已经说了，不能忘记FE'是在刚才的正方形中的，而同时两个线段都在线段CE'上，所以要好好研究这个CE' 根据旋转可知CE'=AE 而题中刚好又给了DA=DE 这不等腰三角形吗 有等腰三角形，那么首先就想到了三线合一，干脆画出来 如图，作DH⊥AE于H，则AH=EH 别忘了刚才的AE=CE' 现在AE倒被分成了两个线段的线段， 那么如果F是CE'中点，那么CF和FE'不是就和AH、EH一样吗所以我们如果能够得到FE'等于AE的一半不是也行嘛 根据条件可以得证 △DAH≌△ABE 所以AH=BE=BE'
现在正方形派上用场了，所以FE'=BE=AH=HE 即AE=2FE' 那么CE'=2FE' 所以CF=FE' （3）这一小题给出的两个线段其实是有联系的，不知道看到这的你是否发现了 CF=3，AB=15 看看CF在什么位置，不是在刚才的CE'上吗，凑上FE'就刚好变成CE'了，而CE'=AE，同时还有FE'=BE， 所以我们如果假设FEBE'的边长为x， 那么BE=x，AE=CE'=3+x，AB=15 勾股定理走起， 可得x2+（3+x）2=152 根据经验可以直接判断BE=9，AE=12，符合3、4、5的比例嘛 现在知道了BE和AE，那么题上让求DE， 我们可以让DE处于直角三角形，利用勾股定理解决 这里可以过D向AE作垂线，也可以过E向AD作垂线， 前者刚好能构造出前面用过的全等，所以作DM⊥AE于M
转化 转化 2009届高考数学压轴题预测 专题五 立体几何 1. 如图, 在直三棱柱 ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AA 1＝4，点D 是AB 的中点， （I ）求证：AC ⊥BC 1； （II ）求证：AC 1//平面CDB 1； 解析：（1）证明线线垂直方法有两类：一是通过三垂线定理或逆定理证明，二是通过线面垂直来证明线线垂直；（2）证明线面平行也有两类：一是通过线线平行得到线面平行，二是通过面面平行得到线面平行. 答案:解法一：（I ）直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，底面三边长AC =3，BC =4AB =5， ∴ AC ⊥BC ，且BC 1在平面ABC 内的射影为BC ，∴ AC ⊥BC 1； （II ）设CB 1与C 1B 的交点为E ，连结DE ，∵ D 是AB 的中点，E 是BC 1的中点， ∴ DE//AC 1，∵ DE ?平面C D B 1，AC 1?平面C D B 1， ∴ AC 1//平面C D B 1； 解法二：∵直三棱柱ABC －A 1B 1C 1底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，∴AC 、BC 、C 1C 两两垂直，如图，以C 为坐标原点，直线CA 、CB 、C 1C 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则C （0,0，0），A （3,0，0），C 1（0,0，4），B （0,4，0），B 1（0,4，4），D （23，2,0） （1）∵AC ＝（－3,0，0），1BC ＝（0，－4,0）， ∴AC ?1BC ＝0，∴AC ⊥BC 1. （2）设CB 1与C 1B 的交战为E ，则E （0,2，2）.∵DE ＝（－ 23，0,2），1AC ＝（－3,0，4），∴121AC DE = ，∴DE ∥AC 1. 点评：2．平行问题的转化： 面面平行线面平行线线平行； 主要依据是有关的定义及判定定理和性质定理． 2. 如图所示，四棱锥P —ABCD 中，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，PA ⊥底面ABCD ，PA=AD=CD=2AB=2，M 为PC 的中点。 (1)求证：BM∥平面PAD ； A B C A B C E x y z
经典题（一） 1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二） 证明：过点G 作GH ⊥AB 于H ，连接OE ∵EG ⊥CO ，EF ⊥AB ∴∠EGO=90°，∠EFO=90° ∴∠EGO+∠EFO=180° ∴E 、G 、O 、F 四点共圆 ∴∠GEO=∠HFG ∵∠EGO=∠FHG=90° ∴△EGO ∽△FHG ∴ FG EO =HG GO ∵GH ⊥AB ，CD ⊥AB ∴GH ∥CD ∴ CD CO HG GO = ∴CD CO FG EO = ∵EO=CO ∴CD=GF 2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内部的一点，∠PAD ＝∠PDA ＝15°。 求证：△PBC 是正三角形．（初二） 证明：作正三角形ADM ，连接MP ∵∠MAD=60°，∠PAD=15° ∴∠MAP=∠MAD+∠PAD=75° ∵∠BAD=90°，∠PAD=15° ∴∠BAP=∠BAD-∠PAD=90°-15°=75° ∴∠BAP=∠MAP ∵MA=BA ，AP=AP ∴△MAP ≌△BAP ∴∠BPA=∠MPA ，MP=BP 同理∠CPD=∠MPD ，MP=CP ∵∠PAD ＝∠PDA ＝15° ∴PA=PD ，∠BAP=∠CDP=75° ∵BA=CD ∴△BAP ≌∠CDP ∴∠BPA=∠CPD ∵∠BPA=∠MPA ，∠CPD=∠MPD ∴∠MPA=∠MPD=75° ∴∠BPC=360°-75°×4=60° ∵MP=BP ，MP=CP ∴BP=CP ∴△BPC 是正三角形
3、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ． 证明:连接AC ，取AC 的中点G ,连接NG 、MG ∵CN=DN ，CG=DG ∴GN ∥AD ，GN= 2 1AD ∴∠DEN=∠GNM ∵AM=BM ，AG=CG ∴GM ∥BC ，GM= 2 1BC ∴∠F=∠GMN ∵AD=BC ∴GN=GM ∴∠GMN=∠GNM ∴∠DEN=∠F 经典题（二） 1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ． （1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二） 证明：（1）延长AD 交圆于F ，连接BF ，过点O 作OG ⊥AD 于G ∵OG ⊥AF ∴AG=FG ∵AB ⌒ =AB ⌒ ∴∠F=∠ACB 又AD ⊥BC ，BE ⊥AC ∴∠BHD+∠DBH=90° ∠ACB+∠DBH=90° ∴∠ACB=∠BHD ∴∠F=∠BHD ∴BH=BF 又AD ⊥BC ∴DH=DF ∴AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2（GH+DH ）=2GD 又AD ⊥BC ，OM ⊥BC ，OG ⊥AD ∴四边形OMDG 是矩形 ∴OM=GD ∴AH=2OM （2）连接OB 、OC ∵∠BAC=60∴∠BOC=120° ∵OB=OC ，OM ⊥BC ∴∠BOM= 2 1 ∠BOC=60°∴∠OBM=30° ∴BO=2OM 由（1）知AH=2OM ∴AH=BO=AO
最新初中数学动态几何探究题汇总大全 【题型特征】以几何知识为主体的综合题,简称几何综合题,主要研究图形中点与线之间的位置关系、数量关系,以及特定图形的判定和性质.一般以相似为中心,以圆为重点,常常是圆与三角形、四边形、相似三角形、锐角三角 函数等知识的综合运用. 【解题策略】解答几何综合题应注意:(1)注意观察、分析图形,把复杂的图形分解成几个基本图形,通过添加辅助线补全或构造基本图形.(2)掌握常规的证题方法和思路;(3)运用转化的思想解决几何证明问题,运用方程的思想解 决几何计算问题.还要灵活运用其他的数学思想方法等. 【小结】几何计算型综合问题,是以计算为主线综合各种几何知识的问题.这类问题的主要特点是包含知识点多、 覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活.解题时必须在充分利用几何图形的性质及题设的基础上挖掘几何图形中隐含 的数量关系和位置关系,在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形,或通过添加辅助线补全或构造基本图形,并善于联想所学知识,突破思维障碍,合理运用方程等各种数学思想才能解决. 【提醒】几何论证型综合题以知识上的综合性引人注目.值得一提的是,在近年各地的中考试题中,几何论证型综 合题的难度普遍下降,出现了一大批探索性试题,根据新课标的要求,减少几何中推理论证的难度,加强探索性训练,将成为几何论证型综合题命题的新趋势. 为了复习方便,我们将几何综合题分为:以三角形为背景的综合题;以四边形为背景的综合题;以圆为背景的综合题. 类型1 操作探究题 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，Rt△ABC绕点A顺时针旋转到Rt△ADE的位置，点E在斜边AB上，连接BD，过点D 作DF⊥AC于点F. (1)如图1，若点F与点A重合，求证：AC＝BC； (2)若∠DAF＝∠DBA. ①如图2，当点F在线段CA的延长线上时，判断线段AF与线段BE的数量关系，并说明理由； ②当点F在线段CA上时，设BE＝x，请用含x的代数式表示线段AF.
【精品】三年级下册数学能力提升题(1) 一、培优题易错题 1．用2、3、5、7组成没有重复数字的两位数，能组成多少个个位是单数的两位数? 【答案】解：个位是单数的两位数：23、53、73、25、35、65、27、37、57，共9个。答：用2、3、5、7组成没有重复数字的两位数，能组成9个个位是单数的两位数。 【解析】【分析】先固定个位的数字，再选取不重复的数字进行组合。 2．在方框里填上合适的数字。 （1） （2） （3） 【答案】（1）133+46=179 （2）1018-235=783 （3）876+126=1002 【解析】【解答】（1）； （2）； （3）. 【分析】（1）已知和与一个加数，求另一个加数，用和-一个加数=另一个加数，据此计
算； （2）被减数的个位是8，差的个位是3，则减数的个位是8-3=5，减数的十位是3，差的十位是8，则被减数的十位是8+3=11，十位是1，据此解答； （3）根据题意可知，个位相加满十，向十位进1，由此可以得出另一个加数的个位是4、5、6、7、8、9都可以，另一个加数十位是2，7+2=9，9加上个位进上的1，刚好等于10，百位上1+8=9，9加上十位进上的1，刚好等于10，向千位进1，据此解答. 3．课间操时，笑笑站在左起第10列，右起第12列；从前数是第8人，从后面数是第14人，每列的人数相同。做操的学生一共有多少人？ 【答案】解：10+12-1=21（列） 8+14-1=21（人） 21×21=441（人） 答：做操的学生一共有441人。 【解析】【分析】笑笑站在左起第10列，右起第12列，笑笑是重复计数的，因此用（10+12-1）即可求出总列数。用同样的方法求出每列的人数，然后用每列人数乘列数求出总人数即可。 4．上学期期末考试，李军语文、数学和英语的平均成绩为92分，请你算一算，他语文、数学、英语3门功课的总成绩。 【答案】解：92×3=276(分) 答：他语文、数学、英语3门功课的总成绩是276分. 【解析】【分析】已知平均成绩和科目数量，求总成绩，用平均成绩×科目数量=总成绩，据此列式解答. 5．请你把1～9每个数字填入下列方格中，使每3个数横、竖或者斜着相加得数都是15，你行吗？ 【答案】解：
几何探究专题 1.已知正方形ABCD 的边长为1，点P 为正方形内一动点，若点M 在AB 上，且满足△PBC∽△PAM，延长BP 交AD 于点N ，连接CM. (1)如图①，若点M 在线段AB 上，求证：AP⊥BN；AM ＝AN. (2)①如图②，在点P 运动过程中，满足△PBC∽△PAM 的点M 在AB 的延长线上时，AP ⊥BN 和AM ＝AN 是否成立(不需说明理由)? ②是否存在满足条件的点P ，使得PC ＝1 2 ？请说明理由． 2.已知：如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6 cm ，BC ＝8 cm.对角线AC ，BD 交于点O ，点P 从点A 出发，沿AD 方向匀速运动，速度为1 cm/s ；同时，点Q 从点D 出发，沿DC 方向匀速运动，速度为1 cm/s ；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO 并延长，交BC 于点E ，过点Q 作QF∥AC，交BD 于点F.设运动时间为t(s)(0 AB ＝AC ，点D 为直线BC 上一动点(点D 不与B ，C 重合)，以AD 为边在AD 右侧作正方形ADEF ，连接CF. (1)观察猜想 如图①，当点D 在线段BC 上时，①BC 与CF 的位置关系为：____________． ②BC ，CD ，CF 之间的数量关系为：____________(将结论直接写在横线上)． (2)数学思考 如图②，当点D 在线段CB 的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明． (3)拓展延伸 如图③，当点D 在线段BC 的延长线上时，延长BA 交CF 于点G ，连接GE.若已知AB ＝22，CD ＝1 4BC ，请求出 GE 的长． 4.(1)阅读理解： 如图①，在△ABC 中，若AB ＝10，AC ＝6，求BC 边上的中线AD 的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长AD 到点E 使DE ＝AD ，再连接BE(或将△ACD 绕着点D 逆时针旋转180°得到△EBD)．把AB ，AC ，2AD 集中在△ABE 中，利用三角形三边的关系即可判断． 中线AD 的取值范围是________； (2)问题解决： 如图②，在△ABC 中，D 是BC 边上的中点，DE ⊥DF 于点D ，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF.求证：BE ＋CF ＞EF ； 1.如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，AB=8，AD=43，侧面PAD 为等边三角形，并且与底面ABCD 所成二面角为60° （1）求四棱锥P-ABCD 的体积 （2）证明PA ⊥BD 2、如图，长方体框架ABCD -,,,,D C B A ，三边，、、AA AD AB 的长分别为6、8、 3.6，AE 与底面的对角线,,D B 垂直于E 。 （1）证明,,,D B E A ； （2）求AE 的长 3、如图，已知⊙O 的直径AB=3，点C 为⊙O 上异于A ，B 的一点，VC ⊥平面ABC,且VC=2，点M 为线段VB 的中点。 （1）求证：BC ⊥平面VAC; （2）若直线AM 与平面VAC 所成角为4π，求三棱锥B-ACM 的体积 4、如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EF∥AB，EF⊥FB,CF⊥FB，BF=CF，G为BC的中点, (1)求证：FG∥平面BDE； (2)求平面BDE与平面BCF所成锐二面角的大小； (3)求四面体B-DEF的体积。 5、如图，三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB 上的一点，且CD⊥平面PAB （1）求证AB⊥平面PCB； （2）求二面角C-PA-B的大小的余弦值。 6、ABCD为平行四边形，P为平面ABCD外的一点,PA⊥平面ABCD，且PA=AD=2，AB=1，AC=3 (1)求证：平面ACD⊥平面PAC； (2)求异面直线PC与BD所成角的余弦值； (3)设二面角A-PC-B的大小为θ，试求θ tan的值。 三年级数学下册巩固与提高 位置与方向 早晨同学们面向太阳举行升旗仪式，此时同学们面向（）面，背对着（）面，左侧是（）面。 送信。（每小格20米） 1.鸽子要向飞米，再向飞米就把信送给了小松鼠。 2.鸽子从松鼠家出来，向飞米就到了兔子家，把信送给兔子后再向飞米找到大象，最后再接着向飞米，又向飞米把信交给小猫。 3.从鸽子开始出发，到把信全部送完，在路上共飞了米。 星期天，我们去动物园游玩，走进动物园大门，正北面有狮子馆和河马馆，熊猫馆在狮子馆的西北面，飞禽馆在狮子馆的东北面，经过熊猫馆向南走，可到达猴山和大象馆，经过猴山向东走到达狮子馆和金鱼馆，经过金鱼馆向南走到达骆驼馆，你能填出它们的位置吗？ 除数是一位数的除法 请你填一填。 1. 63是（）的9倍，（）的4倍是128。 3. 从245里连续减去8，最多能减（）几次。 4 一个数的6倍是78，这个数的8倍是（）。 5. 一个数除以9，商是17，余数最大是（），当余数最大时，被除数是（）。 8. 16□÷7=23……6。这道算式中，□里应填（）。 对错我判断。（对的打“√”，错的打“×”） 1. 0×8=0÷8 （） 2.一个三位数除以一个一位数，商不一定是三位数。（） 3.8410÷7，商的末尾一定有一个0。（） 脱式计算。 （390+30）÷7 2340÷5÷3 2065+4675÷5 希望小学三年级共有49人，平均分成8组，每组多少人？还剩下几人？ 思考 超市为了吸引顾客，准备用“2瓶洗手液，3块肥皂”进行包装，制成礼盒进行销售。 超市中的存货最多可制成多少个礼盒? 超市存货单 统计 熟记平均数的格式，总数量除以总份数：（＋＋…… ＋）÷（）并脱式计算。会检查平均数的对错，平均数一定介于最大数与最小数之间。 1 有两箱苹果，甲箱重10千克，乙箱重8千克，从甲中拿（）千克 放到乙箱中，两箱的苹果一样重，这样两箱都是（）千克。 2 甲．乙两队足球比赛的结果是4：2，平均每队进了3个球。（） 计算题。（18分） 1．口算 １０×２７＝２１×３０＝３５＋１７＝ ３０×８０＝２８０÷７＝０÷４５＝ ２．列竖式计算。 14 × 27 = 563 ÷ 8= 有一个工厂门口贴出这样一则这样的广告，你认为这个工厂的工人每月能拿到800元吗？ 说说你的想法。 期中考试，，第一小组有男生 3名，女生2名，3名男 生总分是264分，两名女生的考试成绩分别是93分和98分。第一小组平均每人是多少分？ 几何证明练习题 1、如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE＝∠BCE＝∠ACD＝90°，且BC＝CE．请完整说明为何△ABC与△DEC全等的理由． 2、如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E.在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC. （1）求证：BE=CF； （2）在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME.求证：①ME⊥BC；②DE=DN. 3、如图,在三角形ABC中,角ACB=90度,AC=BC,E为AC边的中点,过点A作AD 垂直AB交BE的延长线于点D 如图,在△ABC中,∠ACB=90度,AC=BC,E为AC边的中点,过点A作AD⊥AB交BE 的延长线于点D,CG平分角ACB交BD于点G,F为AB边上的一点,连接CF,且∠ACF=∠CBG,求证：（1）AF=CG （2）CF=2DE 4、在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线MN过点A且MN∥BC，过点B为一锐角顶点作Rt△BDE，∠BDE=90°，且点D在直线MN上（不与点A 重合），如图1，DE与AC交于点P，易证：BD=DP．（无需写证明过程） （1）在图2中，DE与CA延长线交于点P，BD=DP是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由； （2）在图3中，DE与AC延长线交于点P，BD与DP是否相等？请直接写出你的结论，无需证明． 5、如图，四边形ABCD是平行四边形，作AF∥CE，BE∥DF，AF交BE与G点，交DF与F点，CE交DF于H点、交BE于E点． 求证：△EBC≌△FDA． 图3 G F B C A D L E 2011年中考数学综合训练（几何探究题） 1、两块等腰直角三角板△ABC 和△DEC 如图摆放，其中∠ACB =∠DCE = 90°，F 是DE 的中点，H 是AE 的中点，G 是BD 的中点． （1）如图1，若点D 、E 分别在AC 、BC 的延长线上，通过观察和测量，猜想FH 和FG 的数量关系为_______ 和位置关系为_____； （2）如图2，若将三角板△DEC 绕着点C 顺时针旋转至ACE 在一条直线上时，其余条件均不变，则（1）中的猜想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由； （2）如图3，将图1中的△DEC 绕点C 顺时针旋转一个锐角，得到图3，（1）中的猜想还成立吗？直接写出结论，不用证明. 2．（1）如图1，已知矩形ABCD 中，点E 是BC 上的一动点，过点E 作EF ⊥BD 于点F ，EG ⊥A C 于点G ，CH ⊥BD 于点H ，试证明CH=EF+EG 。 图2 图1 G F H D H G F D A B B A C E C E A B D E C H F G 图3 A B D E C H F G 图1 图2 A B D E C H F G (2)若点E 在ＢＣ的延长线上，如图2，过点E 作EF ⊥BD 于点F ，EG ⊥A C 的延长线于点G ，CH ⊥BD 于点H ，则EF 、EG 、ＣH 三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；. (3)如图3，BD 是正方形ABCD 的对角线,L 在BD 上，且BL=BC, 连结CL ，点E 是CL 上任一点, EF ⊥BD 于点F ，EG ⊥BC 于点G ，猜想EF 、EG 、BD 之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想； 3. 在ABC △中，AC=BC ，90ACB ∠=?，点D 为AC 的中点． （1）如图1，E 为线段DC 上任意一点，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得到线段DF ，连结CF ，过点F 作FH FC ⊥，交直线AB 于点H ．判断FH 与FC 的数量关系并加以证明． （2）如图2，若E 为线段DC 的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明． 4、（1）如图1所示，在四边形ABCD 中，AC =BD ，AC 与BD 相交于点O ，E F 、分别是AD BC 、的中点，联结EF ，分别交AC 、BD 于点M N 、，试判断OMN △的形状，并加以证明； （2）如图2，在四边形ABCD 中，若AB CD =，E F 、分别是AD BC 、的中点，联结FE 并延长，分别与BA CD 、的延长线交于点M N 、，请在图2中画图并观察，图中是否有相等的角，若有，请直接写出结论：； （3）如图3，在ABC △中，AC AB >，点D 在AC 上，AB CD =，E F 、分别是AD BC 、的中点，联结FE 并延长，与BA 的延长线交于点M ，若45FEC ∠=?，判断点M 与以AD 为直径的圆的位置关系，并简要说明理由． 图 1 图2 图3 M F E D C B B F E D C A A B A C D E F M N O H F 图2图1H F E B C D A E D B C A 节选自《高观点下全国卷高考数学压轴题解题研究三部曲》，参考《立体几何的微观深入和宏观把握》淘宝的博约书斋店铺唯一正版 1.2018全国1卷理科第12题 ——对正方体结构的认知和运用+截面面积计算1.（2018全国1卷理科第12题）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的 角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（） A．3 3 4 B． 2 3 3 C． 3 2 4 D． 3 2 【解析】注意到正方体12条棱分为三组平行的棱，则只需与共顶点的三条棱所成角相等即可，注意到正方体的结构，则平面应为图1中所示，所以只需由图中平面平移即可。 最大面积截面如图2所示， 323 3 S 6()，故本题正确答案为A。 max 42 4 变式1：（1994全国联赛填空题第5题）已知一平面与一正方体的12条棱的夹角都等于，则sin=___ 【解析】如上图1，顶点到平面ABC的距离为体对角线的1 3 3 a 3 3 ，则 sin . a 3 变式2：（2004湖南数学竞赛第8题）过正方体ABCD A的对角线 1B C D 11 1 BD的截面面 1 积为S，则S max S min 的值为（） A. 3 2 B. 6 2 C. 232 6 D. 3 3 【解析】如图，因为正方体对面平行，所以截面BED F 1为平行四边形，则 S 1 2S2BD BED 2 1 1 h ，此时E到BD的最小值为CC与 1 1 BD的距离，即当E为中点 1 212 6 时，h min a（a为正方体棱长），S ，又因为 23a a a 2 min 2 22 2 S为max 节选自《高观点下全国卷高考数学压轴题解题研究三部曲》，参考《立体几何的微观深入和宏观把握》淘宝的博约书斋店铺唯一正版 四边形BC D F 1的面积，选C. 1 变式3：（2005全国高中数学联赛第4题）在正方体ABCD A'B'C'D'中，任作平面与对角线AC'垂直，使得与每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l，则（） A.S为定值，l不为定值 B.S不为定值，l为定值 C.S与l均为定值 D.S与l均不为定值 【解析】选B，将正方体切去两个正三棱锥A A'BD与C'D'B'C后,得到一个以平行平面A'BD与D'B'C为上、下底面的几何体V,V的每个侧面都是等腰直角三角形,截面多边形 W的每一条边分别与V的底面上的一条边平行,将V的侧面沿棱A'B'剪开,展平在一张平面 上,得到一个平行四边形A'B'B A,如图 1 1 而多边形W的周界展开后便成为一条与A'A平行的线段(如图中 1 E'E),显然E'E A'A 1 , 1 故l为定值. 当E'位于A'B'中点时,多边形W为正六边形,而当E'移至A'处时,W为正三角形,易知周长为 3 3 定值l的正六边形与正三角形面积分别为l2与l2,故S不为定值. 2436 变式4：在长方体A BCD1B C D中，AD 4,AA 2 A AB1，过点 11 1 A 作平面与1 AB,AD分别交于M,N两点，若AA 与平面所成角为450，则截面面积的最小值为． 1 解析：过A作MN的垂线，垂足为T， 三年级下册数学综合练习题(提高篇) 一、培优题易错题 1．按照下图摆原片，第20个是什么颜色？ 【答案】解：20÷4=5 答：第20个是黄色。 【解析】【分析】1红3黄共4个圆片为一组，用20除以4求出一共有多少组，因为没有余数，说明第20个就与每组中的最后一个颜色相同。 2．第30个小朋友的手势是怎样的？ 【答案】解：30÷3=10 答：第30个小朋友的手势是. 【解析】【分析】3个小朋友的手势为一组，用30除以3，因为没有余数，所以第30个小朋友的手势就与每组中的最后一个小朋友手势相同。 3．100只小动物按下面的顺序排列，请问其中各种动物各多少只？ 【答案】解：100÷8=12 (4) 2×12+2=26(只) 3×12+2=38(只) 2×12=24(只) 1×12=12(只) 答：有26只，有38只，有24只，有12只。 【解析】【分析】左起8只动物为一组，用100除以8求出商和余数。每组中2只瓢虫，3只蝴蝶，2只蜗牛，1只蜻蜓。余下的4只中有2只瓢虫，2只蝴蝶；分别求出每种动物的只数即可。 4．参观书画展的一共有453人，其中成人数是儿童数的2倍，参观书画展的儿童有多少人？ 【答案】解：453÷（2+1） =453÷3 =151（人）答：参观书画展的儿童有151人。 【解析】【分析】此题主要考查了和倍应用题，计算公式是：小数＝和÷（倍数＋1）（一般用小数作标准量），据此列式解答. 5．甲、乙、丙三人共有人民币168元，第一次甲拿出与乙相同的钱给乙，第二次乙拿出与丙相同的钱给丙，第三次丙拿出甲此时相同的钱给甲，这时三人的钱同样多。原来甲比乙多多少元？ 【答案】解：168÷3=56（元）56÷2=28（元） 答：原来甲比乙多28元。 【解析】【分析】最后每人的钱数是第三次拿完之后，甲乙丙的钱数相等，用除法计算出现在每个人的钱数，然后逆推，逆推的解题策略就是从结果倒着推回去，在逆推过程中总数是不变的，我们要能找出关键条件，即最后得到的数量入手分析. 6．▲、●、■、★代表四个不同的数，“→”表示“大于”．根据下图表示的意思，请按从大到小的顺序排列． 【答案】解：▲都比其它三个大；★大于■，也大于●，而■大于●，所以▲＞★＞■＞●.答：按从大到小排列是▲＞★＞■＞●. 【解析】【分析】先理解箭头标示的意义，从左上角可以得到▲比其它三个都大，然后根据另外三个图形的大小关系从大到小排列即可. 7．18名同学排成一排，从左往右数，芳芳的左面有3人；从右往左数，军军的右面有5人。芳芳和军军的中间有多少人？（先在图中涂色标出芳芳和军军的位置，再写出答案。） 答：芳芳和军军的中间有（）人。立体几何压轴题
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