引言 近年来，随着市场经济的不断发展、经济的不断繁荣，经济活动中的实际问题也愈加复杂，简单的分析已经不足以满足企业管理者对经济分析的需求。因此，有必要将高等数学应用于简单的数学函数所不能解决的实际经济问题中，对其进行定量分析，这使得高等数学在解决经济问题中占据重要地位。而导数作为高等数学中的重要概念，同样也是解决经济问题的一个有力工具。在高等数学中，导数通常被用于判断函数的单调性，求函数的最值、极值等。在实际经济问题中，导数可作为经济分析的工具，广泛地应用到经济研究和企业管理之中，促进经济理论朝着更加精确的方向发展。本文从边际分析，弹性分析，优化分析三个方面论述导数在经济分析方面的应用。 1、导数的概念 2、经济分析中常用的函数 由于导数主要应用于探究经济领域中出现的一些函数关系问题，所以，我们必需对经济分析中的一些常用的函数具有一定的了解，以便更好的理解和使用它们。经济分析中常用的函数主要有以下四类： 2.1需求函数 需求函数指在特定的时间内，各种可能的价格条件下，消费者愿意并且能够购买该商品的数量。（出处？）为了使问题简单化，我们一般假设需求函数的诸
多自变量中除价格外其他均为常量，则函数表示为()P f Q d =，其中，P 为商品的价格，Q d 为商品的需求量。这个函数表示一种商品的需求量与价格之间存在 一一对应的关系，并且通过观察可以知道商品（除某些抵挡商品、某些炫耀性商品、某些投资性商品除外）的需求量与价格成反方向变动关系，即商品本身价格上升，需求量随之减少，反之亦然。 例1：服装店销售某种衬衫的件数Q 与价格P 是线性关系，当价格为100元一件时，可销售120件，当价格为80元时，可销售200件，求需求函数。 解:设衬衫的件数与价格的函数关系为：b aP Q += 则b a +=100120；b a +=80200 解得4-=a ；520=b 所以需求函数为5204+-=P Q 。 2.2供给函数 一种商品的供给函数，是指单个生产者在一定时期内在各种可能的价格下，愿意且能够提供出售的该种商品数量。[3]我们通常通过将除价格外的其他因素看成常量以达到化简问题的目的。所以，供给函数可以用()P f Q s =表示，其中，P 为商品的价格，Q S 为商品的供给量。可以看出，商品（除单个劳动力商品、古董商品、某些投资性商品外）的价格与供给量之间成同方向变动的关系。 例2：已知大蒜的收购价为每千克4元，每星期能收购2000千克，若收购价每千克提高0.5元，每星期可收购2500千克，求大蒜的供给函数。 解：设大蒜的线性供给函数为：b aP Q += 则b a +=42000；b a +=5.42500 得1000=a ；2000-=b 所以供给函数为为：20001000-=P Q 2.3成本函数 产品成本一般情况下是用货币的形式来表现的企业生产和出售产品的所用度支出。成本函数所表示的是企业成本总额与产出总量之间关系的公式。产品成
导数及其应用高考题精选 1.（2010·海南高考·理科T3）曲线y x 在点1,1 处的切线方程为（） x 2 （A）y2x1（B）y2x1（C）y2x 3（D）y 2x2 【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解. 【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程. 【规范解答】选A.因为y 2 2，所以，在点 1,1 处的切线斜率 2) (x 2 22 ，所以，切线方程为 y1 2(x 1) ，即 y2x1 ，故选A. ky x1 (12) 2.（2010·山东高考文科·Ｔ8）已知某生产厂家的年利润y （单位：万元） 与年产量x （单位：万件）的函数关系式为y 1x3 81x 234，则使该生产厂 3 家获得最大年利润的年产量为（） (A)13万件(B)11 万件 (C)9万件(D)7万件 【命题立意】本题考查利用导数解决生活中的优化问题，考查了考生的分析 问题解决问题能力和运算求解能力. 【思路点拨】利用导数求函数的最值. 【规范解答】选C，y' x2 81,令y0得x 9或x 9（舍去），当x 9 时y' 0；
当x9时y'0，故当x 9时函数有极大值，也是最大值，故选C. 3.（2010·山东高考理科·Ｔ7）由曲线y=x 2,y= x 3围成的封闭图形面积为（） （A）1 (B) 1 (C) 1 (D) 7 12 4 3 12 【命题立意】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的
面积,考查了考生的想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【思路点拨】先求出曲线y=x2,y=x3的交点坐标，再利用定积分求面积. 【规范解答】选A,由题意得:曲线y=x2,y=x3的交点坐标为(0,0) ，(1,1)，故 所求封闭图形的面积为1（x2-x3)dx= 1 1 1 0 1- 1= 故选A. 3 4 12 4 4.（2010·辽宁高考理科·Ｔ10）已知点P在曲线y= x 上，为曲线在点 e 1 P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（） (A)[0, )(B)[ , )( ,3 ](D)[ 3 ,) 4 4 2 2 4 4 【命题立意】本题考查了导数的几何意义，考查了基本等式，函数的值域，直线的倾斜角与斜率。 【思路点拨】先求导数的值域，即tan的范围，再根据正切函数的性质求的范围。 【规范解答】选 D. 5.（2010·湖南高考理科·Ｔ4） 4 1 dx等于（）2x A、2ln2 B、2ln2 C、ln2 D、ln2 【命题立意】考查积分的概念和基本运算. 【思路点拨】记住1 的原函数. x 1 4 【规范解答】选D. dx=(lnx+c)|42=(ln4+c)-(ln2+c)=ln2. 2 x 【方法技巧】关键是记住被积函数的原函数.
导数解公切线专题 1． (2009 年江西文 12)若存在过点 (1,0) 的直线与曲线 y x 3 和 y ax 2 15 x 9 都相切， 4 则 a 等于 A ． 1 或 - 25 B ． 或 21 C ． 7 或 - 25 D ． 7 或 7 64 4 64 4 4 2.（ 2016 年全国 II 理 16）若直线 y kx b 是曲线 y ln x 2 的切线，也是曲线 y ln( x 1) 的切线，则 b ． 3.求曲线 y=x 3+x 2－ 2x 在点 A(1,0) 处的切线方程 . 变式：求曲线 y=x 3+x 2－ 2x 过点 A(1,0)的切线方程 .
． (2009年江西文 若存在过点 (1,0) 的直线与曲线 y x 3 和 y ax 2 15 9 都相切， 1 12) x 则 a 等于 4 ． 或 21 或 - 25 7 或 A ． 1或 - 25 B C ． 7 D ． 7 64 1 4 4 64 4 1. 设过 (1,0) 的直线与 3 3 3 2 y x 相切于点 0 0 ，所以切线方程为 y x 0 3x 0 ( x x 0 ) ( x , x ) 即 y 3x 0 2 x 2x 0 3 ，又 (1,0) 在切线上，则 x 0 0 或 x 0 3 ， 2 当 x 0 0 时，由 y 0与 y ax 2 15 x 9 相切可得 a 25 ， 3 27 27 4 15 64 当 x 0 时，由 y x 与 y ax 2 x 9 相切可得 a 1 ，所以选 A . 2 4 4 4 2.（ 2016 年全国 II 理 16）若直线 y kx b 是曲线 y ln x 2 的切线，也是曲线 y ln( x 1) 的切线，则 b ． 【答案】 1 ln2 考点： 导数的几何意义 . 3.求曲线 y=x 3+x 2－ 2x 在点 A(1,0) 处的切线方程 . 解：∵ y ′=3x 2+2x － 2, ∴切线斜率 k= y ′|=3. x=1 ∴切线方程为 y=3( x － 1)， 即 3x － y － 3=0. 变式：求曲线 y=x 3+x 2－ 2x 过点 A(1,0)的切线方程 . 解 设切点 P （ x 0, x 03+x 02－2x 0）， ∵ y ′ =3x 2+2x －2， y · O A x
导数与微分在经济中的简单应用 一、边际和弹性 （一）边际与边际分析 边际概念是经济学中的一个重要概念，通常指经济变量的变化率，即经济函数的导数称为边际。而利用导数研究经济变量的边际变化的方法，就是边际分析方法。 1、总成本、平均成本、边际成本 总成本是生产一定量的产品所需要的成本总额，通常由固定成本和可变成本两部分构成。用c(x)表示，其中x表示产品的产量，c(x)表示当产量为x时的总成本。 不生产时，x=0，这时c(x)=c(o)，c(o)就是固定成本。 平均成本是平均每个单位产品的成本，若产量由x0变化到，则： 称为c(x)在内的平均成本，它表示总成本函数c(x)在内的平均变化率。 而称为平均成本函数，表示在产量为x时平均每单位产品的成本。 例1，设有某种商品的成本函数为： 其中x表示产量（单位：吨），c(x)表示产量为x吨时的总成本（单位：元），当产量为400吨时的总成本及平均成本分别为： 如果产量由400吨增加到450吨，即产量增加=50吨时，相应地总成本增加量为：这表示产量由400吨增加到450吨时，总成本的平均变化率，即产量由400吨增加到450吨时，平均每吨增加成本13.728元。 类似地计算可得：当产量为400吨时再增加1吨，即=1时，总成本的变化为： 表示在产量为400吨时，再增加1吨产量所增加的成本。 产量由400吨减少1吨，即=-1时，总成本的变化为： 表示产量在400吨时，减少1吨产量所减少的成本。
在经济学中，边际成本定义为产量增加或减少一个单位产品时所增加或减少的总成本。即有如下定义： 定义1：设总成本函数c=c(x)，且其它条件不变，产量为x0时，增加（减少）1个单位产量所增加（减少）的成本叫做产量为x0时的边际成本。即： 其中=1或=-1。 由例1的计算可知，在产量x0=400吨时，增加1吨的产量时，边际成本为13.7495；减少1吨的产量时，边际成本为13.7505。由此可见，按照上述边际成本的定义，在产量x0=400吨时的边际成本不是一个确定的数值。这在理论和应用上都是一个缺点，需要进一步的完善。 注意到总成本函数中自变量x的取值，按经济意义产品的产量通常是取正整数。如汽车的产量单位“辆”，机器的产量单位“台”，服装的产量单件“件”等，都是正整数。因此，产量x是一个离散的变量，若在经济学中，假定产量的单位是无限可分的，就可以把产量x 看作一个连续变量，从而可以引人极限的方法，用导数表示边际成本。 事实上，如果总成本函数c(x)是可导函数，则有： 由极限存在与无穷小量的关系可知： （1） 其中，当很小时有： （2） 产品的增加=1时，相对于产品的总产量而言，已经是很小的变化了，故当=1时（2）成立，其误差也满足实际问题的需要。这表明可以用总成本函数在x0处的导数近似地代替产量为x0时的边际成本。如在例1中，产量x0=400时的边际成本近似地为，即：误差为0.05，这在经济上是一个很小的数，完全可以忽略不计。而且函数在一点的导
导数解曲线公切线问题 Prepared on 24 November 2020
导数解公切线专题 1．(2009年江西文12)若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和21594 y ax x =+-都相切，则a 等于 A ．1-或25-64 B ．1-或214 C ．74-或25-64 D ．74-或7 2.（2016年全国II 理16）若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b = ． 3.求曲线y =x 3+x 2－2x 在点A (1,0)处的切线方程. 变式：求曲线y =x 3+x 2－2x 过点A (1,0)的切线方程. 1．(2009年江西文12)若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和21594 y ax x =+-都相切，则a 等于 A ．1-或25-64 B ．1-或214 C ．74-或25-64 D ．74-或7 1.设过(1,0)的直线与3y x =相切于点300(,)x x ，所以切线方程为 320003()y x x x x -=- 即230032y x x x =-，又(1,0)在切线上，则00x =或032 x =-， 当00x =时，由0y =与21594y ax x =+-相切可得2564 a =-， 当032x =-时，由272744y x =-与21594 y ax x =+-相切可得1a =-，所以选A . 2.（2016年全国II 理16）若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b = ． 【答案】1ln2-
EXCEL自动计算液塑限并绘制图表至双对数坐标系 发表时间：2016-12-07T13:52:32.897Z 来源：《基层建设》2016年24期8月下作者：周常欣[导读] 摘要：用解析法计算液塑限试验数据，并将其编制成EXCEL表格并绘制图表至双对数坐标系，由此确定出的液限、塑限值，较传统方法方便、快捷、准确。 湖南理工职业技术学院湖南湘潭 411000 摘要：用解析法计算液塑限试验数据，并将其编制成EXCEL表格并绘制图表至双对数坐标系，由此确定出的液限、塑限值，较传统方法方便、快捷、准确。 关键词：土工试验；EXCEL；液塑限；解析法；双对数；解析法 0 概述 土的液塑限指标是细粒土进行分类和定名的最基本指标，在土工试验中具有很重要的作用。这两个指标一般通过土的液塑限联合测定法进行测定，由其求得的液性指数在一定程度上反映了粘性土的结构特征，可用于评价土的强度和压缩性，也是获取一般粘性土地基承载力值的重要指标。因此，准确确定土壤的液塑限指标对工程具有很重要的意义。 按照《土工试验规程》SL237-1999 (以下简称《规程》)的规定，该试验数据处理采用绘图——查图的方法。由于图形要绘在对数坐标下，绘制过程相当复杂，且绘图、查图过程中均有误差的产生，因此，该试验的数据既费时、费力，又难以保证精度。 本文通过解析法代替手工绘图、查图过程的数据处理方法，用EXCEL编写了相应的表格进行自动计算并并绘制图表至双对数坐标系，取得了良好的效果。 1．液塑限自动计算思路繁琐的查图过程背后，实际上隐藏着一定的数学关系。只要把这种数学关系找出来，就可以在EXCEL中用简洁的数学运算代替查图操作。 EXCEL具有绘制曲线、折线、散点图等各种图表的功能，只要知道坐标，绘制图表是比较容易的。而液塑限用的是双对数坐标，双对数坐标系通常可以根据测试数据使用origin或matlab来绘制，在这里我选用应用最广泛的Excel完成液塑限试验中双对数坐标的绘制。如何将绘制双对数坐标系和将直线绘制到双对数坐标系是本文的难题。 算术坐标系：就是普通的笛卡儿坐标系，横纵的刻度都是是等距的。（举例来说：如果每1cm的长度都代表2，则刻度按照顺序1，3，5，7，9，11，13，15……）；但一般情况下，刻度仍然是均匀的，按照0，1，2，3，4的顺序排列下去。 双对数坐标系，就是图的两个坐标轴的刻度均为对数刻度，这样一来的话，形如y=ax^b的指数曲线，在双对数曲线图中就表现为一条直线，b就是这条直线的斜率(这里的斜率并不是按数轴上的刻度值计算的，而是将坐标轴看成普通坐标轴，按坐标轴的单位长度计算的)。 可以这样来理解，将y=ax^b两边都取对数，得到：ln(y) = ln(a) + bln(x)，令 = ln(y), = ln(x), 那么在对数曲线图中，得到的就是一条=+ b的直线，数轴的长度单位用的就是和的单位，但是“对数曲线图”的“对数”指的是刻度取对数，所以数轴上的值标的还是x和y的值，所以相邻长度单位上标的数值随数轴的延伸相差越大，也就是说每次增加1，但是x 增加的幅度却是按= ln(x)越来越大的。 对数坐标有几个特点，在应用时需特别注意： (1) 标在对数坐标轴上的数值为真数。 (2) 坐标的原点为x=1，y=1，而不是零。因为1ogl=0。 (3) 由于0.01、0.1、1,10、100等的对数，分别为-2、-1、0、1、2等，所以在坐标纸上，每次数量级的距离是相等的。 (4) 在对数坐标上求斜率的方法，与笛卡儿坐标上的求法有所不同。这一点需要特别注意。在笛卡儿坐标上求斜率可直接由坐标度来度量，如斜率△Y/△X；而在双对数坐标上求斜率则不能直接由坐标度来度量，因为在对数坐标上标度的数值是真数而不是对数。因此双对数坐标纸上直线的斜率需要用对数值来求算，或者直接用尺子在坐标纸上量取线段长度求取。斜率： x=a/b=(logy2-logy1)/( (logx2-logx1) 式中△h与△1的数值，即为用尺子测量而得的线段长度。 (5) 在双对数坐标上，直线与x=1的纵轴相交处的y值，即为原方程中的值，若所标绘的直线需延长很远才能与x=1的纵轴相交，则可求得斜度x之后，在直线上任取一组数据x和y，代入原方程 y=axn中，也可求得值 EXCEL绘制双对数坐标系
导数在微观经济学中边际问题的应用 云南农业大学 关键词：导数；变化率；边际；边际分析。 前言：导数在现代经济领域中的应用非常广泛，特别是在微观经济学中有着很多具体的例子。掌握和应用导数的基本概念和经济中常见函数的概念非常重要。把经济学中很多现象进行分析和归纳到数学领域中，用我们所学的数学知识进行解答对很多经营决策者起了非常重要的作用。 高等数学的主要内容是微积分，微分学则是微积分的重要组成部分，而导数又是微分学中的基本概念之一，所以学习导数的概念并熟练掌握导数的应用尤为重要。导数的应用范围非常广泛，比如在物理学中的应用，在工程技术上的应用，在经济学中的应用等等，今天我就导数在经济中边际问题的应用略做讨论。 一、导数的概念 从数量关系而言，导数反映函数的自变量在变化时，相应的函数值变化的快慢程度——变化率（瞬时变化率）。从数学表达式而言，研究的是函数的增量与自变量的增量比的极限问题。 二、经济学中常用的函数 导数在经济领域中的应用，主要是研究在这一领域中出现的一些函数关系，因此必须了解一些经济分析中常见的函数。 （一）价格函数 一般说来，价格是销售量的函数。生活中随处可见。例如：当购买的东西越多，消费者的消费额度就可以小些。 （二）成本函数 成本包括固定成本和变动成本两类. 固定成本是指厂房、设备等固定资产的折旧、管理者的固定工资等，记为X。变动成本是指原材料的费用、工人的工资等，记为Y。这两类成本的总和称为总成本，记为Z，即 Z=X+Y 假设固定成本不变（X为常数），变动成本Y是产量Q的函数（Y=C(Q)），则成本函数为Z=X+C(Q)。 （三）需求函数 作为市场上的一种商品，其需求量受到很多因素影响，如商品的市场价格、消费者的喜好等. 为了便于讨论，我们先不考虑其他因素，假设商品的需求量Q仅受市场价格x的影响。即
双对数坐标纸的使用 方法 Revised on November 25, 2020
双对数坐标纸的使用方法 将等式x c C υθθυ=等号两边取对数得到： θlg =c x c υθυlg lg + 此式相当于y=ax+b ，该式为一典型的直线方程。 若将Y= logy 和X= logu c 标绘在笛卡儿坐标上，也就可以得到一条直线。 例如，有一组数据如下表所示， 将这些实验数据按y 对x 和Y= logy 对X=logx ，分别标绘在笛卡儿坐标上，可得一条曲线和一条直线。为了避免将每个数据都换算成对数值，可以将纸标纸上的分度直接按对数值绘制。 纵坐标和横坐标都用对数值进行绘制，称为对数坐标。对数坐标有几个特点，在应用时需特别注意： (1) 标在对数坐标轴上的数值为真数。 (2) 坐标的原点为x=1，y=1，而不是零。因为1ogl=0。 (3) 由于、、1,10、100等的对数，分别为-2、-1、0、1、2等，所以在坐标纸上，每次数量级的距离是相等的。 (4) 在对数坐标上求斜率的方法，与笛卡儿坐标上的求法有所不同。这一点需要特别
注意。在笛卡儿坐标上求斜率可直接由坐标度来度量，如斜率△Y/△X ；而在双对数坐标上求斜率则不能直接由坐标度来度量，因为在对数坐标上标度的数值是真数而不是对数。因此双对数坐标纸上直线的斜率需要用对数值来求算，或者直接用尺子在坐标纸上量取线段长度求取。斜率： x=a /b =(logy2-logy1)/( (logx2-logx1) 式中△h 与△1的数值，即为用尺子测量而得的线段长度。 (5) 在双对数坐标上，直线与x=1的纵轴相交处的y 值，即为原方程x c C υθθυ=中的θυC 值，若所标绘的直线需延长很远才能与x=1的纵轴相交，则可求得斜度x 之后，在直线上任取一组数据x 和y ，代入原方程x c C υθθυ=y=axn 中，也可求得θυC 值
导数解公切线专题 3 215 1. (2009年江西文12)若存在过点(1,0)的直线与曲线y X和y ax x 9都相切, 4 则a等于25亠217亠257亠A. 1或B. 1或C. 或-D.—或7 6444644 2.(2016年全国II理16)若直线y kx b是曲线y ln x2的切线，也是曲线y In (x1)的切线，则b . 3?求曲线y=x3+x2- 2X在点A(1,0)处的切线方程? 变式：求曲线y=x3+x2—2x过点A(1,0)的切线方程
【答案】1 In2 【解析】 试题分析；对因数y=lnx+2求导得y （=-f 对＞ =ln （x+l ）求导得#=丄，设直线y = 与圉数 X x+1 y=}nx+2相切于点号口小）,与函埶y = ln （x +1）相切于点占（花jJ :则时=Ln 珂+ 2= In 任+1）, 则点的g'J 在切线上得$-（1口珂+2）=丄（工-珂）,由Eg/J 在切线上得 3?求曲线y=x 3+x 2— 2x 在点A(1,0)处的切线方程? 解：T y ' =x 2+2x — 2, ???切线斜率 k= y'x =1=3. ???切线方程为y=3(x — 1), 即 3x — y — 3=0. 变式：求曲线y=x 3+x 2— 2x 过点A(1,0)的切线方程. y-ln （^ + 1） = —-—（x-x,），这两芳立绫表示同一牛世戈,所以 “ ja + 1 ln(x n +1) =1口 叫 ’解之得 X ； 叼+1 3 1. （2009年江西文12）若存在过点（1,0）的直线与曲线y x 和y ax 2 15 x 4 9都相切, 则a 等于 A . 1 或-64 B . 1 或 21 4 C .-或-24 4 64 1.设过（1,0）的直线与y 3 3 x 相切于点（x 0 , x 0 ），所以切线方程为 x o 3x o 2(x X o ) 2 3x 0 x 2x 0 ，又（1,0）在切线上，则X 。 0或X 。 2 15 25 当X 0时，由y 0与y ax x 9相切可得 a 4 64 3」丄 27 27 一 2 15 当X ） —时，由 y x 与y ax X 9相切可得a 2 4 4 4 2. ( 2016 年全国II 理16) 若直线y kx b 是曲线 y In x y In (x 1）的切 线， 则b 所以选A . 考点：导数的几何意义? 1 , 2的切线，也是曲线
高中数学导数及其应用一、知识网络 二、高考考点 1、导数定义的认知与应用； 2、求导公式与运算法则的运用； 3、导数的几何意义； 4、导数在研究函数单调性上的应用； 5、导数在寻求函数的极值或最值的应用； 6、导数在解决实际问题中的应用。 三、知识要点 （一）导数 1、导数的概念 （1）导数的定义
（Ⅰ）设函数在点及其附近有定义，当自变量x在处有增量△x（△x可 正可负），则函数y相应地有增量，这两个增量的比 ，叫做函数在点到这间的平均变化率。如果 时，有极限，则说函数在点处可导，并把这个极限叫做在点 处的导数（或变化率），记作，即 。 （Ⅱ）如果函数在开区间（）内每一点都可导，则说在开区间（） 内可导，此时，对于开区间（）内每一个确定的值，都对应着一个确定的导数， 这样在开区间（）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做在开区间（） 内的导函数（简称导数），记作或，即 。 认知： （Ⅰ）函数的导数是以x为自变量的函数，而函数在点处的导数 是一个数值；在点处的导数是的导函数当时的函数值。 （Ⅱ）求函数在点处的导数的三部曲： ①求函数的增量； ②求平均变化率；
③求极限 上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。 （2）导数的几何意义： 函数在点处的导数，是曲线在点处的切线的斜率。 （3）函数的可导与连续的关系 函数的可导与连续既有联系又有区别： （Ⅰ）若函数在点处可导，则在点处连续； 若函数在开区间（）内可导，则在开区间（）内连续（可导一定连续）。 事实上，若函数在点处可导，则有此时， 记 ,则有即在点处连续。 （Ⅱ）若函数在点处连续，但在点处不一定可导（连续不一定可导）。 反例：在点处连续，但在点处无导数。 事实上，在点处的增量
两条曲线的公切线问题 ?方法导读 在近几年高考导数大题的命制过程中,求曲线的公切线问题成为高考中的热点题型之一.学生在做题过程中,解决单一曲线的切线问题相对比较熟练,对于单一曲线的切线问题,求解过程中常用的数学思想主要是转化与化归思想,函数与方程思想,数形结合思想,求解方法也较容易理解: (1)判断切点是否可直接找到,若可以直接找到则直接求导即可;若不能直接找到则需设出切点; (2)利用导数的几何意义,即曲线在处的导数为切线的斜率; (3)根据切点既在曲线上又在切线上进行求解. 但是对于两条曲线的公切线问题的求解,显然就比单一曲线的切线问题要复杂得多,灵活得多,难度也大得多.具体的求解方法: 设曲线在点处的切线为,整理得到: . 设曲线在点处的切线为,整理得到:. 由于与是相同直线(即与的公切线), 故有且(即斜率相等,纵截距相等), 从而求解出与公切线有关的一些问题.
?高考真题 【2020·全国II卷理·20】已知函数. (1)讨论的单调性,并证明有且仅有两个零点; (2)设是的一个零点,证明曲线在点处的切线也是曲线 的切线. ?解题策略 【过程分析】 本题第一问首先函数问题定义域优先原则,故得到的定义域为 ,进而对函数求导得到,因为函数的定义域为,从而判断出,因此函数在和 上是单调增函数(注意函数的单调区间不可用“”符号连接,可用“,”或者“和”连接); 然后利用极限法分析当时,,而(此处利用极限法的分析过程建议在平时的做题中多多训练,在很多题型中都
有所涉及),从而根据零点存在性定理判断当,函数有零点,又根据函数在上单调递增,故当时,函数有唯一的零点; 当时,,,因为 ,所以根据零点存在性定理判断函数在必有零点,根据函数在上也是单调递增,故当时,函数有唯一的零点. 于是得到第一问的全部结论,函数在和上是单调增函数并且函数在定义域内有个零点; 第二问要证明两条曲线的公切线问题,就可以用到我们前面提到的方法,首先因为是的一个零点,所以必然满足函数解析式,即 (注意一定要合理应用题中所给条件),然后我们分别求出两条曲线的切线,在求解切线的过程中要注意切点是否可以直 接找到,对于而言,切点已经给出,所以直接求导,从而得到曲线在处的切线的斜率,进而表示出曲线在处的切线的方程为:,然后应用题中所给条件 ,所以的方程整理后为,它的斜率,在纵轴的截距为. 紧接着我们继续研究曲线,由于曲线的切点不能直接找到,所以我们设曲线的切点为,然后利用导数求出曲线过切点
双对数坐标纸的使用方 法 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
双对数坐标纸的使用方法 将等式x c C υθθυ=等号两边取对数得到： θlg =c x c υθυlg lg + 此式相当于y=ax+b ，该式为一典型的直线方程。 若将Y= logy 和X= logu c 标绘在笛卡儿坐标上，也就可以得到一条直线。 例如，有一组数据如下表所示， 将这些实验数据按y 对x 和Y= logy 对X=logx ，分别标绘在笛卡儿坐标上，可得一条曲线和一条直线。为了避免将每个数据都换算成对数值，可以将纸标纸上的分度直接按对数值绘制。 纵坐标和横坐标都用对数值进行绘制，称为对数坐标。对数坐标有几个特点，在应用时需特别注意： (1) 标在对数坐标轴上的数值为真数。 (2) 坐标的原点为x=1，y=1，而不是零。因为1ogl=0。
(3) 由于、、1,10、100等的对数，分别为-2、-1、0、1、2等，所以在坐标纸上，每次数量级的距离是相等的。 (4) 在对数坐标上求斜率的方法，与笛卡儿坐标上的求法有所不同。这一点需要特别注意。在笛卡儿坐标上求斜率可直接由坐标度来度量，如斜率△Y/△X ；而在双对数坐标上求斜率则不能直接由坐标度来度量，因为在对数坐标上标度的数值是真数而不是对数。因此双对数坐标纸上直线的斜率需要用对数值来求算，或者直接用尺子在坐标纸上量取线段长度求取。斜率： x=a /b =(logy2-logy1)/( (logx2-logx1) 式中△h 与△1的数值，即为用尺子测量而得的线段长度。 (5) 在双对数坐标上，直线与x=1的纵轴相交处的y 值，即为原方程x c C υθθυ=中的θυC 值，若所标绘的直线需延长很远才能与x=1的纵轴相交，则可求得斜度x 之后，在直线上任取一组数据x 和y ，代入原方程x c C υθθυ=y=axn 中，也可求得θυC 值
浅谈二阶导数在解高考函数题中的应用 河南省郸城县第三高中 胡友全 （邮编：477150） 在历年高考试题中，导数部分是高考重点考查的内容，在六道解答题中必有一题是导数题。这类题主要考察函数的单调性、求函数的极值与最值以及利用导数的有关知识解决恒成立、不等式证明等问题。解决这类题的常规解题步骤为：①求函数的定义域；②求函数的导数；③求)('x f 的零点；④列出)(),(',x f x f x 的变化关系表；⑤根据列表解答问题。 而在有些函数问题中，如含有指数式、对数式的函数问题，求导之后往往不易或不能直接判断出导函数的符号，从而不能进一步判断函数的单调性及极值、最值情况，此时解题受阻。若遇这类问题，则可试用求函数的二阶导数加以解决。本文试以2010年全国高考试题为例，说明函数的二阶导数在解高考函数题中的应用。 例1.（全国卷Ⅰ第20题） 已知函数1ln )1()(+-+=x x x x f . （1） 若1)('2++≤ax x x xf ，求a 的取值范围； （2） 证明：0)()1(≥-x f x . 原解答如下: 解（1）函数的定义域为（0，+∞），x x x f 1ln )('+ = ， 11ln 1)('22++≤+?++≤ax x x x ax x x xf ， max )(ln ln x x a x x a -≥?-≥? . 令,11)('ln )(-= -=x x g x x x g 则 递减， 时，当递增；时，当)(,0)('1)(,0)('10x g x g x x g x g x <>><< 从而当1=x 时，1)1()(max -==g x g ， 故所求a 的范围是[-1,+∞﹚. 证明(2)由(1)知,01ln ≤+-x x ,则 ① 10< 第七节 导数在经济学中的应用 本节讨论导数概念在经济学中的两个应用——边际分析和弹性分析. 内容分布图示 ★ 引言 ★ 边际函数 ★ 边际成本 ★ 例1 ★ 边际收入与边际利润 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 函数的弹性 ★ 需求弹性 ★ 例5 ★ 用需求弹性分析总收益的变化 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-7 ★ 返回 内容要点： 一、边际分析 在经济学中，习惯上用平均和边际这两个概念来描述一个经济变量y 对于另一个经济变量x 的变化. 平均概念表示在x 在某一范围内取值y 的变化. 边际概念表示当x 的改变量x ?趋于0时，y 的相应改变量y ?与x ?的比值的变化，即当x 在某一给定值附近有微小变化时，y 的瞬时变化. 边际函数： 根据导数的定义, 导数)(0x f '表示)(x f 在点0x x =处的变化率, 在经济学中, 称其为)(x f 在点0x x =处的边际函数值. 边际成本：成本函数)(x C C =(x 是产量)的导数)(x C '称为边际成本函数. 边际收入与边际利润：在估计产品销售量x 时, 给产品所定的价格)(x P 称为价格函数, 可以期望)(x P 应是x 的递减函数. 于是， 收入函数 )()(x xP x R = 利润函数 )()()(x C x R x L -=()(x C 是成本函数) 收入函数的导数)(x R '称为边际收入函数; 利润函数的导数)(x L '称为边际利润函数. 二、 函数弹性 函数弹性的概念：在边际分析中所研究的是函数的绝对改变量与绝对变化率, 经济学中常需研究一个变量对另一个变量的相对变化情况, 为此引入下面定义. 定义1 设函数)(x f y =可导, 函数的相对改变量 利用导数求曲线的切线和公切线 一.求切线方程 【例1】.已知曲线f(x)=x3-2x2+1. (1)求在点P（1,0）处的切线l 1 的方程； (2)求过点Q（2,1）与已知曲线f(x)相切的直线l 2 的方程. 提醒：注意是在某个点处还是过某个点！ 二.有关切线的条数 【例2】．（2014?北京）已知函数f（x）=2x3﹣3x． （Ⅰ）求f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值； （Ⅱ）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，求t的取值范围；（Ⅲ）问过点A（﹣1，2），B（2，10），C（0，2）分别存在几条直线与曲线y=f（x）相切？（只需写出结论） 【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=2x3﹣3x得f′（x）=6x2﹣3， 令f′（x）=0得，x=﹣或x=， ∵f（﹣2）=﹣10，f（﹣）=，f（）=﹣，f（1）=﹣1， ∴f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值为． （Ⅱ）设过点P（1，t）的直线与曲线y=f（x）相切于点（x 0，y ）， 则y 0=2﹣3x ，且切线斜率为k=6﹣3， ∴切线方程为y﹣y 0=（6﹣3）（x﹣x ）， ∴t﹣y 0=（6﹣3）（1﹣x ），即4﹣6+t+3=0，设g（x）=4x3﹣6x2+t+3， 则“过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切”，等价于“g（x）有3个不同的零点”．∵g′（x）=12x2﹣12x=12x（x﹣1）， ∴g（0）=t+3是g（x）的极大值，g（1）=t+1是g（x）的极小值． ∴g（0）＞0且g（1）＜0，即﹣3＜t＜﹣1， ∴当过点过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切时，t的取值范围是（﹣3，﹣1）． （Ⅲ）过点A（﹣1，2）存在3条直线与曲线y=f（x）相切； 过点B（2，10）存在2条直线与曲线y=f（x）相切； 过点C（0，2）存在1条直线与曲线y=f（x）相切． 高中数学导数及其应用 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 高中数学导数及其应用 一、知识网络 二、高考考点 1、导数定义的认知与应用； 2、求导公式与运算法则的运用； 3、导数的几何意义； 4、导数在研究函数单调性上的应用； 5、导数在寻求函数的极值或最值的应用； 6、导数在解决实际问题中的应用。 三、知识要点 （一）导数 1、导数的概念 （1）导数的定义 （Ⅰ）设函数在点及其附近有定义，当自变量x在处有增量△x（△x可正可负），则函数y相应地有增量，这两个增量的比 ，叫做函数在点到这间的平均变化率。如 在点处的导数（或变化率），记作，即 。 （Ⅱ）如果函数在开区间（）内每一点都可导，则说在开区间 （）内可导，此时，对于开区间（）内每一个确定的值，都对应着一个确定的导数，这样在开区间（）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做在开区间（）内的导函数（简称导数），记作或，即 。 认知： （Ⅰ）函数的导数是以x为自变量的函数，而函数在点处的导数是一个数值；在点处的导数是的导函数当时的函数值。 （Ⅱ）求函数在点处的导数的三部曲： ①求函数的增量； ②求平均变化率； ③求极限 上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。 （2）导数的几何意义： 函数在点处的导数，是曲线在点处的切线的斜率。 （3）函数的可导与连续的关系 函数的可导与连续既有联系又有区别： （Ⅰ）若函数在点处可导，则在点处连续； 若函数在开区间（）内可导，则在开区间（）内连续（可导一定连续）。 事实上，若函数在点处可导，则有此时， 函数图像的切线问题 要点梳理归纳 1.求曲线y ＝f(x)的切线方程的三种类型及其方法 (1)已知切点P(x 0，f(x 0))，求y ＝f(x)在点P 处的切线方程： 切线方程为 y －f(x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0). (2)已知切线的斜率为k ，求y ＝f(x)的切线方程： 设切点为P(x 0，y 0)，通过方程k ＝f ′(x 0)解得x 0，再由点斜式写出方程. (3)已知切线上一点(非切点)A(s,t)，求y ＝f(x)的切线方程： 设切点为P(x 0，y 0)，利用导数将切线方程表示为y －f(x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，再将A(s,t)代入求出x 0. 2．两个函数图像的公切线 函数y=f(x)与函数y=g(x) 存在公切线， 若切点为同一点P(x 0，y 0)，则有 ??? ?? f ′(x 0)＝ g ′(x 0)， f (x 0)＝ g (x 0). 若切点分别为(x 1,f(x 1)),(x 2,g(x 2)),则有2 12121) ()()()(x x x g x f x g x f --= '='. 题型分类解析 题型一 已知切线经过的点求切线方程 例1.求过点(2,2)P 与已知曲线3 :3S y x x =-相切的切线方程. 解：点P 不在曲线S 上. 设切点的坐标()00,x y ，则3 0003y x x =-，函数的导数为2 '33y x =-， 切线的斜率为0 20'33x x k y x ===-，2 000(33)()y y x x x ∴-=--切线方程为， 点(2,2)P 在切线上，20002(33)(2)y x x ∴-=--，又3 0003y x x =-，二者联立 放思想在高考数学中的用 高中段，在数列那一章的学中，我曾接触放思想。其在高考函数中，尤 其是数大中，放思想起着足重的作用。 例如，我明x^2-2x+1≥ 0，个目大家来根本算不上。但是如果我 明 x^2-3x+e^x ≥ 0。个式子我看起来非常陌生，我e^x 并不熟悉，我不喜e^x 或者lnx,因此，我可以把他化x 的形式。 道目，我可以先明e^x≥ x+1，里构造助函数f(x)=e^x-x-1 即可明， 明后，我可以得到x^2-3x+e^x ≥ x^2-2x+1≥0 当 x=1 两等号成立。 在此，我出以下 4 个常考的助函数供大家参考。 ①e^x≥ x+1 当 x=0 等号成立 ② lnx≤ x-1 当 x=1 等号成立 ③sinx≤ x 当 x=0 等号成立 ④ cosx≤ x+1 当 x=0 等号成立 接下来我不妨来一道高考， 22(本小分13 分 ) 2012 年山高考。 已知函数f(x) = ln x k （ k 常数，e=2.71828 ??是自然数的底数），曲 y= f(x)在点（ 1，e x f(1)）的切与x 平行。 （Ⅰ）求k 的； （Ⅱ）求f(x)的区； （Ⅲ） g(x)=(x2+x) f '( x) ,其中 f '( x)f(x)的函数，明：任意 x＞ 0，g ( x) 1 e 2。 上面本题的标准答案，前两问在此不做解释。 在第三问中，我们可以看出关键步骤就是把g(x)分成1+x/e^x 和1-x-xlnx 两部分，但是我们如何想到这一步呢？为什么他要把函数分 成这两部分呢？看完上面的文章，我想各位读者已经有了初步的思考，下面，让我们再重新看一遍第三问。 g(x)= (1-x-xlnx)(x+1)/e^x 看到这个函数，我们的第一反应应该是：这个函数不好做， e^x 和 lnx 太烦了，我们把它放缩一下。把 lnx 换成 x-1,把 e^x 换成 x+1。 原式 g(x)＜1-x-xlnx ①①式≤ 1-x^2 ② 看到②式，很多人就会认为，呀！这么简单就做出来了？细心的朋友 可能会发现，其实①式的推导存在着一定的问题。 已知 lnx≤x-1③ 那么 -lnx 应当≥ 1-x 所以①式≥ 1-x^2④ 如果我把 x 放缩成 lnx-1 行不行？利用 -(x)≤-(lnx+1) 把①式化为 1-x(lnx+1)≤1-（lnx+1）^2 但我们来仔细推敲一下，我们已知的是-x≤-(lnx+1)③ 那么我们能不能通过③式得到-x(lnx+1)≤-(lnx+1)(lnx+1)呢？ 显然这是不行的，因为lnx+1 的符号未知。 当lnx+1≥0 时是成立 的而当 lnx+1≤0 时 -x(lnx+1)≥-(lnx+1)(lnx+1) 利用导数求曲线的切线和公切线 一. 求切线万程 【例11 .已知曲线f(x)=x 3-2x 2+1. (1) 求在点P (1,0 )处的切线l 1的方程； ⑵ 求过点Q( 2,1 )与已知曲线f(x)相切的直线丨2的方程. 提醒：注意是在某个点处还是过某个点！ 二. 有关切线的条数 【例21.( 2014?北京)已知函数f (x ) =2x 3 - 3x . (I)求f (x )在区间［-2, 1］上的最大值； (n)若过点P (1, t )存在3条直线与曲线y=f (x )相切，求t 的取值范围; (川)问过点 A (- 1, 2), B (2, 10), C (0, 2)分别存在几条直线与曲线 y=f (x )相切？(只需写出结论) 【解答1 解：(I)由 f (x ) =2x 3 - 3x 得 f '( x ) =6x 2- 3, 令 f '(x ) =0 得，x= -^_或 x=」, ?- f (-2) =- 10, f (-=) =：-：, f (斗)=-::,f (1) =- 1, .f (x )在区间［-2, 1］上的最大值为：.：. (n)设过点P (1, t )的直线与曲线y=f (x )相切于点(X 。，y °), 则y °=2诃-3X 0，且切线斜率为k=6爲-3, .切线方程为 y -y o = (6-,- - 3)(x - x o ), +t+3=0，设 g (x ) =4x 3 - 6x 2+t+3 , 则“过点P (1, t )存在3条直线与曲线y=f (x )相切”，等价于“ g (x )有3 个不同的零点”.T g '(x ) =12x 2- 12x=12x (x - 1), .g (0) =t+3是g (x )的极大值，g (1) =t+1是g (x )的极小值. .g (0)> 0 且 g (1)v 0,即-3v t v- 1, .当过点过点P (1, t )存在3条直线与曲线y=f (x )相切时，t 的取值范围是 (-3,- 1). (rn)过点A (- 1, 2)存在3条直线与曲线y=f (x )相切； 过点B (2, 10)存在2条直线与曲线y=f (x )相切； 过点C (0, 2)存在1条直线与曲线y=f (x )相切. (6 t - y o = -3)( 1-X 。)，即卩 4嗚 2 O导数在经济学的应用
(完整版)利用导数求曲线的切线和公切线
高中数学导数及其应用
函数图像的切线问题
(完整版)导数大题精析1——放缩思想在高考函数中的应用.doc
(完整版)利用导数求曲线的切线和公切线
相关主题
文本预览
