2009年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学（必修+选修Ⅱ）
本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分．第卷1至2页，第错误！。卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
考生注意： 1．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目． 2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作．．．．．．答无效．．．
．
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
参考公式： 如果事件A B ，互斥，那么
球的表面积公式
()()()P A B P A P B +=+
2
4πS R = 如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径
()()()P A B P A P B =
球的体积公式
如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 3
4π3
V R =
n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率
其中R 表示球的半径
()(1)(01,2)
k k
n k n n P k C P P k n -=-=，，，一、选择题
(1)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A B ，则集合[()u A
B I
中的元
素共有
（A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个
（2）已知
1i
Z
＋=2+i,则复数z=（A ）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i (3) 不等式
1
1
X X +-＜1的解集为（A ）｛x }
{}011x x x ??? (B){}
01x x ??（C ）{}10x x -?? (D){
}
0x x ?
(4)设双曲线22221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2
+1相切，则该双曲线的离心率
等于
（A （B ）2 （C （D (5) 甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各
选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（A ）150种 （B ）180种 （C ）300种 (D)345种
（6）设a 、b 、c 是单位向量，且a ·b ＝0，则
()()a c b c -?-的最小值为
（A ）2- （B 2 （C ）1- (D)1（7）已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为
（A （B （C ）4 (D) 34
（8）如果函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π??
???
，0中心对称，那么||?的最小值为（A ）
6π （B ）4π （C ）3π (D) 2
π
(9) 已知直线y=x+1与曲线y ln()x a =+相切，则α的值为
(A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2
（10）已知二面角α-l-β为60
o
，动点P 、Q 分别在面α、β内，P 到β，Q 到
α的距离为P 、Q 两点之间距离的最小值为
(B)2 (C) (D)4
（11）函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则 (A) ()f x 是偶函数 (B) ()f x 是奇函数 (C) ()(2)f x f x =+ (D) (3)f x +是奇函数
12.已知椭圆2
2:12
x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ，若
3FA FB =,则||AF =
B. 2
D. 3
2009年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学（必修+选修II ）
第II 卷
注意事项：
1. 答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码，请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选题其他答案标号，在试卷上作答无效。
3. 第II 卷共10小题，共90分。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上。
（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．．．
）
13. ()10
x y -的展开式中，7
3
x y 的系数与3
7
x y 的系数之和等于 。
14. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若972S =,则249a a a ++= 。 15. 直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若
12AB AC AA ===,120BAC ∠=?，则此球的表面积等于 。
16. 若
4
2
x π
π
<<
，则函数3
tan 2tan y x x =的最大值为 。
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17（本小题满分10分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．．．
）
在ABC ?中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知22
2a c b -=，且
sin cos 3cos sin ,A C A C =求b
18（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．．．）．
如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，AD =
2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60°
（I ）证明：M 在侧棱SC 的中点
（II ）求二面角S AM B --的大小。
19（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．．．）．
甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局。
（I ）求甲获得这次比赛胜利的概率；
（II ）设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ得分布列及数学期望。
20（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．．．）．
在数列{}n a 中，111
1
1,(1)2n n n
n a a a n
++==++ （I ）设n
n a b n
=
，求数列{}n b 的通项公式 （II ）求数列{}n a 的前n 项和n S
21（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．．．）．
如图，已知抛物线2
:E y x =与圆2
2
2
:(4)(0)M x y r r -+=>相交于A 、B 、C 、D
四个点。
（I ）求r 得取值范围；
（II ）当四边形ABCD 的面积最大时，求对角线AC 、BD 的交点P 坐标 22. 本小题满分12分。（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．．．）．
设函数()3
2
33f x x bx cx =++在两个极值点12x x 、，且11[10],[1,2].x x ∈-∈，
（I ）求b c 、满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出
满足这些条件的点(),b c 的区域；
(II)证明：()21
102
f x -≤≤-