忻州市2013届高三上学期第一次联考
数学文试题
注意事项:
1．答题前，考生务必用蓝、黑色墨水笔或圆珠笔将学校名称、姓名、班级、联考证号、座位号填写在试题和试卷上。
2．请把所有答案做在试卷上，交卷时只交试卷，不交试题，答案写在试题上无效。 3．满分150分，考试时间120分钟。
一．选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 若集合A ＝{
x
－2＜x ＜1}，B ＝{
x
0＜x ＜2}，则集合A∩B ＝
A ．{x|－1＜x ＜1}
B ．{ x|－2＜x ＜1}
C ．{ x|－2＜x ＜2}
D ．{
x
0＜x ＜1}
2. 设,a b 为实数，若复数1＋2i
a ＋bi
＝1＋i ，则
A ．31
,22a b =
=
B ．3,1a b ==
C ．
13
,2
2a b =
=
D ．1,3a b ==
3．设l ，m ，n 表示三条直线，α，β，γ表示三个平面，给出下列四个命题： ①若l ⊥α，m ⊥α，则l ∥m ； ②若m ?β，n 是l 在β内的射影，m ⊥l ，则m ⊥n ； ③若m ?α，m ∥n ，则n ∥α；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β. 其中真命题为 A ．①② B ．①②③ C ．①②③④ D ．③④ 4．抛物线y ＝ax2的准线方程是y ＝1，则实数a 的值为
A ．14
B ．－1
4
C ．4
D ．－4
5．若点P(x, y)在以A(－3,1)，B(－1,0)，C(－2,0)为顶点的△ABC 的内部运动(不包含边界)，则2
1y x --的取值范围是
A ．1[,1]2
B ．1,12()
C ．1[,1]4
D ．1(,1)4
6．已知
1
cos sin ,5
4sin >-=
θθθ，则sin2θ＝
A ．
2524
- B ．
2512
- C ．
54
-
D ．2524
7．已知非零向量a →，b →，若a →＋2b →与a →－2b →互相垂直，则|a →| : |b →
|为 A ．12 B ．2 C ．1
4 D ．4
8．下列命题错误的是
A ．命题“若m ＞ 0，则方程x2＋x －m ＝0有实数根”的逆否命题为：“若方程x2＋x －m ＝0无实数根，则m ≤0”．
B ．“x ＝1”是“x2－3x ＋ 2＝0”的充分不必要条件.
C ．若q p ∧为假命题，则p ，q 均为假命题.
D ．对于命题p ：2
2
,10,:,10.x R x x p x R x x ?∈++
9．若直线)0,0(022>>=-+b a by ax 始终平分圆08242
2
=---+y x y x 的周长，则12
a b +的最
小值为
A ．1
B ．5
C ．3＋24
D ．223+
10．执行右边的程序框图，若4p =，则输出的S =
A ．6431
B ．3231
C ．3215
D ．1615
11．已知函数m x A y ++=)sin(?ω的最大值为4，
最小值为0，最小正周期为,2π
直线
3π
=
x 是其图象
的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为
[来源: .Com]
A ．
2
)6
4sin(2++
=π
x y
B ．
2
)3
2sin(2++
=π
x y
C ．
2
)3
4sin(2++
=π
x y
D ．2
)6
4sin(4-+
=π
x y
12．给出定义：若m －12＜x ≤m ＋1
2
（其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作}{x ，即
{}x m =，在此基础上给出下列关于函数(){}f x x x =-的四个命题：
①()y f x =的定义域是R ，值域是(－12, 1
2]；
②点(,0)()()k k Z y f x ∈=是的图像的对称中心； ③函数()y f x =的最小正周期为1；
④函数()y f x =在(－12, 32
上是增函数；
则其中真命题的个数为
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
二．填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上)
13．一个空间几何体的三视图(单位：cm)如图所示， 则该几何体的体积为 cm3． 14．某中学为了解学生的数学学习 情况，在3000名学生中随机抽取
200名，并统计这200名学生的 某次数学考试成绩，得到了样本 的频率分布直方图．根据频率分 布直方图，推测这3000名学生 在该次数学考试中成绩小于60 分的学生数是_____________． 15．15．已知函数f (x)=13lnx －1
x
，
则f '(3)＝_________．
16．某老师在校阅试题时发现一个题目：“从60?角的顶点开始，在一边上截取9厘米的线段，在另
如此，答案却不必改动，即题目与答案仍符合，则a ＝________．
三．解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上) 17．（本题满分12分） 在等差数列{an}中，Sn 为其前n 项和，且a5＝9，S3＝9． (Ⅰ)求数列{an}的通项an;
(Ⅱ)若数列{1anan+1}的前n 项和为Tn ，求2Tn ≥20122013的最小正整数n 的值．
18．（本题满分12分）
甲?乙两名运动员在一次射击预选赛中，分别射击了4次，成绩如下表（单位：环）：
(Ⅰ)从甲?乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率；
(Ⅱ)现要从中选派一人参加正式比赛，你认为选派哪位运动员参加比较合适?请说明理由．
19．（本题满分12分）
如图，在三棱柱ABC -A1B1C1中，侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，∠BAC ＝90?，AB ＝2，点D1、D 分别是棱B1C1、BC 的中点． (Ⅰ)求证：A1D1⊥平面BB1C1C ； (Ⅱ)求证：AB1∥平面CA1D1； （Ⅲ）求多面体A1B1D1-CAD 的体积．
20．（本题满分12分）
已知中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆E 过点(1，32)，离心率为12
(Ⅰ)求椭圆E 的方程；
(Ⅱ)直线x ＋y ＋1＝0与椭圆E 相交于A 、B(B 在A 上方)两点，问是否存在直线l ，使l 与椭圆相交于C 、D(C 在D 上方)两点且ABCD 为平行四边形，若存在，求直线l 的方程与平行四边形ABCD 的
面积；若不存在，请说明理由．
21．（本题满分12分）
已知函数f (x)＝－13ax3＋12x2＋(a －1)x －1
6(x ＞0)，(a ∈R)．
(Ⅰ)当0＜a ＜1
2
时，讨论f (x)的单调性；
(Ⅱ)若f (x)在区间(a, a ＋1)上不具有单调性，求正实数a 的取值范围．
选做题：请考生从给出的3道题中任选一题做答，并在答题卡上把所选题目的题号用2B 铅笔涂黑．注意所做题目的题号必须与所涂的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，已知C 、F 是以AB 为直径的半圆O 上的两点，且CF ＝CB ，过C 作CD ⊥AF 交AF 的延长线与点D ． (Ⅰ)证明：CD 为圆O 的切线； (Ⅱ)若AD ＝3，AB ＝4，求AC 的长．
23．（本题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知两点O(0，0)，B(22，π4)．
(Ⅰ)求以OB 为直径的圆C 的极坐标方程，然后化成 直角坐标方程；
（Ⅱ）以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立
平面直角坐标系，直线l 的参数方程为,12,
x t y t ???＝＝＋（t 为参数）．若直
线l 与圆C 相交于M ，N 两点，圆C 的圆心为C ，求?MNC 的面积．
（本题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知函数f (x)＝| x －a | + | x + 2 |(a 为常数，且a ∈R)． （Ⅰ）若函数f (x)的最小值为2，求a 的值； （Ⅱ）当a ＝2时，解不等式f (x)≤6．
忻州市2012－2013学年高三第一次联考 数学(文科)参考答案及评分标准
一．选择题(每小题5分，共60分) DAABDA BCDDAC
二．填空题(每小题5分，共20分)
13．38
14．600 15．92
16．4 三．解答题(本大题共6小题，共70分)
17．解：(Ⅰ)由已知得1149,2239,2a d a d
+=??
?+?=?
?
……2分
解得a1＝1，d ＝2，
……4分 ∴an=2n －1． ……6分
由2Tn ＝2n 2n ＋1≥2012
2013
，∴n ≥1006．
……12分
18．解：(Ⅰ)记甲被抽到的成绩为x ，乙被抽到成绩为y ，用数对(x, y)表示基本事件从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，则共有(6,6)，(6,8)，(6,8)，(6,10)，(7,6)，(7,8)，(7,8)，(7,10)，(9,6)，(9,8)，(9,8)，(9,10)，(10,6)，(10,8)，(10,8)，(10,10)共16种结果．3分
记A ={甲的成绩比乙高}，则A 包含(7,6)，(9,6)，(9,8)，(9,8)，(10,6)，(10,8)，(10,8)共7种结果，∴P(A)＝
716
．
……6分
(Ⅱ)甲的成绩平均数x1ˉ＝
6＋7＋9＋104＝8，乙的成绩平均数x2ˉ＝6＋8＋8＋10
4
＝8，
甲的成绩方差S 21＝(6－8)2＋(7－8)2＋(9－8)2＋(10－8)2
4＝2.5,
乙的成绩方差S 22＝(6－8)2＋(8－8)2＋(8－8)2＋(10－8)2
4＝2.0．
……10分
∵x1ˉ＝x2ˉ，
2
1
S >
2
2
S ，∴选派乙运动员参加决赛比较合适． ……12分
∴侧面BCC1B1⊥平面A1B1C1，
又A1B1＝A1C1，∴A1D1⊥B1C1． ∴A1D1⊥平面BB1C1C ． ……4分 （Ⅱ）解：∵D1、D 分别是棱B1C1、BC 的中点， ∴B1D ∥CD1，∴CD1∥平面AB1D ．
又ADD1A1为矩形，∴A1D1∥AD ，∴A1D1∥平面AB1D ． ∵AD ∩DB1＝D ，∴平面CA1D1∥平面ADB1． 又AB1?平面AB1D ，∴AB1∥平面CA1D1．
……8分
（Ⅲ）解：三棱柱ABC -A1B1C1的体积V1＝1
2
×2×2×2＝4，
三棱锥C -A1C1D1与三棱锥B1-ABD 的体积均为V2＝13×12×2×2×2＝2
3，
∴多面体A1B1D1-CAD 的体积V ＝V1－2V2＝4－43＝8
3．
……12分
20．解：(Ⅰ)设椭圆的方程为x2a2＋y2
b2
＝1(a ＞b ＞0)，由题意可得
2222
2
191414,a b a b ,
a ?+=???-?=?
?解得a2＝4，b2＝3． ∴椭圆的方程为x24＋y2
3
＝1．
……4分
联立2
2
10143x y ,x y
,=???+=??＋－
得7x2－8x －8＝0．
设C(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1＋x2＝87，x1x2＝－8
7．
……9分
|CD|＝1＋k2?(x1＋x2)2－4x1x2＝2?(87)2－4×(－87)＝247
． 故平行四边形ABCD 的面积S ＝247×2＝24
7
2． ……12分
21．解：(Ⅰ) f (x)的定义域为
()0+∞，
.
()2
1
f x ax x a '=-++-＝－a(x －1)[x －(1
a
－1)]．
……2分
当0＜a ＜12时，1
a
－1＞1，
∴f (x)在(0,1)，(1a －1,＋∞)递减；在(1, 1
a －1)递增；
……4分
(Ⅱ) f (x)在区间(),1a a +上不具有单调性等价于f (x)在区间(),1a a +内至少有一个极值点．
……5分
①当a ＝12 f '(x)＝－12
(x －1)2≤0?f (x)在
()0,+∞上递减,不合题意； …7分
②当a ≥1时，f '(x)＝0的两根为x1＝1,x2＝1
a
1，∵()12,,1x x a a ?+，故不合题意；③当01a <<，
且a ≠12
时，f (x)在区间
(),1a a +上不具有单调性等价于： 11a a <<+或111a a a
<
-<+
?011a a <<-<<
01a ?<<
01a ∴<<，且a ≠12
．
(11)
综上可知，所求a 的取值范围是(0，12)∪(1
2，22．（Ⅰ）证明：∵CF CB =，CAF ∴∠∵OA OC =，CAO ACO ∴∠=∠， 则CAF ACO ∠=∠，AF ∴∥OC ．
∵CD AF ⊥，CD OC ∴⊥．则CD 为圆
……5分
（Ⅱ）解：连接BC ，由（Ⅰ）知CAD ∠又90CDA ACB ∠=∠=?，ADC ∴?∽?AD AC
AC
AB ∴=．则2
12AC AD AB =?=，所以AC =
……10分
23．解： (Ⅰ)设P(ρ,θ)为圆上任意一点，则|OP|＝ρ，∠POx ＝θ－π
4，
在Rt ?POB 中，cos(θ－π4)＝ρ22，即ρ＝22cos(θ－π
4)．
22
∴圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2=2． ……5分
（Ⅱ）作CD ⊥MN 于D ，C 到直线l 的距离为d ＝25
5，
在Rt ?CDA 中，|MN|＝22－d2＝
230
5
， ∴S ＝12×2305×255＝265． ……10分
24．解：（Ⅰ）f (x)＝|x －a|＋|x ＋2|＝| a －x |＋|x ＋2| ≥|a －x ＋x ＋2|＝|a ＋2|，
由|a ＋2|＝2，解得a ＝0或a ＝－4．
……5分
（Ⅱ）f (x)= |x －2|＋|x ＋2|．
当x ＜－2时，不等式为2－x －x －2≤6，其解为－3≤x ＜－2；
当－2≤x ＜2时，不等式为2－x ＋x ＋2≤6恒成立，其解为－2≤x ＜2； 当x ≥2时，不等式为x －2＋x ＋2≤6，其解为2≤x ≤3； 所以不等式f (x)≤6的解集为[－3，3]． ……10分 如有其它解法，相应给分．