济宁一中2015届高三上学期第四次月考数学理试题
命题人：马旭 审题人：苏士星
一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．）
1. 已知全集2,{|1},{|20}U R A x x B x x x ==>=->，则()U C A B = （ ） A ．{}|2x x ≤ B ．{}|1x x ≥ C ．{}|01x x ≤≤ D ．{}|02x x ≤≤
2. 已知
1i
i 12i
b a -=++（,R a b ∈）
，其中为虚数单位，则a b +=（ ） A ． 4 B ． 4- C ．10- D ．10
3. 若α是第三象限角，且1
tan 3
α=，则cos α=（ ）
Ａ.103
-
Ｂ.
310
10
Ｃ.310
10
-
Ｄ.1010
-
4. 已知向量i 与j 不共线，且,,1AB i m j AD ni j m =+=+≠
，若,,A B D 三点共线，则实数,m n 满足的条件是（ ） Ａ.1m n +=
Ｂ.1m n +=-
Ｃ.1mn =
Ｄ.1mn =-
5. 在正项等比数列}{n a 中，369lg lg lg 6a a a ++=，则111a a 的值是 ( ) A. 10000 B. 1000 C. 100 D. 10
6. 已知向量(1,2)a =- ,(3,)b m = ,R m ∈,则“6m =-”是“//()a a b +
”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
7. 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )
A.x 220－y 25＝1
B.x 25－y 220＝1
C.x 280－y 220＝1
D.x 220－y 2
80＝
8. ABC ?中，90A ∠=?,2,1,AB AC ==设点,P Q 满足,(1)AP AB AQ AC λλ==-
.R λ∈若2BQ CP ?=-
,则λ= （ ）
A.13
B.23
C.4
3
D.2
9. ,x y 满足约束条件20,220,220.x y y x x y +-≤??
-+≥??-+≥?若2z y ax =-取得最大值的最优解不唯一．．．
， 则实数a 的值为 ( ) A.
12或1- B.或1
2
- C.2或 D.2或1- 10.对于任意两个正整数,m n ,定义某种运算“※”如下:当,m n 都为正偶数或正奇数 时,m ※n =m n +;当,m n 中一个为正偶数,另一个为正奇数时,m ※n =mn .
则在此定义下,集合{(,)|M a b a =※16}b =中的元素个数是 ( )
A.18个
B.17个
C.16个
D.15个 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）
11.曲线2sin 0)y x
x π=≤≤（与直线1y =围成的封闭图形的面积为 . 12. 过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为____ ____． 13. 在ABC ?中，,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边，已知1
6,4,cos 3
a c B ===
，则____b =.
14.过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点．若|AF |＝3，则|BF |＝________.
15.给出下列命题：①函数2
4
x
y x =
+在区间[1,3]上是增函数； ②函数2(x)2x f x =-的零点有3个； ③不等式|1||3|x x a ++-≥恒成立，则4a ≤； ④已知,,21,a b R a b +∈+=则
21
8a b
+≥ ⑤ 3
π2
?=
是函数sin(2)y x ?=+为偶函数的一个充分不必要条件. 其中真命题的序号是（请将所有正确命题的序号都填上） .
三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16.（本小题满分12分）
已知递增等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且3221S S =+. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}n b 满足*21()n n b n a n N =-+∈，求数列{}n b 的前n 项和n T . 17.（本小题满分12分）
已知向量3
(sin ,)4a x = ，(cos ,1)b x =- ．
(1)当//a b
时，求2cos sin 2x x -的值；
(2)设函数()2()f x a b b =+?
，已知在ABC ?中，内角A B C 、、的对边分别为
a b c 、、，若3a =，2b =，6sin 3B =，求()4cos(2)6f x A π++（[0,]3
x π∈）的取值范围.
18.（本小题满分12分）
北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估。该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．
（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不
低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入
2
1(600)6
x -万作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入
5
x
万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．
19.（本小题满分12分）
在长方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中,AD ＝１,AA 1＝AB ＝２．点E 是线段AB 上的动点,点M 为D 1C 的中点． (1)当E 点是AB 中点时,求证：直线ME ‖平面ADD 1 A 1； (2)若二面角A - D 1Ｅ-Ｃ的余弦值为15
5
4．求线段AE 的长．
20. （本小题满分12分）
已知椭圆C 的两个焦点分别为1(1 0)F -，、2(1 0)F ，,短轴的两个端点分别为12 B B 、
(1)若112F B B ?为等边三角形,求椭圆C 的方程;
(2)若椭圆C 的短轴长为2,过点2F 的直线与椭圆C 相交于 P Q 、两点,且
11
F P FQ ⊥ ,求直线的方程.
21.（本小题满分14分）
已知函数2()ln (1)12a
f x x a x =+++．
（Ⅰ）当21-=a 时，求)(x f 在区间],1
[e e 上的最小值；
（Ⅱ）讨论函数)(x f 的单调性；
（Ⅲ）当10a -<<时，有()1ln()4
a
f x a >+-恒成立，求a 的取值范围．
济宁一中2012级高三上学期第四次月考答案（理）
一． 1.C 2.B 3.C 4.C 5.A 6.A 7.A 8.A 9.B 10.B
二、11. 2233
π
- 12. 22 13.6 14. 32 15.②③⑤ 三、
16.解：（1）设公比为q ，由题意：q>1, 11=a ，则2a q =，2
3a q =，
∵1
223+=s s ，∴1)(221321++=++a a a a a
则1)1(212
++=++q q q 解得： 2=q 或1-=q （舍去），∴12n n a -= （2）1
21212n n n b n a n -=-+=-+
()()1
13.....2112......2n n T n -=+++-+++????
2[1(21)]1221
212n n n n n +--=+=+-- 17.解：28(1)cos sin 25x x -=
（2）()21262cos 4123-≤??? ?
?
++≤-πA x f 解析：（1）33
//,cos sin 0,tan 44a b x x x ∴+=∴=-
22
222
cos 2sin cos 12tan 8cos sin 2sin cos 1tan 5
x x x x x x x x x ---===++ （2）()2()2sin(2)4f x a b b x π=+?=+ +3
2
由正弦定理得
2sin ,,sin sin 24a b A A A B π===可得所以或4
3π=A 因为a b >，所以4
π=
A
()??? ??++62cos 4πA x f =2sin(2)4x π+12-,0,3x π??
∈???? 112,4412x πππ??∴+∈????, 所以 ()21262cos 4123-≤??? ?
?
++≤-πA x f
18.解：(1)设每件定价为t 元，依题意得? ????
8－t －251×0.2
t ≥25×8， 整理得t 2－65t ＋1 000≤0，解得25≤t ≤40.
所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元． (2)依题意知当x ＞25时，不等式ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋1
5x 有解， 等价于x ＞25时，a ≥150x ＋16x ＋1
5有解． 由于150x ＋1
6x ≥2 150x ×16x ＝10，当且仅当150x ＝x 6，即x ＝30时等号成立，
所以a ≥10.2.
当该商品改革后的销售量a 至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元.
19. （1）证明：取1DD 的中点N ，连结MN 、AN 、ME ，
MN ∥CD 21，AE ∥CD 2
1
，
∴ 四边形MNAE 为平行四边形，可知 ME ∥AN 11AN ADD A ?平面 ， 11ME ADD A ?平面 ∴ME ∥平面1AD .
（2）解：设 AE m =，如图建立空间直角坐标系
1(1,0,0),(1,,0),(0,2,0),(0,0,2)A E m C D ，
11(1,0,2),(0,,0),(0,2,2),(1,2,0),AD AE m D C EC m =-==-=--
平面1AD E 的法向量为1111(,,)n x y z = ，由1n ? 10AD =
及1n ? 0AE =
得1(2,0,1)n =
平面1D EC 的法向量为2(,,)n x y z = ，由2n ? 10D C =
及
2n ? 0EC =
得2(2,1,1)n m =- 122125245
cos 15
5(2)11n n m n n m θ-==
=-++ ，即2201161290m m -+=，解得N
M
z y
x
A B
C
D A 1B 1
C 1
D 1
E
343(210m m ==或舍）
所以3
2
AE = 20.解：(1)设椭圆C 的方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>.
根据题意知2221a b a b =??-=?, 解得243a =,21
3b =
故椭圆C 的方程为22
14133
x y +=.
(2)容易求得椭圆C 的方程为2
212
x y +=.
当直线的斜率不存在时,其方程为1x =,不符合题意; 当直线的斜率存在时,设直线的方程为(1)y k x =-.
由22
(1)12
y k x x y =-???+=?? 得2222(21)42(1)0k x k x k +-+-=. 设1122( ) ( )P x y Q x y ，，，,则
22121211112222
42(1) (1 ) (1 )2121
k k x x x x F P x y FQ x y k k -+===+=+++ ，，，，， 因为11F P FQ ⊥ ,所以11
0F P FQ ?=
,即 21212121212(1)(1)()1(1)(1)x x y y x x x x k x x +++=++++-- 2221212(1)(1)()1k x x k x x k =+--+++
2271
021k k -==+, 解得21
7
k =
,即77k =±.
故直线的方程为710x y +-=或710x y --=.
21.解：（Ⅰ）当2
1
-=a 时，21()ln 142x f x x =-++，
∴2141
()44x f x x x x
--'=+=
． ∵)(x f 的定义域为),0(+∞，∴由()0f x '≥ 得12x ≥由()0f x '≤ 得1
2
x ≤．.2分
∴)(x f 在区间11[,]2e 上单调递减，在区间1
[,]2e 上单调递增，
∴min 191
()()ln 2284
f x f ==+ ． .............4分
（Ⅱ）24(1)()(0,)2a x a
f x x x
++'=∈+∞，．
①当01≤+a ，即1-≤a 时，)(,0)(x f x f ∴<'在),0(+∞单调递减；.......5分 ②当0≥a 时，)(,0)(x f x f ∴>'在),0(+∞单调递增； .........6分