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二元二次方程组教案

二元二次方程组教案
二元二次方程组教案

第七讲 简单的二元二次方程组

在初中我们已经学习了一元一次方程、一元二次方程及二元一次方程组的解法,掌握了用消元法解二元一次方程组.高中新课标必修2中学习圆锥曲线时,需要用到二元二次方程组的解法.因此,本讲讲介绍简单的二元二次方程组的解法.

含有两个未知数、且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,叫做二元二次方程. 由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组,或由两个二元二次方程组组成的方程组,叫做二元二次方程组.

一、由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组

一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一般都可以用代入法求解.其蕴含着转化思想:将二元一次方程化归为熟悉的一元二次方程求解.

【例1】解方程组22

20 (1)30 (2)

x y x y -=??-+=? 分析:由于方程(1)是二元一次方程,故可由方程(1),得2y x =,代入方程(2)消去y . 解:由(1)得:2y x = (3) 将(3)代入(2)得:22(2)30x x -+=,解得:1211x x ==-或

把1x =代入(3)得:22y =;把1x =-代入(3)得:22y =-.

∴原方程组的解是:111111

22

x x y y ==-????==-??或.

说明:(1) 解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的步骤:

①由二元一次方程变形为用x 表示y 的方程,或用y 表示x 的方程(3);

②把方程(3)代入二元二次方程,得一个一元二次方程; ③解消元后得到的一元二次方程;

④把一元二次方程的根,代入变形后的二元一次方程(3),求相应的未知数的 值;

⑤写出答案.

(2) 消x ,还是消y ,应由二元一次方程的系数来决定.若系数均为整数,那 么最好消去系数绝对值较小的,如方程210x y -+=,可以消去x ,变形

得21x y =-,再代入消元.

(3) 消元后,求出一元二次方程的根,应代入二元一次方程求另一未知数的值,

不能代入二元二次方程求另一未知数的值,因为这样可能产生增根,这一点

切记.

【例2】解方程组11 (1)28 (2)

x y xy +=??

=?

分析:本题可以用代入消元法解方程组,但注意到方程组的特点,可以把x 、y 看成是方程211280z z -+=的两根,则更容易求解.

解:根据一元二次方程的根与系数的关系,把x 、y 看成是方程211280z z -+=的两根,解方程得:4z =或z=7.

∴ 原方程组的解是:111

1

4

7

74x x y y ==????==??或

. 说明:(1) 对于这种对称性的方程组x y a xy b

+=??

=?,利用一元二次方程的根与系数的关系

构造方程时,未知数要换成异于x 、y 的字母,如z .

(2) 对称形方程组的解也应是对称的,即有解47

x y =??

=?,则必有解74

x y =??

=?.

二、由两个二元二次方程组成的方程组

1.可因式分解型的方程组

方程组中的一个方程可以因式分解化为两个二元一次方程,则原方程组可转化为两个方程组,其中每个方程组都是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成.

【例3】解方程组22225() (1)

43 (2)

x y x y x xy y ?-=+??++=??

分析:注意到方程225()x y x y -=+,可分解成()(5)0x y x y +--=,即得0x y +=或50x y --=,则可得到两个二元二次方程组,且每个方程组中均有一个方程为二元一次方程.

解:由(1)得:

2

2

5()0()()5()0()(5)0x y x y x y x y x y x y x y --+=?+--+=?+--=

∴ 0x y +=或50x y --=

∴ 原方程组可化为两个方程组:2

2

22

50

4343x y x y x xy y x xy y --=+=????++=++=?

?

或 用代入法解这两个方程组,得原方程组的解是:

3124123416,,61x x x x y y y y ??==-==????

?

???=-===???

??? 说明:由两个二元二次方程组成的方程组中,有一个方程可以通过因式分解,化为两个

二元一次方程,则原方程组转化为解两个方程组,其中每一个方程组均有一个方程是二元一次方程.

【例4】解方程组22

12 (1)

4 (2)

x xy xy y ?+=??+=??

分析:本题的特点是方程组中的两个方程均缺一次项,我们可以消去常数项,可得到一

个二次三项式的方程.对其因式分解,就可以转化为例3的类型.

解:(1) –(2)3?得:223()0x xy xy y +-+= 即 22230(3)()0x xy y x y x y --=?-+=

∴ 300x y x y -=+=或

∴ 原方程组可化为两个二元一次方程组:22

300

,44

x y x y xy y xy y -=+=????+=+=??.

用代入法解这两个方程组,得原方程组的解是:1212

33

,11x x y y ==-????==-??. 说明:若方程组的两个方程均缺一次项,则消去常数项,得到一个二元二次方程.此方

程与原方程组中的任一个方程联立,得到一个可因式分解型的二元二次方程组.

【例5】解方程组2226 (1)

5 (2)

x y xy ?+=?=?

分析:(1) +(2)2?得:2()36 (3)x y +=,(1) -(2)2?得:2()16 (4)x y -=,分别分解(3)、(4)可得四个二元一次方程组.

解:(1) +(2)2?得:222236()3666x y xy x y x y x y ++=?+=?+=+=-或,

(1) -(2)2?得:2

2

2

216()1644x y xy x y x y x y +-=?-=?-=-=-或. 解此四个方程组,得原方程组的解是:

312412341515

,,,1551

x x x x y y y y =-===-?????

???===-=-????.

说明:对称型方程组,如22x y a x y b ?+=?+=?、22x y a

xy b ?+=?=?

都可以通过变形转化为

x y m

x y n +=??

=?

的形式,通过构造一元二次方程求解. 2.可消二次项型的方程组

【例6】解方程组 3 (1)38 (2)xy x xy y +=??+=?

分析:注意到两个方程都有xy 项,所以可用加减法消之,得到一个二元一次方程,即

转化为由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组.

解:(1) 3(2)?-得:313 1 (3)x y y x -=?=- 代入(1)得:212(31)33311x x x x x x -+=?=?==-或.

分别代入(3)得:1224y y ==-或. ∴ 原方程组的解是:121

2

1

1

24x x y y ==-????

==-??或

. 说明:若方程组的两个方程的二次项系数对应成比例,则可用加减法消去二次项,得到一个二元一次方程,把它与原方程组的任意一个方程联立,解此方程组,即得原方程组的解.

二元二次方程组类型多样,消元与降次是两种基本方法,具体问题具体解决.

A 组

1.解下列方程组:

(1) 26x y y x

?+=?=?

(2) 22282x y x y ?+=?+=?

(3) 22

1

235x y x xy y +=??++=?

(4) 2203210x y x xy -=??+=?

2.解下列方程组:

(1) 32x y xy +=-??=?

(2) 1

6x y xy +=??=-?

3.解下列方程组:

(1) 2

(23)0

1x x y x -=??=-?

(2) (343)(343)0

325x y x y x y +-++=??+=?

(3) 22

(2)()0

8

x y x y x y -++=??+=?

(4) ()(1)0()(1)0

x y x y x y x y ++-=??

---=?

4.解下列方程组: (1) 222230

x y x y ?+=??-=??

(2) 168

xy x xy x +=??

-=?

B 组

1.解下列方程组:

(1) 2232320

x y x y x +=??-+-=?

(2) 22

231234330

x y x xy y x y -=??-+-+-=? 2.解下列方程组:

(1) 32

x y xy -=??

=-?

(2) 24221

x y xy +=??

=-?

3.解下列方程组:

(1) 2222384

x y x xy y ?-=??++=??

(2) 224

221

x y xy ?+=?=-?

4.解下列方程组: (1) 2252x y xy ?+=?=-?

(2) 22

4

10x y x y +=??+=?

第六讲 简单的二元二次方程组答案

A 组

1

.2

121211212

1283204322(1),,(2),,(3),(4)32 223 344

x x x x x x x y y y y y y y ???

===-???=-===??????????????=-===-??????

?=-==-?????

? 2. 121212121232

(1),,(2),2 1 2 3

x x x x y y y y =-=-==-?????

???

=-=-=-=???? 3

.2311212

13

12122

371320112,,(2),,(3),,3315211144

x x x x x x x y y y y y y y ?

=?????=-==-=--==???????

?

??????=-==+=-?????????=-=-=????

23

414414*********

,(4),,,20110

22

x x x x x y y y y y ?

?==??===??????????

=-==?????==-????. 4.

(1) 123412342222

,2222

x x x x y y y y ????===-=-????????????

????

==-==-????????.(2) 43x y =??=?.

B 组

1.1122122175154(1),,(2),4 1 3 3 2x x x x y y y y ?

=-?=-==????????

===????=-

?? 2.1212121273

12(1),,(2),372 1 22

x x x x y y y y ==-??==????

????=-=-=-=

??????

3

.12343412221313(1),221313x x x x y y y y ??==-

??=-=?????

???

==-???

?

==-???

?

3124123400(2),,22x x x x y y y y ??====????

???

?==-==??????4.3124123412

12

(1),,,1221

x x x x y y y y ===-=-?????

???

=-==-=????,121213(2),3 1 x x y y ==????==??

二元二次方程组-解法-例题

二元二次方程的解法 二次方程组的基本思想和方法 方程组的基本思想是“转化”,这种转化包含“消元”和“降次”将二元转化为一元是消元,将二次转化为一次是降次,这是转化的基本方法。因法和技巧是解二元二次方程组的关键。 型是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组;“二·二”型是由两个二元二次方程组成的方程组。 程组的解法 元法(即代入法) 二·一”型方程组的一般方法,具体步骤是: 次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示; 数式代入二元二次方程,得到一个一元二次方程; 元二次方程,求得一个未知数的值; 的这个未知数的值代入二元一次方程,求得另一个未知数的值;如果代入二元二次方程求另一个未知数,就会出现“增解”的问题; 个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起,就是原方程组的解。 与系数的关系 二元二次方程组中形如的方程组,可以根据一元二次方程根与系数的关系,把x、y看做一根,解这个方程,求得的z1和z2的值,就是x、y的值。当x1=z1时,y1=z2;当x2=z2时,y2=z1,所以原方程组的解是两组“对称解”。注意 二·一”型方程组的一种特殊方法,它适用于解“和积形式”的方程组。 比较常用的解法。除此之外,还有加减消元法、分解降次法、换元法等,解题时要注意分析方程的结构特征,灵活选用恰当的方法。 解一元二次方程、分式方程和无理方程的知识都可以运用于解“二·一”型方程组。(2)要防止漏解和增解的错误。

程组的解法 中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时,可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二型方程组,所得的解都是原方程组的解。 中两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程时,将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程与第二个二元二次方程组成新的方程组,可得到四个二元一次方程组,解这四个二元一次方程组,所得的解都是原方程的解。 方程组最多有两个解,“二·二”型方程组最多有四个解,解方程组时,即不要漏解,也不要增解。 析:例1.解方程组 观察这个方程组,不难发现,此方程组除可用代入法解外,还可用根与系数的关系,通过构造一个以x, y为根的一元二次方程来求解。 1)得y=8-x..............(3) 把(3)代入(2),整理得x2-8x+12=0. 解得x1=2, x2=6. (3),得y1=6. 把x2=6代入(3),得y2=2. 所以原方程组的解是。

实用文档之二元二次方程组练习题

实用文档之"第一部分" 1、方程组???--=+=3212x x y x y 的解是 。 2、方程组???=+=-1 23422y x y x 的解是 。 3、解方程组???=--=+0 )3)(2(2022y x y x y x 时可先化为 和 两个方程组。 4、方程组???????==+6 1 116511y x y x 的解是 。 5、方程组???==+b xy a y x 的两组解为???==1111b y a x ,???==2 222b y a x ,则2121b b a a -= 。 二、选择题: 1、由方程组???=+++-=-0 4)1()1(122y x y x 消去y 后得到的方程是( ) A 、03222=--x x B 、05222=+-x x C 、01222=++x x D 、09222=++x x 2、方程组???=-+++=+0 3202y x x y x 解的情况是( ) A 、有两组相同的实数解 B 、有两组不同的实数解 C 、没有实数解 D 、不能确定 3、方程组???=--=-+0 0122m x y y x 有唯一解,则m 的值是( ) A 、2 B 、2- C 、2± D 、以上答案都不对 4、方程组???+==m x y x y 2有两组不同的实数解,则( ) A 、m ≥41- B 、m >41- C 、41-<m <4 1 D 、以上答案都不对 三、解下列方程组: 1、???=-=+15 522y x y x ; 2、???=+=+25722y x y x 3、?????=--=+-035212222 2y xy x y xy x ; 4、???==+127xy y x ; 5、???==+61322xy y x

二元二次方程组练习题

代数方程组练习 1、方程组???--=+=3 212x x y x y 的解是 。 2、方程组???=+=-1 23422y x y x 的解是 。 3、解方程组???=--=+0 )3)(2(2022y x y x y x 时可先化为 和 两个方程组。 4、方程组???????==+61 1-16511y x y x 的解是 。 二、选择题: 1、由方程组???=+++-=-04)1()1(122y x y x 消去y 后得到的方程是( ) A 、03222=--x x B 、05222=+-x x C 、01222=++x x D 、09222=++x x 2、方程组???=-+++=+0320 2y x x y x 解的情况是( ) A 、有一组实数解 B 、有两组不同的实数解 C 、没有实数解 D 、不能确定 3、方程组???=--=-+00122m x y y x 有唯一解,则m 的值是( ) A 、2 B 、2- C 、2± D 、以上答案都不对 4、方程组???+==m x y x y 2有两组不同的实数解,则( ) A 、m ≥41- B 、m >41- C 、41-<m <4 1 D 、以上答案都不对 三、解下列方程组: 1、???=-=+15 522y x y x ; 2、???=+=+25722y x y x

3、?????=--=+-0 352122222y xy x y xy x ; 4、???==+127xy y x ; 5、???==+613 22xy y x 四、m 为何值时,方程组 ???=+=+m y x y x 2022只有一组实数解,并求出这时方程组的解。

二元二次方程组知识讲解解析

二元二次方程组知识讲解 【学习目标】 1、知道二元二次方程的概念和二元二次方程组的概念,能够判定给定的方程和方程组是否是二元二次方 程或二元二次方程组; 2、了解二元二次方程(组)的解的概念,能判别给定的数值是否是方程(组)的解; 3、掌握由“代入法”解由一个二元一次方程和二元二次方程组成的方程组; 4、掌握用“因式分解法”解由两个二元二次方程组成的方程组; 5、会熟练的列出方程组解应用题.并能根据具体问题的实际意义,检查结果是否合理. 6、通过将实际生活中的问题抽象为方程模型的过程,让学生形成良好思维习惯,学会从数学角度提出问 题、理解问题.运用所学知识解决问题,发展应用意识,体会数学的情感与价值. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、二元二次方程 1. 定义:仅含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,叫做二元二次方程. 要点诠释: 22 +++++=(a、b、c、d、e、f都是常数,且a、b、c中至少有一个不为零),ax bxy cy dx ey f o 其中22 ax bxy cy叫做这个方程的二次项,a、b、c分别叫做二次项系数,, ,, dx ey叫做这个方程的一次项, d、e分别叫做一次项系数,f叫做这个方程的常数项. 2.二元二次方程的解 能使二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值,叫做二元二次方程的解. 要点诠释: 二元二次方程有无数个解;二元二次方程的实数解的个数有多种情况. 要点二、二元二次方程组 1.概念:仅含有两个未知数,各方程都是整式方程,并且含有未知数的项的最高次数为2,这样的方程组叫做二元二次方程组. 要点诠释: 不能认为由两个二元二次方程组成的方程组才叫二元二次方程组,由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组,也是二元二次方程组. 2. 二元二次方程组的解: 方程组中所含各方程的公共解叫做这个方程组的解. 要点三、二元二次方程组的解法 1.代入消元法

中考数学考前训练:《二元二次方程组》专题测试及答案

知识考点: 了解二元二次方程的概念,会解由一个一元二次方程和一个二元二次方程组成的方程组(Ⅰ);会解由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程组成的方程组(Ⅱ)。 精典例题: 【例1】解下列方程组: 1、? ??=+--=-01101222x y x y x ; 2、???==+6 7xy y x ; 3、?????=+-=+0 23102222y xy x y x 分析:(1)(2)题为Ⅰ型方程组,可用代入法消元;(2)题也可用根与系数的关系求解。(3)为Ⅱ型方程组,应将0232 2=+-y xy x 分解为0=-y x 或02=-y x 与1022=+y x 配搭转化为两个Ⅰ型方程组求解。 答案:(1)???-==1011y x , (2)???==1611y x ,???==6122y x (3 【例2】已知方程组???+==+--2 01242kx y y x y 有两个不相等的实数解,求k 的取值范围。 分析:由②代入①得到关于x 的一元二次方程,当△>0且二次项系数不为零时,此方程有两个不相等的实数根,从而原方程组有两个不相等的实数解。 略解:由②代入①并整理得:01)42(2 2=+-+x k x k ?????>+-=--=?≠016164)42(0222k k k k 即???<≠1 0k k ∴当k <1且k ≠0时,原方程组有两个不相等的实数解。 【例3】方程组???=+=+5 2932y x y x 的两组解是???==1111βαy x ,???==2222βαy x 不解方程组,求 1221βαβα+的值。

分析:将x y -=5代入①得x 的一元二次方程,1α、2α是两根,可用根与系数的关系,将115αβ-=,225αβ-=代入1221βαβα+后,用根与系数的关系即可求值。 探索与创新: 【问题】已知方程组???+==n x y x y 242的两组解是???==1111y y x x 和???==2222y y x x 且011≠x x ,1x ≠2x ,设 (1)求n 的取值范围; (2)试用含n 的代数式表示出m ; (3)是否存在这样的n 值,使m 的值等于1?若存在,求出所有这样的n 值,若不存在,请说明理由。 略解:(1)将②代入①化简,由???≠>?0 021x x ?n <且n ≠0 (2(n <且n ≠0= (3 跟踪训练: 一、填空题: 1、方程组???--=+=3212x x y x y 的解是 。 2、方程组? ??=+=-123422y x y x 的解是 。 3、解方程组???=--=+0 )3)(2(2022y x y x y x 时可先化为 和 两个方程组。 4的解是 。

初中数学二元二次方程组解法

2.3 方程与不等式 2.3.1 二元二次方程组解法 方程 22260x xy y x y +++++= 是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程.其中2x ,2xy ,2 y 叫做这个方程的二次项,x ,y 叫做一次项,6叫做常数项. 我们看下面的两个方程组: 224310,210; x y x y x y ?-++-=?--=? 222220,560. x y x xy y ?+=??-+=?? 第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的,第二个方程组是由两个二元二次方程组成的,像这样的方程组叫做二元二次方程组. 下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法. 一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解. 例1 解方程组 22440,220.x y x y ?+-=?--=? 分析:二元二次方程组对我们来说较为生疏,在解此方程组时,可以将其转化为我们熟悉的形式.注意到方程②是一个一元一次方程,于是,可以利用该方程消去一个元,再代入到方程①,得到一个一元二次方程,从而将所求的较为生疏的问题转化为我们所熟悉的问题. 解:由②,得 x =2y +2, ③ 把③代入①,整理,得 8y 2+8y =0, 即 y (y +1)=0. 解得 y 1=0,y 2=-1. 把y 1=0代入③, 得 x 1=2; 把y 2=-1代入③, 得x 2=0. 所以原方程组的解是 ①②

112,0x y =??=?, 220,1. x y =??=-? 说明:在解类似于本例的二元二次方程组时,通常采用本例所介绍的代入消元法来求解. 例2 解方程组 7,12.x y xy +=??=? ① ②

二元二次方程组练习题

第一部分 1、方程组?? ?--=+=3 212 x x y x y 的解是 。 2、方程组?? ?=+=-1 23 422 y x y x 的解是 。 3、解方程组 ?? ?=--=+0 )3)(2(2022y x y x y x 时可先化为 和 两个方程组。 4、方程组?????? ?== +6 1116511y x y x 的解是 。 5、方程组???==+b xy a y x 的两组解为?? ?==1 111b y a x ,???==2 222b y a x ,则2121b b a a -= 。 二、选择题: 1、由方程组?? ?=+++-=-0 4)1()1(12 2 y x y x 消去y 后得到的方程是( ) A 、03222=--x x B 、05222=+-x x C 、01222=++x x D 、09222=++x x 2、方程组???=-+++=+0 3202 y x x y x 解的情况是( ) A 、有两组相同的实数解 B 、有两组不同的实数解 C 、没有实数解 D 、不能确定

3、方程组?? ?=--=-+0 0122 m x y y x 有唯一解,则m 的值是( ) A 、2 B 、2- C 、2± D 、以上答案都不对 4、方程组?? ?+==m x y x y 2 有两组不同的实数解,则( ) A 、m ≥4 1- B 、m >4 1- C 、4 1-<m <4 1 D 、以上答案都不对 三、解下列方程组: 1、?? ?=-=+15 52 2y x y x ; 2、???=+=+25 7 2 2y x y x 3、?? ???=--=+-0352122222y xy x y xy x ; 4、???==+127xy y x ; 5、??? ==+6 13 22 xy y x 四、m 为何值时,方程组???=+=+m y x y x 20 22有两组相同的实数解,并求出这 时方程组的解。 第二部分 1、二元二次方程组???=++=-1440942 222y xy x y x 可化为四个二元一次方程组,它们 是 。

最新二元二次方程组的解法

二元二次方程的解法 一、内容综述: 1.解二元二次方程组的基本思想和方法 解二元二次方程组的基本思想是“转化”,这种转化包含“消元”和“降次”将二元转化为一元是消元,将二次转化为一次是降次,这是转化的基本方法。因此,掌握好消元和降次的一些方法和技巧是解二元二次方程组的关键。 2.二元二次方程组通常按照两个方程的组成分为“二·一”型和“二·二”型,又分别成为Ⅰ型和Ⅱ型。 “二·一”型是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组;“二·二”型是由两个二元二次方程组成的方程组。 “二·一”型方程组的解法 (1)代入消元法(即代入法) 代入法是解“二·一”型方程组的一般方法,具体步骤是: ①把二元一次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示; ②把这个代数式代入二元二次方程,得到一个一元二次方程; ③解这个一元二次方程,求得一个未知数的值; ④把所求得的这个未知数的值代入二元一次方程,求得另一个未知数的值;如果代入二元二次方程求另一个未知数,就会出现“增解”的问题; ⑤所得的一个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起,就是原方程组的解。 (2)逆用根与系数的关系 对“二·一”型二元二次方程组中形如的方程组,可以根据一元二次方程根与系数的关系,把x、y看做一元二次方程z2-az+b=0的两个根,解这个方程,求得的z1和z2的值,就是x、y的值。当x1=z1时,y1=z2;当x2=z2时,y2=z1,所以原方程组的解是两组“对称解”。 注意:不要丢掉一个解。 此方法是解“二·一”型方程组的一种特殊方法,它适用于解“和积形式”的方程组。

以上两种是比较常用的解法。除此之外,还有加减消元法、分解降次法、换元法等,解题时要注意分析方程的结构特征,灵活选用恰当的方法。 注意:(1)解一元二次方程、分式方程和无理方程的知识都可以运用于解“二·一”型方程组。(2)要防止漏解和增解的错误。 “二·二”型方程组的解法 (i) 当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时,可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二·一”型方程组,解得这两个“二·一”型方程组,所得的解都是原方程组的解。 (ii) 当方程组中两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程时,将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程与第二个二元二次方程分解所得的每一个二元一次方程组成新的方程组,可得到四个二元一次方程组,解这四个二元一次方程组,所得的解都是原方程的解。 注意:“二·一”型方程组最多有两个解,“二·二”型方程组最多有四个解,解方程组时,即不要漏解,也不要增解。 二、例题分析: 例1.解方程组 分析:仔细观察这个方程组,不难发现,此方程组除可用代入法解外,还可用根与系数的关系,通过构造一个以x, y为根的一元二次方程来求解。 解法一:由(1)得y=8-x (3) 把(3)代入(2),整理得x2-8x+12=0. 解得x1=2, x2=6. 把x1=2代入(3),得y1=6. 把x2=6代入(3),得y2=2. 所以原方程组的解是。 解法二:根据根与系数的关系可知:x, y是一元二次方程,

解二元二次方程组

课题解二元二次方程组 一、知识回顾 二元一次方程的三个必需条件:①含有两个未知数;②含有未知数的项的次数是1;③等式两边都是整式. 二元一次方程组的三个必需条件:①含有两个未知数,②每个含未知数的项次数为1;③每个方程都是整式方程. 解二元一次方程组的一般方法是代入消元法和加减消元法 1、例题 例1、解方程组 31 220 x y x y =+ ? ? -= ? 练习1 解方程组 21 324 x y y x -=- ? ? -= ? 例2、解方程组 326 249 x y x y += ? ? += ? 练习2 解方程组 35 242 x y x y -+= ? ? -= ? 例3、解方程组 31 430 4239 x y z x y z x y z -+-= ? ? -+= ? ?++= ? 练习3 解方程组 24 230 35 x y z x y z x y z -+-=- ? ? ++= ? ?-+=- ? 2、巩固练习

1.下列方程中,是二元一次方程的是( ) A .3x -2y=4z B .6xy+9=0 C . 1x +4y=6 D .4x=24 y - 2.下列方程组中,是二元一次方程组的是( ) A .2284 23119 (23754624) x y x y a b x B C D x y b c y x x y +=+=-=??=??? ? ? ?+=-==-=???? 3.二元一次方程5a -11b=21 ( ) A .有且只有一解 B .有无数解 C .无解 D .有且只有两解 4.方程y=1-x 与3x+2y=5的公共解是( ) A .3333 (2422) x x x x B C D y y y y ==-==-????? ? ? ? ===-=-???? 5.若│x -2│+(3y+2)2=0,则的值是( ) A .-1 B .-2 C .-3 D .32 6.下列各式,属于二元一次方程的个数有( ) ①xy+2x -y=7; ②4x+1=x -y ; ③ 1 x +y=5; ④x=y ; ⑤x 2-y 2=2 ⑥6x -2y ⑦x+y+z=1 ⑧y (y -1)=2y 2-y 2+x A .1 B .2 C .3 D .4 二、解方程组 (1)???=-=+6)3(242y x (2)? ??=-=+1123332y x y x (3)? ??=+=-172305y x y x (4)???? ?=-=+34 31332n m n m (5)10232523x y x y z x y z +=??-+=??+-=? (6)04239328a b c a b c a b c ++=?? ++=??-+=? 二、新知展望

上海市初中数学方程与不等式之二元二次方程组综合练习

上海市初中数学方程与不等式之二元二次方程组综合练习 一、选择题 1.解方程组:222449{0 x xy y x xy ++=+=. 【答案】0{ 1.5x y ==,3{3x y =-=,0{ 1.5x y ==-,3{3 x y ==-. 【解析】 【分析】 先把原方程组的每个方程化简,这样原方程组转化成四个方程组,求出每个方程组的解即可. 【详解】 2224490x xy y x xy ?++=?+=?①② 由①得:(x+2y )2=9, x +2y =±3, 由②得:x (x+y )=0, x =0,x +y =0, 即原方程组化为:230x y x +=??=?,230x y x y +=??+=?,230x y x +=-??=?,230x y x y +=-??+=? , 解得:01.5x y =??=?,33x y =-??=?,01.5x y =??=-?,33x y =??=-? , 所以原方程组的解为:01.5x y =??=?,33x y =-??=?,01.5x y =??=-?,33x y =??=-? . 【点睛】 本题考查了解二元一次方程组和解高次方程组,能把高次方程组转化成二元一次方程组是解此题的关键. 2.解方程组:22x 2xy 3y 3x y 1?--=?+=? 【答案】x 1.5y 0.5=?? =-? 【解析】 【分析】 把方程组的第一个方程分解因式求出x 3y 3-=,再解方程组解x y 1x 3y 3 +=?? -=?即可. 【详解】

由22x 2xy 3y 3--=得:()()x y x 3y 3+-=, x y 1+=Q , x 3y 3∴-=, 解x y 1x 3y 3+=??-=?得:x 1.5y 0.5=??=-? . 【点睛】 本题考查了解高次方程组,能把高次方程组转化成低次方程组是解此题的关键. 3.如图,已知抛物线y =ax 2+bx+1经过A (﹣1,0),B (1,1)两点. (1)求该抛物线的解析式; (2)阅读理解: 在同一平面直角坐标系中,直线l 1:y =k 1x+b 1(k 1,b 1为常数,且k 1≠0),直线l 2:y =k 2x+b 2(k 2,b 2为常数,且k 2≠0),若l 1⊥l 2,则k 1?k 2=﹣1. 解决问题: ①若直线y =2x ﹣1与直线y =mx+2互相垂直,则m 的值是____; ②抛物线上是否存在点P ,使得△PAB 是以AB 为直角边的直角三角形?若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由; (3)M 是抛物线上一动点,且在直线AB 的上方(不与A ,B 重合),求点M 到直线AB 的距离的最大值. 【答案】(1)y =﹣ 12x 2+12x+1;(2)①-12 ;②点P 的坐标(6,﹣14)(4,﹣5);(35. 【解析】 【分析】 (1)根据待定系数法,可得函数解析式; (2)根据垂线间的关系,可得PA ,PB 的解析式,根据解方程组,可得P 点坐标; (3)根据垂直于x 的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标,可得MQ ,根据三角形的面积,可得二次函数,根据二次函数的性质,可得面积的最大值,根据三角形的底一定时面积与高成正比,可得三角形高的最大值 【详解】 解:(1)将A ,B 点坐标代入,得

高一数学二元二次方程组解法

方程 22260x xy y x y +++++= 是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程.其中2x ,2xy ,2y 叫做这个方程的二次项,x ,y 叫做一次项,6叫做常数项. 我们看下面的两个方程组: 224310,210; x y x y x y ?-++-=?--=? 222220,560. x y x xy y ?+=??-+=?? 第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的,第二个方程组是由两个二元二次方程组成的,像这样的方程组叫做二元二次方程组. 下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法. 一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解. 例1 解方程组 22440,220.x y x y ?+-=?--=? 分析:二元二次方程组对我们来说较为生疏,在解此方程组时,可以将其转化为我们熟悉的形式.注意到方程②是一个一元一次方程,于是,可以利用该方程消去一个元,再代入到方程①,得到一个一元二次方程,从而将所求的较为生疏的问题转化为我们所熟悉的问题. 解:由②,得 x =2y +2, ③ 把③代入①,整理,得 8y 2+8y =0, 即 y (y +1)=0. ①

解得 y 1=0,y 2=-1. 把y 1=0代入③, 得 x 1=2; 把y 2=-1代入③, 得x 2=0. 所以原方程组的解是 112,0x y =??=?, 22 0,1.x y =??=-? 说明:在解类似于本例的二元二次方程组时,通常采用本例所介绍的代入消元法来求解. 例2 解方程组 7,12.x y xy +=??=? 解法一:由①,得 7.x y =- ③ 把③代入②,整理,得 27120y y -+= 解这个方程,得 123,4y y ==. 把13y =代入③,得14x =; 把24y =代入③,得23x =. 所以原方程的解是 114,3x y =??=?, 223,4. x y =??=? 解法二:对这个方程组,也可以根据一元二次方程的根与系数的关系,把,x y 看作一个一元二次方程的两个根,通过解这个一元二次方程来求,x y . 这个方程组的,x y 是一元二次方程 27120z z --= 的两个根,解这个方程,得 3z =,或4z =. 所以原方程组的解是 114,3;x y =?? =? 223,4. x y =??=? 练 习: ①

二元二次方程组的解法

二元二次方程的解法 : 次方程组的基本思想和方法 程组的基本思想是“转化”,这种转化包含“消元”和“降次”将二元转化为一元是消元,将二次转化为一次是降次,这是转化的基本方方法和技巧是解二元二次方程组的关键。 方程组通常按照两个方程的组成分为“二·一”型和“二·二”型,又分别成为Ⅰ型和Ⅱ型。 是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组;“二·二”型是由两个二元二次方程组成的方程组。 方程组的解法 元法(即代入法) 二·一”型方程组的一般方法,具体步骤是: 方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示; 式代入二元二次方程,得到一个一元二次方程; 二次方程,求得一个未知数的值; 这个未知数的值代入二元一次方程,求得另一个未知数的值;如果代入二元二次方程求另一个未知数,就会出现“增解”的问题; 未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起,就是原方程组的解。 与系数的关系

二元二次方程组中形如的方程组,可以根据一元二次方程根与系数的关系,把x、y看做一元二方程,求得的z1和z2的值,就是x、y的值。当x1=z1时,y1=z2;当x2=z2时,y2=z1,所以原方程组的解是两组“对称解”。 掉一个解。 二·一”型方程组的一种特殊方法,它适用于解“和积形式”的方程组。 较常用的解法。除此之外,还有加减消元法、分解降次法、换元法等,解题时要注意分析方程的结构特征,灵活选用恰当的方法。 解一元二次方程、分式方程和无理方程的知识都可以运用于解“二·一”型方程组。(2)要防止漏解和增解的错误。 方程组的解法 中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时,可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二一”型方程组,所得的解都是原方程组的解。 组中两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程时,将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程与第二个二元二次方程新的方程组,可得到四个二元一次方程组,解这四个二元一次方程组,所得的解都是原方程的解。 一”型方程组最多有两个解,“二·二”型方程组最多有四个解,解方程组时,即不要漏解,也不要增解。 :

方程与不等式之二元二次方程组经典测试题含答案

方程与不等式之二元二次方程组经典测试题含答案 一、选择题 1.解方程组: 222(1)20(2)x y x xy y -=??--=? 【答案】1212 14,12x x y y ==????=-=?? 【解析】 【分析】 先由②得x +y =0或x?2y =0,再把原方程组可变形为:20x y x y -=?? +=?或220 x y x y -=??-=?,然后解这两个方程组即可. 【详解】 222(1)20 (2)x y x xy y -=??--=?, 由②得:(x +y )(x?2y )=0, x +y =0或x?2y =0, 原方程组可变形为:20x y x y -=??+=?或220x y x y -=??-=? , 解得:1212 1412x x y y ==????=-=??,. 【点睛】 此题考查了高次方程,关键是通过把原方程分解,由高次方程转化成两个二元一次方程,用到的知识点是消元法解方程组. 2.已知A ,B 两地公路长300km ,甲、乙两车同时从A 地出发沿同一公路驶往B 地,2小时后,甲车接到电话需返回这条公路上与A 地相距105km 的C 处取回货物,于是甲车立即原路返回C 地,取了货物又立即赶往B 地(取货物的时间忽略不计),结果两下车同时到达B 地,两车的速度始终保持不变,设两车山发x 小时后,甲、乙两车距离A 地的路程分别为y1(km)和y2(km).它们的函数图象分别是折线OPQR 和线段OR . (1)求乙车从A 地到B 地所用的时问; (2)求图中线段PQ 的解析式(不要求写自变量的取值范围); (3)在甲车返回到C 地取货的过程中,当x= ,两车相距25千米的路程.

二元二次方程组及其解法

八年级第21讲 二元二次方程组及其解法 知识点1:二元二次方程及二元二次方程组的有关概念: 1、 定义:仅含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2次的整式方程, 叫做二元二次方程。 如:0542 2 =-+y xy x ,5=xy ,042 2 =-y x ,024522 2 =+++-y x y xy x 等。 2、 注意点: (1)二元二次方程是整式方程。(2)二元二次方程含有两个未知数。 (3)含有未知数的项的最高次数是2 3、一般式 : 220ax bxy cy dx ey f +++++=.这里,必须强调a 、b 、c 中至少有一个不是零,否则 就不是二元二次方程了。“a 、b 、c 中至少有一个不是零”也可以说成“a 、b 、c 不都为零”,但不能说成“不为零”或“都不为零”,因为它们的意义是不一样的。 4、二元二次方程的解: 能使二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值,叫做二元二次方程的解。 5、二元二次方程组: 定义:仅含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2次的整式方程所组成的方程组,叫做二元二次方程组。如: 6、二元二次方程组的解: 二元二次方程组中所含方程的公共解,叫做二元二次方程组的解。 例1、在方程组①???==-132xy y x 、②()???=-=-12232xy x x y x 、③???=-=-32232y y x 、④?????=-=+5 7xy x xy x 、 ⑤? ??-==24 yz xy 中,是二元二次方程组的共有_____个. 分析:抓住关键(1)组内方程是整式方程。(2)方程组中含有两个未知数。 (3)含有未知数的项的最高次数是2

二元二次方程组知识讲解

二元二次方程組知識講解 【學習目標】 1、知道二元二次方程の概念和二元二次方程組の概念,能夠判定給定の方程和方程組是否是二元二次方 程或二元二次方程組; 2、瞭解二元二次方程(組)の解の概念,能判別給定の數值是否是方程(組)の解; 3、掌握由“代入法”解由一個二元一次方程和二元二次方程組成の方程組; 4、掌握用“因式分解法”解由兩個二元二次方程組成の方程組; 5、會熟練の列出方程組解應用題.並能根據具體問題の實際意義,檢查結果是否合理. 6、通過將實際生活中の問題抽象為方程模型の過程,讓學生形成良好思維習慣,學會從數學角度提出問 題、理解問題.運用所學知識解決問題,發展應用意識,體會數學の情感與價值. 【知識網路】 【要點梳理】 要點一、二元二次方程 1. 定義:僅含有兩個未知數,並且含有未知數の項の最高次數是2の整式方程,叫做二元二次方程. 要點詮釋: 22ax bxy cy dx ey f o +++++=(a 、b 、c 、d 、e 、f 都是常數,且a 、b 、c 中至少有一個不為零),其中22,,ax bxy cy 叫做這個方程の二次項,a 、b 、c 分別叫做二次項係數,,dx ey 叫做這個方程の一次項,d 、e 分別叫做一次項係數,f 叫做這個方程の常數項. 2.二元二次方程の解 能使二元二次方程左右兩邊の值相等の一對未知數の值,叫做二元二次方程の解. 要點詮釋: 二元二次方程有無數個解;二元二次方程の實數解の個數有多種情況. 要點二、二元二次方程組 1.概念:僅含有兩個未知數,各方程都是整式方程,並且含有未知數の項の最高次數為2,這樣の方程組叫做二元二次方程組. 要點詮釋: 不能認為由兩個二元二次方程組成の方程組才叫二元二次方程組,由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成の方程組,也是二元二次方程組. 2. 二元二次方程組の解: 方程組中所含各方程の公共解叫做這個方程組の解. 要點三、二元二次方程組の解法 1. 代入消元法

二元二次方程组-解法-例题

二元二次方程的解法 1.解二元二次方程组的基本思想和方法 解二元二次方程组的基本思想是“转化”,这种转化包含“消元”和“降次”将二元转化为一元是消元,将二次转化为一次是降次,这是转化的基本方法。因此,掌握好消元和降次的一些方法和技巧是解二元二次方程组的关键。 2.“二·一”型是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组;“二·二”型是由两个二元二次方程组成的方程组。 “二·一”型方程组的解法 (1)代入消元法(即代入法) 代入法是解“二·一”型方程组的一般方法,具体步骤是: ①把二元一次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示; ②把这个代数式代入二元二次方程,得到一个一元二次方程; ③解这个一元二次方程,求得一个未知数的值; ④把所求得的这个未知数的值代入二元一次方程,求得另一个未知数的值;如果代入二元二次方程求另一个未知数,就会出现“增解”的问题; ⑤所得的一个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起,就是原方程组的解。 (2)逆用根与系数的关系 对“二·一”型二元二次方程组中形如的方程组,可以根据一元二次方程根与系数的关系,把x、y看做一元二次方程z2-az+b=0的两个根,解这个方程,求得的z1和z2的值,就是x、y的值。当x1=z1时,y1=z2;当x2=z2时,y2=z1,所以原方程组的解是两组“对称解”。注意:不要丢掉一个解。 此方法是解“二·一”型方程组的一种特殊方法,它适用于解“和积形式”的方程组。 以上两种是比较常用的解法。除此之外,还有加减消元法、分解降次法、换元法等,解题时要注意分析方程的结构特征,灵活选用恰当的方法。 注意:(1)解一元二次方程、分式方程和无理方程的知识都可以运用于解“二·一”型方程组。(2)要防止漏解和增解的错误。 “二·二”型方程组的解法 (i) 当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时,可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二·一”型方程组,解得这两个“二·一”型方程组,所得的解都是原方程组的解。 (ii) 当方程组中两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程时,将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程与第二个二元二次方程分解所得的每一个二元一次方程组成新的方程组,可得到四个二元一次方

2020-2021学年沪教版数学八下达标练习:21.4二元二次方程组

21.4二元二次方程组 一、选择题 1. 下列方程中,( ) 是二元二次方程? A . x 2+2y =1 B . 3?2y 2+y =0 C . 1 xy +2y 2?5x =0 D . 9x +y +32=1 2. 下列方程组中,( ) 是二元二次方程组? A . {y =2,x 2+xy ?x =12 B . {xy +x =2,xy +y =8 C . {7x +5=y,3x ?y =?1 D . {13y 2=x ?1,√ x +y =5 3. 方程组 { y =x 2 ,y =x +m 有两组不同的实数解,则 A .m ≥?1 4 B .m >?1 4 C .?1 4

二元二次方程组教案教学内容

第七讲 简单的二元二次方程组 在初中我们已经学习了一元一次方程、一元二次方程及二元一次方程组的解法,掌握了用消元法解二元一次方程组.高中新课标必修2中学习圆锥曲线时,需要用到二元二次方程组的解法.因此,本讲讲介绍简单的二元二次方程组的解法. 含有两个未知数、且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,叫做二元二次方程. 由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组,或由两个二元二次方程组组成的方程组,叫做二元二次方程组. 一、由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组 一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一般都可以用代入法求解.其蕴含着转化思想:将二元一次方程化归为熟悉的一元二次方程求解. 【例1】解方程组2220 (1) 30 (2)x y x y -=??-+=? 分析:由于方程(1)是二元一次方程,故可由方程(1),得2y x =,代入方程(2)消去y . 解:由(1)得:2y x = (3) 将(3)代入(2)得:22 (2)30x x -+=,解得:1211x x ==-或 把1x =代入(3)得:22y =;把1x =-代入(3)得:22y =-. ∴原方程组的解是:1111 1122x x y y ==-????==-??或. 说明:(1) 解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的步骤: ①由二元一次方程变形为用x 表示y 的方程,或用y 表示x 的方程(3); ②把方程(3)代入二元二次方程,得一个一元二次方程; ③解消元后得到的一元二次方程; ④把一元二次方程的根,代入变形后的二元一次方程(3),求相应的未知数的 值; ⑤写出答案. (2) 消x ,还是消y ,应由二元一次方程的系数来决定.若系数均为整数,那 么最好消去系数绝对值较小的,如方程210x y -+=,可以消去x ,变形

21.6(2)二元二次方程组的解法

练习:解方程组: 1、观察:方程组 2 2 x 3xy 2y =0 (1) ⑵ 解方程组(1)得 x y 2 精品文档 21.6 (2)二元二次方程组的解法 教学目标 1、 掌握用“因式分解法”解由两个二元二次方程组成的方程组; 2、 在学习过程中体会解此类特殊二元二次方程组的基本思路是“降次” 3、通过对二元二次方程组解法的剖析,领悟事物间可以相互转化的数学思想; 教学重点及难点 会用“因式分解法”解由两个二元二次方程组成的方程组; 正确分析方程组的特点,从而找到合理的解法. 教学媒体:多媒体 教学过程设计 一、 复习引入 我们已经会用代入消元法解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成 的二元二次方程组 x 3y 4 2 2 x 2y 1 这节课我们将学习由两个二元二次方程组成的二元二次方程组的解法 、学习新课 x,丄 2 % 1 吊 2 1 能直接使用“代入消元法”解答吗? x y 0 x 2 y 2 5 (1)或 x 2y 0 x 2 y 2 5

解方程组: 3、例题分析 例2解方程组: 2 2 x 9y 0 2 小 2 , x 2xy y 4 方程(2)可变形为 得 x y 2或x y 原方程组化为 x 3y 0 x 3y 0 x 3y 0 x 3y 0 x 3 3 3 y a 1 y 1 精品文档 解方程组 (2) 得 X 3 2 x 4 .J 2 y 3 1 y 4 1. 所以原方程组的解是 1 帀 2 ; x 2 1 ,10 2 ; X 3 2; -J x 4 2 Y 1 1 ?五 2 1 y — ■'10 2 y 3 1 y 4 1 小结:如果二元二次方程组中有一个方程可变形为两个一次因式的乘积等于零的 形式,那么解这个方程组的问题可转化为解由一个二元一次方程和一个二元二次 方程所组成的方程组?这种解特殊的二元二次方程组的方法是“因式分解法” 2、反馈练习 2 2 x 2xy 3y 0 2 2 x xy y 3 这是一个特殊的二元二次方程组,如果采用前面的方法将方程( 1)左边因式分 解,再将分解得到的两个方程和(2)组成方程组,这个问题是可以解答的;但 进一步观察会发现(2)左边也可以进行因式分解,于是有了下面的解法: 解:方程(1)可变形为 x 3y x 3y 0得x 3y 0或x 3y 0 【说明】这道例题的解决要求学生对于“方程组的解”的概念有正确的理解,即 由方程(1)所得的每一个方程分别和由方程(2)所得的每一个方程组成方程组 的解的全体才是原方程组的解. 三、 巩固练习 书52页第2题. 四、 课堂小结 这节课我们学习了由两个二元二次方程组成的特殊方程组的解法, 基本思路 是“消元”和“降次” ?那么请总结一下“代入消元法”和“因式分解法”各自 针对什 么特点的方程组?使用时需要注意什么? 五、 作业布置: 精品文档 3 3 X 2 — 2 ; 2 1; 1 y 2 — 2 2 % 原方程组的解是 y i

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