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知识框架
一、圆的概念
集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：
1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；
（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；
4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系
1、点在圆内 ? d r < ? 点C 在圆内；
2、点在圆上 ? d r = ? 点B 在圆上；
3、点在圆外 ? d r > ? 点A 在圆外； 三、直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离 ? d r > ? 无交点；
2、直线与圆相切 ? d r = ? 有一个交点；
3、直线与圆相交 ? d r < ? 有两个交点；
d
r
d=r
r
d
课 题
中考总复习：圆
教学内容
r d d C
B
A
O
四、圆与圆的位置关系
外离（图1）? 无交点 ? d R r >+； 外切（图2）? 有一个交点 ? d R r =+； 相交（图3）? 有两个交点 ? R r d R r -<<+； 内切（图4）? 有一个交点 ? d R r =-； 内含（图5）? 无交点 ? d R r <-；
图1
r
R
d
图3
r
R d
五、垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：
①A B 是直径 ②A B C D ⊥ ③C E D E = ④ 弧B C =弧B D ⑤ 弧A C =弧A D 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O 中，∵A B ∥C D ∴弧A C =弧B D
六、圆心角定理
图2
r R
d 图4
r
R
d
图5
r R
d
O E
D
C
B A
O
C
D
A
B
圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中， 只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论， 即：①A O B D O E ∠=∠；②AB D E =；
③O C O F =；④ 弧B A =弧B D
七、圆周角定理
1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 即：∵A O B ∠和A C B ∠是弧A B 所对的圆心角和圆周角 ∴2A O B A C B ∠=∠
2、圆周角定理的推论：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧； 即：在⊙O 中，∵C ∠、D ∠都是所对的圆周角 ∴C D ∠=∠
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。
即：在⊙O 中，∵A B 是直径 或∵90C ∠=? ∴90C ∠=? ∴A B 是直径
推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 即：在△A B C 中，∵O C O A O B ==
∴△A B C 是直角三角形或90C ∠=?
注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
八、圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在⊙O 中，
F
E D
C
B
A
O
C
B A
O
D
C
B A
O
C
B
A
O
C
B
A O
D
C
∵四边形A B C D 是内接四边形
∴180C BAD ∠+∠=? 180B D ∠+∠=? D AE C ∠=∠
九、切线的性质与判定定理
（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵M N O A ⊥且M N 过半径O A 外端 ∴M N 是⊙O 的切线 （2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 十、切线长定理 切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即：∵P A 、P B 是的两条切线 ∴PA PB =
P O 平分BPA ∠
十一、圆幂定理
（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。 即：在⊙O 中，∵弦A B 、C D 相交于点P ，
∴PA PB PC PD ?=?
（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。 即：在⊙O 中，∵直径A B C D ⊥， ∴2
CE AE BE =?
N
M
A
O
P
B
A
O P
O D
C
B
A
O E
D
C
B
A
（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
即：在⊙O 中，∵P A 是切线，P B 是割线
∴ 2PA PC PB =?
（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。 即：在⊙O 中，∵P B 、P E 是割线 ∴P C P B P D P E ?=? 十二、两圆公共弦定理
圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。 如图：12O O 垂直平分A B 。
即：∵⊙1O 、⊙2O 相交于A 、B 两点 ∴12O O 垂直平分A B
十三、圆的公切线
两圆公切线长的计算公式：
（1）公切线长：12Rt O O C ?中，22221122AB CO O O CO ==-；
（2）外公切线长：2C O 是半径之差； 内公切线长：2C O 是半径之和 。 十四、圆内正多边形的计算 （1）正三角形
在⊙O 中△A B C 是正三角形，有关计算在R t B O D ?中进行：::1:3:2O D BD O B =；
（2）正四边形
同理，四边形的有关计算在R t O A E ?中进行，::1:1:2OE AE OA =：
（3）正六边形
D
E
C
B
P
A
O
B A
O1
O2
C O2
O1
B A
D
C
B
A
O
E
C
B
A D
O
同理，六边形的有关计算在R t O A B ?中进行，::1:3:2AB O B O A =.
十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式
1、扇形：（1）弧长公式：180
n R l π=
； （2）扇形面积公式： 2
1360
2
n R S lR π==
n ：圆心角 R ：扇形多对应的圆的半径 l ：扇形弧长 S ：扇形面积
2、圆柱：
（1）圆柱侧面展开图
2S S S =+侧表底=2
22rh r ππ+
（2）圆柱的体积：2V r h π=
（2）圆锥侧面展开图
（1）S S S =+侧表底=2Rr r ππ+ （2）圆锥的体积：2
13
V r h π=
S l
B
A
O
母线长
底面圆周长
C 1
D 1D
C
B
A
B1
R
r
C
B
A
O
【例题精讲】
1、如图，⊙O 1与⊙O 2交于A 、B 两点，P 是⊙O 1上的点，连结PA 、PB 交⊙O 2于C 、
D ，求证：PO 1⊥CD
2、如图⊙O 1与⊙O 2交于A 、B ，CD 、EF 是两圆外公切线，切⊙O 1于C 、
E ，切⊙O 2于D 、
F ，过AB 的直线交CD 于
G ，交EF 于
H ，求证：GA=HB 。
4、已知⊙O 1与⊙O 2交于A 、B ，CD 为公切线，CD 为切点，求证：∠A+∠CBD=1800
5、AB,EF 是⊙O 和⊙O ′的外公切线,GH 是内公切线,GH 是AB,EF 分别交于点C,D.求证:CD=EF.
6、如图⊙O 1与⊙O 2是等圆，相交于A 、B ，CD 过点A 与两圆交于C 、D ，BE ⊥CD ，求证：CE=ED
O 2
O 1
E
D
B
A
C
O 2
O 1
C
A
D
B
P
O 2O 1
D
F
E
H
G C
B
A
O 2
O 1
B
A
C D
G
B
C
D
H
F
E
A
O
O′
7、⊙O 与⊙O 1交于A 、B ，O 1在⊙O 上，CD 是过A 点的割线交⊙O 与⊙O 1交于C 、D ，连BC 交
⊙O 1于E ，求证：AE ∥BD 。
8、如图，⊙O 1与⊙O 2交于A 、B ，⊙O 1的弦AC 切⊙O 2于A ，DE 过B 交⊙O 1于D ，交⊙O 2于E ， 求证：CD ∥AE
9、如图，⊙O 1与⊙O 2交于A 、B ，直线CD 过A 点，分别交两圆于C 、D ，求证：∠CBO 1=∠DBO 2
10、如图，⊙O 1与⊙O 2交于A 、B ，⊙O 1的弦切⊙O 2于A ，CB 交⊙O 2于D ，DA 交⊙O 1于E ，求证：AC=CE
11、如图，⊙O 1与⊙O 2交于A 、B ，P 、Q 是⊙O 1上两点，PA 、PB 交⊙O 2于M 、C ，QA 、QB 交⊙O 2于D 、N ，求证：MN ∥CD
O 1
E D
B A O
C
O 2
O 1
E
C
A
B
D
O 2
O 1
D
B
A
C
E
D
C B
O 1
O 2A
M
D
N
C
B
O 1
O 2
A
P
Q
12、如图，⊙O 与⊙O 1交于A 、B ，P 是⊙O 1上一点，连结PA 、PB 交⊙O 于C 、D ，作PE ⊥CD
于E 交⊙O 1于F ，求证：PF 是⊙O 1直径
13、已知，如图⊙O 1与⊙O 2交于A 、B ，⊙O 1弦交⊙O 2于E 、F ，求证：∠CAE=∠FBD
14、如图，⊙O 1与⊙O 2交于A 、B ，CD 是过A 的割线交⊙O 1于D ，交⊙O 2于C ，G 是CD 中点，
过G 的⊙O 1的弦BE 交⊙O 2于F ，求证：EG=FG
15、⊙O 与⊙P 交于A 、B 两点，PA 切⊙O 于A ，割线PCD 交⊙O 于C 、D ，BC 交⊙P 于E ，连结
DE 交⊙O 于F ，求证：BF ∥PE
F E
D
C
B
A
O
O 1
P
F E
B
O 1O 2
A
C D
F
E G C
B
O 1
D
O 2
A
∠?F
E
B
D
A O
P
C
一、选择题：
1.已知⊙O 1半径为3cm ，⊙O 2半径为4cm ，并且⊙O 1与⊙O 2相切，则这两个圆的圆心距为（ ）
A.1cm
B.7cm
C.10cm
D.1cm 或7cm
2.已知两圆的圆心距d = 3 cm ，两圆的半径分别为方程0352=+-x x 的两根，则两圆的位 置关系是（ ）
A.相交
B.相离
C.相切
D.内含
3.若两圆半径分别为R 、r （R>r ），圆心距为d ，且Rr r d R 2222+=+，则两圆的位置关系为 （ ）
A.内切
B.内切或外切
C.外切
D.相交
4.已知半径为R 和r 的两个圆外切，R ＝2＋ 3 ，r ＝2－ 3 ，两圆的一条公切线与连心线的夹角为α，则角α的度数为（ ）
A.30 °
B.45 °
C.60 °
D.无法确定
5.两圆外切时圆心距为10cm ，且这两圆半径之比为2：3，如果内含，那么这两圆的圆心距为（ ）A.小于10cm B.小于2cm C.小于5cm D.小于3cm
6.已知半径为R 和r 的两个圆相外切。则它的外公切线长为（ ） A.R ＋r B.R 2
+r 2
C.R+r
D.2Rr
7.如图两个同心圆，大圆的弦AB 交小圆于C ，D ，AB ＝2CD ，AB 的弦心距等于CD 的一半，则大圆的半径与小圆的半径之比（ ）
A.3：2
B. 5 ：2
C. 5 ： 2
D.5：4
8.如图，矩形ABCD 中，AB=18，AD=25，去掉一个与三边相切的⊙M 后，?余下部分能剪出的最大圆的直径是（ ）
A ．8
B ．7
C ．6
D ．4
9.如图所示，已知⊙O 1与⊙O 2外切，它们的半径分别是1和3，?那么半径为4且和⊙O 1，⊙O 2都相切的圆共有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．5个
D ．6个
10.如图，在⊙O 中，P 是直径AB 上一动点，在AB 同侧作AA ′⊥AB ， BB ′⊥AB ，且AA ′=AP ，BB ′=BP ，连结A ′B ′，过点P 从点A 移到点B 时，A ′B ′的中点的位置( )
A ．在平分A
B 的某直线上移动 B ．在垂直AB 的某直线上移动
C ．在弧AMB 上移动
D ．保持固定不移动
二、填空题：
11.已知两圆的半径r R ,（r R ≥）是方程0132=+-x x 的两个根，两圆的圆心距为d ，若4=d ，则两圆的位置关系是
12.已知直角三角形的一条直角边为6，斜边长为10，那么这个直角三角形的内切圆与外接圆的圆心距为
13.两圆半径分别为4 和2，如果它们有两条外公切线互相垂直，则这两圆的连心线长为 14.在直角坐标系中，⊙O 的圆心在原点，半径为3，⊙A 的圆心A 的坐标为（－3，1），半径为1，那么⊙O 与⊙A 的位置关系是
_____
15.如图，⊙O 1和⊙O 2外切于P ，外公切线与连心线夹角为30 °，⊙O 1半径为3 cm ，⊙O 2半径为1 cm ，则AC 的长为
16.如图，PQ=3，以PQ 为直径的圆与一个以5为半径的圆相切于点P ，?正方形ABCD 的顶点A ，B 在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD 切于点Q ，则AB=
三、综合题：
17.已知：△ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=8，以AC 为直径作⊙O ，以B 为圆心，4为半径作⊙B ．如图.求证：⊙O 与⊙B 相外切．
18.如图，已知⊙O 1与⊙O 2交于A ，B ，⊙O 1的半径为17，⊙O 2的半径为10，O 1O 2=21，求AB 的长．
19.如图，⊙O 1和⊙O 2相切于点P ，AB 切两圆于A ，B ，ΔPAB 的周长为40，面积为60，求P 点到AB 的距离。
20.两圆内切于P ，大圆的圆心为O ，小圆的圆心为C ，⊙O 的弦PQ 和⊙C 相交于R ，过R 作⊙C 的切线与⊙O 交于点A 、B ，求证：弧AB 的中点为Q..
21.如图⊙O 和⊙A 交于M 、N ，且A 在⊙O 上，弦MC 交⊙O 于点D ，连结AD ，NC ，求证：DA ⊥NC.
22.如图，已知⊙O
1与⊙O
2
交于A，B两点，过A的直线交两圆于C，D两点，?G?为CD的中点，BG及
其延长线交⊙O
1，⊙O
2
于E，F，连结DF，CE，求证：CE=DF．
23.如图，⊙O
1与⊙O
2
相交于点A、B，CE切⊙O
1
于点C，交⊙O
2
于点D、E，Q，求证：∠CAD +∠CBE =1800.
24.如图，已知⊙O
1和⊙O
2
相交于A，B，过A作直线分别交⊙O
1
，⊙O
2
于C，D，过B作直线分别交⊙
O 1，⊙O
2
于E，F，求证：CE∥DF.
25.(1)如图，OA、OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C是OB延长线上任意一点：过点C作CD切⊙O于点D，连结AD交DC于点E．求证：CD=CE.
(2)若将图中的半径OB所在直线向上平行移动交OA于F，交⊙O于B’，其他条件不变(如图9)，那么上述结论CD=CE还成立吗?为什么?
(3)若将图中的半径OB所在直线向上平行移动到⊙O外的CF，点E是DA的延长线与CF的交点，其他条件不变(如图10)，那么上述结论CD=CE还成立吗?为什么?
26.已知⊙O
1与⊙O
2
相交于A、B两点，且O
2
点在⊙O
1
上．
(1)如图，AD是⊙O
2的直径，连结DB，并延长交⊙O
1
于C．求证：CO
2
⊥AD．
(2)如图，如果AD是⊙O
2的一条弦，连结DB并延长交⊙O
1
于C，那么CO
2
所在的直线是否与AD
垂直？证明你的结论．
27.已知：如图，⊙A与y轴交于C、D两点，圆心A的坐标为（1，0），⊙A的半径为5，过点C
作⊙A的切线交x于点B（－4，0）。
（1）求切线BC的解析式；
（2）若点P是第一象限内⊙A上一点，过点P作⊙A的切线与直线BC相交于点G，且∠CGP=120°，求点G的坐标；
（3）向左移动⊙A（圆心A始终保持在x上），与直线BC交于E、F，在移动过程中是否存在点A，使得△AEF是直角三角形？若存在，求出点A 的坐标，若不存在，请说明理由。
新人教版一年级上册数学难题、易错题比较练习(最新编辑教材) 班级 姓名 1、按要求排顺序 （1） 把16、5、17、19、10、8从大到小排列. （2） 把0、14、2、18、5、10、7从小到大排列. 2、5＋8） 15－3＞（ ） 3、写数时,第二位是（ ）位. 4、 这个数写作（ ）,读作（ ）,它的个位是（ ）,十位是（ ）. 这个数读作（ ）,写作（ ）,它的十位是（ ）,个位是（ ）. 5、10里面有（ ）个十,10里面有（ ）个一 ,10个一合起来是 1个（ ）,1个十里面有（ ）个一. 6、20里面有（ ）个十,20里面有（ ）个一,20个一合起来是（ ）个十,2个十里面有（ ）个一. 7、一个两位数,十位上的数字是1,个位上的数字是2,这个数是（ ）. 一个两位数,十位上的数字是1,个位上的数字比十位上的数字大2,这个数是（ ）. 一个两位数,十位上的数字是1,个位上的数字是5,这个数是（ ）. 一个两位数,十位上的数字是1,个位上的数字比十位上的数字大5,这个数是（ ）. 一个两位数,个位上的数字是8,十位上的数字是1,这个数是（ ）. 一个两位数,十位上的数字是1,个位上的数字比十位上的数字大8,这个数是（ ）. 8、按规律填数： 9、（12）根据钟面时间,填一填： ①9时刚过 ②快到2时 ③10 小时前 是 ,1小时后是 ： ：
⑤大约2时⑥大约8时⑦大约9时⑧大约10时 10、按要求画图. 画○,比□少2个. 画△,比◇多,比☆少. □□□□□□□□□◇◇◇◇◇ ☆☆☆☆☆☆☆☆ 11、从5、6、11、16中选出三个数写出两道加法和两道减法算式. 12 一共有（）只小动物. 的后面有（）只动物, 的前面有（）只动物. 13、数一数. ①一共有（）个图形.从右数起 ）. ②）个图形. ③把右边的3个图形圈起来. 14、 （1）一共有（ ）个图形； 有（ ）个 有（ ）个 ）个,有（ ）个. （ 2）从左数起 , 是第（ ）个；从右数起, 是第（）个. （3）第（）个和（）个是 . 15、如果★＋2=9,10－▲=★,那么★= ,▲= . 16、同学们排队做早操,从左往右数,小力排第5,从右往左数,小力排第5,小力这一排有（） 人. 同学们排队做早操,小力左边有5人,小力右边有5人,小力这一排有（）人. 17、？支（1）？支（2） □○□=□□○□=□ □○□=□□○□=□
圆中的最值问题 Prepared on 24 November 2020
圆中的最值问题 【考题展示】 题1 (2012年武汉中考)在坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C 是第一象限内一点，且AC=2．设tan∠BOC=m，则m的取值范围是_________． 题2 (2013年武汉元调)如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O为圆心OA长为半径作⊙O，C为半圆弧AB上的一个动点（不与A、B两点重合），射线AC交⊙O于点E，BC=a，AC=b，求a b +的最大值.（有修改） 题3 (2013年武汉四调)如图，∠BAC=60°，半径长为1的圆O与∠BAC的两边相切，P为圆O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的最大值为_________． 题4 (2013年武汉五模)在△ABC中，120 A BC=．若△ABC的内切圆半径为r，则r的最 ∠=?，6 大值为_________．（有修改） 题5 (2013年武汉中考)如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF 交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是 _________． 题1图题2 图题3 图
题4图题5图 【典题讲练】 类型1（相关题：题5） 如图，边长为a的等边△ABC的顶点A，B分别在x轴正半轴和y轴正半轴上运动，则动点C到原点O的距离的最大值是_________． 在直角坐标系中，△ABC满足，∠C=90°，AC=8，BC=6，点A，B分别在x轴、y轴上，当A点从原点开始在正x轴上运动时，点B随着在正y轴上运动（下图），求原点O到点C的距离OC的最大值，并确定此时图形应满足什么条件． 如图，在平面直角坐标系中，已知等腰直角三角形ABC，∠C=90°，AC=BC=2，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A从原点开始在x轴的正半轴上运动时，点C在y轴正半轴上运动． （1）当A在原点时，求点B的坐标； （2）当OA=OC时，求原点O到点B的距离OB； （3）在运动的过程中，求原点O到点B的距离OB的最大值，并说明理由．
一年级十大易错重点题 【重点1】小芳拍球拍了50下，小明拍的比小芳少一些。 （1）小明可能拍了多少下？（请打“√”） （2）小明最多拍了（）下。 【重点2】小文看一本童话书，第1天看了16页，第2天看了20页，第3天应该从第（）页开始看起。 【重点3】王叔叔收了一批鸭蛋，前3天卖出30个，还剩8个。他一共收了多少个鸭蛋？ 【重点4】在计数器上用5颗珠表示两位数，最大可以表示多少？最小呢？先画一画，再填空。 【重点5】学校有55个篮球，五年级借走16个，六年级借走25个。一共借走多少个？ 【重点6】小林和小军看同一本故事书。几天后，小林还剩15页没看，小军还剩23页没看。谁看的页数多？ 【重点7】6( )＋4的得数是七十多，( )里填什么样的数？ ( )小于6的数( ) 6 ( ) 大于6的数 【重点8】在47，75、57、70、77这五个数中，选择合适的填在框里。 【重点9】妈妈带的钱正好够买这个88元的蛋糕，妈妈最多有（）张20元。 【重点10】小英做了20朵花，小云做了9朵，小云最少再做（）朵才能超过小英。
一年级十大易错重点题—答案解析 【重点1】小芳拍球拍了50下，小明拍的比小芳少一些。 （1）小明可能拍了多少下？（请打“√”） （2）小明最多拍了（）下。 【分析】因为“小明拍的比小芳少一些”，这就说明小明拍的球比“50下”少一点。“12下”比“50下”少得多，而“52下”是比“50下”多一些，都不符合要求。所以比“50下”少一些应该是“47下”。“小明最多拍了（）下”这个问题，首先要了解“最多”的意思，其实应该是在比“50下”少的范围内的一种“最多”情况。故而因比“50下”只少“1下”，才算“最多”的情况，即“49下”。 【重点2】小文看一本童话书，第1天看了16页，第2天看了20页，第3天应该从第（）页开始看起。 【分析】小朋友容易理解为第3天从第（21）页开始看起。其实第3天看的页数应该在第1天和第2天的基础上再往下看的，因此要先求出小文第1天和第2天一共看的页数：16＋20＝36（页），再用36＋1＝37（页），即第3天应该从第（37）页开始看起。 【重点3】王叔叔收了一批鸭蛋，前3天卖出30个，还剩8个。他一共收了多少个鸭蛋？ 【分析】此题关键要理解“前3天卖出30个”这个条件的意思，它是指前3天一共卖出30个，而并不是前3天每天都是卖出30个。因此，这题要求“一共收了多少个鸭蛋”，只要把“共卖出的30个”和“还剩的8个”合起来就行。题中的“前3天”在解题时不起作用。 【重点4】在计数器上用5颗珠表示两位数，最大可以表示多少？最小呢？先画一画，再填空。 【分析】用5颗珠表示两位数，最大应该把这5颗珠都放在十位上，即50；最小的话应该尽量多的把珠放在个位上，但由于是两位数，十位上必须得保留一颗，即14。其实这题还可继续思考：5颗珠还能表示出哪些两位数呢？可以有序地拨一拨，从最大的50开始，每次把一颗珠拨到个位，直至14。也就是说，用5颗珠表示的两位数有：50、41、32、23、14。 【重点5】学校有55个篮球，五年级借走16个，六年级借走25个。一共借走多少个？
圆的解题技巧总结 一、垂径定理的应用 1、求半径 例1.高速公路的隧道和桥梁最多．图1是一个隧道的横截面，若它的形状 是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB =10米，净高CD =7米，则此圆的半径OA = （ ） （A ）5 （B ）7 （C ）37 5 （D ）377 2、求弦长 例2.工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是10mm ，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm ，如图2所示，则这个小孔的直径AB ＿＿＿＿mm ． 3、求弦心距 例3.如图4，圆O 的半径为5，弦8AB =，OC AB ⊥于C ，则OC 的长等于 ． 4、求拱高（弓形高） 例4.兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图5所示，已知AB =16m ，半径 OA =10m ，高度CD 为_____m ． 5、求角度 例5.如图6，在⊙O 中，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠AOC =60o，则∠B = ． 6、探究线段的最小值 图3 B A 8mm 图2 图1 B 图 6 A 图5
例6.如图，⊙O 的半径OA =10cm ，弦AB =16cm ，P 为AB 上一动点，则点P 到圆心O 的最短距离为 cm ． 二、与圆有关的多解题 在解有关圆的问题时，常常会因忽视图形的几种可能性而漏解． 1、点与圆的位置关系不唯一 例1.若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a ，最小距离为b （a ＞b ），则此圆的半径为（ ）。 2、弦与弦的位置关系不唯一 例2.⊙O 的半径为5cm ，弦AB ∥CD ，AB=6cm ，CD=8cm ，则AB 与CD 之间的距离是（ ）。 （A ）7cm （B ）8cm （C ）7cm 或1cm （D1cm 例3．如图，已知AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，AB=2，AC= ，在图中画出弦AD ，使AD 等于1，并 求出∠CAD 的度数。 3、点在直径上的位置不唯一 例4．已知⊙O 的直径AB=10cm ，弦CD ⊥AB 于点M 。若OM ：OA=3：5，则弦AC 的长为多少？ 4、弦所对圆周角的不唯一 例5．圆的一条弦长等于它的半径，那么这条弦所对的圆周角为（ ）。 （A ）30°或60°（B ）60°（C ）150°（D ）30°或150° 5、圆与圆的位置关系不唯一 例6．如果两圆相切，两圆的圆心距为8cm ，圆A 的半径为3cm ，则圆B 的半径是（ ）。 （A ）5cm （B ）11cm （C ）3cm （D ）11cm 或5cm 6、相交圆圆心与公共弦的位置关系不唯一 图7
x 圆中最值问题 类型一 圆上一点到直线距离的最值问题 例1 已知P 为直线y=x +1上任一点，Q 为圆C ： 22(3)1x y -+=上任一点，则PQ 的最小值为 . 变题1：已知A (0,1),B (2,3),Q 为圆C 22 (3)1x y -+=上任一点，则QAB S V 的最小值为 . 变题2：由直线y=x +1上一点向圆C ：22 (3)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为 变题3：已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：22(3)1x y -+=的切线PA ，PB,A 、B 为切点，则当PC= 时，APB ∠最大． 变题4：已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：22(3)1x y -+=的切线PA ，PB,A 、B 为切点，则四边形PACB 面积的最小值为 . 例2已知圆C ：222430x y x y ++-+=，从圆C 外一点11(,)P x y 向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有PM=PO ,求使得PM 取得最小 值的点P 坐标． 类型二 利用圆的参数方程求最值（或几何意义） 例3若实数x 、y 满足22240x y x y ++-=，求x-2y 的最大值． 如在上例中，改为求 12 y x --，22(2)(1)x y -+-，1x y --的取值范围，该怎么求解？ 类型三：转化成函数或不等式求最值 例4已知圆O ：22 1x y +=，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，则PA PB ?u u u r u u u r 的最小值为
例5已知圆C ： 22+24x y +=（）， 过点(1,0)A -做两条互相垂直的直线12l l 、，1l 交圆C 与E 、F 两点，2l 交圆C 与G 、H 两点， （1）EF +GH 的最大值．(2) 求四边形EGFH 面积的最大值． 6、已知e C 过点)1,1(P ,且与e M :222(2)(2)(0)x y r r +++=>关于直线20x y ++=对称. (Ⅰ)求e C 的方程； (Ⅱ)设Q 为e C 上的一个动点,求PQ MQ ?u u u r u u u u r 的最小值； (Ⅲ)过点P 作两条相异直线分别与e C 相交于B A ,,且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补,O 为坐标原点,试判断直线OP 和AB 是否平行?请说明理由. 7、如图，在矩形ABCD 中，3,1AB BC ==，以A 为圆 心1为半径的圆与AB 交于E （圆弧DE 为圆在矩形内的部 分） （Ⅰ）在圆弧DE 上确定P 点的位置，使过P 的切线l 平分 矩形ABCD 的面积； （Ⅱ）若动圆M 与满足题（Ⅰ）的切线l 及边DC 都相切， 试确定M 的位置，使圆M 为矩形内部面积最大的圆． l P E C M
2021年中考必备-圆选填压轴分类汇编 A 类：面积问题 技巧：多连半径，探讨线段，角度关系，以角导边 1．（2017·湖北省中考模拟）如图，在Rt △AOB 中，∠AOB=90°，OA=2，OB=1，将Rt △AOB 绕点O 顺时针旋转90°后得Rt △FOE ，将线段EF 绕点E 逆时针旋转90°后得线段ED ，分别以O ，E 为圆心，OA 、 ED 长为半径画弧AF 和弧DF ，连接AD ，则图中阴影部分面积是（ ） A ．π B ．5π+ C ． 144 π - D ． 104 π - 2．（2020·河北省初三期末）如图，以等边ABC ?的一边AB 为直径的半圆O 交AC 于点D ，交BC 于点E ，若 4AB =，则阴影部分的面积是（ ） A ．B ．C D ．2 3．（2021·浙江省初三二模）如图，已知矩形ABCD 的周长为16，E 和F 分别为ABC ?和ADC ?的内切圆， 连接AE ，CE ，AF ，CF ，EF ，若 3 7 AECF ABCD S S = 四边形矩形，则EF 的长为（ ） A ．B ．C ． D ．4．（2020·柘城县实验中学初三二模）如图，点O 为Rt ABC 的斜边AB 的中点，90C ∠=?，30A ∠=?，以点O 为旋转中心顺时针旋转ABC 得到111A B C △，若2BC =，当11BC AC ∥时，图中弧1BC 所构成的阴影部分面积为（）． A ． 3 3 π - B ． 3 3 π + C ． 6 6 π - D ． 6 6 π + 5．（2020·湖北省初三二模）如图，在Rt ABC 中，90C ∠=?，6AB =，AD 是BAC ∠的平分线，经过A ，D 两点的圆的圆心O 恰好落在AB 上，O 分别与AB 、AC 相交于点E 、F ．若圆半径为2．则阴影部分面积（ ）． A ．1 3 π B ．43 π C ． 23 π D 3- 6．（2020·山西省初三月考）如图，在Rt ABC 中，90,30,ACB A BC ∠=?∠=?=以直角边AC 为直径作O 交AB 于点D ，则图中阴影部分的面积是（ ） A ．3π B ．3π C ．6π- D ．6π
B M C D A E F D C B A B E D C F A “隐圆”最值问题 重难点：分析题目条件发现题目中的隐藏圆，并利用一般的几何最值求解方法来解决问题 【例1】在平面直角坐标系中，直线y = - x + 6分别与x 轴、y 轴交于点A 、B 两点，点C 在y 轴的左边，且∠ACB = 90°，则点C 的横坐标x C 的取值范围是__________． 分析：在构造圆的前提下 考虑90°如何使用。直角对直径所以以AB 为直径画圆。使用垂径定理即可得到3-20c x ≤<3 【练】（2013-2014·六中周练·16）如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，AC = 3，BC = 4，点D 是AB 的中点，E 、F 分别是直线AC 、BC 上的动点，∠EDF = 90°，则EF 长度的最小值是__________． 分析：过D 点作DE 垂直AB 交AC 于点M 可证△FBD ∽△ECD 即可 求出最小值 【例2】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，D 是AC 的中点， M 是BD 的中点，将线段AD 绕A 点任意旋转（旋转过程中始 终保持点M 是BD 的中点），若AC = 4，BC = 3，那么在旋转 过程中，线段CM 长度的取值范围是_______________． 分析：将线段AD 绕A 点任意旋转隐藏着以A 为圆心AD 为半径的圆构造 出来。接下来考虑重点M 的用途即可。中点的用法可尝试下倍长和中位线。 此题使用中位线。答案是 3722 c x ≤≤ 【练】已知△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ACB =∠ADE = 90°，AC = 22，AD = 1，F 是BE 的中点，若将△ADE 绕点A 旋转一周，则线段AF 长度的取值范围是 4242 22 AC -+≤≤． 分析：同例题 【例3】如图，已知边长为2的等边△ABC ，两顶点A 、B 分别在平面直角
第 1 页 共 6 页 2019中考数学压轴题突破 圆的双动点最值问题 1．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =6， BC =8，点F 在边AC 上，并且CF =2，点E 为边BC 上的动点，将△CEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 距离的最小值是_____． 分析：本题中，要求点P 到边AB 距离的最小值，先要确定点P 的运动轨迹．因为FP =FC =2，所以点P 的运动轨迹是以点F 为圆心，2为半径的圆弧（如图），过点F 作FQ ⊥AB ，以F 为圆心的弧与FQ 的交点为满足条件的点P ． 答案： 6/5 这是动点轨迹为圆弧的一种类型，动点满足到定点的距离等于定长，确定动点的运动轨迹为以定点为圆心，定长为半径的圆（或一段弧）． 2. 如图，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上的一个动点(不与B 、D 重合)，连结AP ，过点B 作直线AP 的垂线，垂足为H ，连结DH ，若正方形的 边长为4，则线段DH 长度的最小值是 _______．
分析：要求线段DH长度的最小值，先要确定动点H的运动轨迹。在点P的运动过程中，∠AHB=90°，点H的运动轨迹是以AB为直径的半圆，题目转化为圆外一点到圆上一点之间的最小距离的问题（如图），连结点D和AB中点O，与半圆O交于点H，此时DH长度最小． 答案： 这一类动点满足与定线段构成一个直角三角形，且为直角顶点，则这个动点的轨迹是以定线段为直径的圆（或圆弧）。由特殊到一般，如果动点与定线段构成的三角形中，以动点为顶点的角度确定，这个动点的运动轨迹是以定线段为弦的圆（或圆弧）. 3. 如图，正方形OABC的边长为4，以O为圆心，EF为直径的半圆经过点A，连接AE，CF 相交于点P，将正方形OABC从OA与OF重合的位置开始，绕着点O逆时针旋转90°，交点P运动的路径长是（） 第 2 页共6 页
人教版初中数学圆的技巧及练习题附答案解析 一、选择题 1．已知圆锥的三视图如图所示，则这个圆锥的侧面展开图的面积为（） A．60πcm2B．65πcm2C．120πcm2D．130πcm2 【答案】B 【解析】 【分析】 先利用三视图得到底面圆的半径为5cm，圆锥的高为12cm，再根据勾股定理计算出母线长为13cm，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算． 【详解】 根据三视图得到圆锥的底面圆的直径为10cm，即底面圆的半径为5cm，圆锥的高为 12cm， 所以圆锥的母线长=22 5+12=13， 所以这个圆锥的侧面积=1 2 ×2π×5×13=65π（cm2）． 故选B． 【点睛】 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了三视图． 2．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，且CD⊥AB，BC=3，AC=4，则sin∠ABD的值是（） A．4 3 B． 3 4 C． 3 5 D． 4 5 【答案】D 【解析】
【分析】 由垂径定理和圆周角定理可证∠ABD=∠ABC，再根据勾股定理求得AB=5，即可求sin∠ABD 的值． 【详解】 ∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB， ∴弧AC=弧AD， ∴∠ABD=∠ABC． 根据勾股定理求得AB=5， ∴sin∠ABD=sin∠ABC=4 5 ． 故选D． 【点睛】 此题综合考查了垂径定理以及圆周角定理的推论，熟悉锐角三角函数的概念． 3．在Rt△ABC中，∠ACB=90°.AC=8，BC=3，点D是BC边上动点，连接AD交以CD为直径的圆于点E，则线段BE长度的最小值为( ) A．1 B．3 2 C．3D． 5 2 【答案】A 【解析】 【分析】 根据直径所对的圆周角为直角可知∠CED=90°，则∠AEC=90°，设以AC为直径的圆的圆心为O，若BE最短，则OB最短，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 OE=1 2 AC=4，在Rt△OBC中，根据勾股定理可求得OB=5，即可得解. 【详解】 解：连接CE， ∵E点在以CD为直径的圆上， ∴∠CED=90°， ∴∠AEC=180°-∠CED=90°， ∴E点也在以AC为直径的圆上， 设以AC为直径的圆的圆心为O，若BE最短，则OB最短，∵AC=8，
圆中的最值问题公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]
圆中的最值问题 【考题展示】 题1 (2012年武汉中考)在坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2．设tan∠BOC=m，则m的取值范围是 _________． 题2 (2013年武汉元调)如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O 为圆心OA长为半径作⊙O，C为半圆弧AB上的一个动点（不与A、B两点重 合），射线AC交⊙O于点E，BC=a，AC=b，求a b +的最大值.（有修改） 题3 (2013年武汉四调)如图，∠BAC=60°，半径长为1的圆O与∠BAC的两边相切，P 为圆O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两 点，连接DE，则线段DE长度的最大值为_________． 题4 (2013年武汉五模)在△ABC中，120 BC=．若△ABC的内切圆半径为r，则 ∠=?，6 A r的最大值为_________．（有修改） 题5 (2013年武汉中考)如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是_________．
题1图题2 图题3 图 题4图题5图 【典题讲练】 类型1（相关题：题5） 如图，边长为a的等边△ABC的顶点A，B分别在x轴正半轴和y轴正半轴上运动，则动点C到原点O的距离的最大值是_________． 在直角坐标系中，△ABC满足，∠C=90°，AC=8，BC=6，点A，B分别在x轴、y轴上，当A点从原点开始在正x轴上运动时，点B随着在正y轴上运动（下图），求原点O到点C的距离OC的最大值，并确定此时图形应满足什么条件．
1、笑笑家养了鸡和鸭共45只，其中有20只鸡，鸭有多少只？ 2、小红捡了24个贝壳,小明和小红捡的一样多,小红和小明一共捡了多少个贝壳？ 3、小东摘了24个桃子,小美捡了48个桃子,小东还要捡多少个就和小美一样多？ 4、4个 画图 列式 5、少2个 画图 列式 6、多5个 画图 列式 6、小明种了15棵树,比小芳种的树少,小芳种了多少棵？ 7、玲玲摘了12根黄瓜,明明摘的黄瓜比玲玲多25根。 请你提出一个数学问题,并解答。 8、小明有100元钱,要买一套桌椅,可以怎么买,应付多少元？请你写出一种买法。、○1粉色桌子28元○2蓝色桌子56 ○3绿色桌子43元
○4紫色椅子55元○5黄色椅子33元 9、想一想,每个算式中阴影部分表示几？ 10、饭堂准备80个水果,每人一个,学生有70个人,老师3个人,够吗？ 11、东东有13颗糖果,平平有98颗,平平比东东多几颗？ 12、从下面5个数里选出3个数,组成两道加法和两道减法算式。 12 98 45 57 53 （）-（）=（）（）+（）=（）（）-（）=（）（）+（）=（） 13、一辆车最多能坐40人,一（7）班有37名学生,4名教师,够坐吗？ 14、有8辆小巴,15辆中巴,12辆大巴。 （1）小巴比大巴少几辆？ （2）下面解决的问题是：？ 11-6 =（）（辆） （3）再提出一个数学问题,并解答。 15、看图列式计算（大括号题型）
16、看图列式计算（一共及剩下题型） 17、42只小猫,每只小猫分一条鱼,有38条鱼,还差几条鱼？ 18、黑金鱼58条,红金鱼39条,黑金鱼比红金鱼多几条？ 19、梨树47棵,梨树比苹果树少14棵,梨树有多少棵？ 20、一共要给66盆花浇水,我已经浇了57盆,还要浇多少盆？ 21.、水果店卖了27个火龙果,还剩39个,水果店原来有多少个西瓜？
圆中有关最值问题（1）教学设计 一、设计思路： 圆中有关最值问题是中考数学中的重要内容，是综合性较强的问题，它贯穿初中数学的 始终，是中考的热点问题。其运用性质有：圆中直径是最长的弦、垂线段最短、三边关系定 理、对称法等。本节课以例题入手来研究圆中的有关最值问题。 二、学情分析 学生知识技能基础：学生在前面几节课已经认识了圆，学习了圆的有关知识，以及数学 的基本结论：圆中直径是最长的弦、垂线段最短、三角形三边关系等基本知识，这些为本节 课的学习奠定了良好的知识技能基础。 学生活动经验基础：通过以往的数学学习，学生已经具有了一些数学活动经验的基础； 另一方面，在以往的数学活动中，学生已经经历了很多合作交流的学习过程，具有了一定的 合作学习的经验，具备了一定的合作交流的能力。 三、教学目标 知识与技能： 1、会利用直径是圆中最长的弦这一基本结论解决有关最值问题； 2、会利用圆外一点与圆上各点的连线中最短与最近距离这一基本事实，解决圆中有关最值问题。 方法与途径： 通过观察、操作、想象、推理、交流等活动，发展空间观念，培养学生动手动脑、发现 问题及解决问题的能力，以及推理能力和有条理的表达能力。 情感与评价： 通过实际操作、画图等活动，培养学生的动手能力，提高学生的识图技能，使学生的思 维变得更加灵活。 现代教学手段： 多媒体和几何画板的合理应用，增加了课时内容，激发了学生学习的积极性，突破了教 学重点、难点的同时，更重要的是使复杂问题更加简单化，通过清楚的动画演示，使学生进 一步感受何时取得最大值问题。 四、教学重点与难点 教学重点：将试题转化为最值中的有关模型 教学难点：将试题转化为最值中的有关模型的方法
人教一年级下册数学易错题、难题精选 1.写出四个个位上都是4的两位数：（）、（）、（）、（） 2.个位上都是9的两位数有（）个 3.最大的两位数是（），最小的两位数是（），他们的差是() 4.8个十是()，再加上()个十是100 5.72-4=52-8=60-7=42-5=76-7=65-8=41-9= 6.小明有一张20元的人民币，买了两支9元一支的钢笔，小明付()元， 应找回()元。 7.一张10元可以换()张1元的，可以换()张2元的，可以换()张5元 的 8.一张5元可以换()张2元和()张1元的 9.小明有4元钱，买了个本子花了2元5角，还剩多少钱？ 10.一个数从右边起第一位是6，第二位上的数比第一位上的数多3，这个数 是()，它后面的一个数是()。 11.个位数和十位数都相同的两位数有()个 12.一本书80页，小孩差不多看了一半，她可能看了()页 A25B41C70 13.97是接近100还是接近90？()，93呢？() 14.74读作()，四十一写作() 15.写出3个十位上的数比个位上的数小2的数：()、()、() 16.个位上是1的两位数共有()个 17.在13、35、33、3、30、23、38、93、53中，个位数是3的数有()个 18.二十、二十地数，数()次是100，十个十个地数，数9次是()
19.从4、2、8、5四个数中选出两个数字组成一个两位数，最小的是()， 最大的是() 20.在算式32+□<40中，□里最大填() 21.在算式43+□>52中，□里最小填() 22.100分=（）角 23.2元4角+6角=()角=（）元1元5角+5角=()元 难题、易错题复习二 1.一个数从右边起第一位是8，第二位上的数是第一位的一半，这个数是()， 它后面的第一个双数是()。 2.一本书60页，小孩差不多看了一半，她可能看了()页 A15B31C50 3.98是接近100还是接近90？()，92呢？() 4.1元5角+5角=()元()角 5.从0写到100，一共要写几个0？ 6.小明感冒了，医生给了他一瓶药，要求每天服2次，每次4粒。请问小 明明天要服药多少粒？如果这瓶药有16粒，可以服几天？ 7.小明感冒了，医生给了他一瓶药，要求每天服2次，每次3粒，要连续 服4天，请问这瓶药至少有多少粒？ 8.一本书37元，小明的钱正好够买一本书，他最多有几张10元的？ 9.树上有27只鸟，飞走了3只，又飞走了5只，这时树上还剩多少只鸟？ 10.小明有20元钱，买了4枝3元一枝的钢笔，他还剩多少钱？ 11、明明买了4盒铅笔，每盒6枝，送给妹妹一些后还剩8枝，送给妹妹多
如何短时间突破数学压轴题 还有不到一个月的时间就要进行期中考试了，期中考试的重要性不必多说。各区期中考试的范围相信学生们都已经非常清楚。 个人觉得现在大部分学生的困难在于旋转、圆，由于时间比较紧张，给大家一些复习资料和 学习方法，希望能够帮到大家。 一、旋转： 纵观几年的数学试卷，最难的几何题几乎都是旋转，在此给出旋转中最常见的几何模型和一些解题技巧。 旋转模型： 1三垂直全等模型 三垂直全等构造方法：从等腰直角三角形的两个锐角顶点出发向过直角顶点的直线作垂线。 2、手拉手全等模型 手拉手全等基本构图 : A C A C D E E
(1) BE+DF = EF ; (2) S ^ABE +S A ADF =S A AEF ; (3) AH=AB ; (4) C A ECF = 2AB ; (5) BM 2+DN 2=MN 2; (6) △ DNF ANMAEFBEM ;相似比为 1: 2 (由△ AMN 与厶 AEF 的高之比 AO : AH=AO : AB=1 : .2 而得至U ); 3、等线段、共端点 (1) 1 z / / f i / f / / / * f / /\/H 中点旋转(旋转180 ) (2)等腰直角三角形(旋转90 °) F A A A E C B C C B A' 等边三角形旋转 (旋转 ⑶ 60 E A A D F F C C B B E B C E F 中 ABCD D D F (4)正方形旋转(旋转90 E D A 已知 E 、F 分别是边 BC 、CD 上的点，且满足 AE 、AF 分别与对角线 BD 交于点M 、N.求证： 4、半角模型 半角模型所有结论：在正方形 / EAF =45° F
1.写出四个个位上都是4的两位数：（）、（）、（）、（） 2.个位上都是9的两位数有（）个 3.最大的两位数是（），最小的两位数是（），他们的差是() 4.8个十是()，再加上()个十是100 5.72-4=52-8=60-7=42-5=76-7=65-8=41-9= 6.小明有一张20元的人民币，买了两支9元一支的钢笔，小明付()元，应找回()元。 7.一张10元可以换()张1元的，可以换()张2元的，可以换()张5元的 8.一张5元可以换()张2元和()张1元的 9.小明有4元钱，买了个本子花了2元5角，还剩多少钱？ 10.一个数从右边起第一位是6，第二位上的数比第一位上的数多3，这个数是()，它后面的一个数是()。 11.个位数和十位数都相同的两位数有()个 12.一本书80页，小孩差不多看了一半，她可能看了()页 A25B41C70 13.97是接近100还是接近90？()，93呢？() 14.74读作()，四十一写作() 15.写出3个十位上的数比个位上的数小2的数：()、()、() 16.个位上是1的两位数共有()个 17.在13、35、33、3、30、23、38、93、53中，个位数是3的数有()个 18.二十、二十地数，数()次是100，十个十个地数，数9次是()
19.从4、2、8、5四个数中选出两个数字组成一个两位数，最小的是()，最大的是() 20.在算式32+□<40中，□里最大填() 21.在算式43+□>52中，□里最小填() 22.100分=（）角 23.2元4角+6角=()角=（）元1元5角+5角=()元 难题、易错题复习二 1.一个数从右边起第一位是8，第二位上的数是第一位的一半，这个数是()，它后面的第一个双数是()。 2.一本书60页，小孩差不多看了一半，她可能看了()页 A15B31C50 3.98是接近100还是接近90？()，92呢？() 4.1元5角+5角=()元()角 5.从0写到100，一共要写几个0？ 6.小明感冒了，医生给了他一瓶药，要求每天服2次，每次4粒。请问小明明天要服药多少粒？如果这瓶药有16粒，可以服几天？ 7.小明感冒了，医生给了他一瓶药，要求每天服2次，每次3粒，要连续服4天，请问这瓶药至少有多少粒？ 8.一本书37元，小明的钱正好够买一本书，他最多有几张10元的？ 9.树上有27只鸟，飞走了3只，又飞走了5只，这时树上还剩多少只鸟？ 10.小明有20元钱，买了4枝3元一枝的钢笔，他还剩多少钱？ 11、明明买了4盒铅笔，每盒6枝，送给妹妹一些后还剩8枝，送给妹妹多少枝？
解题技巧专题：圆中辅助线的作法 ——形成思维定式，快速解题 ◆类型一遇弦加弦心距或半径 1．如图，已知⊙O的半径为10，弦AB ＝12，M是AB上任意一点，则线段OM的长可能是（） A．5 B．7 C．9 D．11 第1题图第2题图 2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B ＝60°，⊙O的半径为4，则AC的长等于（） A．4 3 B．6 3 C．2 3 D．8 3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC.若∠CAB＝22.5°，CD ＝8cm，则⊙O的半径为________cm. 第3题图第4题图 4．如图，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”(单位：cm)，那么该光盘的直径是________cm. ◆类型二遇直径添加直径所对的圆周角 5．(2016·玉林中考)如图，CD是⊙O 的直径，已知∠1＝30°，则∠2的度数为（） A．30° B．45° C．60° D．70° 第5题图第6题图 6．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B ＝60°，AC＝8，则⊙O的直径AD的长度为（） A．16 B．4 C. 83 3 D. 163 3 7．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E. (1)求证：BE＝CE； (2)若∠B＝70°，求DE ︵ 的度数； (3)若BD＝2，BE＝3，求AC的长．
◆类型三 遇切线连接圆心和切点 8．如图，已知△ABC ，AB ＝BC ，以 AB 为直径的圆交AC 于点D ，过点D 的⊙O 的切线交BC 于点E .若CD ＝5，CE ＝4，则⊙O 的半径是（ ） A ．3 B ．4 C.256 D.25 8 第8题图 第9题图 9．如图，AB 切⊙O 于点B ，OA ＝23，∠BAO ＝60°，弦BC ∥OA ，则BC ︵ 的长为_________(结果保留π)． 10．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4， AD ＝5，AD ，AB ，BC 分别与⊙O 相切于E ，F ，G 三点，过点D 作⊙O 的切线交BC 于 点M ，切点为N ，则DM 的长为_______． 答案：
圆中的最值问题 【考题展示】 题1 （2012年武汉中考）在坐标系中，点A的坐标为（3,0),点B为y轴正半轴上的一点,点C是第一象限内一点，且AC=2．设tan∠BOC=m，则m的取值范围是_________． 题2 （2013年武汉元调)如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O为圆心OA长为半径作⊙O，C为半圆弧AB上的一个动点(不与A、B两点重合），射线AC交⊙O于点E，BC=a，AC=b，求 +的最大值.（有修改） a b 题3 (2013年武汉四调)如图,∠BAC=60°，半径长为1的圆O与∠BAC的两边相切，P为圆O上一动点，以P 为圆心，PA长为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点,连接DE，则线段DE长度的最大值为_________．题4 （2013年武汉五模）在△ABC中,120 BC=．若△ABC的内切圆半径为r，则r的最大值为 A ∠=?，6 _________．（有修改） 题5 (2013年武汉中考)如图，E,F是正方形ABCD的边AD上两个动点,满足AE=DF．连接CF交BD于点G,连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2,则线段DH长度的最小值是_________． 题1图题2 图题3 图
【典题讲练】 类型1（相关题：题5） 1.1 如图，边长为a的等边△ABC的顶点A，B分别在x轴正半轴和y轴正半轴上运动，则动点C到原点O 的距离的最大值是_________． 1。2在直角坐标系中，△ABC满足，∠C=90°,AC=8,BC=6，点A，B分别在x轴、y轴上，当A点从原点开始在正x轴上运动时，点B随着在正y轴上运动（下图)，求原点O到点C的距离OC的最大值，并确定此时图形应满足什么条件． 1。3如图，在平面直角坐标系中,已知等腰直角三角形ABC,∠C=90°，AC=BC=2，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A从原点开始在x轴的正半轴上运动时，点C在y轴正半轴上运动． （1）当A在原点时，求点B的坐标； （2)当OA=OC时，求原点O到点B的距离OB； (3）在运动的过程中，求原点O到点B的距离OB的最大值,并说明理由．
专题：阿氏圆与线段和最值问题 以阿氏圆(阿波罗尼斯圆)为背景的几何问题近年来在中考数学中经常出现，对于此类问题的归纳和剖析显得非常重要. 具体内容如下： 阿氏圆定理(全称：阿波罗尼斯圆定理)，具体的描述：一动点P 到两定点A 、 B 的距离之比等于定比n m (≠1)，则P 点的轨迹，是以定比n m 内分和外分定线段 AB 的两个分点的连线为直径的圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，该圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆． 定理读起来和理解起来比较枯燥，阿氏圆题型也就是大家经常见到的PA+kPB ，(k ≠1)P 点的运动轨迹是圆或者圆弧的题型. PA+kPB,(k ≠1)P 点的运动轨迹是圆或圆弧的题型 阿氏圆基本解法：构造母子三角形相似 例题1、问题提出：如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝4，CA ＝6，⊙C 半径为2，P 为圆上一动点，连结AP 、BP ，求AP +BP 的最小值． （1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP ，在CB 上取点D ，使CD ＝1，则有 ＝ ＝，又∵∠PCD ＝∠BCP ，∴△PCD ∽△BCP ．∴ ＝，∴PD ＝BP ，∴AP +BP ＝AP +PD ． 请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP +BP 的最小值为 ． （2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，AP +BP 的最小值为 ． （3）拓展延伸：已知扇形COD 中，∠COD ＝90°，OC ＝6，OA ＝3，OB ＝5，点P 是上一点，求2P A +PB 的最小值． 【分析】（1）利用勾股定理即可求出，最小值为AD ＝ ；
小学一年级数学易错题集锦 小学一年级数学易错题集锦 一、判断题： 1.一个两位数，最高位是个位。（） 2. 66中两个6的意义相同，都表示6个一。（） 3.三十六写作306。（） 4.钟面上分针从1走到4，走了3分钟。（） 5. 8时7分可以写作8：7 。（） 6.现在的时间是8：50，再过15分钟是9：05。（） 二、填空题： 1.以角为单位的人民币有（）角、（）角、（）角。以分为单位的人民币有（）分、（）分、（）分。 2.一个两位数，十位上的数比个位上的数大6，个位上的数比1小，这个两位数是（）。 3.100的最高位是（）位；1在（）位上，表示（）个（）。 4.离34最近一个整十数是（）。 5. 74的个位数是（），表示（），十位数是（），表示（）。
6.比10大而又比20小的数有（）个，其中个位数和十位数相同的数是（）。 7.写出三个个位是0的两位数（）（）（）；写出三个个位是9的两位数（）（）（）。写出三个个位数和十位数相同两位数（）（）（）。 8.两个同样的正方体可以拼成一个（）体；最少（）个同样的小正方体可以拼成一个大正方体；最少（）个同样的小正方形可以拼成一个大正方形。 9.钟面上时针走1大格是1（），分针走一大格是5（）。 10.六十写作（），它比最大的两位数小（）。 11. 39前面的一个数是（），后面的一个数是（）。与99相邻的两个数是（）和（）。28后面第三个数是（）。 12.百位的1比十位的1大（）。 13.我走路靠（）边走，汽车靠（）边行。 14.一张正方形的纸片对折两次再展开，一共可以得到（）个小正方形；一共有（）个正方形。 15.最大的一位数是（）；最小的两位数是（）；最大的两位数是（）；最小的三位数是（）。 16. 80连续减4的差分别是：（）、（）、（）、
中考数学圆的解题方法归纳总结及例题分析 1．遇到弦时（解决有关弦的问题时） 常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。 作用：①利用垂径定理； ②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系； ③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。 例1：
例2：
2．遇到有直径时 常常添加（画）直径所对的圆周角。 作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形。 3．遇到90°的圆周角时 常常连结两条弦没有公共点的另一端点。 作用：利用圆周角的性质，可得到直径。 例题：如图，已知在等腰△ABC中，∠A=∠B=30°，过点C作CD⊥AC交AB于点D；求证：BC是过A，D，C三点的圆的切线
解：（1）作出圆心O， 以点O为圆心，OA长为半径作圆 （2）证明：∵CD⊥AC，∴∠ACD=90°∴AD是⊙O的直径 连结OC，∵∠A=∠B=30°，∴∠ACB=120°，又∵OA=OC，∴∠ACO=∠A =30° ∴∠BCO=∠ACB-∠ACO =120°-30°=90°∴BC⊥OC，∴BC是⊙O的切线. 4．遇到弦时 常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。 作用：①可得等腰三角形； ②据圆周角的性质可得相等的圆周角。 如图，△ABC是⊙O的接三角形，AD是⊙O 的直径，若∠ABC=50°，求∠CAD的度数。 解：连接CD，∠ADC=∠ABC=50°,∵AD是⊙O 的直径，∴∠ACD=90°∴∠CAD+∠ADC=90°∴∠CAD=90°-∠ADC=90°-50°= 40° 5．遇到有切线时 （1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点） 作用：利用切线的性质定理可得到直角或直角三角形。 （2）常常添加连结圆上一点和切点 作用：可构成弦切角，从而利用弦切角定理。