量子力学习题及解答
第一章 量子理论基础
1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即
m λ T=b （常量）；
并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式
dv e c
hv d kT
hv v v 1
1
833
-?
=πρ， （1）
以及 c v =λ， （2）
λρρd dv v v -=， （3）
有
,1
18)()
(5-?=?=??
? ??-=-=kT
hc v v e
hc c
d c d d dv λλλ
πλλρλλλρλρ
ρ
这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：
011511
86'
=????
?
??
-?+--?=-kT
hc kT hc e kT hc e hc λλλλλπρ ? 011
5=-?+--kT hc
e kT
hc λλ ? kT
hc e
kT
hc λλ=--)1(5 如果令x=kT
hc
λ ，则上述方程为
x e x =--)1(5
这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有
xk
hc T m =
λ
把x 以及三个物理常量代入到上式便知
K m T m ??=-3109.2λ
这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知
E=hv ，
λ
h
P =
如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2
c E e μ<<动），那么
e
p E μ22
= 如果我们考察的是相对性的光子，那么
E=pc
注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 6
1051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有
p
h =
λ nm
m m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.12296
6
2=?=????=
==--μμ
在这里，利用了
m eV hc ??=-61024.1
以及
eV c e 621051.0?=μ
最后，对
E
c hc e 2
2μλ=
作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
1．3 氦原子的动能是kT E 2
3
=（k 为玻耳兹曼常数），求T=1K 时，氦原子的德布罗意波长。
解 根据
eV K k 3101-=?，
知本题的氦原子的动能为
,105.12
3
233eV K k kT E -?=?==
显然远远小于2
c 核μ这样，便有
E
c hc 2
2核μλ=
nm
m m
37.01037.0105.1107.321024.193
9
6
=?=?????=
---
这里，利用了
eV eV c 962107.3109314?=??=核μ
最后，再对德布罗意波长与温度的关系作一点讨论，由某种粒子构成的温度为T 的体系，其中粒子的平均动能的数量级为kT ，这样，其相庆的德布罗意波长就为
T
kc hc E
c hc 2
2
22μμλ=
=
据此可知，当体系的温度越低，相应的德布罗意波长就越长，这时这种粒子的波动性就越明显，特别是当波长长到比粒子间的平均距离还长时，粒子间的相干性就尤为明显，因此这时就能用经典的描述粒子统计分布的玻耳兹曼分布，而必须用量子的描述粒子的统计分布——玻色分布或费米公布。
1．4 利用玻尔——索末菲的量子化条件，求：
（1）一维谐振子的能量；
（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。 已知外磁场H=10T ，玻尔磁子124
109--??=T J M B ，试计算运能的量子化间隔△E ，
并与T=4K 及T=100K 的热运动能量相比较。
解 玻尔——索末菲的量子化条件为
?=nh pdq
其中q 是微观粒子的一个广义坐标，p 是与之相对应的广义动量，回路积分是沿运动轨道积一圈，n 是正整数。
（1）设一维谐振子的劲度常数为k ，谐振子质量为μ，于是有
2
22
12kx p E +=μ
这样，便有
)2
1(22kx E p -
±=μ 这里的正负号分别表示谐振子沿着正方向运动和沿着负方向运动，一正一负正好表示一个来回，运动了一圈。此外，根据
22
1kx E =
可解出 k
E
x 2±
=± 这表示谐振子的正负方向的最大位移。这样，根据玻尔——索末菲的量子化条件，有
??
-+
+
-
=--+-x x x x nh dx kx E dx kx E )21
(2)()21(222μμ
?
nh dx kx E dx kx E x x x x =-+-??
+-
-
+
)2
1
(2)21(222μμ
?
h
n dx kx E x x 2)21(22=-?
+
-
μ
为了积分上述方程的左边，作以下变量代换；
θsin 2k
E
x =
这样，便有
h n k E d E 2sin 2cos 222
2
=???
? ???-
θθμπ
π
?
?-
=?
22
2cos 2cos 2π
π
θθθμh n d k E E
?
h n
d k E 2
cos 222
2=
?
?=π
πθθμ
这时，令上式左边的积分为A ，此外再构造一个积分
?-?
=22
2sin 2π
πθθμ
d k
E B
这样，便有
??--?
=-?=?
=+22
22
2cos 2,
22π
ππ
πθ
θμ
μ
πθμ
d k
E B A k
E d k
E B A （1）
??--==22
22
,
cos )
2(2cos π
ππ
π???
θθμ
d k
E
d k
E
这里? =2θ，这样，就有
0sin ==-?-π
π
?μ
d k
E
B A （2）
根据式（1）和（2），便有
k
E A μ
π
=
这样，便有
h n
k
E 2
=
μ
π
? k
h n E μπ2=
,k nh
μ
=
其中π
2h h =
最后，对此解作一点讨论。首先，注意到谐振子的能量被量子化了；其次，这量子化的能量是等间隔分布的。
（2）当电子在均匀磁场中作圆周运动时，有
B q R
υυμ
=2
? qBR p ==μυ
这时，玻尔——索末菲的量子化条件就为
?
=π
θ20
)(nh R qBRd
? nh qBR =?π22 ? nh qBR =2
又因为动能耐μ
22
p E =，所以，有
μμ22)(2
222R B q qBR E ==
,
22B nBN q nB qBn =?==μμ 其中，μ
2
q M B =
是玻尔磁子，这样，发现量子化的能量也是等间隔的，而且 B BM E =?
具体到本题，有
J J E 232410910910--?=??=?
根据动能与温度的关系式
kT E 2
3=
以及
J eV K k 223106.1101--?==?
可知，当温度T=4K 时，
J J E 2222106.9106.145.1--?=???=
当温度T=100K 时，
J J E 2022104.2106.11005.1--?=???=
显然，两种情况下的热运动所对应的能量要大于前面的量子化的能量的间隔。
1．5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现实种转化，光子的波长最大是多少？
解 关于两个光子转化为正负电子对的动力学过程，如两个光子以怎样的概率转化为正负电子对的问题，严格来说，需要用到相对性量子场论的知识去计算，修正当涉及到这个过程的运动学方面，如能量守恒，动量守恒等，我们不需要用那么高深的知识去计算，具休到本题，两个光子能量相等，因此当对心碰撞时，转化为正风电子对反需的能量最小，因而所对应的波长也就最长，而且，有
2c hv E e μ==
此外，还有
λ
hc
pc E =
=
于是，有
2
c hc
e μλ
=
?
2c hc e μλ=
nm
m m 3126
6104.2104.21051.01024.1---?=?=??= 尽管这是光子转化为电子的最大波长，但从数值上看，也是相当小的，我们知道，电子是自然界中最轻的有质量的粒子，如果是光子转化为像正反质子对之类的更大质量的粒子，那么所对应的光子的最大波长将会更小，这从某种意义上告诉我们，当涉及到粒子的衰变，产生，转化等问题，一般所需的能量是很大的。能量越大，粒子间的转化等现象就越丰富，这样，也许就能发现新粒子，这便是世界上在造越来越高能的加速器的原因：期待发现新现象，新粒子，新物理。
第二章波 函数和薛定谔方程
2.1证明在定态中，几率流与时间无关。 证：对于定态，可令
)]r ()r ()r ()r ([m 2i ]
e )r (e )r (e )r (e )r ([m
2i )
(m 2i J e
)r ( )
t (f )r ()t r (**Et i
Et i **Et i Et i **Et
i
ψψψψψψψψψψψψψψψ?-?=?-?=?-?===-----）（）（，
可见t J 与
无关。
2.2 由下列定态波函数计算几率流密度： ikr ikr e r
e r -==
1
)2( 1)1(21ψψ 从所得结果说明1ψ表示向外传播的球面波，2ψ表示向内(即向原点) 传播的球面波。 解：分量只有和r J J 21
在球坐标中
?
θθ?
θ??+??+??=?sin r 1e r 1e r r 0 r
mr k r mr k r r
ik r r r ik r r m i r e r r e r e r r e r m i m
i J ikr ikr ikr ikr
3020
220
1*
1*111 )]11(1)11(1[2 )]1(1)1(1[2 )
(2 )1(==+----=??-??=?-?=--ψψψψ r J 1
与同向。表示向外传播的球面波。
r
mr
k r mr k r )]r 1ik r 1(r 1)r 1ik r 1(r 1[m 2i r )]e r 1(r e r 1)e r 1(r e r 1[m 2i )
(m
2i J )2(3020
220
ik r ik r ik r ik r *
2*222
-=-=---+-=??-??=?-?=--ψψψψ
可见，r J
与2反向。表示向内(即向原点) 传播的球面波。
补充：设ikx
e x =)(ψ，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？
∞==??∞
∞
dx dx ψψ*
∴波函数不能按1)(2
=?
dx x ψ方式归一化。
其相对位置几率分布函数为
12
==ψω表示粒子在空间各处出现的几率相同。
2.3 一粒子在一维势场
??
?
??>∞≤≤<∞=a x a x x x U ，，
，0 00)( 中运动，求粒子的能级和对应的波函数。
解：t x U 与)(无关，是定态问题。其定态S —方程
)()()()(2222x E x x U x dx
d m ψψψ=+-
在各区域的具体形式为
Ⅰ： )()()()(2 011122
2x E x x U x dx d m x ψψψ=+-
< ① Ⅱ： )()(2 0 222
2
2x E x dx d m a x ψψ=-≤≤ ② Ⅲ： )()()()(2 3332
2
2x E x x U x dx d m a x ψψψ=+-
> ③ 由于(1)、(3)方程中，由于∞=)(x U ，要等式成立，必须
0)(1=x ψ 0)(2=x ψ
即粒子不能运动到势阱以外的地方去。
方程(2)可变为
0)(2)(22222=+x mE
dx x d ψψ
令22
2
mE
k =
，得 0)()(22
2
22=+x k dx
x d ψψ 其解为 kx B kx A x cos sin )(2+=ψ ④
根据波函数的标准条件确定系数A ，B ，由连续性条件，得 )0()0(12ψψ=⑤
)()(32a a ψψ=⑥
⑤ 0=?B
⑥ 0sin =?ka A
)
,3 ,2 ,1( 0
sin 0 ==?=∴≠n n ka ka A π
∴x a
n A x π
ψsin )(2= 由归一化条件 1)
(2
=?
∞
dx x ψ
得 1sin 0
2
2
=?
a
xdx a
n A
π
由
mn a
b a xdx a n x a m δππ?=*2sin sin
x a n a x a
A πψs i n 2)(22=
∴=
?
2
2
2
mE k = ),3,2,1( 22
2
22 ==
?n n ma E n π可见E 是量子化的。 对应于n E 的归一化的定态波函数为
??
???><≤≤=-a x a x a x xe a
n a t x t E i
n n , ,0 0 ,sin
2),(
π
ψ
#
2.4. 证明（2.6-14）式中的归一化常数是a
A 1=
'
证：
??
??
?
≥<+'=a x a
x a x a n A n ,0 ),(sin πψ （2.6-14）
由归一化，得
a
A a x a
n n a
A a A dx
a x a n A x
A dx a x a
n A dx a x a
n A dx a
a
a
a a
a
a
a
a
a
n
22
222
2
2
22
)(sin 2)(cos 2
2
)](cos 1[21)(sin 1'=+?'-'=+'-
'
=
+-'
=+'=
=
-----∞??
?
?
π
π
π
ππ
ψ
∴归一化常数a
A 1=
' #
2.5 求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。 解
：
222
122)(x xe
x ααπ
α
ψ-?=
2
22
223
222
112 24)()(x
x
e x e x x x α
α
π
α
π
α
αψω--?=
??
==
22]22[2 )(3231x e x x dx x d ααπαω--= 令
0 )
(1=dx
x d ω，得 ±∞=±==x x x 1
0α
由)(1x ω的表达式可知，±∞==x x 0，时，0)(1=x ω。显然不是最大几率的位置。
2
22
2)]251[(4)]22(2)62[(2 )( 442233222232
12x x e x x e x x x x dx x d ααααπ
ααααπ
αω----=---=而
01
42 )(32
1212<-=±
=e dx x d x παω
可见μω
α
±
=±
=1
x 是所求几率最大的位置。 #
2.6 在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：)()(x U x U =-，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。
证：在一维势场中运动的粒子的定态S-方程为
)()()()(22
2
2x E x x U x dx
d ψψψμ=+- ① 将式中的)(x x -以代换，得
)()()()(22
2
2x E x x U x dx d -=--+--
ψψψμ ② 利用)()(x U x U =-，得
)()()()(22
2
2x E x x U x dx
d -=-+--ψψψμ ③ 比较①、③式可知，)()(x x ψψ和-都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函数。由于它们描写的是同一个状态，因此)()(x x ψψ和-之间只能相差一个常数c 。方程①、③可相互进行空间反演 )(x x -?而得其对方，由①经x x -→反演，可得③， )()( x c x ψψ=-?
④
由③再经x x →-反演，可得①，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。
)()(
x c x -=?ψψ ⑤ ④乘 ⑤，得
)x ()x (c )x ()x ( 2
-=-ψψψψ 可见，12
=c
1±=c 当1+=c 时，)x ()x ( ψψ=-，)(x ψ?具有偶宇称，
当1-=c 时，)()(
x x ψψ-=-，)(x ψ?具有奇宇称， 当势场满足)()( x U x U =-时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。#
2.7 一粒子在一维势阱中
?????≤>>=a
x a
x U x U ,0 ,0)(0
运动，求束缚态(00U E <<)的能级所满足的方程。
解法一：粒子所满足的S-方程为
)()()()(22
2
2x E x x U x dx
d ψψψμ=+- 按势能)(x U 的形式分区域的具体形式为
Ⅰ：)x (E )x (U )x (dx d 211012
2
2ψψψμ=+-
a x <<∞- ①
Ⅱ：)()(2222
2
2x E x dx
d ψψμ=- a x a ≤≤- ②
Ⅲ：)x (E )x (U )x (dx d 233032
2
2ψψψμ=+-
∞< Ⅰ： 0) (212 01 =--''ψμψ E U ④ Ⅱ：. 0E 2222 =+''ψμψ ⑤ Ⅲ：0)(23203 =--''ψμψ E U ⑥ 令 2 2 220212 )(2 E k E U k μμ=-= 则 Ⅰ： 012 11 =-''ψψk ⑦ Ⅱ：. 022 22 =-''ψψk ⑧ Ⅲ：01213 =-''ψψk ⑨ 各方程的解为 x k x k 3222x k x k 11 1 1 1 Fe Ee x k cos D x k sin C Be Ae -+-+=+=+=ψψψ 由波函数的有限性，有 )(0 )(31=?∞=?-∞E A 有限有限ψψ 因此 x k 3x k 111 Fe Be -==ψψ 由波函数的连续性，有 ) 13( Fe k a k sin D k a k cos C k ),a ()a () 12( Fe a k cos D a k sin C ),a ()a () 11( a k sin D k a k cos C k Be k ),a ()a () 10( a k cos D a k sin C Be ),a ()a (a k 1222232a k 22322222a k 12122a k 211 11 1 -----=-?'='=+?=+=?-'=-'+-=?-=-ψψψψψψψψ 整理(10)、(11)、(12)、(13)式，并合并成方程组，得 F e k aD k sin k aC k cos k 00 F e aD k cos aC k sin 000D a k sin k aC k cos k B e k 00aD k cos aC k sin B e a k 12222a k 222222a k 122a k 1111=+-+=-++=+--=+-+---- 解此方程即可得出B 、C 、D 、F ，进而得出波函数的具体形式，要方程组有非零解， 必须 0Be k a k sin k a k cos k 0 e a k cos a k sin 00 a k sin k a k cos k e k 0a k cos a k sin e a k 12222a k 222222a k 122a k 1111=-------- ]a k 2c o s k k 2a k 2s i n )k k [(e ] a k 2sin k a k 2sin k a k 2cos k k 2[e ]a k sin e k a k cos a k sin e k a k cos e k a k cos a k sin e k [e k ]a k cos a k sin e k a k sin e k k a k cos a k sin e k a k cos e k k [e e k a k sin k a k cos k e a k cos a k sin 0 a k cos a k sin e k e k a k sin k a k cos k e a k cos a k sin 0a k sin k a k cos k e 022122122a k 222 1222221a k 222a k 222a k 122a k 222a k 1a k 122a k 2222a k 2122a k 2222a k 21a k a k 12222a k 2222a k 1a k 12222a k 222222a k 111111111111111111--=-+-=-+++--++++-==----- ----=------------------ ∵ 012≠-a k e ∴02cos 22sin )(22122 122=--a k k k a k k k 即 022)(2122 12 2=--k k a k tg k k 为所求束缚态能级所满足的方程。# 解法二：接（13）式 a k sin D k k a k cos C k k a k cos D a k sin C 21221222+= +- a k sin D k k a k cos C k k a k cos D a k sin C 21 221222+- =+ 2cos k 2 2sin )( 0 2cos 2 2sin ) 1( 0 cos sin cos sin cos sin 0)cos sin )(sin cos ( 0)cos sin )(sin cos ( )cos sin )(sin cos (0 )cos sin (sin cos cos sin sin cos 2212212 22122212 22222122212222122221 2221222122212221222122212 2212221 2 2212=--=-+-=--+=-+=-+--+-=--+-+a k k a k k k a k k k a k k k a k a k a k k k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k k # 解法三： (11)-(13))(sin 21122F B e k a k D k a k +=?- (10)+(12))F B (e a k cos D 2a k 21+=?- )a ( k a tgk k ) 12()10() 13()11(122=?+- (11)+(13)a ik e B F k a k C k 1)(cos 2122---=? (12)-(10)a ik 21e )B F (a k sin C 2--=? 令 ，，a k a k 22==ηξ 则 ) d ( ctg )c ( tg ηξξηξξ-==或 )f ( a U 2)k k (2 202 22122 μηξ=+=+ 合并)b ()a (、： 212 221222k k k k a k tg -= 利用a k tg 1a tgk 2a k 2tg 2222-= # 解法四：（最简方法-平移坐标轴法） Ⅰ：11012 2ψψψμE U =+''- （χ≤0） Ⅱ：222 2ψψμ E =''- （0＜χ＜2a ） k a ctgk k ) 10 ( ) 12 ( ) 13 ( ) 11 ( 1 2 2 - = ? - + Ⅲ：33032 2ψψψμ E U =+''- （χ≥2a ） ??? ? ? ? ???=--''=+''=--''?0)(2020)(232 0322212 01ψμψψμψψμψ E U E E U ?????=-''==+''-==-''(3) 0k E 2k (2) 0k )E U (2k (1) 0k 32 132 222222202 11211ψψμψψμψψ 束缚态0＜E ＜0U x k x k x k x k Fe Ee x k D x k C Be Ae 1 1 1 1 32221cos sin -+-++=+=+=ψψψ )(0 )(31=?∞=?-∞E B 有限有限ψψ 因此 x k x k Fe Ae 1131 -==∴ψψ 由波函数的连续性，有 ) 7( Fe a k 2cos D a k 2sin C ),a 2()a 2() 6( Fe k a k 2sin D k a k 2cos C k ),a 2()a 2() 5( C k A k ),0()0() 4( D A ),0()0(a k 22232a k 212222322121211 1 --=+?=-=-?'='=?'='=?=ψψψψψψψψ (7)代入(6) a k D k k a k C k k a k D a k C 21 2212222sin 2cos 2cos 2sin +-=+ 利用(4)、(5)，得 a k 2cos k k 2a k 2sin )k k ()k k (0a k 2cos 2a k 2sin )k k k k ( A 0]a k 2cos 2a k 2sin )k k k k [( A a k 2sin D k k a k 2cos A a k 2cos A a k 2sin A k k 22122 12221221 2 21221 2 2121222221=---=+-∴≠=+-+-=+即得 两边乘上 # 2.8分子间的范德瓦耳斯力所产生的势能可以近似表示为 ???????<≤≤-<≤<∞=，，，， ,0 ,0 , 0 ,)(10 x b b x a U a x U x x U 求束缚态的能级所满足的方程。 解：势能曲线如图示，分成四个区域求解。 定态S-方程为 )()()()(22 2 2x E x x U x dx d ψψψμ=+- 对各区域的具体形式为 Ⅰ：)0( )(21112 <=+''- x E x U ψψψμ Ⅱ：)0( 222022 a x E U <≤=+''-ψψψμ Ⅲ：)( 233132 b x a E U ≤≤=-''-ψψψμ Ⅳ：)( 02442 x b E <=+''-ψψμ 对于区域Ⅰ，∞=)(x U ，粒子不可能到达此区域，故 0)(1=x ψ 而 . 0)( 22202 =--''ψμψ E U ① 0)( 23213 =++''ψμψ E U ② 02424 =+''ψμψ E ③ 对于束缚态来说，有0<<-E U ∴ 02212=-''ψψk 2 021) ( 2 E U k -=μ ④ 03233=+''ψψk 2 123) ( 2 E U k +=μ ⑤ 042 44 =+''ψψk 224/2 E k μ-= ⑥ 各方程的解分别为 x k x k x k x k Fe Ee x k D x k C Be Ae 331142232cos sin -+-+=+=+=ψψψ 由波函数的有限性，得 0 )(4=?∞E 有限， ψ ∴ x k Fe 34-=ψ 由波函数及其一阶导数的连续，得 A B -=?= )0()0(21ψψ ∴ ) (332x k x k e e A --=ψ a k D a k C e e A a a x k x k 2232c o s s in )()()(33+=-?=-ψψ ⑦ a k Dk a k Ck e e Ak a a a k a k 2222133sin cos )()()(33-=+?'='-ψψ ⑧ b k Fe b k D b k C b b 32243cos sin )()(-=+?=ψψ ⑨ b k e Fk b k Dk b k Ck b b 33222243cos sin )()(--=-?'='ψψ ⑩ 由⑦、⑧，得 a k D a k C a k D a k C e e e e k k a k a k a k a k 222221cos sin cos cos 1111+-=-+-- (11) 由 ⑨、⑩得D b k k C b k k D b k k C b k k )cos ()sin ()sin ()cos (23232222--=- 0)sin cos ()sin cos ( 223 22232=+-=+D b k b k k k C b k b k k k (12) 令 211111k k e e e e a k a k a k a k ?-+=--β，则①式变为 0)sin cos ()cos sin (2222=++-D a k a k C a k a k ββ 联立(12)、(13)得，要此方程组有非零解，必须 0) s i n c o s ()c o s s i n ()c o s s i n ()s i n c o s (2222223 22232=+-+-+a k a k a k a k b k b k k k b k b k k k ββ )()1()( 0)1)(((c o s ))((sin 0cos cos sin cos )cos sin sin sin sin sin cos sin sin sin cos cos 0)cos sin ( )cos sin ()sin cos )(sin cos ( 3 23223223222222223222322222223 22232223 2 22223 222ββββββ ββ ββ-+ =-=+-+--=+---+++++=+-?? --++k k k k a b tgk k k a b k k k a b k a k b k a k b k a k b k k k a k b k k k a k b k a k b k a k b k k k a k b k k k b k b k k k a k a k b k b k k k a k a k 即 把β代入即得 ) ()1()( 111111112132322a k a k a k a k a k a k a k a k e e e e k k k k e e e e k k a b tgk -----+--++=- 此即为所要求的束缚态能级所满 足 的 方 程 。 # 附：从方程⑩之后也可以直接用行列式求解。见附页。 ）） （） （b k a k e k b k a k e k b k a k e k b k a k e k k e e k b k a k e k b k a k e k k b k a k e k b k a k e k k e e e k b k k b k k e b k b k a k a k e e k e k b k k b k k e b k b k a k k a k k e e e k b k k b k k e b k b k a k k a k k k e e a k a k e e b k b k b k b k b k b k a k a k a k a k a k a k a k a k a k a k a k a k a k a k a k a k a k a k a k a k 222223222223212222223222222232322222222132222222222322222222222 22sin sin sin cos cos cos cos sin )( sin cos sin sin cos sin cos cos )( sin cos cos sin 0cos sin )( sin cos cos sin 0 sin cos ) (00 sin cos 0cos sin 00sin cos )(0cos sin )(33331133331133113311331111--------------------++-+------=----= +------==---+--- )](sin )()(cos )[( )](sin )()(cos )([)](cos )(sin )[( )](sin )(cos )[(31313113112312 222312312 2223122123122 2232=-++----+-+-=-+----+---=-------b k a k b k a k b k a k a k b k a k a k e a b k k k k a b k k k k e e a b k k k k a b k k k k e e a b k k k a b k k k e e e a b k k a b k k k e e )( )()()]()[( 0 )]()()[( )]()()([ 231223123122 2312 2 231222312312 22311133=--+--+--=-++----++-?--k k k e k k k a b tgk k k k e k k k e a b tgk k k k k k k e a b tgk k k k k k k a k a k b k b k 此即为所求方程。 # 补充练习题一 1、设 )()(222 1 为常数αψαx Ae x -=，求A = ？ 解：由归一化条件，有 ? ? ∞ ∞ --∞ ∞ --==)x (d e 1 A )x (d e A 12 22 2x 2 x 2 αα α α πα α 1 A dy e 1 A 2 y 2 2 ==? ∞ ∞ -- ∴π α = A # 2、求基态微观线性谐振子在经典界限外被发现的几率。 解：基态能量为ω 2 10= E 设基态的经典界限的位置为a ，则有 ωμω 2121220==a E ∴0a 1 a ===α μω 在界限外发现振子的几率为 ) t 2 1y ]dt e 2122[2 ] dy e dy e [2 dy e 2 )x (d e 2 )( dx e 22 2 /t 1 y y 1 y a )x (a x 22 2 2 02 2 2= - = -== = =? ??? ??∞ --∞ --∞ ∞ --∞ -∞ -∞-（令偶函数性质π πππ π π απ π ααα 式中? ∞ --2 2 /221 dt e t π为正态分布函数? ∞ --= x t dt e x 2 /2 21 )(πψ 当)2(2ψ时的值= x 。查表得92.0)2(= ψ ∴]92.0[?-? =πππ ω 16.0)92.01(2=-= ∴在经典极限外发现振子的几率为0.16。 # 3、试证明)x 3x 2(e 3)x (33x 21 2 2ααπ αψα -=-是线性谐振子的波函数，并求此波函数对 应的能量。 证：线性谐振子的S-方程为 )()(2 1 )(22222x E x x x dx d ψψμωψμ=+- ① 把)(x ψ代入上式，有 ) 3x 9x 2(e 3e )]3x 6()x 3x 2(x [3)]x 3x 2(e 3[dx d )x (dx d 2345x 21 x 2 1 2333233x 21 2 22 22 2αααπ ααααααπ α ααπ αψα αα-+-=-+--=-=--- ?? ?? ??-+-=-)3x 9x 2(e 3dx d dx )x (d 2 345x 21 2 222αααπαψα ) ( 2 2 0 2 2 0 2 2 0 x a x a x e dx e dx e α α α π α ψ π α π α ω - ∞ - - ∞ - - = + = ? ? 4日1-1试画出以下各题中圆柱或圆盘的受力图。与其它物体接触处的摩擦力均略去。 解： 1-2 试画出以下各题中AB 杆的受力图。 (a) B (b) (c) (d) A (e) A (a) (b) A (c) A (d) A (e) (c) (a) (b) 98 解： 1-3 试画出以下各题中AB 梁的受力图。 (d) (e) B B (a) B (b) (c) F B (a) (c) F (b) (d) (e) 解： 1-4 试画出以下各题中指定物体的受力图。 (a) 拱ABCD ；(b) 半拱AB 部分；(c) 踏板AB ；(d) 杠杆AB ；(e) 方板ABCD ；(f) 节点B 。 解： (a) F (b) W (c) (d) D (e) F Bx (a) (b) (c) (d) D (e) W (f) (a) D (b) C B (c) B F D 2-2 杆AC 、BC 在C 处铰接，另一端均与墙面铰接，如图所示，F 1和F 2作用在销钉C 上， F 1=445 N ，F 2=535 N ，不计杆重，试求两杆所受的力。 解：(1) 取节点C 为研究对象，画受力图，注意AC 、BC 都为二力杆， (2) 列平衡方程： 1 21 4 0 sin 60053 0 cos6005 207 164 o y AC o x BC AC AC BC F F F F F F F F F N F N =?+-==?--=∴==∑∑ AC 与BC 两杆均受拉。 2-3 水平力F 作用在刚架的B 点，如图所示。如不计刚架重量，试求支座A 和D 处的约束 力。 (d) F C (e) W B (f) F F BC F 1 F 第一章 气体放电的基本物理过程 （1）在气体放电过程中，碰撞电离为什么主要是由电子产生的？ 答：气体中的带电粒子主要有电子和离子，它们在电场力的作用下向各自的极板运动，带正电荷的粒子向负极板运动，带负电荷的粒子向正极板运动。电子与离子相比，它的质量更小，半径更小，自由行程更大，迁移率更大，因此在电场力的作用下，它更容易被加速，因此电子的运动速度远大于离子的运动速度。更容易累积到足够多的动能，因此电子碰撞中性分子并使之电离的概率要比离子大得多。所以，在气体放电过程中，碰撞电离主要是由电子产生的。 （2）带电粒子是由哪些物理过程产生的，为什么带电粒子产生需要能量 ？ 答：带电粒子主要是由电离产生的，根据电离发生的位置，分为空间电离和表面电离。根据电离获得能量的形式不同，空间电离又分为光电离、热电离和碰撞电离，表面电离分为正离 子碰撞阴极表面电离、光电子发射、热电子发射和强场发射。原子或分子呈中性状态，要使原子核外的电子摆脱原子核的约束而成为自由电子，必须施加一定的外加能量，使基态的原 子或分子中结合最松弛的那个电子电离出来所需的最小能量称为电离能。 （3）为什么SF6气体的电气强度高？ 答：主要因为SF6气体具有很强的电负性，容易俘获自由电子而形成负离子，气体中自由电 子的数目变少了，而电子又是碰撞电离的主要因素，因此气体中碰撞电离的能力变得很弱，因而削弱了放电发展过程。 1-2 汤逊理论与流注理论对气体放电过程和自持放电条件的观点有何不同？这两种理论各适用于何种场合？ 答：汤逊理论的基本观点：电子碰撞电离是气体电离的主要原因；正离子碰撞阴极表面使阴 极表面逸出电子是维持气体放电的必要条件；阴极逸出电子能否接替起始电子的作用是自持放电的判据。它只适用于低气压、短气隙的情况。 气体放电流注理论以实验为基础，它考虑了高气压、长气隙情况下空间电荷对原有电场的影响和空间光电离的作用。 在初始阶段，气体放电以碰撞电离和电子崩的形式出现，但当电子崩发展到一定程度之后，某一初始电子的头部集聚到足够数量的空间电荷，就会引起新的强烈电离和二次电子崩，这种强烈的电离和二次电子崩是由于空间电荷使局部电场大大增强以及发生空间光电离的结果，这时放电即转入新的流注阶段。 1-3 在一极间距离为1cm 的均匀电场气隙中，电子碰撞电离系数α=11cm-1。今有一初始电子从阴极表面出发，求到达阳极的电子崩中的电子数。 答：e αd=e11=59874。 1-5 试近似估算标准大气条件下半径分别为1cm 和1mm 的光滑导线的电晕起始场强。P15皮 克公式 1-6 气体介质在冲击电压下的击穿有何特点？其冲击电气强度通常用哪些方式表示？ 答：在持续电压（直流、工频交流）作用下，气体间隙在某一确定的电压下发生击穿。而在 冲击电压作用下，气体间隙的击穿就没有这种某一个确定的击穿电压，间隙的击穿不仅与电 cm ,1m ,/5.58)1.03 .0(1*1*30)3.01(30/39)13.0(1*1*30)3.01(301.01导线半径空气相对密度光滑导线导线表面粗糙系数--=-=+=+==+=+===r m cm kV r m E cm kV r m E m c m c δδδδδ 9习题二 2-1.两质量分别为m和M (M m)的物体并排放在光滑的水平桌面上，现有一水平力F作用在物体m上，使两物体一起向右运动，如题图2-1所示，求两物体间的相互作用力。若水平力F作用在M上, 使两物体一起向左运动，则两物体间相互作用力的大小是否发生变化？ 解：以m、M整体为研究对象, F 以m为研究对象，如解图2-1 有 (m M )a…①(a),有 F Mm ma…② 由①、②两式，得相互作用力大小 l MF F Mm . “ m M 若F作用在M上，以m为研究对象，如题图2-1 (b)有 F Mm ma 由①、③两式，得相互作用力大小解图2-1 F Mm 讦发生变化。 m M 2-2.在一条跨过轻滑轮的细绳的两端各系一物体，两物体的质量分别为 M2，在M2上再放一质量为m的小物体，如题图2-2所示，若M1=M2= 4m,求m和M2之间的相互作用 力，若M1=5m, M2=3m,则m与M2之间的作用力是否发生变化？ M1和 解：受力图如解图2-2，分别以M1、M2和m为研究对象，有题图2-2 又T1T2，则当M1 当M1 T1 M1g M1a (M2 m)g T2 (M 2 m)a mg F M 2m ma C O F M 2m 2M 〔mg m M1 M2 M 2 4m 时 解图2-2 F M2m8mg 5m, M 2 3m 时 F M 2m10mg 9 发生变化。 题图2-1 2-3?质量为M的气球以加速度v匀加速上升，突然一只质量为m的小鸟飞到气球上，并停留在气球上。若气球仍能向上加速，求气球的加速度减少了多少？ r 解：设f为空气对气球的浮力，取向上为正。 分别由解图2-3(a)、(b)可得 f M g Ma mag a a a1 m M 2-4.如题图2-4所示，人的质量为60kg，底板的质量为在底板上静 止不动，则必须以多大的力拉住绳子？ 解:设底板和人的质量分别为M , m,以向上为正方向， (a)、(b)所示，分别以底板、人为研究对象，则有 T| T2 F Mg 0 T3 F ' mg 0 F为人对底板的压力， F '为底板对人的弹力。有 F F 又因为 f (M m) g (M m)a1 由此解得 a i Ma mg m M ?0 (a) ⑹ 解图2-3 则 T 2 T 3 也严 245N 40 kg。人若想站 受力图如解图2-4 解图2-12 第一章绪论 思考题 1) 现代力学有哪些重要的特征？ 2) 力是物体间的相互作用。按其是否直接接触如何分类？试举例说明。 3) 工程静力学的基本研究内容和主线是什么？ 4) 试述工程力学研究问题的一般方法。 第二章刚体静力学基本概念与理论 习题 2-1 求图中作用在托架上的合力F R。 习题2-1图 2-2 已知F 1=7kN ，F 2=5kN, 求图中作用在耳环上的合力F R 。 2-3 求图中汇交力系的合力F R 。 2-4 求图中力F 2的大小和其方向角。使 a )合力F R =1.5kN, 方向沿x 轴。b)合力为零。 2 45? 60? F 1 习题2-2图 (b) x y 45? 30? F 1=30N F 2=20N F 3=40N A x y 45? 60? F 1=600N F 2=700N F 3=500N A 习题2-3图 (a ) x α 70? F 2 F 1=1.25kN A 习题2-4图 2-5 二力作用如图，F 1=500N 。为提起木桩，欲使垂直向上的合力为F R =750N ，且F 2 力尽量小，试求力F 2的大小和角。 2-6 画出图中各物体的受力图。 α 30? F 1=500N A F 2 习题2-5图 A B C D G (b) A B W (a ) G C (c) F o A B C (d) A B C D F B D A C 2-7 画出图中各物体的受力图。 (f) (g) 习题2-6图 (b) (a ) D C 2-8 试计算图中各种情况下F 力对o 点之矩。 (d) 习题2-7图 习题2-8图 P (d) (c) (a ) A 第三章 N=>D=> {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} N=>ND=>NDD L={a |a(0|1|3..|9)n且 n>=1} (0|1|3..|9)n且 n>=1 {ab,} a n b n n>=1 第6题. (1) <表达式> => <项> => <因子> => i (2) <表达式> => <项> => <因子> => (<表达式>) => (<项>) => (<因子>)=>(i) (3) <表达式> => <项> => <项>*<因子> => <因子>*<因子> =i*i (4) <表达式> => <表达式> + <项> => <项>+<项> => <项>*<因子>+<项> => <因子>*<因子>+<项> => <因子>*<因子>+<因子> = i*i+i (5) <表达式> => <表达式>+<项>=><项>+<项> => <因子>+<项>=i+<项> => i+<因子> => i+(<表达式>) => i+(<表达式>+<项>) => i+(<因子>+<因子>) => i+(i+i) (6) <表达式> => <表达式>+<项> => <项>+<项> => <因子>+<项> => i+<项> => i+<项>*<因子> => i+<因子>*<因子> = i+i*i 第7题 第9题 语法树 s s s* s s+a a a 推导: S=>SS*=>SS+S*=>aa+a* 11. 推导:E=>E+T=>E+T*F 语法树: E +T * 短语: T*F E+T*F 直接短语: T*F 句柄: T*F 12． 第二章供求、供给、价格 1、为什么欲望不同于需求？ 答：欲望是一种缺乏的感受和需要满足的愿望，其基本特点是无限性，即人的欲望永远没有完全得到满足的时候。 需求是指消费者（家庭）在某一特定时期内，在每一价格水平时愿意而且能够购买的某种商品量。需求是购买欲望和购买能力的统一，缺少任何一个条件都不能成为需求。 欲望是永无止境的，没有限制条件，而需求受到购买欲望和购买能力的制约，二者缺一不可，所以欲望不同于需求。 1、有些企业在广告宣传中声称自己的产品是为“工薪阶级服务的”。从经济学角度看，这种说法对不对？为什么？ 答：从经济学角度看，这种说法是不对的。 企业宣传自己的产品是为工薪阶层服务，主要是指在价格上给予工薪阶层方便，通过降低价格，提供经济实惠又保质的产品，吸引消费者，让消费者有经济能力来购买产品。 需求是购买欲望和购买能力的的统一，二者缺一不可。产品为工薪阶层服务，旨在强调消费者的购买能力，却忽略了其购买欲望。所以，从经济学角度看，这种说法是不正确的。 2、出租车行业越发达，服务越好，价格越低，买汽车的人越少，为什么? 答：替代品是指可以互相替代来满足同一种欲望的商品。出租车和汽车，皆可为人们提供出行便利服务，它们之间可以相互替代，是 替代关系。 对于有替代关系的商品，当一种商品价格下降时，人们对其需求增加，导致另一种商品需求下降。当出租车行业发达，价格低廉，服务良好时，人们会增加对出租车的消费需求，从而减少对汽车的购买需求。 4、旅游业的发展可以带动旅馆、餐饮、交通、娱乐等行业的发展，为什么？ 答：互补品是指共同满足一种欲望的两种商品，他们是相互补充的，旅游业与旅馆、餐饮、交通、娱乐等行业就是一种互补关系。两种互补品价格与需求呈反向变动，当旅游业发展，价格降低，消费者而对其互补的旅馆、餐饮、交通、娱乐等的需求就增加，从而带动其发展。 5、我国加入世贸组织对汽车市场的需求有什么影响？为什么？ 答：总体上来说会扩大对汽车市场的需求。首先，我国加入世贸组织后，经济发展，人民收入增加，消费者对汽车有了一定的购买力，其次，加入世贸组织使得汽车价格下架昂，对汽车的购买需求增多。再次，加入世贸组织使得发达国家的消费方式影响发展中国家，购买汽车会成为人们的偏好与心理欲望。最后，加入世贸组织，消费者对自己未来的收入与商品价格走势有所预期，这种预期也影响了购车的意愿和需求。综上，我国加入世贸组织会扩大汽车市场的需求。 4日1-1试画出以下各题中圆柱或圆盘的受力图。与其它物体接触处的摩擦力均略去。 解： 1-2 试画出以下各题中AB 杆的受力图。 A ( F ( ( W A W ( F ( F F ( F W ( A W ( F B D B 98 解： 1-3 试画出以下各题中AB 梁的受力图。 B ( B B ( F B F F B ( D B F F ( B ( W B F ( B ( B ( 解： 1-4 试画出以下各题中指定物体的受力图。 (a) 拱ABCD ；(b) 半拱AB 部分；(c) 踏板AB ；(d) 杠杆AB ；(e) 方板ABCD ；(f) 节点B 。 解： B ( B F ( W ( ( F Bx ( D C ( D ( ( B ( W B ( ( D C D ( B ( B F D 2-2 杆AC 、BC 在C 处铰接，另一端均与墙面铰接，如图所示，F 1和F 2作用在销钉C 上，F 1=445 N ，F 2=535 N ，不计杆重，试求两杆所受的力。 解：(1) 取节点C 为研究对象，画受力图，注意AC 、BC 都为二力杆， (2) 列平衡方程： 1 214 0 sin 60053 0 cos6005207 164 o y AC o x BC AC AC BC F F F F F F F F F N F N =?+-==?--=∴==∑∑ AC 与BC 两杆均受拉。 2-3 水平力F 作用在刚架的B 点，如图所示。如不计刚架重量，试求支座A 和D 处的约束力。 ( F C ( W B ( F AB F BC F F 4 3 x 习 题 【2-1】如图2-31所示地质土性和独立基础尺寸的资料，使用承载力公式计算持力层的承载力。若地下水位稳定由0.7m 下降1m ，降至1.7m 处，问承载力有何变化？ 图2-31 习题2-1图 解：由图2－31可知： 基底处取土的浮重度 基底以上土的加权平均重度 由020=k ?，查表2－6可得 所以，持力层的承载力为 若地下水下降1m 至1.7m ，则 基底以上土的重度为 3/2.17m kN m ＝γ 基底处土的重度为 3/0.18m kN m ＝γ 此时，持力层的承载力为 【2-2】某砖墙承重房屋，采用素混凝土(C10)条形基础，基础顶面处砌体宽度0b =490mm ， 传到设计地面的荷载F k =220kN/m ，地基土承载力特征值f ak =144kPa ，试确定条形基础的宽度b 。 (1)按地基承载力要求初步确定基础宽度 假定基础埋深为d=1.2m ，不考虑地基承载力深度修正，即f a =f ak =144kPa m d f F b G a k 83.12 .120144220=?-=-≥γ，取b=1.9m 初步选定条形基础的宽度为1.9m 。 地基承载力验算： 满足 无筋扩展基础尚需对基础的宽高比进行验算（其具体验算方法详见第三章），最后还需进行基础剖面设计。 (2)按台阶宽高比要求验算基础的宽度 初步选定基础的高度为H=300mm 基础采用C10素混凝土砌筑，基础的平均压力为kPa p k 8.139= 查表3－2，得允许宽高比0.12==H b tg α，则 不满足要求 取H=0.8m 此时地面离基础顶面为 1.2-0.8=0.4m>0.1m ，满足要求。 【2-3】某钢筋混凝土条形基础和地基土情况如图2-32所示，已知条形基础宽度b =1.65m ，上部结构荷载F k =220kN/m ，试验算地基承载力。 第一章 1—1 气体中带电质点是通过游离过程产生的。游离是中性原子获得足够的能量(称游离能)后成为正、负带电粒子的过程。根据游离能形式的不同，气体中带电质点的产生有四种不同方式： 1.碰撞游离方式在这种方式下，游离能为与中性原子(分子)碰撞瞬时带电粒子所具有的动能。虽然正、负带电粒子都有可能与中性原子(分子)发生碰撞，但引起气体发生碰撞游离而产生正、负带电质点的主要是自由电子而不是正、负离子。 2.光游离方式在这种方式下，游离能为光能。由于游离能需达到一定的数值，因此引起光游离的光主要是各种高能射线而非可见光。 3.热游离方式在这种方式下，游离能为气体分子的内能。由于内能与绝对温度成正比，因此只有温度足够高时才能引起热游离。 4.金属表面游离方式严格地讲，应称为金属电极表面逸出电子，因这种游离的结果在气体中只得到带负电的自由电子。使电子从金属电极表面逸出的能量可以是各种形式的能。 气体中带电质点消失的方式有三种： 1.扩散带电质点从浓度大的区域向浓度小的区域运动而造成原区域中带电质点的消失，扩散是一种自然规律。 2.复合复合是正、负带电质点相互结合后成为中性原子(分子)的过程。复合是游离的逆过程，因此在复合过程中要释放能量，一般为光能。 、水蒸汽)分子易吸附气体中的自由 3.电子被吸附这主要是某些气体(如SF 6 电子成为负离子，从而使气体中自由电子(负的带电质点)消失。 1—2 自持放电是指仅依靠自身电场的作用而不需要外界游离因素来维持的放电。外界游离因素是指在无电场作用下使气体中产生少量带电质点的各种游离因素，如宇宙射线。讨论气体放电电压、击穿电压时，都指放电已达到自持放电阶段。 汤生放电理论的自持放电条件用公式表达时为 γ(eαs-1)=1 此公式表明：由于气体中正离子在电场作用下向阴极运动，撞击阴极，此时已起码撞出一个自由电子(即从金属电极表面逸出)。这样，即便去掉外界游离因素，仍有引起碰撞游离所需的起始有效电子，从而能使放电达到自持阶段。 1—3 汤生放电理论与流注放电理论都认为放电始于起始有效电子通过碰撞游离形成电子崩,但对之后放电发展到自持放电阶段过程的解释是不同的。汤生放电理论认为通过正离子撞击阴极，不断从阴极金属表面逸出自由电子来弥补引起电子碰撞游离所需的有效电子。而流注放电理论则认为形成电子崩后，由于正、负空间电荷对电场的畸变作用导致正、负空间电荷的复合，复合过程所释放的光能又引起光游离，光游离结果所得到的自由电子又引起新的碰撞游离，形成新的电子崩且汇合到最初电子崩中构成流注通道，而一旦形成流注，放电就可自己维持。因此汤生放电理论与流注放电理论最根本的区别在于对放电达到自持阶段过程的解释不同，或自持放电的条件不同。 汤生放电理论适合于解释低气压、短间隙均匀电场中的气体放电过程和现象，而流注理论适合于大气压下，非短间隙均匀电场中的气体放电过程和现象。 量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)()(5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλ λρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ ? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=h v ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ 《工程力学》复习题 一、填空题 1、工程力学包括、、和动力学的有关内容。 2、力的三要素是力的、、。用符号表示力的单位是或。 ３、力偶的三要素是力偶矩的、和。用符号表示力偶矩的单位为或。 4、常见的约束类型有约束、约束、约束和固定端约束。 5、低碳钢拉伸时的大致可分为、、和阶段。 6、剪切变形的特点是工件受到一对大小、方向、作用线且相距很近的外力作用。 7、圆轴扭转的变形特点是：杆件的各横截面绕杆轴线发生相对，杆轴线始终保持。 8、平面弯曲变形的变形特点是杆的轴线被弯成一条。 9、静定梁可分为三种类型，即、和。 10、平面汇交力系平衡的解析条件是：力系中所有的力在投影的代数均为。 11、在工程中受拉伸的杆件，其共同的特点是：作用于杆件上的外力或外力的合力的作用线与构件轴线，杆件发生方向，伸长或压缩。 12、力矩的大小等于和的乘积。通常规定力使物体绕矩心时力矩为正，反之为负。 13、大小，方向，作用线的两个力组成的力系，称为力偶。力偶中二力之间的距离称为，力偶所在的平面称为。 14、力的平将作用在刚体某点的力平移到刚体上别指定一点，而不改变原力对刚体的作用效果，则必须附加一力偶，其力偶矩等于。 15、构件的强度是指的能力；构件的刚度是指的能力；构件的稳定性是指的能力。 二、判断题：（对的画“√”，错的画“×”） 1、力的可传性定理，只适用于刚体。（） 2、两物体间相互作用的力总是同时存在，并且两力等值、反向共线，作用在同一个物体上。（） 3、力的大小等于零或力的作用线通过矩心时，力矩等于零。（） 4、力偶无合力，且力偶只能用力偶来等效。（） 5、柔体约束特点是限制物体沿绳索伸长方向的运动，只能给物体提供拉力。（） 6、二力杆的约束力不一沿杆件两端铰链中心的连线，指向固定。（） 7、截面法求轴力杆件受拉时轴力为负，受压时轴力为正。（） 8、常用的塑性指标有两个：伸长率和断面收缩率。（） 9、工程上通常把伸长率大于等于5%的材料称为塑性材料。（） 三、简答题 1、力的平移定理？ 2、平面汇交力系的平衡条件？ 3、三力平衡汇交定理？ 基础物理学第二版习题 解答 文件编码（008-TTIG-UTITD-GKBTT-PUUTI-WYTUI-8256） 习题二 2-1．两质量分别为m 和M ()M m ≠的物体并排放在光滑的水平桌面上，现有一水平力F 作用在物体m 上，使两物体一起向右 运动，如题图2-1所示，求两物体间的相互作用力。 若水平力F 作用在M 上，使两物体一起向左运动，则两物体间相互作用力的大小是否发生 变化 解：以m 、M 整体为研究对象， 有 ()F m M a =+…① 以m 为研究对象，如解图2-1（a ），有 Mm F F ma -=…② 由①、②两式，得相互作用力大小 若F 作用在M 上，以m 为研究对象，如题图2-1（b ） 有 Mm F ma =…………③ 由①、③两式，得相互作用力大小 Mm mF F m M = + 发生变化。 2-2. 在一条跨过轻滑轮的细绳的两端各系一物体，两物体的质量分别为M 1和M 2 ，在M 2上再放一质量为m 的小物体，如题图2-2所 示，若M 1=M 2= 4m ，求m 和M 2之间的相互作用力，若M 1=5m ， M 2=3m ，则m 与M 2之间的作用力是否发生变化 解： 受力图如解图2-2，分别以M 1、M 2和m 为研究对象，有 111T M g M a -= 又 12T T =，则 2 M m F = 1122M mg M M m ++ 当124M M m ==时 当125,3M m M m ==时 2 109 M m mg F =，发生变化。 2-3.质量为M 的气球以加速度a 匀加速上升，突然一只质量为m 的小鸟飞到气球上，并停留在气球上。若气球仍能向上加速，求气球的加速 度减少了多少 题图2- 题图2-解图2-解图2- 《机械制造技术基础》部分习题参考解答第二章金属切削过程 2-1什么是切削用量三要素？在外圆车削中，它们与切削层参数有什么关系？答： 切削用量三要素是指切削速度v、进给量f、背吃刀量a p（切削xx）。 在外圆车削中，它们与切削层参数的关系是： 切削层公称厚度：hD fsin r切削层公称宽度：bD a p/sin r切削层公称横截面积：AD fap2-2确定外圆车刀切削部分几何形状最少需要几个基本角度？试画图标出这些基本角度。 答： 确定外圆车刀切削部分几何形状最少需要7个基本角度： 前角、后角、主偏角、副偏角、副前角、副后角和刃倾角，这些基本角度如下图所示（其中副前角、副后角不做要求）。 2-3试述刀具标注角度和工作角度的区别。为什么车刀作横向切削时，进给量取值不能过大？ 答： 刀具标注角度是在静态情况下在刀具标注角度参考系中测得的角度；而刀具工作角度是在刀具工作角度参考系中（考虑了刀具安装误差和进给运动影响等因素）确定的刀具角度。车刀作横向切削时，进给量取值过大会使切削速度、基面变化过大，导致刀具实际工作前角和工作后角变化过大，可能会使刀具工作后角变为负值，不能正常切削加工（P23）。 2-4刀具切削部分的材料必须具备哪些基本性能？ 答： （P24） (1)高的硬度和耐磨性； (2)足够的强度和韧性； (3)高耐热性； (4)良好的导热性和耐热冲击性能； (5)良好的工艺性。 2-5常用的硬质合金有哪几类？如何选用？ 答： （P26）常用的硬质合金有三类： P类（我国钨钴钛类YT），主要用于切削钢等长屑材料；K类（我国钨钴类YG），主要用于切削铸铁、有色金属等材料；M类（我国通用类YW），可以加工铸铁、有色金属和钢及难加工材料。 2-6怎样划分切削变形区？第一变形区有哪些变形特点？ 答： 切削形成过程分为三个变形区。第一变形区切削层金属与工件分离的剪切滑移区域，第二变形区前刀面与切屑底部的摩擦区域；第三变形区刀具后刀面与已加工表面的摩擦区域。 第一变形区的变形特点主要是： 金属的晶粒在刀具前刀面推挤作用下沿滑移线剪切滑移，晶粒伸长，晶格位错，剪切应力达到了材料的屈服极限。 2-7什么是积屑瘤？它对加工过程有什么影响？如何控制积屑瘤的产生？答： 162 第2章习题 1 下列化合物中，哪些是路易斯酸，哪些是路易斯碱? BH 4－， PH 3， BeCl 2， CO 2， CO ， Hg(NO 3)2， SnCl 2 解答：路易斯酸：BeCl 2，PH 3，CO 2，CO ，Hg(NO 3)2，SnCl 2 路易斯碱：PH 3，CO ，SnCl 2 2 写出下列物种的共轭酸和共轭碱: NH 3， NH 2－， H 2O ， HI ， HSO 4－ 解答： 共轭酸 共轭碱 共轭酸 共轭碱 NH 3 NH 4＋ NH 2－ NH 2－ NH 3 NH 2－ H 2O H 3O ＋ OH － HI H 2I ＋ I － HSO 4－ H 2SO 4 SO 42－ 3 下列各对中哪一个酸性较强? 并说明理由。 (a) [Fe(H 2O)6]3＋和[Fe(H 2O)6]2＋ (b) [Al(H 2O)6]3＋和[Ga(H 2O)6]3＋ (c) Si(OH)4和Ge(OH)4 (d) HClO 3和HClO 4 (e) H 2CrO 4和HMnO 4 (f) H 3PO 4和H 2SO 4 解答：(a) [Fe(H 2O)6]3＋和[Fe(H 2O)6]2＋ 路易斯酸性：前者，中心离子电荷高、半径小，吸引电子能力大； 质子酸性：前者，中心离子电荷高，对O 的极化能力大，H ＋易离解； (b) [Al(H 2O)6]3＋和[Ga(H 2O)6]3＋、(c) Si(OH)4和Ge(OH)4 路易斯酸性：均为前者，中心离子半径小，d 轨道能量低； 质子酸性：均为前者，中心离子半径小，对O 的极化能力大，H ＋易离解； (d) HClO 3和HClO 4、(e) H 2CrO 4和HMnO 4和(f) H 3PO 4和H 2SO 4 路易斯酸性和质子酸性均为后者，中心原子氧化数高、半径小，非羟基氧原子多。 4 应用Pauling 规则， (1) 判断H 3PO 4(pK a ＝2.12)、H 3PO 3(pK a ＝1.80)和H 3PO 2(pK a ＝2.0)的结构; (2) 粗略估计H 3PO 4、H 2PO 4－和HPO 42－的pK a 值。 解答：(1) 根据pK a 值判断，应有相同非羟基氧原子。 H 3PO 4： H 3PO 3： H 3PO 2： (2) H 3PO 4：一个非羟基氧原子，pK a 值约为2。根据多元酸分级电离常数之间的关系，K a 1：K a 2： K a 3≈1：10－5：10－10。所以，H 2PO 4－：pK a 约为7；HPO 42－：pK a 约为12。 5 指出下列反应中的路易斯酸和碱，并指出哪些是配位反应，哪些是取代反应，哪些是复分解反应? 解答：(1) FeCl 3＋Cl －＝[FeCl 4]－ (2) I 2＋I －＝I 3－ 酸 碱 (配位) 酸 碱 (配位) (3) KH ＋ H 2O ＝ KOH ＋ H 2 (4) [MnF 6]2－＋2SbF 5＝2[SbF 6]－＋MnF 4 碱 酸 (复分解) 碱 酸 (取代) (5) Al 3＋(aq)＋6F －(aq)＝[AlF 6]3－(aq) (6) HS －＋H 2O ＝S 2－＋H 3O ＋ 酸 碱 (配位) 酸 碱 (配位) (7) BrF 3＋F －＝[BrF 4]－ (8) (CH 3)2CO ＋ I 2 ＝(CH 3)2COI 2 酸 碱 (配位) 酸 碱 (配位) 6 根据弱硬酸碱原理，判断下列化合物哪些易溶于水? P H HO HO P OH HO HO 量子力学课后习题详解 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -?=πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)() (5 -?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλ λλρλ ρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ ? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ 数据库原理及应用第二版习题答案课后习题集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN] 第1章数据库概述 1．试说明数据、数据库、数据库管理系统和数据库系统的概念。 答：数据是描述事物的符号记录，是数据库中存储的基本对象。数据库是存放数据的仓库，是长期存储在计算机中的有组织的、可共享的大量数据的集合。数据库管理系统是一个专门用于实现对数据进行管理和维护的系统软件。数据库系统是指在计算机中引入数据库后的系统，一般由数据库、数据库管理系统（及相关的实用工具）、应用程序、数据库管理员组成。 2．数据管理技术的发展主要经历了哪几个阶段 答：数据管理技术的发展主要经历了文件管理和数据库管理两个阶段。 3．与文件管理相比，数据库管理有哪些优点 答：将相互关联的数据集成在一起，具有较少的数据冗余，程序与数据相互独立，保证数据的安全可靠，最大限度地保证数据的正确性，数据可以共享并能保证数据的一致性。 4．在数据库管理方式中，应用程序是否需要关心数据的存储位置和存储结构为什么 答：不需要。因为在数据库系统中，数据的存储位置以及存储结构保存在数据库管理系统中，从数据到物理存储位置的转换是由数据库管理系统自动完成的。 5．在数据库系统中，数据库的作用是什么 答：在数据库系统中，数据库是存放数据的场所。 6．在数据库系统中，应用程序可以不通过数据库管理系统而直接访问数据文件吗 答：不能。 7．数据独立性指的是什么它能带来哪些好处 答：数据独立性指的是数据的逻辑独立性和物理独立性。逻辑独立性带来的好处是当表达现实世界信息的逻辑结构发生变化时，可以不影响应用程序；物理独立性带来的好处是当数据的存储结构发生变化时，可以不影响数据的逻辑组织结构，从而也不影响应用程序。 8．数据库系统由哪几部分组成，每一部分在数据库系统中的作用大致是什么 答：数据库系统由四个主要部分组成，即数据库、数据库管理系统、应用程序和系统管理员。数据库是数据的汇集，它以一定的组织形式存于存储介质上；数据库管理系统是管理数据库的系统软件，它可以实现数据库系统的各种功能；系统管理员负责数据库的规划、设计、协调、维护和管理等工作；应用程序指以数据库数据为核心的应用程序。 第2章数据模型与数据库结构 1．解释数据模型的概念，为什么要将数据模型分成两个层次 答：数据模型是对现实世界数据特征的抽象。数据模型一般要满足三个条件：第一是数据模型要能够比较真实地模拟现实世界；第二是数据模型要容易被人们理解；第三是数据模型要能够很方便地在计算机上实现。 由于用一种模型同时很好地满足这三方面的要求在目前是比较困难的，因此在数据库系统中就可以针对不同的使用对象和应用目的，采用不同的数据模型。根据模型应用的不同目的，将这些模型分为概念层数据模型和组织层数据模型两大类，以方便对信息的描述。 2．概念层数据模型和组织层数据模型分别是针对什么进行的抽象 答：概念层数据模型是对现实世界的抽象，形成信息世界模型，组织层数据模型是对信息世界进行抽象和转换，形成具体的DBMS支持的数据组织模型。 3．实体之间的联系有哪几种请为每一种联系举出一个例子。 答：实体之间的联系有一对一、一对多和多对多三种。例如：系和正系主任是一对一联系（假设一个系只有一名正系主任），系和教师是一对多联系（假设一名教师只在一个系工作），教师和课程是多对多联系（假设一名教师可以讲授多门课程，一门课程可由多名教师讲授）。 2011年课程考试复习题及参考答案 工程力学 一、填空题： 1.受力后几何形状和尺寸均保持不变的物体称为。 2.构件抵抗的能力称为强度。 3.圆轴扭转时，横截面上各点的切应力与其到圆心的距离成比。 4.梁上作用着均布载荷，该段梁上的弯矩图为。 5.偏心压缩为的组合变形。 6.柔索的约束反力沿离开物体。 7.构件保持的能力称为稳定性。 8.力对轴之矩在情况下为零。 9.梁的中性层与横截面的交线称为。 10.图所示点的应力状态，其最大切应力是。 11.物体在外力作用下产生两种效应分别是。 12.外力解除后可消失的变形，称为。 13.力偶对任意点之矩都。 14.阶梯杆受力如图所示，设AB和BC段的横截面面积分别为2A和A，弹性模量为E，则杆中最大 正应力为。 15.梁上作用集中力处，其剪力图在该位置有。 16.光滑接触面约束的约束力沿指向物体。 17.外力解除后不能消失的变形，称为。 18.平面任意力系平衡方程的三矩式，只有满足三个矩心的条件时，才能成为力 系平衡的充要条件。 19.图所示，梁最大拉应力的位置在点处。 20.图所示点的应力状态，已知材料的许用正应力[σ]，其第三强度理论的强度条件是。 21.物体相对于地球处于静止或匀速直线运动状态，称为。 22.在截面突变的位置存在集中现象。 23.梁上作用集中力偶位置处，其弯矩图在该位置有。 24.图所示点的应力状态，已知材料的许用正应力[σ]，其第三强度理论的强度条件是。 25.临界应力的欧拉公式只适用于杆。 26.只受两个力作用而处于平衡状态的构件，称为。 27.作用力与反作用力的关系是。 28.平面任意力系向一点简化的结果的三种情形是。 29.阶梯杆受力如图所示，设AB和BC段的横截面面积分别为2A和A，弹性模量为E，则截面C 的位移为。 30.若一段梁上作用着均布载荷，则这段梁上的剪力图为。 二、计算题： 1.梁结构尺寸、受力如图所示，不计梁重，已知q=10kN/m，M=10kN·m，求A、B、C处的约束力。 2.铸铁T梁的载荷及横截面尺寸如图所示，C为截面形心。已知I z=60125000mm4，y C=157.5mm，材料许用压应力[σc]=160MPa，许用拉应力[σt]=40MPa。试求：①画梁的剪力图、弯矩图。②按正应力强度条件校核梁的强度。 3.传动轴如图所示。已知F r=2KN，F t=5KN，M=1KN·m，l=600mm，齿轮直径D=400mm，轴的[σ]=100MPa。试求：①力偶M的大小；②作AB轴各基本变形的内力图。③用第三强度理论设计轴AB 的直径d。 4.图示外伸梁由铸铁制成，截面形状如图示。已知I z=4500cm4，y1=7.14cm，y2=12.86cm，材料许用压应力[σc]=120MPa，许用拉应力[σt]=35MPa，a=1m。试求：①画梁的剪力图、弯矩图。②按正应力强度条件确定梁截荷P。 教材：《汇编语言》 检测点1.1 （1）1个CPU的寻址能力为8KB，那么它的地址总线的宽度为 13位。 （2）1KB的存储器有 1024 个存储单元，存储单元的编号从 0 到 1023 。 （3）1KB的存储器可以存储 8192（2^13）个bit， 1024个Byte。 （4）1GB是 1073741824 （2^30）个Byte、1MB是 1048576（2^20）个Byte、1KB是 1024（2^10）个Byte。 （5）8080、8088、80296、80386的地址总线宽度分别为16根、20根、24根、32根，则它们的寻址能力分别为: 64 （KB）、 1 （MB）、 16 （MB）、 4 （GB）。 （6）8080、8088、8086、80286、80386的数据总线宽度分别为8根、8根、16根、16根、32根。则它们一次可以传送的数据为: 1 （B）、 1 （B）、 2 （B）、 2 （B）、 4 （B）。 （7）从内存中读取1024字节的数据，8086至少要读 512 次，80386至少要读 256 次。 （8）在存储器中，数据和程序以二进制形式存放。 解题过程： （1）1KB=1024B，8KB=1024B*8=2^N，N=13。 （2）存储器的容量是以字节为最小单位来计算的，1KB=1024B。 （3）8Bit=1Byte，1024Byte=1KB（1KB=1024B=1024B*8Bit）。 （4）1GB=1073741824B（即2^30）1MB=1048576B（即2^20）1KB=1024B（即2^10）。 （5）一个CPU有N根地址线，则可以说这个CPU的地址总线的宽度为N。这样的CPU最多可以寻找2的N 次方个内存单元。（一个内存单元=1Byte）。 （6）8根数据总线一次可以传送8位二进制数据（即一个字节）。 （7）8086的数据总线宽度为16根（即一次传送的数据为2B）1024B/2B=512，同理1024B/4B=256。（8）在存储器中指令和数据没有任何区别，都是二进制信息。 检测点 2.1 (1) 写出每条汇编指令执行后相关寄存器中的值。 mov ax,62627 AX=F4A3H mov ah,31H AX=31A3H mov al,23H AX=3123H add ax,ax AX=6246H mov bx,826CH BX=826CH mov cx,ax CX=6246H mov ax,bx AX=826CH add ax,bx AX=04D8H mov al,bh AX=0482H mov ah,bl AX=6C82H add ah,ah AX=D882H add al,6 AX=D888H add al,al AX=D810H mov ax,cx AX=6246H Microsoft(R) Windows DOS《工程力学》课后习题解答48128
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