不等式的证明
题型预测
证明不等式的基本方法有：求差（商）比较法，综合法，分析法，有时用反证法，数学归纳法．均值定理、适度的放缩、恰当的换元是证明不等式的重要技巧． 不等式的证明往往与其它知识（如函数的性质）综合起来考查．
范例选讲
例1 已知2>a ，求证：()()1log log 1+>-a a a a 讲解： 可以用比较法： 解1 ()()()
()1log 1log 1
1log log 1+--=
+--a a a a a a a a
()()()()
()
1log 1log 1log 1-+?--=
a a a a a a ．
因为2>a ，所以，()()01log ,01log >+>-a a a a ，所以，
()()()()()()()[][]
1
4
log
4
1
log 21log 1log 1log 1log 2
22
2
2
=<-=
??
?
???++-≤+?-a
a
a a a a a
a
a a a a
所以，()()01log log 1>+--a a a a ，命题得证．
解2 因为2>a ，所以，()()01log ,01log >+>-a a a a ，所以，
()()
()()
()()()()1log 1log 1
1log 1log 11log log 1+?-=
-+=
+-a a a a a a a a a a a a ， 由解1可知：上式>1．故命题得证．
点评：比较法是证明不等式的基本思路．
例2 证明不等式：n n
213
12
11<+
++
+
，()N n ∈
讲解：此题为与自然数有关的命题，故可考虑用数学归纳法证明．
解1 ①1=n 时，不等式的左端=1，右端=2，显然1<2， 所以，1=n 时命题成立．
②假设()N k k n ∈=时命题成立，即：k k
213
12
11<+
++
+ ．
则当1+=k n 时， 不等式的左端1
113
12
11++
+
++
+
=k k
1
12++
不等式的右端12+=k ． 由于12+k ???? ??++ -11 2k k =() 11 12+--+k k k 1112+- ++= k k k 01 1 112 =+- +++> k k k ． 所以，1 12++ k k 12+ 由①②可知：原不等式得证． 从上述证法可以看出：其中用到了1+ k k ++12和 1 1+k 之间的转化，也即( ) k k -+12 和 1 1+k 之间的转化，这就提示我们，本题是否 可以直接利用这一关系进行放缩？ 观察原不等式，如果希望直接证明，需要把左端进行化简，直接化简是不可能的，但如果利用 () 121 21--=-+< k k k k k 进行放缩，则可以达到目的，由此得解2． 解2 因为对于任意自然数k ，都有() 121 21--=-+ ，所以， ()()()() n n n n 21223212201213 12 11=--++-+-+-<+ ++ + 从而不等式得证． 点评：放缩法是一种证明的技巧，要想用好它，必须有目标，目标可以从要证的结论中考察．如本题中注意到所要求证的式子左右两端的差异，以及希望把左式化简的目标． 例3 设()()fx a x b xc a =++≠2 ，若()f 01≤，()f 11≤，()f －11≤, 试证明：对于任意-≤≤11 x ，有()f x ≤5 4 . 讲解：要研究这个二次函数的性质，最好的办法是能够确定其解析式．本题中，所给条件并不足以确定参数c b a ,,的值，但应该注意到：所要求的结论也不是()x f 的确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可以把()f 01≤，()f 11≤和()f －11≤当成两个独立条件，先用()()0,1f f -和()1f 来表示c b a ,,. ∵ ()()()c f c b a f c b a f =++=+-=-0,1,1, ∴ ()()()()0)),1()1((2 1 ),0211(21f c f f b f f f a =--=--+= , ∴ ()()()()()2 22102121x f x x f x x f x f -+? ?? ? ??--+???? ??+=. ∴ 当11≤≤-x 时，2 x x ≥，所以，根据绝对值不等式的性质可得： 2222x x x x +≤+，2 222x x x x -= -，2 211x x -=- ∴ ()()()()222102 121x f x x f x x f x f -?+-?-++?≤ 22212 2x x x x x -+-++≤ )1(2222 2x x x x x -+??? ? ??-+???? ??+≤ . 4 545)21(122 ≤+--=++-=x x x 综上，问题获证. 点评：用好绝对值不等式及其等号成立的条件，常常可以简化问题，避免讨论．
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