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课时分层作业三十二
等比数列及其前n项和
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2018·重庆模拟)已知各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n,且S3=14,a3=8,则a6= ( )
A.16
B.32
C.64
D.128
【解析】选C.由题意得,等比数列的公比为q,由S3=14,a3=8,则
解得a1=2,q=2,所以a6=a1q5=2×25=64,故选C.
2.(2017·全国卷Ⅲ)等差数列{a n}的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则{a n}前6项的和为 ( )
A.-24
B.-3
C.3
D.8
【解析】选 A.设等差数列的公差为d,d≠0,=a2·a6,即(1+2d)2=(1+d)(1+5d),
d2=-2d(d≠0),所以d=-2,所以S6=6×1+×(-2)=-24.
3.(2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯世纪金榜导学号12560576 ( )
A.1盏
B.3盏
C.5盏
D.9盏
【解析】选B.设塔的顶层共有灯x盏,则各层的灯数构成一个公比为2的等比数列,由=381可得x=3.
4.(2018·临沂模拟)已知等比数列{a n}的前n项和为S n=a·2n-1+,则a的值为
( )
A.-
B.
C.-
D.
【解析】选A.当n≥2时,a n=S n-S n-1=a·2n-1-a·2n-2=a·2n-2,当n=1时,a1=S1=a+,又因为{a n}是等比数列,所以a+=,所以a=-.
5.在公比为的等比数列{a n}中,若sin(a1a4)=,则cos(a2a5)的值是
( )
A.-
B.
C.
D.
【解析】选 B.由等比数列的通项公式可知
a2a5=(a1a4)q2=2(a1a4),cos(a2a5)=1-
2sin2(a1a4)=1-2×=.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2017·北京高考)若等差数列{a n}和等比数列{b n}满足
a1=b1=-1,a4=b4=8,则=______.
【解析】设等差数列{a n}的公差为d,等比数列{b n}的公比为q.由题意得-1+3d=
-q3=8?d=3,q=-2?==1.
答案:1
7.已知数列{a n}是等比数列,a2=2,a5=,则a1a2a3+a2a3a4+…+a n a n+1a n+2=________.
【解析】设数列{a n}的公比为q,则q3==,解得q=,a1==4.易知数列{a n a n+1a n+2}是首项为a1a2a3=4×2×1=8,公比为q3=的等比
数列,所以a1a2a3+a2a3a4+…+a n a n+1a n+2==(1-2-3n).
答案:(1-2-3n)
8.(2015·湖南高考)设S n为等比数列的前n项和,若a1=1且3S1,2S2,S3成等差数列,则a n=__________.
【解题指南】由3S1,2S2,S3成等差数列,可求得公比q=3,然后求a n. 【解析】因为3S1,2S2,S3成等差数列,
所以2×2(a1+a2)=3a1+a1+a2+a3?a3=3a2?q=3,
所以a n=a1q n-1=3n-1.
答案:3n-1
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.(2018·烟台模拟)已知等差数列{a n}中,a1=1,且a1,a2,a4+2成等比数列.
(1)求数列{a n}的通项公式及其前n项和S n.
(2)设b n=,求数列{b n}的前2n项和T2n.
【解析】(1)设等差数列{a n}的公差为d,因为a1=1,且a1,a2,a4+2成等比数列.所以=a1·(a4+2),
即(1+d)2=1×(1+3d+2),解得d=2或-1.
其中d=-1时,a2=0,舍去.
所以d=2,可得a n=1+2(n-1)=2n-1.
S n==n2.
(2)b n==.
所以当n为偶数时,==16.当n为奇数时,==.
所以数列{b n}的奇数项是以为首项,为公比的等比数列;偶数项是以8为首项,16为公比的等比数列.
所以数列{b n}的前2n项和T2n=(b1+b3+…+b2n-1)+(b2+b4+…
+b2n)=+=(16n-16-n).
10.(2015·广东高考改编)设数列{a n}的前n项和为S n,n∈N*.已知a1=1,a2=,a3=,且当n≥2时,4S n+2+5S n=8S n+1+S n-1.
(1)求a4的值.
(2)证明:为等比数列.
【解析】(1)当n=2时,4S4+5S2=8S3+S1,
即4+5
=8+1,解得a4=.
(2)由4S n+2+5S n=8S n+1+S n-1(n≥2),
4S n+2-4S n+1+S n-S n-1=4S n+1-4S n(n≥2),
即4a n+2+a n=4a n+1(n≥2).
因为4a3+a1=4×+1=6=4a2,
所以4a n+2+a n=4a n+1,
所以=
===,
所以数列是以a2-a1=1为首项,为公比的等比数列.
1.(5分)(2018·福州模拟)已知数列{a n}满足log3a n+1=log3a n+1(n∈N*),且a2+a4+a6=9,则lo(a5+a7+a9)的值是( )
A.-5
B.-
C.5
D.
【解析】选A.因为log3a n+1=log3a n+1,所以a n+1=3a n.
所以数列{a n}是公比q=3的等比数列,
所以a2+a4+a6=a2(1+q2+q4)=9.
所以a5+a7+a9=a5(1+q2+q4)=a2q3(1+q2+q4)=35.
所以lo35=-5.
【变式备选】等比数列{a n}满足a n>0,n∈N*,且a3·a2n-3=22n(n≥2),则当n≥1时,log2a1+log2a2+…+log2a2n-1=________.
【解析】由等比数列的性质,得a3·a2n-3==22n,从而得a n=2n.所以log2a1+log2a2+…+log2a2n-1=log2[(a1a2n-1)·(a2a2n-2)·…·(a n-1a n+1)a n]=log22n(2n-1)=n(2 n-1)=2n2-n.
答案:2n2-n
2.(5分)已知数列{a n}为等比数列,若a4+a6=10,则a7(a1+2a3)+a3a9的值为( )
A.10
B.20
C.100
D.200
【解析】选
C.a7(a1+2a3)+a3a9=a7a1+2a7a3+a3a9=+2a4a6+=(a4+a6)2=1 02=100.
3.(5分)(2016·全国卷Ⅰ)设等比数列{a n}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…a n的最大值为________.
【解析】由于{a n}是等比数列,设a n=a1q n-1,其中a1是首项,q是公比.
所以?
解得:
故a n=,
所以a1·a2·…·a n=
==.
当n=3或4时,取到最小值-6,
此时取到最大值26=64.
所以a1·a2·…·a n的最大值为64.
答案:64
4.(12分)(2016·全国卷Ⅲ)已知数列{a n}的前n项和S n=1+λa n,其中λ≠0.
(1)证明{a n}是等比数列,并求其通项公式.
(2)若S5=,求λ.
【解析】(1)由题意得a1=S1=1+λa1,故a1=,
由S n=1+λa n,S n+1=1+λa n+1得a n+1=λa n+1-λa n,所以=,
因此数列{a n}是以a1=为首项,以为公比的等比数列,a n=.
(2)由(1)得S n=1-,又因为S5=,
所以=1-,即=,解得λ=-1.
5.(13分)(2018·郑州模拟)已知数列{a n}满足a1=5,a2=5,a n+1=a n+6a n-1(n≥2).
(1)求证:{a n+1+2a n}是等比数列.
(2)求数列{a n}的通项公式.
【解析】(1)因为a n+1=a n+6a n-1(n≥2),
所以a n+1+2a n=3a n+6a n-1=3(a n+2a n-1)(n≥2).
因为a1=5,a2=5,
所以a2+2a1=15,
所以a n+2a n-1≠0(n≥2),
所以=3(n≥2),
所以数列{a n+1+2a n}是以15为首项,3为公比的等比数列.
(2)由(1)得a n+1+2a n=15×3n-1=5×3n,
则a n+1=-2a n+5×3n,
所以a n+1-3n+1=-2(a n-3n).
又因为a1-3=2,所以a n-3n≠0,
所以{a n-3n}是以2为首项,-2为公比的等比数列.
所以a n-3n=2×(-2)n-1,
即a n=2×(-2)n-1+3n.
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