最新名校2020高考解析几何大题四(4.4日)
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
解析几何大题四(范围最值)
1.已知,Q R 是椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左右顶点,P 点为椭圆C 上一点,点P 关于
x 轴的对称点为H ,且1
2
PQ RH k k ?=
. (1)若椭圆C 经过圆22(1)4x y +-=的圆心,求椭圆C 的方程;
(2)在(1)的条件下,若过点(2,0)M 的直线与椭圆C 相交于不同的,A B 两点,设P 为椭圆C 上一点,且满足OA OB tOP +=(O
为坐标原点),当||AB 2.已知椭圆E : 的一个焦点为 ,长轴与短轴的比为2:1.直线l : y =kx +m 与椭圆E 交于P 、Q 两点,其中k 为直线l 的斜率. (Ⅰ)求椭圆E 的方程; (Ⅱ)若以线段PQ 为直径的圆过坐标原点O ,问:是否存在一个以坐标原点O 为圆心的定圆O ,不论直线l 的斜率k 取何值,定圆O 恒与直线l 相切?如果存在,求出圆O 的方程及实数m 的取值范围;如果不存在,请说明理由. 3.椭圆C 的中心在坐标原点,焦点F 1,F 2在x 轴上,过坐标原点的直线l 交C 于P ,Q 两点,|PF 1|+|QF 2|=4,△PQF 1面积的最大值为2. (1)求椭圆C 的方程; (2)M 是椭圆上与P ,Q 不重合的一点,证明:直线MP ,MQ 的斜率之积为定值; (3)当点P 在第一象限时,PE ⊥x 轴,垂足为E ,连接QE 并延长交C 于点G ,求△PQG 的面积的最大值. 4.已知椭圆()2222:1,0x y C a b a b +=>>的两个焦点1F ,2F ,2ABF ?的周长 等于A 、B 在椭圆上,且1F 在AB 边上. (1)求椭圆C 的标准方程; (2)如图,过圆22:4O x y +=上任意一点P 作椭圆的两条切线PM 和PN 与圆O 交与点 M 、N ,求PMN ?面积的最大值. 5.已知椭圆C 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,离心率为 1 2 ,椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3. (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程; (Ⅱ)若过点(0,)P m 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点,A B ,且3AP PB =,求实数m 的取值范围. 6.已知椭圆C 1: + =1(a >b >0)的离心率为 ,右焦点F 是抛物线C 2:y 2=2px (p >0) 的焦点,点(2,4)在抛物线C 2上. (1)求椭圆C 1的方程; (2)已知斜率为k 的直线l 交椭圆C 1于A ,B 两点,M (0,2),直线AM 与BM 的斜率乘积为﹣,若在椭圆上存在点N ,使|AN |=|BN |,求△ABN 的面积的最小值. 7.已知椭圆O:+=1(a>b>0)过点(,﹣),A(x0,y0)(x0y0≠0),其上顶点到直 线x+y+3=0的距离为2,过点A的直线l与x,y轴的交点分别为M、N,且=2. (1)证明:|MN|为定值; (2)如图所示,若A,C关于原点对称,B,D关于原点对称,且=λ,求四边形ABCD面积的最大值. 解析大题四答案 1.(1) 2 212x y +=(2 )23 t -<<- 或23t << (1)设(,)P x y ,因为(,0),(,0)Q a R a -,则点P 关于x 轴的对称点(,)H x y -. PQ y k x a =+,RH y k a x =-,又由椭圆的方程得()222222 221x b y b a x a a ??=-=- ???, 所以222 221 2 PQ RH y b k k a x a ?===-, 又椭圆C 过圆22(1)4x y +-=的圆心(0,1), 所以22a =,2 1b =,所以椭圆C 的标准方程为2212 x y +=; (2)由题意可知直线AB 的斜率存在,设:(2)AB y k x =-,()11,A x y ,()22,B x y , ()00,P x y 由22 (2)12 y k x x y =-???+=??得:()2222128820k x k x k +-+-=由()()422 64421820k k k ?=-+->,得:2 1(*)2k < 2122812k x x k ∴+=+,212282 12k x x k -=+ . ||3 AB < , 123x -=< ()()4222226482201412912k k k k k ??-??∴+-??++?? ,214k ∴>,结合(*)得:2 1142k <<. OA OB tOP +=,()()121200,,x x y y t x y ∴++=. 从而() 2 1202812x x k x t t k +==+,()() 12012214412y y k y k x x k t t t k +-==+-=????+. ∵点P 在椭圆上,()()22 222 84221212k k t k t k ????-????∴+=++???????? , 整理得:()2221612k t k =+即2 2 8812t k =- +,2 843t ∴< <, 2t ∴-< <2t <<. 2.解:(I )c = ,2a :2b =2:1,a 2=b 2+c 2. 解得:a =2,b =1,∴椭圆E 的方程为 . (II )解法一:假设存在定圆O ,不论直线l 的斜率k 取何值时,定圆O 恒与直线l 相切. 这时,只需证明坐标原点O 到直线l 的距离为定值即可. 设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),联立方程,消去y 整理得:(4+k 2)x 2+2kmx +m 2﹣4=0, △=(2km )2﹣4(4+k 2)(m 2﹣4)>0,得:k 2﹣m 2+4>0,① , ∵以线段PQ 为直径的圆过坐标原点O , ∴ , ∴ .化简得:4k 2=5m 2﹣4,② 此时,坐标原点O 到直线l 距离d 为: . 由坐标原点O 到直线l 的距离为定值知,所以存在定圆O ,不论直线l 的斜率k 取何值 时,定圆O 恒与直线l 相切,定圆O 的方程为:. 得m 的取值范围是. 解法二: 假设存在定圆O ,不论直线l 的斜率k 取何值时,定圆O 恒与直线l 相切. 这时,只需证明坐标原点O 到直线l 的距离为定值即可. 设直线OP 的方程为:y =tx ,P 点的坐标为(x 0,y 0),则y 0=tx 0, 联立方程组∴,①∵以线段PQ为直径的圆过坐标原点O,∴OP⊥OQ,直线OQ的方程为:. ∴在①式中以换t,得……② 又由OP⊥OQ知: 设坐标原点O到直线l的距离为d,则有|PQ|d=|OP||OQ|, ∴. 又当直线OP与y轴重合时,P(0,±2),Q(±1,0)此时. 由坐标原点O到直线l的距离为定值知,所以存在定圆O,不论直线l的斜率k取何值时,定圆O恒与直线l相切,定圆O的方程为:. 直线l与y轴交点为(0,m),且点(0,m)不可能在圆O内,又当k=0时,直线l与定圆O切于点,所以m的取值范围是. 3.解:(1)因为这些l过坐标原点,又椭圆关于原点对称,所以PF1∥QF2且PF1=QF2,∴四边形F1QF2P是平行四边形,三角形PQF1的面积等于三角形PF1F2,由题意得当三角形PQF1,即三角形PF1F2,最大时则P在椭圆的短轴的顶点处,所以由|PF1|+|QF2|=4可得2PF1=4,∴PF1=2即这时:a2=b2+c2=4,且=2,所以a2=4,b2=2, 所以椭圆C的方程:=1; (2)设P(x',y'),Q(x,y),x'=﹣x,y'=﹣y,M(m,n),k PM=,k QM==,∴k PM?k QM==﹣; (3)设直线PQ的方程:y=kx(k>0),由题意得:E(x,y),k GQ=k QE===,由(2)得,k PG=﹣,∴PG⊥PQ,即△PQG时直角三角形, 联立直线PQ与椭圆方程整理得:(1+2k2)x2=4,解得:x'=,y'=,则直线PG:y=﹣(x﹣x')+y'=﹣x+x'+kx'=﹣x+x', 联立直线PG与椭圆的方程整理得:(1+)x2﹣x+﹣4=0∴x'+m=, S△PQG=y'(x'+m)=kx'?==, 令t=k+≥2,∴S△PQG==,∵(2t+)min=, ∴S△PQG的最大值为. 4.(1) 2 21 3 x y +=;(2)PMN S ? 最大值为4 . (1) 2ABF ? 的周长等于A 、B 在椭圆上,且1F 在AB 边上. ∴4a = ,即a = 离心率3 c e a == ∴c =222321b a c =-=-= ∴椭圆C 的标准方程为:2 213 x y += (2)设(),p p P x y ,则224p p x y += 当两条切线中有一条切线的斜率不存在时,即p x =,1p y =±, 则另一条切线的斜率为0,从而PM PN ⊥ . 11 222 PMN S PM PN ?=?=??= 当切线斜率都存在,即p x ≠P 的椭圆的切线方程为()p p y y k x x -=- 则() 22 13p p y y k x x x y ?-=-??+=? ? ,即()()()222 316330p p p p k x k y kx x y kx ++-+--= 则()() ()2226431330p p p p k y kx k y kx ?????=--+--=?????? 即()222 3210p p p p x k x y k y -++-= 设切线PM 和PN 的斜率分别是1k ,2k . 则1k ,2k 为方程()222 3210p p p p x k x y k y -++-=的两根 即()222122 2 2 14131333p p p p p p x y x k k x x x ----+= = = =----从而PM PN ⊥,则线段MN 为圆O 直径, 4MN = () 222 211111442224 4PMN S PM PN PM PN MN ???= ?≤+==?=???? 当且仅当PM PN =时,等号成立,PMN S ?取得最大值为4.综上所述,PMN S ?取得最大值为4. 5.(Ⅰ)22143x y += ;(Ⅱ)3 ([,3). (Ⅱ )若过点(0,)P m 的斜率不存在,则m =. 若过点(0,)P m 的直线斜率为k ,即2 ≠±m 时,直线AB 的方程为y m kx -=. 由22222 {(34)841203412 y kx m k x kmx m x y =+?+++-=+=. 于是2222644(34)(412)m k k m ?=-+-. 因为AB 和椭圆C 交于不同两点,所以>0?,22430k m -+>,所以2243k m >-.① 设1122(,),(,)A x y B x y .由已知3AP PB =,则2121222 8412 ,3434km m x x x x k k -+=-=++.② 1122(,),(,)AP x m y PB x y m =--=-, 所以123x x -=③ 将③代入②, 得2222 4412 3()3434km m k k --=++.整理得22221612390m k k m -+-=. 所以222931612m k m -=-, 代入①式, 得22 22 934343 m k m m -=>--. 即222 4(3)043m m m -<-,解得2 334m < <.所以 2m <<- 2 m < < 综上可得,实数 m 的取值范围为3 ([,3)22 -. 6.解:(1)∵点(2,4)在抛物线y 2=2px 上, ∴16=4p ,解得p =4,∴椭圆的右焦点为F (2,0),∴c =2, ∵椭圆C 1: + =1(a >b >0)的离心率为 , ∴=,∴a =2 ,∴b 2=a 2﹣c 2=8﹣4=4,∴椭圆C 1的方程为 + =1, (2)设直线l 的方程为y =kx +m ,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 由 ,消y 可得(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2﹣8=0, ∴x 1+x 2=,x 1x 2= , ∴y 1+y 2=k (x 1+x 2)+2m = ,y 1y 2=k 2x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2= ∵M (0,2),直线AM 与BM 的斜率乘积为﹣, ∴k 1?k 2=?== =﹣, 解得m =0, ∴直线l 的方程为y =kx ,线段AB 的中点为坐标原点, 由弦长公式可得|AB|==, ∵|AN|=|BN|,∴ON垂直平分线段AB, 当k≠0时,设直线ON的方程为y=﹣x, 同理可得|ON|==, ∴S△ABN=|ON|?|AB|=8, 当k=0时,△ABN的面积也适合上式, 令t=k2+1,t≥1,0<≤1, 则S△ABN=8=8=8, ∴当=时,即k=±1时,S△ABN的最小值为. 7.(1)证明:其上顶点(0,b)到直线x+y+3=0的距离为2,∴,解得b=1.又椭圆O:+=1(a>b>0)过点(,﹣),∴=1,解得a2=4. ∴椭圆的标准方程为:=1.点A在椭圆上,∴=1. 设经过点A的直线方程为:y﹣y0=k(x﹣x0), 可得M,N(0,y0﹣kx0). ∵=2,∴﹣x0=,即k=﹣. ∴|MN|===3为定值.(2)解:①k≠±,0.由(1)可得:k=﹣. ∵=λ,∴k OB=k≠0,k≠±. ∴==﹣2.∴k OA=﹣k. 联立,化为:x2=,y2=, 可得:|OB|2=. 联立,解得x2=,y2=,∴|OA|2=. 设∠AOx=α,∠BOx=β.∴tan∠BOA=tan(β﹣α)==. 设S四边形ABCD=S. sin2∠BOA===. S2=16××|OA|2?|OB|2×sin2∠BOA=4×××==≤16. ∴S≤4,当且仅当k2=时取等号. ②k=±时,OA⊥OB,可得S2=4××==<16,∴S<4.综上可得:S的最大值为4. 高考大题之解析几何 1.如图,椭圆C :22221x y a b +=(a >b >0)的离心率e =3 5 ,左焦点为F ,A ,B ,C 为其三个顶 点,直线CF 与AB 交于点D ,若△ADC 的面积为15. (Ⅰ)求椭圆C 的方程; (Ⅱ)是否存在分别以AD ,AC 为弦的两个相外切的等圆? 若存在,求出这两个圆的圆心坐标;若不存在,请说明理由. 解:(Ⅰ)设左焦点F 的坐标为(-c ,0),其中c =22a b -, ∵e = 35c a =,∴a =5 3 c ,b =43c . ∴A (0,43c ),B (-5 3c ,0),C (0,-43c ), ∴AB :33154x y c c -+=,CF :314x y c c --=, 联立解得D 点的坐标为(-54c ,1 3c ). ∵△ADC 的面积为15,∴12|x D |·|AC |=15,即12·54c ·2·4 3 c =15, 解得c =3,∴a =5,b =4,∴椭圆C 的方程为22 12516 x y +=. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,A 点的坐标为(0,4),D 点的坐标为(-15 4 ,1). 假设存在这样的两个圆M 与圆N ,其中AD 是圆M 的弦,AC 是圆N 的弦, 则点M 在线段AD 的垂直平分线上,点N 在线段AC 的垂直平分线y =0上. 当圆M 和圆N 是两个相外切的等圆时,一定有A ,M ,N 在一条直线上,且AM =AN . ∴M 、N 关于点A 对称,设M (x 1,y 1),则N (-x 1,8-y 1), 根据点N 在直线y =0上,∴y 1=8.∴M (x 1,8),N (-x 1,0), 而点M 在线段AD 的垂直平分线y -52=-54(x +158)上,可求得x 1=-251 40 . 故存在这样的两个圆,且这两个圆的圆心坐标分别为 M (-25140,8),N (25140 ,0). 2.如图,椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ,过点F 的直线交椭圆于B A ,两点, AF 的最大值为M ,BF 的最小值为m ,满足2 34 M m a ?= 。 (Ⅰ)若线段AB 垂直于x 轴时,3 2 AB = ,求椭圆的方程; (Ⅱ) 设线段AB 的中点为G ,AB 的垂直平分线与x 轴和y 轴分别交于E D ,两 解析几何大量精选 1.在直角坐标系xOy 中,点M 到点()1,0F ,) 2 ,0F 的距离之和是4,点M 的轨迹 是C 与x 轴的负半轴交于点A ,不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q . ⑴求轨迹C 的方程; ⑴当0AP AQ ?=u u u r u u u r 时,求k 与b 的关系,并证明直线l 过定点. 【解析】 ⑴ 2 214 x y +=. ⑴将y kx b =+代入曲线C 的方程, 整理得2 2 2 (14)8440k x kbx b +++-=, 因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q , 所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ?=-+-=-+> ① 设()11,P x y ,()22,Q x y ,则122 814kb x x k +=-+,21224414b x x k -= + ② 且2222 121212122 4()()()14b k y y kx b kx b k x x kb x x b k -?=++=+++=+, 显然,曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -, 所以()112,AP x y =+u u u r ,()222,AQ x y =+u u u r . 由0AP AQ ?=u u u r u u u r ,得1212(2)(2)0x x y y +++=. 将②、③代入上式,整理得22121650k kb b -+=. 所以(2)(65)0k b k b -?-=,即2b k =或6 5 b k =.经检验,都符合条件① 当2b k =时,直线l 的方程为2y kx k =+.显然,此时直线l 经过定点()2,0-点. 即直线l 经过点A ,与题意不符. 当65b k =时,直线l 的方程为6655y kx k k x ? ?=+=+ ?? ?. 显然,此时直线l 经过定点6,05?? - ??? 点,满足题意. 综上,k 与b 的关系是65b k =,且直线l 经过定点6,05?? - ??? 2. 已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为1 2 ,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的 圆与直线0x y -=相切. ⑴ 求椭圆C 的方程; ⑴ 设(4,0)P ,A ,B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点,连结PB 交椭圆C 于另一点E ,证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ; ⑴ 在⑴的条件下,过点Q 的直线与椭圆C 交于M ,N 两点,求OM ON ?u u u u r u u u r 的取值范围. 【解析】 ⑴22 143 x y +=. ⑴ 由题意知直线PB 的斜率存在,设直线PB 的方程为(4)y k x =-. 第8章 第1节 一、选择题 1.(2010·崇文区)“m =-2”是“直线(m +1)x +y -2=0与直线mx +(2m +2)y +1=0相互垂直”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] m =-2时,两直线-x +y -2=0、-2x -2y +1=0相互垂直;两直线相互垂直时,m(m +1)+2m +2=0,∴m =-1或-2,故选A. 2.(文)(2010·安徽文)过点(1,0)且与直线x -2y -2=0平行的直线方程是( ) A .x -2y -1=0 B .x -2y +1=0 C .2x +y -2=0 D .x +2y -1=0 [答案] A [解析] 解法1:所求直线斜率为12,过点(1,0),由点斜式得,y =12(x -1),即x -2y -1=0. 解法2:设所求直线方程为x -2y +b =0, ∵过点(1,0),∴b =-1,故选A. (理)设曲线y =ax2在点(1,a)处的切线与直线2x -y -6=0平行,则a =( ) A .1 B.12 C .-12 D .-1 [答案] A [解析] y′=2ax ,在(1,a)处切线的斜率为k =2a , 因为与直线2x -y -6=0平行,所以2a =2,解得a =1. 3.点(-1,1)关于直线x -y -1=0的对称点是( ) A .(-1,1) B .(1,-1) C .(-2,2) D .(2,-2) [答案] D [解析] 一般解法:设对称点为(x ,y),则2019高考大题之解析几何
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