探究抛物线的焦点弦问题数学设计
将乐县教师进修学校 郑志杰
教学目标：以抛物线的焦点弦问题为载体，通过数形结合、参数变化以及题设与结论
的逐步开放，从特殊到一般，探究抛物线焦点弦的变化规律。达到巩固知识、提高能力、激活思维、体验感悟和过程生成的目的。 教学重点：知识发生过程、知识建构过程。
教学难点：学生个体现有认知水平的差异、参与形式的全员性。 教学关键：情境创设、课堂生成与引导驾驭。 教学时数：1+1 教学过程： 1、知识回顾：
① 抛物线的定义 “到定点之距等于到定直线之距”；
② 标准方程的四种形式 如 px y 22= 焦点F(2p ，0) 准线x=－2
p
2、创设问题情景：
① 曲线与方程的转换关系（即代数与几何的转换） 如“离、切、交”；
② 引入问题 例 已知斜率为1的直线过抛物线
x y
42
=的焦点且与抛物线交于
A 、
B ，求线段AB 的长。 3、组织引导：
① 学生解答并在小组交流；
② 设问（疑）启迪 “求线段AB 的长一定要求出点A 、B 的坐标吗？”； ③ 自主探究（解法再次开放）
法一：方程组→A 、B 坐标→两点之距；
法二：用弦长公式
AB =
k
2
1+
x x x x 212
412)
(-+
法三：用抛物线的几何性质
AB =p x x ++21
④ 问题变换（条件开放） 实践、交流、探索
问题一：直线L 过抛物线x y 42
=的焦点且交于A 、B ，（如图）且x x 21+=6， 求AB 长。
问题二：直线L 过x y 42
=的焦点且交于A 、B ，（如图）且AB =8， 求x x 21+=？
问题三：若AB =8的线段在x y 42
=上移动，求x x 21+的最小值， （其中AB 不一定过F ）
问题四：若AB =L 的线段在x y 42
=上移动，求x x 21+的最小值。
⑤ 问题引深
⑴在问题一、二中，若A 1
、B 1
分别是A 、B 在准线上的射影，
则∠B A F 1
1
=090？
⑵过抛物线px y 22
= 焦点的一直线L 相交于点A 、B ，则21y y =－2p ？x x 21=？ ⑶在上题中，以AB 为直径的圆与准线是相交、相切、相离？ ⑷在上题中，若直线L 的倾斜角为θ，则θsin 2=2p ／AB ？ ⑸在⑵中，点A 、O 、B 1共线吗？BB 1
∥x 轴吗？
4、拓展思考：
① 在⑵中，其逆命题 即 若21y y =－2p ，问AB 过焦点吗？（过） ② 在⑸中，其逆命题 即 若BB 1
∥x 轴，问AB 1过焦点吗？（过）
5、小结与作业：
抛物线焦点弦问题实际上是几何图形变化中的不变问题，其研究的方法是借助代数的演绎法来证实各种可能的猜想。因此，数形结合、大胆猜想、严密推理就是我们学习解几要领悟的数学思想。（作业即4）
图一 图二 图三 注：“两线组”问题要强化，即
?0)42(2222=++-k x k x k ，并注意判别式及韦达定理。
2004年12月15日于将乐水中高二（4）