高二年级学生学业水平数学测试和详细答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合
题目要求的． 1.函数(
)f x =
( )
A ．[)1,-+∞
B ．(],1-∞-
C ．[)1,+∞
D ．(],1-∞
2.集合{a,b,c}的子集个数是( )
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
3.已知数列{}n a 满足111,n n a a a n +==+，则3a 的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
解：∵111,n n a a a n +==+，∴令n=1，1111112a a +=+=+=，令n=2，2122224a a +=+=+=. 4.经过点（3,0）且与直线250x y +-=平行的直线方程为（ ） A. 230x y --= B. 230x y +-= C. 260x y --= D. 260x y +-= 5. 函数sin 2y x =的一个单调区间是（ ）
A ．,44ππ??
-
???
? B ．,22ππ??
-
???
? C ．3,44ππ??
????
D ．3,22ππ??
?
??
? 6.做一个体积为32m 3，高为2m 的无盖长方体的纸盒，则用纸面积最小为 （ ）
A. 64m 2
B. 48m 2
C. 32m 2
D. 16m 2
7. 已知变量x y ,满足约束条件201010x y x y y ?--≥?
+-≤??+≥?
,,.则目标函数2z y x =-的最小值为（ ）
A ．5-
B ．4-
C ．3-
D ．2-
8.如图1所示，程序框图（算法流程图）输出的结果是 （ ）
A ．2
B ．4
C ．8
D ．16 9.关于x 的不等式2
2
20x ax a +-> 的解集中的一个元素为1，则实数a 的取值范围是（ ）
A. ()(),12,-∞-+∞
B.（-1,2）
C. ()1,1,2??
-∞-+∞ ???
D. （-1,12）
解：关于x 的不等式2
2
20x ax a +-> 的解集中的一个元素为1，
所
以()2120f a a =+->，2
20a a --<，-1 10.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是（0,0,0），（1,1,0），（1,0,1），（0,0,a ） (a <0)，画该四面体三视图中的正视图时，以xOz 平面为投影面，得到正视图的面积为2，则该四面体的体积是（ ） A. 13 B. 12 C. 1 D. 32 10.解：这个四面体是图中的O-MNP ，又以xOz 平面为投影面得到正视图是如图阴影的四边形ONQP ，它的面积为2，所以 ()11 1112,22 a ??+??-=解得3a =-。 四面体的体积是（M-OPN ）(△OPN 是底面，MQ 是高) =1111111332ODA S OD ??= ???? =11 31132 ???? 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 11.在△ABC 中，∠ABC=450，AC=2，BC=1，则sin ∠BAC 的值为 12.某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录用茎叶图表示（图2），则该赛季发挥更稳定的运动员是 .（填“甲”或“乙”） 13.已知向量(1,2),(3,4),AB AC == 则BC = （ ） . 14.已知[x]表示不超过实数x 的最大整数，g(x)=[x]，0 x 是函数 ()21 log f x x x =-的零点，则g(0x )的值等于 . 14解：函数()21log f x x x =-的零点1 x 的解，即函数 21 log ,y x y x ==与 交点的横坐标。画出函数2log ,y x =<2，又[x]表示不超过实数x 的最 大整数，g(0x )=[0x ]=1. 三、解答题：本大题共6小题，满分答应写出文字说明、演算步 骤和推证过程. 8 0 4 6 3 1 2 5 3 6 8 2 5 43 8 9 3 1 6 1 6 7 9 4 4 9 1 5 0乙甲图2 2x x A B 15.（本小题满分12分） 某中学高一年级新生有1000名，从这些新生中随机抽取100名学生作为样本测量其身高（单位：cm ）， （1）试估计高一年级新生中身高在[)175,180上的学生人数； （2）从样本中身高在区间[)170,180上的女生中任选2名，求恰好有一名身高在区间[)175,180上的概率. 解（1）∵样本中身高在[)175,180上的学生人数等于100（0.25+0.04+0.09+0.01）=39人， ∴估计高一年级新生中身高在[)175,180上的学生人数是391000 100 ?=390人， （2）样本中身高在区间[)170,180上的女生有100（0.04+0.01）=5人，分别记为1,2,3,4，其中身高在区间[)175,180上的女生有100×0.01=1人，记为5. 从这5人中选2人有10种不同选法。 其中恰好有一名身高在区间[)175,180上有4中， 所以恰好有一名身高在区间[)175,180上的概率是42105 P = =。 16. （本小题满分12分） 已知函数()sin cos ,6f x x x x R π? ?=-+∈ ?? ?. （1）求(0)f 的值； （2）若α是第四象限角，且 1 33 f πα? ?+ = ?? ? ，求tan α的值. 解（1）11(0)sin cos01622f π?? =-+=-+= ??? ， （ 2）∵1sin cos 3633f πππα αα? ? ?? ? ?+ =+++= ? ? ?? ???? ?， 2 3 4 5 1 4 5 4 5 3 2 3 4 54 5 3 5 2 5 5 1 即111cos cos cos 2 2223ααααα++-== ， 又α 是第四象限角，所以sin sin ,tan 3cos α ααα ==- ==-。 17. （本小题满分14分） 如图3，在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E,F 分别是A 1D 1,A 1A 的中点。 （1）求证：1//BC 平面CEF ； （2）在棱11A B 上是否存在点G ，使得EG CE ⊥？若存在，求1AG 的长度；若不存在，说明理由。 证明：（1）连接AD 1，∵AB //C 1D 1,∴ABC 1D 1是平行四边形，所以 11//BC AD ，又E,F 分别是A 1D 1,A 1A 的中点，所以1//EF AD ， 所以1//BC EF ，又BC 1在平面CEF 外，EF 在平面CEF 内，所以 1//BC 平面CEF 。 （2）设在棱11A B 上是否存在点G ，使得 EG CE ⊥，记1 AG =x ， 以A 1为坐标原点，A 1B 1为x 轴，A 1D 1为y 轴建立坐标系，则C 1（1,1），E(0，1 2 ),G(x,0),若1EG C E ⊥，则11EG C E k k ?=-， 1111221,104 x x - ?=-=--，当1 AG =14时，有 1EG C E ⊥。又CC 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，EG 在平面A 1B 1C 1D 1内，所以CC 1⊥EG ，又CC 1与1C E 相交于点C 1， CC 1与1C E 都在平面1CC E 内， 所以EG ⊥平面1CC E ，又CE 在平面1CC E 内，所以EG CE ⊥。所以当 1 AG =1 4 时，有EG CE ⊥。 18. （本小题满分14分） ,已知直线:l y kx =与圆()2 2 1:11C x y -+=相交于A,B 两点，圆2C 与圆1C 相外切，且与直线l 相切 图3 C A A 1 C 1 F D 1 A 1 B 1 E G 图3 A B A 1 C 1 D 于点(M 。 （1）求k 的值； （2）求AB 的长； （3）求圆2C 的方程。 解：（1）直线:l y kx =经过 点(M ，所 以 3,k k == 。 （2）圆()2 2 1:11C x y -+=的圆心为C 1（1,0），半径为1， 直线:,0l y x = =， 点C 1（1,0）到直线l 的距离等于1 2d =，所 以 AB == （3）方法1：过点M 作与直线l 垂直的直线/ l ，它的方程是)3y x - ，即y =+ 设圆2C 的圆心2 C (,a +，又C 1（1,0），圆2C 与圆1C 相外切，且与直线l 相切于点 (M 。所以1221C C MC =+, 1=+ 14a =或20a =， 对应的圆心（4,0），半径为2；圆心（0, ，半径为6； 所以圆2C 的方程为()2 2 44x y -+=或(2 236x y +-=。 方法2：设圆2C 的方程为()()()2 2 2 0x a y b r r -+-=> 则1222 1C C r MC r l MC ?=+?=? ?⊥? ，即 1..............(1)........(2)1......................(3)r r =+ = =-， 由（3）解得b =+2）得到 r =再把b 和r 代入（1 1= 解得14a =或20a =，对应的圆心（4,0），半径为2；圆心（0,，半径为6； 所以圆2C 的方程为()2 2 44x y -+=或(2 2 36x y +-=。 方法3：当圆2C 在直线l 的下方时，过点M 作与直线l 垂直的直线/ l ，过 1C 作直线l 的平行线与直线/ l 相 交于点P ，设圆2C 的半径为r 。∵C 1（1,0），圆2C 与圆1C 相外切，且与直线l 相切于点(M ，∴ OM = 1222 AB C P MN OM ==- == 222112C P C M PM C M C N r =-=-=-， 121C C r =+，在直角三角形1C 2C P 中，() 2 2 2 112r r ??+=+- ?? ???，解得r=2. 在直角三角形OM 2C 中，24OC = =，∴cos ∠MO 2C = ∴∠MO 2C =300，又直线l 的倾斜角为300，所以2C 在x 轴正半轴上，得2C （4,0）， 所以圆2C 的方程为()2 2 44x y -+=。 同理，当圆2C 在直线l 的上方时，过点M 作与直线l 垂直的直线/l ，过 1C 作直线l 的平行线与直线/ l 相 交于点P ，设圆2C 的半径为r 。∵C 1（1,0），圆2C 与圆1C 相外切，且与直线l 相切于点(M ，∴ OM = 12AB C P MN OM ==- ==222112C P C M PM C M C N r =+=+=+， 121C C r =+，在直角三角形1C 2C P 中，() 2 2 2 112r r ??+=++ ?? ???，解得r=6. 在直角三角形OM 2C 中，2OC = =cos ∠MO 2C 1 2 = ,∴∠MO 2C =600，又直线l 的倾斜角为300，所以2C 在y 轴正半轴上，得2C （0,， 所以圆2C 的方程为(2 2 36x y +-=。 所以圆2C 的方程为()2 2 44x y -+=或(2 2 36x y +-=。 19. （本小题满分14分） 设数列{}n a 是等比数列，对任意* n N ∈，()12335...21n n T a a a n a =++++-，已知11T =，27T =。 （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求使得()1260n n T T +<+成立的最大正整数n 的值。 （2）()()2112335...2113252...212n n n T a a a n a n -=++++-=+?+?++-?。。。。。。① ()()2312123252...232212n n n T n n -=?+?+?++-?+-?。。。。。。② ①-②: ()()1 2 3 1 42221222222 (22) 212121212 n n n n n T n n ---??-=+?+?+?++?--?=+--?- ()3223n n =-?-，所以()2323n n T n =-?+。【这是错位相减法】 【求和n T 的方法2（裂项相消法．．．．．+．待定系数法．．．．． ）】令()1212n n --?=()()()()()()1111222122n n n n a n b an b a n b an b ---++?-+?=++?-+? ()()11222222n n an a b an b an a b --=++--?=++?，比较系数得到a=2,2a+b=-1,解得a=2,b=-5. 所以()()()()()1 11212 232252252232n n n n n n n n n n ----?=-?--?=--?+-?， 所以()()2 1 12335...2113252 (212) n n n T a a a n a n -=++++-=+?+?++-? ()()11223341312121212323252...252232n n n n -??????????=-?+?+?+-?+?+-?+?++--?+-??????????? ()3232n n =+-?。 又()1260n n T T +<+，即()()1 21232232360n n n n +??-?+<-?++?? ，2 2123n +<， 又42 522 64123,2128123++=<=>， 所以，使得()1260n n T T +<+成立的最大正整数n 的值是4. 20. （本小题满分14分） 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2 .f x x x =- （1）求函数()f x 的解析式； （2）求函数()f x 在区间[],1a a +上的最大值。 解：（1）函数()f x 是定义在R 上的奇函数，在f(-x)=-f(x)中，令x=0，解得f(0)=0； 又当0x >时，()2 f x x x =-， 所以当0x <时，0x ->，()()() 2 f x f x x x x =--=---=+函数()f x 的解析式是()22,00, 0.,0x x x f x x x x x ?->? ==??+ 即()22 ,0 ,0 x x x f x x x x ?-≥=?+ ,0 ,0 x x x f x x x x ?-≥=?+ ,22 x x =- =，又区间[],1a a +所以当a<-1时，a+1<0，()2 .f x x x =+函数()f x 的最大值为当-1≤a<- 12时，-12≤a+1<12 ，函数()f x 的最大值为f(a+1)=()()22 11a a a a +-+=--, 当- 12≤a ≤12，12≤a+1≤3 2 ，函数()f x 的最大值为11 24 f ??= ???， 当a ≥ 12时，a+1≥32 ，()2.f x x x =-函数()f x 的最大值为f(a)=2a a -, 所以，函数()f x 在区间[],1a a +上的最大值()222 ,1 1,12111 ,4 221,2 a a a a a a g a a a a a ?+<-? ?---≤<-?? =?-≤≤? ??->??当当当当 x
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