2012年高中数学联赛陕西赛区预赛试题
(5月20日 上午 8:30---11:00)
第一试
填空题:(每小题8分，共80分)要求直接将答案填在题中的横线上.
1. 已知集合M={1,3,5,7,9},若非空集合A 满足：A 中各元素都加4后构成M 的一个子集，
A 中个元素都减去4后也构成M 的一个子集，则A= .
2. 已知两条直线2:1=y l ，4:2=y l ，设函数x
y 3=的图像与1l 、2l 分别交于点A 、B ，
函数x y 5=的图像与1l 、2l 分别交于点C 、D ，则直线AB 与CD 的交点坐标是 3. 对于正整数n ,若p q p q p n ,(≥?=、)+∈N q ,当q p -最小时，我们称q p ?为n 的“最
佳分解”，并规定p
q n f =)(.例如，12的分解有12?1，6?2，4?3，其中4?3为12的“最佳分解”，则4
3)12(=
f .关于)(n f ，有以下四个判断： ①;0)4(=f ②71)7(=f ； ③83)24(=f ； ④5034)2012(=f . 其中，所有正确判断的序号是 .
4. 已知ABC ?为等腰直角三角形，?=∠90A ，且b a AB +=，b a AC -=，若 )sin ,(cos θθ= )(R ∈θ，则ABC ?的面积等于 .
5. 在正四面体ABCD 中，AO ⊥平面BCD ，垂足为O.设M 是线段AO 上一点，且满足
?=∠90BMC ，则=MO
AM . 6. Rt ABC ?的三个顶点都在给定的抛物线)0(22>=p py x 上，且斜边AB//x 轴，则斜边
上的高|CD|= .
7. 某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖（参与游戏活动的都有奖），且相应获奖的概
率是以a 为首项、2为公比的等比数列，相应获得的奖金是以700元为首项、以140-为公差的等差数列.则参与这项游戏活动获得奖金的期望是 元.
8. 设p 、q 是两个不同的质数，则11--+p q q p 被q p ?除的余数是 .
9. 定义在R 上的函数)(x f 满足：1)1(=f ，且对于任意的R x ∈，都有21)(<
'x f .则不等式2
1log )(log 22+>x x f 的解集为 . 10. 从公路旁的材料工地沿笔直的公路向同一方向运送电线杆到500米以外的公路边埋栽，
在500米处栽一根，然后每间隔50米在公路边栽一根.已知运输车辆一次最多只能运三根，要完成运载20根电线杆的任务，并返回材料工地，则运输车总的行程
最小为 米 .
第二试
第一题：（20分）在ABC ?中，已知AB=2，AC=1，且12
sin 22cos 2=++C B A . （1） 求角A 的大小；和BC 边的长；
（2） 若点P 在ABC ?内运动（含边界），且点P 到三边距离之和为d,设点P 到边BC 、CA
的距离分别为y x ,，试用y x ,表示d,并求d 的取值范围.
第二题：（20分）在平面直角坐标系中，以点C （t
t 2,
）为圆心的圆经过坐标原点O ，且分别与x 轴、y 轴交于点A 、B （不同于原点O ）.
（1） 求证：AOB ?的面积S 为定值；
（2） 设直线42:+-=x y l 与圆C 相交于不同的两点M 、N ，且|OM |=|ON|，求圆C 的标
准方程.
第三题：（20分）如图2，锐角三角形ABC 内接于圆O ，过圆心O 且垂直于半径OA 的直线分别交边AB 、AC 于点E 、F.设圆O 在B 、C 两点处的切线相交于点P.
求证：直线AP 平分线段EF .
第四题：满分30分：
已知数列}{n a 满足：2
11=a ，1132+++=n n n n a a a a )(*∈N n 。 （1） 求数列}{n a 的通项公式；
（2） 若数列}{n b 满足：)(11*∈+
=N n a b n
n ，且对任意正整数n(n 2≥), 不等式24log 113m b n n k k
>+∑=恒成立，求整数m 的最大值。
第五题：满分30分
对于任意的正整数n,证明：
6
7)2(31...)2(31)2(312313322<-+++-++-++-n n .