以
B=45
，又因为a =2b =，所以在ABC ?
2
sin 45
，解得
1sin A 2
=
，又
。 【命题意图】本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求解以及正弦定理，考查了同学们解决三角形问题的能力，属于中档题。
（16）已知圆C 过点（1,0），且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：1y x =-被圆C 所截得的
弦长为l 垂直的直线的方程为 ． 【答案】x+y-3=0
【解析】由题意，设所求的直线方程为x+y+m=0，设圆心坐标为(a,0)，则由题意知：
2
2+2=(a-1)，解得a=3或-1，又因为圆心在x 轴的正半轴上，所以a=3，故圆心坐标为 （3，0），因为圆心（3，0）在所求的直线上，所以有3+0+m=0，即m=-3，故所求的直线方程为
x+y-3=0。
【命题意图】本题考查了直线的方程、点到直线的距离、直线与圆的关系，考查了同学们解决直线与圆问题的能力。
三、解答题：本大题共6小题，共74分． （17）（本小题满分12分） 已知函数()()211sin 2sin cos cos sin 0222f x x x π????π??
=
+-+ ???
＜＜，其图象过点
（
π6,12
）． （Ⅰ）求?的值；
（Ⅱ）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标缩短到原来的
1
2
，纵坐标不变，得到函数()g y x =的图象，求函数()g x 在[0,
π
4]上的最大值和最小值． 【解析】（Ⅰ）因为已知函数图象过点（π6,1
2
），所以有
1122=()21sin 2sin cos cos sin 06622πππ????π??
?+-+ ???
＜＜，即有
()3
1cos cos 02
????π=
+-＜＜=sin (+)6π?，所以+62ππ?=，解得3π?=。
（
Ⅱ
）
由
（
Ⅰ
）
知
3
π
?=
，所以
()()211sin 2sin cos cos sin 0233223f x x x ππππ?π??
=+-+ ???
＜＜
=
211
cos x-424
=
11+cos 2x 1sin2x+-=4
224?1sin (2x+)26π， 所以()g x =
1sin (4x+)26π，因为x ∈[0, π4]，所以4x+6π∈7[,]66ππ
， 所以当4x+62ππ=时，()g x 取最大值12；当4x+6π=76π时，()g x 取最小值1
4
-。
【命题意图】本题考查三角函数的诱导公式及二倍角等基本公式的灵活应用、图象变换以及
三角函数的最值问题、分析问题与解决问题的能力。 （18）（本小题满分12分） 已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令b n =
2
1
1
n a -(n ∈N *)，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以有
11
27
21026a d a d +=??
+=?，解得13,2a d ==， 所以321)=2n+1n a n =+-（；n S =n(n-1)
3n+
22
?=2n +2n 。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知2n+1n a =，所以b n =
2
1
1n a -=21=2n+1)1-（114n(n+1)
?=111(-)4n n+1?， 所以n T =
111111(1-+++-)4223n n+1?- =11(1-)=4n+1?n
4(n+1)
，
即数列{}n b 的前n 项和n T =
n
4(n+1)
。
【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。 （19）（本小题满分12分）
如图，在五棱锥P —ABCDE 中，P A ⊥平面ABCDE ，AB ∥CD ，AC
∥ED ，AE ∥BC ， ∠ABC =45°，AB BC =2AE =4，三角形P AB 是等腰三角形．
（Ⅰ）求证：平面PCD ⊥平面P AC ；
（Ⅱ）求直线PB 与平面PCD 所成角的大小； （Ⅲ）求四棱锥P —ACDE 的体积．
【解析】（Ⅰ）证明：因为∠ABC =45°，AB BC =4，所以
在ABC ?中，由余弦定理得：222AC +4-24cos45=8? ，解得 所以2
2
2
AB +AC =8+8=16=BC ，即AB AC ⊥，又P A ⊥平面ABCDE ，所以P A ⊥AB ， 又PA AC A ?=，所以AB AC ⊥平面P ，又AB ∥CD ，所以AC CD ⊥平面P ，又因为
CD CD ?平面P ，所以平面PCD ⊥平面P AC ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面PCD ⊥平面P AC ，所以在平面P AC 内，过点A 作AH C ⊥P 于H ，则
AH CD ⊥平面P ，又AB ∥CD ，AB ?平面CD P 内，所以AB 平行于平面CD P ，所以点A
到平面CD P 的距离等于点B 到平面CD P 的距离，过点B 作BO ⊥平面CD P 于点O ，则
PBO ∠为所求角，且AH=BO ，又容易求得AH=2，所以1
sin PBO=2
∠，即P
B O ∠=30 ，所以直线PB 与平面PCD 所成角的大小为30
；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知AC CD ⊥平面P ，所以AC CD ⊥，又AC ∥ED ，所以四边形ACDE 是
直角梯形，又容易求得DE =，AC=，所以四边形ACDE 的面积为
1
32
（，所以
四棱锥P —ACDE 的体积为133
?=
【命题意图】本题考查了空间几何体的的线面与面面垂直、线面角的求解以及几何体的体积计算问题，考查了同学们的空间想象能力以及空间思维能力。
(19)(标准答案) 本小题主要考察空间中的基本关系，考察线面垂直、面面垂直的判定以及线面角和集合体体积的计算，考查识图能力、空间想象力和逻辑推理能力，满分12分 （｜）证明：
在△ABC 中，因为∠ABC=45°，BC=4，AB=22， 所以AC 2=AB+BC 2-2AB ·BC ·cos45°=8
因此 AC=22，
故BC 2=AC 2+AB 2,
所以∠BAC=90°---------------------------------------------------- 又PA ⊥平面ABCDE ，AB ∥CD ， 所以CD ⊥PA,CD ⊥AC,
又 PA,AC ?平面PAC,且PA ?AC =A ， 所以 CD ⊥PAC,又 CD ?平面PCD ，
所以 平面PCD ⊥平面PAC--------------------------------------------
则
2142sin =
==
PB h θ,
又
?
?
????∈2,0πθ，
所以
6π
θ=
解法二：
由（｜）知AB,AC,AP 两两相互垂直，分别以AB 、AC 、AP 为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，由于△PAB 是等腰三角形， 所以 PA=AB=22, 又AC=22,
所以
3π
θ=
，
因此直线PB 与平面PCD 所成的角为
6π
θ=
（Ⅲ）因为AC ∥ED,CD ⊥AC ， 所以 四边形ACDE 是直角梯形， 因为 AE=2,∠ABC=45°，AE ∥BC ， 所以 ∠BAE=135°， 因此 ∠CAE=45°,
故 CD=AE ·sin45°==2×22
=2，
所以
3222
22ACDE =?+=
四边形S
又 PA ⊥平面ABCDE ，
所以 ------------------.2222321
V ACDE -P =??=
（20）（本小题满分12分）
某学校举行知识竞赛,第一轮选拔共设有,,,A B C D 四个问题，规则如下：
① 每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题,,,A B C D 分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；
② 每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当
累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局，当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局； ③ 每位参加者按问题,,,A B C D 顺序作答，直至答题结束. 假设甲同学对问题,,,A B C D 回答正确的概率依次为3111
,,,4234
，且各题回答正确与否相互之间没有影响.
(Ⅰ)求甲同学能进入下一轮的概率；
（Ⅱ）用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求ξ的分布列和数学的E ξ. 【解析】本小题主要考查离散型随机变量的分布列和数学期望，考查对立事件、
独立事件的概率和求解方法，考查用概率知识解决实际问题的能力.
解：设,,,A B C D 分别为第一、二、三、四个问题.用1(1,2,3,4)M i =表示甲同学第
i 个问题回答正确，用1(1,2,3,4)N i =表示甲同学第i 个问题回答错误，则1M 与1
N 是对立事件(1,2,3,4)i =.由题意得
12343111(),(),(),(),4234
P M P M P M P M ====
所以
12341123
(),(),(),()4234
P N P N P N P N ====?????????
（Ⅰ）记“甲同学能进入下一轮”为事件Q ， 则
（Ⅱ）由题意，随机变量ξ的可能取值为：2,3,4. 由于每题答题结果相互独立，
所以
因此 随机变量ξ的分布列为
13127
23488
28
E ξ=?+?+?=.
【命题意图】本题考查了相互独立事件同时发生的概率、考查了离散型随机变量的分布列以及数学期望的知识，考查了同学们利用所学知识解决实际问题的能力。 （21）（本小题满分12分）
如图，已知椭圆
2222
1(0)x y a b a b +=＞＞点12,F F 为顶点的三角形的周长为1).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为B A 、和C D 、.
（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；
（Ⅱ）设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，证明12·1
k k =；
（Ⅲ）是否存在常数λ
，使得·AB CD AB CD λ+=恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.
【解析】（Ⅰ）由题意知，椭圆离心率为
c a =a =，又22a c +=1)，所以可解得a =2c =，所以2
2
2
4b a c =-=，所以椭圆的标准方程为22
184
x y +=；所以椭圆的焦点坐标为（2±，0），因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所
以该双曲线的标准方程为
22
144
x y -=。 （Ⅱ）设点P （0x ，0y ），则1k =
002y x +，2k =002y x -，所以12·k k =002y x ?+0
02
y x -= 2
02
04
y x -，又点P （0x ，0y ）在双曲线上，所以有2200144x y -=，即22004y x =-，所以 12·k k =2
02
04
y x -=1。 （Ⅲ）假设存在常数λ，使得·AB CD AB CD λ+=恒成立，则由（Ⅱ）知12·1k k =，所以设直线AB 的方程为(2)y k x =+，则直线CD 的方程为1
(2)y x k
=
+， 由方程组22(2)18
4y k x x y =+??
?+=??消y 得：2222(21)8880k x k x k +++-=，
设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 则由韦达定理得：21228,21k x x k -+=
+212288
,21
k x x k -=+ 所以
22)
21
k k ++，同理可得
221)121k k
+
?+
=22
)2k k ++， 又因为·AB CD AB CD λ+=，所以有11||||AB CD λ=
+
2
2
28=，所以存在常数
λ8=，使得·AB CD AB CD λ+=恒成立。 【命题意图】本题考查了椭圆的定义、离心率、椭圆与双曲线的标准方程、直线与圆锥曲线
的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力。其中问题（3）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力， （标准答案）（21）本小题主要考查椭圆、双曲线的基本概念和基本性质。考查直
线和椭圆的位置关系，考查坐标化、定值和存在性问题，考查数行结合思想和探求问题的能力。
解（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c ，由题意知：
()2
22
2222001100120022001210,4442241
x
y y c x y b c m m x x y x y k k y a x x x y k k =+-==-=---==
c a =
，
所以
c=2， 又2a =22b c +，因此b=2。
故 椭圆的标准方程为22
184
x y +
= 由题意设等轴双曲线的标准方程为22
221x y m m
-=()0m ，因为等轴双曲线的顶点
是椭圆的焦点。 所以m=2，
因此 双曲线的标准方程为22
144
x y -
= （Ⅱ）设A （1x ，1y ），B （22,x y ），P （00,x y ）， 则1k =
002y x +，0202
y
k x =-。 因为点P 在双曲线224x y -=上，所以22
004x y -=。 因此2
000
1220001224
y y y k k x x x ===+-- ，
即121k k =
同理可得
2CD =则
22122212212111()11k k AB CD k k +++=+++，
又 121k k =，
[
所以
22
11212
1212111()11k k AB CD k k +++=+
+22112211212()11k k k k ++=+=
++. 故
·AB CD CD + 因此
存在8
λ=
，使·AB CD AB CD λ+=恒成立. (22)(本小题满分14分) 已知函数1()ln 1a
f x x ax x
-=-+-()a R ∈. (Ⅰ)当1
2
a ≤
时，讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）设2
()2 4.g x x bx =-+当14
a =时，若对任意1(0,2)x ∈，存在[]21,2x ∈，使
12()()f x g x ≥，求实数b 取值范围.
【解析】(Ⅰ)原函数的定义域为（0，+∞），因为 '
211()-x a f x a x -=-=22
-ax +x+a-1
x ，所
以
当0a =时，'
2x-1()f x x =
，令
'
2
x-1()>0f x x =得x>1，所以 此时函数f(x)在（1，+∞）上是增函数；在（0，1）上是减函数；
当12a =时，'()f x =2211-x +x+-122x
?=22-x +2x-12x =2
2-x-102x ≤（），所以 此时函数f(x)在（0，+∞）是减函数；
当<0a 时，令'
()f x =22
-ax +x+a-1>0x 得2
-ax +x-1+a>0，解得1x>1x<-1a 或（舍去），此
时函数
f(x)在（1，+∞）上是增函数；在（0，1）上是减函数；
当10<<2a 时，令'
()f x =22
-ax +x+a-1>0x
得2-ax +x-1+a>0，解得11-1a
（，+∞）上是减函数；
当1<<12a 时，令'
()f x =22
-ax +x+a-1>0x
得2-ax +x-1+a>0，解得1-1（，1）上是增函数；在（0，1
-1a ）和1（，+∞）上是减函数；
当1a ≥时，由于1-10a ≤，令'
()f x =22
-ax +x+a-1>0x
得2-ax +x-1+a>0，可解得01x <<，此时函数f(x)在（0，1）上是增函数；在（1，+∞）上是减函数。
（Ⅱ）当1
4
a =
时，f(x)在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意1(0,2)x ∈， 有11f(x )f(1)=-2≥，又已知存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x ≥，所以21
()2
g x -≥，
[]21,2x ∈，
即存在
[]1,2
x ∈，使2
1
()242
g x x b x =-+≤-，即2
9
22
b x
x
≥+，即
9
22b x x ≥+∈1117
[,]24，
所以1122b ≥，解得114b ≥，即实数b 取值范围是11
[,)4
+∞。
【命题意图】本题将导数、二次函数、不等式知识有机的结合在一起，考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题，考查了同学们分类讨论的数学思想以及解不等式的能力；考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力。 （1）直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性；（2）利用导数求出()f x 的最小值、利用二次函数知识或分离常数法求出()g x 在闭区间[1,2]上的最大值，然后解不等式求参数。 （标准答案）（22）本小题主要考查导数的概念以及利用导数研究函数性质的能力，
考查分类讨论思想、数形结合思想、等价变换思想，以及综合运用知识解决新情
境、新问题的能力。
解：（Ⅰ）因为1()ln 1a
f x x ax x
-=-+-， 所以 2'
22
111()(0,)a ax x a
f x a x x x x --+-=-+=
∈+∞， 令 2()1,(0,)h x ax x a x =-+-∈+∞，
①当1
2
a =
时，12,()0x x h x =≥恒成立，此时'()0f x ≤，函数 ()f x 在
∞（0，+）上单调递减；
②当11
01102a a
-＜＜时，＞＞，
(0,1)x ∈时，()0h x ＞，此时'()0f x ＜，函数()f x 单调递减；
1
(1,1)x a ∈-时()0h x ＜，此时'()0f x ＞，函数 ()f x 单调递增；
1
(1,)x a
∈-+∞时，()0h x ＞，此时'()0f x ＜，函数()f x 单调递减；
③当0a ＜时，由于1
10a
-＜，
(0,1)x ∈，()0h x ＞,此时'()0f x ＜，函数 ()f x 单调递减； (1,)x ∈+∞时，()0h x ＜，此时'()0f x ＞，函数()f x 单调递增. 综上所述：
（Ⅱ）因为a=11
(0,)42
∈，由（Ⅰ）知，1x =1，2x =3(0,2)?，当(0
,1)x ∈时，'()0f x ，
函数()f x 单调递减；[]min 117()(2)840(2,),28g x g b b b ??
==-≥∈+∞≤≥+∞????当
(1,2)x ∈时，'()0f x ，函数()f x 单调递增，所以()f x 在（0，2）上的最小值为1
(1)2
f =-。
由于“对任意1(0,2)x ∈，存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x ≥”等价于
“()g x 在[]1,2上的最小值不大于()f x 在（0,2）上的最小值1
2
-”（*）
又()g x =22()4x b b -+-，[]11,2x ∈，所以
①当1b 时，因为[]min ()(1)520g x g b ==- ，此时与（*）矛盾 ②当[]1,2b ∈时，因为[]2min ()40g x b =-≥，同样与（*）矛盾 ③当(2,)b ∈+∞时，因为[]min ()(2)84g x g b ==-，解不等式8-4b 12
≤
，可得17
8b ≥
综上，b 的取值范围是17,8??+∞????
。
