线性代数试题及答案大全
关于n个方程的n元齐次线性方程组的克拉默法则，说法正确的是【 B 】
A:如果行列式不等于0，则方程组必有无穷多解
B:如果行列式不等于0，则方程组只有零解
C:如果行列式等于0，则方程组必有唯一解
D:如果行列式等于0，则方程组必有零解
已知三阶行列D中的第二列元素依次为1、2、3，它们的余子式分别为-1、1、2，则D的值为。【 A 】A:-3 B:-7 C:3 D:7
下面结论正确的是【 C 】
A:含有零元素的矩阵是零矩阵 B:零矩阵都是方阵
C:所有元素都是零的矩阵是零矩阵 D:若A，B都是零矩阵，则A=B
设A是4×5矩阵，r（A）=3，则▁▁▁▁▁。【 D 】
A:A中的4阶子式都不为0
B:A中存在不为0的4阶子式
C:A中的3阶子式都不为0
D:A中存在不为0的3阶子式
设A是m×n矩阵，B是s×t矩阵，且ABC有意义，则C是▁▁矩阵。【 A 】
A:n×s
B:m×t
C:t×m
D:s×n
含有零向量的向量组▁▁▁【 B 】
A:可能线性相关
B:必线性相关
C:可能线性无关
D:必线性无关
对于齐次线性方程组的系数矩阵化为阶梯形时▁▁▁。【 A 】
A:只能进行行变换B:只能进行列变换C:不能进行行变换 D:可以进行行和列变换
非齐次线性方程组中，系数矩阵A和增广矩阵（A，b）的秩都等于4，A是（）4×6矩阵，则▁▁。【 B 】
A:无法确定方程组是否有解 B:方程组有无穷多解
C:方程组有唯一解 D:方程组无解
n元非齐次线性方程组Ax=b有两个解a、c，则a-c是▁▁▁的解。【 B 】
A:2Ax=b B:Ax=0 C:Ax=a D:Ax=c
设A是m行n列的矩阵,r(A)=r，则下列正确的是【 C 】
A:Ax=0的基础解系中的解向量的个数可能为n-r
B:Ax=0的基础解系中的解向量的个数不可能为n-r
C:Ax=0的基础解系中的解向量的个数一定为n-r
D:Ax-0的基础解系中的解向量的个数不确定做题结果：C
向量组A的任何一个部分组▁▁由该向量组线性表示。【 A 】
A:都能B:一定不能C:不一定能D:不确定
（-1,1）能否表示成（1,0）和（2,0）的线性组合？若能则表出系数为▁▁。【 B 】
A:能，1、1 B:不能C:能，-1、1 D:能，1、-1
若m×n矩阵C中n个列向量线性无关，则C的秩▁▁▁。【 C 】
A:大于m B:大于n C:等于n D:等于m
两个向量线性相关，则▁▁
▁。【】
A:对应分量不成比例
B:其中一个为零向量
C:对应分量成比例 D:两个都不是零向量做题结果：B
参考答案：C
若矩阵A是行最简形矩阵，则▁▁▁。【 D 】
A:矩阵A必没有零行
B:矩阵A不一定是阶梯形矩阵
C:矩阵A必有零行
D:矩阵A的非零行中第一个不等于零的元素都是1
非齐次线性方程组Ax=b中，系数矩阵A和增广矩阵(A b)的秩都等于3，A是3×4矩阵，则▁▁▁。【 A 】
A:方程组有无穷多解
B:无法确定方程组是否有解
C:方程组有唯一解
D:方程组无解
试卷1
闭卷考试时间：100分钟
一、填空题（本题15分，每小题3分）
1、设()4321,,,A A A A A =为四阶方阵，其中)4,3,2,1(=i A i 为A 的第i 个列向量, 令()14433221,,,A A A A A A A A B ----=，则=B 。
2、设A 为三阶方阵，*A 为A 的伴随矩阵，且3||=A ，则=-*|)(|1A 。
3、设???
?
? ??-----=2531312311
112t t A ，且2)(=A R ，则=t 。
4、若n 阶方阵A 有特征值λ，则E a A a A a A A f k k k 011
1)(++++=-- 必有
特征值 。
5、若二次型yz xz axy z y x f 2223222+++++=经正交变换化为2
2214y y f +=，
则=a 。
二、选择题（本题15分，每题3分）
1、设A 是n 阶方阵，则0||=A 的必要条件是（ ）。
（A ）A 中两行（列）元素对应成比例； （B ）A 中有一行元素全为零； （C ）任一行元素为其余行的线性组合； （D ）必有一行元素为其余行的线性组合。 2、设A 是n 阶对称阵，B 是n 阶反对称阵，则下列矩阵中反对称矩阵是（ ） （A ）BAB ； （B ）ABA ； （C ）ABAB ； （D ）BABA 。
3、设向量组()()()，，，，，，，，，T
T
T
t 31321111321===ααα当=t （ ）时，向量组3
21ααα，，线性相关。 （A ）5
（B ）4
（C ）3
（D ）2
4、设A 为34?矩阵，321,,ηηη是非齐次线性方程组b Ax =的3个线性无关的解向量， 21,k k 为任意常数，则非齐次线性方程组b Ax =的通解为（ ）
。 （A ）
)(21213
2ηηηη-++k ； （B ）
)(21213
2ηηηη-+-k ； （C ）)()(213212132ηηηηηη-+-++k k ； （D ）)()(2
1321213
2ηηηηηη-+-+-k k 。
5、设方阵???
?
? ??=20001011k k A 是正定矩阵，则必有（ ）。
（A ）0>k ； （B ）1>k ； （C ）2>k ； （D ）1->k 。 三、（本题8分） 计算行列式
x
a x a x a a n n 0
1000
100011
21
-----，其中1,,2,1,0,0-=≠n i a i 。 四、（本题12分） 设X A E AX +=+2，且????
? ??=101020101A ，求矩阵X 及()
*
-1X ，
其中()
*
-1X 为1-X 的伴随矩阵，E 为单位矩阵。
五、（本题14分） 设向量组()()()T
T
T
531110101
321，，，，，，，，===ααα不能由向量组 (),1111T ，，=β(),3,2,12T =β()T
k ,4,33=β线性表示。 （1）求向量组321ααα，，的
一个极大无关组； （2）求k 的值； （3）将向量1β用321ααα，，线性表示。
六、（本题14分） 设齐次线性方程组（Ⅰ）为???=-=+0042
21x x x x ，已知齐次线性方程组（Ⅱ）
的通解为()()T
T
k k 1,2,2,10,1,1,021-+。（1）求方程组（Ⅰ）的基础解系；（2）问方程组（Ⅰ）
和（Ⅱ）是否有非零公共解？若有，则求出所有非零公共解，若没有，则说明理由。
七、（本题14分） 设矩阵??????
?
?
?=11
001000001
0010
x A ， （1）已知A 的一个特征值为，2 求x ； （2）求方阵P ，使()()AP AP T
为对角阵。 八、（本题8分） 试证明：
n 阶矩阵??
??
?
?
?
?
?=111
2 b b b b b b b b b a A 的最大特征值为])1(1[2b n a -+，其中10<
参考答案
一、填空题（本题15分，每题3分） 1、0； 2、
9
1
； 3、4； 4、)(λf ； 5、1。 二、选择题（本题15分，每题3分） 1、D ； 2、B ； 3、A ； 4、C ； 5、B.
三、（本题8分） 解：从第一行开始，每行乘x 后逐次往下一行加，再按最后一行展开得：
原式=122110----++++n n n n a x a x a x a 。
四、（本题12分）解：由X A E AX +=+2，得：E A X E A -=-2)(，
)(,010********E A E A -∴≠-==- 可逆，故???
?
?
??=+=201030102E A X ；
由于09≠=X ，()
?
???
?
??===∴---*-201030102911)(1
111X X X
X X 。 五、（本题14分） 解：（1） 令),,(321ααα=A ，3)(,01=∴≠=A R A ，
则321,,ααα线性无关， 故321,,ααα是向量组321ααα，，的一个极大无关组；
（2）由于4个3维向量 )3,2,1(321=i i αβββ，，，线性相关，
若321βββ，，线性无关，则i α可由321βββ，，线性表示，与题设矛盾；
于是321βββ，，线性相关，从而5,05314213
11||321=∴=-==k k k
βββ，，。
（3）令???
?? ??-→→????? ??==110040102001151113101101),,,(1321 βαααB ，321142αααβ-+=∴。
六、（本题14分）解：（1） ???
?
??-→???? ??-=1010100110100011A ，所以方程组（Ⅰ）的
基础解系为：()()T
T
1,0,1,1,010021-==ηη，，，
； （2）设()()2413211,2,2,10,1,1,0ηηk k k k T
T
+=-+，即
??
?
?
?
?
?
??--→→??????? ??----=??????? ????????? ??----000011001010
10
01
1010012110211010,010100121102110104321 k k k k ，
故上述方程组的解为T k )1,1,1,1(-，于是方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）所有非零公共解为：
)0()1,1,1,1(为任意常数≠-k k T 。
七、（本题14分）解：（1）
()()
0)1(11
11111
1
1
0000
100122=---=----?--=
------=
-x x
x
A E λλλλλλ
λλλ
λ
λ，
将2=λ代人上式，得1=x ；
（2）由（1）得???????
??=110011000001
0010
A ，显然A 为实对称阵，而??
?
?
?
?
?
??=2200220000100001
A A T
令???
? ?
?==21
2A O
O A A A A T ，显然2A A A T 和也是实对称阵，1A 是单位阵， 由()042
22
2
2=-=----=
-λλλλλA E ，得2A 的特征值4021==λλ，， 2A 属于1λ对应的特征向量为T )11
(1-=，α，单位化：T )2222(1-=，η， 2A 属于2λ对应的特征向量为T )11
(2，=α， 单位化：T )22
22(2，=η， 取?
?
??????
? ?
?-
=22220022220
001
00001
P ，则有()()??
??
?
?
?
??==4000000000100001)(P A A P AP AP T
T T 。 八、（本题8分）证明：由
()()
)1(22
1
222
222222
22222
=-+-+-=------------=
--b a n a
b
a a a
b a b
a b
a b a b a a b a b a b a b a a A E n λλλλλλ
得A 的特征值)1(],)1(1[23221b a b n a n -====-+=λλλλ ，
n a b λλλλ===>∴><< 3212,0,10，
故A 的最大特征值是])1(1[21b n a -+=λ。
试卷2
闭卷考试时间：100分钟
一、填空题（本题15分，每小题3分）
1、若n 阶行列式零元素的个数超过n （n-1）个，则行列式为 。
2、若A 为4阶矩阵，且A =
2
1
，则*12)3(A A --= 。 3、设A=??
?
?
??
?
?
?k k k k
11111111
1
111，且R （A ）=3，则k= 。
4、已知向量,α=（1,2,3），β=（1，3
1,21，），设A=βαT ，则A n
= 。
5、设A 为n 阶方阵，A *
≠A ,0为A 的伴随矩阵，E 为n 阶单位阵，若A 有特征值
E A +*2
,）则（λ必有特征值 。
二、选择题（本题15分，每题3分）
1、设A ，B,C 为n 阶方阵，E 为n 阶单位阵，且ABC=E ，则下列各式中（ ）不成立。 （A ） CAB=E (B) E C A B =---111 (C) BCA=E (D)E B A C =---111
2、设A,B 均为n 阶非零矩阵，且AB=O ，则它们的秩满足（ ）。 （A ）必有一个等于零 （B ）都小于n (C) 一个小于n ，一个等于n （D ）都等于n
3、下列命题中正确的是（ ）
（A ）在线性相关的向量组中，去掉若干个向量后所得向量组仍然线性相关 （B ）在线性无关的向量组中，去掉每个向量的最后若干分量后仍然线性无关 （C ）任何n+k 个n 维向量（k 1≥）必然线性相关
（D ）若只有m k k k ,,21全为零时，等式01111=+++m m m m k k k k ββαα 才成立，且m ααα 21,线性无关，则m βββ 21,线性无关
4、设T )1,2,1(1-=α，,)1,1,1(2T
-=α则3α=（ ）时，有321,,ααα为3
R 的基
（A ）T )2,1,2( （B ）T )1,0,1( （C ）T )0,1,0( （D ）T
)1,0,0(
5、设二次型的矩阵为???
?
? ??--=k A 2021101
2，且此二次型的正惯性指数为3，则（ ）
（A ） k>8 ( B) k>7 (C) k>6 (D) k>5
三、（10分）计算n 阶行列式1
1
1
111
1
111
11 ----=n D ,并求该行列式展开后的正项总数。
四、（10分） 设E AX +=X A +2
,且????? ??=101020101A ，求矩阵*-)(1X X 及，其中
11)(-*-X X 为的伴随矩阵，E 为单位矩阵。
五、（本题14分） 设有向量组
??????? ??=02311α，??????? ??=314072α，??????
? ??-=10123α，????
???
??=26154α，
(1)求该向量组的秩；
(2)求该向量组的一个最大无关组，并把其余向量分别用求得的最大无关组线性表出。 六、（本题14分） 设向量)1,1,1(-=α，（1）求3阶方阵ααT A =的特征值与特征向量；（2）求一正交矩阵AQ Q Q T
使,为对角矩阵。
七、（本题14分）设矩阵????
?
??--=222
221
121
21c
b a A ， （1）问是正交矩阵为何值时A
c b a ,,；
（2）当A 是正交矩阵时，求方程组???
?
? ??=111AX 的解。
八、（本题8分）
证明：n 21ααα，，
，维列向量组 n 线性无关的充要条件是
n
T
n T n T n n
T T T n T T T D αααααααααααααααααα
2
12221212111=
0≠
其中n i i T
i ,,2,1 =的转置，表示向量αα。
参考答案
一、填空：（每小题3分，共计15分） 1、0 ； 2、
81
32
； 3、 -3； 4、??
???
?
?
?=-123
332123121131n A ； 5、12+???
? ??λA 。
二、选择：（每小题3分，共计15分）
1、D
2、B
3、C
4、D
5、A
三、（本题10分）（练习册P117）
解： 1......
22
...221..................
22
1 (02)
10 (001)
213
11-+====++n c c n c c n
c c D ，
设n D 展开式中正、负项总数分别为,,21x x 则!21n x x =+，1
212
-=-n x x ，于是正项
总数为)!2(2
11
1n x n +=
-。 四、（本题10分）
解：由X A E AX +=+2
，得：E A X E A -=-2
)(,
)(,010
01010
1
00E A E A -∴≠-==- 可逆，故
???
?
? ??=+=201030102E A X ；
由于,09≠=X
()()
.2010301029111
111
?
???
?
??===
*∴----X X X
X X
。
五、（本题14分）
解：将矩阵()4321,,,αααα化为最简形阶梯形矩阵
???????
?
?
?→????
???
??→???????
??-00
00
1100
3101032001
0000
11001030101121306014211035271， （1）()3,,,4321=ααααR ；
（2）321,,ααα为所求的一个最大线性无关组，且32143
1
32αααα++=。
六、（本题14分）
解： A=????
?
??----=111111111ααT ，0)3(2
=-=-λλλA E
（1） A 的特征值为0,0,3； 由AX=0得对应的0的特征向量为k ???
?
?
??-+????? ??101011l ,k,l
为不全为零的任意常数，由0)3(=-X A E 得对应3的特征向量为c ???
?
? ??-111，c
为任意非零常数。
（2） 将????? ??-????? ??101,011正交化，得?????? ??-????? ??12121,011，再单位化，得??????
? ??-??????? ??626161,02121，将
????? ??-111单位化得??????
? ??-
313131，?????? ??-=22021321361Q 为所求正交阵。使 ????
?
??=300AQ Q T
七、（本题14分）
解：（1）若A 是正交矩阵，则A 的列向量两两正交，故有
??
?
?
?=-+=--=+-022********
2222c b a b a 解得0,21
,2
1
=-==
c b a 时A 是正交矩阵。
（2）
???
?? ??-=?
???? ???????? ??---=?????
?????
??
? ?
?---=?????
??=????? ??=-1212111121102221
12111120
212
1
121211111111T
T
A A X
八、（本题8分）
证：记矩阵则),,...,(21n A ααα=
()????
??
?
??=??????? ??=n T
n T n T n n T
T T
n T T T n T n T T
T
a a A ααα
ααααααααααααααααααα.........,...,,A 21
22212121112121 由于D A A A
A A T
T ===2
，从而得n ααα,...,21线性无关
0002
≠?≠?≠?D A A 。
考试试卷3
闭卷考试时间：100分钟
一、填空题（本题15分，每小题3分） 1、设2
()3f x x =-，矩阵1043A -??
=
???
，则()f A = 。
2、设,A B 为n 阶矩阵，如果有n 阶可逆矩阵P ，使 成立，则称A 与B 相似。
3、n 元非齐次线性方程组m n A x b ?=有唯一解的充分必要条件是 。
4、已知二次型222123123121323(,,)553266f x x x x x x x x x x x x =++-+-，则二次型f 对
应的矩阵A ?
?
??=??????
。 5、设4阶方阵A 满足：0,30,2T
A E A AA E <+==，(其中E 是单位矩阵)，则A 的
伴随矩阵*A 必有一个特征值为 。 二、选择题（本题15分，每题3分）
1、已知4阶方阵A 的伴随矩阵为*A ，且A 的行列式3A =，则*A =（ ）。 （A ） 81 (B) 27 (C) 12 (D) 9
2、设A 、B 都是n 阶方阵，且A 与B 有相同的特征值，并且A 、B 都有n 个线性无关的特征向量，则（ ）。 （A ） A 与B 相似 (B) A B =
(C) A B ≠，但0A B -= (D) A 与B 不一定相似，但A B = 3、设n 阶方阵A 为正定矩阵，下面结论不正确的是（ ） （A ）A 可逆 （B ）1
A -也是正定矩阵 （C ）0A > （D ）A 的所有元素全为正 4、若n 阶实方阵2
A A =，E 为n 阶单位矩阵，则（ ）。 （A ）()()R A R A E n +-> （
B ）()()R A R A E n +-<
（C ）()()R A R A E n +-= （D ）无法比较()()R A R A E +-与n 的大小
5、设1100c α?? ?= ? ???，2201c α?? ?= ? ???，3311c α?? ?=- ? ???
，4411c α-?? ?
= ? ???，其中1234,,,c c c c 为任意常数，
则下列向量组线性相关的为（ ）。
（A ）123,,ααα ( B) 124,,ααα (C) 134,,ααα (D) 234,,ααα
三、（10分）计算(2)n n ≥阶行列式n x
a a a x a D a
a
x
=
L L L L L L L
，n D 的主对角线上的元素都为
x ，其余位置元素都为a ，且x a ≠。
四、（10分） 设3阶矩阵A 、B 满足关系：16A BA A BA -=+，且100210
04100
7A ?? ?
? ?= ? ? ? ??
?
，求矩阵B 。
五、（10分） 设方阵A 满足220A A E --=（其中E 是单位矩阵），求11
,(2)A A E --+。 六、（12分） 已知向量组A ：
11412α?? ? ?= ? ???，22131α?? ?- ?= ?- ???，31541α?? ?- ?= ?- ?-??，43670α??
?- ?= ?- ???
， (1)求向量组A 的秩；
(2)求向量组A 的一个最大线性无关组，并把不属于该最大无关组的其它向量用该最大无关组线性表出。
七、（14分）设矩阵111
11A ααββ??
?= ? ??
?与矩阵000010002B ??
?
= ? ???
相似，
（1）求,αβ；
（2）求正交矩阵P ，使1
P AP B -=。
八、（14分） 设有线性方程组为2311213123122232
23
13233323
1
42434x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a ?++=?++=??++=??++=? （1）证明：若1234,,,a a a a 两两不等，则此方程组无解；
（2）设1324,(0)a a k a a k
k ====-≠，且已知12,ββ是该方程组的两个解，其中12(1,1,1),(1,1,1)T T ββ=-=-，写出此方程组的通解。
参考答案
二、填空：（每小题3分，共计15分）
1、2086-?? ???；
2、1P AP B -=；
3、()(,)R A R A b n ==；
4、513153333A -??
?=-- ? ?
-??
；
5、43
。
二、选择：（每小题3分，共计15分）
1、B
2、A
3、D
4、C
5、C
三、（本题10分）（见教材P44习题第5题） 解：后面1n -列都加到第1列，得
(1)(1)(1)n x n a a a x n a x a D x n a a
x
+-+-=
+-L L L L L L L
11[(1)]
1
a a x a x n a a
x
=+-L L L L L L L
100[(1)]
a a x a x n a x a
-=+--L L L L L L L
1[(1)]().n x n a x a -=+--
四、（本题10分）
解：11
6()B A E --=-1
2001006040010007001-???????? ? ?=-?? ? ?
? ?????????
1
1006030006-?? ?= ? ???600020001?? ?= ? ???。
五、（本题10分）(见练习册P118第五大题第1小题和典型题解P173例7)
解： 2
12022
A E A E
A A E A E A -----=??
=?=， 22
2
1
21
()202(2)()4A E A A E A E A A E A -----=?+=?+==或34
E A
-。
六、（本题12分）(见教材P89习题3第2题，或典型题解P178 例6)
解：将矩阵()4321,,,αααα化为最简形阶梯形矩阵
12131011415601121347000021100
000--????
? ?
---
? ?
→→ ? ?
--- ? ?
-????
L ，
（1）()1234,,,2R
αααα=；
（2）12,αα为所求的一个最大线性无关组，且312ααα=-+，4122ααα=-+。
七、（本题14分）(见典型题解P190例14)
八、（本题14分）(见教材P87例3.13) 解：（1）增广矩阵B 的行列式是4阶范德蒙行列式：
2
31
112322
2
2314
333234
4
4
11()11j i i j a a a a a a B a a a a a a a
a
≤<≤=
=
-∏
由于1234,,,a a a a 两两不等，知0B ≠，从而()4R B =，但系数矩阵A 的秩()3R A ≤，故()()R A R B ≠，因此方程组无解。
（2）1324,(0)a a k a a k k ====-≠时，方程组变为
23123231232312323
1
23x kx k x k x kx k x k x kx k x k x kx k x
k ?++=?-+=-??++=??-+=-? 即 23
12323
123x kx k x k
x kx k x k
?++=??-+=-?? 因为1201k
k k
=-≠-，故()()2R A R B ==，所以方程组有解，且对应齐次方程组的基
础解系含3-2=1个解向量，又12,ββ是原非齐次方程组的两个解，故
21(2,0,2)T ξββ=-=-是对应齐次方程组的解；由于0ξ≠，故ξ是它的基础解系。于
是原非齐次线性方程组的通解为
11210,12x k k k βξ-???? ? ?
=+=+ ? ? ? ?-????
为任意常数。
线性代数期末试卷(A)
考试方式：闭卷 考试时间：
一、单项选择题（每小题
3分，共15分）
1.设A 为m n ?矩阵，齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的（ A ）． (A ) 列向量组线性无关， （B ） 列向量组线性相关，
（C ）行向量组线性无关， （D ） 行向量组线性相关． 2．向量,,αβγ线性无关，而,,αβδ线性相关，则（ C ）。
(A ) α必可由,,βγδ线性表出， （B ）β必不可由,,αγδ线性表出， （C ）δ必可由,,αβγ线性表出， （D ）δ必不可由,,αβγ线性表出. 3. 二次型()222
123123
(,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++，当满足（ C ）时，是正定二次型．
(A )
1λ>-； （B ）0λ>； （C ）1λ>； （D ）1λ≥．
4．初等矩阵（A ）；
(A ) 都可以经过初等变换化为单位矩阵；（B ） 所对应的行列式的值都等于1； （C ） 相乘仍为初等矩阵； （D ） 相加仍为初等矩阵 5．已知12,,
,n ααα线性无关，则（C ）
A. 12231,,
,n n αααααα-+++必线性无关；
B. 若n 为奇数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；
C. 若n 为偶数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；
D. 以上都不对。
二、填空题（每小题3分，共15分）
6．实二次型()232221213214,,x x x x tx x x x f +++=秩为2，则=t
7．设矩阵020003400A ??
?
= ? ???
，则1A -=
8．设A 是n 阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，已知5A =，则*AA 的特征值为 。 9．行列式111213
21
2223313233
a b a b a b a b a b a b a b a b a b =______ ____;
10. 设A 是4×3矩阵，()2R A =，若102020003B ?? ?
= ? ???
，则()R AB =_____________；
三、计算题（每小题10分，共50分）
11．求行列式11
1213
21
222331
32
33
a b a b a b D a b a b a b a b a b a b +++=++++++的值。 12．设矩阵111111111A -?? ?
=- ? ?-??
，矩阵X 满足*12A X A X -=+，求X 。
13． 求线性方程组???????=--+=--+=+-+=+-1
341321230
2432143214
321421x x x x x x x x x x x x x x x 的通解。
14．已知()()()()12341,2,2,3,6,6,1,,0,3,0,4,2T
T
T
T
αααα====-，求出它
的秩及其一个最大无关组。
15.设为三阶矩阵，有三个不同特征值123,,,λλλ123,,ααα依次是属于特征值
123,,,λλλ的特征向量，令123βααα=++, 若3A A ββ=，求的特征值并计算行列式23A E -.
四、解答题（10分）
16. 已知100032023A ?? ?
= ? ???
，求10A
五、证明题（每小题5分，共10分）
17.设ξ是非齐次线性方程组AX b =的一个特解，12,,,r ηηη为对应的齐次线性
方程组0AX =的一个基础解系，证明：向量组12,,,
,r ξηηη线性无关。
18. 已知A 与A E -都是 n 阶正定矩阵，判定1E A --是否为正定矩阵，说明理由.
线性代数期末试卷(本科A)
一、单项选择题（每小题3分，共15分）
1．设,A B 为n 阶矩阵，下列运算正确的是（ ）。
A. ();k k k AB A B =
B. ;A A -=-
C. 22()();A B A B A B -=-+
D. 若A 可逆，0k ≠，则111()kA k A ---=；
2．下列不是向量组12,,,s ααα???线性无关的必要条件的是（ ）。
A ．12,,,s ααα???都不是零向量;
B. 12,,,s ααα???中至少有一个向量可由其余向量线性表示;
C. 12,,,s ααα???中任意两个向量都不成比例;
A A
D. 12,,,s ααα???中任一部分组线性无关;
3. 设A 为m n ?矩阵，齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的（ ）。
A ．列向量组线性无关； B. 列向量组线性相关； C. 行向量组线性无关； D. 行向量组线性相关；
4． 如果（ ），则矩阵A 与矩阵B 相似。 A. A B =； B. ()()r A r B =； C. A 与B 有相同的特征多项式；
D. n 阶矩阵A 与B 有相同的特征值且n 个特征值各不相同；
5．二次型()222123123
(,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++，当满足（ ）时，是正定二次型。
A. 1λ>-；
B. 0λ>；
C. 1λ>；
D. 1λ≥。
二、填空题（每小题3分，共15分）
6．设300140003A ??
?
= ? ???，则()12A E --＝ ；
7．设(,1,2)ij A i j = 为行列式2131
D =
中元素ij a 的代数余子式，则
11
12
2122
A A A A = ；
8．100201100010140001201103010?????? ?????
????? ?????-??????= ；
9．已知向量组123,,ααα线性无关，则向量组122313,,αααααα---的秩为 ；
10. 设A 为n 阶方阵， A E ≠， 且()()3R A E R A E n ++-=， 则A 的一个特征值
λ= ；
三、计算题（每小题10分，共50分）
11．设()1111222
20+a
a A a n
n n n a +??
?+
?
=≠ ?
???
，求A 。 12．设三阶方阵A ，B 满足方程2A B A B E --=，试求矩阵B 以及行列式B ，
其中102030201A ?? ?
= ? ?-??
。
13．已知111011001A -??
?
= ? ?-??，且满足2A AB E -=，其中E 为单位矩阵，求矩阵B 。
14．λ取何值时，线性方程组12312312321
24551
x x x x x x x x x λλ+-=??
-+=??+-=-?无解，有唯一解或有无穷多解？
当有无穷多解时，求通解。
15. 设()12340,4,2,(1,1,0),(2,4,3),(1,1,1)αααα===-=-，求该向量组的秩和一个极大无关组。
四、解答题（10分）
16．已知三阶方阵A 的特征值1，2，3对应的特征向量分别为1α，2α，3α。其中：()11,1,1T
α=，()21,2,4T
α=，()31,3,9T
α=，()1,1,3T
β=。 （1）将向量β用1α，2α，3α线性表示；（2）求n A β，n 为自然数。
五、证明题（每小题5分，共10分）
17．设A 是n 阶方阵，且()()R A R A E n +-=，A E ≠；证明：0Ax =有非零解。 18． 已知向量组(I) 123,,ααα的秩为3，向量组(II) 1234,,,αααα的秩为3，向量组
《线性代数》重点题 一． 单项选择题 1.设A 为3阶方阵，数 = 3，|A | =2，则 | A | =（ ）. A ．54； B ．-54； C ．6； D ．-6. 解. .54227)3(33-=?-=-==A A A λλ 所以填: B. 2、设A 为n 阶方阵，λ为实数，则|λA |=（ ） A 、λ|A |； B 、|λ||A |； C 、λn |A |； D 、|λ|n |A |. 解. |λA |=λn |A |.所以填: C. 3.设矩阵()1,2,12A B ?? ==- ??? 则AB =（ ）. 解. ().24121,221???? ??--=-???? ??=AB 所以填: D. A. 0； B. ()2,2-； C. 22?? ?-??； D. 2142-?? ?-?? . 4、123,,a a a 是3维列向量，矩阵123(,,)A a a a =.若|A |=4，则|-2A |=（ ）. A 、-32； B 、-4； C 、4； D 、32. 解. |-2A |=(-2)3A =-8?4=-32. 所以填: D. 5.以下结论正确的是（ ）. A .一个零向量一定线性无关； B .一个非零向量一定线性相关； C .含有零向量的向量组一定线性相关； D .不含零向量的向量组一定线性无关. 解. A .一个零向量一定线性无关；不对,应该是线性相关. B .一个非零向量一定线性相关；不对,应该是线性无关. C .含有零向量的向量组一定线性相关；对. D .不含零向量的向量组一定线性无关. 不对, 应该是:不能判断. 所以填: C. 6、 1234(1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,0,1,0),(1,1,1,1),αααα====设则它的极 大无关组为( ) A 、 12,; αα B 、 123,, ;ααα C 、 124,, ;ααα D 、1234,, ,αααα
线性代数一些证明题 1 题目 设n 阶可逆矩阵A 满足A 2=A ，求A 的特征值。 知识点 特征值与特征向量 矩阵的行列式 解题过程 解：因为A 2=A 所以A 2－A =0 所以det(A 2－A )=det[A (A －E )]=det(A )det(A －E )=0 A 为可逆矩阵，所以det(A )≠0 所以det(A －E )=0 所以A 的特征值为1. 常见错误 设存在λ，使Ax =λx 成立 则 det(Ax )=det(A )det(x ) =det(λx ) =n λdet(x ) (错误在于向量取行列式) 所以 有)det(A n =λ成立. 又因为A 2=A det(A )2=det(A), 即det(A )=0或det(A )=1.
由于A 为可逆矩阵，det(A)≠0. 所以 det(A )=1 1=n λ 当n 为奇数时，λ=1. 当n 为偶数时，λ=±1. 相关例题 设A 为n 阶矩阵,若A 2=E ，试证A 的特征值是1或-1. 2题目 设A 是奇数阶正交矩阵，且det(A )=1，证明det(E -A )=0. 知识点 ①正交矩阵的定义：A T A=E ②单位矩阵的性质：EA=AE=A E T =E ③矩阵运算规律 ④转置矩阵的性质：(A+B )T =A T +B T ⑤det(A )=det(A T ) ⑥det(AB )=det(A )det(B ) ⑦det(-A )=(-1)n det(A ) 解题过程 ∵A 是正交矩阵 ∴E －A= A T A －A= A T A －EA=( A T －E )A ∵det(A )=1
线性代数考试题库及答案 一、单项选择题（共5小题，每题2分，共计10分） 1.在111 ()111111 x f x x x -+=-+-展开式中，2x 的系数为 （ ） (A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 2.A 是m ×n 矩阵，(),r A r B =是m 阶可逆矩阵，C 是m 阶不可逆矩阵，且 ()r C r <，则 （ ） (A) BAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (B) BAX O =的基础解系由n-r 个向量组成 (C) CAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (D) CAX O =的基础解系由n-r 个向量组成 3.设n 阶矩阵,A B 有共同的特征值，且各自有n 个线性无关的特征向量，则（ ） (A) A B = (B) ,0A B A B ≠-=但 (C) A B (D) A B 与不一定相似，但 A B = 4.设,,A B C 均为n 阶矩阵，且AB BC CA E ===，其中E 为n 阶单位阵，则 222A B C ++= （ ） (A) O (B) E (C) 2E (D) 3E 5．设1010,0203A B ???? == ? ????? ，则A B 与 （ ） (A)合同，且相似 (B)不合同，但相似 (C)合同，但不相似 （D ）既不合同，又不相似
二、填空题（共 二、填空题（共10小题，每题 2分，共计 20 分） 1．已知11 122 233 30a b c a b c m a b c =≠，则1111 22223333 232323a b c c a b c c a b c c ++=+ 。 2．设 1 010 2010 1A ?? ?= ? ?? ? ，若三阶矩阵Q 满足2,AQ E A Q +=+则Q 的第一行的行向量是 。 3．已知β为n 维单位列向量， T β为β的转置，若T C ββ= ，则 2C = 。 4．设12,αα分别是属于实对称矩阵A 的两个互异特征值12,λλ的特征向量，则 12T αα= 。 5．设A 是四阶矩阵，A * 为其伴随矩阵，12,αα是齐次方程组0AX =的两个线 性无关解，则()r A *= 。 6．向量组1 23(1,3,0,5,0),(0,2,4,6,0),(0,3,0,6,9)T T T ααα===的线性关系 是 。 7．已知三阶非零矩阵B 的每一列都是方程组1231231 23220 2030 x x x x x x x x x λ+-=?? -+=??+-=?的解，则 λ= 。 8．已知三维向量空间3R 的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)T T T ααα===，则向量 (2,0,0)T β=在此基底下的坐标是 。 9．设21110012100,112004A a a ?? ?? ? ?== ? ? ? ????? 则 。 10．二次型2 2 2 123123121323(,,)222222f x x x x x x x x x x x x =++++-的秩为 。
《 线性代数复习提纲及复习题 》 理解或掌握如下内容： 第一章 n 阶行列式 .行列式的定义，排列的逆系数，行列式性质，代数余子式， 行列式的计算，三角化法及降阶法，克莱姆法则。 第二章 矩阵及其运算 矩阵的线性运算，初等变换与初等矩阵的定义，方阵的逆矩阵定义及性质 方阵的逆矩阵存在的充要条件，用初等变换求逆矩阵，矩阵方程的解法，矩阵的秩的定义及求法；齐次线性方程组只有零解、有非零解的充要条件，；非齐次线性方程组有解的充要条件，解的判定。 第三章 线性方程组 ｎ维向量的线性运算，向量组线性相关性的定义及证明，向量空间，向量组的极大线性无关组、秩； 齐次线性方程组的基础解系，解的结构，方程组求解；非齐次线性方程组解的结构，用初等变换解方程组，增广矩阵含有字母元素的方程组的求解。 复习题： 一、填空 （1）五阶行列式的项5441352213a a a a a 前的符号为 负 ； （2）设)3,3,2(2),3,3,1(-=+-=-βαβα，则α= （1，0，0） ； （3）设向量组γβα,,线性无关，则向量组γβαβα2,,+-线性 无关 ； （4）设* A 为四阶方阵A 的伴随矩阵，且*A =8，则12)(2-A = 4 ； （5）线性方程组054321=++++x x x x x 的解空间的维数是 4 ； （6）设???? ? ??=k k A 4702031，且0=T A 则k = 0或6 ； （7）n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩r(A)秩是r,则其解空间的维数是 n-r ； （8）的解的情况是：方程组b Ax b A R A R 2),,()3(== 有解 ； （9）方阵A 的行向量组线性无关是A 可逆的 充要 条件；
线性代数期末考试试卷 答案合集 文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]
×××大学线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=3231 2221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，， ， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。 ( )
三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2 分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 12-n ③ 12+n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，， ， 21（3 s n ）线性无关的充要条件是（ ）。 ① s ααα，， ， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，， ， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，， ， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα，， ， 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。 ① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关 4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。 ① 若A ，B 均可逆，则B A +可逆 ② 若A ，B 均可逆，则 A B 可逆 ③ 若B A +可逆，则 B A -可逆 ④ 若B A +可逆， 则 A ，B 均可逆 5. 若4321νννν，，，是线性方程组0=X A 的基础解系，则4321νννν+++是0=X A 的（ ） ① 解向量 ② 基础解系 ③ 通解 ④ A 的行向量 四、计算题 ( 每小题9分，共63分) 1. 计算行列式 x a b c d a x b c d a b x c d a b c x d ++++。
线性代数基本定理一、矩阵的运算 1.不可逆矩阵的运算不满足消去律AB=O,A 也可以不等于 O 11-1-1?è???÷1-1-11?è???÷=0000?è?? ? ÷ 2.矩阵不可交换 (A+B)2=A 2+AB+BA+B 2 (AB)k =ABABABAB ...A B 3.常被忽略的矩阵运算规则 (A+B)T =A T +B T (l A)T =l A T
4.反称矩阵对角线元素全为0 4.矩阵逆运算的简便运算 (diag(a 1,a 2 ,...,a n ))-1=diag( 1 a 1 , 1 a 2 ,..., 1 a n ) (kA)-1=1 k A-1 方法 1.特殊矩阵的乘法 A．对角矩阵乘以对角矩阵，结果仍为对角矩阵。且： B．上三角矩阵乘以上三角矩阵，结果为上三角矩阵2.矩阵等价的判断 A@B?R(A)=R(B) 任何矩阵等价于其标准型
3.左乘初等矩阵为行变换，右乘初等矩阵为列变换如：m*n 的矩阵，左乘 m 阶为行变换，右乘 n 阶为列变换 4. 给矩阵多项式求矩阵的逆或证明某个矩阵可逆如：A 2 -A-2I =O ，证明(A+2I)可逆。把2I 项挪到等式右边，左边凑出含有 A+2I 的一个多项式， 在确保A 平方项与 A 项的系数分别为原式的系数情况下，看I 项多加或少加了几个。5.矩阵的分块进行计算加法：分块方法完全相同 矩阵乘法（以A*B 为例）：A 的列的分法要与B 行的分法一 致，如： 如红线所示：左边矩阵列分块在第 2列与第3列之间，那么，右边矩阵分 块在第二行与第三行之间 1-1003-1000100002-1 é? êêêêù?úúúú1000-1000013-1021 4 é? ê êêêù? úúúú
WORD 格式整理 2009－2010学年第一学期期末考试 《线性代数》试卷 答卷说明：1、本试卷共6页，五个大题，满分100分，120分钟完卷。 2、闭卷考试。 评阅人:_____________ 总分人：______________ 一、单项选择题。(每小题3分,共24分) 【 】1.行列式=----3111131111311113 (A)0 (B) 1 (C) 2 (D)3 【 】2.设A 为3阶方阵，数2-=λ，3=A ，则=A λ (A) 24 (B) 24- (C) 6 (D) 6- 【 】3.已知,,B A 为n 阶方阵，则下列式子一定正确的是 (A)BA AB = (B)2222B)(A B AB A ++=+ (C)BA AB = (D) 22))((B A B A B A -=-+ 【 】4.设A 为3阶方阵, 0≠=a A ，则=*A (A) a （B) 2a (C) 3a (D) 4a __ __ ___ __ __ ___ __ __ 系_ __ __ ___ __ 专业_ __ __ ___ __ _班级 姓名_ __ ___ __ __ ___ __ 学号__ ___ __ __ ___ __ _ ………… … … … … … … … … （ 密） … … … … … … … … … … … … （ 封 ） … … … …… … … … … … … … （ 线 ） … … … … … … … … … … … …
(A) )()(B R A R < (B) )()(B R A R > (C) )()(B R A R = (D) 不能确定)(A R 和)(B R 的大小 【 】6.设n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩为r ，则0=Ax 有非零解 的充分必要条件是 (A) n r = (B) n r ≥ (C) n r < (D) n r > 【 】7. 向量组)2(,,,21≥m a a a m 线性相关的充分必要条件是 (A) m a a a ,,,21 中至少有一个零向量 (B) m a a a ,,,21 中至少有两个向量成比例 (C) m a a a ,,,21 中每个向量都能由其余1-m 个向量线性表示 (D) m a a a ,,,21 中至少有一个向量可由其余1-m 个向量线性表示 【 】8. n 阶方阵A 与对角阵相似的充分必要条件是 (A)n A R =)( (B)A 有n 个互不相同的特征值 (C)A 有n 个线性无关的特征向量 (D)A 一定是对称阵 二、填空题。(每小题3分,共15分) 1.已知3阶行列式D 的第2行元素分别为1,2,1-，它们的余子式分别为2,1,1-，则=D 。 2.设矩阵方程??????-=???? ??12640110X ，则=X 。 3.设*=ηx 是非齐次线性方程组b Ax =的一个特解，21,ξξ为对应齐次线性方程组 0=Ax 的基础解系， 则非齐次线性方程组b Ax =的通解为 . 4.设n m ?矩阵A 的秩r A R =)(，则n 元齐次线性方程组0=Ax 的解集S 的最大无关组S 的秩=R 。
第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+ λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r，则A中（） A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（） A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.1 2η1+1 2 η2是Ax=b的一个解 C.η1-η2是Ax=0的一个解 D.2η1-η2是Ax=b的一个解 9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）
线性代数证明题 1．设1234,,,αααα是非零的四维列向量，1234(,,,),*A A αααα=为A 的伴随矩阵，已知 0Ax =的基础解系为(1,0,2,0)T ，证明234,,ααα是方程组*0A x =的基础解系. 2.设A 是n 阶矩阵，且0n A =，则A E n -必是可逆矩阵。 3．,,A B C 均是n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若ABC E =，证明：BCA E = 4．设3级方阵,A B 满足124A B B E -=-，证明：2A E -可逆，并求其逆. 5．设A 是一个n 级方阵，且()R A r =，证明：存在一个n 级可逆矩阵P 使1 PAP -的后n r -行全为零. 6．设矩阵,m n n m A B ??，且,m n AB E <=，证明：A 的行向量组线性无关. 7．如果,2 A A =称A 为幂等矩阵.设 B A ,为n 阶幂等矩阵，证明：B A +是幂等矩阵的充要条件是.0==BA AB 8.如果对称矩阵A 为非奇异,试证:1-A 也是对称矩阵 9.设A ，B ，C 都是n 阶方阵，且C 可逆，T --+=A E B C C ）（11 , 证明：A 可逆且T -+=）（C B A 1 。 10.设0=k A ，其中k 为正整数，证明：121)(--++++=-k A A A E A E 11.设方阵A 满足A 2 -A-2E=O ，证明A 及A+2E 都可逆，并求1 1 2--+）及（E A A 12.试证：对任意方阵A ，均有 T A A +为对称矩阵， T A A -为反对称矩阵。 13.证明 1)(=A R 的充分必要条件是存在非零列向量α和非零行向量T β，使T A αβ= 14.设A 为列满秩矩阵，C A B =，证明方程0=BX 与0=CX 同解 15.设A 为n m ?矩阵，证明方程m E AX =有解m A R =?)( 16.向量组A 能 用向量组B 表示，则R(A)<=R(B) 17.设B A ,分别为m n n m ??,矩阵，则齐次方程组O =ABx 当n m >时必有非零解。 18、设，，，，144433322211ααβααβααβααβ+=+=+=+=证明向量组
线性代数（A 卷） 一﹑选择题(每小题3分,共15分) 1. 设A ﹑B 是任意n 阶方阵,那么下列等式必成立的是( ) (A)AB BA = (B)222()AB A B = (C)222()2A B A AB B +=++ (D)A B B A +=+ 2. 如果n 元齐次线性方程组0AX =有基础解系并且基础解系含有()s s n <个解向量,那么矩阵A 的秩为( ) (A) n (B) s (C) n s - (D) 以上答案都不正确 3.如果三阶方阵33()ij A a ?=的特征值为1,2,5,那么112233a a a ++及A 分别等于( ) (A) 10, 8 (B) 8, 10 (C) 10, 8-- (D) 10, 8-- 4. 设实二次型11212222(,)(,)41x f x x x x x ?? ??= ? ?-???? 的矩阵为A ,那么( ) (A) 2331A ??= ?-?? (B) 2241A ??= ?-?? (C) 2121A ??= ? -?? (D) 1001A ?? = ??? 5. 若方阵A 的行列式0A =，则( ) (A) A 的行向量组和列向量组均线性相关 (B)A 的行向量组线性相关,列向量组线性无关 (C) A 的行向量组和列向量组均线性无关 (D)A 的列向量组线性相关,行向量组线性无关 二﹑填空题(每小题3分,共30分) 1 如果行列式D 有两列的元对应成比例,那么该行列式等于 ； 2. 设100210341A -?? ? =- ? ?-?? ，*A 是A 的伴随矩阵，则*1()A -= ； 3. 设α,β是非齐次线性方程组AX b =的解,若λαμβ+也是它的解, 那么λμ+= ； 4. 设向量(1,1,1)T α=-与向量(2,5,)T t β=正交,则t = ； 5. 设A 为正交矩阵,则A = ；
线性代数习题和答案 第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+ λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r，则A中（） A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（） A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.1 2 η1+ 1 2 η2是Ax=b的一个解
×××大学线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，， ， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。 ① s ααα，， ， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，， ， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，， ， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示
《 线性代数A 》试题（A 卷） 试卷类别：闭卷 考试时间：120分钟 考试科目：线性代数 考试时间： 学号： 姓名： 题号 一 二 三 四 五 六 七 总 分 得分 阅卷人 一．单项选择题（每小题3分，共30分） 1．设A 经过初等行变换变为B ，则（ ）.(下面的(),()r A r B 分别表示矩阵,A B 的秩)。 () A ()()r A r B <； () B ()()r A r B =； ()C ()()r A r B >； () D 无法判定()r A 与()r B 之间的关系。 2．设A 为 (2)n n ≥阶方阵且||0A =，则（ ）。 () A A 中有一行元素全为零； () B A 有两行（列）元素对应成比例； () C A 中必有一行为其余行的线性组合； () D A 的任一行为其余行的线性组合。 3. 设,A B 是n 阶矩阵(2n ≥), AB O =,则下列结论一定正确的是: ( ) () ;A A O B O ==或 ()AX B B 的每个行向量都是齐次线性方程组=O 的解. ();C BA O = ()()().D R A R B n +≤ 4．下列不是n 维向量组12,,...,s ααα线性无关的充分必要条件是（ ） () A 存在一组不全为零的数12,,...,s k k k 使得1122...s s k k k O ααα+++≠；
() B 不存在一组不全为零的数12,,...,s k k k 使得1122...s s k k k O ααα+++= 12(),,...,s C ααα的秩等于s ； 12(),,...,s D ααα中任意一个向量都不能用其余向量线性表示 5．设n 阶矩阵(3)n ≥1...1................1a a a a a a A a a a ?? ? ? ?= ? ? ???，若矩阵A 的秩为1n -，则a 必为（ ）。 ()A 1； () B 11n -； () C 1-； () D 11 n -. 6．四阶行列式 1 1 2 2334 4 0000 000 a b a b b a b a 的值等于（ ）。 ()A 12341234a a a a b b b b -； ()B 12341234a a a a b b b b +； () C 12123434()()a a b b a a b b --； () D 23231414()()a a b b a a b b --. 7．设A 为四阶矩阵且A b =，则A 的伴随矩阵* A 的行列式为（ ）。 ()A b ； () B 2b ； () C 3b ； () D 4b 8．设A 为n 阶矩阵满足23n A A I O ++=，n I 为n 阶单位矩阵,则1 A -=（ ） () n A I ； ()3n B A I +； ()3n C A I --； ()D 3n A I + 9．设A ，B 是两个相似的矩阵，则下列结论不正确的是（ ）。 ()A A 与B 的秩相同； ()B A 与B 的特征值相同； () C A 与B 的特征矩阵相同； () D A 与B 的行列式相同；
线性代数期末考试试题含 答案 The final edition was revised on December 14th, 2020.
江西理工大学《线性代数》考题 一、 填空题（每空3分，共15分） 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的，则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵，且2 1=A ，则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵，n βββ ,,21为A 的n 个列向量，若方程组0=AX 只有零解，则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题（每题3分，共15分） 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ，则下列结论正确的是（ ） (A)当c b a ,,取任意实数时，方程组均有解 (B)当a ＝0时，方程组无解 (C) 当b ＝0时，方程组无解 (D)当c ＝0时，方程组无解 7. 同为n 阶方阵，则（ ）成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ，??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则（ ）成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵，则AB 的伴随矩阵=*)(AB （ ） (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵，r A r =)(＜n ，那么A 的n 个列向量中（ ）
《线性代数》常见证明题型及常用思路 、证明题 题型1关于1,K , m 线性相关性的证明中常用的结论 (1)设1 1 L m m 0，然后根据题设条件，通过解方程组 或其他手段：如果能证明 1，K , m 必全为零，则1，K , m 线性无 关；如果能得到不全为零的1 ,K , m 使得等式成立，贝S 1，K , m 线 性相关。 2) 1,K , m 线性相关当且仅当其中之一可用其他向量线性表示。 时候我们设 0, 根据题设条件 1,K , m W 1, 1,K , t W 2的线性无关得到系数全为零。 题型2.关于欧氏空间常用结论 (1) 内积的定义 (2) 单位正交基的定义 (3)设B { 1,K , n }是单位正交基, (3)如果 1，K , m F “，则可通过矩阵的秩等方面的结论证明。 4 ) 一如果 有两个线性无关组， 1，K , m W 1， 1,K , t W 2,且W 1,她是同一个线性空间的两 个子空间，要证 1,K , 1,K , t 线性无关。这种情况下，有些 0 ，进而由
U B (X i,K,X n),V B (y i,K,y n)。则(u,v) x$ L x“y n5 题型3.关于矩阵的秩的证明中常用的结论 (1)初等变换不改变矩阵的秩 (2)乘可逆矩阵不改变矩阵的秩 (3)阶梯形的秩 (4)几个公式(最好知道如何证明)：常用来证明关于秩的不等式 r(A B) r(A) r(B); r(AB) min{ r(A),r(B)}; r(A) r(A T) r(A T A); A T 计")'")} "A? r B T r(A) r(B)； A r(A)r(B); r B A r(A) r(B) r(C); B r(A)r(B)r C B0r(A)r(B) n A m n (5)利用分块矩阵的初等变化不改变矩阵的秩(常用来证明关于秩的不等式) 例：证明：r(A m n) r(B) n r(AB)。 证:
线性代数期末考试题样卷 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，， ，Λ21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，，Λ21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，，Λ21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。 ① s ααα，， ，Λ21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，， ，Λ21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，， ，Λ21中任一个向量都不能用其余向量线性表示
（试卷一） 一、 填空题（本题总计20分，每小题2分） 1. 排列7623451的逆序数是_______ 。 2. 若 122 21 1211=a a a a ，则=1 6 030 32221 1211a a a a 3. 已知n 阶矩阵A 、B 和C 满足E ABC =，其中E 为n 阶单位矩阵，则 CA B =-1 。 4. 若A 为n m ?矩阵，则非齐次线性方程组AX b =有唯一解的充分要条件是 _________ 5. 设A 为 86 ?的矩阵，已知它的秩为4，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为 __2___________。 6. 设A 为三阶可逆阵，??? ? ? ? ?=-12 30120011 A ，则=*A 7.若A 为n m ?矩阵，则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是 8.已知五阶行列式1 2 3 4 5 3201111111 2 1403 54321=D ，则=++++4544434241A A A A A 9. 向量α=(2,1,0,2) T -的模（范数）______________。 10.若()T k 11=α与()T 12 1 -=β正交，则=k 二、选择题（本题总计10分，每小题2分） 1. 向量组r ααα,,,21 线性相关且秩为s ，则(D) Ａ．s r = Ｂ．s r ≤ Ｃ．r s ≤ Ｄ．r s < 2. 若A 为三阶方阵，且043,02,02=-=+=+E A E A E A ，则=A (A) Ａ．8 Ｂ．8- Ｃ． 3 4 Ｄ．3 4-
3．设向量组A 能由向量组B 线性表示，则( d ) Ａ．)()(A R B R ≤ Ｂ．)()(A R B R < Ｃ．)()(A R B R = Ｄ．)()(A R B R ≥ 4. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ，则 () * kA 等于_____。c )(A * kA )(B * A k n )(C * -A k n 1 )(D * A 5. 设n 阶矩阵A ，B 和C ，则下列说法正确的是_____。 )(A AC AB = 则 C B = )(B 0=AB ,则0=A 或0=B )(C T T T B A AB =)( )(D 2 2))((B A B A B A -=-+ 三、计算题（本题总计60分。1-3每小题8分,4-7每小题9分） 1. 计算n 阶行列式2 222 1 = D 2 222 2 22322 2 122 2-n n 222 2 。 2．设A 为三阶矩阵，* A 为A 的伴随矩阵，且2 1=A ，求* A A 2) 3(1 --. 3．求矩阵的逆 1112 1112 0A ?? ?=- ? ?? ? 4. 讨论λ为何值时，非齐次线性方程组2 1231231 231 x x x x x x x x x λλλλλ?++=? ++=??++=? ① 有唯一解； ②有无穷多解； ③无解。 5. 求下非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组的基础解系和此方程组的通解。 ??? ??=++=+++=+++5 221322 431 43214321x x x x x x x x x x x 6.已知向量组 () T 32 01 1=α、 () T 53 1 12=α、 () T 131 1 3-=α、
江西理工大学《线性代数》考题 一、 填空题（每空3分，共15分） 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的，则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵，且2 1=A ，则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵，n βββ ,,21为A 的n 个列向量，若方程组0=AX 只有零解，则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题（每题3分，共15分） 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ，则下列结论正确的是（ ） (A)当c b a ,,取任意实数时，方程组均有解 (B)当a ＝0时，方程组无解 (C) 当b ＝0时，方程组无解 (D)当c ＝0时，方程组无解 7. A.B 同为n 阶方阵，则（ ）成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ，??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则（ ）成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵，则AB 的伴随矩阵=*)(AB （ ） (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵，r A r =)(＜n ，那么A 的n 个列向量中（ ） （A ）任意r 个列向量线性无关