课题：平行与垂直关系的证明
学习目标：掌握线线平行、线面平行、面面平行的判定方法，并能熟练解决线面平行、面面平行的证明问题.(注意平行关系的相互转化)
学习重点：平行关系的证明
学习重点：线线、线面、面面平行关系的相互转化。
一、主要知识及主要方法：
3.面面平行的证明：
（二）典例分析： 例1．（1）a 、b 、c 是条不重合的直线，αβγ、、为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题：
(1)
;;;;_______a c a c c a b a b a b c b c a c a a γαααβαγβαγαγαβαβγγ????
????????????
??
?;?????
∥∥∥∥∥(2)∥；(3)∥(4)∥∥∥∥∥∥∥(5)
∥(6)∥其中正确的序号是∥∥
(2)．设有平面α、β和直线m 、n ，则m ∥α的一个充分条件是( )
A.α⊥β且m ⊥β
B.α∩β=n 且m ∥n C .m ∥n 且n ∥α D.α∥β且m β
例2．已知M 、N 、P 是下列正方体各棱的中点，则AB//平面MNP 的图形序号是__________
例3．如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中AB AC ⊥，
PA ⊥平面ABCD ，且 PA AB =，点E 是PD 的中点.（1）AC PB ⊥
（2）//EAC PB 平面
例4．如下图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、P 分别是C 1C 、B 1C 1、C 1D 1的中点， 求证：（1）平面MNP ∥平面A 1BD .（2）AP ⊥MN ；
A
C C
1
1
M
P
A
B
C D E P
B
B B
M
N
N
M
P
A
A A A B
M
M
N
N
P
P P ①
②
③
④
例5．如图，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，11
2
AA AB =
，点E 、M 分别为1A B 、 1CC 的中点，过点1A 、
B 、M 三点的平面1A BMN 交11
C
D 于点N 。(1）求证：1111EM//A B C D 平面；（2）设截面A 1BMN 把该正四棱柱截成的两个几何体的体积分别为V 1、V 2（V 1＜V 2），求V 1∶V 2的值.
A
1
例6．如图，设P 为正方形ABCD 所在平面外一点，PA ⊥平面ABCD 。M 、N 、O 分别为BC 、P A 、BD 的中点，(1)求证：BD ⊥ON ；(2)在直线AB 上是否存在一点S ，
使得SN //平面PDM ，若存在，求出S 点位置；若不存在，说明
理由。
例7．（09四）如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，△ABE 是等腰直角三角形，,,45AB AE FA FE AEF ?
==∠= (1)求证：EF BCE ⊥平面；
(2)设线段CD 、AE 的中点分别为P 、M ，求证： PM ∥BCE 平面 (3)求二面角F BD A --的大小
C
P E
M
A B
D
F
N
D
C
A
B
M
O P
例8．如图，DC ⊥平面ABC ，//EB DC ，22AC BC EB DC ====，120ACB ∠=
，,P Q 分别
为,AE AB 的中点．
（1）证明：//PQ 平面ACD ；
（2）求AD 与平面ABE 所成角的正弦值．
例9．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，E 、F 分别是1A B 、1AC 的中点，点D 在11B C 上，11A D B C ⊥。
求证：（1）EF ∥平面ABC ；（2）平面1A FD ⊥平面11BB C C .
例10．四边形ABCD 为矩形，AD ABE ⊥面，2AE EB BC ===。F 为CE 上的点且BF ACE ⊥面 (1)AE BE ⊥
(2)求三棱锥D AEC -体积
(3)设M 在线段上AB 且2AM MB =在CE 是否存在 一点N 使//MN DAE 面若存在确定点N 位置，不存在说明理由
A
B
C
D
F
E
M
1.2.2空间中的平行关系 【目标要求】 1.理解并掌握公理4，能应用其证明简单的几何问题. 2.理解并掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，明确线线平行与面面平行的关系. 3.能够熟练的应用线面平行的性质定理和判定定理. 1.以下说法中正确的个数是（其中a，b表示直线，表示平面α） ( ) ①若a∥b，b∥α，则a∥α②若a∥α，b∥α，则a∥b ③若a∥b，b∥α，则a∥α④若a∥α，b∥α，则a∥b A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 2.a∥α，b∥β，a∥b，则α与β的位置关系是（） A.平行 B.相交 C.平行或相交 D.一定垂直 3.如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是d，则直线AB和平面α的位置关系一定是（） A.平行 B.相交 C.平行或相交 D. AB?α 4.当α∥β时，必须满足的条件（） A.平面α内有无数条直线平行于平面β B.平面α与平面β同平行于一条直线 C.平面α内有两条直线平行于平面β D.平面α内有两条相交直线与β平面平行 5.已知a∥α，b∥α，则直线a，b的位置关系①平行；②垂直不相交；③垂直相交；④相交；⑤不垂直且 不相交.；其中可能成立的有（） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 6.直线a∥平面α，点A∈α，则过点A且平行于直线a的直线（） A.只有一条，但不一定在平面α内 B.只有一条，且在平面α内 C.有无数条，但都不在平面α内 D.有无数条，且都在平面α内 7.已知直线a∥平面α，且它们的距离为d，则到直线a与到平面α的距离都等于d的点的集合是 （） A.空集 B.两条平行直线 C.一条直线 D.一个平面 8. A、B是直线l外的两点，过A、B且和l平行的平面的个数是（） A.0个 B.1个 C.无数个 D.以上都有可能 9.设α，β是不重合的两个平面，l和m是不重合的两条直线，则能得出α∥β的是（） A.l?α，m?α，且l∥β，m∥β B.l?α，m?β，且l∥m C.l⊥α，m⊥β，且l∥m D.l∥α，m∥β，且l∥m 10.已知直线a、b，平面α、β，以下条件中能推出α∥β的是（） ①a?α，b?β，a∥b；②a?α，b?α，a∥β，b∥β；③a∥b，a⊥α，b⊥β. A.① B.② C.③ D.均不能 11.若平面α∥平面β，直线a?α，直线b?β，那么直线a，b的位置关系是（） A.垂直 B.平行 C.相交 D.不相交 12.梯形ABCD中AB∥CD，AB?平面α，则直线CD与平面α的位置关系是（） A.平行 B.平行或相交 C.相交 D. CD平行平面α或CD?α 13.正方体AC1中，E、F、G分别为B1C1、A1D1、A1B1的中点 求证：平面EBD//平面FGA.
. . 空间中的线面关系 要求层次 重难点 空间线、面的位置关系 B ① 理解空间直线、平面位置关系的定 义，并了解如下可以作为推理依据的公 理和定理． ◆公理1：如果一条直线上的两点 在一个平面，那么这条直线上所有的点 在此平面． ◆公理2：过不在同一条直线上的 三点，有且只有一个平面． ◆公理3：如果两个不重合的平面 有一个公共点，那么它们有且只有一条 过该点的公共直线． ◆公理4：平行于同一条直线的两 条直线互相平行． ◆定理：空间中如果一个角的两边 与另一个角的两边分别平行，那么这两 个角相等或互补． ② 以立体几何的上述定义、公理和 定理为出发点，认识和理解空间中线面 平行、垂直的有关性质与判定． 公理1，公理2，公理3，公理4，定理* A 高考要求 模块框架 空间位置关系的判断与证明
. . 理解以下判定定理． ◆如果平面外一条直线与此平面的 一条直线平行，那么该直线与此平面平 行． ◆如果一个平面的两条相交直线与 另一个平面都平行，那么这两个平面平 行． ◆如果一条直线与一个平面的两条 相交直线都垂直，那么该直线与此平面 垂直． ◆如果一个平面经过另一个平面的 垂线，那么这两个平面互相垂直． 理解以下性质定理，并能够证明． ◆如果一条直线与一个平面平行， 经过该直线的任一个平面与此平面相 交，那么这条直线就和交线平行． ◆如果两个平行平面同时和第三个 平面相交，那么它们的交线相互平行． ◆垂直于同一个平面的两条直线平 行． ◆如果两个平面垂直，那么一个平 面垂直于它们交线的直线与另一个平面 垂直． ③ 能运用公理、定理和已获得的结 论证明一些空间位置关系的简单命题． *公理1：如果一条直线上的两点在一个平面，那么这条直线在此平面． 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 公理4：平行于同一条直线的两条直线平行． 定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 1．集合的语言： 我们把空间看做点的集合，即把点看成空间中的基本元素，将直线与平面看做空间的子集，这样便可以用集合的语言来描述点、直线和平面之间的关系： 点A 在直线l 上，记作：A l ∈；点A 不在直线l 上，记作A l ?； 点A 在平面α，记作：A α∈；点A 不在平面α，记作A α?； 直线l 在平面α（即直线上每一个点都在平面α），记作l α?； 直线l 不在平面α（即直线上存在不在平面α的点），记作l α?； 直线l 和m 相交于点A ，记作{}l m A =，简记为l m A =； 知识内容
课题：空间中的平行关系 授课人:杜仙梅 教学目标：1．掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理,灵活运用线面平行的判定定理和性质定理实现“线线”“线面”平行的转化。 2．掌握两个平面平行的判定定理及性质定理，灵活运用面面平行的判定定理和性质定理实现“线面”“面面”平行的转化． 教学重点、难点：线面平行的判定定理和性质定理的证明及运用；两个平面平行的判定和性质及其灵活运用． 教学方法：探究、引导、讲练相结合 教学过程： 基础知识梳理 1．直线与平面平行的判定与性质 (1)判定定理： 平面外一条直线与_______________平行，则该直线与此平面平行．（此平面内的一条直线） (2)性质定理： 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线．（平行）2．平面与平面平行的判定与性质 (1)判定定理： 一个平面内的与另一个平面平行，则这两个平面平行．（两条相交直线） (2)性质定理： 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线．（平行） 思考：能否由线线平行得到面面平行？ 【思考·提示】可以．只要一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，这两个平面就平行． 三基能力强化 1．两条直线a、b满足a∥b，b?α，则a与平面α的关系是(C) A．a∥α B．a与α相交 C．a与α不相交 D．a?α 2．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为_____．(平行) 课堂互动讲练 考点一 直线与平面平行的判定： 判定直线与平面平行，主要有三种方法： (1)利用定义(常用反证法)． (2)利用判定定理：关键是找平面内与已知直线平行的直线．可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线．(3)利用面面平行的性质定理：当两平面平行时，其中一个平面内的任一直线平行于另一平面． 特别提醒：线面平行关系没有传递性，即平行线中的一条平行于一平面，另一条不一定平行于该平面．例1正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一 点P、Q，且AP＝DQ. 求证：PQ∥平面BCE. 【证明】法一：如图所示，作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N， 连结MN、PQ.
空间中的平行关系 【考点导读】 1．掌握直线和平面平行、两个平面平行的判定定理和性质定理。 2．明确定义与定理的不同，定义是可逆的，既是判定也是性质，而判定定理与性质定理多是不可逆的。 3．要能灵活的对“线线平行”、“线面平行”和“面面平行”进行转化。 【基础练习】 1．若b a 、为异面直线，直线c ∥a ，则c 与b 的位置关系是 异面或相交 。 2．给出下列四个命题: ①垂直于同一直线的两条直线互相平行. ②垂直于同一平面的两个平面互相平行. ③若直线12,l l 与同一平面所成的角相等,则12,l l 互相平行. ④若直线12,l l 是异面直线,则与12,l l 都相交的两条直线是异面直线. 其中假． 命题的个数是 4 个。 3．对于任意的直线l 与平面a ,在平面a 内必有直线m ,使m 与l 垂直 。 4. 已知a 、b 、c 是三条不重合的直线，α、β、r 是三个不重合的平面，下面六个命题： ①a ∥c ，b ∥c ?a ∥b ；②a ∥r ，b ∥r ?a ∥b ；③α∥c ，β∥c ?α∥β； ④α∥r ，β∥r ?α∥β；⑤a ∥c ，α∥c ?a ∥α；⑥a ∥r ，α∥r ?a ∥α． 其中正确的命题是 ①④ 。 【范例导析】 例1．如图，在四面体ABCD 中，截面EFGH 是平行四边形． 求证：AB ∥平面EFG ． 证明 ：∵面EFGH 是截面． ∴点E ，F ，G ，H 分别在BC ，BD ，DA ，AC 上． ∴EH 面ABC ，GF 面ABD ， 由已知，EH ∥GF ．∴EH ∥面ABD ． 又 ∵EH 面BAC ，面ABC ∩面ABD=AB ∴EH ∥AB ． ∴AB ∥面EFG ． 例2． 如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点N 在BD 上，点M 在B 1C 上，并且CM=DN. 求证:MN ∥平面AA 1B 1B. 分析：“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”是可以互相转化的。本题可以采用任何一种转化方式。 简证：法1：把证“线面平行”转化为证“线线平行”。
c c ∥∥b a b a ∥?一、“平行关系”常见证明方法 （一）直线与直线平行的证明 1) 利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行 2) 利用三角形中位线性质 3) 利用空间平行线的传递性（即公理4）： 平行于同一条直线的两条直线互相平行。 4) 利用直线与平面平行的性质定理： 如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那 么这条直线和交线平行。 5) 利用平面与平面平行的性质定理： 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． 6) 利用直线与平面垂直的性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线互相平行。 a b α β b a a =??βαβ α∥b a ∥? b a b a ////??? ? ?? ==γβγαβα β α ⊥⊥b a b a ∥?
7) 利用平面内直线与直线垂直的性质： 在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 8) 利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点 （二）直线与平面平行的证明 1) 利用直线与平面平行的判定定理： 平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 2) 利用平面与平面平行的性质推论： 两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。 3) 利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点 （三）平面与平面平行的证明 常见证明方法： 1) 利用平面与平面平行的判定定理： 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 α b a β α a β αα∥?a β ∥a ?b ∥a b a αα??α ∥a ?
( 数学教案 ) 学校：_________________________ 年级：_________________________ 教师：_________________________ 教案设计 / 精品文档 / 文字可改 七年级数学：空间里的平行关系 (教学实录) Mathematics is a tool subject, it is the basis for learning other subjects, and it is also a subject that improves people's judgment, analysis, and comprehension abilities.
七年级数学：空间里的平行关系(教学实 录) 教学建议 一、知识结构 在平行线知识的基础上，教科书以学生对长方体的直观认识为基础，通过观察长方体的某些棱与面、面与面的不相交，进而把它们想象成空间里的直线与平面、平面与平面的不相交，来建立空间里平行的概念．培养学生的空间观念． 二、重点、难点分析 能认识空间里直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系既是本节教学重点也是难点．本节知识是线线平行的相关知识的延续，对培养学生的空间观念，进一步研究空间中的点、线、面、
体的关系具有重要的意义． 1．我们知道在同一平面内的两条直线的位置关系有两种：相交或平行，由于垂直和平行这两种关系与人类的生产、生活密切相关，所以这两种空间位置关系历来受到人们的关注，前面我们学过在平面内直线与直线垂直的情况，以及在空间里直线与平面，平面与平面的垂直关系． 2．例如：在图中长方体的棱AA'与面ABCD垂直,面A'ABB'与面ABCD互相垂直并且当时我们还从观察中得出下面两个结论: (1)一条棱垂直于一个面内两条相交的棱,这条棱与这个面就互相垂直． (2)一个面经过另一个面的一条垂直的棱,这两个面就互相垂直． 正如上述，在空间里有垂直情况一样，在空间里也有平行的情况，首先看棱AB与面A'B'C'D'的位置关系,把棱AB向两方延长,面A'B'C'D'向各个方向延伸,它们总也不会相交,像这样的棱和面就是互相平行的,同样,棱AB与面DD'C'C是互相平行的,棱AA'与面
空间中的线面关系 要求层 次 重难点 空间线、面的位置关系 B ①理解空间直线、平面位置关系的定 义，并了解如下可以作为推理依据的公 理和定理． ◆公理1：如果一条直线上的两点在 一个平面，那么这条直线上所有的点在 此平面． ◆公理2：过不在同一条直线上的三 点，有且只有一个平面． 公理1，公理2，公理3， 公理4，定理* A 高考要求 模块框架 空间位置关系的判断与证明
垂线，那么这两个平面互相垂直． 理解以下性质定理，并能够证明． ◆如果一条直线与一个平面平行，经 过该直线的任一个平面与此平面相交， 那么这条直线就和交线平行． ◆如果两个平行平面同时和第三个 平面相交，那么它们的交线相互平行． ◆垂直于同一个平面的两条直线平 行． ◆如果两个平面垂直，那么一个平面 垂直于它们交线的直线与另一个平面垂 直． ③能运用公理、定理和已获得的结 论证明一些空间位置关系的简单命题． *公理1：如果一条直线上的两点在一个平面，那么这条直线在此平面． 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线平行． 定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 知识内容 1．集合的语言：
我们把空间看做点的集合，即把点看成空间中的基本元素，将直线与平面看做空间的子集，这样便可以用集合的语言来描述点、直线和平面之间的关系： 点A 在直线l 上，记作：A l ∈；点A 不在直线l 上，记作A l ?； 点A 在平面α，记作：A α∈；点A 不在平面α，记作A α?； 直线l 在平面α（即直线上每一个点都在平面α），记作l α?； 直线l 不在平面α（即直线上存在不在平面α的点），记作l α?； 直线l 和m 相交于点A ，记作{}l m A =，简记为l m A =； 平面α与平面β相交于直线a ，记作a αβ=． 2．平面的三个公理： ⑴ 公理一：如果一条直线上的两点在一个平面，那么这条直线上所 有的点都在这个平面． 图形语言表述：如右图： 符号语言表述：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈?? ⑵ 公理二：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面， 也可以简单地说成，不共线的三点确定一个平面． 图形语言表述：如右图， 符号语言表述：,,A B C 三点不共线?有且只有一个平面α， 使,,A B C ααα∈∈∈． ⑶ 公理三：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且 只有一条过这个点的公共直线． 图形语言表述：如右图： 符号语言表述：,A a A a αβα β∈?=∈． 如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直线叫做两个平面 的交线． 3．平面基本性质的推论： 推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面．
《空间中的平行关系》教案 教学目标 1、知识与技能 （1）认识和理解空间平行线的传递性，会证明空间等角定理. （2）通过直观感知，归纳直线和平面平行及平面和平面平行的判定定理. （3）掌握直线和平面平行，平面与平面平行的判定定理和性质定理，并能利用这些定理解决空间中的平行关系问题. 2、过程与方法 通过类比和转换的思维方法，将空间中的某些立体图形问题转化为平面图形的问题，从而化难为易，化繁为简，带未知为已知，使问题得到很好的解决（线∥线线∥面面∥面）.教学重难点 重点：平面的基本性质与推论以及它们的应用；线线平行及平行线的传递性和面面平行的定义与判定. 难点：自然语言与数学图形语言和符号语言间的相互转化与应用；如何由平行公理以及其他基本性质推出空间线、线，线、面和面、面平行的判定和性质定理，并掌握这些定理的应用. 教学过程 一、导入 看图观察，图中的关系是什么？ 二、平面中的平行关系 1. 平行直线 （1）空间两条直线的位置关系 ①相交：在同一平面内，有且只有一个公共点； ②平行：在同一平面内，没有公共点. （2）初中几何中的平行公理： 过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行. 【说明】此结论在空间中仍成立． （3）公理4（空间平行线的传递性）： 平行于同一条直线的两条直线互相平行．即：如果直线a // b,c // b，那么a // c. 【说明】此公理是判定两直线平行的重要方法：寻找第三条直线分别与前两条直线平行. 2. 等角定理 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这
两个角相等. 推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等. 需要说明的是：对于等角定理中的条件：“方向相同”. （1）若仅将它改成“方向相反”，则这两个角也相等. （2）若仅将它改成“一边方向相同，而另一边方向相反”，则这两个角互补.此定理及推论是证明角相等问题的常用方法. 3. 空间图形的平移 如果空间图形F的所有点都沿同一方向移动相同的距离到F＇的位置，则说图形F在空间做了一次平移. 注意：图形平移后与原图形全等，即对应角和对应两点间的距离保持不变. 图形平移有如下性质： （1）平移前后的两个图形全等； （2）对应角的大小平移前后不变； （3）对应两点的距离平移前后不变； （4）对应两平行直线的位置关系在平移前后不变； （5）对应两垂直直线的位置关系在平移前后不变. 4. 证明空间两直线平行的方法 （1）利用定义 用定义证明两条直线平行，需证两件事：一是两直线在同一平面内；二是两直线没有公共点. （2）利用公理4 用公理4证明两条直线平行，只需证一件事：就是需找到直线c，使得a // c，同时b//c，由公理4得a // b. 5. 直线与平面平行 （1）直线和平面的位置关系有三种，用公共点的个数归纳为 （2）线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.
【考点2:空间直线、平面的平行与垂直关系证明】题型1：直线、平面平行的判断及性质 【典型例题】 [例1]?(1)如图,在四面体P ABC中,点D,E,F,G分别是棱 AP,AC,BC,PB的中点.求证：DE∥平面BCP . ?(2)(2013福建改编)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥DC, AB＝6,DC＝3,若M为P A的中点,求证：DM∥平面PBC . ?(3)如图,在四面体A-BCD中,F,E,H分别是棱AB,BD,AC 的中点,G为DE的中点.证明：直线HG∥平面CEF . [例2]?(1)如图,在三棱柱ABC—A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证： ①B,C,H,G四点共面； ②平面EF A1∥平面BCHG . ?(2)如图E、F、G、H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点.求证： ①EG∥平面BB1D1D； ②平面BDF∥平面B1D1H . 【变式训练】 1.(2014·衡阳质检)在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E是DD1 的中点,则BD1与平面ACE的位置关系为______. 2.如图,四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外 一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平 面交平面BDM于GH. 求证：AP∥GH . 3.如图,在长方体ABCD－A1B1C1D1中,E,H分别为棱 A1B1,D1C1上的点,且EH∥A1D1,过EH的平面与棱BB1,CC1 相交,交点分别为F,G,求证：FG∥平面ADD1A1 . 4.如图,已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体,点E 在AA1上,点F在CC1上,G在BB1上,且AE＝FC1＝B1G＝ 1,H是B1C1的中点. (1)求证：E,B,F,D1四点共面； (2)求证：平面A1GH∥平面BED1F . 题型2：直线、平面垂直的判断及性质 【典型例题】 [例1]?(1)如图,在四棱锥P-ABCD中, P A⊥底面ABCD, AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,P A＝AB＝BC,E是PC中点. 证明：①CD⊥AE；②PD⊥平面ABE . ?(2)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,AB⊥平面
1 / 2word. 空间中的平行关系 直线与平面平行的判定定理： 平面与平面平行的判定定理： 直线与平面平行的性质定理： 平面与平面平行的性质定理： 1.以下说法中正确的个数是（其中a ，b 表示直线， 表示平面α） ( ) ①若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α ②若a ∥α ，b ∥α ，则a ∥b ③若a ∥b ，b ?α，则a ∥α ④若a ∥α ，b ∥α，则a 与b 相交 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 2.a ∥α ，b ∥β ，a ∥b ，则α 与β 的位置关系是 （ ） A.平行 B.相交 C.平行或相交 D.一定垂直 3.如果平面α外有两点A 、B ，它们到平面α的距离都是d ，则直线AB 和平面α的位置关系一定是（ ） A.平行 B.相交 C.平行或相交 D. AB ?α 4.当α∥β时，必须满足的条件 （ ） A.平面α内有无数条直线平行于平面β B.平面α与平面β同平行于一条直线 C.平面α内有两条直线平行于平面β D.平面α内有两条相交直线与β平面平行 5.直线a ∥平面α，点A ∈α，则过点A 且平行于直线a 的直线 （ ） A.只有一条，但不一定在平面α内 B.只有一条，且在平面α内 C.有无数条，但都不在平面α内 D.有无数条，且都在平面α内 6. A 、B 是直线l 外的两点，过A 、B 且和l 平行的平面的个数是 （ ） A.0个 B.1个 C.无数个 D.以上都有可能 7.设α，β是不重合的两个平面，l 和m 是不重合的两条直线，则能得出α∥β的是（ ） A.l ?α，m ?α，且l ∥β，m ∥β B.l ?α，m ?β，且l ∥m C. l ?α，l ∥m ，且m ∥β D.l ∥α，m ∥β，且l ∥m 8. 如图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，M 、N 分别是BC 和A 1B 1的中点. 求证：MN ∥平面AA 1C 1 9.正方体AC 1中，E 、F 、G 分别为B 1C 1、A 1D 1、A 1B 1的中点 求证：平面EBD//平面FGA . 10、已知E 、F 、G 、H 为空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上的点，且ＥＨ∥ＦＧ．求证：EH ∥ BD . H G F E D B A C
空间的平行关系综合问题 空间平行与垂直关系的关系的证明要注意转化：线线平行线面平行面面平行，线线垂直线面垂直面面垂直。 一、线线平行。判定两线平行的方法 1、平行于同一直线的两条直线互相平 行2、垂直于同一平面的两条直线互相平行；3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行；4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行；5、在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明 二、线面平行。判定线面平行的方法 1、据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点；2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行；3、两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面； 4、平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面； 5、平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面 基础训练题 1.下列命题中，正确命题的个数是 . ①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α;②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行；③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行；④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点. 2.下列条件中，不能判断两个平面平行的是（填序号）. ①一个平面内的一条直线平行于另一个平面②一个平面内的两条直线平行于另一个平面③一个平面内有无数条直线平行于另一个平面④一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 3.对于平面α和共面的直线m、n，下列命题中假命题是（填序号）. ①若m⊥α，m⊥n，则n∥α②若m∥α，n∥α，则m∥n ③若m?α，n∥α，则m∥n ④若m、n与α所成的角相等，则m∥n 4.已知直线a,b,平面α，则以下三个命题： ①若a∥b,b?α,则a∥α; ②若a∥b,a∥α,则b∥α; ③若a∥α,b∥α,则a∥b. 其中真命题的个数是 . 5、设有直线m、n和平面α、β.下列命题不正确的是（填序号）. ①若m∥α,n∥α,则m∥n②若m?α，n?α,m∥β,n∥β,则α∥β
空间中的平行关系练习题 知识点小结 平面的基本性质与推论 一．平面的基本性质：1.连接两点的线中，________最短。 2.过两点有且仅有________条直线。 二.基本性质： 1.基本性质1：如果一条直线上的_____点在一个平面内，那么这条直线上的________都在这个平面内。 作用：判断直线是否在平面内 2.基本性质2：经过________________三点，有且只有________个平面。 作用：确定一个平面的依据。 3.基本性质3：如果两个不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 作用：判定两个平面是否相交的依据 三．平面基本性质的推论 推论1 ___________________________，有且只有一个平面。 推论2 ___________________________，有且只有一个平面。 推论3 ___________________________，有且只有一个平面。 四．异面直线 1.____________________的直线叫做异面直线。 2.空间的两条直线关系：_________、__________、__________。 空间中的平行关系 一.平行直线 1.过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行。 2.基本性质4 （空间直线的传递性)平行于同一条直线的两条直线互相 _______。 3.等角定理如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应 ________，并且方向 ________，那么这两个角相等。 4.空间四边形顺次连接不共面的四点A,B,C,D所构成的图形，叫做空间四边形，连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的 ____________。 二.直线与平面平行 1.直线与平面有三种位置关系： _______________________ ——有无数个公共点 _______________________ ——有且只有一个公共点 _______________________ ——没有公共点 注：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外。 2.直线与平面平行的判定定理：如果 _________________________________，则该直线与此平面平行。 简记为：线线平行，则线面平行。 3.直线与平面平行的性质定理如果一个直线和一个平面____________，经过这条直线的平面和这个平面_________，那么这条直线就和两个平面的交线平行。 三.平面与平面平行 1.两个平面平行的判定定理：如果 ___________________________________，那么这两个平面平行。 两个平面平行的推论：如果 _________________________________________，那么这两个平面平行。 3.两个平面平行的性质定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么 _________________平行。 两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例。
A B C D A 1 D 1 C 1 B 1 F E H G 平行关系的判定与证明 一、知识梳理： 1、平行关系： （1）直线与平面平行：直线a 与平面α没有公共点，称直线a 平行于平面α，记为//a α 判定定理：___________________________ 符号表示： __________________________ 性质定理： __________________________ 符号表示： _________________________ (2)平面与平面平行：平面α与平面β没有公共点，则称平面α与平面β平行，记为//αβ 判定定理： ___________________________符号表示： __________________________ 性质定理：___________________________ 符号表示： __________________________ 2、常见平行关系：（自己用符号表示） （1）、平行于同一条直线的两条直线平行。 （2）、垂直于同一个平面的两条直线互相平行。 （3）、如果一条直线和一个平面平行，过这条直线的平面与该平面相交，则这条直线和交线平行。 （4）、如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和这两个平面的交线平行。 （5）、两平面平行且同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 （6）、平面外一条直线平行与平面内一条直线，则该直线与此平面平行。 （7）、两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面。 （8）、平面外两条平行线，如果其中一条平行于该平面，则另一条也与此平面平行。 （9）、一个平面内有两条相交直线都平行与另一个平面，则两个平面平行。 （10）、一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行。 （11）、垂直于同一条直线的两个平面平行。 （12）、同时平行于第三个平面的两个平面平行。 二、典例精析 考点一 直线与直线平行的判定 判定直线与平面平行，主要有以下几种方法：（1）平几法；（2）线线平行法；（3）线面平行法；（4）面面平行法；（5）线面垂直法；（6）向量法。 1、如图2－72，棱长为a 的正方体1111A -ABCD D C B 中，E 、F 分别 是11C B 、11D C 的中点，（1）求证：E 、F 、B 、D 四点共面； （2）求四边形EFDB 的面积． ⑴证明：如答图所示，连结B 1D 1，在△C 1B 1D 1中，C 1E ＝EB 1，C 1F ＝FD 1 ， ∴EF//B 1D 1，且EF ＝ 2 1 B 1D 1，又A 1A =//B 1B ，A 1A =//D 1D ，∴B 1B =//D 1D ， ∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形. ∴B 1D//BD ，EF//BD ，∴E 、F 、D 、B 四点共面 ⑵由AB ＝a ，知BD ＝B 1D 1＝2a ，EF ＝ 2 2a ，
空间位置关系的判断与证明模块框架 高考要求
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 公理4：平行于同一条直线的两条直线平行． 定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 1．集合的语言： 我们把空间看做点的集合，即把点看成空间中的基本元素，将直线与平面看做空间的子集，这样便可以用集合的语言来描述点、直线和平面之间的关系： 点A 在直线l 上，记作：A l ∈；点A 不在直线l 上，记作A l ?； 点A 在平面α内，记作：A α∈；点A 不在平面α内，记作A α?； 直线l 在平面α内（即直线上每一个点都在平面α内），记作l α?； 直线l 不在平面α内（即直线上存在不在平面α内的点），记作l α?； 直线l 和m 相交于点A ，记作{}l m A = ，简记为l m A = ； 平面α与平面β相交于直线a ，记作a αβ= ． 2．平面的三个公理： ⑴ 公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所 有的点都在这个平面内． 图形语言表述：如右图： 知识内容
符号语言表述：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈?? ⑵ 公理二：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面， 也可以简单地说成，不共线的三点确定一个平面． 图形语言表述：如右图， 符号语言表述：,,A B C 三点不共线?有且只有一个平面α， 使,,A B C ααα∈∈∈． ⑶ 公理三：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且 只有一条过这个点的公共直线． 图形语言表述：如右图： 符号语言表述：,A a A a αβαβ∈?=∈ ． 如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直线叫做两个平面的交线． 3．平面基本性质的推论： 推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 4．共面：如果空间中几个点或几条直线可以在同一平面内，那么我们说它们共面． <教师备案>1．公理１反映了直线与平面的位置关系，由此公理我们知道如果一条直线与一 个平面有公共点，那公共点要么只有一个，要么直线上所有点都是公共点，即直线在平面内． 2．公理２可以用来确定平面，只要有不在同一条直线上的三点，便可以得到一个确定的平面，后面的三个推论都是由这个公理得到的．要强调这三点必须不共线，否则有无数多个平面经过它们． 确定一个平面的意思是有且仅有一个平面． 3．公理３反应了两个平面的位置关系，两个平面（一般都指两个不重合的平面）只要有公共点，它们的交集就是一条公共直线．此公理可以用来证明点共线或点在直线上，可以从后面的例题中看到． 4．平面基本性质的三个公理是不需要证明的，后面的三个推论都可以由这三个公理得到．推论１与２直接在直线上取点，利用公理１与２便可得到结论，推论３是由平行的定义得到存在性的，再由公理２保证唯一性． 线线关系与线面平行 1．平行线：在同一个平面内不相交的两条直线．
空间中的平行关系练习题 班级___________姓名______________ 一、选择题 1．(2010·山东)在空间，下列命题正确的是( ) A ．平行直线的平行投影重合 B ．平行于同一直线的两个平面平行 C ．垂直于同一平面的两个平面平行 D ．垂直于同一平面的两条直线平行 2．(2010·湖北)用a ，b ，c 表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ；③若a ∥γ，b ∥γ，则a ∥b ；④若a ⊥γ，b ⊥γ，则a ∥b . 其中真命题的序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．①④ D ．③④ 3．平面α∥平面β的一个充分条件是( ) A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β B ．存在一条直线a ，a ?α，a ∥β C ．存在两条平行直线a ，b ，a ?α，b ?β，a ∥β，b ∥α D ．存在两条异面直线a ，b ，a ?α，b ?β，a ∥β，b ∥α 4．已知直线m 、n 及平面α、β，则下列命题正确的是( ) A. ?????m ∥αm ∥β?α∥β B. ?????m ∥αm ∥n ?n ∥α C. ?????m ⊥αα⊥β?m ∥β D. ? ????m ⊥αn ⊥α?m ∥n 5．(2008·安徽)已知m 、n 是两条不同直线，α、β、γ是三个不同平面．下列命题中正确的是( ) A ．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β B ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n C ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n D ．若m ∥α，m ∥β，则α∥β 6．过平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB 1D 1平行的直线共有( ) A ．4条 B ．6条 C ．8条 D ．12条 7．(2011·浙江台州模拟)已知m 、n 为直线，α、β为平面，给出下列命题：① ?????m ⊥αm ⊥n ?n ∥α；② ? ????m ⊥βn ⊥β?m ∥n ；③ ?????m ⊥αm ⊥β?α∥β；④ ? ????m ?αn ?βα∥β?m ∥n .其中正确命题的序号是( ) A ．③④ B ．②③ C ．①② D ．①②③④ 8．下列命题中正确的个数是( ) ①若直线a 不在平面α内，则a ∥α； ②若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α； ③若直线l 与平面α平行，则l 与α内的任意一条直线都平行； ④如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行； ⑤若l 与平面α平行，则l 与α内任何一条直线都没有公共点； ⑥平行于同一平面的两直线可以相交． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 9．已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线m 、n ，有下列四个命题：①若m ∥n ，n ?α，则m ∥α；②若m ∥α，
空间几何平行垂直证明专题训练 ? 知识点讲解 一、“平行关系”常见证明方法 （一）直线与直线平行的证明 1) 利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行 2) 利用三角形中位线性质 3) 利用空间平行线的传递性:m//a,m//b ?a//b 平行于同一条直线的两条直线互相平行。 4) 利用直线与平面平行的性质定理： 如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 5）利用平面与平面平行的性质定理： 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． 6）利用直线与平面垂直的性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线互相平行。 7）利用平面内直线与直线垂直的性质： 在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 8）利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点 （二）直线与平面平行的证明 1) 利用直线与平面平行的判定定理： a b α β b a a =??βαβ α∥b a ∥? b a b a ////??? ? ?? ==γβγαβαI I βα ⊥⊥b a b a ∥?α a b
平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 2) 利用平面与平面平行的性质推论： 两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。 3) 利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点 （二）平面与平面平行的证明 常见证明方法： 1) 利用平面与平面平行的判定定理： 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 2) 利用某些空间几何体的特性：如正方体的上下底面互相平行等 3) 利用定义：两个平面没有公共点 （一）直线与直线垂直的证明 1) 利用某些平面图形的特性：如直角三角形的两条直角边互相垂直等。 2) 看夹角：两条共（异）面直线的夹角为90°，则两直线互相垂直。 3) 利用直线与平面垂直的性质： 如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于此平面内的所有直线。 α b a β α a β αα∥?a β ∥a ?α αββ////∩??b a P b a b a =α β//?α β b a P b ∥a b a α α??α ∥a ?
空间中的平行关系 1．设α，β，γ是三个互不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是 A、若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ B、若α//β，m?β，m//α，则m//β C、若α⊥β，m⊥α，则m//β D、若m//α，n//β，α⊥β，则m⊥n 【答案】B 【解析】解：利用平面的线面的位置关系，可知，两个平行平面，如果不在平面内的一条直线平行于其中一个平面，必定平行与另一个平面。选项A还可能平行。选项C，线可能在面内。选项D中，线线的位置关系不定。 2．若直线a与平面α相交与一点Ａ，则下列结论正确的是（） A.α内的所有直线与a异面Ｂ.α内不存在与a平行的直线 Ｃ.α内存在唯一的直线与a平行Ｄ.α内的直线与a都相交 【答案】B 【解析】略 3．已知直线l、m 、n 与平面α、β给出下列四个命题： ①若m∥l，n∥l，则m∥n；②若m⊥α，m∥β，则α⊥β； ③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若m⊥β，α⊥β，则m∥α 其中，假命题的个数是（） A、1 B、2 C、3 D、4 【答案】B 【解析】略 4．若直线l平行于平面α内的无数条直线，则下列结论正确的是 A、// ? lαB、lα C、lα ?D、lα 与不相交 【答案】D 【解析】略 5．下列命题中 lα ①若直线l上有无数点不在平面α内，则//
②若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内任意一条直线平行 ③若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点 ④若直线l 平行于α内无数条直线，则//l α ⑤如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行 其中正确的个数是 （ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 【答案】B 【解析】略 6．给定下列四个命题： ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行； ④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，为真命题的是( ) A ．①和② B ．②和③ C ．③和④ D ．②和④ 【答案】D 【解析】略 7．α、β是两个不重合的平面，a 、b 是两条不同直线，在下列条件下，可判定α∥β的是( ) A ．α、β都平行于直线a 、b B ．α内有三个不共线点A 、B 、 C 到β的距离相等 C ．a 、b 是α内两条直线，且a ∥β，b ∥β D ．a 、b 是两条异面直线且a ∥α，b ∥α，a ∥β，b ∥β 【答案】A 【解析】略 8．已知直线平面，则“平面平面”是“”的 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】略 9．空间可以确定一个平面的是（ ） A.两条直线 B.一点和一条直线 C.一个三角形 D.三个点 m ?α//αβ//m β