第二章 轴向拉伸和压缩
2.1 求图示杆11-、22-、及33-截面上的轴力。 解：11-截面，取右段如)(a 由0=∑x F ，得 01=N F
22-截面，取右段如)(b
由0=∑x F ，得 P F N -=2
33-截面，取右段如)(c
由0=∑x F ，得 03=N F
2.2 图示杆件截面为正方形，边长
cm a 20=，杆长m l 4=，kN P 10=，比重
3/2m kN =γ。在考虑杆本身自重时，11-和22-截面上的轴力。
解：11-截面，取右段如)(a 由
0=∑x
F
，得
kN la F N 08.04/2
1==γ
22-截面，取右段如)(b
由
0=∑x
F
，得
kN P la F N 24.104/32
2=+=γ
2.3 横截面为2
10cm 的钢杆如图所示，已知kN P 20=，kN Q 20=。试作轴力图并求杆的总伸长及杆下端横截面上的正应力。GPa E 200=钢。 解：轴力图如图。 杆的总伸长：
m EA l F l N
5
9
102001
.0102001.02000022-?-=???-?==? 杆下端横截面上的正应力：
MPa A F N 201000
20000
-=-==
σ 2.4 两种材料组成的圆杆如图所示，已知直径mm d 40=，杆的总伸长cm l 21026.1-?=?。试求荷载P 及在P 作用下杆内的最大正应力。（GPa E 80=铜，GPa E 200=钢）。 解：由∑=?EA
l F l N ，得
)10
4010806
.0410********.04(
1026.16
296294---?????+?????=?ππP
4
/4
/4/4
/
)(a )
(b )
(c 2N
1
N )
(a kN
kN 图
N
F cm cm
cm
解得： kN P 7.16= 杆内的最大正应力：
MPa A F N 3.1340
16700
42=??==
πσ 2.5 在作轴向压缩试验时，在试件的某处分别安装两个杆件变形仪，其放大倍数各为
1200
=A k ，1000=B k ，标距长为cm s 20=，受压后变形仪的读数增量为mm n A 36-=?，
mm n B 10=?，试求此材料的横向变形系数ν（即泊松比）。 解：纵向应变： 0015.01200
2036
-=?-=?=
A A A sk n ε 横向应变： 0005
.01000
2010
=?=?=B B B sk n ε 泊松比为： 3
1
=-=A B εεν
2.6 图示结构中AB 梁的变形和重量可忽略不计，杆1为钢质圆杆，直径mm d 201=，
GPa E 2001=，杆2为铜质圆杆，直径mm d 252=，GPa E 1002=，试问：
⑴荷载P 加在何处，才能使加力后刚梁AB 仍保持水平？ ⑵若此时kN P 30=，则两杆内正应力各为多少？ 解： 2/1Px F N =。2/)2(2x P F N -=
⑴要使刚梁AB 持水平，则杆1和杆2的伸长量相等，有
2
225
1004
1)2(2020045.1????-=????ππx P Px 解得：m x 9209.0=
⑵ M P a
d Px A F N 442029209
.03000042/4/2
2111=????=
==ππσ M P a d x P A F N 3325
20791
.13000042/)2(4/2
2222=????=-==ππσ 2.7 横截面为圆形的钢杆受轴向拉力kN P 100=，若杆的相对伸长不能超过2000
1，应力不得超过MPa 120，试求圆杆的直径。GPa E 200=钢 解：由强度条件][σ≤A
P
得 mm P d 6.3210120100000
4][46
=???=≥
πσπ
由刚度条件EA
P l
l =?得
mm E l Pl
d 7.35102002000
100000449
=????=?≥
ππ. 则圆杆的直径mm d 36=。
2.8 由两种材料组成的变截面杆如图所示。AB 、BC 的横截面面积分别为220cm A AB =和210cm A BC =。若P Q 2=，钢的许用应力MPa 160][1=σ，铜的许用应力MPa 120][2=σ，试求其许用荷载][P 。 解：由钢的强度条件][σ≤A
P 得
kN A P 1201201000][111=?=≤σ 由铜的强度条件][2σ≤A
P 得
kN A P 1602/16020002/][222=?=≤σ 故许用荷载kN P 120][=
2.9 结构如图所示，水平梁CD 的刚度很大，可忽略其变形，AB 为一钢杆（GPa E 200=钢），直径cm d 3=，m a 1=，试问：
⑴若在AB 杆上装有杠杆变形仪，加力后其读数增量为14.3格（每格代表mm 1000
1
）
，杠杆仪标距cm s 2=，试问P 为多少？
⑵若AB 杆材料的许用应力MPa 160][=σ，试求结构的许用荷载P 及此时D 点的位移。
解：⑴AB 杆的内力为：P F N 2=
AB 杆的应变为：
41015.720
10003.14-?=?=ε
则 kN EA P 5.501015.72
4302002/42
=?????
==-πε
⑵ kN A P 55.561602
4302/][2=???=
≤πσ
AB 杆的应变为： 4108-?==
E
σ
ε
AB 杆的变形为： m l l 4108-?==?ε D 点的位移为： m l l D 3106.122-?==?=?ε
第三章 扭转
3.1 图示圆轴的直径mm d 100=，cm l 50=，m kN M ?=71，m kN M ?=52，GPa G 82=， ⑴试作轴的扭矩图； ⑵求轴的最大切应力；
⑶求C 截面对A 截面的相对扭转角AC ?。 解：⑴扭矩图如图。
⑵轴的最大切应力 M P a W T n
BC 5.2510
5000163
max =??==πτ ⑶C 截面对A 截面的相对扭转角AC ?
r a d GI l T GI l T p
BC p
AB AC 34
1086.110
8200032501000)52(-?-=?????-=+=π?
3.2 已知变截面圆轴上的m kN M ?=181，m kN M ?=122。试求轴的最大切应力和最大相对扭转角。GPa G 80=
解：MPa W T n
BC BC 9.4885
12000163
=??==πτ MPa W T n AB AB 2.3625.730000
163
=??==
πτ MPa BC 9.488max ==ττ m rad GI T p BC BC /244.05
80012000324
=???=='π? m rad GI T p AB AB /121.05
.780030000324
=???=='π? m rad BC /244.0max
='='?? 3.3 图示钢圆轴（GPa G 80=）所受扭矩分别为m kN M ?=801，m kN M ?=1202，及
m kN M ?=403。已知：cm L 301= ，cm L 702=，材料的许用切应力MPa 50][=τ，许用
单位长度扭转角m /25.0][ ='?。求轴的直径。 解：按强度条件][max max ττ≤=n
W T 计算
mm T d 20110
508000016]
[1636
3=???=≥πτπ 按强度条件][max max ??'≤='p
GI T 计算
mm G T d 8.21925
.010801808000032][3249
24max =?????='≥π?π
m
kN ?2m
kN ?30m
kN ?40
故，轴的直径取mm d 220≥
3.4 实心轴和空心轴通过牙嵌离合器连在一起，已知轴的转速min /100r n =，传递功率kW P 35.7=，MPa 20][=τ。试选择实心轴的直径1d 和内外径比值为2
1
的空心轴的外径2D 。 解：求扭矩：
m N n P T ?=?==925.701100
35
.795509550
mm T d 3.5610
20925
.70116][1636
3
1=???=≥πτπ mm T D 6.5715
102016
925.70116)1]([1636
3
4=?????=-≥πατπ 故，实心轴的直径mm d 3.561≥，空心轴的外径mm D 6.57≥，内径mm d 8.28≥
3.5 今欲以一内外径比值为6.0的空心轴来代替一直径为cm 40的实心轴，在两轴的许用切应力相等和材料相同的条件下，试确定空心轴的外径，并比较两轴的重量。 解：要使两轴的工作应力相等，有实空W W =，即
3
436.01实
空）（d d =- cm d d 9.416
.011
34
=-=实空 两轴的重量比
7024.040
6.019.416.0122
2222=-=-==）（）（实空实空实空d d A A G G 3.6 图示传动轴的转速为min /200r ，从主动轮2上传来的功率是kW 8.58，由从动轮1、3、4和5分别输出kW 4.18、kW 11、kW 05.22和kW 35.7。已知材料的许用切应力
MPa 20][=τ，单位长度扭转角m /5.0][ =θ，切变模量GPa G 82=。试按强度和刚度条
件选择轴的直径。 解：求扭矩：
m N n P T ?=?==89.105220005
.22955095504
m N n P T ?=?==6.8782004.189********， m N n P T ?=?==7.2807200
8
.58955095502
m N n P T ?=?==25.525200
11
955095503， m N n P T ?=?
==96.35020035.7955095505 最大扭矩m N T ?=1.1929max
按强度条件][max
max ττ≤=n
W T 计算： mm T d 9.7810
201
.192916][1636
3
=???=≥πτπ 按刚度条件][max ?'≤p
GI T 计算： mm G T d 4.725
.010821801.192932][3249
24max =?????='≥π?π
故，轴的直径取mm d 9.78≥
3.7 图示某钢板轧机传动简图，传动轴直径mm d 320=，今用试验方法测得 45方向的
MPa 89max =σ，问传动轴承受的转矩M 是多少？
解：由τσ=max ，则
m kN d
W M n ?=??=
=
=6.57216
89
3216
3
3
πτπτ
3.8 空心轴外径mm D 120=，内径mm d 60=，受外力偶矩如图。m kN M M ?==521，
m kN M ?=163，m kN M ?=64。已知材料的GPa G 80=，许用切应力MPa 40][=τ，许用单位长度扭转角m /2.0][ =θ。试校核此轴。 解：最大扭矩m kN T ?=10max 校核强度条件：
MPa MPa W T n 40][44.3115
1210000
16163max max =≤=????==
τπτ 校核刚度条件：
m m GI T p /2.0][/375.015
12800180
1000016324
2max max
o o ='>=??????=='?π? 故，轴的强度满足，但刚度条件不满足。
3.9 传动轴长mm L 510=，其直径mm D 50=，当将此轴的一段钻空成内径mm d 251=的内腔，而余下的一段钻成mm d 382=的内腔。设切应力不超过MPa 70。试求：
⑴此轴所能承受的扭转力偶M 的许可值；
⑵若要求两段轴长度内的扭转角相等，则两段的长度各为多少？ 解：⑴此轴能承受的扭转力偶M m N D W M ?=?-=
≤9.11447016
)
76.01(][43min πτ
⑵要使两段轴长度内的扭转角相等，即
221!p p GI Tl GI Tl = 即41.176
.015.0144
2
121=--==p p I I
l l
故，mm L 4.29851041.241.11=?=
，mm L 6.21151041
.21
2=?= 3.10 直径mm d 20=的实心轴，在轴的两端承受扭转力偶M 作用，在轴的表面某点A ，用变形仪测得与轴线成 45-方向的线应变为3105.0-?=ε。已知：3.0=ν，GPa E 200=。试求此时圆轴所承受扭转力偶M 。 解：由广义胡克定律有 121)(1ενσσ=-E
有 M P a E 923.763
.015.020011=+?=+==ν
εστ
m kN d W M n ?=??=
=
=83.12016
923
.762016
33
πτπτ
3.11 等截面传动轴，主动轮输入力矩m kN M ?=9.41，从动轮输出力矩分别为
m kN M ?=1.22，m kN M ?=8.23，已知材料的GPa G 80=，许用切应力MPa 70][=τ，许用
单位长度扭转角m /1][ =θ。
⑴试设计轴的直径；
⑵按经济的观点各轮应如何安排更为合理？为什么？ 解：⑴设计轴的直径：最大扭矩m kN T ?=9.4max 按强度条件][max
max ττ≤=n
W T 计算： mm T d 9.7010
704900
16][1636
3
=???=≥πτπ 按刚度条件][max ?'≤p
GI T 计算： mm G T d 3.771
1080180490032][3249
24max =?????='≥π?π 故，轴的直径取mm d 3.77≥
⑵将主动轮与从动轮2对换，这样可以降低最大弯矩值，从而减少材料消耗，而降低成本。
附录I 截面的几何性质
Ⅰ.1、试求图示图形对y 轴的静矩y S ，并求形心坐标C z 。 解：dz z b dA )(=；2
2
2)(z R z b -=
3
2
2
2
2
2
2
3
2
)(2R z R d z R dz
z R z zdA
S R
R
A
y =---=-==?
??
3
)
(a
π
π342/3/323R
R R A S z y
C ===
Ⅰ.2 试求图示图形的形心坐标C y 和C z 。 解：（a ）选择原来坐标
mm A A z A z A z C
C C 20100
20060
10002002
22
22
12211-=?-???-??=
++=ππππ
（b ）建立坐标如图
mm
A A z A z A z C
C
C 55.4830
1001602015
3010080160202
12211=?+???+??=
++=mm
A A y A y A y C
C C 3930
1001602070
3010010160202
12211=?+???+??=
++=
Ⅰ.3、试求图示图形的y I 、 z I 和yz I 。 解：330
2
4
1bh dz z h b dA z I h A y ===?
? 同理：
320
212
1
)(hb dy y h y b h dA y I b
A
z =-==?
? 2200
8
1
h b zdydz y zydA I h z
h b A
yz ===?
?
?
Ⅰ.4、试求图示图形对形心轴的C
y I 和 C z I 。 解：（a ）建立如图坐标
mm
A A A z A z A z A z C C C C 7.5580
2401804022
)130(18040321332211-=?+???-??=++++=
4
2
3233
212864.188187.558024080240121
])7.55130(1804018040121[2cm I I I I yC yC yC yC =??+??+-??+??=++=
)
(b
4
3233
21238088024012
1]1001804018040121[2cm I I I I zC zC zC zC =??+??+??=++=
（b ）建立如图坐标
mm A A A z A z A z A z C C C C 68.18200
1006036016080130
60360)140(16080321332211=?+?+???+-??=++++=
42323233
216246.11686)68.18130(360606036012
1
68.18100200200100121
68.1581608080160121cm I I I I yC yC yC yC =-??+??+??+??+??+??=++= 4
3333
2133.277258016012110020012160360121cm I I I I zC zC zC zC =??+??+??=++= （c ）建立坐标如图
mm A A z A z A z C C C 3.2520
10060)
20(100602
212211-=?-?-??=++=
π 4
224232
1424)3.25204064
(
3.51006010060121
cm I I I yC yC yC =??+?-??+??=+=ππ
4
432
11672064
10060121cm I I I zC zC zC =?-??=
+=π
第四章 弯曲应力
4.1、作图示结构的弯矩图和剪力图，并求最大弯矩m ax M 和最大剪力m ax ,Q F 。（内力方程法）
M
Q
F
P F Q =m ax ；Pa M 2max = qa F Q 611
max =
； 2m a x 36
49qa M =
qa F Q =max ；2
max 2
5qa M =
qa F Q 43max =；2max 43qa M =
qL
F Q =max ；
2max qL M =
qa F Q 45
max =； 2m a x 4
3qa M =
2
2
M
2
Q
F Q
F M
4
4
/32qa Q
F 2
qL
M
Q
F M
4
qa
F Q =max ；
2m ax qa M = qa F Q 611
max =
；2max 72
121qa M =
4.2、作图示结构的弯矩图和剪力图，
并求最大弯矩m ax
M 和最大剪力
m ax S F 。
（简易方法）
qa F Q 3max =；2max 5qa M =
qa F Q 21
max =
；2max 8
5qa M =
Q
F M
Q
F M
6
/72
/Q
F M
Q
F M
Q
F
qa F Q 611max =
；2m ax qa M = qa F Q 611
max = ；2max 72
121qa M =
qa
F Q =max ；
2m ax qa M =
qa F Q =max ； 2
m a x 4
3qa M =
qa F Q 65max =
；2max 6
5qa M = qa F Q 45
max =；2m ax qa M =
Q
qa Q
M
6
/qa
Q
M
qa F Q =max ；2m ax qa M = qa F S =max ；2m ax qa M =
4.3、截面为24o N 工字型的梁，受力如图所示。 ⑴ 试求梁的最大正应力和最大切应力； ⑵ 绘出危险截面上正应力及切应力的分布图。 解：⑴、作内力图如右。
m kN M ?=2.67max kN F S 168max =
z
W M m ax
m ax =σ M P a
16840067200
==
b
I S F z z S max max
=τ
MPa 35.8210
204168000
=?=
⑵、危险截面在D 的左侧。应力分布如图。
4.4、外径为cm 25，壁厚为mm 5的铸铁管简支梁，跨度为m 12，铸铁的容重
31/8.7cm g =γ。若管内装满水（容重32/1cm g =γ）。试求管内的最大正应力。
解：原结构化为满均布力作用的简支梁。其集度为：
3
400cm W z
=cm
S I z z 4.20/=
cm
Q
M
Q
2
/qa
S F
M
分布图
m
N q /7378
.9]1244
8.7)2425(4[222=??+?-=π
π m N M ?=??=132********
1
2max
34
3
231))25
24(
1(32
cm D W z =-=
π MPa W M z 4.57231
13266
max max ===
σ 4.5、图示一铸铁梁。若MPa t 30][=σ，MPa c 60][=σ，试校核此梁的强度。 解：弯矩图如图。
m kN M ?=-4max
m kN M
?=+
5.2max
由比较可知B 截面由拉应力控制， 而最大C 截面也由拉应力控制。
MPa I y M z Bt B B 3.27763100524max
,=??==σ
][8.28763
100885.2max
,t z Ct C C MPa I y M σσ<=??==
因此该梁的强度不足。
4.6、吊车主梁如图所示。跨度m l 8=，试问当小车运行到什么位置时，梁内的弯矩最大，并求许用起重荷载。已知MPa 100][=σ。 解：)8
5.7(81x P F -=，)15.0(82x P
F +=
x x P
x M )85.7(8)(1-=
15.02)3.0)(85.7(8)(2?-+-=P
x x P x M
令
0)(1=dx x dM 或0)
(2=dx
x dM ； 得 mm x 3775=或mm x 3925= 故 )(856.0)2(162max m N P a l l
P
M ?=-= 由强度条件 10010579856.06
max max ≤?==
-P
W M z σ
4
763cm I z =
cm h
30=3
597cm W z =4
8950cm I z =1
M
得： kN P 88.3=
4.7、若梁的MPa 160][=σ，试分别选择矩形（2=b h
）、圆形、及管形（2=d
D ）三种截面，并比较其经济性。 解：弯矩图如图。
m kN M ?=25.6max
由强度条件][max
max σσ≤=
z
W M ： 矩形： 3
32b W z =
，得 mm M b 8.38]
[233max =≥σ； mm h 6.77= 园形： 332
d W z π
=
，得 mm M d 6.73]
[323
max
=≥σπ；
管形： )1(32
43απ
-=
D W z ，得 mm M D 2.75]
)[1(323
4max
=-≥σαπ；
三面积之比： 3331:4254:3010=管形圆形矩形：：A A A 矩形最优，管形次之，圆形最差。
4.8、圆截面为mm d 401=的钢梁AB 。B 点由圆钢杆BC 支承，已知mm d 202=。梁及杆的MPa 160][=σ，试求许用均布荷载q 。
解：1、约束力 q F Ay 43=； q F N 49
=
2、作AB 梁的内力图
3、强度计算 AB 梁：][32
/2/31max max σπσ≤==
d q W M z 得： m kN d
q /01.2][16
3
1
=≤
σπ
BC 杆：][4
/4
/9222σπσ≤==
d q A F N
M
Q
F q 4/5q 4
/3q 32
/9q 2
/q m
kN ?5m
kN ?25.6m
kN ?25.1
得： m kN d q /34.22][9
2
2=≤
σπ
故取m kN q /01.2=
4.9、若M P a 160][=σ，MPa 100][=τ，试确定图示梁空心截面壁的厚度t （各边厚度相等）。 解：作内力图
)4141810(3
1
12)2)(2(12432233
3t bt t b t b t h t b bh I z -+-=---
= 2
/)452(2
)2/)(2(2)2/(2232
2*
max
,t b bt t t h t b h b S z +-=---
= 由][2
max max σσ≤=h
I M z 得： 由][2*
max
,max ,max ττ≤?=t
I S F z z Q
得：
4.10、简支梁如图，试求梁的最底层纤维的总伸长。 解：222x q
x ql M x -= （)0l x ≤≤
底层纤维的应力 2
2
)
(3b h x lx q W M z x x -=
=
σ 底层纤维处于单向应力状态
22)(3E b h x lx q E x
x -==σε； 23
022
2)(3E b h
ql dx Ebh x lx q l l =-=?? 4.11、矩形截面简支梁由圆柱形木材刨成。已知kN P 5=，m a 5.1=，MPa 10][=σ ，试确定此矩形截面
b
h
的比值（使其截面的抗弯截面系数具有最大值）及所需木柱的最小
q
kN 7.26kN
7.56kN
150Q
F M
m
kN ?25
直径d 。
解： )(6
1
6322b bd bh W z -== 由
0=??b W z ；得 3
d
b =
；d h 3
2
= 由 ][3
2362m a x m a x σσ≤?==
d d Pa
W M z
mm Pa
d 227]
[39=≥
σ，取mm d 230= 4.12、悬臂梁受力如图a ，若假想沿中性层把梁分开成上下两部分：
⑴试求中性层截面上切应力沿x 轴的变化规律；（参考图b ） ⑵试说明梁被截下部分的τ由什么力来平衡。
解：（1）、qx x F Q =)(； （)0l x ≤≤ 对于矩形截面梁，中性层的切应力 bh
qx
A
F Q x 2323max ,==
τ 被截下部分的τ由固定端的正应力σ来平衡
4.13、用钢板加固的木梁如图，若木梁与钢板之间不能相互滑动，钢的GPa E 2101=，木的GPa E 102=，试求木材及钢板中的最大工作正应力。 解：变形几何关系：ρ
εy
=
物理关系：ρ
σy
E 1
1=，ρ
σy
E 2
2=
将钢板宽度变换为：mm b E E b 21001
2
==' m kN M ?=5.7max
q
)
(b )(a
M
Pa
C
mm A
y A y i
i
i C 702100
52001005
.221005105200100=?+???+??=
=
∑∑
4223
22
31139)5.270(12
)70105(12cm h b h b bh bh I z =-'+'+-+= MPa y I M z 28.71max
max ==
木σ M P a E E
y I M z 3.791
22max max =?=
钢σ 4.14、图示铸铁梁，若cm h 10=，cm t 5.2=。欲使得最大拉应力与最大压应力之比为31
，
试确定尺寸b 应是多少？
解：3
1
max,max,==c t c t y y σσ
得：cm h y c 5.74
3
== 由5.75
.7)5.2(1075
.35.7)5.2(510=?--??--??=
=
∑∑b b b b A
y A y i
i
i c
解得：cm b 5.22=
第五章 梁弯曲时的位移
t
5.1、试用积分法求梁（EI 为已知）的：
⑴ 挠曲线方程； ⑵
A 截面挠度及
B 截面的转角；
⑶ 最大挠度和最大转角。
解：2/)()(2
2x l q ql x M --= 113)(Px Pa x M -=；)(3)(22a x P Pa x M --=
2/)(22x l q ql w EI -+-='' 12
111
2/3C Px Pax w EI +-=' C x lx x ql x ql w EI ++-+-='6/2/2/3
2
2
2
22
222
2/)(3C a x P Pax w EI +--=' D Cx x lx x ql x ql EIw +++-+-=24
6424
32222 D x C Px Pax EIw ++-=11312116/2/3 由 0=x ，0=w ，0=θ；得 222322
22)(6
23D x C a x P Pax EIw ++--=
,0=C 0D = 021==C C ；021==D D
）622(1322qx qlx x ql EI +--=θ )23(12111x P Pax EI +-=θ；)623(131211x P
Pax EI w +-=
）2464(14322qx qlx x ql EI w +--= ))(2
3(12222a x P Pax EI -+-=θ
)(834max
↑-==EI ql y y A ))(623(1322
22a x P Pax EI w -+-=
)(653max
逆时针EI ql A -==θθ )(6253
max ↑-==EI
Pa y y A
)(32
max
逆时针EI
Pa A -==θθ
)(252
逆时针EI
Pa B -=θ 2
)
B
）124(13211qa qax EI +-=θ ）34(12
211Pa Px EI -=θ
）133111212(1x qa qax EI w --= ）12
3113
12(1x Pa Px EI w -=
）12112(1322222qa x qa qax EI -+-=θ ）3)2(434(122
2222Pa a x P Px EI ---=θ
）21211212(1423222322qa x qa x qa x qa EI w +-+-= ）223
23223
)2(12312(1x Pa a x P Px EI w ---=
0=A w )(3
↓=EI Pa w A )(123顺时针EI qa B =θ )(322
顺时针EI Pa B =θ
EI qa w w a x 54343
/
max 1
=== EI
Pa w 3
max = )(63max
顺时针EI qa =θ )(62
7max 顺时针EI
Pa A ==θθ
）2
346(1x qa x q EI -=
θ ）3
412
24(1x qa x q EI w -=
)(244↑-=EI qa w A )(2454
↓=EI
qa w A
)(33顺时针EI qa B =θ )(83
顺时针EI
qa B =θ
2