G单元立体几何
G1空间几何体的结构
8．G1，G6[2013·北京卷] 如图1－2，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有()
1－2
A．3个B．4个
C．5个D．6个
8．B[解析] 设棱长为1，∵BD1＝3，∴BP＝
3
3，D1P＝
2 3
3.
联结AD1，B1D1，CD1，得△ABD1≌△CBD1≌△B1BD1，
∴∠ABD1＝∠CBD1＝∠B1BD1，且cos∠ABD1＝
3 3，
联结AP，PC，PB1，则有△ABP≌△CBP≌△B1BP，
∴AP＝CP＝B1P＝
6
3，同理DP＝A1P＝C1P＝1，
∴P到各顶点的距离的不同取值有4个．
18．G1，G4，G5[2013·广东卷] 如图1－4(1)，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F是BC的中点，
AF 与DE 交于点G ，将△ABF 沿AF 折起，得到如图1－4(2)所示的
三棱锥A －BCF ，其中BC ＝22.
图1－4
(1)证明：DE ∥平面BCF ；
(2)证明：CF ⊥平面ABF ；
(3)当AD ＝23时，求三棱锥F －DEG 的体积．
18．解：
G2 空间几何体的三视图和直观图
10．G2，G7[2013·北京卷] 某四棱锥的三视图如图1－3所示，该四棱锥的体积为________．
图1－3
10．3 [解析] 正视图的长为3，侧视图的长为3，因此，该四棱
锥底面是边长为3的正方形，且高为1，因此V ＝13×(3×3)×1＝3.
18．G2，G4[2013·福建卷] 如图1－3，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，BC ＝5，DC ＝3，AD ＝4，∠PAD ＝60°.
(1)当正视方向与向量AD →的方向相同时，画出四棱锥P －ABCD 的
正视图(要求标出尺寸，并写出演算过程)；
(2)若M 为PA 的中点，求证：DM ∥平面PBC ；
(3)求三棱锥D －PBC 的体积．
图1－3
18．解：(1)在梯形ABCD 中，过点C 作CE ⊥AB ，垂足为E. 由已知得，四边形ADCE 为矩形，AE ＝CD ＝3，
在Rt △BEC 中，由BC ＝5，CE ＝4，依勾股定理得BE ＝3，从而AB ＝6.
又由PD ⊥平面ABCD 得，PD ⊥AD.
从而在Rt △PDA 中，由AD ＝4，∠PAD ＝60°，得PD ＝4 3. 正视图如图所示．
(2)方法一：取PB 中点N ，联结MN ，CN.在△PAB 中，∵M 是
PA 中点，∴MN ∥AB ，MN ＝12AB ＝3.
又CD ∥AB ，CD ＝3，∴MN ∥CD ，MN ＝CD ，
∴四边形MNCD 为平行四边形，∴DM ∥CN.
又DM 平面PBC ，CN 平面PBC ，
∴DM ∥平面PBC.
方法二：取AB的中点E，联结ME，DE.
在梯形ABCD中，BE∥CD，且BE＝CD，
∴四边形BCDE为平行四边形，
∴DE∥BC.又DE 平面PBC，BC 平面PBC，
∴DE∥平面PBC.
又在△PAB中，ME∥PB，
ME 平面PBC，PB 平面PBC，∴ME∥平面PBC. 又DE∩ME＝E，∴平面DME∥平面PBC.
又DM 平面DME，∴DM∥平面PBC.
(3)V D－PBC＝V P－DBC＝1
3S△DBC·PD，
又S△DBC＝6，PD＝4 3，所以V D－PBC＝8 3.
6．G2[2013·广东卷] 某三棱锥的三视图如图1－2所示，则该三棱锥的体积是()
图1－2
A.16
B.13
C.23 D ．1
6．B [解析] 由三视图得三棱锥的高是2，底面是一个腰为1的
等腰直角三角形，故体积是13×12×1×1×2＝13，选B.
5．G2[2013·广东卷] 执行如图1－1所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出s 的值是( )
图1－1
A ．1
B ．2
C ．4
D ．7
5．C [解析] 1≤3，s ＝1＋0＝1，i ＝2；2≤3，s ＝1＋1＝2，i ＝3；s ＝2＋2＝4，i ＝4；4>3，故输出s ＝4，选C.
7．G2[2013·湖南卷] 已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面
积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该正方体的正视图的面积等于( ) A.32 B ．1 C.2＋12 D. 2
7．D [解析] 由题可知，其俯视图恰好是正方形，而侧视图和正视图则应该都是正方体的对角面，故面积为2，选D.
8．G2[2013·江西卷] 一几何体的三视图如图1－2所示，则该几何体的体积为( )
图1－2
A ．200＋9π
B ．200＋18π
C ．140＋9π
D ．140＋18π
8．A [解析] 该几何体上面是半圆柱，下面是长方体，半圆柱体积为12π·32·2＝9π，长方体体积为10×5×4＝200.故选A.
13．G2[2013·辽宁卷] 某几何体的三视图如图1－3所示，则该几何体的体积是________．
图1－3
13．16π－16[解析] 由三视图可知该几何体是一个圆柱里面挖去了一个长方体，所以该几何体的体积为V＝4π×4－16＝16π－16.
9．G2[2013·新课标全国卷Ⅱ] 一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，(0，0，0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为()
图1－3
9．A[解析] 在空间直角坐标系O－xyz中画出三棱锥，由已知可知三棱锥O－ABC为题中所描叙的四面体，而其在zOx平面上的投影为正方形EBDO，故选A.
图1－4
4．G2[2013·山东卷] 一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如图1－1所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是()
图1－1
A ．4 5，8
B ．4 5，83
C ．4(5＋1)，83
D ．8，8
4．B [解析] 由正视图知该几何体的高为2，底面边长为2，斜高为22＋1＝5，∴侧面积＝4×12×2×5＝4 5，体积为13×2×2
×2＝83.
12．G2[2013·陕西卷] 某几何体的三视图如图1－2所示，则其表．面积为________．
图1－2
12．3π [解析] 由三视图得该几何体为半径为1的半个球，则
表面积为半球面＋底面圆，代入数据计算为S ＝12×4π×12＋π×12
＝3π.
11．G2[2013·新课标全国卷Ⅰ] 某几何体的三视图如图1－3所示，则该几何体的体积为( )
图1－3
A ．16＋8π
B ．8＋8π
C ．16＋16π
D ．8＋16π
11．A [解析] 该空间几何体的下半部分是一个底面半径为2，母线长为4的半圆柱，上半部分是一个底面边长为2、高为4的正四
棱柱．这个空间几何体的体积是12×π×4×4＋2×2×4＝16＋8π.
5．G2[2013·浙江卷] 已知某几何体的三视图(单位： cm)如图1－1所示，则该几何体的体积是( )
图1－1
A ．108 cm 3
B ．100 cm 3
C ．92 cm 3
D ．84 cm 3
5．B [解析] 此直观图是由一个长方体挖去一个三棱锥而得，如
图所示其体积为3×6×6－13×12×3×4×4＝108－8＝100(cm 3)．所以
选择B.
19．G2和G5[2013·重庆卷] 如图1－4所示，四棱锥P －ABCD
中，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2 3，BC ＝CD ＝2，∠ACB ＝∠ACD ＝π3.
(1)求证：BD ⊥平面PAC ；
(2)若侧棱PC 上的点F 满足PF ＝7FC ，求三棱锥P －BDF 的体积．
图1－4
19．解：(1)证明：因为BC ＝CD ，即△BCD 为等腰三角形，又∠ACB ＝∠ACD ，故BD ⊥AC.
因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA ⊥BD ，从而BD 与平面PAC 内两条相交直线PA ，AC 都垂直，所以BD ⊥平面PAC.
(2)三棱锥P －BCD 的底面BCD 的面积S △BCD ＝12BC ·CD ·sin ∠
BCD ＝12·2·2·sin 2π3＝ 3.
由PA ⊥底面ABCD ，得
V P －BCD ＝13·S △BCD ·PA ＝13×3×2 3＝2.
由PF ＝7FC ，得三棱锥F －BCD 的高为18PA ，故V F －BCD ＝13·S △
BCD ·18PA ＝13×3×18×2 3＝14，
所以V P －BDF ＝V P －BCD －V F －BCD ＝2－14＝74.
8．G2和G7[2013·重庆卷] 某几何体的三视图如图1－3所示，则该几何体的表面积为( )
图1－3
A ．180
B ．200
C ．220
D ．240
8．D [解析] 该几何体为直四棱柱，其高为10，底面是上底为2，
下底为8，高为4，其腰为5的等腰梯形，所以底面面积和为12(2＋
8)×4×2＝40.四个侧面的面积和为(2＋8＋5×2)×10＝200，所以该直四棱柱的表面积为S ＝40＋200＝240，故选D.
G3 平面的基本性质、空间两条直线
G4空间中的平行关系
17．G4，G5，G7[2013·北京卷] 如图1－5，在四棱锥P－ABCD 中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．求证：
(1)PA⊥底面ABCD；
(2)BE∥平面PAD；
(3)平面BEF⊥平面PCD.
图1－5
17．证明：(1)因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥底面ABCD.
(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，
所以AB∥DE，且AB＝DE，
所以ABED为平行四边形，
所以BE∥AD.
又因为BE 平面PAD，AD 平面PAD，
所以BE∥平面PAD.
(3)因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形，
所以BE⊥CD，AD⊥CD.
由(1)知PA⊥底面ABCD，
所以PA⊥CD.
又因为AD∩PA＝A，所以CD⊥平面PAD，
所以CD⊥PD.
因为E和F分别是CD和PC的中点，
所以PD∥EF，
所以CD⊥EF，
所以CD⊥平面BEF，
所以平面BEF⊥平面PCD.
18．G2，G4[2013·福建卷] 如图1－3，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，BC＝5，DC＝3，AD＝4，∠PAD＝60°.
→的方向相同时，画出四棱锥P－ABCD的
(1)当正视方向与向量AD
正视图(要求标出尺寸，并写出演算过程)；
(2)若M为PA的中点，求证：DM∥平面PBC；
(3)求三棱锥D－PBC的体积．
图1－3
18．解：(1)在梯形ABCD 中，过点C 作CE ⊥AB ，垂足为E. 由已知得，四边形ADCE 为矩形，AE ＝CD ＝3，
在Rt △BEC 中，由BC ＝5，CE ＝4，依勾股定理得BE ＝3，从而AB ＝6.
又由PD ⊥平面ABCD 得，PD ⊥AD.
从而在Rt △PDA 中，由AD ＝4，∠PAD ＝60°，得PD ＝4 3. 正视图如图所示．
(2)方法一：取PB 中点N ，联结MN ，CN.在△PAB 中，∵M 是
PA 中点，∴MN ∥AB ，MN ＝12AB ＝3.
又CD ∥AB ，CD ＝3，∴MN ∥CD ，MN ＝CD ，
∴四边形MNCD 为平行四边形，∴DM ∥CN.
又DM 平面PBC ，CN 平面PBC ，
∴DM ∥平面PBC.
方法二：取AB的中点E，联结ME，DE.
在梯形ABCD中，BE∥CD，且BE＝CD，
∴四边形BCDE为平行四边形，
∴DE∥BC.又DE 平面PBC，BC 平面PBC，
∴DE∥平面PBC.
又在△PAB中，ME∥PB，
ME 平面PBC，PB 平面PBC，∴ME∥平面PBC. 又DE∩ME＝E，∴平面DME∥平面PBC.
又DM 平面DME，∴DM∥平面PBC.
(3)V D－PBC＝V P－DBC＝1
3S△DBC·PD，
又S△DBC＝6，PD＝4 3，所以V D－PBC＝8 3.
18．G1，G4，G5[2013·广东卷] 如图1－4(1)，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图1－4(2)所示的
三棱锥A －BCF ，其中BC ＝22.
图1－4
(1)证明：DE ∥平面BCF ；
(2)证明：CF ⊥平面ABF ；
(3)当AD ＝23时，求三棱锥F －DEG 的体积．
18．解：
8．G4、G5[2013·广东卷] 设l 为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )
A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥β
B ．若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β
C ．若l ⊥α，l ∥β，则α∥β
D ．若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β
8．B [解析] 根据空间平行、垂直关系的判定和性质，易知选
B.
16．G4，G5[2013·江苏卷] 如图1－2，在三棱锥S －ABC 中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB ⊥BC ，AS ＝AB.过A 作AF ⊥SB ，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．
求证：(1)平面EFG∥平面ABC；
(2)BC⊥SA.
图1－2
16．证明：(1)因为AS＝AB，AF⊥SB，垂足为F，所以F是SB 的中点．又因为E是SA的中点，所以EF∥AB.
因为EF 平面ABC，AB 平面ABC，
所以EF∥平面ABC.
同理EG∥平面ABC.又EF∩EG＝E，
所以平面EFG∥平面ABC.
(2)因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，
又AF 平面SAB，AF⊥SB，
所以AF⊥平面SBC.
因为BC 平面SBC，所以AF⊥BC.
又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF，AB 平面SAB，所以BC⊥平面SAB.
因为SA 平面SAB，所以BC⊥SA.
15．G4[2013·江西卷] 如图1－5所示，正方体的底面与正四面体
的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．
图1－5
15．4[解析] 直线EF与正方体左右两个面平行，与其他四个面相交．
图1－4
18．G4，G5[2013·辽宁卷] 如图1－4，AB是圆O的直径，PA 垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点．
(1)求证：BC⊥平面PAC；
(2)设Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC.
18．证明：(1)由AB是圆O的直径，得AC⊥BC.
由PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，得PA⊥BC.
又PA∩AC＝A，PA 平面PAC，AC 平面PAC，
所以BC⊥平面PAC.
(2)联结OG并延长交AC于M，联结QM，QO，
新课标立体几何常考证明题汇总 1、已知四边形ABCD 是空间四边形，,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点 （1） 求证：EFGH 是平行四边形 （2） 若 BD=AC=2，EG=2。求异面直线AC 、BD 所成的角和EG 、BD 所成的角。 证明：在ABD ?中，∵,E H 分别是,AB AD 的中点∴1 //,2 EH BD EH BD = 同理，1 //,2 FG BD FG BD =∴//,EH FG EH FG =∴四边形EFGH 是平行四边形。 (2) 90° 30 ° 考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角 2、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。 求证：（1）⊥AB 平面CDE; （2）平面CDE ⊥平面ABC 。 证明：（1）BC AC CE AB AE BE =??⊥?=? 同理， AD BD DE AB AE BE =? ?⊥?=? 又∵CE DE E ?= ∴AB ⊥平面CDE （2）由（1）有AB ⊥平面CDE 又∵AB ?平面ABC ， ∴平面CDE ⊥平面ABC 考点：线面垂直，面面垂直的判定 A H G F E D C B A E D B C
3、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点， 求证： 1//A C 平面BDE 。 证明：连接AC 交BD 于O ，连接EO ， ∵E 为1AA 的中点，O 为AC 的中点 ∴EO 为三角形1A AC 的中位线 ∴1//EO AC 又EO 在平面BDE 内，1A C 在平面BDE 外 ∴1//A C 平面BDE 。 考点：线面平行的判定 4、已知ABC ?中90ACB ∠=o ,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ． 证明：90ACB ∠=∵° BC AC ∴⊥ 又SA ⊥面ABC SA BC ∴⊥ BC ∴⊥面SAC BC AD ∴⊥ 又,SC AD SC BC C ⊥?=AD ∴⊥面SBC 考点：线面垂直的判定 5、已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)1 AC ⊥面11AB D ． 证明：（1）连结11A C ，设 11111 A C B D O ?=，连结1AO ∵ 1111ABCD A B C D -是正方体 11A ACC ∴是平行四边形 ∴A 1C 1∥AC 且 11A C AC = 又1,O O 分别是11,A C AC 的中点，∴O 1C 1∥AO 且11O C AO = 11AOC O ∴是平行四边形 111,C O AO AO ∴? ∥面11AB D ，1C O ?面11AB D ∴C 1O ∥面11AB D （2）1CC ⊥Q 面1111A B C D 11!CC B D ∴⊥ 又 1111 A C B D ⊥∵， 1111B D A C C ∴⊥面 1 11AC B D ⊥即 同理可证 11 A C AD ⊥， 又 1111 D B AD D ?= ∴1A C ⊥面11AB D 考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定 A E D 1 C B 1 D C B A S D C B A D 1O D B A C 1 B 1 A 1 C
高考真题集锦（立体几何部分） 1.(2016.理1）如图是由圆柱和圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ） A 20π B24π C28π D.32π 2. βα，是两个平面，m,n 是两条直线，有下列四个命题： （1）如果m ⊥n,m ⊥α，n ∥β，那么βα⊥； （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n. （3）如果αβα?m ，∥那么m ∥β。 （4）如果m ∥n,βα∥，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。 其中正确的命题有___________ 3.（2016年理1）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是π328，则它的表面积是 A 17π B.18π C.20π D.28π 4.平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，α//平面11D CB ，?α平面ABCD =m ， ?α平面11A ABB =n,则m,n 所成角的正弦值为（ ） A.23 B.22 C.33 D.3 1 5.（2016年理1）如图，在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF=2FD ，∠AFD=90°，且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60° .（12分） （Ⅰ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （Ⅱ）求二面角E-BC-A 的余弦值.
6. (2015年理1）圆柱被一个平面截取一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积是16+20π，则r=（ ） A.1 B.2 C.7 D.8 7.如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E,F 是平面ABCD 同一侧的亮点，BE ⊥平面ABCD,DF ⊥平面ABCD,BE=2DF,AE ⊥EC. (1) 证明：平面AEC ⊥平面AFC; (2) 求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值。 8.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截取部分体积和剩余 部分体积的比值为（） 9.如图，长方体1111D C B A ABCD -中，AB = 16，BC = 10，AA1 = 8，点E ，F 分别在1111C D B A ， 上，411==F D E A ，过点E,F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。 （1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （2）求直线AF 与平面α所成的角的正弦值 10.如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB=5，AC=6，点E,F 分别在AD,CD 上，AE=CF=45 ，EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△DEF 的位置，OD ’=10 （1）证明：D ’H ⊥平面ABCD （2）求二面角B-D ’A-C 的正弦值
I单元统计 I1随机抽样 17．I1，I2[2013·安徽卷] 为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩(百分制)作为样本，样本数据的茎叶图如下： (1)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60分及60分以上为及格)； (2)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为x1，
x 2，估计x 1－x 2的值． 17．解：(1)设甲校高三年级学生总人数为n ，由题意知，30 n ＝0.05，即n ＝600. 样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格人数为5，据此估计甲校高三年级此次联考数学成绩及格率为1－530＝56. (2)设甲、乙两校样本平均数分别为x 1′，x 2′，根据样本茎叶图可知， 30(x 1′－x 2′)＝30x 1′－30x 2′ ＝(7－5)＋(55＋8－14)＋(24－12－65)＋(26－24－79)＋(22－20)＋92 ＝2＋49－53－77＋2＋92 ＝15. 因此x 1′－x 2′＝0.5，故x 1－x 2的估计值为0.5分． 3．I1[2013·湖南卷] 某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差别，用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n ＝( ) A ．9 B ．10 C ．12 D ．13 3．D [解析] 根据抽样比例可得360＝n 120＋80＋60，解得n ＝13， 选D.
（2019全国1文）16.已知90ACB ∠=?，P 为平面ABC 外一点，2PC =，点P 到ACB ∠两边,AC BC 的距离均为3，那么P 到平面ABC 的距离为 . 答案： 2 解答： 如图，过P 点做平面ABC 的垂线段，垂足为O ，则PO 的长度即为所求，再做,PE CB PF CA ⊥⊥，由线面的垂直判定及性质定理可得出,OE CB OF CA ⊥⊥，在Rt PCF ?中，由2,3PC PF ==，可得出1CF =，同理在Rt PCE ?中可得出1CE =，结合90ACB ∠=?，,OE CB OF CA ⊥⊥可得出1OE OF ==，2OC =，222PO PC OC =-= （2019全国1文）19.如图直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，14,2AA AB ==，60BAD ∠=o ， ,,E M N 分别是11,,BC BB A D 的中点. （1）证明：//MN 平面1C DE （2）求点C 到平面1C DE 的距离. 答案： 见解析 解答： （1）连结1111,AC B D 相交于点G ，再过点M 作1//MH C E 交11B C 于点H ，再连结GH ，NG . Q ,,E M N 分别是11,,BC BB A D 的中点. 于是可得到1//NG C D ，//GH DE ， 于是得到平面//NGHM 平面1C DE ， 由MN ?Q 平面NGHM ，于是得到//MN 平面1C DE
（2）E Q 为BC 中点，ABCD 为菱形且60BAD ∠=o DE BC ∴⊥，又1111ABCD A B C D -Q 为直四棱柱，1DE CC ∴⊥ 1DE C E ∴⊥，又12,4AB AA ==Q ， 1DE C E ∴=，设点C 到平面1C DE 的距离为h 由11C C DE C DCE V V --=得 1111 143232 h ?=?? 解得h = 所以点C 到平面1C DE （2019全国2文）7. 设,αβ为两个平面，则//αβ的充要条件是( ) A. α内有无数条直线与β平行 B. α内有两条相交直线与β平行 C. ,αβ平行于同一条直线 D. ,αβ垂直于同一平面 答案：B 解析: 根据面面平行的判定定理易得答案. （2019全国2文）16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有 个面，其棱长为 .(本题第一空2分，第二空3分.)
空间图形的计算与证明 一、近几年高考试卷部分立几试题 1、（全国 8）正六棱柱 ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1 底面边长为 1， 侧棱长为 2 ，则这个棱柱的侧面对角线 E 1D 与 BC 1 所成的角是 （ ） A 、90° B 、60° C 、45° D 、30° [评注]主要考查正六棱柱的性质，以及异面直线所成角的求法。 2、（全国 18）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是 1，而且 平面 ABCD 、ABEF 互相垂直，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF C 上移动，若 CM=NB=a(0 的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD。 （1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°， 求这个四棱锥的体积； （2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面 PCD所成的二面角恒大于90°。 [评注]考查线面关系和二面角概念，以及空间想象力和逻辑推理能力。 4、（02全国文22）（一）给出两块面积相同的正三角形纸片，要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，使它们的全面积都与原三角形面积相等，请设计一种剪拼法，分别用虚线标示在图（1）（2）中，并作简要说明。 (3) (1)(2) （二）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。（三）如果给出的是一块任意三角形的纸片，如图（3）要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标出在图3中，并作简要说明。 高考文科数学试题分类汇编1：集合 一、选择题 1 ．（2013年高考安徽（文））已知{}{}|10,2,1,0,1A x x B =+>=--,则()R C A B ?= （ ） A ．{}2,1-- B ．{}2- C ．{}1,0,1- D ．{}0,1 【答案】A 2 ．（2013年高考北京卷（文））已知集合{}1,0,1A =-,{}|11B x x =-≤<,则A B = （ ） A ．{}0 B ．{}1,0- C ．{}0,1 D ．{}1,0,1- 【答案】B 3 ．（2013年上海高考数学试题（文科））设常数a ∈R ,集合()(){} |10A x x x a =--≥,{}|1B x x a =≥-. 若A B =R ,则a 的取值范围为（ ） A ．(),2-∞ B ．(],2-∞ C ．()2,+∞ D ．[)2,+∞ 【答案】B 4 ．（2013年高考天津卷（文））已知集合A = {x ∈R| |x|≤2}, B= {x∈R | x≤1}, 则A B ?= （ ） A ．(,2]-∞ B ．[1,2] C ．[-2,2] D ．[-2,1] 【答案】D 5 ．（2013年高考四川卷（文））设集合{1,2,3}A =,集合{2,2}B =-,则A B = （ ） A ．? B ．{2} C ．{2,2}- D ．{2,1,2,3}- 【答案】B 6 ．（2013年高考山东卷（文））已知集合 B A 、均为全集}4,3,2,1{=U 的子集,且 (){4}U A B = e,{1,2}B =,则U A B = e （ ） A ．{3} B ．{4} C ．{3,4} D ．? 【答案】A 7 ．（2013年高考辽宁卷（文））已知集合{}{}1,2,3,4,|2,A B x x A B ==<= 则 （ ） A ．{}0 B ．{}0,1 C ．{}0,2 D ．{}0,1,2 【答案】B 8 ．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））已知集合M={x|-3 2008年-2014年山东高考文科数学立体几何大题及答案 （08年）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB DC ∥，PAD △是等边三角形，已知28BD AD ==，245AB DC == （Ⅰ）设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ； （Ⅱ）求四棱锥P ABCD -的体积． （09年）如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB 11111 （10年）（本小题满分12分） 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，//PD MA ，E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点，且2AD PD MA ==. （I ）求证：平面EFG ⊥平面PDC ； （II ）求三棱锥P MAB -与四棱锥P ABCD -的体积之比. （11年）（本小题满分12分） 如图，在四棱台 1111 ABCD A B C D -中， 1D D ABCD ⊥平面，底面 ABCD 是平行四边形， 112,,60AB AD AD A B BAD ==∠= （Ⅰ）证明：1AA BD ⊥； （Ⅱ）证明：11//CC A BD 平面. A B C M P D E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D D B1 D1 C1 C B A A1 （12年） (本小题满分12分) 如图，几何体E ABCD -是四棱锥，△ABD 为正三角形， ,CB CD EC BD =⊥. (Ⅰ)求证：BE DE =； (Ⅱ)若∠120BCD =?，M 为线段AE 的中点， 求证：DM ∥平面BEC . （13年）（本小题满分12分） 如图，四棱锥P —ABCD 中，AB ⊥AC ， AB ⊥PA ，AB ∥CD ，AB=2CD ，E ，F ，G ， M ，N 分别为PB ，AB ，BC ，PD ，PC 的中点。 （Ⅰ）求证，CE ∥平面PAD; （Ⅱ）求证，平面EFG ⊥平面EMN 。 （14年）（本小题满分12分） 如图，四棱锥P ABCD -中，,//,BC AD PCD AP 平面⊥AD BC AB 2 1 = =,F E ,分别为线段PC AD ,的中点。 （Ⅰ）求证：BEF AP 平面// （Ⅱ）求证：PAC BE 平面⊥ P A C D E 专题09立体几何与空间向量选择填空题历年考题细目表 题型年份考点试题位置 单选题2019 表面积与体积2019年新课标1理科12 单选题2018 几何体的结构特征2018年新课标1理科07 单选题2018 表面积与体积2018年新课标1理科12 单选题2017 三视图与直观图2017年新课标1理科07 单选题2016 三视图与直观图2016年新课标1理科06 单选题2016 空间向量在立体几何中的应 用2016年新课标1理科11 单选题2015 表面积与体积2015年新课标1理科06 单选题2015 三视图与直观图2015年新课标1理科11 单选题2014 三视图与直观图2014年新课标1理科12 单选题2013 表面积与体积2013年新课标1理科06 单选题2013 三视图与直观图2013年新课标1理科08 单选题2012 三视图与直观图2012年新课标1理科07 单选题2012 表面积与体积2012年新课标1理科11 单选题2011 三视图与直观图2011年新课标1理科06 单选题2010 表面积与体积2010年新课标1理科10 填空题2017 表面积与体积2017年新课标1理科16 填空题2011 表面积与体积2011年新课标1理科15 填空题2010 三视图与直观图2010年新课标1理科14 历年高考真题汇编 1．【2019年新课标1理科12】已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，P A＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是P A，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为（） A．8πB．4πC．2πD．π 2．【2018年新课标1理科07】某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（） 全国高考文科数学近三年试题分类汇编 大题分类之选做题 （1）坐标系与参数方程 1.（2015卷1）在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆222:(1)(2)1C x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求12,C C 的极坐标方程；（2）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ= ∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ?的面积. 2.（2015卷2）在直角坐标系xOy 中，曲线1cos :sin x t C y t αα =??=?（t 为参数，且0t ≠），其中0απ≤<，在以O 为极 点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2sin C ρθ=，3:C ρθ= （1）求23,C C 交点的直角坐标；（2）若1C 与2C 相交于A ，1C 与3C 相交于B ，求AB 的最大值. 3.（2016卷1）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程cos 1sin x a t y a t =??=+? （t 为参数，且0a >），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:4cos C ρθ= （1）说明1C 是哪种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程； （2）直线3C 的极坐标方程为0θα=，其中0α满足0tan 2α=，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求0α. 4.（2016年卷2）在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++= （1）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； （2）直线l 的参数方程为cos sin x t y t αα =?? =?（t 为参数），l 与C 相交于,A B 两点，AB =l 的斜率. 5.（2017年卷1）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程3cos sin x y θθ=??=?（θ为参数），直线l 的参数方程为41x a t y t =+??=-?（t 为参数）， （1）若1a =-，求C 与l 交点的坐标；（2）若C 上的点到l ，求a . 6.（2017年卷2）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ= （1）M 为曲线1C 的动点，点P 在线段OM 上，且满足16OM OP ?=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程； （2）设点A 的极坐标为(2, )3π，点B 在曲线2C 上，求OAB V 的面积的最大值. 1．（2013年高考辽宁卷（文））如 图,.AB O PA O C O 是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的点 (I)求证:BC PAC ⊥平面； (II)设//.Q PA G AOC QG PBC ?为的中点，为的重心，求证：平面 2.2013年高考陕西卷（文））如图, 四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中 心, A 1O ⊥平面ABCD , 12AB AA == (Ⅰ) 证明: A 1BD // 平面CD 1B 1; (Ⅱ) 求三棱柱ABD -A 1B 1D 1的体积. O D 1 B 1 C 1 D A C A 1 3.（2013年高考福建卷（文））如图,在四棱锥P ABCD -中,PD ABCD ⊥面,//AB DC ,AB AD ⊥,5BC =,3DC =,4AD =, 60PAD ∠=o .(1)当正视图方向与向量AD u u u r 的方向相同时,画出四棱锥P ABCD -的正视图.(要求标出尺寸,并画出演算过程); (2)若M 为PA 的中点,求证://DM PBC 面; (3)求三棱锥D PBC -的体积. 4. 如图，四棱锥P —ABCD 中，ABCD 为矩形，△PAD 为等腰直角三角形，∠APD=90°，面PAD ⊥面ABCD ，且AB=1，AD=2，E 、F 分别为PC 和BD 的中点． （1）证明：EF ∥面PAD ； （2）证明：面PDC ⊥面PAD ； （3）求四棱锥P —ABCD 的体积． 5.（2013年高考广东卷（文））如图4,在边长为1的等边三角形ABC 中,,D E 分别是,AB AC 边上的点,AD AE =,F 是BC 的中点,AF 与DE 交于点G ,将ABF ?沿AF 折起,得到如图5所示的三棱锥A BCF -,其中2BC =. (1) 证明:DE //平面BCF ; (2) 证明:CF ⊥平面ABF ; (3) 当23 AD =时,求三棱锥F DEG -的体积F DEG V -. 图 4G E F A B C D 图 5D G B F C A E 6．（2013年高考北京卷（文））如图,在四棱锥P ABCD -中,//AB CD ,AB AD ⊥,2CD AB =,平面PAD ⊥底面ABCD ,PA AD ⊥,E 和F 分别是CD 和PC 的中点,求证: (1)PA ⊥底面ABCD ;(2)//BE 平面PAD ;(3)平面BEF ⊥平面PCD 图 2 俯视图 侧视图 正视图1.（北京8）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为对角线1BD 的三等分点， 则 P 到各顶点的距离的不同取值有（ ） A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个 2.（广东卷6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( ) A ．1 6 B ．1 3 C ．2 3 D ．1 3. （广东卷8）设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) A ．若//l α，//l β，则//αβ B ．若l α⊥，l β⊥，则//αβ C ．若l α⊥，//l β，则//αβ D ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥ 4. （湖南卷7）已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1 的矩形，则该正方体的正视图的面积等于 A ． B.1 C. 1 2 5. 江西卷8）.一几何体的三视图如右所示，则该几何体的体积为（ ） A.200+9π B. 200+18π C. 140+9π D. 140+18π 6. （辽宁卷10）已知三棱柱 1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，， ,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为 A ． 2 B ． C ．13 2 D ．B ．. （全国卷11）已知正四棱柱1111112,ABCD A B C D AA AB CD BDC -=中，则与平面所成角的正弦值等于 （ A ） 23 （B （C （D ）1 3 8. （四川卷2）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（ ） （A ）棱柱 （B ）棱台 （C ）圆柱 （D ）圆台 9. （全国新课标9）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)， (0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为（ ） (A) (B) (C) (D) 10.（浙江卷4）设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面， A 、若m ∥α，n ∥α,则m ∥n B 、若m ∥α，m ∥β,则α∥β C 、若m ∥n ，m ⊥α,则n ⊥α D 、若m ∥α，α⊥β,则m ⊥β 11.（浙江卷5）已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是 A 、108cm 3 B 、100 cm 3 C 、92cm 3 D 、84cm 3 12. （重庆卷8）某几何体的三视图如题（8）所示，则该几何体的表面积为（ ） （A ）180 （B ）200 （C ）220 （D ）240 13. （辽宁卷13）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 . 14.（安徽15）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点,,A P Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ，则下列命题正确的 是 （写出所有正确命题的编号）。 ①当1 02 CQ << 时，S 为四边形 1. (2013年高考辽宁卷(文))如 图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点. (I) 求证：BC _平面PAC ； (II) 设Q为PA的中点，G为AOC的重心，求证：QG//平面PBC. 2.2013年高考陕西卷(文))如图，四棱柱ABCDAιBιCD的底面ABCt是正方形，O为底面中 心,AC⊥平面ABCD AB=AA=√2. (I )证明：A i BD // 平面CDB1； ( ∏ )求三棱柱ABDABD的体积. 3. (2013年高考福建卷(文))如图，在四棱锥P- ABCD 中,PD _ 面ABCD , AB∕∕DC , AB _ AD , BC =5, DC =3, AD = 4, .PAD =60 .(1)当正视图方向与向量AD的方向相同时，画出四棱锥P- ABCD的正视图.(要求标出尺寸，并画出演算过程); ⑵若M为PA的中点，求证：DM / /面PBC ; (3) 4. 如图，四棱锥 P—ABCD中，ABCD为矩形，△ PAD为等腰直角三角形，∠ APD=90°,面 PAD⊥面 ABCD,且 AB=1，AD=2, E、F分别为 PC和BD的中点. (1)证明：EF// 面 PAD (2)证明：面PDC⊥面PAD; (3)求四棱锥 P— ABCD的体积. A B 求三棱锥D- PBC的体积. 5. (2013年高考广东卷(文))如图4,在边长为1的等边三角形 ABC 中，D ) E 分别是AB )AC 边上的点，AD =AE , F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G , 将 :ABF 沿AF 折起, (1)证明：DE //平面BCF ; (2) 证明：CF _平面ABF ; 2 ⑶ 当AD 时，求三棱锥F - DEG 的体积V F DEG 3 _ 6. (2013年高考北京卷(文))如图,在四棱锥P-ABCD 中，AB∕∕CD , AB _ AD , CD =2AB ,平面 PAD _ 底面 ABCD , PA _ AD , E 和 F 分别是CD 和PC 的中点，求证: (1) PA _ 底面 ABCD ;(2) BE//平面 PAD ;(3)平面 BEF _ 平面 PCD 得到如图5所示的三棱锥 A - BCF ,其中BC 洱 2017届文科数学立体几何大题训练 1. 如图，三棱锥A —BPC 中，AP ⊥PC ，AC ⊥BC ，M 为AB 中点，D 为PB 中点，且△PMB 为正三角形． （Ⅰ）求证：DM 如图1，在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 底面ABCD ，面ABCD 为正方形，E 为侧棱PD 上一点，F 为AB 上一点．该四棱锥的正（主）视图和侧（左）视图如图2所示． （Ⅰ）求四面体PBFC 的体积； （Ⅱ）证明：AE ∥平面PFC ； （Ⅲ）证明：平面PFC ⊥平面PCD ． 3. 如图，四棱柱P ABCD -中， .//,,AB PAD AB CD PD AD F ⊥=平面是DC 上的点且1 ,2 DF AB PH =为PAD ?中AD 边上的高. （Ⅰ）求证：//AB 平面PDC ； （Ⅱ）求证：PH BC ⊥； （Ⅲ）线段PB 上是否存在点E ，使EF ⊥平面PAB 说明理由. F A D P C H 4. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，为的 中点。 （1）若 ，求证：平面 ； （2）点在线段上， ，试 确定的值，使； 5. ．如图，E 是矩形ABCD 中AD 边上的点，F 为CD 边的中点， 2 43 AB AE AD ===，现将ABE ?沿BE 边折至PBE ?位置，且平面PBE ⊥平面 BCDE . ⑴ 求证：平面PBE ⊥平面 PEF ； ⑵ 求四棱锥P BEFC -的体积. P B C E D F E 6. 如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ， 90ABC BCD ∠=∠=，PA PD DC CB a ====，2AB a =，E 是PB 中点，H 是AD 中点. （Ⅰ）求证：//EC 平面APD ；（Ⅱ）求三棱锥E BCD -的体积. 7. 如图，在三棱锥S ABC -中，侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形， 90BAC ∠=°，O 为BC 中点． （Ⅰ）证明：SO ⊥平面ABC ； （Ⅱ）求异面直线BS 与AC 所成角的大小． S 第四编 立体几何初步 第九章 立体几何初步 第一节 简单几何体的表面积和体积 1. 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积的计算公式如下： 2. 球、柱、锥、台的表面积及体积计算公式： 名 称 表面积S 体积V 棱 柱 底侧S S 2+ h S 底 棱 锥 底侧S S + h S 底3 1 棱 台 下底上底侧S S S ++ h S S S S )(3 1 下底上底下底上底?++ 球 24R π 33 4 R π 圆 柱 )(2r l r +π h r 2π 圆 锥 )(r l r +π h r 23 1π 圆 台 )()(222121r r l r r +++ππ )(3 1 222121r r r r h ++π 第二节 三视图 1. 柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体. （2）棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体. （3）棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分. （4）圆柱：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体. l r r π2r l r π2l ' r r ' 2r πr π2rl s π2=侧rl S π=侧()l r r S '+=π侧 （5）圆锥：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体. （6）圆台：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分. （7）球体：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体. 2. 空间几何体的三视图和直观图： （1）三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、 俯视图（从上向下） （2）画三视图的原则：长对正，高齐平，宽相等. （3）直观图：斜二侧画法. ①在已知图形中取相互垂直的x 轴和y 轴，两轴相交于点O ，画直观图时，把它们画成对应的'x 轴和'y 轴，两轴相交于点'O ，且使)135(45??='''∠或y O x ，它们确定的平面表示水平面. ②原来与x 轴平行的线段仍然与x 平行且长度不变； ③原来与y 轴平行的线段仍然与y 平行，长度为原来的一半. 第三节 空间几何体的平行问题 1. 线线平行的判断： ①平行于同一条直线的两条直线互相平行。 ②平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 ③如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线 和交线平行。 l b a l b l a // //?b a // α b a α α ?b b a //?α //a ? b a a =?βαβα // b a // 专题07 立体几何 立体几何的知识是高中数学的主干内容之一，它主要研究简单空间几何体的位置和数量关系．本专题内容分为三部分：一是点、直线、平面之间的位置关系，二是简单空间几何体的结构，三是空间向量与立体几何．在本专题中，我们将首先复习空间点、直线、平面之间 的位置关系，特别是对特殊位置关系(平行与垂直)的研究；其后，我们复习空间几何体的结构，主要是柱体、锥体、台体和球等的性质与运算；最后，我们通过空间向量的工具证明有关线、面位置关系的一些命题，并解决线线、线面、面面的夹角问题． §7－1 点、直线、平面之间的位置关系 【知识要点】 1．空间直线和平面的位置关系： (1)空间两条直线： ①有公共点：相交，记作：a∩b＝A，其中特殊位置关系：两直线垂直相交． ②无公共点：平行或异面． 平行，记作：a∥b． 异面中特殊位置关系：异面垂直． (2)空间直线与平面： ①有公共点：直线在平面内或直线与平面相交． 直线在平面内，记作：a?α ． 直线与平面相交，记作：a∩α ＝A，其中特殊位置关系：直线与平面垂直相交． ②无公共点：直线与平面平行，记作：a∥α ． (3)空间两个平面： ①有公共点：相交，记作：α ∩β ＝l，其中特殊位置关系：两平面垂直相交． ②无公共点：平行，记作：α ∥β ． 2．空间作为推理依据的公理和定理： (1)四个公理与等角定理： 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补． (2)空间中线面平行、垂直的性质与判定定理： ①判定定理： 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行． 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行． 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直． 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． ②性质定理： 如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行． 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行．垂直于同一个平面的两条直线平行． 2019年高考数学各题型解法：立体几何篇高考立体几何试题一般共有4道（选择、填空题3道，解答题1道），共计总分27分左右，考查的知识点在20个以内。选择填空题考核立几中的计算型问题，而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题，当然，二者均应以正确的空间想象为前提。随着新的课程改革的进一步实施，立体几何考题正朝着“多一点思考，少一点计算”的发展。从历年的考题变化看，以简单几何体为载体的线面位置关系的论证，角与距离的探求是常考常新的热门话题。 知识整合 1.有关平行与垂直（线线、线面及面面）的问题，是在解决立体几何问题的过程中，大量的、反复遇到的，而且是以各种各样的问题（包括论证、计算角、与距离等）中不可缺少的内容，因此在主体几何的总复习中，首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手，通过较为基本问题，熟悉公理、定理的内容和功能，通过对问题的分析与概括，掌握立体几何中解决问题的规律--充分利用线线平行（垂直）、线面平行（垂直）、面面平行（垂直）相互转化的思想，以提高逻辑思维能力和空间想象能力。 2.判定两个平面平行的方法： （1）根据定义--证明两平面没有公共点； （2）判定定理--证明一个平面内的两条相交直线都平行于另 一个平面； （3）证明两平面同垂直于一条直线。 3.两个平面平行的主要性质： ⑴由定义知：“两平行平面没有公共点”。 ⑵由定义推得：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 ⑶两个平面平行的性质定理：”如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那 么它们的交线平行“。 ⑷一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。 ⑸夹在两个平行平面间的平行线段相等。 家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情况及时传递给家长，要求孩子回家向家长朗诵儿歌，表演故事。我和家长共同配合，一道训练，幼儿的阅读能力提高很快。 宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。至元明清之县学一律循之不变。明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的 2013年高考解析分类汇编16：选修部分 一、选择题 1 ．（2013年高考大纲卷（文4））不等式 222x -<的解集是 （ ） A ．()-1,1 B ．()-2,2 C ．()()-1,00,1U D ．()()-2,00,2U 【答案】D 2|2|2 <-x ，所以?????->-<-222222 x x ，所以402 < 立体几何综合训练1、证明平行垂直 1．如图，AB 是圆O 的直径，PA⊥圆O 所在的平面，C是圆O 上的点．（1）求证：BC⊥平面PAC； （2）若Q 为PA的中点，G为△AOC 的重心，求证：QG∥平面PBC．2．如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，AB ∥ CD，AB⊥AD ，CD=2AB ，平面PAD⊥ 底面ABCD ，PA⊥ AD ．E和F分别 是CD 和PC 的中点，求证：（Ⅰ） PA⊥底面ABCD； （Ⅱ）BE∥平面PAD； （Ⅲ）平面BEF⊥平面PCD ． 3．如图，四棱锥P﹣ABCD 中，PA⊥底面ABCD ，AB⊥AD ，点E在线段AD 上，且CE∥AB ． （Ⅰ）求证：CE⊥平面PAD ； （Ⅱ）若PA=AB=1 ，AD=3 ，CD= ， ∠ CDA=45 °，求四棱锥P﹣ABCD 的体4．如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，底面ABCD 是矩形．已知 ．M 是PD 的中点． Ⅰ）证明PB∥平面MAC Ⅱ）证明平面PAB⊥平面ABCD Ⅲ）求四棱锥p ﹣ABCD 的体积． Ⅲ）若M 是PC 的中点，求三棱锥M ﹣ACD 的体积． 2、求体积问题 5．如图，已知四棱锥P﹣ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥DC，∠ ABC=45 °，DC=1 ，AB=2 ，PA⊥平面ABCD ，PA=1 ． （Ⅰ）求证：AB∥平面PCD； Ⅱ）求证：BC⊥平面PAC； 6．（2011? 辽宁）如图，四边形ABCD 为正方形，QA⊥平面ABCD ， PD∥QA， OA=AB= PD． （Ⅰ）证明PQ⊥平面DCQ ； （Ⅱ）求棱锥Q﹣ABCD 的体积与棱锥P ﹣DCQ 的体积的比值．7．如图，四棱锥P﹣ABCD 的底面ABCD 是边长为 2 的菱形，∠ BAD=60 °，已知 PB=PD=2 ，PA= ． （Ⅰ）证明：PC⊥ BD （Ⅱ）若E为PA 的中点，求三棱锥P ﹣ BCE的体积．高考文科数学试题分类汇编1：集合
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